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सभी अभाज्य घातों की तुलना करें। / Compare all prime exponents.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (3), (3) की घात (2) और (7) की घात (2) है। सबसे बड़ी घात (3) है, जो (2) के साथ है। / The exponent of (2) is (3), of (3) is (2), and of (7) is (2). The greatest exponent is (3), attached to (2).
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ी घात देखते समय आधार और घात को अलग-अलग पढ़ें। / Read the base and exponent separately while comparing.
(2) की घात (2), (3) की घात (1) और (5) की घात (2) है। सबसे बड़ी घात (2) है जो (2) और (5) दोनों के साथ है। / The exponent of (2) is (2), of (3) is (1), and of (5) is (2). The greatest exponent is (2), shared by (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
बराबर घात होने पर दोनों आधार सही हो सकते हैं। / If exponents are equal, more than one prime base may be correct.
हर विकल्प में (2) की घात देखें। / Look at the exponent of (2) in each option.
Step 2
Why this answer is correct
घातें (2,4,3,1) हैं, इनमें सबसे बड़ी (4) है। / The exponents are (2,4,3,1), and the greatest is (4).
Step 3
Exam Tip
तुलना में पूरी संख्या निकालना जरूरी नहीं, केवल मांगी गई घात देखें। / For comparison, you need not calculate the whole number; check only the required exponent.
\(108=2^2 \times 3^3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(1080=2^3 \times 3^3 \times 5\)। (2) की घात (3) है। / \(108=2^2 \times 3^3\) and \(10=2 \times 5\), so \(1080=2^3 \times 3^3 \times 5\). The exponent of (2) is (3).
Step 3
Exam Tip
(2) की घात जानने के लिए बार-बार (2) से भाग देना भी उपयोगी है। / Repeated division by (2) is also useful for finding this exponent.
(\left\(5^2\right\)0=1) और \(2^{-3}=\frac{1}{8}\) है। इसलिए योग \(\frac{9}{8}\) है। / (\left\(5^2\right\)0=1) and \(2^{-3}=\frac{1}{8}\). Therefore the sum is \(\frac{9}{8}\).
(\left\(3^2\right\)0=1) और \(4^{-1}=\frac{1}{4}\) है। इसलिए योग \(\frac{5}{4}\) है। / (\left\(3^2\right\)0=1) and \(4^{-1}=\frac{1}{4}\). Therefore the sum is \(\frac{5}{4}\).
पहले (\(5^2\)3=56) होता है। कुल घात (6-4-(-1)=3) है इसलिए उत्तर \(5^3\) है। / First (\(5^2\)3=56). The total exponent is (6-4-(-1)=3), so the answer is \(5^3\).
(\left\(2^3\right\)0=1) और \(5^{-1}=\frac{1}{5}\) है। इसलिए योग \(\frac{6}{5}\) है। / (\left\(2^3\right\)0=1) and \(5^{-1}=\frac{1}{5}\). Therefore the sum is \(\frac{6}{5}\).
\(x^2+\frac{1}{x}+4\) में \(x^{-1}\) है, जो बहुपद में मान्य नहीं है। हर में चर हो तो सावधान रहें। / \(x^2+\frac{1}{x}+4\) contains \(x^{-1}\), which is not allowed in a polynomial. Be careful when the variable is in the denominator.
\(\frac{5}{x^2}=5x^{-2}\) में ऋणात्मक घात है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / \(\frac{5}{x^2}=5x^{-2}\) has a negative power. Such powers are not allowed in a polynomial.
क्योंकि (\(5x^2\)0=1), \(x^0=1\) और \(2^{-1}=\dfrac{1}{2}\), इसलिए मान (4) है। परीक्षा में शून्य घात का नियम केवल non-zero आधार पर लगाएं। / Because (\(5x^2\)0=1), \(x^0=1\), and \(2^{-1}=\dfrac{1}{2}\), the value is (4). In exams, apply the zero exponent rule only to a non-zero base.
ऊपर (\(2x^2y^{-2}\)3=8x-6y^{-6}) है। भाग देने पर \(x^{6-3}y^{-6-(-7)}=x^3y\) मिलता है। / The numerator is (\(2x^2y^{-2}\)3=8x-6y^{-6}). Dividing gives \(x^{6-3}y^{-6-(-7)}=x^3y\).
