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मान रखने पर ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)) मिलते हैं। ऐसे प्रश्न में हर (a) के लिए संभावित (b) व्यवस्थित रूप से जांचें। / By checking values, we get ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)). In such questions, check possible (b) values for each (a) systematically.
क्योंकि हर \(a \in A\) के लिए \((a,a) \in R\) है। स्वसम जांच में केवल सभी आत्म युग्म देखें। / Because for every \(a \in A\), \((a,a) \in R\). For reflexive check, look only for all self-pairs.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
समान parity वाले तत्व जुड़े हैं, इसलिए संबंध स्वसम, सममित और संकर्मक है। परीक्षा में इसे सम और विषम वर्गों में बांटकर जांचें। / Elements with the same parity are related, so the relation is reflexive, symmetric, and transitive. In exams, check it by splitting into even and odd classes.
हर \((a,b) \in R\) के साथ \((b,a) \in R\) भी है। सममितता में उल्टा युग्म अवश्य जांचें। / For every \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) is also present. In symmetry, always check the reverse pair.
A. क्योंकि \((2,1) \notin R\)/Because \((2,1) \notin R\)
Explanation
Simple Explanation
अलग तत्वों के लिए उल्टा युग्म साथ में नहीं है। प्रत्यासममित में ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों तो (a=b) होना चाहिए। / The reverse pair for distinct elements is not present. In antisymmetry, if ((a,b)) and ((b,a)) both occur, then (a=b) must hold.
हर संख्या स्वयं को भाग देती है और भाग देने का गुण संकर्मक होता है। पर यह सममित नहीं होता जैसे \(1 \mid 2\) पर \(2 \nmid 1\)। / Every number divides itself and divisibility is transitive. But it is not symmetric since \(1 \mid 2\) while \(2 \nmid 1\).
क्योंकि \(A \times A\) में (9) युग्म हैं और संबंध उसका कोई भी उपसमुच्चय है। सूत्र \(2^{n^2}\) याद रखें। / Because \(A \times A\) has (9) pairs and a relation is any subset of it. Remember the formula \(2^{n^2}\).
(4) आत्म युग्म अनिवार्य हैं और बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / The (4) self-pairs are compulsory and the remaining (16-4=12) pairs are free. Hence the number is \(2^{12}\).
(3) आत्म युग्म और (3) अन unordered जोड़े स्वतंत्र हैं। कुल स्वतंत्र चुनाव (3+3=6) हैं। / There are (3) self-pairs and (3) unordered off-diagonal pair choices. Total free choices are (3+3=6).
आत्म युग्मों के लिए \(2^3\) चुनाव और हर अलग जोड़े के लिए (3) चुनाव हैं। इसलिए संख्या \(2^3\cdot 3^3\) है। / Self-pairs give \(2^3\) choices and each distinct unordered pair gives (3) choices. Hence the number is \(2^3\cdot 3^3\).
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है। सभी संभावित श्रृंखलाएं संकर्मकता को नहीं तोड़तीं। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is present. All possible chains keep transitivity true.
((1,2)) और ((2,3)) के लिए जरूरी ((1,3)) मौजूद है। संकर्मकता में केवल वास्तविक श्रृंखलाएं जांचें। / The required ((1,3)) is present for ((1,2)) and ((2,3)). In transitivity, check only actual chains.
A. क्योंकि \((1,3) \notin R\)/Because \((1,3) \notin R\)
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) और ((2,3)) होने पर संकर्मकता के लिए ((1,3)) चाहिए। एक कमी संकर्मकता को असत्य कर देती है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity needs ((1,3)). One missing required pair makes it false.
यह स्वसम, सममित और संकर्मक तीनों है। समान शेषफल वाला संबंध सामान्य तुल्यता संबंध होता है। / It is reflexive, symmetric, and transitive. A same-remainder relation is a standard equivalence relation.
(5) विषम है और उससे सम अंतर वाले सभी पूर्णांक विषम होंगे। तुल्यता वर्ग में समान गुण वाले सभी तत्व आते हैं। / (5) is odd, and all integers differing from it by an even number are odd. An equivalence class contains all elements with the same property.
