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\(x^2=16\) के हल (-4) और (4) हैं इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। परीक्षा में क्रम नहीं अवयव देखें। / The solutions of \(x^2=16\) are (-4) and (4) so both sets have the same elements. In exams compare elements not order.
एक-अवयवी उपसमुच्चय ({a},{b},{c}) होते हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में अवयव और उपसमुच्चय के स्तर को ध्यान से देखें। / The singleton subsets are ({a},{b},{c}), so the two sets are equal. In exams carefully check the level of elements and subsets.
दस से छोटे धनात्मक सम पूर्णांक (2,4,6,8) हैं। वर्णनात्मक रूप को रोस्टर रूप में बदलकर मिलान करें। / The positive even integers less than ten are (2,4,6,8). Convert set builder form to roster form before comparing.
विकल्प D में \({{\varnothing}}\) अवयव है जो (A) में नहीं है। रिक्त समुच्चय वाले प्रश्नों में कोष्ठकों की संख्या गिनें। / Option D contains \({{\varnothing}}\) as an element, which is not in (A). In empty set questions count the braces carefully.
समुच्चय में क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता पर ({3}) और (3) अलग हैं। नेस्टेड अवयव को अलग पहचानें। / Changing order does not change a set but ({3}) and (3) are different. Identify nested elements carefully.
\(A\subseteq B\) है और (B) में (A) के अलावा कोई नया अवयव नहीं है इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। बराबरी सिद्ध करने में दोनों ओर सम्मिलन की सोच उपयोगी है। / Since \(A\subseteq B\) and (B) has no new element outside (A), both have the same elements. Thinking about inclusion from both sides helps prove equality.
तीन अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^3=8\) होते हैं। कुल उपसमुच्चय में रिक्त समुच्चय और वही समुच्चय भी गिनें। / A set with three elements has \(2^3=8\) subsets. Count the empty set and the set itself among all subsets.
(|x-2|<2) से पूर्णांक (1,2,3) मिलते हैं और ({1,3}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव अंदर होते हैं लेकिन पूरा समुच्चय नहीं होता। / The condition (|x-2|<2) gives integers (1,2,3), and ({1,3}) lies inside it but is not equal to it. A proper subset has all elements inside but is not the whole set.
किसी n-तत्व समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों की संख्या अर्थात् power set की संख्या होती है \(2^n\)। इसलिए उचित उपसमुच्चयों (proper subsets) की संख्या \(2^n-1\) होगी। दिए गए प्रश्न में \(2^n-1=31\) से \(2^n=32\) और इसलिए \(n=5\) आता है। विकल्प C (6) गलत है क्योंकि \(2^6-1=63\) और विकल्प A (4) भी गलत है क्योंकि \(2^4-1=15\)। परीक्षा सुझाव: "उचित उपसमुच्चयों की संख्या +1 = power set की संख्या" यह सरल चेक हमेशा याद रखें। / For a set with n elements, the total number of subsets (power set) is \(2^n\), so the number of proper subsets is \(2^n-1\). Given \(2^n-1=31\), we get \(2^n=32\) and hence \(n=5\). Option C (6) is incorrect because \(2^6-1=63\), and option A (4) is incorrect because \(2^4-1=15\). Exam tip: add 1 to the given number of proper subsets to get the power set size, then solve \(2^n\).
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है और ({0}) रिक्त नहीं है। \(\varnothing\) और (0) को अलग रखें। / The empty set is a subset of every set and ({0}) is not empty. Keep \(\varnothing\) and (0) different.
दोनों समुच्चय के तत्व एक जैसे हैं: \(m,a,t,h\)। समुच्चय में क्रम और दोहराव का कोई अर्थ नहीं रहता, इसलिए \(A\) और \(B\) के सभी तत्व समान होने पर \(A=B\) होगा। विकल्प (B) और (C) गलत हैं क्योंकि किसी समुच्चय में दूसरे का सख्त भाग (proper subset) होने के लिए कम से कम एक अतिरिक्त तत्व होना चाहिए — यहाँ ऐसा नहीं है। विकल्प (D) गलत है क्योंकि उनका साझा भाग खाली नहीं है। परीक्षा-Tip: जब सेट वर्णन में शब्द दिए हों तो उसे खुले-वस्तु (list) में लिखकर सभी अलग-अलग तत्व निकाल लें और फिर तुलना करें। / Both sets contain exactly the same elements \(m,a,t,h\). In set theory order and repetition do not matter, so if two sets have identical elements then \(A=B\). Options (B) and (C) are false because a proper subset relation requires one set to lack at least one element present in the other — that is not the case here. Option (D) is false because the intersection is not empty. Exam tip: convert a verbal set description into an explicit list of distinct elements and then compare the lists for equality or subset relations.
आठ से छोटे धनात्मक विषम पूर्णांक (1,3,5,7) हैं। शब्दों में दिए समुच्चय को अवयवों में लिखें। / The positive odd integers less than eight are (1,3,5,7). Write the described set in elements before comparing.
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Explanation
Simple Explanation
(B) के सभी अवयव (A) में हैं लेकिन (A) में अतिरिक्त अवयव भी हैं। इसे उचित उपसमुच्चय कहते हैं। / All elements of (B) are in (A), but (A) has extra elements. This is a proper subset relation.
12 का अभाज्य गुणनखंड लिखने पर 12 = 22 × 3 मिलता है। समुच्चय में केवल अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं, इसलिए A = {2,3} होता है। अतः A और B के तत्व एक जैसे हैं और A = B सत्य है। निकटतम भ्रामक विकल्प C गलत है क्योंकि B कोई सही उपसमुच्चय (proper subset) नहीं है — B और A समान हैं। परीक्षा टिप: संख्या का अभाज्य गुणनखंड निकालते समय केवल अलग-अलग अभाज्य गुणक लेकर सेट बनाएं (गुणांक की घात को न दोहराएँ)। / Prime factorization gives 12 = 22 × 3, so the distinct prime factors are 2 and 3. A set lists distinct elements, hence A = {2,3} which equals B. Therefore A = B is correct. Closest distractor C is wrong because B is not a proper subset of A — they are equal. Exam tip: when forming a set of prime factors, include each prime once (ignore multiplicity from powers).
(B) का एकमात्र अवयव पूरा समुच्चय ({1,2}) है। उपसमुच्चय और अवयव के चिन्ह में सावधानी रखें। / The only element of (B) is the whole set ({1,2}). Be careful with subset and element symbols.
क्योंकि \(B\subset A\), इसलिए (B) का हर उपसमुच्चय (A) का भी उपसमुच्चय है। यह ट्रांजिटिव सोच का प्रयोग है। / Because \(B\subset A\), every subset of (B) is also a subset of (A). This uses transitive reasoning.
\(\varnothing\) उपसमुच्चय है लेकिन \({\varnothing}\) में अवयव \(\varnothing\) है जो (A) में नहीं है। यह सामान्य गलती है। / \(\varnothing\) is a subset, but \({\varnothing}\) has \(\varnothing\) as an element, which is not in (A). This is a common mistake.
यदि किसी सेट \(A\) में \(n\) अवयव हों तो उसकी पावर सेट \(P(A)\) में \(2^n\) अवयव होते हैं। यहाँ दिया गया है \(2^n=16\)। क्योंकि \(16=2^4\), इसलिए \(n=4\)। विकल्प (a) और (b) गलत हैं क्योंकि \(2^2=4\) और \(2^3=8\) पावर सेट के अवयवों की संख्या देते हैं, न कि 16। विकल्प (d) गलत है क्योंकि 16 पावर सेट की संख्या है, न कि मूल सेट \(A\) की। परीक्षा टिप: पावर सेट का आकार हमेशा \(2^n\) होता है; देखा हुआ संख्या को द्विघात श्रृंखला \(2^k\) के रूप में तेज़ी से पहचानें। / If set \(A\) has \(n\) elements then the power set \(P(A)\) has \(2^n\) elements. Here \(2^n=16\). Since \(16=2^4\), we get \(n=4\). Options (a) and (b) are incorrect because \(2^2=4\) and \(2^3=8\), not 16. Option (d) is incorrect because 16 is the number of elements of the power set, not of \(A\). Exam tip: remember |P(A)| = \(2^{|A|}\); match the given number to a power of 2 quickly.
पावर समुच्चय \(P(A)\) के अवयव वही उपसमुच्चय होते हैं जिनके सभी सदस्य मूल समुच्चय \(A\) के भी सदस्य हों। विकल्प B, {2,3}, में दिए गए दोनों तत्व 2 और 3, दोनों ही \(A\) के सदस्य हैं, अतः {2,3} एक उपसमुच्चय है और इसलिए \(P(A)\) का अवयव है। विकल्प A (2) केवल एक तत्व है न कि उपसमुच्चय — पावर सेट के तत्व हमेशा सेट होते हैं। विकल्प C ({4}) में 4 \(A\) का सदस्य नहीं है, अतः यह उपसमुच्चय नहीं है। विकल्प D ({{1}}) का एकमात्र तत्व {1} है, जबकि \(A\) के तत्व संख्याएँ हैं; इसलिए {{1}} भी \(A\) का उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षात्मक टिप: पावर सेट के सदस्य हमेशा ब्रेसेज़ में लिखे गए उपसमुच्चय होते हैं; पहले जाँचें कि विकल्प में ब्रेसेज़ हैं और उसके भीतर के सभी सदस्य \(A\) में मौजूद हैं। / Elements of the power set \(P(A)\) are precisely the subsets of the original set \(A\). Option B, {2,3}, contains only elements 2 and 3 which are in \(A\), so {2,3} is a subset of \(A\) and hence an element of \(P(A)\). Option A (2) is an element of \(A\) but not a subset — elements of a power set must themselves be sets. Option C ({4}) fails because 4 is not in \(A\), so {4} is not a subset. Option D ({{1}}) is a set whose single element is the set {1}, not the number 1, so it is not a subset of \(A\). Exam tip: distinguish between 'element' and 'subset' — look for braces around the correct type of members and verify membership in \(A\).
