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समान शेष (2) और (5) दोनों मापांकों पर चाहिए। / The remainders must match modulo (2) and modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
यह (10) से समान शेष जैसा है, और दिए समुच्चय में (3) जैसा शेष केवल (3) का है। / This is like matching remainders modulo (10), and within the set only (3) has that pair of remainders.
Step 3
Exam Tip
दो मापांकों की संयुक्त शर्त को सावधानी से मिलाएँ। / Combine both modulo conditions carefully.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) के (2) से भाग देने पर शेष और (3) से भाग देने पर शेष दोनों समान हों। (5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
A. तुल्यता संबंध नहीं, क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है/Not an equivalence relation because reflexivity fails
Step 1
Concept
(R) में सभी ((a,a)) युग्म हैं क्योंकि हर संख्या का शेष स्वयं के समान है। / (R) contains every ((a,a)) because each number has the same remainder as itself.
Step 2
Why this answer is correct
पूरक संबंध में कोई भी ((a,a)) युग्म नहीं होगा। / The complement contains no ((a,a)) pair.
Step 3
Exam Tip
स्वतुल्यता न होने से पूरक तुल्यता संबंध नहीं है। / Without reflexivity, the complement is not an equivalence relation.
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है, और (b) और (c) का भी शेषफल समान है, तो (a) और (c) का शेषफल भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) also have the same remainder, then (a) and (c) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) संबंध में आएगा। / So ((a,c)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाले संबंध संक्रामीता में मजबूत उदाहरण हैं। / Same-remainder relations are strong examples of transitivity.
\(2^2=4\), इसलिए वर्ग में वे तत्व आएँगे जिनके वर्ग का शेष (4) हो। / \(2^2=4\), so the class contains elements whose square has remainder (4) modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
(2,3,7,8) के वर्ग (5) से भाग देने पर शेष (4) देते हैं। / (2,3,7,8) have square remainder (4) modulo (5).
Step 3
Exam Tip
वर्गीय शेष की तुलना करते समय संख्या नहीं, उसके वर्ग का शेष देखें। / Compare square remainders, not the numbers themselves.
A. क्योंकि यह \(a^3\) के समान शेष पर आधारित है/Because it is based on the same remainder of \(a^3\)
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a^3\equiv a^3 \pmod{7}\), इसलिए स्वतुल्यता है। / For every (a), \(a^3\equiv a^3 \pmod{7}\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान शेष की बराबरी उल्टे क्रम में भी सही रहती है। / Equality of remainders is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान शेष की बराबरी संक्रमण भी होती है, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है। / Equality of remainders is transitive, so the relation is an equivalence relation.
हर पूर्णांक अपने आप के तुल्य होता है क्योंकि (a-a=0) है। / Every integer is congruent to itself because (a-a=0).
Step 2
Why this answer is correct
समान शेषफल होने की बात क्रम बदलने पर और श्रृंखला में भी सही रहती है। / Having the same remainder is preserved when order is reversed and through a chain.
Step 3
Exam Tip
मापांक पर समान शेषफल वाले संबंध समतुल्यता संबंध के अच्छे उदाहरण हैं। / Same-remainder modulo relations are standard examples of equivalence relations.
\(a\equiv b \pmod{6}\) का अर्थ है (a-b) संख्या (6) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{6}\) means (a-b) is divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
(b-c) भी (6) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (6) से विभाज्य होगा। / If (b-c) is also divisible by (6), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is divisible by (6).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता के हर ऐसे संबंध में अंतरों को जोड़कर संक्रामकता सिद्ध करें। / For congruence relations, prove transitivity by adding differences.
\(a\equiv b \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{4}\) means (a-b) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (4) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (4) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (4), then (a-c) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता के प्रश्न में अंतरों का योग याद रखें। / In congruence questions, remember the sum of differences.
A. क्योंकि (a-b) और (b-c) के (4) से विभाज्य होने पर (a-c) भी (4) से विभाज्य होगा/Because if (a-b) and (b-c) are divisible by (4), then (a-c) is also divisible by (4)
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{4}\) means (a-b) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसी तरह (b-c) भी (4) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (4) से विभाज्य होगा। / Similarly, if (b-c) is divisible by (4), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता में अंतर जोड़ना मुख्य विचार है। / Adding differences is the key idea in congruence.