सम और विषम दो अलग वर्ग बनते हैं। \( \pmod{2}\) में केवल (2) शेषफल संभव हैं। / Even and odd numbers form two separate classes. Under \( \pmod{2}\), only (2) remainders are possible.
\(\le\) स्वसम, प्रत्यासममित और संकर्मक है। इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है। / \(\le\) is reflexive, antisymmetric, and transitive. Therefore it is a partial order relation.
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं है इसलिए शर्त स्वतः सत्य है। रिक्त आधार पर कई गुण vacuously true होते हैं। / There is no element in the empty set, so the condition is automatically true. On an empty base set, many properties are vacuously true.
\(A \times A\) में सभी युग्म होते हैं इसलिए स्वसम और सममित दोनों हैं। यह संकर्मक भी होता है पर प्रत्यासममित सामान्यतः नहीं। / \(A \times A\) contains all pairs, so it is both reflexive and symmetric. It is also transitive but generally not antisymmetric.
B. यह सममित और संकर्मक है/It is symmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
कोई विरोधी युग्म या श्रृंखला नहीं है इसलिए सममित और संकर्मक शर्तें स्वतः सत्य हैं। पर अरिक्त (A) पर यह स्वसम नहीं है। / There is no violating pair or chain, so symmetry and transitivity are vacuously true. But on non-empty (A), it is not reflexive.
A. सममित पर स्वसम नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
(a+b) विषम हो तो (b+a) भी विषम है। पर (a+a) सदैव सम होता है इसलिए स्वसम नहीं। / If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd. But (a+a) is always even, so it is not reflexive.
समान parity वाले तत्व जुड़े हैं इसलिए संबंध स्वसम, सममित और संकर्मक है। यह सम और विषम दो वर्ग बनाता है। / Elements with the same parity are related, so the relation is reflexive, symmetric, and transitive. It forms even and odd classes.
A. स्वसम और सममित पर संकर्मक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
\(|a-a|\le 1\) और (|a-b|=|b-a|) सत्य हैं। पर ((1,2)) और ((2,3)) हैं लेकिन ((1,3)) नहीं है। / \(|a-a|\le 1\) and (|a-b|=|b-a|) are true. But ((1,2)) and ((2,3)) exist while ((1,3)) does not.
(|a-b|=2) होने पर (|b-a|=2) भी होता है। पर ((a,a)) नहीं आता इसलिए स्वसम नहीं। / If (|a-b|=2), then (|b-a|=2) also. But ((a,a)) never occurs, so it is not reflexive.
(b=1) पर (a=4) और (b=2) पर (a=2) मिलता है। इसलिए ((4,1)) और ((2,2)) दो युग्म हैं। / For (b=1), (a=4); for (b=2), (a=2). Thus ((4,1)) and ((2,2)) are the two pairs.
A. यह सममित है पर स्वसम नहीं/It is symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
(ab) सम हो तो (ba) भी सम है। पर ((1,1)) जैसे युग्म नहीं आते इसलिए स्वसम नहीं। / If (ab) is even, then (ba) is even. But pairs like ((1,1)) do not occur, so it is not reflexive.
(A) के सभी तत्व (12) को भाग देते हैं। इसलिए ((a,12)) के (6) युग्म बनेंगे। / All elements of (A) divide (12). Therefore there are (6) pairs of the form ((a,12)).
सममित संबंध में हर युग्म का उल्टा युग्म भी होता है। इसलिए ((5,2)) अनिवार्य है। / In a symmetric relation, the reverse of every pair is also present. Therefore ((5,2)) is compulsory.
अलग तत्वों (3) और (7) के लिए उल्टा युग्म साथ में नहीं हो सकता। यही प्रत्यासममितता की मुख्य जांच है। / For distinct elements (3) and (7), the reverse pair cannot occur together. This is the key test of antisymmetry.
संकर्मकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। यहां (a=1), (b=4), (c=6) हैं। / In transitivity, ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)). Here (a=1), (b=4), and (c=6).
न्यूनतम स्वसम संबंध में केवल सभी आत्म युग्म होते हैं। अतिरिक्त युग्म जरूरी नहीं हैं। / The smallest reflexive relation contains only all self-pairs. Extra pairs are not necessary.
