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हर को (12) से हटाकर पदों को सावधानी से मिलाने पर \(3x\ge27\) मिलता है। परीक्षा में हर हटाने के बाद चिन्ह न बदलें जब गुणक धनात्मक हो। / Multiplying by (12) and combining terms gives \(3x\ge27\). In exams, do not reverse the sign when multiplying by a positive number.
हर पद को (LCM=6) से गुणा करने पर (,x-13>1,) मिलता है, इसलिए (x>14)। परीक्षा में भिन्न हटाने के बाद चिन्ह ध्यान से रखें। / Multiplying every term by (LCM\(=6) gives (x-13>1), so (x>14). In exams, remove fractions first and track the inequality sign carefully.\)
सरलीकरण पर दोनों ओर (x) के पद कट जाते हैं और (13>-4) सत्य मिलता है। ऐसे प्रश्नों में अंतिम सत्य कथन से सभी वास्तविक हल मिलते हैं। / After simplification, the (x)-terms cancel and (13>-4) is true. A true final statement means all real numbers are solutions.
दोनों भाग अलग हल करने पर \(x\ge \frac{3}{5}\) और \(x>-\frac{2}{3}\) मिलते हैं, इसलिए साझा हल \(x\ge \frac{3}{5}\) है। संयुक्त असमानता में हमेशा प्रतिच्छेद लें। / Solving both parts separately gives \(x\ge \frac{3}{5}\) and \(x>-\frac{2}{3}\), so the common solution is \(x\ge \frac{3}{5}\). For compound inequalities, always take the intersection.
धनात्मक (6) से गुणा करने पर (10-4x<3x-7) मिलता है। इससे (17<7x), अतः \(x>\frac{17}{7}\) होना चाहिए; विकल्पों में सही रूप नहीं है। / Multiplying by positive (6) gives (10-4x<3x-7). Hence (17<7x), so \(x>\frac{17}{7}\); none of the listed forms matches this exactly.
सरल करने पर (7-6x<10-5x) यानी (-x<3) से (x>-3) नहीं, बल्कि दोबारा जाँच पर (7<10+x) इसलिए (x>-3) मिलता है। विकल्पों में सही अंतराल नहीं है, इसलिए यह प्रश्न सावधानी से पढ़ना चाहिए। / Simplifying gives (7-6x<10-5x), so (7<10+x) and hence (x>-3). Since the exact interval is not listed, this item tests careful option checking.
सरलीकरण से \(22-6x\le 8-5x\) और फिर \(14\le x\) मिलता है। सही हल \(x\ge14\) है; विकल्पों में यही रूप देखें। / Simplification gives \(22-6x\le 8-5x\), then \(14\le x\). The solution is \(x\ge14\); match the equivalent option carefully.
(LCM=10) से गुणा करने पर \(2x-4\le 1-2x\) मिलता है, इसलिए \(4x\le 5\) और \(x\le \frac{5}{4}\)। दिए गए विकल्पों में यह नहीं है, इसलिए प्रश्न में निकट विकल्प नहीं चुनना चाहिए। / Multiplying by (LCM\(=10) gives (2x-4\le 1-2x), so (4x\le 5) and (x\le \frac{5}{4}). Do not choose an approximate option when the exact answer is absent.\)
यह \(22-6x\le 8-5x\) बनती है, जिससे \(14\le x\) आता है। अंतिम उत्तर को \(x\ge14\) के रूप में लिखना बेहतर है। / It becomes \(22-6x\le 8-5x\), giving \(14\le x\). It is clearer to write the final answer as \(x\ge14\).
बाईं ओर (x-14) है, इसलिए \(x-14\ge 5-\frac{x}{2}\) से \(\frac{3x}{2}\ge 19\) और \(x\ge \frac{38}{3}\) मिलता है। कोष्ठक खोलते समय संकेतों की गलती सबसे आम होती है। / The left side is (x-14), so \(x-14\ge 5-\frac{x}{2}\) gives \(\frac{3x}{2}\ge 19\) and \(x\ge \frac{38}{3}\). Sign errors while opening brackets are very common in exams.
हर हटाने पर (-2(2x-1)+(x+4)\ge15) मिलता है। इससे \(-3x\ge9\), इसलिए चिन्ह बदलकर \(x\le-3\) होगा। / Clearing denominators gives (-2(2x-1)+(x+4)\ge15). Thus \(-3x\ge9\), so reversing the sign gives \(x\le-3\).
सरल करने पर (1-2x>4x-11) यानी (12>6x) से (x<2) मिलता है। अंतराल लिखते समय खुले और बंद सिरों पर ध्यान दें। / Simplifying gives (1-2x>4x-11), so (12>6x) and (x<2). While writing intervals, pay attention to open and closed endpoints.
