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\(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha^2+\beta^2=26\) है। \(36-2\alpha\beta=26\) से \(\alpha\beta=5\), इसलिए जड़ें (1) और (5) हैं। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha^2+\beta^2=26\). From \(36-2\alpha\beta=26\), \(\alpha\beta=5\), so the roots are (1) and (5).
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-12) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(144-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<36\)। / For both roots to be negative, the sum (-12) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(144-4\lambda>0\), so \(0<\lambda<36\).
मूल जड़ें (3) और (4) हैं। नई जड़ें (9) और (11) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-20x+99=0\) है। / The original roots are (3) and (4). The new roots are (9) and (11), so the equation is \(x^2-20x+99=0\).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=6\) हैं। नई जड़ें (5) और (6) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-11x+30=0\) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=6\). The new roots are (5) and (6), so the equation is \(x^2-11x+30=0\).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha^2+\beta^2=17\) है। \(25-2\alpha\beta=17\) से \(\alpha\beta=4\), इसलिए जड़ें (1) और (4) हैं। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha^2+\beta^2=17\). From \(25-2\alpha\beta=17\), \(\alpha\beta=4\), so the roots are (1) and (4).
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-10) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(100-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<25\)। / For both roots to be negative, the sum (-10) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(100-4\lambda>0\), hence \(0<\lambda<25\).
मूल जड़ें (2) और (7) हैं। नई जड़ें (-1) और (4) होंगी, इसलिए समीकरण \(x^2-3x-4=0\) है। / The original roots are (2) and (7). The new roots are (-1) and (4), so the equation is \(x^2-3x-4=0\).
\(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha^2+\beta^2=10\) है। \(16-2\alpha\beta=10\) से \(\alpha\beta=3\), इसलिए जड़ें (1) और (3) हैं। / Here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha^2+\beta^2=10\). From \(16-2\alpha\beta=10\), \(\alpha\beta=3\), so the roots are (1) and (3).
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-2) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(4-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<1\)। / For both roots to be negative, the sum (-2) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(4-4\lambda>0\), hence \(0<\lambda<1\).
मूल जड़ें (1) और (5) हैं, इसलिए नई जड़ें (1) और (13) हैं। उनका समीकरण \(x^2-14x+13=0\) है। / The original roots are (1) and (5), so the new roots are (1) and (13). Their equation is \(x^2-14x+13=0\).
नई जड़ों का योग \(\alpha+\beta+2=5\) है, इसलिए (p=-3)। गुणनफल (q-p+1=6) से (q=2) मिलता है। / The sum of new roots is \(\alpha+\beta+2=5\), so (p=-3). From product (q-p+1=6), we get (q=2).
\(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-2\) है। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=13\) और \(\alpha^2\beta^2=4\), अतः समीकरण \(x^2-13x+4=0\) है। / Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-2\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=13\) and \(\alpha^2\beta^2=4\), so the equation is \(x^2-13x+4=0\).
मूल जड़ें (2) और (3) हैं, इसलिए नई जड़ें (3) और (4) होंगी। उनका समीकरण \(x^2-7x+12=0\) है। / The original roots are (2) and (3), so the new roots are (3) and (4). Their equation is \(x^2-7x+12=0\).
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) और \(\alpha\beta=1\) है। व्युत्क्रम जड़ों का योग \(\frac{10}{3}\) और गुणनफल (1) ही रहता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=1\). The reciprocal roots also have sum \(\frac{10}{3}\) and product (1).
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le36\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le36\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(144-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le36\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(144-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le36\).
यहाँ समीकरण ((x-(a+1))(x-(a+5))=0) बनता है। इसलिए जड़ें (a+1) और (a+5) हैं, अतः धनात्मक अंतर (4) है। / The equation becomes ((x-(a+1))(x-(a+5))=0). So the roots are (a+1) and (a+5), hence the positive difference is (4).
योग (12) वाली अभाज्य जड़ें (5) और (7) हैं। उनका गुणनफल (35) है, इसलिए (m=35)। / The prime roots with sum (12) are (5) and (7). Their product is (35), so (m=35).
C. \(k\neq0\) और \(k^2\le25\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le25\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(100-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le25\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(100-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le25\).
