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\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा अवयव (B) से आता है। क्रमित युग्म में क्रम बदलने से उत्तर बदल जाता है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). Changing order changes the ordered pair.
योग (4) से विभाज्य होने वाले युग्म ((1,3),(2,2),(3,1),(4,4),(5,3)) हैं। ऐसे प्रश्नों में शेषफल के आधार पर गिनती करें। / The pairs with sum divisible by (4) are ((1,3),(2,2),(3,1),(4,4),(5,3)). In such questions, count using remainders.
यहाँ \(A=\{2,3,4,5,6\}\) और \(B=\{1,3,5,7\}\), इसलिए \(|A\times B|=5\cdot4=20\)। पहले दोनों समुच्चयों की संख्या गिनें। / Here \(A=\{2,3,4,5,6\}\) and \(B=\{1,3,5,7\}\), so \(|A\times B|=5\cdot4=20\). First count both sets.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2,1) मान मिलते हैं, इसलिए कुल (10) युग्म हैं। असमानता में हर पहले अवयव पर सीमा अलग जाँचें। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (4,3,2,1), so there are (10) pairs. In inequalities, check the boundary for each first component.
तीन समुच्चयों के गुणनफल में कार्डिनलिटी \(3\cdot2\cdot3=18\) होती है। क्रमित त्रिक में सभी समुच्चयों के आकार गुणा करें। / For product of three sets, the cardinality is \(3\cdot2\cdot3=18\). For ordered triples, multiply the sizes of all sets.
\(|B\times A|=|B|\cdot|A|=2\cdot3=6\)। क्रम बदलने से युग्म बदलते हैं, पर कार्डिनलिटी समान रहती है। / \(|B\times A|=|B|\cdot|A|=2\cdot3=6\). Reversing order changes pairs but not the cardinality.
शर्त से युग्म ((2,6)) और ((4,4)) मिलते हैं। हर (a) के लिए (b=8-a) जाँचें। / The condition gives the pairs ((2,6)) and ((4,4)). For each (a), check (b=8-a).
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (10)। असमानता में पंक्ति के अनुसार गिनती करें। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (4,3,2,1), totaling (10). Count row-wise in inequality questions.
(b=1) पर (a=2,3,4,5) मिलते हैं और (b=2,3) पर क्रमशः (2,0) मान मिलते हैं, कुल (4+2+0=6) नहीं बल्कि (6) है। सही विकल्प (D) होना चाहिए। / For (b=1), (a=2,3,4,5); for (b=2,3), counts are (2,0), so total is (6). The correct option should be (D).
हर \(a\in A\) के लिए \(a^2\in B\) है, इसलिए (4) युग्म बनते हैं। नियम आधारित प्रश्न में सभी पहले अवयव जाँचें। / For every \(a\in A\), \(a^2\in B\), so (4) pairs are formed. In rule-based questions, check all first components.
(a=1) से (4), (a=2) से (2), और (a=3) से (1) युग्म मिलते हैं, कुल (7)। विभाज्यता में प्रत्येक भाजक को अलग जाँचें। / For (a=1), there are (4) pairs; for (a=2), (2); and for (a=3), (1), totaling (7). Check each divisor separately.
ऐसे युग्म ((2,2),(2,4),(4,2)) हैं, इसलिए संख्या (3) है। \(\gcd\) वाले प्रश्न में सामान्य गुणनखंड जाँचें। / The pairs are ((2,2),(2,4),(4,2)), so the number is (3). In \(\gcd\) questions, check common factors.
\(|A\times B|=12\), इसलिए ठीक (3) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{12}{3}=220\) हैं। ठीक संख्या पूछी हो तो संयोजन लगाएँ। / Since \(|A\times B|=12\), the number of ways to choose exactly (3) pairs is \(\binom{12}{3}=220\). Use combinations when an exact size is asked.
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है और \(|A\times B|=10\), इसलिए संख्या \(2^{10}=1024\) है। संबंधों की संख्या के लिए घात (2) लगती है। / A relation is a subset of \(A\times B\), and \(|A\times B|=10\), so the number is \(2^{10}=1024\). Number of relations uses a power of (2).
\(B\cup C={2,3,4,5}\), इसलिए (|A\times\(B\cup C\)|=3\cdot4=12)। पहले संघ निकालें फिर गुणा करें। / \(B\cup C={2,3,4,5}\), so (|A\times\(B\cup C\)|=3\cdot4=12). Find the union first, then multiply.
\(B\cap C={2,5}\), इसलिए कार्डिनलिटी \(4\cdot2=8\) है। प्रतिच्छेद को पहले सरल करना जरूरी है। / \(B\cap C={2,5}\), so the cardinality is \(4\cdot2=8\). Simplify the intersection first.
