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A. \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) के लिए \(5-\sqrt{2}\)/For \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) use \(5-\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(5+\sqrt{2}\) का संयुग्मी \(5-\sqrt{2}\) है। परीक्षा में बीच का चिन्ह बदलना ही संयुग्मी बनाने की मुख्य बात है। / The conjugate of \(5+\sqrt{2}\) is \(5-\sqrt{2}\). In exams changing the middle sign is the key idea of a conjugate.
A. \(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\)/\(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
\(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\) का योग (18) और गुणनफल (81-7=74) है। परीक्षा में विकल्पों का योग और गुणनफल दोनों जांचें। / The sum of \(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\) is (18), and the product is (81-7=74). In exams check both sum and product of options.
B. \(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\)/\(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
\(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\) का योग (10) और गुणनफल (25-5=20) है इसलिए यह भी नहीं है। सही युग्म (5+2) और (5-2) परिमेय होगा इसलिए दिए विकल्पों में कोई नहीं। / The pair \(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\) has sum (10) and product (20) so it also fails. The pair (5+2) and (5-2) would be rational so none of the given options fits.
\(x^2-6x+7\) में (D=36-28=8) है। गुणांक परिमेय हैं और शून्यक \(3\pm\sqrt{2}\) होंगे। / For \(x^2-6x+7\), (D=36-28=8). The coefficients are rational and the zeroes are \(3\pm\sqrt{2}\).
हर को \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करने पर हर (4-3=1) हो जाता है। परीक्षा में conjugate से numerator और denominator दोनों को गुणा करें। / Multiplying by \(2+\sqrt{3}\) makes the denominator (4-3=1). In exams, multiply both numerator and denominator by the conjugate.
\(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\times\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\) है। परीक्षा में हर का परिमेयकरण करें। / \(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\times\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\). Rationalise the denominator in exams.
A. शून्यक \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\)/Zeroes \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग संयुग्मी जोड़े में आता है। केवल \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\) का योग और गुणनफल दोनों परिमेय हैं। / With rational coefficients, irrational parts occur in conjugate pairs. Only \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\) have both rational sum and rational product.
हर का संयुग्मी \(5+\sqrt{6}\) है और हर (25-6=19) बनता है। इसलिए पहला विकल्प सही है। / The conjugate of the denominator is \(5+\sqrt{6}\), and the denominator becomes (25-6=19). Hence the first option is correct.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (1) बनता है। अंश (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (1). The numerator is (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (5-2=3) हो जाता है। इसलिए परिमेय हर वाला रूप \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (5-2=3). So the rationalized form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
\(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) होता है। जोड़ने पर \(2\sqrt{3}\) मिलता है। / \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\). Adding gives \(2\sqrt{3}\).
हर का संयुग्मी \(3-\sqrt{5}\) है और हर (9-5=4) बनता है। परिमेयकरण में संयुग्मी से गुणा करें। / The conjugate of the denominator is \(3-\sqrt{5}\) and the denominator becomes (9-5=4). Multiply by the conjugate to rationalize.
हर को परिमेय बनाने के लिए \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) से गुणा करें। / Multiply by \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) to rationalize the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
ऊपर (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) और नीचे (10-6=4) मिलता है, इसलिए मान \(4+\sqrt{15}\) है। / The numerator becomes (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) and the denominator is (10-6=4), so the value is \(4+\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी वाले भिन्नों में हर को पहले साफ करें। / In conjugate fractions, clear the denominator first.
दूसरा शून्यक \(5-\sqrt{21}\) होगा। योग (10) और गुणनफल (25-21=4) से बहुपद \(x^2-10x+4\) बनता है। / The other zero will be \(5-\sqrt{21}\). Sum (10) and product (25-21=4) give the polynomial \(x^2-10x+4\).
योग \(4\sqrt{3}\) और गुणनफल (\(2\sqrt{3}\)2-1=11) है। (S) योग और (P) गुणनफल के बराबर है। / The sum is \(4\sqrt{3}\) and the product is (\(2\sqrt{3}\)2-1=11). (S) equals the sum and (P) equals the product.