दिए गए समीकरण में जड़ों का योग (2r+5) और गुणनफल (r-2+5r+6=(r+2)(r+3)) है। इसलिए जड़ें (r+2) और (r+3) हैं, अतः धनात्मक अंतर (1) है। / In the given equation, the sum of roots is (2r+5) and the product is (r-2+5r+6=(r+2)(r+3)). Hence the roots are (r+2) and (r+3), so the positive difference is (1).
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le16\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le16\)
Explanation
Simple Explanation
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(64-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le16\)। / For reciprocal roots, \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(64-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le16\).
योग (10) वाली भिन्न अभाज्य जड़ें (3) और (7) हैं। उनका गुणनफल (21) है, इसलिए (k=21)। / The distinct prime roots with sum (10) are (3) and (7). Their product is (21), so (k=21).
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होता है। यहाँ \(\alpha\beta=k\), इसलिए (k=1), और (D=12>0) से जड़ें वास्तविक भी हैं। / For reciprocal roots, \(\alpha\beta=1\). Here \(\alpha\beta=k\), so (k=1), and (D=12>0) confirms real roots.
गुणनफल (36) और अंतर (5) वाली धनात्मक जड़ें (4) और (9) हैं। उनका योग (13) है, इसलिए (p=13)। / The positive roots with product (36) and difference (5) are (4) and (9). Their sum is (13), so (p=13).
व्युत्क्रम जड़ों के लिए गुणनफल (1) होता है और यहाँ गुणनफल (k) है। इसलिए (k=1); परीक्षा में पहले गुणनफल देखें। / For reciprocal roots, the product is (1), and here the product is (k). Hence (k=1); in exams, check the product first.
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\) और गुणनफल \(\frac{k}{4}\) है। \(\frac{k}{4}=\frac{3}{4}\) से (k=3) है। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\) and the product is \(\frac{k}{4}\). From \(\frac{k}{4}=\frac{3}{4}\), (k=3).
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) है। \(52=36-2\alpha\beta\) से \(\alpha\beta=-8\) मिलता है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). From \(52=36-2\alpha\beta\), we get \(\alpha\beta=-8\).
पुराने योग (4) और गुणनफल (3) हैं। नए योग (12) और गुणनफल (27) होंगे इसलिए \(x^2-12x+27=0\) है। / The old sum is (4) and product is (3). The new sum is (12) and product is (27), so the equation is \(x^2-12x+27=0\).
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}\) और गुणनफल \(\frac{k}{3}\) है। \(\frac{k}{3}=\frac{2}{3}\) से (k=2) है। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}\) and the product is \(\frac{k}{3}\). From \(\frac{k}{3}=\frac{2}{3}\), (k=2).
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) है। \(20=16-2\alpha\beta\) से \(\alpha\beta=-2\) मिलता है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). From \(20=16-2\alpha\beta\), we get \(\alpha\beta=-2\).
पुराने योग (3) और गुणनफल (2) हैं। नए योग (6) और गुणनफल (8) होंगे इसलिए \(x^2-6x+8=0\) है। / The old sum is (3) and product is (2). The new sum is (6) and product is (8), so the equation is \(x^2-6x+8=0\).
A. मूल एक दूसरे के विपरीत हैं/The roots are opposites of each other
Explanation
Simple Explanation
यदि \(\alpha+\beta=0\) है तो \(\beta=-\alpha\) होता है। इसलिए मूल विपरीत हो सकते हैं। / If \(\alpha+\beta=0\), then \(\beta=-\alpha\). Therefore the roots can be opposites.
नए मूलों का योग (4\alpha+4\beta=4\(\alpha+\beta\)=12) है। गुणक लगे मूलों में योग भी उसी गुणक से गुणा होता है। / The sum of new roots is (4\alpha+4\beta=4\(\alpha+\beta\)=12). When roots are multiplied by a factor, the sum is also multiplied by that factor.
नए मूलों का योग (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12). When roots are multiplied by a factor, the sum is multiplied by the same factor.