धनात्मक (12) से गुणा करने पर (4x-8+6x+3<10x-14) मिलता है। इससे (-5<-14) असत्य है, इसलिए कोई हल नहीं। / Multiplying by positive (12) gives (4x-8+6x+3<10x-14). This reduces to (-5<-14), which is false, so there is no solution.
लघुत्तम समापवर्त्य (4) से गुणा करने पर \(21-3x\le 8x+14\) मिलता है, इसलिए \(x\ge \frac{7}{11}\)। भिन्न हटाने के बाद पदों को सही पक्ष में ले जाएँ। / Multiplying by (LCM\(=4) gives (21-3x\le 8x+14), so (x\ge \frac{7}{11}). After removing fractions, move terms to the correct side carefully.\)
धनात्मक (12) से गुणा करने पर चर पद कट जाते हैं और (-5<-14) मिलता है। असत्य कथन आने पर हल समुच्चय रिक्त होता है। / After multiplying by positive (12), variable terms cancel and (-5<-14) remains. A false final statement gives an empty solution set.
घटाने पर \(-8<2x\le10\), इसलिए \(-4<x\le5\) मिलता है। पूर्णांक हल (-3) से (5) तक हैं, कुल (9)। / Subtracting gives \(-8<2x\le10\), so \(-4<x\le5\). Integer solutions are from (-3) to (5), totaling (9).
असमानता से \(-6\le3x<12\), अतः \(-2\le x<4\) मिलता है। पूर्णांकों में सही सूची ({-2,-1,0,1,2,3}) होगी। / The inequality gives \(-6\le3x<12\), hence \(-2\le x<4\). For integers, the correct list is ({-2,-1,0,1,2,3}).
((a-2)x>a-4) है और (x>3) पाने के लिए \(\frac{a-4}{a-2}=3\) तथा (a-2>0) चाहिए। इससे (a=1) आता है, पर दिशा शर्त टूटती है, इसलिए कोई विकल्प सही नहीं। / We get ((a-2)x>a-4); for (x>3), \(\frac{a-4}{a-2}=3\) and (a-2>0) are needed. This gives (a=1), which violates the direction condition, so no option is correct.
धनात्मक (p) से भाग देने पर (-(4x+1)<6-2x) मिलता है। इससे (-2x<7), इसलिए \(x>-\frac{7}{2}\)। / Dividing by positive (p) gives (-(4x+1)<6-2x). Thus (-2x<7), so \(x>-\frac{7}{2}\).
धनात्मक (10) से गुणा करने पर (2(2x+3)-5(x-4)\le7-x) मिलता है। सरलीकरण से \(26-x\le7-x\), जो असत्य है, अतः कोई हल नहीं। / Multiplying by positive (10) gives (2(2x+3)-5(x-4)\le7-x). Simplification gives \(26-x\le7-x\), which is false, so no solution exists.
हर हटाने पर \(26-x\le7-x\) मिलता है, जो \(26\le7\) के समान असत्य है। इसलिए हल समुच्चय रिक्त है। / Clearing denominators gives \(26-x\le7-x\), equivalent to false statement \(26\le7\). Therefore the solution set is empty.
पहली से \(x\le4\) और दूसरी से (x>1) मिलता है। इनके संघ से सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हो जाती हैं। / The first gives \(x\le4\), and the second gives (x>1). Their union covers all real numbers.
धनात्मक (4) से गुणा करने पर \(-12\le2x-5<4\) मिलता है। इससे \(-\frac{7}{2}\le x<\frac{9}{2}\)। / Multiplying by positive (4) gives \(-12\le2x-5<4\). Hence \(-\frac{7}{2}\le x<\frac{9}{2}\).
धनात्मक (2) से गुणा कर \(80\le3s+10\le170\) मिलता है। इससे \(\frac{70}{3}\le s\le\frac{160}{3}\)। / Multiplying by positive (2) gives \(80\le3s+10\le170\). Thus \(\frac{70}{3}\le s\le\frac{160}{3}\).
धनात्मक (8) से गुणा करने पर (64-2(3x-2)>16+x+6) मिलता है। इससे (68-6x>22+x), यानी \(x<\frac{46}{7}\)। / Multiplying by positive (8) gives (64-2(3x-2)>16+x+6). This gives (68-6x>22+x), so \(x<\frac{46}{7}\).
हर हटाने पर (68-6x>22+x) बनता है। इससे (46>7x), अतः \(x<\frac{46}{7}\)। / Clearing denominators gives (68-6x>22+x). Hence (46>7x), so \(x<\frac{46}{7}\).