दूसरा शून्यक \(6+2\sqrt{5}\) होगा। योग (12) और गुणनफल (36-20=16), इसलिए बहुपद \(x^2-12x+16\) है। / The other zero is \(6+2\sqrt{5}\). The sum is (12) and product is (36-20=16), so the polynomial is \(x^2-12x+16\).
A. योग (2a) और गुणनफल \(a^2-5\) हैं/Sum is (2a) and product is \(a^2-5\)
Explanation
Simple Explanation
(\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) और (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5)। यही बहुपद से मेल खाता है। / (\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) and (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5). These match the polynomial.
गुणनफल \(k^2-5=20\) से \(k^2=25\) और धनात्मक (k=5) है। परीक्षा में गुणनफल से अज्ञात निकालें। / From the product \(k^2-5=20\) we get \(k^2=25\) and positive (k=5). In exams find the unknown from the product.
परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यक तुरंत पहचानें। / With rational coefficients \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
गुणनफल (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7) है, इसलिए (k=7) होगा। परीक्षा में स्थिर पद को शून्यकों के गुणनफल से जोड़ें। / The product (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7), so (k=7). In exams connect the constant term with the product of zeroes.
गुणनफल \(k^2-7=9\) से \(k^2=16\) मिलता है और दिए रूप में (k=4) उपयुक्त है। परीक्षा में गुणनफल से अज्ञात निकालें। / From the product \(k^2-7=9\), we get \(k^2=16\), and (k=4) fits the given form. In exams use the product to find the unknown.
हर का संयुग्मी \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\) है और हर (7-6=1) बनता है। परीक्षा में अंतर (1) होने पर उत्तर सरल हो जाता है। / The conjugate of the denominator is \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\), and the denominator becomes (7-6=1). In exams the answer simplifies when the difference is (1).
साथी शून्यक \(2-\sqrt{3}\) होगा, इसलिए गुणनखंड (x-\(2-\sqrt{3}\)) है। परीक्षा में शून्यक और गुणनखंड का संबंध \(x-\alpha\) याद रखें। / The companion zero is \(2-\sqrt{3}\), so the factor is (x-\(2-\sqrt{3}\)). In exams remember the relation between a zero and factor as \(x-\alpha\).
\(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{11}\) है। परीक्षा में (a=0) वाला संयुग्मी भी पहचानें। / The conjugate of \(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) is \(-\sqrt{11}\). In exams also identify the case (a=0).
योग (2) और गुणनफल (1-6=-5) है, इसलिए बहुपद \(x^2-2x-5\) है। परीक्षा में गुणनफल में \(a^2-b^2\) लगाएं। / The sum is (2) and the product is (1-6=-5), so the polynomial is \(x^2-2x-5\). In exams use \(a^2-b^2\) for the product.
परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक आता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों को तुरंत पहचानें। / With rational coefficients, \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक सामान्यतः संयुग्मी रूप में आते हैं। इसलिए \(3-\sqrt{5}\) का साथी शून्यक \(3+\sqrt{5}\) होगा। / For rational coefficients, irrational zeroes usually occur in conjugate pairs. Hence the companion zero of \(3-\sqrt{5}\) is \(3+\sqrt{5}\).
(xy=\(\sqrt{6}\)2-\(\sqrt{2}\)2=6-2=4) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन से समय बचता है। / (xy=\(\sqrt{6}\)2-\(\sqrt{2}\)2=6-2=4). Conjugate multiplication saves time in exams.
योग (2) और गुणनफल (1-2=-1), इसलिए बहुपद \(x^2-2x-1\) है। परीक्षा में चिन्हों को ठीक रखें। / The sum is (2) and the product is (1-2=-1), so the polynomial is \(x^2-2x-1\). Keep signs correct in exams.
