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A. क्योंकि (1) का पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (1) has no preimage
Step 1
Concept
(f(x)=x-2+2) का मान हमेशा (2) या उससे बड़ा होता है। / The value of (f(x)=x-2+2) is always at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है, पर कोई वास्तविक (x) ऐसा नहीं कि \(x^2+2=1\)। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), but no real (x) satisfies \(x^2+2=1\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँच में एक भी छूटा हुआ सहप्रांत तत्व पर्याप्त है। / For onto checking, one missing codomain element is enough.
\(x\ge 0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}) और (x<0) पर (f(x)=\frac{x}{1-x}) है। / For \(x\ge 0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), and for (x<0), (f(x)=\frac{x}{1-x}).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in(-1,1)\) के लिए उपयुक्त \(x=\frac{y}{1-y}\) जब \(y\ge0\), और \(x=\frac{y}{1+y}\) जब (y<0) लिया जा सकता है। / For any \(y\in(-1,1)\), choose \(x=\frac{y}{1-y}\) when \(y\ge0\), and \(x=\frac{y}{1+y}\) when (y<0).
Step 3
Exam Tip
टुकड़ों में दिए फलन में चिन्ह के अनुसार पूर्वप्रतिबिंब खोजें। / For piecewise-looking expressions, find the preimage according to sign.
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) होता है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी (\(0,\infty\)) है, इसलिए हर धनात्मक (y) के लिए \(x=\ln y\) मिलता है। / The codomain is also (\(0,\infty\)), so every positive (y) has preimage \(x=\ln y\).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में (0) परास का भाग नहीं होता, इसलिए सहप्रांत ध्यान से पढ़ें। / In exponential functions, (0) is not in the range, so read the codomain carefully.
\(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है। / \(e^x\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ और (0) भी हैं, जिनका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers and (0), which have no preimage.
Step 3
Exam Tip
परास (\(0,\infty\)) और सहप्रांत \(\mathbb{R}\) अलग हों तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If the range (\(0,\infty\)) differs from codomain \(\mathbb{R}\), the function is not onto.
कुल फलन \(3^5\) होंगे। / Total functions are \(3^5\).
Step 2
Why this answer is correct
समावेशन-बहिष्करण से आच्छादी संख्या \(3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\)। / By inclusion-exclusion, onto functions \(=3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में आच्छादी गणना के लिए छूटे हुए सहप्रांत तत्वों को घटाएँ। / For finite sets, subtract functions missing codomain elements.
आच्छादी फलन में सहप्रांत के हर तत्व को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / An onto function needs at least one preimage for every codomain element.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (3) तत्व हैं, इसलिए (B) के (5) तत्वों को पूरा नहीं ढका जा सकता। / (A) has only (3) elements, so it cannot cover all (5) elements of (B).
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत के तत्व सहप्रांत से कम हों, सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन असंभव है। / For finite sets, if domain size is less than codomain size, onto functions are impossible.
\(x\to\infty\) पर \(x^3-x\to\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(x^3-x\to-\infty\)। / As \(x\to\infty\), \(x^3-x\to\infty\), and as \(x\to-\infty\), \(x^3-x\to-\infty\).
Step 2
Why this answer is correct
बहुपद सतत है, इसलिए बीच के सभी वास्तविक मान लेता है। / The polynomial is continuous, so it takes every real value in between.
Step 3
Exam Tip
घन बहुपद में सिरों का व्यवहार आच्छादी जाँच में बहुत उपयोगी है। / For cubic polynomials, end behavior is very useful for onto checking.
\(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए (f(x)\ge0)। / Since \(x^4\ge0\) and \(x^2\ge0\), (f(x)\ge0).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ हैं, जो परास में नहीं आ सकतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers, which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले बहुपद में अक्सर परास नीचे से सीमित होता है। / Even-power polynomials are often bounded below.
(\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर \(\tan x\) का परास पूरा \(\mathbb{R}\) है। / On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), the range of \(\tan x\) is all \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में आता है। / For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this interval.
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) वाले प्रश्नों में प्रांत बहुत महत्त्वपूर्ण होता है। / In \(\tan x\) questions, the domain is very important.
A. फलन सतत है और \(-\infty\) से \(\infty\) तक मान लेता है/The function is continuous and goes from \(-\infty\) to \(\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+3x\) एक सतत घन बहुपद है। / \(x^3+3x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) और \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत घन बहुपद प्रायः \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / Continuous cubic polynomials are often onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
(|x-5|) कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। / (|x-5|) can never be negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) है, पर इसका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-2), but it has no preimage.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान फलन को \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर जाँचते समय ऋणात्मक मान देखें। / For absolute value functions from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\), check negative values.