दशमलव हटाने के लिए (10) से गुणा करें: (2x+15>7-3x)। इससे (5x>-8), अतः (x>-1.6)। / Multiply by (10) to remove decimals: (2x+15>7-3x). Then (5x>-8), so (x>-1.6).
A. \(x\ge\frac{3}{5}\) और \(x<\frac{21}{2}\)/\(x\ge\frac{3}{5}\) and \(x<\frac{21}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
बाईं असमानता से \(18-3x\le2x+9\), अतः \(x\ge\frac{9}{5}\) मिलता है; दाईं से \(x<\frac{21}{2}\)। सही प्रतिच्छेद \(x\ge\frac{9}{5}\) और \(x<\frac{21}{2}\) है। / The left inequality gives \(18-3x\le2x+9\), hence \(x\ge\frac{9}{5}\); the right gives \(x<\frac{21}{2}\). The correct intersection is \(x\ge\frac{9}{5}\) and \(x<\frac{21}{2}\).
((k-2)x\le9) है। \(x\ge-3\) पाने के लिए (k-2<0) और \(\frac{9}{k-2}=-3\), इसलिए (k=-1)। / We have ((k-2)x\le9). To get \(x\ge-3\), need (k-2<0) and \(\frac{9}{k-2}=-3\), so (k=-1).
धनात्मक (2) से गुणा करने पर \(x-a\le6\), इसलिए \(x\le a+6\)। (a+6=10) से (a=4)। / Multiplying by positive (2) gives \(x-a\le6\), so \(x\le a+6\). From (a+6=10), (a=4).
धनात्मक (2) से गुणा कर \(-8<1-3x\le10\) मिलता है। \(-9<-3x\le9\) से चिन्ह बदलकर \(-3\le x<3\) मिलता है। / Multiplying by positive (2) gives \(-8<1-3x\le10\). From \(-9<-3x\le9\), reversing signs gives \(-3\le x<3\).
पहले भाग से \(x>-\frac{2}{3}\) और दूसरे से \(x\le10\) मिलता है। पूर्णांक हल (0) से (10) तक हैं, कुल (11)। / The first part gives \(x>-\frac{2}{3}\), and the second gives \(x\le10\). Integer solutions are (0) through (10), totaling (11).
दोनों भाग हल करने पर \(x>-\frac{2}{3}\) और \(x\le10\) मिलता है। अतः पूर्णांक \(x=0,1,\ldots,10\) हैं, कुल (11)। / Solving both parts gives \(x>-\frac{2}{3}\) and \(x\le10\). Thus integers are \(x=0,1,\ldots,10\), totaling (11).
सरलीकरण से \(-3x\ge3\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह बदलता है, इसलिए \(x\le-1\)। / Simplification gives \(-3x\ge3\). Dividing by a negative number reverses the sign, so \(x\le-1\).
धनात्मक (9) से गुणा करने पर (3(4x-1)-(x+2)\ge9x+9) मिलता है। इससे \(2x\ge14\), अतः \(x\ge7\)। / Multiplying by positive (9) gives (3(4x-1)-(x+2)\ge9x+9). Thus \(2x\ge14\), so \(x\ge7\).
धनात्मक (10) से गुणा करने पर \(14-4x\le3x+1\) मिलता है। इससे \(13\le7x\), अतः \(x\ge\frac{13}{7}\)। / Multiplying by positive (10) gives \(14-4x\le3x+1\). Thus \(13\le7x\), so \(x\ge\frac{13}{7}\).
इससे \(3\le5x-2<24\), यानी \(5\le5x<26\) मिलता है। इसलिए \(1\le x<\frac{26}{5}\), अतः (x=1,2,3,4,5)। / This gives \(3\le5x-2<24\), i.e. \(5\le5x<26\). Hence \(1\le x<\frac{26}{5}\), so (x=1,2,3,4,5).
सरलीकरण से \(2-6x\le1-8x\) मिलता है। इससे \(2x\le-1\), इसलिए \(x\le-\frac{1}{2}\)। / Simplification gives \(2-6x\le1-8x\). Thus \(2x\le-1\), so \(x\le-\frac{1}{2}\).
धनात्मक (8) से गुणा करने पर (4x-2(x-3)>2x+5) मिलता है। इससे (2x+6>2x+5), जो सदैव सत्य है। / Multiplying by positive (8) gives (4x-2(x-3)>2x+5). This reduces to (2x+6>2x+5), always true.
