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अवशेष (0,1,2,3) के अनुसार (4) वर्ग बनते हैं। ऐसे प्रश्नों में भाजक के अनुसार अवशेष गिनें। / There are (4) classes according to remainders (0,1,2,3). In such questions, count the possible remainders.
(7) को (3) से भाग देने पर अवशेष (1) है। इसलिए ([7]) में (1,4,7) आते हैं। / The remainder of (7) on division by (3) is (1). Hence ([7]) contains (1,4,7).
\(A\times B\) में \(3\cdot4=12\) युग्म हैं। ठीक (3) युग्म चुनने की संख्या \(\binom{12}{3}=220\) है। / \(A\times B\) has \(3\cdot4=12\) pairs. The number of ways to choose exactly (3) pairs is \(\binom{12}{3}=220\).
(4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं और ((1,2)) निषिद्ध है। शेष (11) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{11}\) है। / The (4) diagonal pairs are compulsory and ((1,2)) is forbidden. The remaining (11) pairs are free, so the count is \(2^{11}\).
सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। (n=6) रखने पर \(2^{21}\) मिलता है। / The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\). Putting (n=6), we get \(2^{21}\).
प्रतिवर्तीता से सभी (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हो जाते हैं। हर अविकर्ण जोड़े के लिए (3) विकल्प हैं, इसलिए संख्या \(3^{10}\) है। / Reflexivity makes all (5) diagonal pairs compulsory. Each off-diagonal unordered pair has (3) choices, so the count is \(3^{10}\).
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर प्रतिसममित नहीं/Reflexive and transitive but not antisymmetric
Explanation
Simple Explanation
\(a^2\leq a^2\) से प्रतिवर्तीता और असमानता से संक्रामिता मिलती है। पर ((-1,1)) और ((1,-1)) दोनों सत्य हैं जबकि \(-1\neq1\)। / \(a^2\leq a^2\) gives reflexivity and the inequality gives transitivity. But ((-1,1)) and ((1,-1)) are both true while \(-1\neq1\).
\(a-a=0\in\mathbb{Q}\) है और परिमेय संख्याएं ऋण तथा योग में बंद रहती हैं। इसलिए यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है। / \(a-a=0\in\mathbb{Q}\), and rational numbers are closed under negatives and addition. Hence it is reflexive, symmetric and transitive.
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Explanation
Simple Explanation
यदि (a-b) अपरिमेय है तो (b-a) भी अपरिमेय है। लेकिन (a-a=0) अपरिमेय नहीं और अपरिमेय अंतरों का योग परिमेय हो सकता है। / If (a-b) is irrational, then (b-a) is also irrational. But (a-a=0) is not irrational and the sum of irrational differences can be rational.
हर (a) के लिए ठीक एक (b) है जिससे योग (5) से विभाज्य हो। इसलिए कुल (5) क्रमित युग्म हैं। / For each (a), there is exactly one (b) making the sum divisible by (5). Hence there are (5) ordered pairs.
((1,1)) के लिए \(1+2\cdot1=3\), जो (3) से विभाज्य है। विकल्पों में शर्त सीधे रखकर जांचना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For ((1,1)), \(1+2\cdot1=3\), which is divisible by (3). Substituting each option is the safest method.
हर अवयव स्वयं को विभाजित करता है और स्वयं के बराबर है। विभाज्यता तथा \(\leq\) मिलकर प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी गुण देते हैं। / Each element divides itself and is equal to itself. Divisibility together with \(\leq\) gives reflexive, antisymmetric and transitive properties.
A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
हर (a>1) के लिए (\gcd(a,a)>1) है और (\gcd(a,b)=\gcd(b,a))। पर (2R6) और (6R3) सत्य हैं जबकि (2R3) असत्य है। / For every (a>1), (\gcd(a,a)>1), and (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)). But (2R6) and (6R3) are true while (2R3) is false.
(11) विषम है और (a-b) सम होने का अर्थ समान सम-विषमता है। इसलिए ([11]) सभी विषम पूर्णांकों का वर्ग है। / (11) is odd and (a-b) being even means the same parity. Hence ([11]) is the class of all odd integers.
हर रेखा अपने समानांतर है और समानांतरता सममित होती है। एक ही दिशा की समानांतर रेखाओं से संक्रामिता भी मिलती है। / Every line is parallel to itself and parallelism is symmetric. Lines parallel to the same direction also give transitivity.
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Explanation
Simple Explanation
यदि \(l\perp m\), तो \(m\perp l\), इसलिए सममिति है। कोई रेखा स्वयं पर लंब नहीं होती और लंबता संक्रामी नहीं होती। / If \(l\perp m\), then \(m\perp l\), so symmetry holds. No line is perpendicular to itself and perpendicularity is not transitive.