(\(2^4\)2=28), \(8^{-1}=2^{-3}\) और \(4=2^2\) है। कुल घात (8-3-2=3) है। / (\(2^4\)2=28), \(8^{-1}=2^{-3}\), and \(4=2^2\). The total exponent is (8-3-2=3).
अंदर \(\frac{a^{-2}}{b^{-4}}=a^{-2}b^4\) है। बाहरी (-1) घात से \(\frac{a^2}{b^4}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{a^{-2}}{b^{-4}}=a^{-2}b^4\). The outside power (-1) gives \(\frac{a^2}{b^4}\).
\(5^2=25\) और \(5^{-1}=\frac{1}{5}\) है। इसलिए \(25-\frac{1}{5}=\frac{124}{5}\) है। / \(5^2=25\) and \(5^{-1}=\frac{1}{5}\). Thus \(25-\frac{1}{5}=\frac{124}{5}\).
गुणांक \(\frac{18}{6}=3\), \(x^{5-2}=x^3\) और \(y^{3-1}=y^2\) है। इसलिए उत्तर \(3x^3y^2\) है। / The coefficient is \(\frac{18}{6}=3\), \(x^{5-2}=x^3\), and \(y^{3-1}=y^2\). So the answer is \(3x^3y^2\).
पहले (\(3^2\)4=38) और हर की घात (5-2=3) है। इसलिए कुल घात (8-3=5) होती है। / First (\(3^2\)4=38) and the denominator exponent is (5-2=3). Therefore the total exponent is (8-3=5).
(\(2^3\)2=26), \(4^{-1}=2^{-2}\) और \(8=2^3\) है। कुल घात (6-2-3=1) है इसलिए उत्तर (2) है। / (\(2^3\)2=26), \(4^{-1}=2^{-2}\), and \(8=2^3\). The total exponent is (6-2-3=1), so the answer is (2).
अंदर \(\frac{x^{-3}}{y^{-2}}=x^{-3}y^2\) है। बाहरी (-1) घात से \(\frac{x^3}{y^2}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{x^{-3}}{y^{-2}}=x^{-3}y^2\). The outside power (-1) gives \(\frac{x^3}{y^2}\).
गुणांक \(\frac{24}{6}=4\), \(a^{5-2}=a^3\) और \(b^{3-2}=b\) है। इसलिए उत्तर \(4a^3b\) है। / The coefficient is \(\frac{24}{6}=4\), \(a^{5-2}=a^3\), and \(b^{3-2}=b\). So the answer is \(4a^3b\).
बाहरी घात प्रत्येक कारक की घात से गुणा होती है। इसलिए (\(a^3b^2\)3=a-9b-6) है। / The outside exponent multiplies the exponent of each factor. Hence (\(a^3b^2\)3=a-9b-6).
(\left\(\frac{4}{3}\right\)^{-2}=\left\(\frac{3}{4}\right\)2=\frac{9}{16}) है। इसलिए \(\frac{9}{16}\cdot\frac{16}{9}=1\) है। / (\left\(\frac{4}{3}\right\)^{-2}=\left\(\frac{3}{4}\right\)2=\frac{9}{16}). Hence \(\frac{9}{16}\cdot\frac{16}{9}=1\).
\(0.25=\frac{1}{4}\) है। इसलिए ((0.25)^{-2}=\left\(\frac{1}{4}\right\)^{-2}=16) होता है। / \(0.25=\frac{1}{4}\). Therefore ((0.25)^{-2}=\left\(\frac{1}{4}\right\)^{-2}=16).
ऊपर (\(3x^2y^{-1}\)2=9x-4y^{-2}) है। भाग देने पर \(x^{4-1}y^{-2-(-3)}=x^3y\) मिलता है। / The numerator is (\(3x^2y^{-1}\)2=9x-4y^{-2}). Dividing gives \(x^{4-1}y^{-2-(-3)}=x^3y\).