सरलीकरण के बाद (1>0) जैसा सत्य कथन मिलता है। इसलिए हर वास्तविक (x) इस असमानता को संतुष्ट करता है। / After simplification, a true statement like (1>0) remains. Therefore every real (x) satisfies the inequality.
धनात्मक (2) से गुणा करने पर \(-2<x-4\le12\) मिलता है। (4) जोड़ने पर \(2<x\le16\)। / Multiplying by positive (2) gives \(-2<x-4\le12\). Adding (4) gives \(2<x\le16\).
पहली असमानता (x<6) देती है और दूसरी \(x\ge-2\) देती है। दोनों का प्रतिच्छेद \(-2\le x<6\) है। / The first inequality gives (x<6), and the second gives \(x\ge-2\). Their intersection is \(-2\le x<6\).
धनात्मक (6) से गुणा करने पर (24-2(2x+1)\ge3(1-x)) मिलता है। इससे \(22-4x\ge3-3x\), इसलिए \(x\le19\)। / Multiplying by positive (6) gives (24-2(2x+1)\ge3(1-x)). Thus \(22-4x\ge3-3x\), so \(x\le19\).
घटाने पर \(-12<4x\le16\), इसलिए \(-3<x\le4\) मिलता है। पूर्णांक हलों में सबसे बड़ा (4) है। / Subtracting gives \(-12<4x\le16\), so \(-3<x\le4\). The greatest integer solution is (4).
बाईं ओर (6x-3-2x-10=4x-13) है। \(4x-13\le x+4\) से \(3x\le17\), इसलिए \(x\le\frac{17}{3}\)। / The left side is (6x-3-2x-10=4x-13). From \(4x-13\le x+4\), \(3x\le17\), so \(x\le\frac{17}{3}\).
सरलीकरण से \(4x-13\le x+4\) मिलता है। इसलिए \(3x\le17\) और अंतिम हल \(x\le\frac{17}{3}\) है। / Simplification gives \(4x-13\le x+4\). Hence \(3x\le17\), and the final solution is \(x\le\frac{17}{3}\).
हर पद को (12) से गुणा करने पर \(5x-31\leq 0\) मिलता है। परीक्षा में हरात्मक हटाते समय चिह्न ध्यान से रखें। / Multiplying every term by (12) gives \(5x-31\leq 0\). In exams keep the inequality sign unchanged when multiplying by a positive number.
(10) से गुणा करने पर \(6x-4-5x-20\geq -10\) मिलता है। इसलिए \(x\geq 14\) सही है। / Multiplying by (10) gives \(6x-4-5x-20\geq -10\). Therefore \(x\geq 14\) is correct.
सरलीकरण से (-5x>-3) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर चिह्न बदलता है। परीक्षा में इसी स्टेप पर सबसे अधिक गलती होती है। / Simplification gives (-5x>-3) and division by a negative reverses the sign. This is the most common exam error.
(-3) से भाग देने पर दोनों असमानता-चिह्न उलटते हैं। इसलिए हल \( \frac{1}{3}\leq x<\frac{13}{3} \) है। / Dividing by (-3) reverses both inequality signs. Hence the solution is \( \frac{1}{3}\leq x<\frac{13}{3} \).
(ax<-6) से (x>3) तभी मिलेगा जब (a) ऋणात्मक हो। \(\frac{-6}{a}=3\) से (a=-2) मिलता है। / From (ax<-6), (x>3) occurs only when (a) is negative. Using \(\frac{-6}{a}=3\), we get (a=-2).
सभी भागों से (5) घटाकर फिर (2) से भाग दें। बंद और खुले सिरों को वैसा ही रखें। / Subtract (5) from all parts and then divide by (2). Keep closed and open endpoints exactly as given.
पहली असमानता से (x<11) और दूसरी से \(x\geq 6\) मिलता है। पूर्णांक (6,7,8,9,10) हैं, इसलिए कुल (5) मान हैं। / The first inequality gives (x<11), and the second gives \(x\geq 6\). The integers are (6,7,8,9,10), so there are (5) values.
(12) से गुणा करने पर \(6x-9\geq 2x+10\) और \(x\geq \frac{19}{4}\) मिलता है। इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक (7) है। / Multiplying by (12) gives \(6x-9\geq 2x+10\) and \(x\geq \frac{19}{4}\). Therefore the smallest integer is (7).
(10) से गुणा करने पर (40-6x-4>10+5x-30) मिलता है। अतः (66-11x>0) से (x<6) नहीं बल्कि \(x<\frac{66}{11}=6\) आता है। / Multiplying by (10) gives (40-6x-4>10+5x-30). Thus (66-11x>0) gives (x<6).