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय होने का अर्थ है कि दोनों में ठीक वही अवयव हैं। बराबर समुच्चय सिद्ध करने की यह मानक विधि है। / Subset relation in both directions means both sets have exactly the same elements. This is a standard way to prove equality of sets.
18 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 6, 9, 18। इनमें से विषम अंक केवल 1, 3 और 9 हैं। इसलिए A = {1,3,9} ही सही है। विकल्प B केवल सम (even) भाजक हैं, विकल्प C में सभी भाजक (सम और विषम) हैं, और विकल्प D में 6 शामिल है जो सम है — इसलिए ये गलत हैं। परीक्षा टिप: पहले सभी भाजक लिखें फिर उनमें से विषम/सम की शर्त लागू करें। / The positive divisors of 18 are 1, 2, 3, 6, 9, 18. Of these, the odd ones are 1, 3 and 9, so A = {1,3,9}. Option B lists only even divisors, option C lists all divisors (both even and odd), and option D wrongly includes 6 which is even. Exam tip: enumerate the divisors first, then apply the parity condition.
सेट \(A\) के अवयव हैं: \(1,\ \{2\},\ 3\). विकल्प \(\{\{2\},3\}\) के अवयव \(\{2\}\) और \(3\) दोनों \(A\) में अवयव के रूप में मौजूद हैं, इसलिए यह उपसमुच्चय है। दूसरे विकल्पों का विश्लेषण: \(\{1,2\}\) और \(\{2,3\}\) में तत्व \(2\) है जबकि \(A\) में \(2\) नहीं है (केवल \(\{2\}\) है), अतः वे उपसमुच्चय नहीं हैं। \(\{\{1,2\}\}\) में एकल अवयव \(\{1,2\}\) है जो \(A\) का अवयव नहीं है, इसलिए वह भी नहीं है। परीक्षा टिप: सदैव ध्यान दें कि क्या दिया गया प्रतीक एक संख्या (जैसे \(2\)) है या एक सेट (जैसे \(\{2\}\)) — यह तय करता है कि वह \(A\) का अवयव है या नहीं। / The elements of \(A\) are \(1,\ \{2\},\ 3\). The set \(\{\{2\},3\}\) contains \(\{2\}\) and \(3\), both of which are elements of \(A\); thus it is a subset. For the other options: \(\{1,2\}\) and \(\{2,3\}\) contain the element \(2\), but \(2\) is not an element of \(A\) (only \(\{2\}\) is), so they are not subsets. \(\{\{1,2\}\}\) has the single element \(\{1,2\}\), which is not present in \(A\). Exam tip: Always check whether an item is the number \(2\) or the set \(\{2\}\); confusing these is a common error in subset questions.
A के ठीक दो अवयव चुनने की संख्या संयोजन द्वारा दी जाती है: \(\binom{5}{2}=\dfrac{5\times4}{2}=10\)। उपसमुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए हम संयोजनों का उपयोग करते हैं। विकल्प C (20) गलत है क्योंकि यह \({}_5P_2=5\times4=20\) है, जो क्रमगणना (ordered pairs) को गिनता है। विकल्प A (5) और D (25) भी गलत हैं — 25 बराबर है \(5^2\) जिसका अर्थ है क्रम तथा रिप्लेसमेंट के साथ जोड़े; 5 किसी भी उपसमुच्चयों की सही गिनती नहीं दर्शाता। परीक्षा सुझाव: सीधे सूत्र \(\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\) याद रखें। / The number of ways to choose exactly two elements from A is given by the combination \(\binom{5}{2}=\dfrac{5\times4}{2}=10\). Subsets are unordered, so combinations are used. Option C (20) is wrong because \({}_5P_2=5\times4=20\) counts ordered pairs (permutations). Options A (5) and D (25) are also incorrect — 25 equals \(5^2\) (ordered selections with replacement), while 5 is not the correct count for two-element subsets. Exam tip: use \(\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\) for quick answers.
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और शून्य या एक अवयव वाले (1+4=5) हैं। इसलिए उत्तर (16-5=11) है। / There are (16) total subsets and (1+4=5) subsets with zero or one element. So the answer is (16-5=11).
दस से छोटे एक-अंक (0–9) में अभाज्य पूर्णांक केवल 2, 3, 5 और 7 हैं। इसलिए B = {2,3,5,7} जो कि A के समान ही सेट है। 1 या 0 को अभाज्य नहीं माना जाता, इसलिए B में कोई अतिरिक्त तत्व नहीं हैं और A = B सत्य है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(A \subset B\) गलत है क्योंकि B में A के अलावा कोई तत्व नहीं है। परीक्षा-सुझाव: जब सेट किसी गुण के आधार पर दिया हो, तो पहले गुण से स्पष्ट तत्वों की सूची लिखकर तुलना करें। / The prime digits less than 10 are 2, 3, 5 and 7, so B = {2,3,5,7} which is exactly A. Neither 0 nor 1 is prime, so B has no extra element and thus A = B is true. The closest distractor \(A \subset B\) but \(A \ne B\) is false because B contains no element outside A. Exam tip: when a set is defined descriptively, list its elements explicitly before comparing sets.
समाधान निकालने के लिए द्विघात बहुपद को विगुणित करें: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)। इसलिए समीकरण के मूल (roots) \(2\) और \(3\) हैं, अतः सेट \(A=\{2,3\}\) बनता है। चूँकि \(B\) भी \(\{2,3\}\) है, इसलिए \(A=B\) सही है। नजदीकी भ्रामक विकल्प \(C\) गलत है क्योंकि वहाँ कहा गया है कि \(B\) का समुच्चय \(A\) में आकर भी वे बराबर नहीं हैं—पर वास्तव में दोनों के अवयव समान हैं। परीक्षीय सुझाव: द्विघात समीकरणों में हमेशा गुणनखंड निकालें और प्राप्त मूलों से समुच्चय बनाकर तुलना करें। / Factor the quadratic: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Hence the roots are \(2\) and \(3\), so \(A=\{2,3\}\). Since \(B=\{2,3\}\) as well, we have \(A=B\). The closest distractor (C) is incorrect because it asserts a proper subset relationship even though the two sets have identical elements. Exam tip: Always factor quadratics to find roots and then express the solution set explicitly before comparing sets.
A. सत्य है और (A) उचित उपसमुच्चय है/It is true and (A) is a proper subset
Explanation
Simple Explanation
(A) के सभी अवयव (B) में हैं और (B) में एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / All elements of (A) are in (B), and (B) has one extra element. Hence (A) is a proper subset.
(20) के धनात्मक भाजक (1,2,4,5,10,20) हैं। भाजक वाले प्रश्न में (1) और संख्या स्वयं न भूलें। / The positive divisors of (20) are (1,2,4,5,10,20). In divisor questions do not forget (1) and the number itself.
\(A=\{x\in\mathbb{N}:x\le 4\}\) का विस्तार \(\{1,2,3,4\}\) है और \(B\) भी \(\{1,2,3,4\}\) ही है। समुच्चय में क्रम और पुनरावृत्ति का कोई महत्व नहीं होता, अत: \(A=B\)। विकल्प B गलत है क्योंकि समुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता। विकल्प C गलत है क्योंकि \(A\subset B\) बताने के लिए \(A\) और \(B\) के बीच proper subset होना चाहिए, पर यहाँ वे बराबर हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि \(B\) शून्य समुच्चय नहीं है। परीक्षा सुझाव: समुच्चय की समानता जाँचने के लिए दोनों का सदस्यता सेट लिखकर तुलना करें — क्रम महत्वपूर्ण नहीं। / Expanding \(A\) gives \(\{1,2,3,4\}\), which is exactly the set \(B\). Sets are unordered and list order or repetition does not affect equality, so \(A=B\). Option B is wrong because order of listing does not change a set. Option C is wrong because a proper subset claim fails when the two sets are equal. Option D is wrong because \(B\) is not the empty set. Exam tip: To test set equality, list elements of each set and compare membership; ignore order and duplicates.
दोहराए गए अवयव समुच्चय में एक बार ही माने जाते हैं। इसलिए दोनों में वही अलग अवयव हैं। / Repeated elements are counted only once in a set. Therefore both have the same distinct elements.
(1) और \(\varnothing\) दोनों (A) के अवयव हैं। उपसमुच्चय में हर चुना अवयव मूल समुच्चय में होना चाहिए। / Both (1) and \(\varnothing\) are elements of (A). Every chosen element of a subset must belong to the original set.
तीन अवयवों के कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। उचित उपसमुच्चय में पूरा (A) हटाने पर (7) बचते हैं। / A three element set has \(2^3=8\) total subsets. Removing the whole set (A) gives (7) proper subsets.