पहचान संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। यह स्वसम, सममित और संकर्मक होता है। / The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)). It is reflexive, symmetric, and transitive.
धनात्मक अलग तत्वों के वर्ग बराबर नहीं होते इसलिए केवल ((a,a)) युग्म मिलते हैं। इसलिए यह पहचान संबंध है। / Squares of distinct positive elements are not equal, so only ((a,a)) pairs occur. Hence it is the identity relation.
बराबर वर्ग वाला संबंध स्वसम, सममित और संकर्मक है। यहां (2) और (-2) एक ही वर्ग में आएंगे। / The equal-square relation is reflexive, symmetric, and transitive. Here (2) and (-2) fall in the same class.
क्योंकि \(a+b\le 6\) होने पर \(b+a\le 6\) भी होगा। पर ((5,5)) नहीं है इसलिए स्वसम नहीं। / Because if \(a+b\le 6\), then \(b+a\le 6\) also. But ((5,5)) is absent, so it is not reflexive.
A. क्योंकि \((1,1)\notin R\)/Because \((1,1)\notin R\)
Explanation
Simple Explanation
((1,1)) के लिए \(1+1\ge 5\) असत्य है। स्वसमता टूटने के लिए एक आत्म युग्म का गायब होना काफी है। / For ((1,1)), \(1+1\ge 5\) is false. One missing self-pair is enough to break reflexivity.
(2) और (5) का \( \pmod{3}\) शेषफल समान है। ([2]) में (2) के समान शेषफल वाले तत्व आते हैं। / (2) and (5) have the same remainder modulo (3). ([2]) contains elements with the same remainder as (2).
संबंध ({1,2}) और ({3,4}) दो समूह बनाता है। हर समूह अलग तुल्यता वर्ग है। / The relation forms two groups, ({1,2}) and ({3,4}). Each group is one equivalence class.
तुल्यता संबंध में संबंधित तत्व एक ही वर्ग में होते हैं। इसलिए उनके तुल्यता वर्ग बराबर होते हैं। / In an equivalence relation, related elements lie in the same class. Hence their equivalence classes are equal.
A. स्वसम, सममित और संकर्मक/Reflexive, symmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
तुल्यता संबंध के लिए तीनों गुण साथ चाहिए। कोई एक गुण छूटे तो वह तुल्यता संबंध नहीं होगा। / An equivalence relation needs all three properties together. If any one is missing, it is not an equivalence relation.
A. स्वसम, प्रत्यासममित और संकर्मक/Reflexive, antisymmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
आंशिक क्रम संबंध में स्वसमता, प्रत्यासममितता और संकर्मकता होती है। \(\le\) और \(\subseteq\) इसके अच्छे उदाहरण हैं। / A partial order relation is reflexive, antisymmetric, and transitive. \(\le\) and \(\subseteq\) are good examples.
\(\subseteq\) स्वसम, प्रत्यासममित और संकर्मक है। इसलिए यह आंशिक क्रम है। / \(\subseteq\) is reflexive, antisymmetric, and transitive. Hence it is a partial order.
A. सममित पर संकर्मक नहीं/Symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
यदि \(a\ne b\), तो \(b\ne a\) भी है। पर ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए जो नहीं है। / If \(a\ne b\), then \(b\ne a\) also. But ((1,2)) and ((2,1)) would require ((1,1)), which is absent.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
समान parity होना स्वसम, सममित और संकर्मक है। यह ({1,3}) और ({2,4}) वर्ग बनाता है। / Having the same parity is reflexive, symmetric, and transitive. It forms the classes ({1,3}) and ({2,4}).
\(4\le b\) केवल (b=4) के लिए सत्य है। अधिकतम तत्व के बाद कोई बड़ा तत्व नहीं होता। / \(4\le b\) is true only for (b=4). No larger element exists after the maximum element.
यह पहले से स्वसम, सममित और संकर्मक है। ({1,2}) और ({3}) इसके तुल्यता वर्ग हैं। / It is already reflexive, symmetric, and transitive. Its equivalence classes are ({1,2}) and ({3}).