C. सिर्फ \(\sqrt{2}\) ही अकेला अपरिमेय शून्यक हो और गुणांक परिमेय रहें/Only \(\sqrt{2}\) is the sole irrational zero while coefficients stay rational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में अपरिमेय शून्यक अपने संयुग्मी के साथ आता है। परीक्षा में अकेले अपरिमेय मूल पर संदेह करें। / In a quadratic with rational coefficients an irrational zero comes with its conjugate. In exams be suspicious of a lone irrational root.
क्योंकि (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=9-8=1), इसलिए व्युत्क्रम \(3-\sqrt{8}\) है। परीक्षा में गुणनफल (1) होने पर व्युत्क्रम तुरंत मिल जाता है। / Because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=9-8=1), the reciprocal is \(3-\sqrt{8}\). If the product is (1), the reciprocal is immediate.
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी मूल का नियम उपयोगी है। / For a quadratic with rational coefficients, if \(a+\sqrt{b}\) is a zero then \(a-\sqrt{b}\) is also a zero. The conjugate-root rule is useful in exams.
\(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=1\), इसलिए \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{64-2}{1}=62\)। ऐसे प्रश्नों में पहले योग और गुणनफल निकालें। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=1\), so \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{64-2}{1}=62\). In such questions, first find the sum and product.
शून्यकों का योग (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}) है। परिमेय गुणांकों में संयुग्मी भी मिलता है। / The sum of zeroes is (2), so the other zero is (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}). With rational coefficients, the conjugate also appears.
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) दूसरा शून्यक है। / With rational coefficients, the conjugate of the irrational part is also a zero. Hence \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) is the other zero.
योग (14) है, इसलिए (p=-14), और गुणनफल (49-12=37) है, इसलिए (q=37)। अतः (p+q=23) है। / The sum is (14), so (p=-14), and the product is (49-12=37), so (q=37). Hence (p+q=23).
दूसरा शून्यक \(2-\sqrt{13}\) होगा, इसलिए योग (4) है। एकक बहुपद में (x) का गुणांक (-4) होगा। / The other zero will be \(2-\sqrt{13}\), so the sum is (4). In a monic polynomial, the coefficient of (x) will be (-4).
स्थिर पद गुणनफल है और (\(4+\sqrt{11}\)\(4-\sqrt{11}\)=16-11=5)। संयुग्मी गुणनफल में बीच का अपरिमेय भाग हट जाता है। / The constant term is the product, and (\(4+\sqrt{11}\)\(4-\sqrt{11}\)=16-11=5). In conjugate products, the irrational middle part cancels.
दूसरा शून्यक \(-\sqrt{7}\) होगा, इसलिए योग (0) और (a=-0=0) है। परिमेय गुणांक में संयुग्मी शून्यक लेना जरूरी है। / The other zero will be \(-\sqrt{7}\), so the sum is (0) and (a=-0=0). With rational coefficients, take the conjugate zero.
A. दूसरा शून्यक \(-\sqrt{13}\) होगा/The other zero will be \(-\sqrt{13}\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों के लिए \(\sqrt{13}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{13}\) भी आता है, जब रैखिक गुणांक परिमेय हो। यह नियम \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) पर आधारित है। / For rational coefficients, the conjugate \(-\sqrt{13}\) of \(\sqrt{13}\) also appears when the linear coefficient is rational. This follows from \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\).
गुणनफल (\frac{\(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}) है। संयुग्मी गुणनफल में \(a^2-b\) प्रयोग करें। / The product is (\frac{\(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}). Use \(a^2-b\) for conjugate products.
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)/\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों के लिए \(a+\sqrt{b}\) का संयुग्मी \(a-\sqrt{b}\) साथ आता है। इसलिए पहला युग्म सही है। / For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
योग (10) और गुणनफल (25-2=23) है। इसलिए बहुपद \(x^2-10x+23\) होगा। / The sum is (10) and the product is (25-2=23). Therefore the polynomial is \(x^2-10x+23\).
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(2-\sqrt{3}\) दूसरा शून्यक होगा। / With rational coefficients, the conjugate of an irrational zero is also a zero. So \(2-\sqrt{3}\) will be the other zero.