द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 का भेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D<0\), तो समीकरण के वास्तविक संख्या में कोई मूल नहीं होते; इसके स्थान पर दो संयुक्त जटिल (complex conjugate) मूल होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प C (2) तब सही होता है जब \(D>0\) — तब दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परिक्षा टिप: पहले भेदक की गणना करें; उसके साइन से तुरंत वास्तविक मूलों की संख्या पता चल जाती है (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0)। / For a quadratic ax-2+bx+c=0 the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), there are no real roots; instead the equation has two complex conjugate roots. The closest distractor C (2) would be correct only when \(D>0\), which gives two distinct real roots; when \(D=0\) there is one repeated real root. Exam tip: compute the discriminant first — its sign immediately tells you the number of real roots (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0).
नए मूलों का योग (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10). When roots are multiplied by a factor, the sum is also multiplied by that factor.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-10x+21=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-10x+21=0) is correct.\)
गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों चिन्ह समान होते हैं। योग धनात्मक होने से दोनों मूल धनात्मक होंगे। / A positive product means both signs are same. A positive sum means both roots are positive.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2+9x+20=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2+9x+20=0) is correct.\)
गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूलों का चिन्ह समान होता है। योग ऋणात्मक होने से दोनों मूल ऋणात्मक होंगे। / A positive product means both roots have the same sign. A negative sum means both roots are negative.
\(मानक रूप (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है इसलिए \(x^2-6x+8=0\)। योग वाले पद का चिन्ह बदलता है। \(/ The standard form is (x^2-(\)sum)x+product\(=0) so (x^2-6x+8=0). The sign of the sum term changes.\)
हिमालय युवा वलित पर्वत श्रृंखला है। परीक्षा में इसका निर्माण प्लेटों की टक्कर से जोड़कर याद रखें। / The Himalayas are a young fold mountain range. For exams, link their formation with plate collision.
अरावली भारत की बहुत प्राचीन पर्वत श्रृंखला मानी जाती है। परीक्षा में अरावली को राजस्थान से जोड़कर याद रखें। / The Aravalli is considered a very ancient mountain range of India. For exams, connect Aravalli with Rajasthan.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1))/Two real rational and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-11)2-4(2)(15)=1) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) परिमेय असमान मूल देता है। / Here (D=(-11)2-4(2)(15)=1). A positive perfect-square (D) gives rational distinct roots.
समान मूलों के लिए (D=0) चाहिए। यहाँ (D=12(2r+7)), इसलिए \(r=-\frac{7}{2}\)। / For equal roots, (D=0) is required. Here (D=12(2r+7)), so \(r=-\frac{7}{2}\).
A. वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न/Real, irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(2\sqrt{5}\)2-4(1)(1)=16>0) है। मूल \(\sqrt{5}\pm2\) होंगे, इसलिए वे अपरिमेय और भिन्न हैं। / Here (D=\(2\sqrt{5}\)2-4(1)(1)=16>0). The roots are \(\sqrt{5}\pm2\), so they are irrational and distinct.
समान वास्तविक मूलों के लिए \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। इसलिए \(b^2=4ac\) सही शर्त है। / For equal real roots, \(D=b^2-4ac=0\) is required. Hence \(b^2=4ac\) is the correct condition.
A. वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न/Real, irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-5)2-4(1)(3)=13) है और (13) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न हैं। / Here (D=(-5)2-4(1)(3)=13), and (13) is not a perfect square. So the roots are real, irrational and distinct.
यहाँ \(\alpha+\beta=2a+1\) और \(\alpha\beta=a^2+a-6\) है। (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25), इसलिए धनात्मक अंतर (5) है। / Here \(\alpha+\beta=2a+1\) and \(\alpha\beta=a^2+a-6\). Since (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25), the positive difference is (5).
A. हर वास्तविक (a) के लिए वास्तविक नहीं/Not real for every real (a)
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=4-4\(a^2+3\)=-4a-2-8) है। यह हर वास्तविक (a) के लिए ऋणात्मक है, इसलिए जड़ें वास्तविक नहीं हैं। / The discriminant is (D=4-4\(a^2+3\)=-4a-2-8). It is negative for every real (a), so the roots are not real.
जड़ों का योग (2a+9) और गुणनफल ((a+4)(a+5)) है। ये (a+4) और (a+5) से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (2a+9) and the product is ((a+4)(a+5)). These match (a+4) and (a+5).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\) है। (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), इसलिए धनात्मक अंतर (4) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\). Since (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), the positive difference is (4).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\) है। (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), इसलिए धनात्मक अंतर (4) है, अतः विकल्प (A) सही होना चाहिए। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\). Thus (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), so the positive difference is (4); option (A) should be correct.