सरलीकरण से \(10-5x\leq 4-3x\) और \(6\leq 2x\) मिलता है। इसलिए \(x\geq 3\) है। / Simplification gives \(10-5x\leq 4-3x\) and \(6\leq 2x\). Therefore \(x\geq 3\).
दोनों भाग अलग-अलग हल करने पर \(x\geq -1\) और (x<2) मिलता है। संयुक्त हल ([-1,2)) है। / Solving both parts separately gives \(x\geq -1\) and (x<2). The combined solution is ([-1,2)).
(3) से गुणा करने पर \(5-2x\geq 3x-12\) मिलता है। इससे \(17\geq 5x\) अर्थात \(x\leq \frac{17}{5}\) है। / Multiplying by (3) gives \(5-2x\geq 3x-12\). This gives \(17\geq 5x\), so \(x\leq \frac{17}{5}\).
(10) से गुणा करने पर (5x+20-2x+6<40) मिलता है। इससे (3x<14) नहीं बल्कि (3x<14) के कारण \(x<\frac{14}{3}\) होगा। / Multiplying by (10) gives (5x+20-2x+6<40). Therefore (3x<14), so \(x<\frac{14}{3}\).
दोनों ओर (10) से गुणा करें तो \(4x-12\leq x+21\) मिलता है। इससे \(3x\leq 33\) और \(x\leq 11\) है। / Multiplying both sides by (10) gives \(4x-12\leq x+21\). Thus \(3x\leq 33\) and \(x\leq 11\).
(12) से गुणा करने पर \(8x+4-3x+6\geq 2x+10\) मिलता है। इससे \(3x\geq 0\) और \(x\geq 0\) है। / Multiplying by (12) gives \(8x+4-3x+6\geq 2x+10\). Hence \(3x\geq 0\) and \(x\geq 0\).
A. \(x\leq \frac{17}{7}\) और (x>-4)/\(x\leq \frac{17}{7}\) and (x>-4)
Explanation
Simple Explanation
पहले भाग से \(x\leq \frac{17}{7}\) और दूसरे से (x>-4) मिलता है। अतः संयुक्त हल (\(-4,\frac{17}{7}]\) है। / The first part gives \(x\leq \frac{17}{7}\) and the second gives (x>-4). Hence the combined solution is (\(-4,\frac{17}{7}]\).
(4) से गुणा करने पर \(-2x+12\leq 3x+2\) मिलता है। इससे \(10\leq 5x\) और \(x\geq 2\) है। / Multiplying by (4) gives \(-2x+12\leq 3x+2\). Thus \(10\leq 5x\) and \(x\geq 2\).
हल (x<8) है और प्राकृतिक मान (1) से (7) तक हैं। इसलिए कुल (7) मान हैं। / The solution is (x<8), and natural values are from (1) to (7). Therefore there are (7) values.
(6) से गुणा करने पर \(36-2x\geq 6x-3\) मिलता है। इससे \(39\geq 8x\) और \(x\leq \frac{39}{8}\) है। / Multiplying by (6) gives \(36-2x\geq 6x-3\). Thus \(39\geq 8x\) and \(x\leq \frac{39}{8}\).
(10) से गुणा करने पर (8x+6>20-x+1) मिलता है। इससे (9x>15) और \(x>\frac{5}{3}\) है। / Multiplying by (10) gives (8x+6>20-x+1). Thus (9x>15) and \(x>\frac{5}{3}\).
(6) से गुणा करने पर \(3x-3+2x-4\leq x+4\) मिलता है। इसलिए \(4x\leq 11\) और \(x\leq \frac{11}{4}\) है। / Multiplying by (6) gives \(3x-3+2x-4\leq x+4\). Hence \(4x\leq 11\) and \(x\leq \frac{11}{4}\).
पहली असमानता से \(x\geq -5\) और दूसरी से (x<5) मिलता है। पूर्णांक (-5) से (4) तक कुल (10) हैं। / The first inequality gives \(x\geq -5\), and the second gives (x<5). Integers from (-5) to (4) are (10) in total.
(14) से गुणा करने पर \(42-4x+10\leq 7x+28\) मिलता है। इससे \(24\leq 11x\) और \(x\geq \frac{24}{11}\) है। / Multiplying by (14) gives \(42-4x+10\leq 7x+28\). Thus \(24\leq 11x\) and \(x\geq \frac{24}{11}\).
हल \(x\leq \frac{12}{k}\) होगा। इसे \(x\leq 4\) से मिलाने पर (k=3) मिलता है। / The solution is \(x\leq \frac{12}{k}\). Matching it with \(x\leq 4\) gives (k=3).