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक देता है। / (2n+1) always gives odd integers.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जैसे (2), जिनका पूर्वप्रतिबिंब नहीं। / The codomain \(\mathbb{Z}\) also has even integers, such as (2), with no preimage.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक वाले प्रश्नों में सम और विषम का निरीक्षण तेज तरीका है। / For integer functions, parity is a quick check.
सहप्रांत केवल विषम पूर्णांकों का समुच्चय है। / The codomain is the set of odd integers only.
Step 2
Why this answer is correct
हर विषम (y) को (y=2n+1) लिख सकते हैं जहाँ \(n=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{Z}\)। / Every odd (y) can be written as (y=2n+1), where \(n=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से वही सूत्र आच्छादी बन सकता है। / Changing the codomain can make the same formula onto.
\(y=x^2+1\) से \(x^2=y-1\) मिलता है। / From \(y=x^2+1\), we get \(x^2=y-1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y\ge1\) होने से \(y-1\ge0\), इसलिए \(x=\sqrt{y-1}\) वास्तविक है। / Since \(y\ge1\), \(y-1\ge0\), so \(x=\sqrt{y-1}\) is real.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी सिद्ध करते समय (y) से (x) निकालकर जाँचें कि (x) प्रांत में है। / To prove onto, solve for (x) in terms of (y) and check that (x) belongs to the domain.
A. क्योंकि (2) परास में नहीं आता/Because (2) is not in the range
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+x^2}\) का मान सीमित रहता है और (-\frac{1}{2}\le f(x)\le\frac{1}{2})। / \(\frac{x}{1+x^2}\) is bounded and satisfies (-\frac{1}{2}\le f(x)\le\frac{1}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, पर (f(x)=2) संभव नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but (f(x)=2) is impossible.
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में परास की सीमा पहचानें। / For rational expressions, identify range bounds.
(f(x)=\frac{x}{1+x-2}) का अधिकतम \(\frac{1}{2}\) (x=1) पर और न्यूनतम \(-\frac{1}{2}\) (x=-1) पर है। / (f(x)=\frac{x}{1+x-2}) has maximum \(\frac{1}{2}\) at (x=1) and minimum \(-\frac{1}{2}\) at (x=-1).
Step 2
Why this answer is correct
बीच के सभी मान सततता के कारण मिलते हैं। / All intermediate values are obtained by continuity.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल सहप्रांत हो तो अंतिम बिंदुओं को भी जाँचें। / If the codomain is a closed interval, check endpoints too.
सहप्रांत का हर \(y\ne0\) मान लें। / Take any codomain value \(y\ne0\).
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)=y) के लिए \(x=\frac{1}{y}\), जो प्रांत में है क्योंकि \(y\ne0\)। / For (f(x)=y), choose \(x=\frac{1}{y}\), which belongs to the domain because \(y\ne0\).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम रूप वाले फलन में (0) को प्रांत और सहप्रांत से हटाना जरूरी है। / For reciprocal functions, excluding (0) from domain and codomain is important.
\(1+x^2\ge1\), इसलिए (0<f(x)\le1)। / Since \(1+x^2\ge1\), (0<f(x)\le1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (y\in(0,1]) के लिए \(x^2=\frac{1}{y}-1\ge0\), इसलिए वास्तविक (x) मिल जाता है। / For any (y\in(0,1]), \(x^2=\frac{1}{y}-1\ge0\), so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
परास निकालने के लिए समीकरण को \(x^2\) के रूप में लिखें। / To find range, rewrite the equation in terms of \(x^2\).
([-1,1]) पर \(x^2\) का परास ([0,1]) है। / On ([-1,1]), the range of \(x^2\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में आता है। / For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में भी फलन आच्छादी हो सकता है यदि सहप्रांत सही चुना जाए। / Even on a restricted domain, a function can be onto if codomain is chosen correctly.
([-1,1]) पर \(x^2\) के मान ([0,1]) में रहते हैं। / On ([-1,1]), values of \(x^2\) lie in ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जैसे \(-\frac{1}{2}\), जो नहीं मिलते। / The codomain ([-1,1]) also contains negative values such as \(-\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
समान प्रांत रखने से आच्छादी होना तय नहीं होता। / Having a similar-looking domain does not guarantee onto.
(y=ax+b) मानकर (x) निकालें। / Put (y=ax+b) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y-b}{a}\) हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है क्योंकि \(a\ne0\)। / \(x=\frac{y-b}{a}\) is real for every real (y) because \(a\ne0\).
Step 3
Exam Tip
गैर-शून्य ढाल वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A non-zero slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
स्थिर फलन का परास केवल ({5}) है। / The range of a constant function is only ({5}).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (6), (0), (-1) जैसे अनेक मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) has values such as (6), (0), and (-1), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर आच्छादी नहीं होता। / A constant function is not onto over a large codomain.
