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Subjects
Class 11 Mathematics Hard Level 26

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) दिया गया है। निम्नलिखित में से सही कथन चुनिए।

On the set \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), the relation \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) is defined. Choose the correct statement.

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. सममित, लेकिन प्रतिवर्ती नहींSymmetric but not reflexive

Explanation

Simple Explanation

किसी भी \(a,b\in A\) के लिए \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\) होता है, इसलिए \(R\) सममित है। लेकिन प्रतिवर्ती होने के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना चाहिए। यहाँ \(\gcd(2,2)=2\neq1\), अतः \((2,2)\notin R\) और संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B और D प्रतिवर्तिता के अभाव में गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: \(\gcd\)-आधारित संबंधों में सममिति जाँचने के लिए क्रम बदलकर \(\gcd\) देखें, जबकि प्रतिवर्तिता के लिए \(\gcd(a,a)\) जाँचें। / For any \(a,b\in A\), \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\), so the relation is symmetric. However, reflexivity requires \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). Since \(\gcd(2,2)=2\neq1\), we have \((2,2)\notin R\), so the relation is not reflexive. Therefore, option A is correct. Options B and D are false because reflexivity fails. Exam tip: For a gcd-based relation, test symmetry by interchanging the two elements and test reflexivity using \(\gcd(a,a)\).

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) दिया गया है। निम्नलिखित में से सही कथन चुनिए। / On the set \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), the relation \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) is defined. Choose the correct statement.

Correct Answer: A. सममित, लेकिन प्रतिवर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive. Explanation: किसी भी \(a,b\in A\) के लिए \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\) होता है, इसलिए \(R\) सममित है। लेकिन प्रतिवर्ती होने के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना चाहिए। यहाँ \(\gcd(2,2)=2\neq1\), अतः \((2,2)\notin R\) और संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B और D प्रतिवर्तिता के अभाव में गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: \(\gcd\)-आधारित संबंधों में सममिति जाँचने के लिए क्रम बदलकर \(\gcd\) देखें, जबकि प्रतिवर्तिता के लिए \(\gcd(a,a)\) जाँचें। / For any \(a,b\in A\), \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\), so the relation is symmetric. However, reflexivity requires \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). Since \(\gcd(2,2)=2\neq1\), we have \((2,2)\notin R\), so the relation is not reflexive. Therefore, option A is correct. Options B and D are false because reflexivity fails. Exam tip: For a gcd-based relation, test symmetry by interchanging the two elements and test reflexivity using \(\gcd(a,a)\).