(B-C={1}), इसलिए \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1),(2,1)}\)। अंतर में केवल (B) के बचे अवयव लें। / (B-C={1}), so \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1),(2,1)}\). In difference, take only remaining elements of (B).
(\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)) और \(B\cap C={3}\)। इसलिए कार्डिनलिटी \(2\cdot1=2\) है। / (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)), and \(B\cap C={3}\). Hence the cardinality is \(2\cdot1=2\).
(\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)) और \(B\cup C={4,5,6}\)। इसलिए \(3\cdot3=9\) अवयव हैं। / (\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)), and \(B\cup C={4,5,6}\). Thus there are \(3\cdot3=9\) elements.
युग्म ((1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)) हैं, कुल (6)। उलटे क्रमित युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)), totaling (6). Reversed ordered pairs are counted separately.
योग सम तब होता है जब दोनों अवयवों की समता समान हो। गिनती \(2\cdot2+2\cdot2=8\) है। / The sum is even when both components have the same parity. The count is \(2\cdot2+2\cdot2=8\).
(a=1,2,3,4,5) के लिए (b) के (4,4,3,2,1) मान हैं, कुल (14)। सीमा सहित असमानता में बराबरी भी गिनें। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of (b) are (4,4,3,2,1), totaling (14). Include equality in a boundary inequality.
कुल (16) युग्म हैं और (ab) विषम केवल तब है जब दोनों विषम हों, ऐसे \(2\cdot2=4\) हैं। इसलिए सम गुणनफल (16-4=12) हैं। / There are (16) total pairs, and (ab) is odd only when both are odd, giving \(2\cdot2=4\). Hence even products are (16-4=12).
शर्त से ((1,2)) और ((2,4)) मिलते हैं; (a=3,4) पर (b) (B) में नहीं है। इसलिए (2) युग्म हैं। / The condition gives ((1,2)) and ((2,4)); for (a=3,4), (b) is not in (B). Hence there are (2) pairs.
शर्त (a=2b+1) देती है, इसलिए (b=0,1,2) पर (a=1,3,5) मिलते हैं। कुल (3) युग्म हैं। / The condition gives (a=2b+1), so for (b=0,1,2), (a=1,3,5). There are (3) pairs in total.
अंतर विषम तब होता है जब (a) और (b) की समता अलग हो। गिनती \(2\cdot3+2\cdot2=10\) है। / The difference is odd when (a) and (b) have opposite parity. The count is \(2\cdot3+2\cdot2=10\).
कुल (25) युग्म हैं और बराबर युग्म (5) हैं, इसलिए (25-5=20)। पूरक गिनती तेज तरीका है। / There are (25) total pairs and (5) equal pairs, so (25-5=20). Complement counting is a quick method.
हर \(a\in A\) के लिए \(a^2\) (B) में है, इसलिए (5) युग्म बनते हैं। ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग को ध्यान से देखें। / For every \(a\in A\), \(a^2\) is in (B), so (5) pairs are formed. Watch squares of negative numbers carefully.
सभी योग जाँचने पर अभाज्य योग वाले (7) युग्म मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में (2,3,5,7) जैसे अभाज्य योग देखें। / Checking all sums gives (7) pairs with prime sum. In such questions, look for prime sums like (2,3,5,7).
शर्त (b=2a) है, इसलिए ((1,2),(2,4),(3,6)) मिलते हैं। भिन्न को सरल समीकरण में बदलें। / The condition is (b=2a), so the pairs are ((1,2),(2,4),(3,6)). Convert the fraction into a simple equation.
संतुष्ट युग्म ((3,3),(3,4),(4,3),(4,4)) नहीं बल्कि ((3,3),(3,4),(4,3),(4,4)) कुल (4) हैं। सही विकल्प (C) होना चाहिए। / The satisfying pairs are ((3,3),(3,4),(4,3),(4,4)), totaling (4). The correct option should be (C).
योग (3) से विभाज्य होने वाले युग्म ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3)) हैं। इसलिए कुल (4) युग्म हैं। / The pairs with sum divisible by (3) are ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3)). Hence there are (4) pairs.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के (5,2,1,1) मान हैं, कुल (9) नहीं बल्कि (9) हैं। सही विकल्प (B) होना चाहिए। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (5,2,1,1), totaling (9). The correct option should be (B).
दूसरे अवयवों का समुच्चय \(C=\{3,4,5\}\) है। कार्तीय गुणनफल से मूल समुच्चय पहचानते समय स्थान देखें। / The set of second components is \(C=\{3,4,5\}\). When identifying original sets, observe the positions.