(a,b,c) तीनों सहप्रांत तत्व छवि के रूप में आ रहे हैं। / All three codomain elements (a,b,c) appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
(a) दो बार आना आच्छादी होने में बाधा नहीं है। / Repetition of (a) does not stop onto property.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी में हर सहप्रांत तत्व कम से कम एक बार मिलना चाहिए, केवल एक बार होना जरूरी नहीं। / Onto requires every codomain element at least once, not exactly once.
(C) का कोई भी तत्व (c) लें। / Take any element \(c\in C\).
Step 2
Why this answer is correct
(g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) ऐसा है कि (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) ऐसा है कि (f(a)=b)। / Since (g) is onto, some \(b\in B\) has (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) has (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में पूर्वप्रतिबिंब को पीछे की ओर खोजें। / In composition, trace the preimage backward.
\(y=x^3+1\) से \(x^3=y-1\) मिलता है। / From \(y=x^3+1\), we get \(x^3=y-1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(\sqrt[3]{y-1}\) वास्तविक होता है। / For every real (y), \(\sqrt[3]{y-1}\) is real.
Step 3
Exam Tip
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है, इसलिए यह आच्छादी सिद्ध करने में सहायक है। / Cube root is defined for every real number, so it helps prove onto.
\(x\ge0\) होने से \(x^3+1\ge1\)। / Since \(x\ge0\), \(x^3+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
सूत्र के साथ प्रांत की सीमा बदलने से परास बदल जाता है। / Changing the domain restriction changes the range.
\(x^6\ge0\), इसलिए \(x^6+1\ge1\)। / Since \(x^6\ge0\), \(x^6+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
सम घात और धनात्मक जोड़ वाले फलन का परास नीचे से सीमित होता है। / Even powers with a positive shift have a range bounded below.
\(\ln x\) ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक सभी वास्तविक मान लेता है। / \(\ln x\) takes negative, zero, and positive real values.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, लेकिन \(\ln x\) के धनात्मक मान ही सहप्रांत में आते हैं; हर धनात्मक (y) के लिए \(x=e^y\) मिलता है, पर फलन का मान सहप्रांत से बाहर भी जाता है। / Although every positive (y) has \(x=e^y\), many outputs of \(\ln x\) are outside (\(0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
फलन \(A\to B\) तभी ठीक से परिभाषित माना जाता है जब हर छवि (B) में हो, इसलिए यहाँ दिए गए सहप्रांत के साथ यह मान्य फलन नहीं बनता। / A function \(A\to B\) must have every output inside (B), so with this codomain it is not a valid function into (B).
\(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) always gives an integer value.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपूर्णांक मान हैं, जिनका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integers such as \(\frac{1}{2}\), with no preimage.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन में परास \(\mathbb{Z}\) होता है, \(\mathbb{R}\) नहीं। / The greatest integer function has range \(\mathbb{Z}\), not \(\mathbb{R}\).
\(y=\frac{3x+1}{x+2}\) मानकर (x) निकालें। / Put \(y=\frac{3x+1}{x+2}\) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
(yx+2y=3x+1), इसलिए \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), जो हर \(y\ne3\) के लिए परिभाषित है। / (yx+2y=3x+1), so \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), which is defined for every \(y\ne3\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में जिस मान पर हर कटता है, उसे सहप्रांत से हटाकर आच्छादी जाँची जाती है। / In rational functions, the value that makes solving impossible is often excluded from the codomain.
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) increases continuously.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=-\frac{\pi}{2}\) पर मान (-1) और \(x=\frac{\pi}{2}\) पर मान (1) है, इसलिए बीच के सभी मान मिलते हैं। / At \(x=-\frac{\pi}{2}\), the value is (-1), and at \(x=\frac{\pi}{2}\), the value is (1), so all values between them are obtained.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल में अंतिम बिंदुओं के मान जाँचकर आच्छादी को जल्दी पहचाना जा सकता है। / On a closed interval, checking endpoint values helps identify onto behavior quickly.
कुल फलन \(3^6\) होंगे। / Total functions are \(3^6\).
Step 2
Why this answer is correct
समावेशन-बहिष्करण से आच्छादी फलन \(3^6-\binom{3}{1}2^6+\binom{3}{2}1^6=729-192+3=540\) मिलते हैं। / By inclusion-exclusion, onto functions \(=3^6-\binom{3}{1}2^6+\binom{3}{2}1^6=729-192+3=540\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी फलनों की गिनती में पहले सभी फलन लें, फिर छूटे हुए सहप्रांत तत्वों वाले फलन घटाएँ। / For counting onto functions, start with all functions and subtract those missing codomain elements.