जब \(A\subseteq B\) और दोनों के अवयवों की संख्या समान हो तो कोई अतिरिक्त अवयव नहीं बचता। इसलिए (A=B)। / When \(A\subseteq B\) and both have the same number of elements, no extra element remains. Hence (A=B).
समाधान: पूर्णांकों में समीकरण \(x^2=1\) के हल \(x=1\) और \(x=-1\) हैं। अतः \(A=\{-1,1\}\), जो कि दिया गया \(B\) सेट है। इसलिए \(A=B\) सत्य है। नज़दीकी विचलन: विकल्प (B) सिर्फ \(1\) को रखता है और \(-1\) को छोड़ देता है, इसलिए गलत है। परखने की टिप: जब सेट समीकरण दें तो पहले डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) में सभी हल लिखें और फिर तत्वों की एक सूची बनाकर तुलना करें। / Reasoning: Over integers the equation \(x^2=1\) has solutions \(x=1\) and \(x=-1\). Thus \(A=\{-1,1\}\), which equals \(B\); so \(A=B\) is correct. Closest distractor: option (B) lists only \(1\) and omits \(-1\), so it is incorrect. Exam tip: always solve the equation within the specified domain (here \(\mathbb{Z}\)) and compare full element lists to test set equality.
36 का गुणनखंड रूप 36 = 22 × 32 है। किसी पूर्ण वर्ग भाजक के लिए 2 और 3 के घातांकों को भी सम (even) होना चाहिए और मूल संख्या के घातांक से अधिक नहीं। इसलिए 2 के लिए संभव घातांक 0 या 2 और 3 के लिए भी 0 या 2 हैं। इससे मिलने वाले पूर्ण वर्ग भाजक हैं 20·30=1, 22·30=4, 20·32=9, 22·32=36, अत: A = {1,4,9,36}। विकल्प B ({4,9}) सही तो है पर पूर्ण उत्तर नहीं देता (1 और 36 गायब हैं)। विकल्प C में 6 एक पूर्ण वर्ग नहीं है और विकल्प D में कोई भी पूर्ण वर्ग नहीं है। परीक्षा-सुझाव: किसी संख्या के पूर्ण वर्ग भाजक निकालने के लिए उसके प्राथमिक गुणनखंडों के घातांक सम होने के सभी संयोजनों का प्रयोग करें। / Factor 36 = 22 × 32. A perfect-square divisor must have even exponents for each prime, not exceeding the exponents in 36. So possible exponents for 2 are 0 or 2, and for 3 are 0 or 2. That yields 20·30=1, 22·30=4, 20·32=9 and 22·32=36. Hence A = {1,4,9,36}. Option B ({4,9}) is a subset but omits 1 and 36. Option C contains 6 which is not a perfect square; option D contains no perfect squares. Exam tip: use prime factorization and choose even exponents ≤ those in the number to list perfect-square divisors systematically.
A. क्योंकि (C) का हर अवयव (A) में है और \(A\ne C\)/Because every element of (C) is in (A) and \(A\ne C\)
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय के लिए हर अवयव का सम्मिलन और असमानता दोनों चाहिए। केवल अवयवों की संख्या कम होना पर्याप्त नहीं है। / A proper subset needs inclusion of every element and inequality. Having fewer elements alone is not enough.
A में 3 के धनात्मक गुणज जिनकी मान x < 15 है, वे 3, 6, 9, 12 हैं। अतः A = {3,6,9,12} है। B भी {3,6,9,12} है, इसलिए A और B बराबर हैं। नज़दीकी भ्रामक विकल्प C (B ⊂ A पर A ≠ B) इसलिए गलत है क्योंकि वह मानकर चलता है कि A में B के अलावा कोई और तत्व है — परन्तु A में कोई अतिरिक्त तत्व नहीं है। विकल्प D गलत है क्योंकि वह 15 को शामिल करता है जबकि शर्त x < 15 है (कठोर असमानता)। परीक्षा टिप: किसी सेट का निर्धारण करते समय तत्वों को सूचीबद्ध कर लें और सीमा (≤ या <) पर विशेष ध्यान दें। / The positive multiples of 3 that satisfy x < 15 are 3, 6, 9 and 12. Thus A = {3,6,9,12}, which is exactly B, so A = B. The closest distractor C (B ⊂ A but A ≠ B) is wrong because it assumes A contains extra elements beyond B; here it does not. Option D is incorrect because it includes 15 even though the condition is x < 15 (strict inequality). Exam tip: When sets are defined by a rule, list the actual elements and check boundary conditions (strict vs non‑strict inequalities).
हर अगले समुच्चय में पिछले के सभी अवयव और एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए उचित उपसमुच्चय की शृंखला बनती है। / Each next set contains all elements of the previous one and one extra element. Hence it forms a chain of proper subsets.
\(A=\{3,4,5,6\}\) है और ({3,5}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। इसलिए यह उचित उपसमुच्चय है। / Here \(A=\{3,4,5,6\}\), and ({3,5}) lies inside it but is not equal to it. So it is a proper subset.
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के सभी अवयव (B) में हैं और (B) में अतिरिक्त अवयव ({1}) है। ({1}) को (1) से अलग मानें। / All elements of (A) are in (B), and (B) has the extra element ({1}). Treat ({1}) as different from (1).
समुच्चय \(A\) में 10 के धनात्मक गुणज जो 50 से कम हैं: \(A=\{10,20,30,40\}\)। इसमें कुल अवयव \(n=4\) हैं। किसी भी समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^n\) होती है; उचित उपसमुच्च्य वह होते हैं जो मूल समुच्चय के बराबर नहीं होते — अतः संख्या \(2^4-1=15\)। विकल्प C (16) कुल उपसमुच्चयों की संख्या है (जिसमें स्वयं समुच्चय भी शामिल है), इसलिए गलत है। परीक्षा युक्ति: पहले तत्वों की गिनती कर लें फिर हमेशा उचित उपसमुच्चयों के लिए \(2^n-1\) का नियम लागू करें। / The positive multiples of 10 less than 50 are \(A=\{10,20,30,40\}\), so \(n=4\). The total number of subsets is \(2^n\); proper subsets exclude the set itself, so the count is \(2^4-1=15\). Option C (16) gives the total number of subsets including the set itself, not just proper subsets. Quick exam tip: count elements first, then use \(2^n\) for total subsets and \(2^n-1\) for proper subsets.
समीकरण के हल (-2,2) हैं पर प्राकृतिक हल केवल (2) है। दिए हुए संख्या समुच्चय की शर्त अवश्य देखें। / The equation has roots (-2,2), but the natural solution is only (2). Always check the given number set condition.
\(A=\{2,4,6,8,12,24\}\) है और विकल्प में (2,6,8) सभी (A) में हैं। बाहरी अवयव वाला विकल्प उपसमुच्चय नहीं होता। / Here \(A=\{2,4,6,8,12,24\}\), and (2,6,8) all belong to (A). An option with an outside element is not a subset.
तीन अवयव चुनने की संख्या \(\binom{4}{3}=4\) है। ये सभी उचित हैं क्योंकि पूरा समुच्चय चार अवयवों का है। / The number of ways to choose three elements is \(\binom{4}{3}=4\). All are proper because the whole set has four elements.
शर्त \(0\le x<5\) और "\(x\) पूर्णांक" का अर्थ है कि \(x\) केवल उन पूर्णांकों में से होगा जो 0,1,2,3 और 4 हैं। इसलिए \(A=\{0,1,2,3,4\}\), जो ठीक \(B\) के बराबर है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\) किसी वास्तविक प्रविष्टि में \(B\) से अलग नहीं है; वे बराबर हैं, इसलिए "आंशिक उपसमुच्चय पर समानता नहीं" सही नहीं। विकल्प C गलत है क्योंकि \(B\subset A\) मात्र सत्य नहीं है—यह दोनों समान्तर हैं (बराबर)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(5\) शर्त \(x<5\) के कारण शामिल नहीं है। परीक्षा युक्ति: जब सेट पर शर्तें हों (जैसे पूर्णांक और असमानता), तो पहले स्पष्ट रूप से समुच्चय के सभी तत्व लिख लें और फिर तुलना करें। / The condition "integer" with \(0\le x<5\) yields only the integers 0,1,2,3,4. Thus \(A=\{0,1,2,3,4\}=B\), so \(A=B\) is correct. Option B is wrong because it claims \(A\) is a proper subset of \(B\); here they are equal, not proper. Option C is incorrect for the same reason (it treats \(B\) as a proper subset). Option D is false because 5 does not satisfy \(x<5\). Exam tip: convert set-builder notation into an explicit list of elements when bounds and integrality are given—this avoids subset/equality mistakes.
क्योंकि \({1,3}\subseteq A\), इसलिए ({1,3}) पावर समुच्चय का अवयव है। पावर समुच्चय में उपसमुच्चय अवयव बनते हैं। / Since \({1,3}\subseteq A\), ({1,3}) is an element of the power set. In a power set, subsets become elements.
अऋण पूर्णांक (0) से शुरू होते हैं और (9) से छोटे होने पर (8) तक जाते हैं। इसलिए दोनों बराबर हैं। / Non-negative integers start from (0) and those less than (9) go up to (8). Hence the two sets are equal.
समुच्चय अपने आप का उपसमुच्चय है पर अपने आप का उचित उपसमुच्चय नहीं है। उचित संबंध में बराबरी हटती है। / A set is a subset of itself but not a proper subset of itself. Proper relation excludes equality.
