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Subjects
Class 11 Mathematics Hard Level 27

समुच्चय \(X=\{1,2,3\}\) के घात समुच्चय \(\mathcal{P}(X)\) पर संबंध \(R\) इस प्रकार परिभाषित है: \(A R B\) तब और केवल तब जब \(A\subseteq B\)। यह संबंध किस प्रकार का है?

On the power set \(\mathcal{P}(X)\) of \(X=\{1,2,3\}\), a relation \(R\) is defined by \(A R B\) if and only if \(A\subseteq B\). What type of relation is it?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation

Explanation

Simple Explanation

उपसमुच्चय संबंध \(\subseteq\) प्रतिवर्ती है, क्योंकि प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। यह प्रतिसममित भी है: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो \(A=B\)। साथ ही यह संक्रामी है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है। यह समतुल्यता संबंध नहीं है, क्योंकि सामान्यतः सममिति नहीं होती; उदाहरण के लिए \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), परंतु \(\{1,2\}\nsubseteq\{1\}\)। परीक्षा-टिप: आंशिक क्रम की जाँच के लिए प्रतिवर्तिता, प्रतिसममिति और संक्रामिता तीनों जाँचें। / The subset relation \(\subseteq\) is reflexive because every set is a subset of itself. It is antisymmetric: if \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then \(A=B\). It is also transitive, so it is a partial order relation. It is not an equivalence relation because it is generally not symmetric; for example, \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), but \(\{1,2\}\nsubseteq\{1\}\). Exam tip: To identify a partial order, check reflexivity, antisymmetry, and transitivity.

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समुच्चय \(X=\{1,2,3\}\) के घात समुच्चय \(\mathcal{P}(X)\) पर संबंध \(R\) इस प्रकार परिभाषित है: \(A R B\) तब और केवल तब जब \(A\subseteq B\)। यह संबंध किस प्रकार का है? / On the power set \(\mathcal{P}(X)\) of \(X=\{1,2,3\}\), a relation \(R\) is defined by \(A R B\) if and only if \(A\subseteq B\). What type of relation is it?

Correct Answer: A. आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation. Explanation: उपसमुच्चय संबंध \(\subseteq\) प्रतिवर्ती है, क्योंकि प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। यह प्रतिसममित भी है: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो \(A=B\)। साथ ही यह संक्रामी है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है। यह समतुल्यता संबंध नहीं है, क्योंकि सामान्यतः सममिति नहीं होती; उदाहरण के लिए \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), परंतु \(\{1,2\}\nsubseteq\{1\}\)। परीक्षा-टिप: आंशिक क्रम की जाँच के लिए प्रतिवर्तिता, प्रतिसममिति और संक्रामिता तीनों जाँचें। / The subset relation \(\subseteq\) is reflexive because every set is a subset of itself. It is antisymmetric: if \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then \(A=B\). It is also transitive, so it is a partial order relation. It is not an equivalence relation because it is generally not symmetric; for example, \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), but \(\{1,2\}\nsubseteq\{1\}\). Exam tip: To identify a partial order, check reflexivity, antisymmetry, and transitivity.