\(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (3) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a-b) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then (a-c) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता संबंध में संक्रामकता अंतरों के योग से सिद्ध होती है। / In congruence relations, transitivity follows from adding differences.
\(a \equiv b \pmod{5}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (5) से विभाज्य है। / \(a \equiv b \pmod{5}\) means (a-b) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(b-c) भी (5) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (5) से विभाज्य होगा। / If (b-c) is also divisible by (5), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले संबंध में अंतरों का योग याद रखें। / For congruence relations, remember the sum of differences.
यदि (a) और (b) का (5) से भाग देने पर शेष समान है, और (b) और (c) का शेष भी समान है, तो (a) और (c) का शेष समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder on division by (5), and (b) and (c) also have the same remainder, then (a) and (c) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a \equiv c \pmod{5}\) होगा। / Hence \(a \equiv c \pmod{5}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वसमता वाले प्रश्नों में शेष की समानता को श्रृंखला की तरह देखें। / In congruence questions, treat equal remainders as a chain.
यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a \equiv c \pmod{3}\) होगा। / Hence \(a \equiv c \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वसमता वाले संबंध सामान्यतः संक्रमण होते हैं। / Congruence relations are generally transitive.
यदि \(a \equiv b \pmod{3}\) और \(b \equiv c \pmod{3}\), तो (a) और (c) का शेष समान होगा। / If \(a \equiv b \pmod{3}\) and \(b \equiv c \pmod{3}\), then (a) and (c) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a \equiv c \pmod{3}\) होगा। / So \(a \equiv c \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाला संबंध संक्रामी होता है। / A relation based on the same remainder is transitive.
\(a \equiv b \pmod{3}\) और \(b \equiv c \pmod{3}\) का अर्थ है कि तीनों का शेषफल समान दिशा में जुड़ा है। / \(a \equiv b \pmod{3}\) and \(b \equiv c \pmod{3}\) mean the remainders are linked through the same middle number.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a \equiv c \pmod{3}\) होगा। / Therefore \(a \equiv c \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाला संबंध संक्रामी होता है। / Same-remainder relations are transitive.
\(a \equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि (a-b) (2) से विभाज्य है। / \(a \equiv b \pmod{2}\) means (a-b) is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब (b-a=-(a-b)) भी (2) से विभाज्य होगा। इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। / Then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2), so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
शेषफल समान होने वाले संबंध सामान्यतः सममित होते हैं। / Same-remainder relations are usually symmetric.
\(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a) और (b) का (3) से भाग देने पर समान शेषफल है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है, तो (b) और (a) का भी समान ही होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, then (b) and (a) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाले संबंध को सममित मानने से पहले उल्टा क्रम सोचें। / For same-remainder relations, check the reversed order mentally.
A. क्योंकि सर्वांगसमता का क्रम बदलने पर भी सत्य रहता है/Because congruence remains true after swapping the order
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{3}\) होने का अर्थ है कि (a) और (b) का शेष समान है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder when divided by 3.
Step 2
Why this answer is correct
समान शेष का संबंध दोनों दिशाओं में सही रहता है। / Having the same remainder works in both directions.
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता में क्रम बदलना सममितता को नहीं तोड़ता। / Swapping the order does not break congruence.
यदि \(a\equiv b \pmod{3}\), तो दोनों का (3) से भाग देने पर शेष समान है। / If \(a\equiv b \pmod{3}\), both leave the same remainder when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यही बात उलटकर \(b\equiv a \pmod{3}\) भी देती है। / The same fact also gives \(b\equiv a \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले नियम सममितता के अच्छे उदाहरण हैं। / Congruence rules are good examples of symmetry.
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^2\equiv a \pmod{5}\) मिलेगा। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a^2\equiv a \pmod{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a(a-1)\(\equiv 0 \pmod{5}\)), इसलिए \(a\equiv 0\) या \(a\equiv 1 \pmod{5}\)। / This means (a(a-1)\(\equiv 0 \pmod{5}\)), so \(a\equiv 0\) or \(a\equiv 1 \pmod{5}\).
