Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
C. प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी/Reflexive, symmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
(a+a) सदैव सम है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। समता की सम-विषमता से सममिति और संक्रामिता भी मिलती है। / (a+a) is always even, so the relation is reflexive. The parity condition also gives symmetry and transitivity.
अवशेष (0,1,2) के अनुसार तीन वर्ग बनते हैं। परीक्षा में मापांक संबंध में अवशेष गिनना सबसे तेज तरीका है। / There are three classes according to remainders (0,1,2). In exam, counting residues is the fastest way for modulo relations.
\(A\times A\) में (9) युग्म हैं और (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। शेष (6) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है। / \(A\times A\) has (9) pairs and (3) diagonal pairs are compulsory. The remaining (6) pairs are optional, so the number is \(2^6\).
\(A\times A\) में \(4^2=16\) क्रमित युग्म होंगे। हर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है, इसलिए कुल संख्या \(2^{16}\) है। / \(A\times A\) has \(4^2=16\) ordered pairs. Every relation is a subset of \(A\times A\), so the total number is \(2^{16}\).
A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, antisymmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
\(a \leq a\) से प्रतिवर्तीता मिलती है। यदि \(a \leq b\) और \(b \leq a\), तो (a=b), इसलिए यह प्रतिसममित और संक्रामी भी है। / \(a \leq a\) gives reflexivity. If \(a \leq b\) and \(b \leq a\), then (a=b), so it is also antisymmetric and transitive.
C. अप्रतिवर्ती और संक्रामी है/It is irreflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
किसी भी (a) के लिए (a<a) सत्य नहीं है, इसलिए यह अप्रतिवर्ती है। (a<b) और (b<c) से (a<c) मिलता है। / For no (a), (a<a) is true, so it is irreflexive. From (a<b) and (b<c), we get (a<c).
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
सभी विकर्ण युग्म उपस्थित हैं और ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है। ({1,2}) और ({3}) वर्ग बनते हैं, इसलिए संक्रामिता भी सही है। / All diagonal pairs are present and ((2,1)) is also present with ((1,2)). The classes ({1,2}) and ({3}) show transitivity too.
((1,2)) और ((2,3)) से संक्रामिता के लिए ((1,3)) चाहिए। ऐसे प्रश्नों में मध्य अवयव मिलाकर जांच करें। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)). In such questions, match the middle element.
A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, antisymmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
हर (a) स्वयं को विभाजित करता है। विभाज्यता संबंध प्रतिसममित और संक्रामी होता है, लेकिन सामान्यतः सममित नहीं होता। / Every (a) divides itself. Divisibility is antisymmetric and transitive, but generally not symmetric.
(12) संख्या (6) को विभाजित नहीं करती। ध्यान रखें कि \(a\mid b\) में पहला अवयव विभाजक होता है। / (12) does not divide (6). Remember that in \(a\mid b\), the first element is the divisor.
\(A\times B\) में \(3\times3=9\) युग्म हैं। ठीक (2) युग्म चुनने की संख्या \(\binom{9}{2}=36\) है। / \(A\times B\) has \(3\times3=9\) pairs. The number of ways to choose exactly (2) pairs is \(\binom{9}{2}=36\).
विकर्ण के (5) युग्म स्वतंत्र हैं और विकर्ण से बाहर \(\binom{5}{2}=10\) जोड़े स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^{5+10}=2^{15}\) है। / The (5) diagonal pairs are independent and the off-diagonal \(\binom{5}{2}=10\) unordered pairs are independent. So the number is \(2^{5+10}=2^{15}\).
विकर्ण के (4) युग्म स्वतंत्र रूप से लिए या छोड़े जा सकते हैं। हर अविकर्ण जोड़े के लिए तीन विकल्प हैं, इसलिए \(2^4\cdot3^{\binom{4}{2}}=2^4\cdot3^6\)। / The (4) diagonal pairs may be included or excluded freely. Each off-diagonal unordered pair has three choices, so \(2^4\cdot3^{\binom{4}{2}}=2^4\cdot3^6\).
प्रतिवर्तीता से (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। शेष \(\binom{3}{2}=3\) अविकर्ण जोड़ों में प्रत्येक जोड़ा साथ लिया या छोड़ा जाता है। / Reflexivity makes the (3) diagonal pairs compulsory. For the remaining \(\binom{3}{2}=3\) off-diagonal pairs, each pair is either included together or excluded.
\(a-a=0\in\mathbb{Z}\), और पूर्णांकों में ऋण तथा योग बंद रहते हैं। इसलिए संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है। / \(a-a=0\in\mathbb{Z}\), and integers are closed under negatives and addition. Hence the relation is reflexive, symmetric and transitive.
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=a^2\) से प्रतिवर्तीता मिलती है। बराबरी की प्रकृति से सममिति और संक्रामिता भी मिलती है। / \(a^2=a^2\) gives reflexivity. The nature of equality gives symmetry and transitivity.