योग \(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=6\) है, जो परिमेय है। संयुग्मी अपरिमेय संख्याओं का योग अक्सर परिमेय होता है। / The sum is \(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=6\), which is rational. Conjugate irrational numbers often have a rational sum.
योग (14) है, इसलिए (p=-14)। गुणनफल (49-13=36) है, इसलिए (q=36) और (p+q=22)। / The sum is (14), so (p=-14). The product is (49-13=36), so (q=36) and (p+q=22).
दूसरा शून्यक \(4-\sqrt{11}\) होगा। योग (\(4+\sqrt{11}\)+\(4-\sqrt{11}\)=8) है। / The other zero will be \(4-\sqrt{11}\). The sum is (\(4+\sqrt{11}\)+\(4-\sqrt{11}\)=8).
(\alpha\beta=\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) है। संयुग्मी गुणनफल से अपरिमेय भाग कट जाता है। / (\alpha\beta=\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2). The irrational part cancels in conjugate multiplication.
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में इसे संयुग्मी शून्यक नियम की तरह याद रखें। / For a quadratic with rational coefficients, \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Remember this as the conjugate-zero rule.
संयुग्मी गुणन में (ab=7-2=5) होता है। अंतर वर्ग सूत्र जल्दी उत्तर देता है। / In conjugate multiplication, (ab=7-2=5). The difference of squares formula gives the answer quickly.
(x) का संयुग्मी \(2-\sqrt{3}\) है और योग (4), गुणनफल (1) है। इसलिए समीकरण \(x^2-4x+1=0\) है। / The conjugate is \(2-\sqrt{3}\), with sum (4) and product (1). Hence the equation is \(x^2-4x+1=0\).
अंतर वर्ग सूत्र से मान (13-12=1) है। संयुग्मी जोड़े का गुणन अक्सर परिमेय देता है। / By difference of squares the value is (13-12=1). Product of conjugate pairs often gives a rational number.
पहला गुणनफल (25-6=19) है और \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / The first product is (25-6=19) and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) is irrational. A rational plus an irrational is irrational.
क्योंकि (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), इसलिए व्युत्क्रम \(2-\sqrt{3}\) है। संयुग्मी को पहचानना तेज तरीका है। / Since (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), the reciprocal is \(2-\sqrt{3}\). Recognizing conjugates is a fast method.
दोनों वर्ग जोड़ने पर जड़ वाले पद कट जाते हैं और (32) मिलता है। संयुग्मी संख्याओं में कटने वाले पद पहचानें। / On adding the two squares the radical terms cancel and the result is (32). Identify cancelling terms in conjugates.
संयुग्मी गुणन से (pq=72-\(\sqrt{11}\)2=49-11=38) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में \(a^2-b^2\) लगाएँ। / Conjugate multiplication gives (pq=72-\(\sqrt{11}\)2=49-11=38). Use \(a^2-b^2\) in such questions.
यह अंतर वर्ग सूत्र है और मान (15-6=9) मिलता है। संयुग्मी गुणन में अपरिमेय भाग हट जाता है। / This is the difference of squares formula and the value is (15-6=9). In conjugate multiplication the irrational part cancels.
योग में जड़ वाले पद कटते हैं और गुणनफल (9-8=1) है। संयुग्मी संख्याओं में यह तरीका तेज है। / The radical terms cancel in the sum and the product is (9-8=1). This method is quick for conjugates.
(\(2+\sqrt{5}\)\(2-\sqrt{5}\)=4-5=-1) है। संयुग्मी गुणन में अपरिमेय भाग हट जाता है। / (\(2+\sqrt{5}\)\(2-\sqrt{5}\)=4-5=-1). In conjugate multiplication the irrational part cancels.
संयुग्मी गुणन से (42-\(\sqrt{7}\)2=16-7=9) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में अंतर वर्ग सूत्र लगाएँ। / Conjugate multiplication gives (42-\(\sqrt{7}\)2=16-7=9). Use the difference of squares formula in such questions.