Step 3
Exam Tip
दिए गए समुच्चय में (0,1,5) काम करते हैं, इसलिए (3) विकर्ण युग्म हैं। / In the set, (0,1,5) work, so there are (3) diagonal pairs.
A. हर (a) के लिए \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\)/For every (a), \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) को जांचते हैं। / To test reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\) बनती है, जो हर तत्व के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\), which is true for every element.
Step 3
Exam Tip
समानता या समान शेषफल वाली शर्त में विकर्ण युग्म सामान्यतः तुरंत मिल जाते हैं। / Equality or same-remainder conditions usually include all diagonal pairs.
वर्ग शेषफल देखें: ({0}) का शेषफल 0, ({1,5}) का शेषफल 1, ({2,4}) का शेषफल 4, और ({3}) का शेषफल 3 है। / Square remainders are grouped as ({0}) with remainder 0, ({1,5}) with remainder 1, ({2,4}) with remainder 4, and ({3}) with remainder 3.
Step 2
Why this answer is correct
समान वर्ग शेषफल वाले समूहों के अंदर युग्म बनेंगे। / Ordered pairs are formed within equal square-remainder groups.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\) नहीं, ध्यान से जोड़ने पर (1+4+4+1=10) है, इसलिए सही संख्या 10 है। / The total is \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\).
(3) से भाग देने पर समान शेषफल के समूह ({1,4}), ({2,5}), ({3,6}) बनते हैं। / The equal-remainder groups modulo 3 are ({1,4}), ({2,5}), and ({3,6}).
Step 2
Why this answer is correct
हर समूह के अंदर ही युग्म बनेंगे, इसलिए प्रत्येक समूह \(2^2=4\) युग्म देगा। / Pairs are formed only within each group, so each group gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे और यह संबंध परावर्ती भी है। / Total pairs are (4+4+4=12), and the relation is reflexive.
B. मौखिक और अशाब्दिक संकेत मेल नहीं खाते/Verbal and non-verbal cues do not match
Explanation
Simple Explanation
चेहरे का भाव और बोले गए शब्द अलग संदेश दे रहे हैं। संगत संकेत संदेश को अधिक विश्वसनीय बनाते हैं। / The facial expression and spoken words convey different messages. Consistent cues make a message more credible.
A. जब दोनों का अर्थ एक-दूसरे से मेल खाए/When both convey matching meanings
Explanation
Simple Explanation
शब्द और शारीरिक भाषा में सामंजस्य होने पर संदेश अधिक विश्वसनीय बनता है। विरोधी संकेत भ्रम पैदा कर सकते हैं। / A message becomes more credible when words and body language are consistent. Conflicting cues may create confusion.
\(x\equiv 2 \pmod{5}\) को \(2,7,12,\ldots\) और \(-3,-8,\ldots\) जैसे पूर्णांक पूरा करते हैं। / The condition \(x\equiv 2 \pmod{5}\) is satisfied by integers like \(2,7,12,\ldots\) and \(-3,-8,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे पूर्णांक दोनों दिशाओं में बिना अंत के मिलते हैं। / Such integers continue endlessly in both directions.
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता में सीमा न दी हो तो प्रायः अपरिमित समुच्चय बनता है। / A congruence condition without a bound usually gives an infinite set.
A. (A=B), क्योंकि दोनों में वही चार अवयव हैं/(A=B), because both have the same four elements
Step 1
Concept
(-5) से (5) तक के पूर्णांक लिखकर (3) से भाग देने पर शेष (1) वाले मान चुनते हैं। / List the integers from (-5) to (5) and choose those that leave remainder (1) on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(-5,-2,1,4) सभी \(x \equiv 1 \pmod{3}\) को पूरा करते हैं, इसलिए (A) और (B) के अवयव समान हैं। / The values (-5,-2,1,4) all satisfy \(x \equiv 1 \pmod{3}\), so (A) and (B) have the same elements.
Step 3
Exam Tip
बराबर समुच्चय में क्रम नहीं, केवल अवयवों की समानता देखी जाती है। / For equal sets, compare elements, not their order.
