Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से आता है। क्रमित युग्म में स्थान बदलना गलती कराता है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). Changing positions is a common mistake.
यहाँ (|A|=6) और (|B|=4), इसलिए \(|A\times B|=6\cdot4=24\)। पहले समुच्चयों के अवयव गिनें। / Here (|A|=6) and (|B|=4), so \(|A\times B|=6\cdot4=24\). Count the elements first.
तीन समुच्चयों में कार्डिनलिटी \(2\cdot3\cdot2=12\) होती है। क्रमित त्रिक में सभी आकार गुणा करें। / The cardinality for three sets is \(2\cdot3\cdot2=12\). For ordered triples, multiply all sizes.
\(|B\times A|=|B|\cdot|A|=4\cdot2=8\)। क्रम बदलने पर युग्म बदलते हैं, पर संख्या समान रहती है। / \(|B\times A|=|B|\cdot|A|=4\cdot2=8\). Reversing order changes pairs but not the count.
(a=0,1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (14)। असमानता में पंक्ति अनुसार गिनें। / For (a=0,1,2,3,4), the counts of (b) are (4,4,3,2,1), totaling (14). Count row-wise in inequality questions.
(b=1,2,3) के लिए (a) के क्रमशः (4,2,0) मान मिलते हैं, कुल (6)। सीमा हर (b) पर बदलती है। / For (b=1,2,3), the counts of (a) are (4,2,0), totaling (6). The boundary changes for each (b).
हर \(a\in A\) के लिए \(a^2\in B\) है, इसलिए (5) युग्म बनते हैं। नियम आधारित संबंध में हर पहले अवयव को जाँचें। / For every \(a\in A\), \(a^2\in B\), so (5) pairs are formed. Check each first component in a rule-based relation.
(a=2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (3,3,1) मान मिलते हैं, कुल (7)। विभाज्यता में प्रत्येक भाजक अलग जाँचें। / For (a=2,3,4), the counts of (b) are (3,3,1), totaling (7). Check each divisor separately.
अनुकूल युग्म ((2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(8,2)) हैं, इसलिए संख्या (5) है। \(\gcd\) में साझा गुणनखंड सावधानी से देखें। / The suitable pairs are ((2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(8,2)), so the count is (5). Check common factors carefully in \(\gcd\) questions.
\(|A\times B|=20\), इसलिए ठीक (2) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{20}{2}=190\) हैं। ठीक संख्या पूछी हो तो संयोजन लगाएँ। / Since \(|A\times B|=20\), the number of ways to choose exactly (2) pairs is \(\binom{20}{2}=190\). Use combinations for exact-size subsets.
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है और \(|A\times B|=15\), इसलिए संख्या \(2^{15}=32768\) है। संबंधों की संख्या के लिए (2) की घात लगती है। / A relation is a subset of \(A\times B\), and \(|A\times B|=15\), so the number is \(2^{15}=32768\). Number of relations uses a power of (2).
\(B\cup C={2,4,6,8}\), इसलिए (|A\times\(B\cup C\)|=4\cdot4=16)। पहले संघ निकालें। / \(B\cup C={2,4,6,8}\), so (|A\times\(B\cup C\)|=4\cdot4=16). Find the union first.
\(B\cap C={2,4}\), इसलिए कार्डिनलिटी \(3\cdot2=6\) है। प्रतिच्छेद के बाद ही गुणा करें। / \(B\cap C={2,4}\), so the cardinality is \(3\cdot2=6\). Multiply only after finding the intersection.
(B-C={2,4}), इसलिए \(A\times(B-C)\) में (6) युग्म हैं। अंतर में केवल (B) के बचे अवयव लें। / (B-C={2,4}), so \(A\times(B-C)\) has (6) pairs. In set difference, keep only elements remaining from (B).
(\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)) और \(B\cap C={3}\)। इसलिए कार्डिनलिटी \(3\cdot1=3\) है। / (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)), and \(B\cap C={3}\). Hence the cardinality is \(3\cdot1=3\).
(\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)) और \(B\cup C={2,3,4,5}\)। इसलिए \(2\cdot4=8\) अवयव हैं। / (\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)), and \(B\cup C={2,3,4,5}\). Thus there are \(2\cdot4=8\) elements.