30 का अभाज्य गुणनखंड है \(30=2\times3\times5\)। इसलिए 30 के अभाज्य भाजक केवल \(2,3,5\) हैं और इस प्रकार सेट \(A\) का सदस्य exactly \(\{2,3,5\}\) है। अतः \(A= B\)। विकल्प (C) और (B) गलत हैं क्योंकि वे यह मानते हैं कि एक सेट दूसरे से अलग तत्व रखता है; यहाँ ऐसा नहीं है। विकल्प (D) में \(1\) और \(30\) शामिल हैं जो अभाज्य नहीं हैं, इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी प्रश्न में तुरंत संख्या का अभाज्य गुणनखण्ड लिखें (यहाँ \(30=2\times3\times5\)) ताकि अभाज्य भाजक सीधे मिल जाएँ। / Factorize 30: \(30=2\times3\times5\). Hence the prime divisors of 30 are exactly \(2,3,5\), so \(A=\{2,3,5\}=B\). Options (B) and (C) are wrong because they assert a proper subset relation (extra or missing elements), which is not the case here. Option (D) incorrectly includes 1 and 30, neither of which are prime divisors. Exam tip: quickly write the prime factorization (e.g. \(30=2\times3\times5\)) to identify prime divisors without error.
A. (B=C) और \(B\subset A\)/(B=C) and \(B\subset A\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के सम अवयव (2,4,6) हैं इसलिए (C=B) है और (B) (A) का उचित उपसमुच्चय है। शर्त को मूल समुच्चय के अंदर लागू करें। / The even elements of (A) are (2,4,6), so (C=B) and (B) is a proper subset of (A). Apply the condition inside the original set.
समीकरण के हल (1) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चयों में वही अवयव हैं। बराबर समुच्चय में क्रम नहीं देखा जाता। / The equation has roots (1) and (3), so both sets have the same elements. In equal sets order is not considered.
हर (X) में (1) और (4) होना चाहिए तथा (2) नहीं होना चाहिए, इसलिए केवल (3) वैकल्पिक है। ऐसे प्रश्नों में अनिवार्य और निषिद्ध अवयव पहले तय करें। / Every (X) must contain (1) and (4), and must not contain (2), so only (3) is optional. In such questions, fix required and forbidden elements first.
परिभाषा: सेट B, A का उपसमुच्चय तभी होगा जब B का हर अवयव A का भी अवयव हो। विकल्प \(\{2,\{3,4\}\}\) में दोनों अवयव — संख्या 2 और उपसेट \(\{3,4\}\) — सीधे तौर पर \(A\) के अवयव हैं, इसलिए यह \(A\) का उपसमुच्चय है। भ्रमित करने वाला विकल्प \(\{1,3\}\) इसलिए गलत है क्योंकि 3 स्वयं \(A\) का अवयव नहीं है; केवल \(\{3,4\}\) ही \(A\) का अवयव है। परीक्षा युक्ति: तत्व (element) को चिन्हित करने के लिए "∈" और उपसमुच्चय के लिए "⊆" का उपयोग करें और कोष्ठकों \{...\} की परतों (layers) पर ध्यान दें। / Definition: B is a subset of A only if every element of B is also an element of A. In \(\{2,\{3,4\}\}\) both elements — the number 2 and the set \(\{3,4\}\) — are elements of A, so this set is a subset of A. A tempting wrong choice is \(\{1,3\}\): although 1 ∈ A, the element 3 ∉ A because only \(\{3,4\}\) (not 3 alone) is in A. Exam tip: Distinguish between an element (use "∈") and a subset (use "⊆"), and pay careful attention to braces — \{x\} is not the same as x.
\(2^n=64\) से (n=6) है और उचित उपसमुच्चय \(2^6-1=63\) होंगे। पावर समुच्चय और उचित उपसमुच्चय के सूत्र अलग रखें। / From \(2^n=64\), (n=6), and proper subsets are \(2^6-1=63\). Keep the formulas for power set and proper subsets separate.
(42) के अभाज्य भाजक (2,3,7) हैं। सभी भाजकों और अभाज्य भाजकों में अंतर समझें। / The prime divisors of (42) are (2,3,7). Understand the difference between all divisors and prime divisors.
परिभाषा \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\mid 18\}\) का अर्थ है कि \(A\) में 18 के सभी धनात्मक भाजक आते हैं। 18 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 6, 9, 18 — यही सेट \(B\) भी है। अतः \(A=B\) है। गलत विकल्पों का संक्षिप्त कारण: (B) गलत है क्योंकि इसमें सम्मिलित हैं 6, 9 और 18 जो अभाज्य नहीं हैं; (C) गलत है क्योंकि \(B\) और \(A\) में एक ही सदस्य हैं, इसलिए \(B\) समुच्चय का सही उपसमुच्चय परिभाषा नहीं बनता; (D) गलत है क्योंकि 18 निश्चित रूप से 18 का भाजक है और इसलिए \(18\in A\)। परीक्षा-सुझाव: विभाजन-आधारित समुच्चय के लिए दिए गए पूर्णांक के सभी धनात्मक भाजकों को सूचीबद्ध कर लें — इससे तुरंत तुलना हो जाती है। / By definition \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\mid 18\}\) is the set of all positive divisors of 18. The positive divisors of 18 are 1, 2, 3, 6, 9, 18, which is exactly \(B\). Therefore \(A=B\). Why other options fail: (B) is false because 6, 9 and 18 are not prime; (C) is false because \(B\) does not omit any element of \(A\), so it is not a proper subset; (D) is false because 18 divides 18, so \(18\in A\). Exam tip: For sets defined by "\(x\mid n\)", list all positive divisors of \(n\) to compare sets quickly.
(0) को निश्चित रखने पर बाकी तीन अवयव स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय मिलते हैं। निश्चित अवयव को चुनकर बाकी पर गिनती करें। / Fixing (0), the remaining three elements are optional, so there are \(2^3=8\) subsets. For a fixed element, count choices for the remaining elements.
(a) हटाने के बाद चार अवयव बचते हैं और उनसे \(2^4=16\) उपसमुच्चय बनते हैं। निषिद्ध अवयव को पहले बाहर करें। / After excluding (a), four elements remain and they form \(2^4=16\) subsets. Remove the forbidden element first.
समुच्चय में वह सभी पूर्णांक शामिल हैं जो शर्त \(-3\le x<2\) पूरी करते हैं। पूर्णांकों की सूचि में यह मान होंगे \(-3,-2,-1,0,1\) क्योंकि \(-3\) शामिल है पर \(2\) शामिल नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें \(2\) भी शामिल किया गया है, जबकि \(2\) शर्त द्वारा बाहर रखा गया है। परीक्षा टिप: किसी अनिश्चित अन्तराल के लिए पहले असमानता के दोनों छोरों को पढ़ें और केवल उन पूर्णांकों को लिखें जो दोनों शर्तों को पूरा करते हैं। / A contains all integers satisfying \(-3\le x<2\). Listing those integers gives \(-3,-2,-1,0,1\): -3 is included (\(\le\)) but 2 is not included (\(<\)), so option A is correct. The closest distractor C is wrong because it incorrectly includes 2. Exam tip: when given an integer inequality, list integers from the left endpoint to the right, respecting \(\le\) vs \(<\).
A. \(A\subset C\) उचित रूप से/(A) is a proper subset of (C)
Explanation
Simple Explanation
ट्रांजिटिव नियम से \(A\subseteq C\) और \(A\not=C\) होने से (A) उचित उपसमुच्चय है। बीच वाला समुच्चय बराबर भी हो सकता है। / By transitivity \(A\subseteq C\), and since \(A\ne C\), (A) is a proper subset. The middle set may or may not be equal.
धनात्मक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16) हैं और (25) सीमा में शामिल नहीं है। हर शर्त को साथ में लागू करें। / The positive perfect squares are (1,4,9,16), and (25) is not included. Apply every condition together.
किसी भी आकार के उपसमुच्चय में अवयव चुनने के लिए संयोजन लागू होते हैं। चार तत्वों में से ठीक दो चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं, इसलिए उत्तर 6 है। विकल्प (12) गलत है क्योंकि यह क्रमबद्ध चयन (permutation) \(P(4,2)=4\times3=12\) को गिनता है जहाँ (p,q) और (q,p) अलग माने जाते हैं; उपसमुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता। विकल्प (4) और (8) आम गलती हैं — 4 शायद आंशिक जोड़ी गिनने की गलत धारणा है और 8 किसी अन्य गलत विभाजन/गणना से आया होगा। परीक्षा सुझाव: हमेशा यह तय करें कि क्रम मायने रखता है या नहीं — क्रम नहीं रखें तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Use combinations because order does not matter in subsets. The number of ways to choose exactly two elements from four is \(\binom{4}{2}=6\), so the correct answer is 6. Option 12 is incorrect because it counts ordered selections (permutations) \(P(4,2)=4\times3=12\), treating (p,q) and (q,p) as different; subsets do not consider order. Options 4 and 8 arise from mistaken counting methods. Exam tip: first decide whether order matters — if not, apply \(\binom{n}{r}\).
\(\varnothing\) और (1) दोनों (A) के अवयव हैं इसलिए \({\varnothing,1}\) उपसमुच्चय है। (0) और \(\varnothing\) अलग हैं। / Both \(\varnothing\) and (1) are elements of (A), so \({\varnothing,1}\) is a subset. (0) and \(\varnothing\) are different.
