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Class 11 Mathematics Hard Level 27

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}\) पर संबंध \(R\) इस प्रकार परिभाषित है: \(aRb\) तब और केवल तब जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{8}\)। संबंध \(R\) के अंतर्गत 1 का तुल्यता वर्ग \([1]_R\) कौन-सा है?

On the set \(A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}\), define a relation \(R\) by \(aRb\) if and only if \(a^2\equiv b^2 \pmod{8}\). What is the equivalence class \([1]_R\) of 1 under \(R\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(\{1,3,5,7\}\)

Explanation

Simple Explanation

\([1]_R\) में वे सभी \(b\in A\) होंगे जिनके लिए \(b^2\equiv 1^2\equiv 1 \pmod{8}\)। सभी विषम संख्याओं का वर्ग 8 से भाग देने पर शेषफल 1 देता है: \(1^2,3^2,5^2,7^2\equiv 1 \pmod{8}\)। इसलिए \([1]_R=\{1,3,5,7\}\)। विकल्प B सभी सम संख्याएँ देता है, जिनके वर्ग का शेषफल 1 नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \([a]_R\) ज्ञात करने के लिए समुच्चय के प्रत्येक \(b\) पर \(b^2\equiv a^2 \pmod{8}\) जाँचें। / The class \([1]_R\) contains all \(b\in A\) such that \(b^2\equiv 1^2\equiv 1 \pmod{8}\). Every odd number has square congruent to 1 modulo 8, so \(1^2,3^2,5^2,7^2\equiv 1 \pmod{8}\). Hence \([1]_R=\{1,3,5,7\}\). Option B lists the even elements, whose squares are not congruent to 1 modulo 8. Exam tip: To find \([a]_R\), test each element \(b\) of the set using \(b^2\equiv a^2 \pmod{8}\).

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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}\) पर संबंध \(R\) इस प्रकार परिभाषित है: \(aRb\) तब और केवल तब जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{8}\)। संबंध \(R\) के अंतर्गत 1 का तुल्यता वर्ग \([1]_R\) कौन-सा है? / On the set \(A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}\), define a relation \(R\) by \(aRb\) if and only if \(a^2\equiv b^2 \pmod{8}\). What is the equivalence class \([1]_R\) of 1 under \(R\)?

Correct Answer: A. \(\{1,3,5,7\}\). Explanation: \([1]_R\) में वे सभी \(b\in A\) होंगे जिनके लिए \(b^2\equiv 1^2\equiv 1 \pmod{8}\)। सभी विषम संख्याओं का वर्ग 8 से भाग देने पर शेषफल 1 देता है: \(1^2,3^2,5^2,7^2\equiv 1 \pmod{8}\)। इसलिए \([1]_R=\{1,3,5,7\}\)। विकल्प B सभी सम संख्याएँ देता है, जिनके वर्ग का शेषफल 1 नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \([a]_R\) ज्ञात करने के लिए समुच्चय के प्रत्येक \(b\) पर \(b^2\equiv a^2 \pmod{8}\) जाँचें। / The class \([1]_R\) contains all \(b\in A\) such that \(b^2\equiv 1^2\equiv 1 \pmod{8}\). Every odd number has square congruent to 1 modulo 8, so \(1^2,3^2,5^2,7^2\equiv 1 \pmod{8}\). Hence \([1]_R=\{1,3,5,7\}\). Option B lists the even elements, whose squares are not congruent to 1 modulo 8. Exam tip: To find \([a]_R\), test each element \(b\) of the set using \(b^2\equiv a^2 \pmod{8}\).