युग्म ((1,4),(2,5),(4,1),(5,2)) हैं, कुल (4)। उलटे क्रमित युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((1,4),(2,5),(4,1),(5,2)), totaling (4). Reversed ordered pairs are counted separately.
योग सम तब होता है जब दोनों अवयवों की समता समान हो। गिनती \(3\cdot2+2\cdot2=10\) है। / The sum is even when both components have the same parity. The count is \(3\cdot2+2\cdot2=10\).
(a=1,2,3,4,5,6) के लिए (b) के (4,4,4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (18)। \(\le\) में बराबरी भी गिनें। / For (a=1,2,3,4,5,6), the counts of (b) are (4,4,4,3,2,1), totaling (18). Include equality in \(\le\).
गुणनफल विषम तभी होगा जब दोनों अवयव विषम हों। (A) में (3) और (B) में (2) विषम अवयव हैं, इसलिए \(3\cdot2=6\)। / The product is odd only when both components are odd. (A) has (3) odd elements and (B) has (2), so \(3\cdot2=6\).
(a=1,2,3,4) पर (b=3,6,9,12) मिलता है, पर (a=5) पर \(15\notin B\)। इसलिए (4) युग्म हैं। / For (a=1,2,3,4), we get (b=3,6,9,12), but for (a=5), \(15\notin B\). Hence there are (4) pairs.
शर्त (a=2b+1) देती है, इसलिए (b=0,1,2,3) पर (a=1,3,5,7) मिलते हैं। कुल (4) युग्म हैं। / The condition gives (a=2b+1), so for (b=0,1,2,3), (a=1,3,5,7). There are (4) pairs in total.
अंतर सम तब होता है जब दोनों की समता समान हो। गिनती \(2\cdot2+2\cdot3=10\) है। / The difference is even when both have the same parity. The count is \(2\cdot2+2\cdot3=10\).
कुल (36) युग्म हैं और बराबर युग्म (6) हैं, इसलिए (36-6=30)। पूरक गिनती तेज तरीका है। / There are (36) total pairs and (6) equal pairs, so (36-6=30). Complement counting is a quick method.
हर \(a\in A\) का \(a^2\) (B) में है, इसलिए (7) युग्म बनते हैं। ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग को ध्यान से देखें। / For every \(a\in A\), \(a^2\) is in (B), so (7) pairs are formed. Watch squares of negative numbers carefully.
सभी योग जाँचने पर अभाज्य योग वाले (10) युग्म मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में संभावित योगों को व्यवस्थित रूप से जाँचें। / Checking all sums gives (10) pairs with prime sum. In such questions, test possible sums systematically.
शर्त (b=4a) है, इसलिए ((1,4),(2,8),(4,16)) मिलते हैं। भिन्न को सरल समीकरण में बदलें। / The condition is (b=4a), so the pairs are ((1,4),(2,8),(4,16)). Convert the fraction into a simple equation.
संतुष्ट युग्म ((4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,5)) नहीं गिने जाते दो बार; सही युग्म ((4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,4)) नहीं बल्कि कुल (4) हैं। / The satisfying pairs are ((4,4),(4,5),(5,4),(5,5)), so the total is (4). Count each ordered pair once.
योग (5) से विभाज्य होने वाले युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। शेषफल के आधार पर गिनना आसान होता है। / The pairs with sum divisible by (5) are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)). Counting by remainders is easier.
(a=1,2,3,4,5) के लिए (b) के (6,3,2,1,1) मान हैं, कुल (13)। हर (a) के गुणज (B) में गिनें। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of (b) are (6,3,2,1,1), totaling (13). Count multiples of each (a) inside (B).
दूसरे अवयवों का समुच्चय \(C=\{1,3,5\}\) है। मूल समुच्चय पहचानते समय युग्म का स्थान देखें। / The set of second components is \(C=\{1,3,5\}\). Observe the position in each pair to identify the original set.
क्योंकि (A) रिक्त नहीं है और \(A\times B=\varnothing\), इसलिए \(B=\varnothing\)। रिक्त गुणनफल में कम से कम एक समुच्चय रिक्त होता है। / Since (A) is non-empty and \(A\times B=\varnothing\), we must have \(B=\varnothing\). An empty product means at least one set is empty.
