100 results found for "reflexive-subset" in all classes.
कथन: यदि \(A\subset B\), तो (\mathcal{P}(A)\subset \mathcal{P}(B))। कारण: (A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय है और (B) स्वयं (\mathcal{P}(B)) में है पर (\mathcal{P}(A)) में नहीं। सही विकल्प चुनिए।
Assertion: If \(A\subset B\), then (\mathcal{P}(A)\subset \mathcal{P}(B)). Reason: Every subset of (A) is also a subset of (B), and (B) itself is in (\mathcal{P}(B)) but not in (\mathcal{P}(A)). Choose the correct option.
#assertion-reason
#power-set
#proper-subset
A कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है / Both assertion and reason are true, and the reason explains it
B कथन सही है, कारण गलत है / Assertion is true, reason is false
C कथन गलत है, कारण सही है / Assertion is false, reason is true
D कथन और कारण दोनों गलत हैं / Both assertion and reason are false
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Correct Answer
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है / Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय होने पर घात समुच्चय भी उचित रूप से शामिल होता है। कारण में दोनों भाग सही व्याख्या देते हैं। / A proper subset gives a proper inclusion of power sets. The reason correctly explains both inclusion and properness.
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यदि \(A\subset B\), \(B\subset C\) और \(C\subset A\) है तो कौन सा निष्कर्ष अनिवार्य है?
If \(A\subset B\), \(B\subset C\), and \(C\subset A\) then which conclusion is necessary?
#sets
#subset relation
#equality
A केवल \(A\ne B\) / Only \(A\ne B\)
B (A=B=C)
C (A) रिक्त नहीं है / (A) is non empty
D (C) सबसे बड़ा समुच्चय है / (C) is the largest set
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Correct Answer
B. (A=B=C)
Explanation
Simple Explanation
परस्पर उपसमुच्चय संबंध से हर समुच्चय के तत्व समान हो जाते हैं इसलिए (A=B=C)। परीक्षा में द्विपक्षीय समावेशन से बराबरी सिद्ध करें। / Mutual subset inclusion makes all elements the same so (A=B=C). In exams prove equality by two way inclusion.
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किसी समुच्चय (A) के घात समुच्चय (P(A)) पर \(R=\{(X,Y):X \subset Y\}\) है, जहाँ \(\subset\) उचित उपसमुच्चय दर्शाता है। (R) के लिए सही कथन कौन-सा है?
On (P(A)), \(R=\{(X,Y):X \subset Y\}\), where \(\subset\) denotes proper subset. Which statement is correct about (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#proper_subset
#hard
A स्ववाची है / It is reflexive
B स्ववाची नहीं है क्योंकि \(X \subset X\) असत्य है / It is not reflexive because \(X \subset X\) is false
C हर (A) के लिए सार्वत्रिक है / It is universal for every (A)
D केवल सीमित (A) पर स्ववाची है / It is reflexive only when (A) is finite
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Correct Answer
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि \(X \subset X\) असत्य है / It is not reflexive because \(X \subset X\) is false
Step 1
Concept
उचित उपसमुच्चय में बराबरी की अनुमति नहीं होती। / A proper subset does not allow equality.
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी समुच्चय अपने ही उचित उपसमुच्चय के रूप में नहीं माना जाता। / No set is a proper subset of itself.
Step 3
Exam Tip
\(\subseteq\) और \(\subset\) का अर्थ अलग-अलग समझें। / Distinguish \(\subseteq\) from \(\subset\) carefully.
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समुच्चयों के परिवार पर (R) इस प्रकार है कि (XRY) जब \(X\subset Y\)। यह संबंध परावर्ती क्यों नहीं है?
On a family of sets, (R) is defined by (XRY) when \(X\subset Y\). Why is this relation not reflexive?
#proper subset
#not reflexive
#set theory
#relations
A क्योंकि \(X\subset X\) असत्य है / Because \(X\subset X\) is false
B क्योंकि \(X\subseteq X\) असत्य है / Because \(X\subseteq X\) is false
C क्योंकि \(X\cap X=\varnothing\) / Because \(X\cap X=\varnothing\)
D क्योंकि हर समुच्चय रिक्त है / Because every set is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि \(X\subset X\) असत्य है / Because \(X\subset X\) is false
Step 1
Concept
\(X\subset Y\) वास्तविक उपसमुच्चय को दर्शाता है। / \(X\subset Y\) means proper subset.
Step 2
Why this answer is correct
कोई समुच्चय अपने-आप का वास्तविक उपसमुच्चय नहीं होता। / No set is a proper subset of itself.
Step 3
Exam Tip
\(\subset\) और \(\subseteq\) के अंतर को परीक्षा में जरूर पहचानें। / In exams, clearly distinguish \(\subset\) and \(\subseteq\).
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समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) के घात समुच्चय पर (XRY) जब \(X\subset Y\)। (R) को परावर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On the power set of \(S=\{1,2,3\}\), (XRY) when \(X\subset Y\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#proper subset
#power set
#make reflexive
#hard
A 8
B 7
C 27
D 1
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Step 1
Concept
घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व हैं। / The power set has \(2^3=8\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक उपसमुच्चय संबंध में कोई भी ((X,X)) शामिल नहीं होता। / In the proper subset relation, no pair ((X,X)) is included.
Step 3
Exam Tip
परावर्ती बनाने के लिए हर (X) के लिए ((X,X)) जोड़ना होगा, इसलिए 8 युग्म जोड़ने होंगे। / To make it reflexive, add ((X,X)) for every (X), so 8 pairs must be added.
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यदि \(A\subset B\) और \(B\subset C\) हैं, तो (A) और (C) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(A\subset B\) and \(B\subset C\), which statement about (A) and (C) is correct?
#proper-subset
#transitivity
#logic
A \(A\subset C\)
B (A=C)
C \(C\subset A\)
D \(A\not\subseteq C\)
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Correct Answer
A. \(A\subset C\)
Explanation
Simple Explanation
दो उचित बढ़ाव होने से (C) में (A) से अधिक सदस्य जरूर होंगे। इसलिए (A) (C) का उचित उपसमुच्चय है। / With two proper inclusions, (C) must have more than (A). Hence (A) is a proper subset of (C).
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\(समुच्चय (A={\varnothing,{1},{2},{1,2}}) पर (R={(X,Y):X\subset Y\) या X=Y}) है। (R) कैसा है?
\(On (A={\varnothing,{1},{2},{1,2}}), (R={(X,Y):X\subset Y\) or \(X=Y}). What is (R) with respect to reflexivity\)?
#reflexive relation
#proper subset
#equality
A प्रतिवर्ती / Reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C रिक्त / Empty
D केवल उचित उपसमुच्चय संबंध / Only proper subset relation
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Correct Answer
A. प्रतिवर्ती / Reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर (X=Y) सत्य होता है। / On the diagonal, (X=Y) is true.
Step 2
Why this answer is correct
या वाली शर्त में (X=Y) वाला भाग हर ((X,X)) को शामिल कर देता है। / The or condition includes every ((X,X)) through the equality part.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / Therefore the relation is reflexive.
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समुच्चय \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\) पर (XRY) तभी जब \(X\subset Y\) है। (R) कैसा है?
On \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\), (XRY) if \(X\subset Y\). What is (R) with respect to reflexivity?
#reflexive relation
#proper subset
#sets
A प्रतिवर्ती / Reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सार्वत्रिक / Universal
D पहचान संबंध / Identity relation
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Correct Answer
B. प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
Step 1
Concept
\(X\subset Y\) में उचित उपसमुच्चय की बात है। / \(X\subset Y\) means proper subset.
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी समुच्चय स्वयं का उचित उपसमुच्चय नहीं होता, इसलिए \(X\subset X\) असत्य है। / No set is a proper subset of itself, so \(X\subset X\) is false.
Step 3
Exam Tip
\(\subseteq\) और \(\subset\) का अंतर परीक्षा में बहुत जरूरी है। / The difference between \(\subseteq\) and \(\subset\) is very important in exams.
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यदि \(A\subset B\) और \(B\subset A\) हैं तो सही निष्कर्ष क्या है?
If \(A\subset B\) and \(B\subset A\), what is the correct conclusion?
#sets
#equal_sets
#proof_method
A (A=B)
B \(A\cap B=\varnothing\)
C (A) और (B) अनंत हैं / (A) and (B) are infinite
D \(A\ne B\) हमेशा / \(A\ne B\) always
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Explanation
Simple Explanation
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय होने का अर्थ है कि दोनों में ठीक वही अवयव हैं। बराबर समुच्चय सिद्ध करने की यह मानक विधि है। / Subset relation in both directions means both sets have exactly the same elements. This is a standard way to prove equality of sets.
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समुच्चयों पर (A,R,B) तभी जब \(A\subset B\), जहां (A) वास्तविक उपसमुच्चय है। संबंध (R) कैसा है?
On sets, (A,R,B) if \(A\subset B\), where (A) is a proper subset. What type of relation is (R)?
#proper subset
#transitive
#set relation
A संक्रमण / Transitive
B संक्रमण नहीं / Not transitive
C केवल सममित / Only symmetric
D केवल परावर्ती / Only reflexive
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Correct Answer
A. संक्रमण / Transitive
Step 1
Concept
यदि \(A\subset B\) और \(B\subset C\), तो (A) का हर तत्व (C) में होगा। / If \(A\subset B\) and \(B\subset C\), every element of (A) is in (C).
Step 2
Why this answer is correct
साथ ही (A) और (C) समान नहीं हो सकते, इसलिए \(A\subset C\) होगा। / Also (A) and (C) cannot be equal, so \(A\subset C\).
Step 3
Exam Tip
वास्तविक उपसमुच्चय में समानता की संभावना अलग से सोचें। / In proper subset questions, think separately about equality.
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यदि (R) (A) पर परावर्ती संबंध है, तो (R) किसका उपसमुच्चय होगा?