अंदर \(\frac{x^{-2}}{y^{-3}}=x^{-2}y^3\) है। बाहरी (-1) घात से \(\frac{x^2}{y^3}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{x^{-2}}{y^{-3}}=x^{-2}y^3\). The outside power (-1) gives \(\frac{x^2}{y^3}\).
गुणांक \(\frac{15}{5}=3\), \(a^{4-2}=a^2\) और \(b^{2-1}=b\) है। इसलिए उत्तर \(3a^2b\) है। / The coefficient is \(\frac{15}{5}=3\), \(a^{4-2}=a^2\), and \(b^{2-1}=b\). So the answer is \(3a^2b\).
बाहरी घात दोनों कारकों की घातों से गुणा होती है। इसलिए (\(x^2y^3\)2=x-4y-6) है। / The outside exponent multiplies the exponents of both factors. Hence (\(x^2y^3\)2=x-4y-6).
(\left\(\frac{3}{2}\right\)^{-2}=\left\(\frac{2}{3}\right\)2=\frac{4}{9}) है। इसलिए \(\frac{4}{9}\cdot\frac{9}{4}=1\) है। / (\left\(\frac{3}{2}\right\)^{-2}=\left\(\frac{2}{3}\right\)2=\frac{4}{9}). Hence \(\frac{4}{9}\cdot\frac{9}{4}=1\).
\(0.2=\frac{1}{5}\), इसलिए ((0.2)^{-2}=\left\(\frac{1}{5}\right\)^{-2}=25)। दशमलव को भिन्न में बदलना आसान होता है। / \(0.2=\frac{1}{5}\), so ((0.2)^{-2}=\left\(\frac{1}{5}\right\)^{-2}=25). Converting decimals to fractions helps.
पहले (43=\(2^2\)3=26) और (82=\(2^3\)2=26) लिखें। इसलिए \(\frac{2^3\cdot2^6}{2^6}=2^3\) नहीं बल्कि \(2^{3+6-6}=2^3\); सही विकल्प \(2^3\) है। / First write (43=\(2^2\)3=26) and (82=\(2^3\)2=26). Thus \(\frac{2^3\cdot2^6}{2^6}=2^{3+6-6}=2^3\), so the correct option is \(2^3\).
समान आधार में घातें (2+0+4=6) जुड़ती हैं। इसलिए सरल रूप \(7^6\) है। / For the same base, the exponents add as (2+0+4=6). Hence the simplified form is \(7^6\).
ऋणात्मक घात आधार को हर में ले जाती है। इसलिए \(y^{-5}=\frac{1}{y^5}\) है। / A negative exponent moves the base to the denominator. Therefore \(y^{-5}=\frac{1}{y^5}\).
समान घात होने पर (\frac{182}{62}=\left\(\frac{18}{6}\right\)2=32)। समान घात को साथ में सरल करें। / With equal exponents, (\frac{182}{62}=\left\(\frac{18}{6}\right\)2=32). Simplify equal powers together.
समान घात होने पर आधारों का गुणा किया जा सकता है। इसलिए (62\cdot22=\(6\cdot2\)2=122) है। / When exponents are equal, bases can be multiplied. Hence (62\cdot22=\(6\cdot2\)2=122).
\(5^4\) का अर्थ (5) को (4) बार गुणा करना है। घात बार-बार गुणा को दिखाती है। / \(5^4\) means multiplying (5) by itself (4) times. An exponent shows repeated multiplication.
ऋणात्मक घात आधार को हर में ले जाती है इसलिए \(3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\)। ऋणात्मक घात का अर्थ ऋणात्मक उत्तर नहीं होता। / A negative exponent moves the base to the denominator, so \(3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\). A negative exponent does not mean a negative answer.
समान आधार में घातें (2+0+3=5) जुड़ती हैं। इसलिए सरल रूप \(4^5\) है। / For the same base, the exponents add as (2+0+3=5). Hence the simplified form is \(4^5\).
ऋणात्मक घात आधार को हर में ले जाती है। इसलिए \(x^{-4}=\frac{1}{x^4}\) है। / A negative exponent moves the base to the denominator. Therefore \(x^{-4}=\frac{1}{x^4}\).