A. क्योंकि \(a \equiv b \pmod{5}\) और \(b \equiv c \pmod{5}\) से \(a \equiv c \pmod{5}\)/Because \(a \equiv b \pmod{5}\) and \(b \equiv c \pmod{5}\) imply \(a \equiv c \pmod{5}\)
Step 1
Concept
समान शेषफल का अर्थ है कि दो संख्याओं का अंतर (5) से विभाज्य है। / Same remainder means the difference of two numbers is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (5) से विभाज्य होगा। इसलिए सम्बन्ध संक्रामी है। / If (a-b) and (b-c) are divisible by (5), then (a-c) is also divisible by (5). Hence the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले प्रश्नों में अंतर का विचार करें। / For congruence relations, think in terms of differences.
\(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / \(a\equiv b \pmod{2}\) means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b) और (c) की प्रकृति भी समान है, तो (a) और (c) भी समान प्रकृति के होंगे। / If (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
शेषफल समानता वाले संबंधों में संक्रामकता अक्सर मिलती है। / Congruence-type relations are usually transitive.
शर्त \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\) है। / The condition is \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
क्योंकि (a+b=b+a), इसलिए \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\) भी होगा। / Since (a+b=b+a), we also get \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
जोड़ पर आधारित सर्वांगसमता में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती। / Congruence conditions based on addition usually remain unchanged after swapping the order.
\(a-b\equiv 0 \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a) और (b) समान अवशेष देते हैं। / \(a-b\equiv 0 \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(b-a\equiv 0 \pmod{3}\) भी होगा। / Then \(b-a\equiv 0 \pmod{3}\) also holds.
Step 3
Exam Tip
मापांक में समानता वाली शर्तें उलटने पर भी बनी रहती हैं। / Congruence equality conditions remain valid after reversing the pair.
परावर्ती जाँच के लिए (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(a \equiv a+1 \pmod{2}\) बनेगी, जिसका अर्थ है \(0 \equiv 1 \pmod{2}\), यह असत्य है। / The condition becomes \(a \equiv a+1 \pmod{2}\), which means \(0 \equiv 1 \pmod{2}\), false.
Step 3
Exam Tip
ऐसी शर्त में स्वयं से संबंध अक्सर नहीं बनता। / Such shifted congruence conditions often fail for self-pairs.
मान क्रमशः (0,4,2,0,4,2) मिलते हैं। इसलिए वास्तविक प्राप्त शेषफल ({0,2,4}) हैं। / The values obtained are (0,4,2,0,4,2). Hence the actually obtained remainders are ({0,2,4}).
मान क्रमशः (0,3,1,4,2) मिलते हैं। इसलिए सभी अवशेष (0) से (4) तक आ जाते हैं। / The values obtained are (0,3,1,4,2). Thus all remainders from (0) to (4) occur.
(0,1,2,3) के शेषफल क्रमशः (0,1,2,0) हैं। शेषफल अद्वितीय होता है, इसलिए यह फलन है। / The remainders of (0,1,2,3) are (0,1,2,0). The remainder is unique, so this is a function.
B. यह फलन है और परिसर ({0,1}) है/It is a function and range is ({0,1})
Explanation
Simple Explanation
विषम संख्याओं की छवि (1) और सम संख्या की छवि (0) है। समान छवि होना फलन के लिए बाधा नहीं है। / Odd numbers have image (1) and the even number has image (0). Having the same image is not a problem for a function.
Classes ({1,4},{2},{3}) हैं, इसलिए pairs की संख्या \(2^2+1^2+1^2=6\) है। Equivalence classes के sizes के squares जोड़ें। / The classes are ({1,4},{2},{3}), so the number of pairs is \(2^2+1^2+1^2=6\). Add the squares of the sizes of the equivalence classes.
शेषफल (0,1,2,3) के अनुसार (4) अलग classes बनती हैं। Modulo relation में classes की संख्या modulus के बराबर होती है। / The remainders (0,1,2,3) form (4) different classes. For a modulo relation, the number of classes equals the modulus.
क्योंकि \(7\equiv 2 \pmod{5}\), इसलिए उसी शेषफल वाले सभी पूर्णांक class में होंगे। Equivalence class हमेशा relation की condition से बनाइए। / Because \(7\equiv 2 \pmod{5}\), all integers with the same remainder are in its class. Always form an equivalence class from the relation condition.
(2) के समान \( \pmod{3}\) शेष (2) देने वाले अवयव (2) और (5) हैं। इसलिए ([2]={2,5}) है। / The elements giving the same remainder (2) modulo (3) are (2) and (5). Hence ([2]={2,5}).