(16) के भाजकों में केवल (1) विषम है। नकारात्मक शर्त वाले प्रश्न में हटाए गए अवयवों पर ध्यान दें। / Among the factors of (16), only (1) is odd. In questions with a negative condition, pay attention to the excluded elements.
तीन या अधिक अवयवों की संख्या \(\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=16\) है। आकार आधारित गिनती में संयोजन जोड़ें। / The number is \(\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=16\). For size based counting, add the combinations.
समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता इसलिए अलग अक्षर (L,E,V) हैं। अक्षरों वाले प्रश्न में केवल अलग अवयव गिनें। / Repetition is not counted in a set, so the distinct letters are (L,E,V). In letter based questions count only distinct elements.
\(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) है इसलिए वही समुच्चय उपसमुच्चय है पर उचित नहीं है। उचित उपसमुच्चय पूरा समुच्चय नहीं होता। / Here \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), so the same set is a subset but not proper. A proper subset is not the whole set.
सूत्र \(x=2n\) में \(n\) को \(1,2,3,4\) रखने पर प्राप्त मान \(x=2,4,6,8\) होते हैं। अतः \(B=\{2,4,6,8\}\) जो कि दी गई \(A\) के समान है, इसलिए \(A=B\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\) केवल \(B\) का उपसमुच्चय ही नहीं बल्कि बराबर भी है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(B\) में केवल सम संख्याएँ आती हैं, न कि \(1,2,3,4\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\cap B=A\) है, खाली समुच्चय नहीं। परीक्षा टिप: पैरामेट्रिक समुच्चय में तुरंत मान डालकर सभी सदस्य लिखें — इससे बराबरी/उपसमुच्चय के संबंध स्पष्ट हो जाते हैं। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(x=2n\) gives \(x=2,4,6,8\). Hence \(B=\{2,4,6,8\}=A\), so \(A=B\). Option B is wrong because A is not a proper subset—both sets are identical. Option C is incorrect since \(B\) lists even numbers, not \(1,2,3,4\). Option D is false because \(A\cap B= A\), not the empty set. Exam tip: For parametric definitions plug in the allowed parameter values to list elements before comparing sets.
(P(A)) के अवयव (A) के उपसमुच्चय होते हैं और (2) स्वयं उपसमुच्चय नहीं है। ({2}) और (2) अलग हैं। / The elements of (P(A)) are subsets of (A), and (2) itself is not a subset. ({2}) and (2) are different.
कक्षा (11) में सामान्यतः \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\) लिया जाता है इसलिए दोनों (1) से (9) तक हैं। संकेत में दी गई संख्या पद्धति को ध्यान से देखें। / In Class (11), usually \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), so both sets are (1) to (9). Read the given number system carefully.
दोनों संख्याओं के सामान्य धनात्मक भाजक (1,3,5,15) हैं। और की शर्त में समान अवयव चुनें। / The common positive divisors of both numbers are (1,3,5,15). For an and condition, choose common elements.
पावर समुच्चय में सभी उपसमुच्चय अवयव के रूप में लिखे जाते हैं। (a) नहीं बल्कि ({a}) उसका अवयव होगा। / A power set lists all subsets as elements. It contains ({a}), not (a) as the singleton subset.
\(|x|\leq 2\) में (-2) से (2) तक के सभी पूर्णांक आते हैं। मापांक में धन और ऋण दोनों पक्ष देखें। / The condition \(|x|\leq 2\) includes all integers from (-2) to (2). In modulus, check both positive and negative sides.
यहाँ 1 अवश्य शामिल है और 4 निषिद्ध है, अतः शेष तत्व केवल 2 और 3 स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं — प्रत्येक के लिए दो विकल्प (रहना या न रहना)। इसलिए स्वतंत्र विकल्पों की संख्या है
\(2^2=4\)। अतः सही उत्तर 4 है। निकटवर्ती भ्रम: 2 तब गलत होगा जब केवल एक ही तत्व स्वतंत्र माना जाए (\(2^1\)); 8 तब गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र तत्व मानने पर मिलता है (\(2^3\))। परीक्षा-सूत्र: यदि k तत्व स्वतंत्र हों तो उपसमुच्चयों की संख्या \(2^k\) है। / Here 1 must be included and 4 is excluded, so the remaining elements 2 and 3 are free to be either in or out of a subset — each has 2 choices. Thus the number of possibilities is \(2^2=4\). Therefore the correct count is 4. Closest distractor explained: 2 would be correct only if there were one free element (\(2^1\)), while 8 corresponds to three free elements (\(2^3\)), so both are incorrect. Exam tip: if k elements are free, number of subsets = \(2^k\).
एक ही सम और अभाज्य दोनों गुणों को संतुष्ट करने वाली केवल संख्या 2 है — क्योंकि 2 ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। विकल्प B में सभी संख्याएँ सम हैं पर 4,6,8 अभाज्य नहीं हैं; विकल्प C में 3,5,7 अभाज्य हैं पर वे विषम हैं; विकल्प D खाली समुच्चय है जो शर्तों से मेल नहीं खाता। परीक्षा युक्ति: जब सेट पर ‘‘और’’ की शर्त दी हो तो दोनों शर्तें एक साथ लागू कीजिए। / Only 2 satisfies both conditions: it is the only even prime. Option B lists even numbers less than 10 but 4, 6, 8 are composite; option C lists primes less than 10 but except 2 the primes are odd; option D is the empty set and does not meet the predicate. Exam tip: for predicates joined by “and”, require all conditions simultaneously when forming the set.
जो उपसमुच्चय (A) के अंदर हैं वही दोनों के लिए उपसमुच्चय होंगे और उनकी संख्या \(2^3=8\) है। साझा सीमा को छोटे समुच्चय से तय करें। / The subsets lying inside (A) are subsets of both, and their number is \(2^3=8\). Decide the common limit using the smaller set.
\(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) है और (8) इसमें नहीं है। एक बाहरी अवयव पूरा उपसमुच्चय कथन गलत कर देता है। / Here \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), and (8) is not in it. One outside element makes the subset statement false.
दोनों संख्याओं के सामान्य अभाज्य भाजक (2) और (3) हैं। सामान्य भाजक और सामान्य अभाज्य भाजक अलग हो सकते हैं। / The common prime divisors of both numbers are (2) and (3). Common divisors and common prime divisors can be different.
यहाँ (1), (2), और ({1,2}) तीन अलग अवयव हैं। पूरा समुच्चय भी किसी बड़े समुच्चय का अवयव हो सकता है। / Here (1), (2), and ({1,2}) are three distinct elements. A whole set can be an element of a larger set.
B. (A) (B) का उचित उपसमुच्चय है/(A) is a proper subset of (B)
Explanation
Simple Explanation
\(A=\{-3,3\}\) है और (B) में अतिरिक्त (9) है। समीकरण के हल और समीकरण में आए स्थिरांक को अलग समझें। / Here \(A=\{-3,3\}\), and (B) has the extra element (9). Distinguish roots of an equation from constants in it.
\(A=\{25,50,75\}\) में (3) अवयव हैं इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। सीमा में (100) शामिल नहीं है। / \(A=\{25,50,75\}\) has (3) elements, so it has \(2^3=8\) subsets. The boundary (100) is not included.
x-2 - 1 = 0 को हल करने पर x = ±1 मिलता है और दोनों मान पूर्णांक हैं, अतः A = {-1, 1}। B में वे पूर्णांक दिए गए हैं जो -2 से छोटे और 2 से छोटे (कठोर असमानता) हैं और x ≠ 0; इससे पूर्णांकों का समूह {-1,0,1} होता है पर x ≠ 0 हटाने पर B = {-1,1}। इसलिए A और B के तत्व समान हैं और A = B है। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A को {1} बताता है जबकि A में -1 भी शामिल है; विकल्प C व D भी गलत हैं क्योंकि B खाली नहीं है और A ∩ B = {-1,1} है, शून्यसमूह नहीं। परीक्षा-सूत्र: सेटों को बराबरी के लिए हमेशा तत्व लिखकर जाँचें — समीकरण हल करके और असमानताओं में पूर्णांकों को सूचीबद्ध करें। / Solve x-2 - 1 = 0 to get x = ±1, which are integers, so A = {-1, 1}. For B, integers satisfying -2 < x < 2 are -1, 0, 1; removing x = 0 gives B = {-1, 1}. Thus A and B have exactly the same elements, so A = B. Option B is incorrect because it omits -1 from A; options C and D are wrong because B is not empty and A ∩ B = {-1,1}, not empty. Exam tip: when sets are defined by equations and inequalities, list the actual elements to compare equality quickly.
A. वह (B) ही है और (A) का उपसमुच्चय भी है/It is (B) itself and also a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
तीन अवयवों वाला (B) का केवल उपसमुच्चय (B) स्वयं है। क्योंकि \(B\subset A\) है इसलिए यह (A) का उपसमुच्चय भी है। / The only three element subset of (B) is (B) itself. Since \(B\subset A\), it is also a subset of (A).
(2) या (3) के गुणजों को मिलाने पर (2,3,4,6,8,9,10) मिलते हैं। या की शर्त में संघ जैसी सोच रखें। / Combining multiples of (2) or (3) gives (2,3,4,6,8,9,10). For an or condition, think like a union.