(a+b) सम तब होता है जब दोनों की सम-विषमता समान हो। इसलिए दो वर्ग सम पूर्णांक और विषम पूर्णांक हैं। / (a+b) is even when both integers have the same parity. So the two classes are even integers and odd integers.
([3]) में वे अवयव आते हैं जिनका (3) जैसा अवशेष (2) से भाग देने पर हो। इसलिए सभी विषम अवयव ({1,3,5}) मिलते हैं। / ([3]) contains elements having the same remainder as (3) modulo (2). Hence all odd elements ({1,3,5}) are included.
सभी विकर्ण युग्म हैं और ((1,3)) के साथ ((3,1)) भी है। ((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) पहले से है, इसलिए संक्रामिता नहीं टूटती। / All diagonal pairs are present and ((3,1)) is present with ((1,3)). From ((1,3)) and ((3,1)), ((1,1)) already exists, so transitivity is not broken.
A. अप्रतिवर्ती और संक्रामी/Irreflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
(x-x>0) असत्य है, इसलिए संबंध अप्रतिवर्ती है। (x>y) और (y>z) से (x>z) मिलता है। / (x-x>0) is false, so the relation is irreflexive. From (x>y) and (y>z), we get (x>z).
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Explanation
Simple Explanation
यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1), इसलिए सममिति है। पर ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) नहीं मिलता, इसलिए संक्रामिता नहीं है। / If (|a-b|=1), then (|b-a|=1), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,3)) do not give ((1,3)), so it is not transitive.
सममिति के लिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होना चाहिए। इसलिए ((1,2)) के कारण ((2,1)) जोड़ना होगा। / For symmetry, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present. Hence ((2,1)) must be added because of ((1,2)).
\(A\times A\) में सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। इसलिए प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण सदैव पूरे होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible ordered pairs. Hence reflexive, symmetric and transitive properties always hold.
A. सममित और संक्रामी पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
रिक्त संबंध में कोई विरोधी उदाहरण नहीं होता, इसलिए सममिति और संक्रामिता रिक्त रूप से सत्य हैं। अरिक्त (A) में ((a,a)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्तीता नहीं है। / The empty relation has no counterexample, so symmetry and transitivity are vacuously true. For non-empty (A), ((a,a)) is missing, so it is not reflexive.
A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि (a+b=5), तो (b+a=5), इसलिए संबंध सममित है। लेकिन ((1,1)) जैसे विकर्ण युग्म नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / If (a+b=5), then (b+a=5), so the relation is symmetric. But diagonal pairs like ((1,1)) are absent, so it is not reflexive.
A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
योग की अदला-बदली से सममिति मिलती है। पर ((4,4)) के लिए \(4+4\leq6\) असत्य है, इसलिए प्रतिवर्तीता नहीं है। / Symmetry follows because addition is commutative. But for ((4,4)), \(4+4\leq6\) is false, so reflexivity fails.
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Explanation
Simple Explanation
यदि (a-b) विषम है, तो (b-a) भी विषम है। लेकिन (a-a=0) विषम नहीं और ((1,2),(2,3)) से ((1,3)) नहीं मिलता। / If (a-b) is odd, then (b-a) is also odd. But (a-a=0) is not odd, and ((1,2),(2,3)) do not imply ((1,3)).
A. सममित पर संक्रामी नहीं/Symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
योग विषम होने की शर्त सममित है। लेकिन (1R2) और (2R1) सत्य हैं, जबकि (1R1) असत्य है, इसलिए संक्रामिता नहीं है। / The condition that the sum is odd is symmetric. But (1R2) and (2R1) are true, while (1R1) is false, so transitivity fails.
यदि \((a,b)\in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों में है। दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा। / If \((a,b)\in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both relations. Since both are symmetric, ((b,a)) also belongs to both.
हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) दोनों संबंधों में होगा। इसलिए ((a,a)) उनके प्रतिच्छेद में भी होगा। / For every \(a\in A\), ((a,a)) is in both relations. Hence ((a,a)) is also in their intersection.
A. प्रतिवर्ती, सममित, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, symmetric, antisymmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
पहचान संबंध में केवल विकर्ण युग्म होते हैं। इसलिए चारों गुण एक साथ पूरे हो जाते हैं। / The identity relation contains only diagonal pairs. Therefore all four properties hold together.
A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
(a=b) के कारण सभी विकर्ण युग्म हैं और दोनों शर्तें सममित हैं। पर ((1,4)) और ((4,1)) से ((1,1)) तो है, लेकिन ((1,4)) और ((4,4)) से कोई समस्या नहीं; असफलता ((1,4),(4,1)) नहीं, बल्कि ((1,4),(4,1)) से ((1,1)) मिलती है, इसलिए जांच में ((1,4),(4,1)) ध्यान से देखें। / All diagonal pairs are present because of (a=b), and both conditions are symmetric. However, transitivity must be checked carefully; this relation actually stays transitive within paired blocks ({1,4}) and ({2,3}).