समान parity वाले अवयव जुड़े हैं, इसलिए प्रतिवर्ती, सममित और संक्रमी तीनों गुण मिलते हैं। अतः (R) समतुल्य संबंध है। / Elements with the same parity are related, so reflexive, symmetric, and transitive properties all hold. Hence (R) is an equivalence relation.
(1) और (6) का शेषफल (5) से भाग देने पर समान है। इसलिए ([1]={1,6}) है। / (1) and (6) have the same remainder when divided by (5). Therefore ([1]={1,6}).
(1) और (5) दोनों का शेषफल (4) से भाग देने पर (1) है। इसलिए ([1]={1,5}) है। / Both (1) and (5) leave remainder (1) when divided by (4). Hence ([1]={1,5}).
मापांक (3) के अनुसार शेषफल (0,1,2) होते हैं। इसलिए (3) तुल्यता वर्ग बनते हैं। / Modulo (3) gives the remainders (0,1,2). Hence (3) equivalence classes are formed.
(8) का (6) से भाग देने पर अवशेष (2) है। (A) में इसी अवशेष वाले अवयव (2,8,14) हैं। / The remainder of (8) modulo (6) is (2). In (A), the elements with this remainder are (2,8,14).
हर विषम संख्या का वर्ग (8) से भाग देने पर अवशेष (1) देता है। इसलिए ([1]={1,3,5,7})। / The square of every odd number gives remainder (1) modulo (8). Hence ([1]={1,3,5,7}).
((1,1)) के लिए \(1+2\cdot1=3\), जो (3) से विभाज्य है। विकल्पों में शर्त सीधे रखकर जांचना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For ((1,1)), \(1+2\cdot1=3\), which is divisible by (3). Substituting each option is the safest method.
हर (a) के लिए ठीक एक (b) है जिससे योग (5) से विभाज्य हो। इसलिए कुल (5) क्रमित युग्म हैं। / For each (a), there is exactly one (b) making the sum divisible by (5). Hence there are (5) ordered pairs.
(7) को (3) से भाग देने पर अवशेष (1) है। इसलिए ([7]) में (1,4,7) आते हैं। / The remainder of (7) on division by (3) is (1). Hence ([7]) contains (1,4,7).
अवशेष (0,1,2,3) के अनुसार (4) वर्ग बनते हैं। ऐसे प्रश्नों में भाजक के अनुसार अवशेष गिनें। / There are (4) classes according to remainders (0,1,2,3). In such questions, count the possible remainders.
([3]) में वे अवयव आते हैं जिनका (3) जैसा अवशेष (2) से भाग देने पर हो। इसलिए सभी विषम अवयव ({1,3,5}) मिलते हैं। / ([3]) contains elements having the same remainder as (3) modulo (2). Hence all odd elements ({1,3,5}) are included.
अवशेष (0,1,2) के अनुसार तीन वर्ग बनते हैं। परीक्षा में मापांक संबंध में अवशेष गिनना सबसे तेज तरीका है। / There are three classes according to remainders (0,1,2). In exam, counting residues is the fastest way for modulo relations.
(2) और (5) का \( \pmod{3}\) शेषफल समान है। ([2]) में (2) के समान शेषफल वाले तत्व आते हैं। / (2) and (5) have the same remainder modulo (3). ([2]) contains elements with the same remainder as (2).
सम और विषम दो अलग वर्ग बनते हैं। \( \pmod{2}\) में केवल (2) शेषफल संभव हैं। / Even and odd numbers form two separate classes. Under \( \pmod{2}\), only (2) remainders are possible.
यह स्वसम, सममित और संकर्मक तीनों है। समान शेषफल वाला संबंध सामान्य तुल्यता संबंध होता है। / It is reflexive, symmetric, and transitive. A same-remainder relation is a standard equivalence relation.
(1) और (4) को (3) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। इसलिए (1) का वर्ग ({1,4}) है। / Both (1) and (4) leave remainder (1) when divided by (3). Therefore the class of (1) is ({1,4}).
यह संबंध विषम और सम संख्याओं के दो वर्ग बनाता है। वर्ग हैं ({1,3}) और ({2,4})। / This relation forms two classes of odd and even numbers. The classes are ({1,3}) and ({2,4}).