A. (B=C) और (A) (B) का उचित उपसमुच्चय है/(B=C) and (A) is a proper subset of (B)
Explanation
Simple Explanation
(B) और (C) में वही अवयव हैं और (A) में (4) नहीं है। समानता और उचित उपसमुच्चय दोनों अलग-अलग जांचें। / (B) and (C) have the same elements, and (A) does not contain (4). Check equality and proper subset separately.
यदि किसी समुच्चय में n अवयव हैं तो उसके पावर समुच्चय में कुल अवयवों की संख्या \\(2^n\\) होती है और उचित उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n-1\\) होती है। प्रश्न के अनुसार \\(2^n-1=15\\) है, अतः \\(2^n=16\\)। इसलिए पावर समुच्चय में \\(16\\) अवयव होंगे।
गलत विकल्पों का संक्षेप: 15 वह संख्या है जो प्रश्न में पहले से दी गई है (यह केवल उचित उपसमुच्चयों की संख्या है, पावर सेट का नहीं)। 31 उस स्थिति के लिए सही होता यदि \\(2^n-1=31\\) अर्थात् \\(n=5\\) होता — लेकिन यहाँ दिया 15 है। 30 असंभव है क्योंकि \\(2^n\\) कभी 30 नहीं हो सकता (30 किसी भी पूर्णांक n के लिए शक्ति-2 नहीं है)।
परीक्षा टिप: पावर सेट = \\(2^n\\), उचित उपसमुच्चय = \\(2^n-1\\)। यह फार्मूला तुरंत याद रखें। / For a set with n elements the power set size is \(2^n\) and the number of proper subsets is \(2^n-1\). Given \(2^n-1=15\), so \(2^n=16\). Therefore the power set contains 16 elements.
Why other choices are wrong: 15 is the given number of proper subsets (not the power set size). 31 would be the number of proper subsets when \(n=5\) because \(2^5-1=31\), which does not match the given 15. 30 is impossible because \(2^n\) cannot equal 30 for any integer n (30 is not a power of two).
Exam tip: remember power set = \(2^n\) and proper subsets = \(2^n-1\); use these to form a simple equation from the given data.
B. \(B\) \(A\) का उचित उपसमुच्चय है/\(B\) is a proper subset of \(A\)
Explanation
Simple Explanation
सबसे पहले सेटों के सदस्य लिखें: \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) क्योंकि \(A\) में नैचुरल नंबर्स हैं जो 6 या उससे कम हैं; और \(B=\{1,2,3,6\}\) क्योंकि ये 6 के धनात्मक भाजक हैं. \(B\) के सभी अवयव \(A\) में आते हैं, पर \(A\) में अतिरिक्त अवयव (4 और 5) भी हैं, अतः \(B\subset A\) परंतु \(B\ne A\)। इसलिए \(B\) \(A\) का उचित उपसमुच्चय है। निकटतम ग़लत विकल्प \(A=B\) इसलिए गलत है क्योंकि \(A\) में 4 और 5 भी हैं; \(A\cap B=\varnothing\) भी गलत है क्योंकि साझा अवयव मौजूद हैं। परीक्षा-सूत्र: सेट संबंध पर निर्णय करने के लिए हमेशा दोनों सेटों के तत्व लिखकर तुलना करें। / Write the elements: \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) because A is the natural numbers ≤6; and \(B=\{1,2,3,6\}\) because these are the positive divisors of 6. Every element of B belongs to A, but A has extra elements (4 and 5), so \(B\subset A\) and \(B\ne A\). Thus B is a proper subset of A. The closest wrong choice \(A=B\) fails because A contains 4 and 5; \(A\cap B=\varnothing\) is false since they share elements. Exam tip: list set members explicitly to compare subset relations quickly.
(A) में अवयव समुच्चय के रूप में लिखे हैं और ({1,2}) उनमें से एक है। अंदर के (1) और (2) सीधे (A) के अवयव नहीं हैं। / The elements of (A) are written as sets, and ({1,2}) is one of them. The inner (1) and (2) are not directly elements of (A).
(40) के (10) तक के धनात्मक भाजक (1,2,4,5,8,10) हैं। सीमा की शर्त को भाजक सूची पर लगाएं। / The positive divisors of (40) up to (10) are (1,2,4,5,8,10). Apply the boundary condition to the divisor list.
(2) और (3) निश्चित हैं तथा (1,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय मिलते हैं। निश्चित अवयवों को पहले शामिल करें। / (2) and (3) are fixed, while (1,4) are optional, so \(2^2=4\) subsets are obtained. Include fixed elements first.
दिये गये समीकरण को गुणनखंडों में लिखें: \(x^2-2x=x(x-2)=0\)। अतः हल \(x=0\) और \(x=2\) हैं। चूँकि परिभाषा में \(x\in\mathbb{Z}\) है, इसलिए \(A=\{0,2\}=B\)। विकल्प C गलत है क्योंकि सही संबंध समता है, न कि उचित उपसमुच्चय; विकल्प B और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि A में दोनों 0 और 2 हैं और खाली समुच्चय नहीं है। परीक्षा-सुझाव: समीकरणों में हमेशा शून्य को जड़ के रूप में याद रखें और परिभाषित डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) की जाँच करें। / Factor the polynomial: \(x^2-2x=x(x-2)=0\). Thus the integer solutions are \(x=0\) and \(x=2\). Since \(A\) is defined over \(\mathbb{Z}\), \(A=\{0,2\}=B\), so A equals B. The nearest distractor C is wrong because it asserts a proper subset rather than equality; B omits 0 and D contradicts the found roots. Exam tip: always factor and list all roots (including 0) and check the domain of the variable.
(1) अभाज्य नहीं है और (20) तक अभाज्य संख्याएं वही हैं जो (B) में हैं। अभाज्य संख्या की परिभाषा याद रखें। / The number (1) is not prime, and the primes up to (20) are exactly those in (B). Remember the definition of a prime number.
बराबर नहीं होने वाले उपसमुच्चय ही उचित उपसमुच्चय हैं और उनकी संख्या \(2^5-1=31\) है। पूरा समुच्चय केवल एक बार हटता है। / Subsets not equal to (A) are proper subsets, and their number is \(2^5-1=31\). Only the whole set is removed once.
कोई भी वास्तविक संख्या \(x\) ऐसी नहीं हो सकती कि \(x^2+1=0\)। वास्तविक संख्याओं के लिए \(x^2\ge0\) होता है, अतः \(x^2+1\ge1>0\)। इसलिए दिए गए शर्त को संतुष्ट करने वाला कोई वास्तविक तत्व नहीं है और \(A\) शून्य समुच्चय है, यानी \(\varnothing\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(\{i,-i\}\) में समीकरण के जटिल हल हैं लेकिन वे \(\mathbb{R}\) में नहीं आते; \(\{1,-1\}\) और \(\{0\}\) समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा टिप: हमेशा दिए गए संख्या क्षेत्र (यहाँ \(\mathbb{R}\)) की जाँच करें — कुछ समीकरणों के हल केवल जटिल संख्याओं में होते हैं। / No real number \(x\) satisfies \(x^2+1=0\) because for real \(x\), \(x^2\ge0\) so \(x^2+1\ge1>0\). Hence there are no elements of \(\mathbb{R}\) meeting the condition and \(A\) is the empty set \(\varnothing\). The closest distractor \(\{i,-i\}\) lists the complex roots of the polynomial but they are not in \(\mathbb{R}\); \(\{1,-1\}\) and \(\{0\}\) do not satisfy the equation. Exam tip: always check the domain (real vs complex) before accepting roots as valid solutions.
A में वे धनात्मक गुणज आते हैं जो 30 से छोटे हैं। 5 के धनात्मक गुणज: 5, 10, 15, 20, 25 (5×1 से 5×5) ही हैं; 30 शामिल नहीं क्योंकि शर्त x < 30 है। अतः A = {5,10,15,20,25} और इसलिए A तथा B समान हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प B गलत है क्योंकि उसने 30 जोड़ दिया जो शर्त का उल्लंघन है। परीक्षा का टिप: "<30" जैसा कड़ाई से लिया गया असमानता चिन्ह ध्यान से पढ़ें—30 शामिल नहीं होगा। / A consists of positive multiples of 5 that are less than 30. These are 5, 10, 15, 20, 25 (5×1 through 5×5); 30 is not included because x < 30. Therefore A = {5,10,15,20,25} = B. The closest distractor (option B) is wrong because it incorrectly includes 30. Exam tip: pay attention to strict inequalities like "<30"—they exclude the boundary value.
(A) में ({1,2}) एक अवयव है पर (1) और (2) अलग से अवयव नहीं हैं। इसलिए ({1,2}) उपसमुच्चय नहीं है। / In (A), ({1,2}) is one element, but (1) and (2) are not separate elements. So ({1,2}) is not a subset.
\(A=\{1,2,3\}\) है और इसके एक-अवयवी उपसमुच्चय (3) हैं। पावर समुच्चय में ये उपसमुच्चय अवयव बनते हैं। / Here \(A=\{1,2,3\}\), and it has (3) singleton subsets. These subsets become elements of the power set.
A. \(C\subset A\subset B\) उचित रूप से/\(C\subset A\subset B\) properly
Explanation
Simple Explanation
(C) के सभी अवयव (A) में हैं और (A) के सभी अवयव (B) में हैं। प्रत्येक चरण में अतिरिक्त अवयव होने से संबंध उचित है। / All elements of (C) are in (A), and all elements of (A) are in (B). Each step is proper because there is an extra element.