If (R) is a reflexive relation on (A), then (R) will be a subset of what?
#relation definition
#cartesian product
#reflexive relation
#easy
A \(A \times A\)
B \(A \cup A\)
C \(A \cap A\)
D (A-A)
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Correct Answer
A. \(A \times A\)
Step 1
Concept
(A) पर संबंध हमेशा \(A \times A\) का उपसमुच्चय होता है। / A relation on (A) is always a subset of \(A \times A\).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती संबंध भी संबंध ही है, इसलिए वह \(A \times A\) का उपसमुच्चय होगा। / A reflexive relation is also a relation, so it is a subset of \(A \times A\).
Step 3
Exam Tip
पहले संबंध की मूल परिभाषा याद रखें। / First recall the basic definition of a relation.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर (R) स्वतुल्य है और \(R\subseteq S\subseteq A\times A\) है। (S) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,3\}\), (R) is reflexive and \(R\subseteq S\subseteq A\times A\). What is correct about (S)?
#superset of reflexive relation
#subset relation
#reflexive
A (S) स्वतुल्य होगा / (S) will be reflexive
B (S) स्वतुल्य नहीं होगा / (S) will not be reflexive
C (S) रिक्त होगा / (S) will be empty
D (S) में कोई अपने-आप वाला युग्म नहीं होगा / (S) will have no self-pair
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Correct Answer
A. (S) स्वतुल्य होगा / (S) will be reflexive
Step 1
Concept
(R) में सभी अपने-आप वाले युग्म हैं। / (R) contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\subseteq S\) होने से (R) के सभी युग्म (S) में भी होंगे। / Since \(R\subseteq S\), every pair of (R) is also in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (S) में भी सभी अपने-आप वाले युग्म रहेंगे। / Hence (S) also contains all self-pairs and is reflexive.
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है, तो \(R^{-1}\) के परावर्ती होने का सही कारण क्या है?
If (R) is reflexive on (A), what is the correct reason that \(R^{-1}\) is reflexive?
#inverse relation
#reflexive relation
#property
#mcq
A ((a,a)) का व्युत्क्रम फिर ((a,a)) ही होता है / The inverse of ((a,a)) is again ((a,a))
B हर व्युत्क्रम संबंध सार्वत्रिक होता है / Every inverse relation is universal
C व्युत्क्रम लेने पर सभी युग्म हट जाते हैं / All pairs are removed when inverse is taken
D परावर्ती संबंध का व्युत्क्रम रिक्त होता है / The inverse of a reflexive relation is empty
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Correct Answer
A. ((a,a)) का व्युत्क्रम फिर ((a,a)) ही होता है / The inverse of ((a,a)) is again ((a,a))
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है। / Since (R) is reflexive, \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) को उलटने पर वही ((a,a)) मिलता है। / Reversing ((a,a)) gives the same pair ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी अपने-अपने युग्म \(R^{-1}\) में भी होंगे। / Hence all self-pairs are also in \(R^{-1}\).
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\(समुच्चय (A={\varnothing,{1},{2},{1,2}}) पर (R={(X,Y):X\subset Y\) या X\cap Y=X}) है। (R) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
\(On (A={\varnothing,{1},{2},{1,2}}), (R={(X,Y):X\subset Y\) or \(X\cap Y=X}). What is the correct conclusion about (R)\)?
#reflexive relation
#set operation
#or condition
A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C केवल उचित उपसमुच्चय है / It is only proper subset
D रिक्त संबंध है / It is empty relation
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Correct Answer
A. प्रतिवर्ती है / It is reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(X\subset X\) असत्य है। / On the diagonal, \(X\subset X\) is false.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(X\cap X=X\) सत्य है। / But \(X\cap X=X\) is true.
Step 3
Exam Tip
या वाली शर्त में दूसरा भाग सत्य होने से हर ((X,X)) संबंध में आता है। / In the or condition, the second part includes every ((X,X)), so the relation is reflexive.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) है। (R) को \(A\times A\) का कौन-सा उपसमुच्चय कहा जा सकता है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\). What kind of subset of \(A\times A\) can (R) be called?
#identity relation
#reflexive relation
#subset of cartesian product
A पहचान सम्बन्ध और स्वतुल्य सम्बन्ध / Identity relation and reflexive relation
B रिक्त सम्बन्ध / Empty relation
C स्वतुल्य नहीं सम्बन्ध / Non-reflexive relation
D सभी संभव युग्मों वाला सम्बन्ध / Relation containing all possible pairs
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Correct Answer
A. पहचान सम्बन्ध और स्वतुल्य सम्बन्ध / Identity relation and reflexive relation
Step 1
Concept
(R) में हर सदस्य का अपने-आप वाला युग्म है। / (R) contains the self-pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें केवल वही अपने-आप वाले युग्म हैं, इसलिए यह पहचान सम्बन्ध है। / It contains only those self-pairs, so it is the identity relation.
Step 3
Exam Tip
पहचान सम्बन्ध हमेशा स्वतुल्य होता है। / The identity relation is always reflexive.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), तो कौन-सा उपसमुच्चय (A) का उचित उपसमुच्चय है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), which subset is a proper subset of (A)?
#sets
#proper subset
#finite sets
A ({1,2,3,4})
B ({1,2,3})
C ({1,2,3,5})
D ({0,1})
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Correct Answer
B. ({1,2,3})
Step 1
Concept
उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव मूल समुच्चय से होते हैं, पर वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। / A proper subset has all elements from the original set but is not equal to it.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) (A) के अंदर है और (A) से छोटा है। / ({1,2,3}) lies inside (A) and is smaller than (A).
Step 3
Exam Tip
पूरा समुच्चय उचित उपसमुच्चय नहीं माना जाता। / The set itself is not counted as a proper subset.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) परावर्ती है। यदि \(R\subseteq S\subseteq A\times A\), तो (S) के बारे में कौन सा निष्कर्ष निश्चित है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is reflexive. If \(R\subseteq S\subseteq A\times A\), what conclusion about (S) is certain?
#super relation
#reflexive guarantee
#subset condition
#hard
A (S) परावर्ती है / (S) is reflexive
B (S) परावर्ती नहीं है / (S) is not reflexive
C (S) पहचान संबंध है / (S) is the identity relation
D (S) रिक्त संबंध है / (S) is the empty relation
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Correct Answer
A. (S) परावर्ती है / (S) is reflexive
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए सभी अपने-अपने युग्म (R) में हैं। / Since (R) is reflexive, all self-pairs are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
\(R\subseteq S\) होने से वे सभी अपने-अपने युग्म (S) में भी होंगे। / Because \(R\subseteq S\), all those self-pairs are also in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (S) निश्चित रूप से परावर्ती है। / Therefore (S) is definitely reflexive.
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समुच्चय \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि (XRY) तभी जब \(X\subseteq Y\)। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
On \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\), relation (R) is defined by (XRY) if \(X\subseteq Y\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#subset relation
#sets
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल ({1,2}) पर / Only for ({1,2})
D केवल एकल समुच्चयों पर / Only for singleton sets
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए हर \(X\in A\) पर \(X\subseteq X\) चाहिए। / Reflexivity requires \(X\subseteq X\) for every \(X\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। / Every set is a subset of itself.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय संबंध हमेशा अपने आधार समुच्चय पर प्रतिवर्ती होता है। / The subset relation is reflexive on any collection of sets.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(P=\{(1,2),(2,1),(4,4)\}\) है, तो (A) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध (R) होंगे जिनमें \(P\subseteq R\)?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(P=\{(1,2),(2,1),(4,4)\}\), how many reflexive relations (R) on (A) satisfy \(P\subseteq R\)?
#reflexive relation
#counting
#subset condition
#hard
A \(2^{10}\)
B \(2^{11}\)
C \(2^{12}\)
D \(2^9\)
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Correct Answer
A. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में (16) युग्म हैं और परावर्ती संबंध में 4 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / \(A\times A\) has 16 pairs, and 4 self-pairs are compulsory in a reflexive relation.
Step 2
Why this answer is correct
(P) में ((4,4)) पहले से अपने-अपने युग्मों में गिना गया है, जबकि ((1,2)) और ((2,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। / In (P), ((4,4)) is already counted among self-pairs, while ((1,2)) and ((2,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल निश्चित युग्म (6) हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) होगी। / So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\).
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है और \(I_A\) (A) का पहचान संबंध है, तो कौन-सा कथन सही है?
If (R) is reflexive on (A) and \(I_A\) is the identity relation on (A), which statement is correct?
#relations
#functions
#identity-subset
#reflexive
A \(I_A\subseteq R\)
B \(R\subseteq I_A\) हमेशा / \(R\subseteq I_A\) always
C \(R=\varnothing\)
D \(I_A\cap R=\varnothing\)
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Correct Answer
A. \(I_A\subseteq R\)
Step 1
Concept
\(I_A\) में सभी ((a,a)) युग्म होते हैं। / \(I_A\) contains all pairs ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती (R) में भी ये सभी युग्म अवश्य होते हैं। / A reflexive relation (R) must also contain all these pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए पहचान संबंध (R) का उपसमुच्चय होता है। / Therefore, the identity relation is a subset of (R).
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यदि (R) (A) पर स्वतुल्य है, तो \(I_A\subseteq R\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If (R) is reflexive on (A), what can be said about \(I_A\subseteq R\)?
#identity relation
#subset
#reflexive relation
A यह हमेशा सत्य है / It is always true
B यह हमेशा असत्य है / It is always false
C यह केवल रिक्त (A) के लिए सत्य है / It is true only for empty (A)
D यह केवल सार्वत्रिक (R) के लिए सत्य है / It is true only for universal (R)
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Correct Answer
A. यह हमेशा सत्य है / It is always true
Step 1
Concept
\(I_A\) में (A) के सभी अपने-आप वाले युग्म होते हैं। / \(I_A\) contains all self-pairs of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(R) स्वतुल्य है, इसलिए ये सभी युग्म (R) में भी हैं। / Since (R) is reflexive, all these pairs are also in (R).