समान जड़ों के लिए \(p^2-256=0\), इसलिए \(p=\pm16\)। समान जड़ \(-\frac{p}{2}\) धनात्मक होनी चाहिए, अतः (p=-16)। / For equal roots, \(p^2-256=0\), so \(p=\pm16\). The equal root \(-\frac{p}{2}\) must be positive, hence (p=-16).
योग (14) वाली अभाज्य जोड़ियाँ ((3,11)) और ((7,7)) हैं। इसलिए (m=33) या (m=49), और योग (82) है, अतः विकल्पों में कोई सही नहीं है। / The prime pairs with sum (14) are ((3,11)) and ((7,7)). Thus (m=33) or (m=49), and the sum is (82), so none of the options is correct.
जड़ों का योग (u+2v) और गुणनफल (2uv) है। ये (u) और (2v) से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (u+2v) and the product is (2uv). These match (u) and (2v).
जड़ें (5r) और (3r) मानें। (8r=16) से (r=2), इसलिए गुणनफल \(15r^2=60\) है। / Let the roots be (5r) and (3r). From (8r=16), (r=2), so the product is \(15r^2=60\).
वास्तविक नहीं होने के लिए (D<0) चाहिए। \(36-28\lambda<0\) से \(\lambda>\frac{9}{7}\) मिलता है। / For non-real roots, (D<0) is required. From \(36-28\lambda<0\), we get \(\lambda>\frac{9}{7}\).
जड़ों का योग \(\frac{1}{4+\sqrt{3}}+\frac{1}{4-\sqrt{3}}=\frac{8}{13}\) है। \(x^2+ax+b=0\) में योग (-a) होता है, इसलिए \(a=-\frac{8}{13}\)। / The sum of roots is \(\frac{1}{4+\sqrt{3}}+\frac{1}{4-\sqrt{3}}=\frac{8}{13}\). In \(x^2+ax+b=0\), the sum is (-a), so \(a=-\frac{8}{13}\).
दोनों जड़ों का गुणनफल (1) है, इसलिए समीकरण का गुणनफल सही है। वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(s^2-4\ge0\), इसलिए \(s^2\ge4\)। / The product of the two roots is (1), so the product condition is satisfied. For real roots, the discriminant \(s^2-4\ge0\), so \(s^2\ge4\).
जड़ों का योग (2a+4) और गुणनफल \(a^2+4a\) है। ये (a) और (a+4) से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (2a+4) and the product is \(a^2+4a\). These match (a) and (a+4).
इन जड़ों का योग \(\frac{5t+3}{4}\) और गुणनफल (\frac{t(t+3)}{4}) है। ये दिए गए समीकरण के \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) से मेल खाते हैं। / The sum of these roots is \(\frac{5t+3}{4}\), and the product is (\frac{t(t+3)}{4}). These match \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\) of the given equation.
योग (6) धनात्मक है और दोनों धनात्मक जड़ों के लिए (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(36-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le9\)। / The sum (6) is positive and (c>0) is needed for both positive roots. For real roots, \(36-4c\ge0\), so \(0<c\le9\).
समीकरण ((x-t)2-49=0) है। जड़ें (t+7) और (t-7) हैं, इसलिए धनात्मक अंतर (14) है। / The equation is ((x-t)2-49=0). The roots are (t+7) and (t-7), so the positive difference is (14).
जड़ों का योग (8) है, इसलिए (a=-8)। गुणनफल (9) है, इसलिए (b=9), अतः (a+b=1)। / The sum of roots is (8), so (a=-8). The product is (9), so (b=9), hence (a+b=1).
समान जड़ों के लिए ((m-2)2-100=0) होगा। इसलिए \(m-2=\pm10\), अतः (m=12) या (m=-8)। / For equal roots, ((m-2)2-100=0). Thus \(m-2=\pm10\), so (m=12) or (m=-8).