A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
(a=b) से प्रतिवर्तीता और (|a-b|=1) से सममिति मिलती है। लेकिन ((1,2)) और ((2,3)) सत्य हैं, जबकि ((1,3)) असत्य है। / (a=b) gives reflexivity and (|a-b|=1) gives symmetry. But ((1,2)) and ((2,3)) are true, while ((1,3)) is false.
\(1\leq2\) सत्य है लेकिन \(2\leq1\) असत्य है। इसलिए यह संबंध सममित नहीं है। / \(1\leq2\) is true but \(2\leq1\) is false. Hence the relation is not symmetric.
संक्रामिता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। इसलिए ((2,12)) अनिवार्य है। / In transitivity, ((a,b)) and ((b,c)) require ((a,c)). Therefore ((2,12)) is necessary.
\(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं। हर संबंध इनका कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है, इसलिए \(2^{n^2}\) संबंध हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs. Each relation can be any subset of it, so there are \(2^{n^2}\) relations.
प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य होते हैं। शेष \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n}\) है। / In a reflexive relation, (n) diagonal pairs are compulsory. The remaining \(n^2-n\) pairs are free, so the number is \(2^{n^2-n}\).
(n) विकर्ण युग्म और \(\binom{n}{2}\) अविकर्ण जोड़े स्वतंत्र होते हैं। इसलिए कुल घात (n+\binom{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) है। / There are (n) diagonal choices and \(\binom{n}{2}\) independent off-diagonal pair choices. Thus the exponent is (n+\binom{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
विकर्ण के (n) युग्म स्वतंत्र हैं। हर अविकर्ण अनियोजित जोड़े के लिए तीन विकल्प होते हैं, इसलिए \(2^n3^{\frac{n(n-1)}{2}}\)। / The (n) diagonal pairs are free. Each off-diagonal unordered pair has three choices, so the count is \(2^n3^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), इसलिए सममिति है। पर (\gcd(2,2)=2\neq1), इसलिए प्रतिवर्तीता नहीं है। / (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), so symmetry holds. But (\gcd(2,2)=2\neq1), so reflexivity fails.
(\operatorname{lcm}(2,4)=4), इसलिए ((2,4)) संबंध में है। बाकी विकल्पों में लघुत्तम समापवर्त्य (4) नहीं है। / (\operatorname{lcm}(2,4)=4), so ((2,4)) is in the relation. In the other options, the least common multiple is not (4).
(|a|=|a|) से प्रतिवर्तीता है। बराबरी के कारण सममिति और संक्रामिता दोनों सत्य हैं। / (|a|=|a|) gives reflexivity. Equality makes both symmetry and transitivity true.
A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, antisymmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(a-b\geq0\) का अर्थ \(a\geq b\) है। यह क्रम संबंध प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी होता है। / The condition \(a-b\geq0\) means \(a\geq b\). This order relation is reflexive, antisymmetric and transitive.
युग्म ((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)) मिलते हैं। इसलिए कुल (5) क्रमित युग्म हैं। / The pairs are ((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)). Therefore there are (5) ordered pairs.
A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
(ab=ba), इसलिए संबंध सममित है। पर ((1,1)) में \(1\cdot1\) सम नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / Since (ab=ba), the relation is symmetric. But for ((1,1)), \(1\cdot1\) is not even, so it is not reflexive.
योग सम तब है जब दोनों अवयव समान सम-विषमता के हों। (3) विषम और (2) सम अवयवों से \(3^2+2^2=13\) युग्म मिलते हैं। / The sum is even when both elements have the same parity. With (3) odd and (2) even elements, the number of pairs is \(3^2+2^2=13\).
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Explanation
Simple Explanation
यदि \(a\neq b\), तो \(b\neq a\), इसलिए सममिति है। लेकिन ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो संबंध में नहीं है। / If \(a\neq b\), then \(b\neq a\), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,1)) would require ((1,1)), which is not in the relation.
समतुल्यता संबंध के लिए प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होना आवश्यक है। प्रतिसममिति आंशिक क्रम से जुड़ा गुण है। / An equivalence relation must be reflexive, symmetric and transitive. Antisymmetry is a property related to partial order.
A. नहीं, संक्रामिता अलग से जांचनी पड़ती है/No, transitivity must be checked separately
Explanation
Simple Explanation
प्रतिवर्तीता और प्रतिसममिति से संक्रामिता स्वतः नहीं मिलती। परीक्षा में हर गुण को उसकी परिभाषा से अलग जांचें। / Reflexivity and antisymmetry do not automatically imply transitivity. In exams, check each property separately from its definition.
A. क्योंकि यह संक्रामी नहीं है/Because it is not transitive
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं है। इसलिए संक्रामिता टूटती है और यह समतुल्यता संबंध नहीं है। / ((1,2)) and ((2,3)) are present, but ((1,3)) is absent. Hence transitivity fails, so it is not an equivalence relation.