हर त्रिभुज स्वयं से समरूप है। समरूपता सममित और संक्रामी भी होती है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है। / Every triangle is similar to itself. Similarity is also symmetric and transitive, so it is an equivalence relation.
हर विद्यार्थी का जन्म महीना अपने जैसा ही है। समान जन्म महीना सममित और संक्रामी भी होता है। / Every student has the same birth month as himself or herself. Having the same birth month is also symmetric and transitive.
मैट्रिक्स में सभी विकर्ण प्रविष्टियां (1) हैं और मैट्रिक्स सममित है। युग्म ({1,3}) का पूरा वर्ग बनता है, इसलिए संक्रामिता भी सही है। / All diagonal entries of the matrix are (1) and the matrix is symmetric. The pair ({1,3}) forms a complete class, so transitivity also holds.
A. प्रतिवर्ती और प्रतिसममित पर संक्रामी नहीं/Reflexive and antisymmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
सभी विकर्ण प्रविष्टियां (1) हैं और कोई विपरीत अविकर्ण जोड़ा साथ नहीं है। पर ((1,2)) और ((2,3)) हैं जबकि ((1,3)) नहीं है। / All diagonal entries are (1) and no opposite off-diagonal pair occurs together. But ((1,2)) and ((2,3)) are present while ((1,3)) is absent.
आवश्यक युग्म ((1,4),(2,5),(1,5)) हैं। श्रृंखला में छूटे हुए अप्रत्यक्ष युग्म जोड़ना याद रखें। / The required pairs are ((1,4),(2,5),(1,5)). In a chain, add the missing indirect pairs.
श्रृंखला \(1\to2\to3\to4\) में आगे पहुंचने वाले युग्म चाहिए। इसलिए ((1,3),(2,4),(1,4)) जुड़ेंगे। / In the chain \(1\to2\to3\to4\), all forward reachable pairs are needed. Hence ((1,3),(2,4),(1,4)) are added.
समतुल्यता संबंध में हर वर्ग के अंदर सभी युग्म होते हैं। कुल युग्म \(2^2+3^2+1^2=14\) हैं। / An equivalence relation contains all pairs within each class. The total number of pairs is \(2^2+3^2+1^2=14\).
पहले वर्ग से \(2^2=4\) और दूसरे से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। कुल (4+9=13) युग्म होंगे। / The first class gives \(2^2=4\) pairs and the second gives \(3^2=9\) pairs. The total is (4+9=13).
समतुल्यता संबंधों की संख्या विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। (3) अवयवों के विभाजनों की संख्या (5) है। / The number of equivalence relations equals the number of partitions. A set of (3) elements has (5) partitions.
यह (4) अवयवों को (2) अरिक्त वर्गों में बांटने की संख्या है। इसका मान (S(4,2)=7) होता है। / This is the number of ways to partition (4) elements into (2) non-empty classes. Its value is (S(4,2)=7).
हर विषम संख्या का वर्ग (8) से भाग देने पर अवशेष (1) देता है। इसलिए ([1]={1,3,5,7})। / The square of every odd number gives remainder (1) modulo (8). Hence ([1]={1,3,5,7}).
(-1) और (2) में अंतर (-3) है, जो (3) से विभाज्य है। इसलिए ([-1]={-1,2})। / The difference between (-1) and (2) is (-3), which is divisible by (3). Hence ([-1]={-1,2}).
A. पहचान जैसा समतुल्यता संबंध/Identity-like equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्णांकों में \(a\mid b\) और \(b\mid a\) से (a=b) मिलता है। इसलिए यह पहचान संबंध जैसा प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है। / For positive integers, \(a\mid b\) and \(b\mid a\) imply (a=b). Hence it behaves like the identity relation and is reflexive, symmetric and transitive.
\(\frac{a}{b}>0\) का अर्थ है कि (a) और (b) का चिह्न समान है। समान चिह्न होना प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है। / \(\frac{a}{b}>0\) means (a) and (b) have the same sign. Having the same sign is reflexive, symmetric and transitive.
A. धनात्मक और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएं/Positive and negative real numbers
Explanation
Simple Explanation
(ab>0) तब होता है जब दोनों संख्याओं के चिह्न समान हों। इसलिए दो वर्ग धनात्मक और ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के बनते हैं। / (ab>0) happens when both numbers have the same sign. Hence the two classes are positive and negative real numbers.
A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
\(|a-a|=0\leq2\) और (|a-b|=|b-a|)। पर (0R2) और (2R4) सत्य हैं जबकि (0R4) असत्य है। / \(|a-a|=0\leq2\) and (|a-b|=|b-a|). But (0R2) and (2R4) are true while (0R4) is false.
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Explanation
Simple Explanation
(a+b=0) से (b+a=0) भी मिलता है। पर (aRa) के लिए (2a=0) चाहिए और संक्रामिता भी सामान्यतः नहीं मिलती। / From (a+b=0), we also get (b+a=0). But (aRa) needs (2a=0), and transitivity does not hold in general.