Step 3
Exam Tip
इसलिए पहचान सम्बन्ध स्वतुल्य सम्बन्ध का उपसमुच्चय होता है। / Thus the identity relation is a subset of any reflexive relation.
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है, तो पहचान संबंध \(I_A={(a,a):a\in A}\) और (R) के बीच कौन सा संबंध सही है?
If (R) is reflexive on (A), which relation between the identity relation \(I_A={(a,a):a\in A}\) and (R) is correct?
#identity relation
#subset
#reflexive relation
#class 12
A \(I_A\subseteq R\)
B \(R\subseteq I_A\) हमेशा / \(R\subseteq I_A\) always
C \(I_A\cap R=\varnothing\)
D \(I_A\) संबंध नहीं है / \(I_A\) is not a relation
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Correct Answer
A. \(I_A\subseteq R\)
Step 1
Concept
परावर्ती (R) में सभी अपने-अपने युग्म होते हैं। / A reflexive relation (R) contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
पहचान संबंध \(I_A\) इन्हीं अपने-अपने युग्मों का समूह है। / The identity relation \(I_A\) is exactly the set of all self-pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(I_A\subseteq R\) हमेशा सही है। / Therefore \(I_A\subseteq R\) is always true.
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है और \(R\subseteq T\subseteq A\times A\), तो (T) के बारे में क्या निष्कर्ष है?
If (R) is reflexive on (A) and \(R\subseteq T\subseteq A\times A\), what conclusion follows about (T)?
#superset relation
#reflexive property
#subset of cartesian product
A (T) परावर्ती है / (T) is reflexive
B (T) परावर्ती नहीं है / (T) is not reflexive
C (T) रिक्त है / (T) is empty
D (T) में कोई अपने-अपने युग्म नहीं है / (T) has no self-pairs
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Correct Answer
A. (T) परावर्ती है / (T) is reflexive
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए (R) में सभी अपने-अपने युग्म हैं। / Since (R) is reflexive, (R) contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\subseteq T\) होने से वे सभी युग्म (T) में भी होंगे। / Because \(R\subseteq T\), those self-pairs are also in (T).
Step 3
Exam Tip
परावर्ती संबंध का कोई अधिसम संबंध भी परावर्ती होगा, यदि वह \(A\times A\) के अंदर है। / A super-relation of a reflexive relation within \(A\times A\) is also reflexive.
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समुच्चयों के परिवार पर (A R B) तभी जब \(A\subset B\)। यह संबंध कैसा है?
On a family of sets, (A R B) if \(A\subset B\). What type of relation is this?
#proper subset relation
#transitive relation
#not reflexive
A संक्रमणीय है, पर स्वसम नहीं / Transitive but not reflexive
B स्वसम और सममित / Reflexive and symmetric
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D सार्वत्रिक संबंध / Universal relation
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Correct Answer
A. संक्रमणीय है, पर स्वसम नहीं / Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
कोई समुच्चय स्वयं का वास्तविक उपसमुच्चय नहीं होता, इसलिए स्वसमता नहीं है। / No set is a proper subset of itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(A\subset B\) और \(B\subset C\), तो \(A\subset C\), इसलिए संक्रमणीयता है। / If \(A\subset B\) and \(B\subset C\), then \(A\subset C\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक उपसमुच्चय और उपसमुच्चय में अंतर ध्यान से रखें। / Carefully distinguish proper subset from subset.
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यदि (R) और (S) दोनों (A) पर परावर्ती संबंध हैं, तो \(S\circ R\) के परावर्ती होने का मुख्य कारण क्या है?
If (R) and (S) are both reflexive relations on (A), what is the main reason that \(S\circ R\) is reflexive?
#composition
#reflexive relation
#proof idea
#class 12
A हर (a) के लिए मध्य तत्व (a) लिया जा सकता है / The middle element (a) can be taken for every (a)
B संयोजन हमेशा सार्वत्रिक होता है / Composition is always universal
C संयोजन में केवल गैर-अपने युग्म रहते हैं / Only non-self pairs remain in composition
D परावर्ती संबंधों का संयोजन रिक्त होता है / The composition of reflexive relations is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर (a) के लिए मध्य तत्व (a) लिया जा सकता है / The middle element (a) can be taken for every (a)
Step 1
Concept
(R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। / Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। / Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
मध्य तत्व (a) लेकर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संयोजन परावर्ती है। / Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive.
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चार तत्वों वाले समुच्चय पर कितने संबंध प्रतिवर्ती नहीं होंगे?
On a set with four elements, how many relations are not reflexive?
#reflexive relation
#non reflexive
#counting
A \(2^{16}\)
B \(2^{12}\)
C \(2^{16}-2^{12}\)
D \(4^2-4\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(2^{16}-2^{12}\)
Step 1
Concept
कुल संबंध \(2^{4^2}=2^{16}\) होते हैं। / The total number of relations is \(2^{4^2}=2^{16}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16-4}=2^{12}\) है। / The number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्ती नहीं होने वाले संबंध \(2^{16}-2^{12}\) होंगे। / Non-reflexive relations are \(2^{16}-2^{12}\).
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यदि (R) और (S) दोनों (A) पर परावर्ती हैं, तो \(S\circ R\) के परावर्ती होने में कौन सा मध्य तत्व काम करता है?
If (R) and (S) are both reflexive on (A), which middle element works to show \(S\circ R\) is reflexive?
#composition of relations
#reflexive property
#advanced
#hard
A वही तत्व (a) / The same element (a)
B कोई बाहरी तत्व / An outside element
C हमेशा पहला तत्व (1) / Always the first element (1)
D कोई मध्य तत्व नहीं चाहिए / No middle element is needed
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वही तत्व (a) / The same element (a)
Step 1
Concept
(R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। / Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। / Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में मध्य तत्व (a) लेने पर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive.
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3 तत्वों वाले समुच्चय पर कुल संबंधों में से कितने संबंध परावर्ती नहीं होंगे?
On a set with 3 elements, how many relations are not reflexive among all possible relations?
#relations
#functions
#reflexive relation
#non reflexive count
A 64
B 512
C 448
D 8
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
कुल संबंधों की संख्या \(2^{3^2}=2^9=512\) है। / Total relations are \(2^{3^2}=2^9=512\).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6=64\) है। / Reflexive relations are \(2^{9-3}=2^6=64\).
Step 3
Exam Tip
परावर्ती नहीं संबंध (512-64=448) होंगे। / Non-reflexive relations are (512-64=448).
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क्या दो अस्ववाची संबंधों का संघ कभी स्ववाची हो सकता है?
Can the union of two non-reflexive relations ever be reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#union
#counterexample
#hard
A हाँ, यदि दोनों मिलकर सभी विकर्ण युग्म दे दें / Yes, if together they contain all diagonal pairs
B नहीं, कभी नहीं / No, never
C हाँ, केवल रिक्त समुच्चय पर / Yes, only on the empty set
D नहीं, क्योंकि संघ में युग्म घटते हैं / No, because union removes pairs
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ, यदि दोनों मिलकर सभी विकर्ण युग्म दे दें / Yes, if together they contain all diagonal pairs
Step 1
Concept
प्रत्येक अलग संबंध में कुछ विकर्ण युग्म छूट सकते हैं। / Each separate relation may miss some diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में दोनों संबंधों के युग्म मिलते हैं, इसलिए छूटे हुए विकर्ण युग्म दूसरे संबंध से आ सकते हैं। / In the union, pairs from both relations are combined, so missing diagonal pairs may be supplied by the other relation.
Step 3
Exam Tip
संघ के प्रश्नों में संयुक्त विकर्ण सूची देखें। / For union questions, check the combined diagonal list.
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यदि (R) समुच्चय (A) पर स्ववाची है और \(B \subseteq A\), तो (R \cap \(B \times B\)) किस समुच्चय पर स्ववाची होगा?
If (R) is reflexive on (A) and \(B \subseteq A\), on which set is (R \cap \(B \times B\)) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#restriction
#hard
A (B) पर / On (B)
B केवल (A) पर / Only on (A)
C किसी भी समुच्चय पर नहीं / On no set
D केवल (A-B) पर / Only on (A-B)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (B) पर / On (B)
Step 1
Concept
(B) का हर अवयव (A) में भी है। / Every element of (B) is also in (A).
Step 2
Why this answer is correct
(R) स्ववाची होने से हर \(b \in B\) के लिए \((b,b) \in R\) है और \((b,b) \in B \times B\) भी है। / Since (R) is reflexive, \((b,b) \in R\) for every \(b \in B\), and also \((b,b) \in B \times B\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिबंधित संबंध (B) पर स्ववाची रहेगा। / Thus the restricted relation is reflexive on (B).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,3),(3,1)\}\) क्यों परावर्ती नहीं है?
Why is \(R=\{(1,1),(2,2),(1,3),(3,1)\}\) not reflexive on \(A=\{1,2,3\}\)?
#relations
#functions
#reflexive
#non-reflexive
A ((1,1)) नहीं है / ((1,1)) is missing
B ((2,2)) नहीं है / ((2,2)) is missing
C ((3,3)) नहीं है / ((3,3)) is missing
D ((1,3)) है / ((1,3)) is present
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. ((3,3)) नहीं है / ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
(3) भी समुच्चय का तत्व है। / Element (3) is also in the set.
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती होने के लिए ((3,3)) आवश्यक है। / Reflexivity requires ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
गैर-विकर्ण युग्मों से पहले विकर्ण युग्मों की जांच करें। / Check diagonal pairs before looking at non-diagonal pairs.
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है, तो (R) में पहचान संबंध के कितने युग्म अवश्य होंगे जब (|A|=6)?