(10) से गुणा करने पर \(2-4x\leq 15-5x\) मिलता है। इससे \(x\leq 13\) नहीं बल्कि \(x\leq 13\) आता है। / Multiplying by (10) gives \(2-4x\leq 15-5x\). This gives \(x\leq 13\), not \(x\geq 13\).
हल \(2x\leq 8\) से \(x\leq 4\) है। प्राकृतिक संख्याओं में सबसे बड़ा मान (4) है। / The solution is \(2x\leq 8\), so \(x\leq 4\). The greatest natural number is (4).
सरलीकरण से \(5x-6x+8\geq 11\) और \(-x\geq 3\) मिलता है। इसलिए \(x\leq -3\) है। / Simplification gives \(5x-6x+8\geq 11\) and \(-x\geq 3\). Therefore \(x\leq -3\).
सरलीकरण से \(9-6x\leq x-5\) मिलता है। इसलिए \(14\leq 7x\) और \(x\geq 2\) है। / Simplification gives \(9-6x\leq x-5\). Therefore \(14\leq 7x\) and \(x\geq 2\).
(6) से गुणा करने पर \(4x+10\leq 42-x\) मिलता है। इससे \(5x\leq 32\) और \(x\leq \frac{32}{5}\) है। / Multiplying by (6) gives \(4x+10\leq 42-x\). Thus \(5x\leq 32\) and \(x\leq \frac{32}{5}\).
पहली असमानता से (x<4) और दूसरी से \(x\geq -3\) मिलता है। संयुक्त हल ([-3,4)) है। / The first inequality gives (x<4), and the second gives \(x\geq -3\). The combined solution is ([-3,4)).
(6) से गुणा करने पर \(5x-4\geq 2x+4+6\) मिलता है। अतः \(3x\geq 14\) और \(x\geq \frac{14}{3}\) है। / Multiplying by (6) gives \(5x-4\geq 2x+4+6\). Thus \(3x\geq 14\) and \(x\geq \frac{14}{3}\).
हल (mx>6) है और (x<-3) तभी मिलेगा जब (m) ऋणात्मक हो। \(\frac{6}{m}=-3\) से (m=-2) है। / The solution is (mx>6), and (x<-3) requires (m) to be negative. From \(\frac{6}{m}=-3\), (m=-2).
(12) से गुणा करने पर (24-9x+3<4x+8) मिलता है। इससे (19<13x) और \(x>\frac{19}{13}\) है। / Multiplying by (12) gives (24-9x+3<4x+8). Thus (19<13x) and \(x>\frac{19}{13}\).
पहली से \(x\leq 3\) और दूसरी से (x>-1) मिलता है। इसलिए संयुक्त हल ((-1,3]) है। / The first gives \(x\leq 3\), and the second gives (x>-1). Therefore the combined solution is ((-1,3]).
(3) से गुणा करने पर \(2-5x\geq 12x-21\) मिलता है। इससे \(23\geq 17x\) और \(x\leq \frac{23}{17}\) है। / Multiplying by (3) gives \(2-5x\geq 12x-21\). Thus \(23\geq 17x\) and \(x\leq \frac{23}{17}\).
(4) से गुणा करने पर \(2x-10\leq 3-x\) मिलता है। इससे \(3x\leq 13\) और \(x\leq \frac{13}{3}\) है। / Multiplying by (4) gives \(2x-10\leq 3-x\). Thus \(3x\leq 13\) and \(x\leq \frac{13}{3}\).
अंतराल खाली न हो इसके लिए बायाँ सिरा दाएँ खुले सिरे से छोटा होना चाहिए। (2p-5<p+4) से (p<9) मिलता है। / For the interval to be non-empty, the left endpoint must be less than the right open endpoint. From (2p-5<p+4), (p<9).
हर हटाने पर \(4x-22\le 1\) मिलता है, इसलिए \(x\le \frac{23}{4}\)। भिन्नों वाली असमानता में पहले लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें। / Clearing denominators gives \(4x-22\le 1\), so \(x\le \frac{23}{4}\). In fractional inequalities, multiply by the LCM first.
सरलीकरण पर (-6x>2) मिलता है, इसलिए \(x<-\frac{1}{3}\)। ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिह्न उलटता है। / Simplification gives (-6x>2), so \(x<-\frac{1}{3}\). Reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
दोनों भाग हल करने पर \(x\le 11\) और (x>1) मिलता है। इसलिए संयुक्त हल \(1<x\le 11\) है। / Solving both parts gives \(x\le 11\) and (x>1). Therefore the combined solution is \(1<x\le 11\).