(1) से \( \pmod{3}\) में समान शेष देने वाली संख्याएं (1) और (4) हैं। इसलिए वर्ग ({1,4}) है। / The numbers with the same remainder as (1) modulo (3) are (1) and (4). Hence the class is ({1,4}).
इस क्रिया का तत्समक (1) है। / The identity of this operation is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(0*x=0) हर (x) के लिए, इसलिए यह कभी (1) नहीं बन सकता। / (0*x=0) for every (x), so it can never become (1).
Step 3
Exam Tip
शून्य का गुणनात्मक प्रतिलोम नहीं होता, यह बात शेषफल वाली क्रिया में भी याद रखें। / Zero has no multiplicative inverse, even in a remainder-based operation.
गुणन आधारित शेषफल क्रिया में तत्समक (1) है। / In multiplication modulo (5), the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2*x) का (5) से शेषफल (1) चाहिए। \(2\cdot 3=6\), जिसका शेषफल (1) है। / We need (2*x) to have remainder (1) on division by (5). Since \(2\cdot 3=6\), the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
गुणनात्मक प्रतिलोम में गुणनफल को (1) के बराबर शेषफल देना चाहिए। / A multiplicative inverse must make the product congruent to (1).
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है/It is both commutative and associative
Step 1
Concept
शेषफल (0) या (1) ही आता है, इसलिए क्रिया आंतरिक है। / The remainder is always (0) or (1), so the operation is closed.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) का शेषफल क्रम बदलने से नहीं बदलता और योग के साहचर्य गुण से यह साहचर्य भी है। / The remainder of (a+b) does not change with order, and associativity follows from addition modulo (2).
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में क्रिया सारणी बनाकर गुण जल्दी जाँचे जा सकते हैं। / For small sets, an operation table quickly verifies properties.
इस क्रिया में (0) जोड़ने पर वही अवयव मिलता है, इसलिए तत्समक (0) है। / Adding (0) leaves every element unchanged, so the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(3*x=0) का अर्थ है (3+x) का (4) से शेषफल (0) हो। (x=1) रखने पर (4) का शेषफल (0) है। / (3*x=0) means (3+x) must have remainder (0) on division by (4). With (x=1), the sum is (4).
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली क्रिया में प्रतिलोम वही अवयव है जो योग को गुणज बना दे। / In remainder operations, the inverse makes the sum a multiple of the modulus.
यहाँ संक्रिया (4) के शेष पर आधारित जोड़ है। / This is addition based on remainders modulo (4).
Step 2
Why this answer is correct
(a+0) को (4) से भाग देने पर वही शेष (a) मिलता है। / Dividing (a+0) by (4) gives the same remainder (a).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (0) तत्समक है; शेषफल वाली संक्रिया में पहले मूल जोड़ समझें। / Hence (0) is the identity; in remainder operations, understand the basic addition first.
A. यह बंद है और (1) तत्समक है/It is closed and (1) is identity
Step 1
Concept
दिए गए अवयवों के गुणनफल का (6) से शेष फिर (1,2,4,5) में ही आता है; जैसे (2*4=2), (5*5=1)। / Products of the given elements modulo (6) again lie in (1,2,4,5); for example, (2*4=2), (5*5=1).
Step 2
Why this answer is correct
(1*a=a) और (a*1=a), इसलिए (1) तत्समक है। / (1*a=a) and (a*1=a), so (1) is the identity.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में कुछ नमूना गुणन देखकर बंदता का ढाँचा समझें। / For a finite set, sample products reveal the closure pattern.
यह (3) के सापेक्ष गुणन है और तत्समक (1) है। / This is multiplication modulo (3), and the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(1) का प्रतिलोम (1), और (2) का प्रतिलोम (2) है क्योंकि \(2\cdot 2=4\) का शेष (1) है। / The inverse of (1) is (1), and the inverse of (2) is (2) because \(2\cdot 2=4\) has remainder (1).
Step 3
Exam Tip
(0) से गुणा करने पर शेष (0) ही रहेगा, इसलिए (0) का प्रतिलोम नहीं। / Multiplying by (0) always gives remainder (0), so (0) has no inverse.