If (R) is reflexive on (A), how many pairs of the identity relation must be contained in (R) when (|A|=6)?
#relations
#functions
#identity-subset
#counting
A (3)
B (6)
C (12)
D (36)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर तत्व के लिए एक अपने-आप वाला युग्म होता है। / The identity relation has one self-pair for each element.
Step 2
Why this answer is correct
(|A|=6) है, इसलिए (6) ऐसे युग्म होंगे। / Since (|A|=6), there are (6) such pairs.
Step 3
Exam Tip
परावर्ती संबंध में पहचान संबंध पूरा शामिल होता है। / A reflexive relation contains the whole identity relation.
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समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) के सभी उपसमुच्चयों के परिवार पर (R) इस प्रकार है कि (XRY) जब \(X\subseteq Y\)। (R) परावर्ती है या नहीं?
On the family of all subsets of \(S=\{1,2,3\}\), (R) is defined by (XRY) when \(X\subseteq Y\). Is (R) reflexive?
#subset relation
#power set
#reflexive relation
#medium
A हाँ, क्योंकि हर (X) के लिए \(X\subseteq X\) / Yes, because \(X\subseteq X\) for every (X)
B नहीं, क्योंकि कोई समुच्चय अपने में नहीं होता / No, because no set is contained in itself
C नहीं, क्योंकि \(\varnothing\subseteq X\) / No, because \(\varnothing\subseteq X\)
D केवल (S) के लिए / Only for (S)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि हर (X) के लिए \(X\subseteq X\) / Yes, because \(X\subseteq X\) for every (X)
Step 1
Concept
यहां तत्व साधारण संख्याएं नहीं, बल्कि उपसमुच्चय हैं। / Here the elements are subsets, not ordinary numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर उपसमुच्चय (X) अपने-आप का उपसमुच्चय होता है, इसलिए (XRX) सत्य है। / Every subset (X) is a subset of itself, so (XRX) is true.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय संबंध में आधार परिवार को ध्यान से पढ़ें। / In subset relations, read the base family carefully.
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यदि \(A\subset B\) है, तो \(A\times D\) और \(B\times D\) के लिए कौन सा कथन सही है?
If \(A\subset B\), which statement is correct for \(A\times D\) and \(B\times D\)?
#cartesian product
#subset property
#reasoning
#level24
A \(A\times D\subset B\times D\)
B \(B\times D\subset A\times D\)
C \(A\times D=D\times A\) हमेशा / \(A\times D=D\times A\) always
D \(B\times D=\varnothing\) हमेशा / \(B\times D=\varnothing\) always
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(A\times D\subset B\times D\)
Explanation
Simple Explanation
(A) का हर तत्व (B) में है, इसलिए \(A\times D\) का हर युग्म \(B\times D\) में होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्न में संबंधित घटक देखें। / Every element of (A) is in (B), so every pair of \(A\times D\) will be in \(B\times D\). In subset questions, check the related component.
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यदि \(A\subset B\) है, तो \(C\times A\) और \(C\times B\) के लिए सही कथन कौन सा है?
If \(A\subset B\), which statement is correct for \(C\times A\) and \(C\times B\)?
#cartesian product
#subset property
#reasoning
#level23
A \(C\times A\subset C\times B\)
B \(C\times B\subset C\times A\)
C \(C\times A=A\times C\) हमेशा / \(C\times A=A\times C\) always
D \(C\times B=\varnothing\) हमेशा / \(C\times B=\varnothing\) always
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(C\times A\subset C\times B\)
Explanation
Simple Explanation
दूसरे घटक में (A) के तत्व (B) में भी हैं, इसलिए \(C\times A\subset C\times B\)। उपसमुच्चय के साथ संबंधित घटक की स्थिति देखें। / Elements of (A) in the second component are also in (B), so \(C\times A\subset C\times B\). With subsets, check the position of the related component.
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यदि \(A\subset B\) है, तो किसी समुच्चय (C) के लिए कौन सा कथन सही है?
If \(A\subset B\), which statement is correct for any set (C)?
#cartesian product
#subset property
#reasoning
#level22
A \(A\times C\subset B\times C\)
B \(B\times C\subset A\times C\)
C \(A\times C=B\)
D \(C\times A=A\times C\) हमेशा / \(C\times A=A\times C\) always
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(A\times C\subset B\times C\)
Explanation
Simple Explanation
यदि (A) का हर तत्व (B) में है, तो \(A\times C\) का हर युग्म \(B\times C\) में भी होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्न में पहले घटक पर ध्यान दें। / If every element of (A) is in (B), then every pair of \(A\times C\) is also in \(B\times C\). In subset questions, focus on the first component.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो (\mathcal{P}(A)) में कितने subsets ( {1,2}) को subset के रूप में रखते हैं?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many subsets in (\mathcal{P}(A)) contain ({1,2}) as a subset?
#sets
#subset-counting
#power-set
A (2)
B (4)
C (8)
D (16)
Explanation opens after your attempt
Explanation
Simple Explanation
जिस subset में ({1,2}) शामिल हो, उसमें (3) और (4) वैकल्पिक हैं, इसलिए \(2^2=4\)। परीक्षा में required subset को fixed block मानें। / A subset containing ({1,2}) has (3) and (4) as optional elements, so \(2^2=4\). In exams, treat the required subset as fixed.
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यदि (A) और (B) सीमित समुच्चय हैं, \(A\subset B\), (n(A)=6), तो (n(B)) के लिए कौन सा मान असंभव है?
If (A) and (B) are finite sets, \(A\subset B\), (n(A)=6), which value of (n(B)) is impossible?
#proper-subset
#finite-sets
#cardinality
A (6)
B (7)
C (8)
D (10)
Explanation opens after your attempt
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय में बड़े समुच्चय की सदस्य संख्या अधिक होनी चाहिए। इसलिए (n(B)=6) असंभव है। / For a proper subset, the larger set must have more elements. So (n(B)=6) is impossible.
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यदि \(A=\{p,q\}\), \(B=\{p,q,r,s\}\), तो कितने (X) ऐसे हैं कि \(A\subset X\subseteq B\)?
If \(A=\{p,q\}\), \(B=\{p,q,r,s\}\), how many (X) satisfy \(A\subset X\subseteq B\)?
#proper-subset
#counting
#between-sets
A (2)
B (3)
C (4)
D (5)
Explanation opens after your attempt
Explanation
Simple Explanation
(r,s) वैकल्पिक हैं लेकिन (X=A) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(2^2-1=3\) उत्तर है। / Elements (r,s) are optional, but \(X\ne A\). Therefore the answer is \(2^2-1=3\).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) है तो इनमें से कौन सा (A) का उपसमुच्चय नहीं है?
If \(A=\{1,2,3\}\) then which of these is not a subset of (A)?
#sets
#subset
#non subset
A ({1,3})
B \(\emptyset\)
C ({2,4})
D ({1,2,3})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. ({2,4})
Explanation
Simple Explanation
({2,4}) में (4) है जो (A) का तत्व नहीं है इसलिए यह उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा में हर तत्व की सदस्यता जांचें। / The set ({2,4}) contains (4) which is not an element of (A) so it is not a subset. In exams check membership of every element.
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कथन पर विचार करें: यदि \(A\subset B\), तो \(A\ne B\)। यह कथन कैसा है?
Consider the statement: If \(A\subset B\), then \(A\ne B\). What is the nature of this statement?
#proper subset
#notation
#true false
A सत्य / True
B असत्य / False
C केवल अनंत समुच्चयों के लिए सत्य / True only for infinite sets
D केवल रिक्त समुच्चय के लिए असत्य / False only for empty set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सत्य / True
Explanation
Simple Explanation
\(A\subset B\) उचित उपसमुच्चय को दर्शाता है, इसलिए बराबरी संभव नहीं। प्रतीक \(\subset\) और \(\subseteq\) में अंतर रखें। / \(A\subset B\) denotes a proper subset, so equality is not possible. Distinguish \(\subset\) from \(\subseteq\).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\), तो निम्न में से कौन सा (A) का उपसमुच्चय नहीं है?
If \(A=\{1,2,3\}\), which of the following is not a subset of (A)?
#subset
#not subset
#class 11
A \(\varnothing\)
B ({1,3})
C ({2,4})
D ({1,2,3})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. ({2,4})
Explanation
Simple Explanation
4, (A) का अवयव नहीं है, इसलिए ({2,4}) उपसमुच्चय नहीं है। किसी भी विकल्प में बाहरी अवयव खोजें। / 4 is not an element of (A), so ({2,4}) is not a subset. Look for any outside element in the option.
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यदि \(A=\{2,4,6\}\) है तो कौन सा विकल्प (A) का उपसमुच्चय है पर उचित उपसमुच्चय नहीं है?
If \(A=\{2,4,6\}\), which option is a subset of (A) but not a proper subset?
#sets
#proper_subset
#self_subset
A ({2,4})
B ({2,4,6})
C \(\varnothing\)
D ({6})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. ({2,4,6})
Explanation
Simple Explanation
समुच्चय अपने आप का उपसमुच्चय है पर अपने आप का उचित उपसमुच्चय नहीं है। उचित संबंध में बराबरी हटती है। / A set is a subset of itself but not a proper subset of itself. Proper relation excludes equality.
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यदि \(A\subset B\) और (n(B)=7) है तो (n(A)) के लिए कौन सा विकल्प असंभव है?
If \(A\subset B\) and (n(B)=7), then which option is impossible for (n(A))?
#sets
#proper-subset
#cardinality
A (0)
B (4)
C (6)
D (7)
Explanation opens after your attempt
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय में (A) और (B) बराबर नहीं हो सकते, इसलिए (n(A)) (7) नहीं होगा। उचित उपसमुच्चय में कम अवयव होने चाहिए। / In a proper subset, (A) and (B) cannot be equal, so (n(A)) cannot be (7). A proper subset must have fewer elements here.