शर्त \(0<x^2<10\) के लिये पूर्णांक \(x\) के वर्ग केवल 1, 4 और 9 हो सकते हैं (क्योंकि अगला वर्ग 16\(>10\) है)। इसलिए \(x=\pm1,\pm2,\pm3\) होते हैं। चूँकि \(0<x^2\) है, \(0\) शामिल नहीं होगा। अतः सही समुच्चय \{ -3,-2,-1,1,2,3\} है। निकट भ्रामक विकल्प \{ -2,-1,0,1,2\} में 0 है और \(\pm3\) गायब हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: समुच्चय आधारित प्रश्न में पहले संभावित वर्ग (1,4,9,16,...) लिखें और दिए गए असमानता से तुलना करें। / For integers satisfying \(0<x^2<10\), the possible squares are 1, 4 and 9 (the next square 16 exceeds 10). Hence \(x=\pm1,\pm2,\pm3\). Since \(0<x^2\), zero is excluded. Therefore the set is \{ -3,-2,-1,1,2,3\}. A close distractor, \{ -2,-1,0,1,2\}, incorrectly includes 0 and misses \(\pm3\). Exam tip: list integer squares (1,4,9,16,...) and check the inequality bounds to find allowed values quickly.
(1) और (3) निश्चित हैं तथा (2,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। किसी उपसमुच्चय को शामिल रखना हो तो उसके अवयव पहले तय करें। / (1) and (3) are fixed, while (2,4) are optional, so there are \(2^2=4\) subsets. When a subset must be contained, fix its elements first.
यदि किसी समुच्चय में n अवयव हों, तो उसके प्रत्येक अवयव के लिए दो विकल्प होते हैं—उसे उपसमुच्चय में शामिल करना या नहीं करना। इसलिए कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ n = 5 है, अतः \(2^5 = 32\)। इसलिए सही उत्तर 32 है। विकल्प 25, \(5^2\) का मान है और 120, \(5!\) का मान है; इनमें से कोई भी उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र नहीं है। परीक्षा टिप: उपसमुच्चयों की संख्या के लिए सीधे \(2^n\) का प्रयोग करें; इसमें रिक्त समुच्चय और स्वयं दिया गया समुच्चय दोनों शामिल होते हैं। / For each of the n elements, there are two choices: include it in a subset or leave it out. Therefore, the total number of subsets is \(2^n\). For n = 5, \(2^5 = 32\), so the correct answer is 32. Option 25 is \(5^2\), while 120 is \(5!\); neither represents the number of subsets. Exam tip: Use \(2^n\) directly, remembering that both the empty set and the original set are included.
किसी n-अवयवीय समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n\\) होती है। यहाँ \\(2^n=64\\) लेने पर \\(n=6\\) आता है, इसलिए समुच्चय में 6 अवयव हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्प का कारण: उदाहरण के लिए \\(n=7\\) होने पर \\(2^7=128\\) उपसमुच्चय मिलेंगे, इसलिए 7 गलत है। परीक्षा-सूत्र: 64 को 2 के घातों के रूप में तुरन्त पहचानें (\\(64=2^6\\)). / For a set with n elements the number of all subsets is \\(2^n\\). So solve \\(2^n=64\\), giving \\(n=6\\). Thus A has 6 elements. Why a close distractor is wrong: if n=7 then \\(2^7=128\\) subsets, not 64. Exam tip: recognise common powers of two (32, 64, 128) or take log base 2 to find n quickly.
कुल सेट में 6 अवयव हैं, इसलिए सभी उपसमुच्चयों की संख्या 26 = 64 है। यदि हम विशेष रूप से उन उपसमुच्चयों की गिनती करना चाहें जिनमें 2 मौजूद नहीं है, तो 2 को हटाने पर शेष 5 अवयवों के सभी उपसमुच्चय बनते हैं, यानी 25 = 32। इसलिए उत्तर 32 है। नोट: 16 = 24 तब मिलता यदि केवल 4 अवयव बचे होते; 64 में वे भी शामिल हैं जिनमें 2 हो (इसलिए वह सभी उपसमुच्चयों की संख्या है)। परीक्षा टिप: किसी निश्चित तत्व को शामिल न करने वाले उपसमुच्चयों की संख्या कुल उपसमुच्चयों का आधा होती है (यदि तत्व की उपस्थिति/अनुपस्थिति स्वतंत्र हो)। / The set has 6 elements, so total subsets = 26 = 64. Subsets that do not contain the element 2 are exactly the subsets of the remaining 5 elements, which number 25 = 32. Thus 32 is correct. Remarks on distractors: 16 = 24 would correspond to only 4 remaining elements; 64 counts all subsets including those with 2; 48 is not a power of two and cannot be the exact count of subsets. Exam tip: excluding one fixed element halves the total number of subsets, so use 2^(n-1).
चूँकि उपसमुच्चय में \(A\) के सभी तत्व (1, 2, 3) अनिवार्य रूप से होने चाहिए, इसलिए ये तीन तत्व निश्चित हैं। सेट \(B\) में शेष तत्व \{4,5\} हैं और हर एक को शामिल या न शामिल किया जा सकता है। अतः संभावनाएँ \(2^{2}=4\) हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प (8) तब गलत होगा जब कोई सोच ले कि A के तत्व वैकल्पिक हैं और कुल 3 अतिरिक्त तत्व हैं; यह गलत है। परीक्षा टिप: सामान्य सूत्र — यदि \(|B|=n\) और \(|A|=k\) तथा \(A\subseteq B\), तो ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-k}\) होती है। / All elements of \(A\) (1, 2, 3) must be present, so they are fixed. The remaining elements of \(B\) are \{4,5\}, each of which may be either included or excluded independently, giving \(2^{2}=4\) subsets. The closest distractor (8) would correspond to wrongly treating three elements as optional (i.e. \(2^{3}\)), which is incorrect because elements of \(A\) are not optional. Exam tip: if \(|B|=n\) and \(|A|=k\) with \(A\subseteq B\), the count is \(2^{n-k}\).
दो तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। परीक्षा में (\mathcal{P}(A)) के तत्व उपसमुच्चय होते हैं। / The number of two-element subsets is \(\binom{4}{2}=6\). In exams, remember elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets.
\(A\cap B={3,4}\) है, इसलिए इसके घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। पहले प्रतिच्छेद निकालें, फिर घात समुच्चय की संख्या लगाएँ। / \(A\cap B={3,4}\), so its power set has \(2^2=4\) elements. First find the intersection, then apply the power set formula.
यदि \(|A| = n\) हो तो पावर सेट की संख्या \(|\mathcal{P}(A)| = 2^n\) होती है। दिया गया है कि \(|\mathcal{P}(A)| = 128\)। क्योंकि \(128 = 2^7\), अतः \(|A| = 7\)। निकट का भ्रमित करने वाला विकल्प 8 इसलिए गलत है क्योंकि \(2^8 = 256\) होता है; विकल्प 6 भी गलत है क्योंकि \(2^6 = 64\)। परीक्षा-सुझाव: छोटे घातों \(2^n\) की मानों की एक सूची याद रखें (जैसे 64, 128, 256) — यह शीघ्र पहचान में मदद करती है। / If \(|A| = n\), then the power set has \(|\mathcal{P}(A)| = 2^n\) elements. Given \(|\mathcal{P}(A)| = 128\) and since \(128 = 2^7\), it follows that \(|A| = 7\). The tempting option 8 is incorrect because \(2^8 = 256\), and 6 is wrong because \(2^6 = 64\). Exam tip: memorize small powers of 2 (e.g. 64, 128, 256) to quickly identify \(n\).
(A) में अभाज्य नहीं होने वाली संख्याएँ हैं, इसलिए (A') में (U) की अभाज्य संख्याएँ आएँगी। ध्यान रखें कि (1) अभाज्य नहीं होता। / (A) contains the numbers that are not prime, so (A') contains the prime numbers of (U). Remember that (1) is not prime.
पूरक (A') में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। सार्वत्रिक समुच्चय हमेशा पहले देखें। / The complement (A') contains elements of (U) that are not in (A). Always check the universal set first.
(a) निश्चित है और (d,e) स्वतंत्र हैं। (b,c) के लिए कुल (4) विकल्पों में से दोनों साथ वाला विकल्प हटेगा, इसलिए \(3\times 2^2=12\)। / (a) is fixed and (d,e) are free. For (b,c), remove the one case where both are chosen, so the count is \(3\times 2^2=12\).
\({\emptyset,2}\), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह घात समुच्चय का तत्व है। (1) और ({2}), (A) के तत्व नहीं हैं। / \({\emptyset,2}\) is a subset of (A), so it is an element of the power set. (1) and ({2}) are not elements of (A).
(\mathcal{P}(A)) के एकल तत्व वे उपसमुच्चय हैं जिनमें (1) तत्व है। उनकी संख्या \(\binom{5}{1}=5\) है। / Singleton elements of (\mathcal{P}(A)) are one-element subsets of (A). Their number is \(\binom{5}{1}=5\).