क्योंकि (B) रिक्त नहीं है और \(A\times B=\varnothing\), इसलिए \(A=\varnothing\)। रिक्त गुणनफल में कम से कम एक समुच्चय रिक्त होता है। / Since (B) is non-empty and \(A\times B=\varnothing\), we must have \(A=\varnothing\). An empty product means at least one set is empty.
((4,5)) में पहला अवयव (4) है, जो (A) में नहीं है। सदस्यता में पहला और दूसरा स्थान अलग-अलग जाँचें। / In ((4,5)), the first component (4) is not in (A). Check the first and second positions separately.
उदाहरण के लिए \((1,4)\in A\times B\), पर \((1,4)\notin B\times A\) है। इसलिए बराबरी गलत है। / For example, \((1,4)\in A\times B\), but \((1,4)\notin B\times A\). Therefore the equality is false.
(|A|=3) और \(3\cdot|B|=15\), इसलिए (|B|=5)। अज्ञात कार्डिनलिटी के लिए भाग करें। / Since (|A|=3) and \(3\cdot|B|=15\), (|B|=5). Divide to find the unknown cardinality.
\(|A\times B|=12\), इसलिए गैर-रिक्त उपसमुच्चय \(2^{12}-1=4095\) हैं। रिक्त समुच्चय घटाना न भूलें। / \(|A\times B|=12\), so non-empty subsets are \(2^{12}-1=4095\). Do not forget to subtract the empty set.
शर्त से ((1,3),(2,2),(3,1)) मिलते हैं, इसलिए (3) अवयव हैं। संबंध \(A\times B\) का चुना हुआ भाग होता है। / The condition gives ((1,3),(2,2),(3,1)), so there are (3) elements. A relation is a selected part of \(A\times B\).
(B) के सभी अवयव विषम हैं, इसलिए योग विषम तभी होगा जब (a) सम हो। (a) के (2) सम मान और (B) के (3) मान हैं, कुल (6)। / All elements of (B) are odd, so the sum is odd only when (a) is even. There are (2) even values of (a) and (3) values in (B), totaling (6).
शर्त से ((2,8)) और ((4,6)) मिलते हैं। (b=10-a) (B) में है या नहीं, यह जाँचें। / The condition gives ((2,8)) and ((4,6)). Check whether (b=10-a) lies in (B).
योग (6) वाले युग्मों में (a<b) के लिए ((1,5)) और ((2,4)) ही मिलते हैं। संयुक्त शर्तों को एक-एक करके लगाएँ। / Among pairs with sum (6), only ((1,5)) and ((2,4)) have (a<b). Apply combined conditions one by one.
(a=1,2,3) के लिए (b) के (3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (6)। \(\le\) में बराबरी भी शामिल होती है। / For (a=1,2,3), the counts of (b) are (3,2,1), totaling (6). The symbol \(\le\) includes equality.
(a=2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2) मान मिलते हैं, कुल (9)। हर (a) के गुणज (B) में गिनें। / For (a=2,3,4), the counts of (b) are (4,3,2), totaling (9). Count multiples of each (a) inside (B).
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के (6,4,2,2) मान मिलते हैं, कुल (14)। गुणन शर्त में प्रत्येक (a) पर सीमा अलग होती है। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (6,4,2,2), totaling (14). In product conditions, the limit changes for each (a).
\(|A\times B|=3\cdot2=6\) और फिर \(6\cdot2=12\)। नेस्टेड गुणनफल में भी कार्डिनलिटी गुणा होती है। / \(|A\times B|=3\cdot2=6\), and then \(6\cdot2=12\). Cardinality still multiplies in nested products.
कुल (16) युग्म हैं और विकर्ण युग्म (4) हैं, इसलिए (16-4=12)। विकर्ण हटाने पर \(a\ne b\) वाले युग्म बचते हैं। / There are (16) total pairs and (4) diagonal pairs, so (16-4=12). Removing the diagonal leaves pairs with \(a\ne b\).
योग (2) से विभाज्य तब है जब दोनों की समता समान हो। गिनती \(3\cdot2+2\cdot2=10\) है। / The sum is divisible by (2) when both have the same parity. The count is \(3\cdot2+2\cdot2=10\).
(a=1) पर (b=3,4) और (a=2) पर (b=4) मिलता है, कुल (3)। शर्त को प्रत्येक पहले अवयव पर लगाएँ। / For (a=1), (b=3,4); for (a=2), (b=4), giving total (3). Apply the condition to each first component.