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कौन-सा समुच्चय (R) का उपसमुच्चय है पर (Z) का उपसमुच्चय नहीं है?
Which set is a subset of (R) but not a subset of (Z)?
#sets
#real_numbers
#integers
#subsets
A \(\left{\frac{1}{2}\right}\)
B ({1,2})
C ({-1,0})
D ({3})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\left{\frac{1}{2}\right}\)
Step 1
Concept
\(\frac{1}{2}\) वास्तविक संख्या है, इसलिए (R) में आती है। / \(\frac{1}{2}\) is a real number, so it belongs to (R).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{2}\) पूर्णांक नहीं है, इसलिए (Z) में नहीं आती। / \(\frac{1}{2}\) is not an integer, so it does not belong to (Z).
Step 3
Exam Tip
संख्या-समुच्चय पहचानते समय हर अवयव की प्रकृति देखें। / When identifying number-set subsets, check the type of each element.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (R={(a,b):a-b\) 7 से विभाज्य है}) है। (R) का प्रतिवर्ती होना किस तथ्य पर आधारित है?
\(On (A={1,2,3,4,5,6}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 7}). What fact proves that (R) is reflexive?
#reflexive relation
#difference
#divisibility
A हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (7) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (7)
B हर (a) (7) से विभाज्य है / Every (a) is divisible by (7)
C (7) समुच्चय में है / (7) belongs to the set
D हर युग्म में (a>b) है / In every pair, (a>b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (7) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (7)
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच के लिए ((a,a)) लें। / To test reflexivity, take ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (a-a=0) होता है, और (0) किसी भी अशून्य संख्या से विभाज्य है। / Then (a-a=0), and (0) is divisible by any non-zero number.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all diagonal pairs belong to the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b^2<2ab\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b^2<2ab\}\), is (R) reflexive?
#reflexive relation
#strict inequality
#quadratic
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) पर / Only for (1)
D सभी युग्म हैं / All pairs are present
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
विकर्ण पर (a=b) रखने से \(a^2+a^2<2a^2\) मिलेगा। / On the diagonal, put (a=b), giving \(a^2+a^2<2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यह \(2a^2<2a^2\) है, जो असत्य है। / This becomes \(2a^2<2a^2\), which is false.
Step 3
Exam Tip
कोई विकर्ण युग्म शर्त पूरी नहीं करता, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। / No diagonal pair satisfies the condition, so the relation is not reflexive.
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यदि \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
If \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#equality
#quadratic expression
A क्योंकि विकर्ण पर दोनों पक्ष समान हो जाते हैं / Because both sides become equal on the diagonal
B क्योंकि सभी युग्म अलग हैं / Because all pairs are different
C क्योंकि \(a^2-a\) हमेशा (0) है / Because \(a^2-a\) is always (0)
D क्योंकि (A) में (5) तत्व हैं / Because (A) has (5) elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि विकर्ण पर दोनों पक्ष समान हो जाते हैं / Because both sides become equal on the diagonal
Step 1
Concept
((a,a)) रखने पर बायां पक्ष \(a^2-a\) और दायां पक्ष भी \(a^2-a\) है। / For ((a,a)), the left side is \(a^2-a\) and the right side is also \(a^2-a\).
Step 2
Why this answer is correct
समान मात्रा हमेशा अपने बराबर होती है। / A quantity is always equal to itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all diagonal pairs belong to the relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#product equation
A 1
B 2
C 4
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on this set needs five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण शर्त केवल (a=2) पर पूरी होती है। / The diagonal condition holds only for (a=2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए बाकी चार विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore the remaining four diagonal pairs must be added.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,6,12}) पर (R={(a,b):a\mid b\) या b\mid a}) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का कारण क्या है?
\(On (A={1,2,3,4,6,12}), (R={(a,b):a\mid b\) or \(b\mid a}). What is the reason for (R) being reflexive\)?
#reflexive relation
#divisibility
#or condition
A हर (a) स्वयं को विभाजित करता है / Every (a) divides itself
B हर (a) (12) को विभाजित करता है / Every (a) divides (12)
C हर (b) (1) है / Every (b) is (1)
D सभी युग्म \(A\times A\) में नहीं हैं / Not all pairs are in \(A\times A\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर (a) स्वयं को विभाजित करता है / Every (a) divides itself
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच में ((a,a)) लें। / For reflexivity, take ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) के लिए \(a\mid a\) सत्य है, इसलिए या वाली शर्त पूरी हो जाती है। / For every (a), \(a\mid a\) is true, so the or condition is satisfied.
Step 3
Exam Tip
स्वयं से विभाजन प्रतिवर्तिता का सीधा प्रमाण देता है। / Self-divisibility directly proves reflexivity.
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\(यदि (A={1,2,4,8,16}) और (R={(a,b):\frac{b}{a}\) 2 की पूर्णांक घात है}) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
\(If (A={1,2,4,8,16}) and (R={(a,b):\frac{b}{a}\) is an integral power of 2}), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#ratio
#powers
A क्योंकि \(\frac{a}{a}=1=2^0\) / Because \(\frac{a}{a}=1=2^0\)
B क्योंकि हर अनुपात (2) है / Because every ratio is (2)
C क्योंकि सभी युग्म समान हैं / Because all pairs are equal
D क्योंकि \(16=2^4\) / Because \(16=2^4\)
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Correct Answer
A. क्योंकि \(\frac{a}{a}=1=2^0\) / Because \(\frac{a}{a}=1=2^0\)
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखें। / On the diagonal, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(\frac{b}{a}=\frac{a}{a}=1=2^0\), जो (2) की पूर्णांक घात है। / Then \(\frac{b}{a}=\frac{a}{a}=1=2^0\), which is an integral power of (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Hence every ((a,a)) belongs to the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और (R) में ((a,b)) तभी है जब (a) और (b) का कोई समान अभाज्य गुणनखंड हो, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \((a,b)\in R\) only when (a) and (b) have a common prime factor, is (R) reflexive?
#reflexive relation
#prime factor
#number theory
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) पर हाँ / Yes only for (1)
D केवल सम तत्वों पर / Only for even elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी होना चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1)) too.
Step 2
Why this answer is correct
(1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता, इसलिए ((1,1)) संबंध में नहीं होगा। / The number (1) has no prime factor, so ((1,1)) will not belong to the relation.
Step 3
Exam Tip
एक भी विकर्ण युग्म गायब हो तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता। / Missing even one diagonal pair makes a relation non-reflexive.
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यदि \(S=\{1,2,3,4\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है, तो (A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है?
If \(S=\{1,2,3,4\}\) and (A=\mathcal{P}(S)), how many reflexive relations are possible on (A)?
#reflexive relation
#power set
#counting
A \(2^{240}\)
B \(2^{256}\)
C \(2^{16}\)
D \(2^{120}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{240}\)
Step 1
Concept
(A=\mathcal{P}(S)) में \(2^4=16\) तत्व हैं। / (A=\mathcal{P}(S)) has \(2^4=16\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
(A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16^2-16}\) होगी। / The number of reflexive relations on (A) is \(2^{16^2-16}\).
Step 3
Exam Tip
\(16^2-16=256-16=240\), इसलिए उत्तर \(2^{240}\) है। / Since \(16^2-16=240\), the answer is \(2^{240}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर एक संबंध में ठीक (18) युग्म हैं और वह प्रतिवर्ती है। अनिवार्य विकर्ण युग्मों के अलावा कितने युग्म हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), a relation has exactly (18) pairs and is reflexive. How many pairs are present besides the compulsory diagonal pairs?
#reflexive relation
#ordered pairs
#counting
A 5
B 10
C 13
D 18
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Step 1
Concept
पांच तत्वों पर (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / On a five-element set, (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (18) युग्म दिए हैं। / The relation has (18) total pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण या अतिरिक्त युग्म (18-5=13) होंगे। / The additional non-diagonal pairs are (18-5=13).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (11) युग्म हों?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations contain exactly (11) ordered pairs?
#reflexive relation
#combinations
#ordered pairs
A \(\binom{12}{7}\)
B \(\binom{16}{11}\)
C \(\binom{11}{4}\)
D \(2^{11}\)
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Correct Answer
A. \(\binom{12}{7}\)
Step 1
Concept
चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Four diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (11) युग्म चाहिए, इसलिए (7) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have (11) total pairs, choose (7) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
(12) अविकर्ण युग्मों में से (7) चुनने के तरीके \(\binom{12}{7}\) हैं। / The number of ways is \(\binom{12}{7}\).
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पांच तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जो पहचान संबंध भी नहीं हैं और सार्वत्रिक संबंध भी नहीं हैं?
On a five-element set, how many reflexive relations are neither the identity relation nor the universal relation?
#reflexive relation
#identity
#universal
#counting
A \(2^{20}-2\)
B \(2^{25}-2\)
C \(2^{20}-1\)
D \(2^{15}\)
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Correct Answer
A. \(2^{20}-2\)
Step 1
Concept
पांच तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{25-5}=2^{20}\) है। / On a five-element set, the number of reflexive relations is \(2^{25-5}=2^{20}\).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें पहचान संबंध और सार्वत्रिक संबंध दोनों शामिल हैं। / This includes the identity relation and the universal relation.
Step 3
Exam Tip
दोनों को हटाने पर \(2^{20}-2\) संबंध बचते हैं। / Removing both gives \(2^{20}-2\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (2) अविकर्ण युग्म हों और ((1,2)) उनमें से एक हो?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations have exactly (2) non-diagonal pairs and ((1,2)) is one of them?
#reflexive relation
#counting
#exact non diagonal
A 11
B 12
C 22
D 66
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Step 1
Concept
चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The four diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
ठीक (2) अविकर्ण युग्म चाहिए और ((1,2)) पहले से तय है। / Exactly (2) non-diagonal pairs are needed and ((1,2)) is already fixed.