समान घात होने पर (\frac{123}{33}=\left\(\frac{12}{3}\right\)3=43)। समान घात को साथ में सरल करें। / With equal exponents, (\frac{123}{33}=\left\(\frac{12}{3}\right\)3=43). Simplify equal powers together.
समान घात होने पर आधारों को गुणा कर सकते हैं। इसलिए (42\cdot52=\(4\cdot5\)2=202) है। / When exponents are equal, bases can be multiplied. Hence (42\cdot52=\(4\cdot5\)2=202).
\(4^3\) का अर्थ (4) को (3) बार गुणा करना है। घात बार-बार गुणा को दिखाती है। / \(4^3\) means multiplying (4) by itself (3) times. An exponent shows repeated multiplication.
समान आधार के गुणन में घातें जुड़ती हैं। इसलिए \(c^m\cdot c^n=c^{m+n}\) सही नियम है। / In multiplication with the same base, exponents are added. So \(c^m\cdot c^n=c^{m+n}\) is the correct law.
ऋणात्मक घात में संख्या हर में चली जाती है इसलिए \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)। ऋणात्मक घात का अर्थ ऋणात्मक उत्तर नहीं है। / A negative exponent moves the base to the denominator, so \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\). A negative exponent does not mean a negative answer.
किसी भी अशून्य संख्या की शून्य घात (1) होती है। शर्त \(b\neq0\) याद रखें। / The zero power of any non-zero number is (1). Remember the condition \(b\neq0\).
(\left\(\frac{2}{3}\right\)0=1) और (\left\(\frac{1}{2}\right\)2=\frac{1}{4}) है। इसलिए योग \(\frac{5}{4}\) है। / Here (\left\(\frac{2}{3}\right\)0=1) and (\left\(\frac{1}{2}\right\)2=\frac{1}{4}). Therefore the sum is \(\frac{5}{4}\).
ऋणात्मक घात में \(a^{-3}=\frac{1}{a^3}\) होता है। घात का ऋण चिह्न आधार को ऋणात्मक नहीं बनाता। / A negative exponent gives \(a^{-3}=\frac{1}{a^3}\). The negative sign in the exponent does not make the base negative.
समान घात होने पर आधारों का गुणन किया जा सकता है इसलिए (23\cdot33=\(2\cdot3\)3=63)। यह नियम समान घात पर लागू होता है। / When exponents are the same, bases can be multiplied, so (23\cdot33=\(2\cdot3\)3=63). This rule applies for equal exponents.
\(2^5\) का अर्थ (2) को (5) बार गुणा करना है। घात बार-बार गुणा को दिखाती है। / \(2^5\) means multiplying (2) by itself (5) times. An exponent shows repeated multiplication.
घात की घात में घातों का गुणा होता है। इसलिए (\(a^m\)^n=a^{mn}) सही है। / In a power of a power, exponents are multiplied. Therefore (\(a^m\)^n=a^{mn}) is correct.
समान आधार के भाग में घातें घटती हैं इसलिए \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)। शर्त \(a\neq0\) जरूरी है। / In division with the same base, exponents are subtracted, so \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\). The condition \(a\neq0\) is important.
ऋणात्मक घात में संख्या हर में चली जाती है इसलिए \(10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}\)। ऋणात्मक घात का अर्थ ऋणात्मक मान नहीं होता। / A negative exponent moves the number to the denominator, so \(10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}\). A negative exponent does not mean a negative value.
किसी भी अशून्य संख्या की शून्य घात (1) होती है। ध्यान रखें कि \(0^0\) को यहाँ नहीं लेते। / The zero power of any non-zero number is (1). Remember that \(0^0\) is not considered here.
A. क्योंकि इसमें (x) की ऋणात्मक घात है/Because it has a negative power of (x)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है जो बहुपद रूप नहीं है। द्विघात समीकरण में चर की ऋणात्मक घात नहीं होती। / \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), which is not polynomial form. A quadratic equation cannot have a negative power of the variable.
A. ठीक (5) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (5) places
Explanation
Simple Explanation
\(7^0=1\) है इसलिए प्रभावी हर \(2^5\cdot 5^5=10^5\) है। दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(7^0=1\), the effective denominator is \(2^5\cdot 5^5=10^5\). The decimal terminates exactly after (5) places.