यहाँ (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)) है। वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\), इसलिए \(a\ge-3\)। / Here (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)). For real roots, \(D\ge0\), so \(a\ge-3\).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72a+216), इसलिए \(a\ge-\frac{7}{2}\) नहीं बल्कि \(a\ge-3\) होगा। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72a+216), so the exact condition is \(a\ge-3\), not \(a\ge-\frac{7}{2}\).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=64(a-2)2-64\(a^2-6a\)=128(a+2)), इसलिए \(a\ge-2\) होगा, अतः विकल्पों में सही शर्त नहीं है। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=64(a-2)2-64\(a^2-6a\)=128(a+2)), so \(a\ge-2\); hence none of these options is exact.
A. \(7\sqrt{3}\) और \(-7\sqrt{3}\)/\(7\sqrt{3}\) and \(-7\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ें (2r) और (5r) मानें। \(10r^2=\frac{10}{3}\) से \(r=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\), इसलिए \(7r=-\frac{m}{3}\) से \(m=\pm7\sqrt{3}\)। / Let the roots be (2r) and (5r). From \(10r^2=\frac{10}{3}\), \(r=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\), so \(7r=-\frac{m}{3}\) gives \(m=\pm7\sqrt{3}\).
समान जड़ों के लिए (D=0) रखते हैं। (4(a+5)2-4\(a^2+18\)=0) से (10a+7=0), इसलिए \(a=-\frac{7}{10}\)। / For equal roots, put (D=0). From (4(a+5)2-4\(a^2+18\)=0), we get (10a+7=0), so \(a=-\frac{7}{10}\).
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{16}{5}\) और \(\alpha\beta=\frac{p}{5}\) है। (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) से (p=11) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{16}{5}\) and \(\alpha\beta=\frac{p}{5}\). Using (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta), we get (p=11).
A. \(m\ge0\) और \(m\neq1\)/\(m\ge0\) and \(m\neq1\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{m-1}{m-1}=1\) है, इसलिए \(m\neq1\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(D=16m\ge0\), अतः \(m\ge0\) और \(m\neq1\)। / The product of roots is \(\frac{m-1}{m-1}=1\), so \(m\neq1\) is needed. For real roots, \(D=16m\ge0\), hence \(m\ge0\) and \(m\neq1\).
व्युत्क्रम जड़ों का गुणनफल (1) होता है। समीकरण \(x^2-\frac{5}{2}x+1=0\) को (2) से गुणा करने पर \(2x^2-5x+2=0\) मिलता है। / Reciprocal roots have product (1). Multiplying \(x^2-\frac{5}{2}x+1=0\) by (2) gives \(2x^2-5x+2=0\).
समीकरण ((x-k)2-25=0) है। जड़ें (k+5) और (k-5) हैं, इसलिए धनात्मक अंतर (10) है। / The equation is ((x-k)2-25=0). The roots are (k+5) and (k-5), so the positive difference is (10).
इस समीकरण की जड़ें (u+1) और (v+1) हैं। समान जड़ों के लिए (u+1=v+1), इसलिए (u=v)। / The roots of this equation are (u+1) and (v+1). For equal roots, (u+1=v+1), so (u=v).
समान जड़ों के लिए \(b^2-196=0\), इसलिए \(b=\pm14\)। समान जड़ \(-\frac{b}{2}\) ऋणात्मक होनी चाहिए, अतः (b=14)। / For equal roots, \(b^2-196=0\), so \(b=\pm14\). The equal root \(-\frac{b}{2}\) must be negative, hence (b=14).
C. हर (a) के लिए वास्तविक नहीं/Not real for every (a)
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=4-4\(a^2+2\)=-4\(a^2+1\)) है। यह हर वास्तविक (a) के लिए ऋणात्मक है, इसलिए जड़ें वास्तविक नहीं हैं। / The discriminant is (D=4-4\(a^2+2\)=-4\(a^2+1\)). It is negative for every real (a), so the roots are not real.
जड़ों का योग (2a+7) और गुणनफल ((a+3)(a+4)) है। ये (a+3) और (a+4) से मिलते हैं। / The sum of roots is (2a+7) and the product is ((a+3)(a+4)). These match (a+3) and (a+4).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) लगाएँ। \(\alpha+\beta=\frac{13}{3}\) और \(\alpha\beta=\frac{4}{3}\), इसलिए धनात्मक अंतर \(\frac{11}{3}\) है। / Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). With \(\alpha+\beta=\frac{13}{3}\) and \(\alpha\beta=\frac{4}{3}\), the positive difference is \(\frac{11}{3}\).
