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Class 11 Mathematics Hard Level 27

समुच्चय \(A=\{1,2,3,\ldots,15\}\) पर संबंध \(R\) इस प्रकार परिभाषित है: \(aRb\) तभी और केवल तभी जब \(a\equiv b \pmod{6}\)। \(A\) में \(8\) का तुल्यता वर्ग \([8]\) कौन-सा है?

On the set \(A=\{1,2,3,\ldots,15\}\), a relation \(R\) is defined by \(aRb\) if and only if \(a\equiv b \pmod{6}\). Which of the following is the equivalence class \([8]\) in \(A\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(\{2,8,14\}\)

Explanation

Simple Explanation

\([8]=\{a\in A:a\equiv 8 \pmod{6}\}\)। चूँकि \(8\) को \(6\) से विभाजित करने पर शेषफल \(2\) आता है, इसलिए \(A\) में वे सभी संख्याएँ चाहिए जिनका \(6\) से भाग देने पर शेषफल \(2\) हो। ये संख्याएँ \(2,8,14\) हैं, अतः \([8]=\{2,8,14\}\)। विकल्प B में \(15\) का शेषफल \(3\) है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: तुल्यता वर्ग ज्ञात करने के लिए दिए गए अवयव के समान modulo शेषफल वाले सभी अवयव चुनें। / The equivalence class is \([8]=\{a\in A:a\equiv 8 \pmod{6}\}\). Since 8 leaves remainder 2 when divided by 6, we select all elements of \(A\) that also leave remainder 2: \(2,8,14\). Hence, \([8]=\{2,8,14\}\). Option B is incorrect because 15 leaves remainder 3 on division by 6. Exam tip: To find an equivalence class, collect every element having the same remainder modulo the given number.

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,\ldots,15\}\) पर संबंध \(R\) इस प्रकार परिभाषित है: \(aRb\) तभी और केवल तभी जब \(a\equiv b \pmod{6}\)। \(A\) में \(8\) का तुल्यता वर्ग \([8]\) कौन-सा है? / On the set \(A=\{1,2,3,\ldots,15\}\), a relation \(R\) is defined by \(aRb\) if and only if \(a\equiv b \pmod{6}\). Which of the following is the equivalence class \([8]\) in \(A\)?

Correct Answer: A. \(\{2,8,14\}\). Explanation: \([8]=\{a\in A:a\equiv 8 \pmod{6}\}\)। चूँकि \(8\) को \(6\) से विभाजित करने पर शेषफल \(2\) आता है, इसलिए \(A\) में वे सभी संख्याएँ चाहिए जिनका \(6\) से भाग देने पर शेषफल \(2\) हो। ये संख्याएँ \(2,8,14\) हैं, अतः \([8]=\{2,8,14\}\)। विकल्प B में \(15\) का शेषफल \(3\) है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: तुल्यता वर्ग ज्ञात करने के लिए दिए गए अवयव के समान modulo शेषफल वाले सभी अवयव चुनें। / The equivalence class is \([8]=\{a\in A:a\equiv 8 \pmod{6}\}\). Since 8 leaves remainder 2 when divided by 6, we select all elements of \(A\) that also leave remainder 2: \(2,8,14\). Hence, \([8]=\{2,8,14\}\). Option B is incorrect because 15 leaves remainder 3 on division by 6. Exam tip: To find an equivalence class, collect every element having the same remainder modulo the given number.