योग में जड़ वाले पद कटते हैं और गुणनफल (4-3=1) है। संयुग्मी संख्याओं में यह तरीका तेज है। / The radical terms cancel in the sum and the product is (4-3=1). This method is quick for conjugates.
(\(1+\sqrt{7}\)\(1-\sqrt{7}\)=1-7=-6) है। संयुग्मी गुणन में अपरिमेय भाग हट जाता है। / (\(1+\sqrt{7}\)\(1-\sqrt{7}\)=1-7=-6). In conjugate multiplication the irrational part cancels.
संयुग्मी गुणन से ((6)2-\(\sqrt{5}\)2=36-5=31) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में \(a^2-b^2\) प्रयोग करें। / Conjugate multiplication gives ((6)2-\(\sqrt{5}\)2=36-5=31). Use \(a^2-b^2\) in such questions.
(\(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)=1-3=-2) है। संयुग्मी जोड़े का गुणन परिमेय देता है। / (\(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)=1-3=-2). Multiplying conjugates gives a rational number.
(\(5+\sqrt{2}\)\(5-\sqrt{2}\)=25-2=23) है। संयुग्मी गुणन में अपरिमेय भाग हट जाता है। / (\(5+\sqrt{2}\)\(5-\sqrt{2}\)=25-2=23). In conjugate multiplication the irrational part cancels.
A. दोनों अपरिमेय हैं और उनका गुणनफल परिमेय है/Both are irrational and their product is rational
Step 1
Concept
\(3+\sqrt{2}\) और \(3-\sqrt{2}\) दोनों में अपरिमेय भाग है, इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। / \(3+\sqrt{2}\) and \(3-\sqrt{2}\) both contain an irrational part, so both are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
उनका गुणनफल (9-2=7) परिमेय है। / Their product is (9-2=7), which is rational.
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / Conjugate irrational numbers can have a rational product.
\(\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2\), क्योंकि (\(\sqrt{5}-2\)\(\sqrt{5}+2\)=1)। / \(\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2\), because (\(\sqrt{5}-2\)\(\sqrt{5}+2\)=1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (x+\frac{1}{x}=\(\sqrt{5}-2\)+\(\sqrt{5}+2\)=2\sqrt{5})। / Hence (x+\frac{1}{x}=\(\sqrt{5}-2\)+\(\sqrt{5}+2\)=2\sqrt{5}).
Step 3
Exam Tip
जहाँ संयुग्मी गुणन (1) दे, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल जाता है। / When conjugates multiply to (1), the reciprocal is immediate.
\(3+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / \(3+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
इसका व्युत्क्रम \(3-\sqrt{8}\) है, क्योंकि (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1)। इसलिए योग (6) परिमेय है। / Its reciprocal is \(3-\sqrt{8}\), because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1). Hence the sum is (6), which is rational.
Step 3
Exam Tip
जिन संयुग्मियों का गुणन (1) हो, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल सकता है। / When conjugates multiply to (1), the reciprocal is easy to identify.
(x) और (y) संयुग्मी रूप में हैं। / (x) and (y) are conjugates.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)2+\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)2) में बीच के अपरिमेय पद कट जाते हैं और मान (2(5+2)=14) मिलता है। / In (\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)2+\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)2), the middle irrational terms cancel and the value is (2(5+2)=14).
Step 3
Exam Tip
दो संयुग्मी वर्गों का योग लेते समय बीच वाले पद नहीं बचते। / When adding squares of conjugates, the middle terms vanish.
पहले दोनों भिन्नों का साझा रूप देखें और \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) तथा \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मानें। / First observe the common structure and take \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) and \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) होगा। यहाँ \(a^2+b^2=24\) और (ab=2) इसलिए (x=12) है। / \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\). Here \(a^2+b^2=24\) and (ab=2), so (x=12).
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी मूलों वाले भिन्नों में सीधे लंबा प्रसार करने के बजाय (a) और (b) रखकर हल करें। / For fractions with conjugate surds, use substitution instead of expanding everything directly.