समान जड़ों के लिए \(p^2-144=0\), इसलिए \(p=\pm12\)। समान जड़ \(-\frac{p}{2}\) धनात्मक होनी चाहिए, अतः (p=-12)। / For equal roots, \(p^2-144=0\), so \(p=\pm12\). The equal root \(-\frac{p}{2}\) must be positive, hence (p=-12).
जड़ें (3r) और (4r) मानें। (7r=14) से (r=2), इसलिए गुणनफल \(12r^2=48\) है। / Let the roots be (3r) and (4r). From (7r=14), (r=2), so the product is \(12r^2=48\).
वास्तविक नहीं होने के लिए (D<0) चाहिए। \(16-20\lambda<0\) से \(\lambda>\frac{4}{5}\) मिलता है। / For non-real roots, (D<0) is required. From \(16-20\lambda<0\), we get \(\lambda>\frac{4}{5}\).
रैशनलाइज करने पर जड़ों का योग \(\frac{3}{2}\) मिलता है। \(x^2+ax+b=0\) में जड़ों का योग (-a) होता है, इसलिए \(a=-\frac{3}{2}\)। / After rationalising, the sum of roots is \(\frac{3}{2}\). In \(x^2+ax+b=0\), the sum is (-a), so \(a=-\frac{3}{2}\).
\(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) और \(\tan\theta+\cot\theta=s\) है। वास्तविक मानों के लिए \(s^2-4\ge0\), इसलिए \(s^2\ge4\)। / We have \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) and \(\tan\theta+\cot\theta=s\). For real values, \(s^2-4\ge0\), so \(s^2\ge4\).
जड़ों का योग (2a+2) और गुणनफल \(a^2+2a\) है। ये (a) और (a+2) से मिलते हैं। / The sum of roots is (2a+2) and the product is \(a^2+2a\). These match (a) and (a+2).
इन दोनों जड़ों का योग \(\frac{4t+2}{3}\) और गुणनफल (\frac{t(t+2)}{3}) है। ये दिए गए समीकरण के \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) से मेल खाते हैं। / The sum of these two roots is \(\frac{4t+2}{3}\), and the product is (\frac{t(t+2)}{3}). These match \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\) of the given equation.
योग (5) धनात्मक है और दोनों जड़ों के लिए गुणनफल (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(25-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le\frac{25}{4}\)। / The sum (5) is positive and product (c>0) is needed for both roots. For real roots, \(25-4c\ge0\), so \(0<c\le\frac{25}{4}\).
समीकरण ((x-q)2-16=0) है। इसलिए जड़ें (q+4) और (q-4) हैं, जिनका अंतर (8) है। / The equation is ((x-q)2-16=0). Thus the roots are (q+4) and (q-4), whose difference is (8).
जड़ों का योग (6) है, इसलिए (a=-6)। गुणनफल (7) है, इसलिए (b=7), अतः (a+b=1)। / The sum of roots is (6), so (a=-6). The product is (7), so (b=7), hence (a+b=1).
समान जड़ों के लिए ((m+1)2-64=0) होगा। इसलिए \(m+1=\pm8\), अतः (m=7) या (m=-9)। / For equal roots, ((m+1)2-64=0). Thus \(m+1=\pm8\), so (m=7) or (m=-9).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=36(5a+1)), इसलिए \(a\ge-\frac{1}{5}\)। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=36(5a+1)), so \(a\ge-\frac{1}{5}\).
समान जड़ों के लिए (D=0) होता है। (4(a-4)2-4\(a^2-20\)=0) से \(a=\frac{9}{2}\) मिलता है। / For equal roots, (D=0). From (4(a-4)2-4\(a^2-20\)=0), we get \(a=\frac{9}{2}\).
यहाँ \(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=\frac{m}{4}\) है। (\(\alpha-\beta\)2=1) रखने पर (9-m=1), इसलिए (m=8)। / Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=\frac{m}{4}\). Putting (\(\alpha-\beta\)2=1) gives (9-m=1), so (m=8).
इस समीकरण की जड़ें (u) और (v) हैं। जड़ें बराबर होने के लिए (u=v) होना जरूरी है। / The roots of this equation are (u) and (v). For equal roots, it is necessary that (u=v).