A. सांत और (5) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (5) places
Explanation
Simple Explanation
\(7^0\) और \(19^0\) दोनों (1) हैं इसलिए प्रभावी हर \(2^5\cdot 5^2\) है। बड़ी घात (5) होने से दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / Both \(7^0\) and \(19^0\) equal (1), so the effective denominator is \(2^5\cdot 5^2\). The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
कटौती के बाद हर \(2^5\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (5) है इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^5\cdot 5^4\). The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
A. सांत और (4) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (4) places
Explanation
Simple Explanation
\(3^0\) और \(17^0\) दोनों (1) हैं इसलिए प्रभावी हर \(2^4\cdot 5^3\) है। बड़ी घात (4) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / Both \(3^0\) and \(17^0\) equal (1), so the effective denominator is \(2^4\cdot 5^3\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
कटौती के बाद हर \(2^5\cdot 5^2\) बचेगा। बड़ी घात (5) है इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^5\cdot 5^2\). The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
A. सांत और (3) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (3) places
Explanation
Simple Explanation
\(3^0\) और \(11^0\) दोनों (1) हैं, इसलिए हर में केवल \(2^3\cdot 5^2\) प्रभावी है। बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / Both \(3^0\) and \(11^0\) equal (1), so the effective denominator is \(2^3\cdot 5^2\). The larger exponent is (3), so the decimal terminates after (3) places.
कटौती के बाद हर \(2^4\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^4\cdot 5^3\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
\(5^k\) हर के \(5^8\) से कटेगा। / \(5^k\) cancels with \(5^8\) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^3\cdot 5^{8-k}\) बनेगा। ठीक (3) स्थानों के लिए \(8-k\leq 3\) चाहिए, इसलिए न्यूनतम (k=5)। / The denominator becomes \(2^3\cdot 5^{8-k}\). For exactly (3) places, \(8-k\leq 3\), so the least (k) is (5).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान में असमानता को सही दिशा में हल करें। / For a least value, solve the inequality carefully.
A. सांत और (5) दशमलव स्थान/Terminating with (5) decimal places
Step 1
Concept
\(7^0=1\), इसलिए हर में (7) का वास्तविक गुणनखंड नहीं है। / \(7^0=1\), so there is no actual factor (7) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^5\cdot 5^3\) है, इसलिए दशमलव सांत होगा और बड़ी घात (5) स्थान देगी। / The denominator is \(2^5\cdot 5^3\), so the decimal terminates with (5) places.
Step 3
Exam Tip
शून्य घात को देखकर भ्रमित न हों। / Do not get confused by a zero exponent.
B. सांत, क्योंकि \(3^0=1\) है/Terminating because \(3^0=1\)
Step 1
Concept
\(3^0=1\), इसलिए हर में वास्तव में (3) का गुणनखंड नहीं है। / \(3^0=1\), so there is actually no factor (3) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^2\cdot 5^3\) ही है, जिसमें केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा। / The denominator is \(2^2\cdot 5^3\), containing only (2) and (5). Hence the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
शून्य घात को लेकर भ्रम न करें। / Do not get confused by a zero exponent.
A. वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर दाईं ओर एक अतिरिक्त (3) आता है/In a square, the exponent of (3) should be even, but the right side adds one extra (3)
Step 1
Concept
किसी पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होती है। / In a perfect square, the exponent of every prime factor is even.
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=3q^2\) में दाईं ओर \(q^2\) के साथ एक अतिरिक्त (3) जुड़ता है, जिससे (3) की घात का संतुलन टूटता है। / In \(p^2=3q^2\), the right side adds one extra factor (3) to \(q^2\), disturbing the exponent balance.
Step 3
Exam Tip
इसी सोच से (3) अंश और हर दोनों में आने का विरोधाभास समझ में आता है। / This idea explains why (3) finally appears in both numerator and denominator.
यदि दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times 3\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^3\times 5\) है, तो दोनों संख्याओं के गुणनफल में (2) का घातांक कितना होगा?