हर हटाने पर \(7x-14\ge 12\), अतः \(x\ge \frac{26}{7}\)। भिन्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें। / Clearing denominators gives \(7x-14\ge 12\), hence \(x\ge \frac{26}{7}\). For fractions, multiply by the LCM first.
हर हटाने पर (6x+21<6x+18), जो असत्य है। यदि चर हट जाए और कथन असत्य हो, तो हल रिक्त होता है। / After clearing denominators, (6x+21<6x+18), which is false. If the variable cancels and the statement is false, the solution is empty.
सरलीकरण से \(2x\ge 15\) मिलता है, इसलिए \(x\ge \frac{15}{2}\)। कोष्ठक खोलते समय ऋण चिह्न ध्यान से लगाएँ। / Simplification gives \(2x\ge 15\), so \(x\ge \frac{15}{2}\). Apply the negative sign carefully while opening brackets.
बायाँ पक्ष (-5) बनता है, इसलिए \(-5\le x-8\) और \(x\ge 3\)। चर कटने पर बचे स्थिर पद को सही तरफ रखें। / The left side becomes (-5), so \(-5\le x-8\) and \(x\ge 3\). When variables cancel, place the remaining constant correctly.
सरलीकरण के बाद \(2\ge 4\) मिलता है, जो असत्य है। असत्य स्थिर असमानता का हल रिक्त समुच्चय होता है। / After simplification, \(2\ge 4\), which is false. A false constant inequality has an empty solution set.
हर हटाने पर (12x+11>35), इसलिए (x>2)। धनात्मक लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करने पर चिह्न नहीं बदलता। / Clearing denominators gives (12x+11>35), so (x>2). Multiplying by a positive LCM does not change the sign.
हर हटाने और सरलीकरण पर \(38\le 7x\) मिलता है। इसलिए \(x\ge \frac{38}{7}\) सही हल है। / After clearing denominators and simplifying, \(38\le 7x\). Therefore \(x\ge \frac{38}{7}\) is the correct solution.
बायाँ पक्ष \(-\frac{11}{5}\) बनता है और \(-\frac{11}{5}<\frac{5}{2}\) सत्य है। इसलिए हर वास्तविक (x) हल है। / The left side becomes \(-\frac{11}{5}\), and \(-\frac{11}{5}<\frac{5}{2}\) is true. Therefore every real (x) is a solution.
सभी भागों से (6) घटाकर \(-2\le 2x<8\) मिलता है। फिर (2) से भाग देने पर \(-1\le x<4\) आता है। / Subtracting (6) from all parts gives \(-2\le 2x<8\). Dividing by (2) gives \(-1\le x<4\).
(3) से गुणा करने पर \(-21<x+2\le 3\) मिलता है। इसलिए \(-23<x\le 1\) हल है। / Multiplying by (3) gives \(-21<x+2\le 3\). Therefore \(-23<x\le 1\) is the solution.
पहली असमानता से \(x\ge 9\) और दूसरी से (x<6) मिलता है। दोनों का प्रतिच्छेद रिक्त है। / The first inequality gives \(x\ge 9\), and the second gives (x<6). Their intersection is empty.
पहली असमानता से (x<13) और दूसरी से \(x\le -3\) मिलता है। दूसरी शर्त पहले हल में शामिल है, इसलिए उत्तर (x<13) है। / The first inequality gives (x<13), and the second gives \(x\le -3\). The second set is contained in the first, so the answer is (x<13).
हर हटाने पर \(8x+18\le 5x-30\), इसलिए \(3x\le -48\)। इससे \(x\le -16\) मिलता है। / Clearing denominators gives \(8x+18\le 5x-30\), so \(3x\le -48\). This gives \(x\le -16\).
हर हटाने पर \(5x-9\le 3x\) मिलता है। इससे \(2x\le 9\) और \(x\le \frac{9}{2}\) आता है। / Clearing denominators gives \(5x-9\le 3x\). This gives \(2x\le 9\), so \(x\le \frac{9}{2}\).
पहले भाग से (x<9) और दूसरे भाग से \(x\ge 4\) मिलता है। दोनों को मिलाकर \(4\le x<9\) मिलता है। / The first part gives (x<9), and the second gives \(x\ge 4\). Combining both gives \(4\le x<9\).
दोनों तरफ अलग-अलग हल करने पर \(x\le 3\) और (x>-2) मिलता है। इसलिए \(-2<x\le 3\) सही अंतराल है। / Solving both sides separately gives \(x\le 3\) and (x>-2). Therefore \(-2<x\le 3\) is the correct interval.