Step 3
Exam Tip
दूसरा अविकर्ण युग्म बाकी (11) में से चुना जाएगा, इसलिए (11) संबंध बनेंगे। / The second non-diagonal pair can be chosen from the remaining (11), so there are (11) relations.
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चार तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ((1,2)) और ((2,1)) दोनों न हों?
On a four-element set, how many reflexive relations do not contain both ((1,2)) and ((2,1))?
#reflexive relation
#counting
#restricted non diagonal pairs
A \(3\cdot2^{10}\)
B \(2^{10}\)
C \(2^{12}\)
D \(2^{12}-1\)
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Correct Answer
A. \(3\cdot2^{10}\)
Step 1
Concept
चार तत्वों पर (12) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हो सकते हैं। / On a four-element set, (12) non-diagonal pairs are optional.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) के लिए दोनों साथ-साथ शामिल नहीं होने चाहिए, इसलिए इनके (3) मान्य चुनाव हैं। / For ((1,2)) and ((2,1)), they must not both be included, so there are (3) valid choices.
Step 3
Exam Tip
बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, अतः संख्या \(3\cdot2^{10}\) है। / The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving \(3\cdot2^{10}\).
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या है जिनमें कोई विशेष अविकर्ण युग्म ((p,q)), जहां \(p\neq q\), अवश्य शामिल हो?
If (A) has (n) elements, how many reflexive relations must contain one fixed non-diagonal pair ((p,q)), where \(p\neq q\)?
#reflexive relation
#general counting
#restricted pair
A \(2^{n^2-n-1}\)
B \(2^{n^2-n}\)
C \(2^{n^2-1}\)
D \(n^2-n-1\)
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Correct Answer
A. \(2^{n^2-n-1}\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain the (n) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अविकर्ण युग्मों की संख्या \(n^2-n\) है, जिनमें से एक विशेष युग्म भी अनिवार्य कर दिया गया। / There are \(n^2-n\) non-diagonal pairs, and one fixed non-diagonal pair is also compulsory.
Step 3
Exam Tip
बाकी \(n^2-n-1\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n-1}\) है। / The remaining \(n^2-n-1\) pairs are optional, giving \(2^{n^2-n-1}\).
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छह तत्वों वाले समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंधों की कुल संख्या कितनी है?
How many reflexive relations are possible on a set with six elements?
#reflexive relation
#counting formula
#class 12
A \(2^{30}\)
B \(2^{36}\)
C \(2^6\)
D \(6^2\)
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Correct Answer
A. \(2^{30}\)
Step 1
Concept
(6) तत्वों पर \(A\times A\) में (36) युग्म हैं। / For (6) elements, \(A\times A\) has (36) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(6) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (36-6=30) युग्म स्वतंत्र हैं। / The (6) diagonal pairs are compulsory, leaving (36-6=30) optional pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^{30}\) होंगे। / Hence the number of reflexive relations is \(2^{30}\).
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यदि (A) में (5) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (12) युग्म हों?
If (A) has (5) elements, how many reflexive relations have exactly (12) ordered pairs?
#reflexive relation
#counting
#combinations
A \(\binom{20}{7}\)
B \(\binom{25}{12}\)
C \(2^{20}\)
D \(\binom{12}{5}\)
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Correct Answer
A. \(\binom{20}{7}\)
Step 1
Concept
पांच तत्वों पर (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / On a five-element set, (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (12) युग्म चाहिए, इसलिए (7) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (12) pairs, choose (7) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, अतः संख्या \(\binom{20}{7}\) है। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the number is \(\binom{20}{7}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=A\times A-{(1,1),(2,3),(4,4)}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=A\times A-{(1,1),(2,3),(4,4)}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#cartesian product
#missing diagonal
A 1
B 2
C 3
D 4
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए चारों विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation needs all four diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हटाए गए युग्मों में ((1,1)) और ((4,4)) विकर्ण हैं, पर ((2,3)) विकर्ण नहीं है। / Among the removed pairs, ((1,1)) and ((4,4)) are diagonal, while ((2,3)) is not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल दो विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore only two diagonal pairs must be added.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#absolute value
#minimum addition
A 0
B 1
C 2
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (|a-a|=0) होगा। / On the diagonal, (|a-a|=0).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(0\leq a-1\) है, जो (a=0) पर असत्य और (a=1,2,3,4) पर सत्य है। / The condition is \(0\leq a-1\), which fails for (a=0) and holds for (a=1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
केवल ((0,0)) जोड़ना होगा। / Only ((0,0)) must be added.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):(a-b)^2>0\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):(a-b)^2>0\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#strict inequality
#minimum addition
A 0
B 2
C 4
D 6
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (a-b=0) है। / On the diagonal, (a-b=0).
Step 2
Why this answer is correct
तब ((a-b)2 =0), जो (0) से बड़ा नहीं है। / Then ((a-b)2 =0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
कोई विकर्ण युग्म मौजूद नहीं है, इसलिए चारों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / No diagonal pair is present, so all four diagonal pairs must be added.
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#inequality
A 0
B 1
C 2
D 3
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
कुल (5) विकर्ण युग्म चाहिए। / A total of (5) diagonal pairs are required.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण शर्त (a(a-2)\geq0) है, जो (-2,-1,0,2) पर सत्य और (1) पर असत्य है। / The diagonal condition (a(a-2)\geq0) is true for (-2,-1,0,2) and false for (1).
Step 3
Exam Tip
केवल ((1,1)) जोड़ना होगा। / Only ((1,1)) must be added.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\) है, तो (R) का प्रतिवर्ती होना किस कारण से सही है?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#self divisibility
A हर (a) पर \(a+1\mid a+1\) / For every (a), \(a+1\mid a+1\)
B हर (a) पर (a+1=1) / For every (a), (a+1=1)
C हर (b) शून्य है / Every (b) is zero
D सभी युग्म अविकर्ण हैं / All pairs are non-diagonal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर (a) पर \(a+1\mid a+1\) / For every (a), \(a+1\mid a+1\)
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखें। / Put (b=a) on the diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a+1\mid a+1\) मिलता है, और कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है। / Then \(a+1\mid a+1\), and any non-zero number divides itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Therefore every ((a,a)) belongs to the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a\mid b^2\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):a\mid b^2\}\), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#squares
A क्योंकि \(a\mid a^2\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a\mid a^2\) for every (a)
B क्योंकि \(b^2\) हमेशा (1) है / Because \(b^2\) is always (1)
C क्योंकि हर (a) अभाज्य है / Because every (a) is prime
D क्योंकि (A) में केवल सम संख्याएं हैं / Because (A) contains only even numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(a\mid a^2\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a\mid a^2\) for every (a)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a\mid a^2\) बनेगी, जो हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a\mid a^2\), which is true for every positive integer (a).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में स्वयं के वर्ग को देखना तेज तरीका है। / In divisibility relations, checking the square of the same number is a quick method.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#quadratic
A 1
B 2
C 3
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए (5) विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on this set needs (5) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त में केवल (a=0) और (a=2) पर विकर्ण युग्म मिलते हैं। / The condition gives diagonal pairs only for (a=0) and (a=2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (5-2=3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Hence (5-2=3) diagonal pairs must be added.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a^3-b\) सम है}) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का सही कारण क्या है?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a^3-b\) is even}). What is the correct reason that (R) is reflexive?
#reflexive relation
#parity
#cubic expression
A क्योंकि \(a^3-a\) हमेशा सम है / Because \(a^3-a\) is always even
B क्योंकि हर \(a^3\) सम है / Because every \(a^3\) is even
C क्योंकि (b) हमेशा (1) है / Because (b) is always (1)
D क्योंकि संबंध रिक्त है / Because the relation is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(a^3-a\) हमेशा सम है / Because \(a^3-a\) is always even
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^3-a\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a^3-a\).
Step 2
Why this answer is correct
(a-3 -a=a(a-1)(a+1)) है, जिसमें लगातार तीन संख्याओं का गुणन है, इसलिए यह सम होगा। / (a-3 -a=a(a-1)(a+1)), a product of three consecutive integers, so it is even.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण पर अभिव्यक्ति को गुणनखंडों में बदलना उपयोगी तरीका है। / Factoring the diagonal expression is a useful exam method.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (R={(a,b):a-b\) 6 से विभाज्य है}) है। (R) का प्रतिवर्ती होना किस बात पर आधारित है?
\(On (A={1,2,3,4,5,6}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 6}). What is the basis for (R) being reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#difference
A हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (6) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (6)
B क्योंकि हर (a) (6) से विभाज्य है / Because every (a) is divisible by (6)
C क्योंकि (A) में (6) है / Because (A) contains (6)
D क्योंकि सभी युग्म अलग-अलग हैं / Because all pairs are different
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (6) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (6)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) देखें। / For reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (a-a=0) होता है, और (0) (6) से विभाज्य है। / Then (a-a=0), and (0) is divisible by (6).
Step 3
Exam Tip
अंतर की विभाज्यता वाले संबंधों में विकर्ण पर अंतर हमेशा शून्य होता है। / In difference-divisibility relations, the diagonal difference is always zero.
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यदि \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b^2=a+b\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b^2=a+b\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#quadratic
A 2
B 3
C 4
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on this five-element set needs five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त में केवल (a=0) और (a=1) वाले विकर्ण युग्म मिलते हैं। / The condition gives diagonal pairs only for (a=0) and (a=1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (5-2=3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Hence (5-2=3) diagonal pairs must be added.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\leq ab\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b\leq ab\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#inequality
A 0
B 1
C 2
D 4
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Step 1
Concept
पिछले विचार से विकर्ण पर \(2a\leq a^2\) चाहिए। / On the diagonal, the condition is \(2a\leq a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यह (a=1) पर असत्य है और (a=2,3,4,5) पर सत्य है। / This fails for (a=1) and holds for (a=2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल ((1,1)) जोड़ना होगा। / Therefore only ((1,1)) must be added.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R={(a,b):a\) और (b) का समान गुणनखंड (1) से बड़ा है(}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R={(a,b):a\) and (b) have a common factor greater than (1)(}). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#common factor
#number theory
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (2,3,4,5) पर हाँ / Yes only for (2,3,4,5)
D केवल (1) पर हाँ / Yes only for (1)
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Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी संबंध में होना चाहिए। / Reflexivity also requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
(1) का (1) से बड़ा कोई गुणनखंड नहीं है। / The number (1) has no factor greater than (1).