((5,6)) में पहला अवयव (5) है, जो (A) में नहीं है। सदस्यता में दोनों स्थान अलग-अलग जाँचें। / In ((5,6)), the first component (5) is not in (A). Check both positions separately for membership.
समुच्चय में क्रम महत्व नहीं रखता, इसलिए (A=B) है और दोनों गुणनफल समान हैं। पहले देखें कि दोनों समुच्चय वास्तव में समान हैं या नहीं। / Order inside a set does not matter, so (A=B), and both products are equal. First check whether the two sets are actually the same.
(|A|=4) और \(4\cdot|B|=28\), इसलिए (|B|=7)। अज्ञात कार्डिनलिटी के लिए भाग करें। / Since (|A|=4) and \(4\cdot|B|=28\), we get (|B|=7). Divide to find the unknown cardinality.
\(|A\times B|=12\), इसलिए गैर-रिक्त उपसमुच्चय \(2^{12}-1=4095\) हैं। रिक्त समुच्चय घटाना न भूलें। / \(|A\times B|=12\), so non-empty subsets are \(2^{12}-1=4095\). Do not forget to subtract the empty set.
शर्त से ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) मिलते हैं, इसलिए (4) अवयव हैं। संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। / The condition gives ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)), so there are (4) elements. A relation is a subset of \(A\times B\).
सम संख्या और विषम संख्या का योग हमेशा विषम होता है। समता वाले प्रश्न में सभी युग्म लिखना जरूरी नहीं है। / The sum of an even number and an odd number is always odd. In parity questions, listing all pairs is not necessary.
(\gcd(a,b)=1) वाले युग्म गिनने पर (19) मिलते हैं। (1) हर संख्या के साथ परस्पर अभाज्य होता है। / Counting pairs with (\gcd(a,b)=1) gives (19). The number (1) is coprime with every number.
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के (5,4,3,2) मान मिलते हैं, कुल (14)। कठोर असमानता में सीमा बराबर नहीं गिनी जाती। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (5,4,3,2), totaling (14). In a strict inequality, the boundary is not included.
शर्त से ((1,10),(3,8),(5,6)) मिलते हैं। (b=11-a) (B) में है या नहीं, यह जाँचें। / The condition gives ((1,10),(3,8),(5,6)). Check whether (b=11-a) belongs to (B).
योग (7) और (a<b) के लिए ((1,6),(2,5),(3,4)) मिलते हैं। संयुक्त शर्तों को क्रम से लगाएँ। / For sum (7) and (a<b), the pairs are ((1,6),(2,5),(3,4)). Apply combined conditions step by step.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के (4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (10)। \(\le\) में बराबरी शामिल होती है। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (4,3,2,1), totaling (10). The symbol \(\le\) includes equality.
(a=2,3,5) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2) मान मिलते हैं, कुल (9)। हर (a) के गुणज (B) में गिनें। / For (a=2,3,5), the counts of (b) are (4,3,2), totaling (9). Count multiples of each (a) in (B).
(a=1,2,3,4,5) के लिए (b) के (6,5,3,2,2) मान मिलते हैं, कुल (18)। गुणन शर्त में सीमा बदलती है। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of (b) are (6,5,3,2,2), totaling (18). In product conditions, the boundary changes.
\(|A\times B|=2\cdot3=6\) और फिर \(6\cdot3=18\)। नेस्टेड गुणनफल में भी कार्डिनलिटी गुणा होती है। / \(|A\times B|=2\cdot3=6\), and then \(6\cdot3=18\). Cardinality also multiplies in nested products.
कुल (25) युग्म हैं और विकर्ण युग्म (5) हैं, इसलिए (25-5=20)। विकर्ण हटाने पर \(a\ne b\) वाले युग्म बचते हैं। / There are (25) total pairs and (5) diagonal pairs, so (25-5=20). Removing the diagonal leaves pairs with \(a\ne b\).
योग (2) से विभाज्य तब है जब दोनों की समता समान हो। गिनती \(3\cdot2+3\cdot2=12\) है। / The sum is divisible by (2) when both have the same parity. The count is \(3\cdot2+3\cdot2=12\).
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (3,2,1,0) मान मिलते हैं, कुल (6)। शर्त को हर पहले अवयव पर लगाएँ। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (3,2,1,0), totaling (6). Apply the condition to each first component.