पहली असमानता से \(x\ge 14\) और दूसरी से (x>7) मिलता है। प्रतिच्छेद \(x\ge 14\) है। / The first inequality gives \(x\ge 14\), and the second gives (x>7). Their intersection is \(x\ge 14\).
पहली शर्त \(x\le 5\) देती है और दूसरी (x>3) देती है। दोनों का संघ सभी वास्तविक संख्याएँ है। / The first condition gives \(x\le 5\), and the second gives (x>3). Their union is all real numbers.
बायाँ पक्ष (-4) बनता है और \(-4\ge -5\) सत्य है। इसलिए हर वास्तविक (x) हल है। / The left side becomes (-4), and \(-4\ge -5\) is true. Therefore every real (x) is a solution.
हर हटाने पर \(31-2x\ge 0\) मिलता है। अतः \(x\le \frac{31}{2}\) सही है। / Clearing denominators gives \(31-2x\ge 0\). Hence \(x\le \frac{31}{2}\) is correct.
सरलीकरण पर (-5<-8) मिलता है, जो असत्य है। इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है। / Simplification gives (-5<-8), which is false. Therefore there is no real solution.
हर हटाने पर \(24-6x\le x+9\) मिलता है। इसलिए \(15\le 7x\) और \(x\ge \frac{15}{7}\) आता है। / Clearing the denominator gives \(24-6x\le x+9\). Hence \(15\le 7x\), so \(x\ge \frac{15}{7}\).
दोनों भाग हल करने पर \(x\le 16\) और (x>-2) मिलता है। इसलिए \(-2<x\le 16\) हल है। / Solving both parts gives \(x\le 16\) and (x>-2). Therefore \(-2<x\le 16\) is the solution.
पहली असमानता से \(x\le -13\) और दूसरी से \(x\le 6\) मिलता है। दोनों का प्रतिच्छेद \(x\le -13\) है। / The first inequality gives \(x\le -13\), and the second gives \(x\le 6\). Their intersection is \(x\le -13\).
हर हटाने पर (5x+2<3x+15) मिलता है। इससे (2x<13), अतः \(x<\frac{13}{2}\) है। / Clearing denominators gives (5x+2<3x+15). Thus (2x<13), so \(x<\frac{13}{2}\).
पहली असमानता (x>4) देती है और दूसरी (x<-7) देती है। या वाली स्थिति में दोनों हलों का संघ लिया जाता है। / The first inequality gives (x>4), and the second gives (x<-7). For an OR condition, take the union of both solution sets.
हर हटाने पर \(14-4x\le x+5\) मिलता है। इसलिए \(9\le 5x\) और \(x\ge \frac{9}{5}\) है। / Clearing denominators gives \(14-4x\le x+5\). Therefore \(9\le 5x\), so \(x\ge \frac{9}{5}\).
पहले भाग से \(x\ge 2\) और दूसरे भाग से (x<12) मिलता है। दोनों मिलकर \(2\le x<12\) देते हैं। / The first part gives \(x\ge 2\), and the second gives (x<12). Together they give \(2\le x<12\).
सरलीकरण पर \(-4\le -5\) मिलता है, जो असत्य है। इसलिए हल समुच्चय रिक्त है। / Simplification gives \(-4\le -5\), which is false. Therefore the solution set is empty.
हर हटाने पर \(2x+3\le 24\) मिलता है। इसलिए \(x\le \frac{21}{2}\) सही है। / Clearing denominators gives \(2x+3\le 24\). Therefore \(x\le \frac{21}{2}\) is correct.
हर हटाने पर \(6x+3\ge 7x-35\) मिलता है। इसलिए \(x\le 38\) हल है। / Clearing denominators gives \(6x+3\ge 7x-35\). Therefore \(x\le 38\) is the solution.
हर हटाने पर \(6x-10\ge 24\) मिलता है। अतः \(x\ge \frac{17}{3}\) हल है। / Clearing denominators gives \(6x-10\ge 24\). Hence \(x\ge \frac{17}{3}\) is the solution.
दोनों भाग हल करने पर (x<21) और \(x\ge -6\) मिलता है। इसलिए \(-6\le x<21\) सही है। / Solving both parts gives (x<21) and \(x\ge -6\). Therefore \(-6\le x<21\) is correct.
हर हटाने पर \(9-3x\ge 2x+10\) मिलता है। इसलिए \(-5x\ge 1\) और \(x\le -\frac{1}{5}\) है। / Clearing denominators gives \(9-3x\ge 2x+10\). Therefore \(-5x\ge 1\), so \(x\le -\frac{1}{5}\).