Step 3
Exam Tip
एक विकर्ण युग्म गायब होने से संबंध प्रतिवर्ती नहीं रहता। / Missing even one diagonal pair makes the relation non-reflexive.
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समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) पर \(R=\{(X,Y):X\cup Y=X\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
For \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)), \(R=\{(X,Y):X\cup Y=X\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#power set
#union
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (S) पर / Only for (S)
D केवल रिक्त समुच्चय पर / Only for empty set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच में (Y=X) रखें। / For reflexivity, put (Y=X).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(X\cup X=X\), जो हर समुच्चय के लिए सत्य है। / Then \(X\cup X=X\), which is true for every set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है। / Hence every ((X,X)) belongs to the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें कोई भी अविकर्ण युग्म न हो?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many reflexive relations have no non-diagonal pair?
#reflexive relation
#identity relation
#counting
A 1
B 5
C 10
D \(2^5\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में पांचों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain all five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कोई अविकर्ण युग्म न होने पर संबंध केवल पहचान संबंध होगा। / If no non-diagonal pair is allowed, the relation is exactly the identity relation.
Step 3
Exam Tip
ऐसा संबंध केवल (1) है। / Therefore only (1) such relation exists.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) प्रतिवर्ती है और (R) में ठीक (9) युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is reflexive and has exactly (9) pairs. How many such relations are possible?
#reflexive relation
#combinations
#exact pairs
A \(\binom{12}{5}\)
B \(\binom{16}{9}\)
C \(\binom{9}{4}\)
D \(2^9\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{12}{5}\)
Step 1
Concept
चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The four diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (9) युग्म के लिए (5) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have (9) total pairs, choose (5) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
(12) अविकर्ण युग्मों में से (5) चुनने के तरीके \(\binom{12}{5}\) हैं। / Choosing (5) from (12) non-diagonal pairs gives \(\binom{12}{5}\).
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तीन तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें कम-से-कम एक अविकर्ण युग्म हो?
On a three-element set, how many reflexive relations contain at least one non-diagonal pair?
#reflexive relation
#non diagonal
#counting
A (63)
B (64)
C (6)
D \(2^9\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तीन तत्वों पर कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^6=64\) हैं। / On a three-element set, there are \(2^6=64\) reflexive relations.
Step 2
Why this answer is correct
जिनमें कोई अविकर्ण युग्म नहीं है, वह केवल पहचान संबंध है। / The only one with no non-diagonal pair is the identity relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कम-से-कम एक अविकर्ण युग्म वाले संबंध (64-1=63) होंगे। / Hence the number with at least one non-diagonal pair is (64-1=63).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ((1,2)) अवश्य हो और ((2,1)) अवश्य न हो?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations must contain ((1,2)) and must not contain ((2,1))?
#reflexive relation
#counting
#restricted pairs
A \(2^{10}\)
B \(2^{11}\)
C \(2^{12}\)
D \(2^8\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
(4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The (4) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
(12) अविकर्ण युग्मों में से ((1,2)) अनिवार्य है और ((2,1)) वर्जित है। / Among the (12) non-diagonal pairs, ((1,2)) is compulsory and ((2,1)) is forbidden.
Step 3
Exam Tip
बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है। / The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving \(2^{10}\) relations.
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चार तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हैं और पहचान संबंध से अलग हैं?
On a four-element set, how many relations are reflexive and different from the identity relation?
#reflexive relation
#identity relation
#counting
A \(2^{12}-1\)
B \(2^{16}-1\)
C \(2^{12}\)
D (12)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{12}-1\)
Step 1
Concept
चार तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16-4}=2^{12}\) है। / On a four-element set, the number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
पहचान संबंध भी प्रतिवर्ती है। / The identity relation is one of them.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को हटाने पर \(2^{12}-1\) संबंध मिलते हैं। / Removing it leaves \(2^{12}-1\) relations.
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तीन तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हैं और सार्वत्रिक संबंध नहीं हैं?
On a three-element set, how many relations are reflexive but not the universal relation?
#reflexive relation
#universal relation
#counting
A (63)
B (64)
C (511)
D (512)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तीन तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6=64\) है। / On a three-element set, the number of reflexive relations is \(2^{9-3}=2^6=64\).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें सार्वत्रिक संबंध भी शामिल है। / This count includes the universal relation.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध हटाने पर (64-1=63) संबंध बचते हैं। / Excluding the universal relation gives (64-1=63).
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या होगी जिनमें ठीक (n+2) युग्म हों?
If (A) has (n) elements, how many reflexive relations have exactly (n+2) ordered pairs?
#reflexive relation
#general formula
#counting
A \(\binom{n^2-n}{2}\)
B \(2^{n^2-n}\)
C \(\binom{n^2}{n+2}\)
D \(n^2-n\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{n^2-n}{2}\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain (n) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
ठीक (n+2) युग्म चाहिए, इसलिए (2) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (n+2) pairs, choose (2) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म \(n^2-n\) हैं, अतः संख्या \(\binom{n^2-n}{2}\) है। / Since there are \(n^2-n\) non-diagonal pairs, the number is \(\binom{n^2-n}{2}\).
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पांच तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें न्यूनतम संख्या से ठीक (6) अधिक युग्म हों?
On a five-element set, how many reflexive relations have exactly (6) more pairs than the minimum possible number?
#reflexive relation
#counting
#minimum relation
A \(\binom{20}{6}\)
B \(\binom{25}{6}\)
C \(2^{20}\)
D \(\binom{6}{5}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{20}{6}\)
Step 1
Concept
पांच तत्वों पर न्यूनतम प्रतिवर्ती संबंध में (5) विकर्ण युग्म होते हैं। / On a five-element set, the minimum reflexive relation has (5) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
न्यूनतम से (6) अधिक युग्म का मतलब (6) अविकर्ण युग्म चुनना है। / Having (6) more pairs means choosing (6) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{20}{6}\) है। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the count is \(\binom{20}{6}\).
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चार तत्वों वाले समुच्चय (A) पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (7) युग्म हों?
How many reflexive relations with exactly (7) ordered pairs are possible on a four-element set (A)?
#reflexive relation
#counting
#combinations
A \(\binom{12}{3}\)
B \(\binom{16}{7}\)
C \(2^7\)
D \(\binom{7}{4}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{12}{3}\)
Step 1
Concept
चार तत्वों पर (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / On a four-element set, (4) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (7) युग्म चाहिए, इसलिए (3) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (7) pairs, choose (3) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म (16-4=12) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{12}{3}\) है। / There are (16-4=12) non-diagonal pairs, so the number is \(\binom{12}{3}\).
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a=b\) और a+b विषम है}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a=b\) and a+b is odd}). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#and condition
#odd even
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) पर / Only for (1)
D केवल सम तत्वों पर / Only for even elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
विकर्ण पर (a=b) तो सत्य है। / On the diagonal, (a=b) is true.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (a+b=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। / But (a+b=2a) is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
और वाली शर्त में दोनों भाग सत्य होने चाहिए, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। / In an and condition, both parts must be true, so the relation is not reflexive.
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\(यदि (A={1,2,3,4,5,6}) और (R={(a,b):|a-b|\) सम है}) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
\(If (A={1,2,3,4,5,6}) and (R={(a,b):|a-b|\) is even}), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#absolute value
#parity
A क्योंकि (|a-a|=0) और (0) सम है / Because (|a-a|=0) and (0) is even
B क्योंकि सभी अंतर (2) हैं / Because all differences are (2)
C क्योंकि सभी संख्याएं सम हैं / Because all numbers are even
D क्योंकि (A) में (6) तत्व हैं / Because (A) has (6) elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (|a-a|=0) और (0) सम है / Because (|a-a|=0) and (0) is even
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म में दोनों तत्व समान होते हैं। / In a diagonal pair, both elements are the same.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (|a-a|=0), और (0) सम संख्या है। / Therefore (|a-a|=0), and (0) is even.
Step 3
Exam Tip
इसी कारण हर ((a,a)) संबंध में है। / Hence every ((a,a)) belongs to the relation.
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यदि \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):ab<a^2\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
If \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):ab<a^2\}\), is (R) reflexive?
#reflexive relation
#strict inequality
#product
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (0) पर सत्य / True only at (0)
D केवल धनात्मक तत्वों पर सत्य / True only for positive elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(ab=a^2\) मिलेगा। / On the diagonal, put (b=a), giving \(ab=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(a^2<a^2\) बनती है, जो किसी भी (a) के लिए सत्य नहीं है। / The condition becomes \(a^2<a^2\), which is false for every (a).
Step 3
Exam Tip
कड़ी असमानता में बराबर मान विकर्ण युग्मों को असफल कर देते हैं। / Strict inequalities fail when both sides become equal on the diagonal.
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समुच्चय \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\leq a^2\}\) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
On \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):ab\leq a^2\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#inequality
#product
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (0) पर असफल / Fails only at (0)
D केवल ऋणात्मक तत्वों पर / Only for negative elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(ab=a^2\) होगा, इसलिए शर्त \(a^2\leq a^2\) बनती है, जो सत्य है। / Then \(ab=a^2\), so the condition becomes \(a^2\leq a^2\), which is true.
Step 3
Exam Tip
बराबरी वाली स्थिति भी \(\leq\) में शामिल होती है। / Equality is included in \(\leq\), so every diagonal pair works.