वास्तविक संख्याओं में \(a^3=b^3\) से (a=b) मिलता है। इसलिए यह पहचान संबंध की तरह समतुल्यता संबंध है। / For real numbers, \(a^3=b^3\) implies (a=b). Hence it is an equivalence relation like the identity relation.
(8) का (6) से भाग देने पर अवशेष (2) है। (A) में इसी अवशेष वाले अवयव (2,8,14) हैं। / The remainder of (8) modulo (6) is (2). In (A), the elements with this remainder are (2,8,14).
सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर कोई अविकर्ण युग्म नहीं आ सकता। केवल (5) विकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^5\) है। / If a relation is both symmetric and antisymmetric, no off-diagonal pair can occur. Only the (5) diagonal pairs are free, so the count is \(2^5\).
प्रतिवर्तीता सभी विकर्ण युग्म अनिवार्य करती है। सममिति और प्रतिसममिति साथ होने से कोई अविकर्ण युग्म नहीं रह सकता, इसलिए केवल पहचान संबंध संभव है। / Reflexivity makes all diagonal pairs compulsory. Symmetry and antisymmetry together forbid off-diagonal pairs, so only the identity relation is possible.
\(R=R^{-1}\) का अर्थ है कि हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में है। यही सममिति की परिभाषा है। / \(R=R^{-1}\) means that with every ((a,b)), the pair ((b,a)) is also in the relation. This is exactly the definition of symmetry.
व्युत्क्रम संबंध में हर क्रमित युग्म के स्थान बदलते हैं। इसलिए ((1,2),(2,4),(3,1)) से ((2,1),(4,2),(1,3)) मिलते हैं। / In the inverse relation, the positions in each ordered pair are interchanged. Thus ((1,2),(2,4),(3,1)) become ((2,1),(4,2),(1,3)).
दिए गए (x) मानों के वर्ग केवल (4,1,0,1,4) हैं। अलग-अलग परिसर मान ({0,1,4}) होंगे। / The squares of the given (x)-values are (4,1,0,1,4). The distinct range values are ({0,1,4}).
हर \(a\in A\) के लिए \(a+2\in B\) है। इसलिए चार युग्म ((1,3),(2,4),(3,5),(4,6)) मिलते हैं। / For every \(a\in A\), \(a+2\in B\). Hence the four pairs ((1,3),(2,4),(3,5),(4,6)) are obtained.
प्रतिवर्तीता के लिए ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) चाहिए। इनमें केवल ((1,1)) है, इसलिए (3) युग्म जोड़ने होंगे। / Reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)). Only ((1,1)) is present, so (3) pairs must be added.
((1,2)) और ((2,1)) पहले से साथ हैं। ((2,4)) के लिए ((4,2)) और ((3,4)) के लिए ((4,3)) जोड़ना होगा। / ((1,2)) and ((2,1)) are already paired. For ((2,4)), add ((4,2)), and for ((3,4)), add ((4,3)).
संबंध (1,2,3) को एक वर्ग और (4,5) को दूसरा वर्ग बनाता है। कुल युग्म \(3^2+2^2=13\) होंगे। / The relation connects (1,2,3) into one class and (4,5) into another. The total number of pairs is \(3^2+2^2=13\).
A. क्योंकि यह संक्रामी नहीं है/Because it is not transitive
Explanation
Simple Explanation
((2,1)) और ((1,3)) हैं, पर ((2,3)) नहीं है। इसलिए संक्रामिता टूटती है। / ((2,1)) and ((1,3)) are present, but ((2,3)) is absent. Hence transitivity fails.
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है। उपसमुच्चय संबंध प्रतिसममित और संक्रामी भी होता है। / Every set is a subset of itself. The subset relation is also antisymmetric and transitive.
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B=B\cap A\), इसलिए संबंध सममित है। पर \({1}\cap{1}\neq\varnothing\) और संक्रामिता भी सामान्यतः नहीं मिलती। / \(A\cap B=B\cap A\), so the relation is symmetric. But \({1}\cap{1}\neq\varnothing\), and transitivity does not hold in general.
हर समुच्चय का आकार अपने बराबर होता है। बराबर आकार होना सममित और संक्रामी भी है। / Every set has the same size as itself. Having equal size is also symmetric and transitive.
\([\sqrt{2}]\) में वे सभी (x) हैं जिनके लिए \(x-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\)। इसलिए \(x=\sqrt{2}+q\) जहां \(q\in\mathbb{Q}\)। / \([\sqrt{2}]\) contains all (x) such that \(x-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\). Hence \(x=\sqrt{2}+q\) where \(q\in\mathbb{Q}\).
सममित संबंध में \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होता है। इसलिए ((5,9)) से ((9,5)) अनिवार्य है। / In a symmetric relation, if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) also. Therefore ((5,9)) forces ((9,5)).