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यदि \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b^2\leq 4\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b^2\leq 4\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#inequality
#squares
A 0
B 1
C 2
D 3
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। / On the diagonal, \(a^2+b^2=2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a^2\leq4\) से \(a^2\leq2\) मिलता है, इसलिए (a=-1,0,1) काम करते हैं। / \(2a^2\leq4\) gives \(a^2\leq2\), so (a=-1,0,1) work.
Step 3
Exam Tip
((-2,-2)) और ((2,2)) गायब हैं, इसलिए (2) युग्म जोड़ने होंगे। / The missing diagonal pairs are ((-2,-2)) and ((2,2)), so (2) pairs are needed.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#class 12
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) पर / Only for (1)
D केवल सम तत्वों पर / Only for even elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a+1\mid a+1\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a+1\mid a+1\).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है। / Any non-zero number divides itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी विकर्ण युग्म शामिल हैं और संबंध प्रतिवर्ती है। / Therefore all diagonal pairs are included, so the relation is reflexive.
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समुच्चय \(A=\{2,3,4,6,8,12\}\) पर \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\leq 12\}\) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
On \(A=\{2,3,4,6,8,12\}\), \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\leq 12\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#lcm
#inequality
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (8) पर असफल / Fails only at (8)
D केवल (12) पर असफल / Fails only at (12)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\operatorname{lcm}(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए (A) का हर तत्व (12) से छोटा या बराबर है। / Every element of (A) is less than or equal to (12).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है और (R) प्रतिवर्ती है। / Therefore every diagonal pair satisfies the condition, so (R) is reflexive.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)>1\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)>1\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#gcd
#minimum addition
A 0
B 1
C 2
D 6
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\gcd(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a>1) के लिए शर्त सत्य है, पर (a=1) पर (\gcd(1,1)=1) है। / The condition is true for (a>1), but for (a=1), (\gcd(1,1)=1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल ((1,1)) जोड़ना होगा। / Hence only ((1,1)) must be added.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#equality
#quadratic expression
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) और (2) पर / Only for (1) and (2)
D केवल सम तत्वों पर / Only for even elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच के लिए (b=a) रखें। / Put (b=a) to test reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
तब दोनों ओर \(a^2-a\) ही मिलेगा, इसलिए समानता हर (a) के लिए सत्य है। / Both sides become \(a^2-a\), so the equality is true for every (a).
Step 3
Exam Tip
जब दोनों ओर एक ही व्यंजक बन जाए, तो विकर्ण युग्म निश्चित रूप से शामिल होते हैं। / If both sides become the same expression on the diagonal, all diagonal pairs are included.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{4}\)}) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का सही कारण कौन-सा है?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{4}\)}). What is the correct reason for (R) being reflexive?
#reflexive relation
#congruence
#modulo
#class 12
A हर (a) के लिए \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\) / For every (a), \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\)
B हर वर्ग (4) से विभाज्य है / Every square is divisible by (4)
C सभी युग्म \(A\times A\) में हैं / All pairs are in \(A\times A\)
D केवल (0) और (4) के कारण / Only because of (0) and (4)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर (a) के लिए \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\) / For every (a), \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) को जांचते हैं। / To test reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\) बनती है, जो हर तत्व के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\), which is true for every element.
Step 3
Exam Tip
समानता या समान शेषफल वाली शर्त में विकर्ण युग्म सामान्यतः तुरंत मिल जाते हैं। / Equality or same-remainder conditions usually include all diagonal pairs.
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है, तो \(R\cup R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन हमेशा सही है?
If (R) is reflexive on (A), which statement about \(R\cup R^{-1}\) is always true?
#union inverse
#reflexive symmetric
#relation property
#class 12
A यह परावर्ती और सममित दोनों है / It is both reflexive and symmetric
B यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह हमेशा पहचान संबंध है / It is always the identity relation
D यह हमेशा \(A\times A\) है / It is always \(A\times A\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह परावर्ती और सममित दोनों है / It is both reflexive and symmetric
Step 1
Concept
(R) में सभी अपने-अपने युग्म हैं, इसलिए वे संघ में भी रहेंगे। / (R) contains all self-pairs, so they remain in the union.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup R^{-1}\) में किसी भी युग्म के साथ उसका उल्टा भी आ जाता है। / In \(R\cup R^{-1}\), every pair appears with its reverse.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह संबंध परावर्ती और सममित दोनों होता है। / Therefore the relation is both reflexive and symmetric.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जिनमें ((1,2)) होने पर ((2,1)) नहीं हो?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many reflexive relations satisfy that if ((1,2)) is present then ((2,1)) is absent?
#conditional counting
#reflexive relation
#ordered pairs
#hard
A 48
B 32
C 16
D 64
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / The 3 self-pairs are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2),(2,1)) के लिए मान्य चुनाव हैं: कोई नहीं, केवल ((1,2)), या केवल ((2,1)); दोनों साथ नहीं हो सकते। / For ((1,2),(2,1)), valid choices are neither, only ((1,2)), or only ((2,1)); both together are not allowed.
Step 3
Exam Tip
बाकी 4 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(3\times2^4=48\) है। / The remaining 4 non-self pairs are free, so the count is \(3\times2^4=48\).
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे परावर्ती संबंधों की संख्या क्या है जिनमें ठीक (n+3) युग्म हों?
If (A) has (n) elements, what is the number of reflexive relations having exactly (n+3) pairs?
#general formula
#reflexive relation
#exact pairs
#hard
A \(\binom{n^2-n}{3}\)
B \(\binom{n^2}{3}\)
C \(2^{n^2-n}\)
D \(n^2-n\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{n^2-n}{3}\)
Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में (n) अपने-अपने युग्म अनिवार्य होते हैं। / A reflexive relation has (n) compulsory self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
ठीक (n+3) युग्मों के लिए 3 अतिरिक्त गैर-अपने युग्म चाहिए। / To have exactly (n+3) pairs, 3 additional non-self pairs are needed.
Step 3
Exam Tip
\(n^2-n\) गैर-अपने युग्मों में से 3 चुनने होंगे, इसलिए संख्या \(\binom{n^2-n}{3}\) है। / Choose 3 from \(n^2-n\) non-self pairs, so the count is \(\binom{n^2-n}{3}\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) परावर्ती है और (R) में ठीक 7 युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is reflexive and has exactly 7 pairs. How many such relations are possible?
#exact size
#reflexive relation
#combination
#mcq
A \(\binom{12}{3}\)
B \(\binom{16}{7}\)
C \(\binom{12}{7}\)
D \(\binom{4}{3}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{12}{3}\)
Step 1
Concept
4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / The 4 self-pairs are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 7 युग्मों के लिए (7-4=3) गैर-अपने युग्म चुनने होंगे। / To have 7 total pairs, choose (7-4=3) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
गैर-अपने युग्म 12 हैं, इसलिए संख्या \(\binom{12}{3}\) है। / There are 12 non-self pairs, so the count is \(\binom{12}{3}\).
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है और \(I_A\) पहचान संबंध है, तो \(R\cap I_A\) के बारे में क्या सही है?
If (R) is reflexive on (A) and \(I_A\) is the identity relation, what is correct about \(R\cap I_A\)?
#identity relation
#intersection
#reflexive relation
#hard
A यह हमेशा (R) के बराबर है / It is always equal to (R)
B यह हमेशा \(I_A\) के बराबर है / It is always equal to \(I_A\)
C यह हमेशा रिक्त है / It is always empty
D यह कभी परावर्ती नहीं है / It is never reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह हमेशा \(I_A\) के बराबर है / It is always equal to \(I_A\)
Step 1
Concept
परावर्ती (R) में पहचान संबंध \(I_A\) पूरा शामिल होता है। / A reflexive (R) contains the whole identity relation \(I_A\).
Step 2
Why this answer is correct
\(I_A\) के साथ प्रतिच्छेद लेने पर केवल वही अपने-अपने युग्म बचते हैं। / Intersecting with \(I_A\) keeps exactly those self-pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cap I_A=I_A\) है। / Therefore \(R\cap I_A=I_A\).
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है और \(I_A\) पहचान संबंध है, तो \(R\cup I_A\) के बारे में क्या सही है?
If (R) is reflexive on (A) and \(I_A\) is the identity relation, what is correct about \(R\cup I_A\)?
#identity relation
#union
#reflexive relation
#class 12
A यह हमेशा \(I_A\) के बराबर है / It is always equal to \(I_A\)
B यह हमेशा (R) के बराबर है / It is always equal to (R)
C यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
D यह हमेशा रिक्त है / It is always empty
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Correct Answer
B. यह हमेशा (R) के बराबर है / It is always equal to (R)
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए \(I_A\subseteq R\) है। / Since (R) is reflexive, \(I_A\subseteq R\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी समुच्चय में उसका उपसमुच्चय मिलाने पर वही बड़ा समुच्चय रहता है। / The union of a set with its subset is the larger set itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup I_A=R\) होगा। / Therefore \(R\cup I_A=R\).
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\(A=\{2,4,6,8\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\le k\}\) है। (R) के परावर्ती होने के लिए (k) का न्यूनतम मान क्या है?
On \(A=\{2,4,6,8\}\), \(R=\{(a,b):a+b\le k\}\). What is the minimum value of (k) for (R) to be reflexive?
#parameter
#sum inequality
#reflexive relation
#hard
A 12
B 14
C 16
D 8
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Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए हर ((a,a)) नियम पूरा करे। / For reflexivity, every ((a,a)) must satisfy the rule.
Step 2
Why this answer is correct
अपने-अपने योग (4,8,12,16) हैं। / The self-sums are (4,8,12,16).
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ा अपने-अपने योग 16 है, इसलिए न्यूनतम (k=16) होगा। / The largest self-sum is 16, so the minimum (k) is 16.
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