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में केवल उन सभी उपसमुच्चयों को शामिल किया जाता है जो \(A\) के हों। उपसमुच्चय हमेशा ब्रेसेस \(\{\;\}\) के रूप में लिखे जाते हैं (जैसे \(\{a\}\), \(\{c\}\))। \(a\) बिना ब्रेसेस के एक तत्व है, उपसमुच्चय नहीं, इसलिए यह \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व नहीं होगा। निकटतम ग़लत विकल्प \(\emptyset\) है — परन्तु शून्यसमुच्चय हर सेट का उपसमुच्चय होता है, इसलिए \(\emptyset\) पावर सेट में होगा। परीक्षा टिप: सदस्य (element) और उपसमुच्चय (subset) अलग होते हैं — उपसमुच्चय पर हमेशा \(\{\}\) ब्रेसेस देखें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) consists only of subsets of \(A\). Subsets are written with braces (for example \(\{a\}\), \(\{c\}\)). The symbol \(a\) without braces is an element of \(A\), not a subset, so it is not in \(\mathcal{P}(A)\). The closest distractor is \(\emptyset\): the empty set is a subset of every set, so it does belong to the power set. Exam tip: check for braces — \(\{x\}\) denotes a subset containing x, while x alone denotes an element.
B. संयुक्त संख्याएँ और (1)/Composite numbers and (1)
Explanation
Simple Explanation
(A), (U) में उपस्थित अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है। इसलिए पूरक में (1) और संयुक्त संख्याएँ रहेंगी। / (A) is the set of prime numbers present in (U). So the complement contains (1) and composite numbers.
दिए गए घात समुच्चय में मूल समुच्चय का सबसे बड़ा उपसमुच्चय ({p,q}) है। इसलिए \(A=\{p,q\}\)। / The largest subset shown in the power set is ({p,q}), which is the original set. Hence \(A=\{p,q\}\).
A. बड़ा समुच्चय छोटा पूरक देता है/A larger set gives a smaller complement
Explanation
Simple Explanation
जब \(A\subseteq B\), तो (B) के बाहर की हर वस्तु (A) के बाहर भी होगी। पूरक लेने पर समावेशन उलट जाता है। / When \(A\subseteq B\), everything outside (B) is also outside (A). Inclusion reverses under complement.
कम से कम (3) तत्वों वाले उपसमुच्चय (3) या (4) तत्वों के होंगे। संख्या \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=5\) है। / Subsets with at least (3) elements have (3) or (4) elements. The number is \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=5\).
({2}), (A) का एक तत्व है, इसलिए उसका एकल उपसमुच्चय ({{2}}) घात समुच्चय में होगा। सेट और उसके तत्व में अंतर रखें। / ({2}) is an element of (A), so its singleton subset ({{2}}) is in the power set. Keep a clear difference between a set and its element.
A. सभी वास्तविक संख्याएँ सिवाय (-2) और (2)/All real numbers except (-2) and (2)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=4\) के हल (-2) और (2) हैं। \(\mathbb{R}\) में पूरक इन दोनों को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। / The solutions of \(x^2=4\) are (-2) and (2). In \(\mathbb{R}\), the complement is all real numbers except these two.
यदि \(A=\emptyset\), तो (\mathcal{P}(A)={\emptyset}) है। इसलिए (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^1=2\) तत्व हैं। / If \(A=\emptyset\), then (\mathcal{P}(A)={\emptyset}). Hence (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^1=2\) elements.
(1) को निश्चित रखकर शेष (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। निश्चित तत्व वाली गिनती में बाकी तत्व स्वतंत्र होते हैं। / Fix (1), and the remaining two elements may be chosen or not chosen in \(2^2=4\) ways. With a fixed element, the rest are independent.
यदि \(A\subseteq B\), तो (A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय होगा। इसलिए घात समुच्चयों में भी यही समावेशन रहता है। / If \(A\subseteq B\), every subset of (A) is also a subset of (B). So the same inclusion holds for power sets.
पॉवर सेट \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व वास्तव में \(A\) के उपसमुच्चय हैं। उन उपसमुच्चयों की गिनती करें जिनके सदस्यों का योग 3 है: \(\{3\}\) (एकल), \(\{0,3\}\) (0 जोड़ने से योग नहीं बदलता), \(\{1,2\}\) और \(\{0,1,2\}\)। ये चार उपसमुच्चय हैं इसलिए उत्तर 4 है। निकटतम विक्षेपक 3 इसलिए गलत है क्योंकि उसमें किसी एक उपसमुच्चय (उदा. \(\{0,1,2\}\)) की उपेक्षा हो जाती है। परीक्षा टिप: 0 को अलग से देखें — 0 किसी भी उपसमुच्चय में जोड़ने पर योग नहीं बदलता, इसलिए बिना 0 वाले समाधान में 0 जोड़ने से अतिरिक्त उपसमुच्चय बनते हैं। / Elements of \(\mathcal{P}(A)\) are subsets of \(A\). List subsets whose elements sum to 3: \(\{3\}\), \(\{0,3\}\) (adding 0 does not change the sum), \(\{1,2\}\), and \(\{0,1,2\}\). That gives 4 subsets, so the answer is 4. The closest distractor 3 is wrong because it omits one valid subset (for example \(\{0,1,2\}\)). Exam tip: treat 0 specially — any subset summing to 3 without 0 produces a distinct subset summing to 3 when 0 is included, so count those pairs.
(3) के गुणज (3,6,9,12) हैं, इसलिए (A) में (4) तत्व हैं। (U) में (12) तत्व हैं, अतः (A') में (8) तत्व होंगे। / The multiples of (3) are (3,6,9,12), so (A) has (4) elements. Since (U) has (12) elements, (A') has (8) elements.
(\mathcal{P}(A)={\emptyset,{m},{n},{m,n}}) है। ({m,n}) के तत्व (m,n) इसमें नहीं हैं, इसलिए यह इसका उपसमुच्चय नहीं है। / (\mathcal{P}(A)={\emptyset,{m},{n},{m,n}}). The elements (m,n) are not in it, so ({m,n}) is not its subset.
घातांक संबंध से \(|\mathcal{P}(A)|=2^n=64\) होने पर \(2^n=64\Rightarrow n=6\). किसी भी सेट के \(k\)-तत्वीय उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{n}{k}\) से दी जाती है, अतः यहाँ \(\binom{6}{3}=20\)। परीक्षा में भ्रमित करने वाली धारणा: 15 दरअसल \(\binom{6}{2}=15\) है (कभी-कभी विद्यार्थी तत्वों की संख्या बदलकर गलती कर लेते हैं), और 18 के लिए कोई पूर्णांक \(k\) नहीं है जिससे \(\binom{6}{k}=18\)। टैम्प: पहले \(2^n\) से \(n\) निकालें, फिर उपसमुच्चयों के लिए \(\binom{n}{k}\) लगाएँ। / Since the power set size gives \(2^n=64\), we get \(n=6\). The number of 3‑element subsets is given by the binomial coefficient \(\binom{n}{3}\), so \(\binom{6}{3}=20\). Note on distractors: 15 equals \(\binom{6}{2}\) (a common swap error), and 18 cannot arise as \(\binom{6}{k}\) for any integer \(k\). Exam tip: first compute \(n\) from \(2^n\), then apply \(\binom{n}{k}\) for the requested subset size.
(2,5) निश्चित हैं और (1) निषिद्ध है। शेष (3,4) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (2,5) are fixed and (1) is forbidden. The remaining (3,4) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
विषम आकार वाले उपसमुच्चय \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=8\) हैं। (n>0) में आधे उपसमुच्चय विषम आकार के होते हैं। / Odd-sized subsets are \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=8\). For (n>0), half the subsets have odd size.
हर तत्व के लिए तीन स्थितियाँ हैं: (X) में, केवल (Y) में, या दोनों से बाहर। इसलिए कुल \(3^3=27\) युग्म हैं। / For each element there are three choices: in (X), only in (Y), or outside both. Thus the total is \(3^3=27\).
दो तत्वों वाले समुच्चय का घात समुच्चय (4) उपसमुच्चयों से बनता है। यहाँ \(\emptyset\) भी (A) का एक तत्व है। / A two-element set has (4) subsets in its power set. Here \(\emptyset\) is also an element of (A).
कुल उपसमुच्चय \(2^6=64\) हैं और ठीक (2) तत्व वाले \(\binom{6}{2}=15\) हैं। इसलिए उत्तर (64-15=49) है। / Total subsets are \(2^6=64\), and exactly two-element subsets are \(\binom{6}{2}=15\). So the answer is (64-15=49).
B. जो कोई भी विषय नहीं पढ़ते/Students studying neither subject
Explanation
Simple Explanation
\(A'\cap B'\) में वे छात्र हैं जो (A) में भी नहीं और (B) में भी नहीं हैं। यह न गणित न भौतिकी पढ़ने वालों को दर्शाता है। / \(A'\cap B'\) contains students not in (A) and not in (B). It represents students studying neither Mathematics nor Physics.
हमें ऐसे उपसमुच्चय गिनने हैं जिनमें 1 शामिल नहीं है और 4 शामिल है। 4 को शामिल मानने पर बचते हैं केवल तत्व 2 और 3 — हर एक के लिए शामिल/न शामिल के दो विकल्प हैं। अत: कुल उपसमुच्चय = \(2^{2}=4\)। विकल्प D (8) गलत है क्योंकि वह मानता है कि तीन तत्व स्वतंत्र हैं (\(2^{3}=8\)), जो यहाँ लागू नहीं होता; विकल्प A और B अवकलन हैं। परीक्षा सुझाव: जब कोई तत्व "शामिल" या "शामिल नहीं" बताता हो, तो स्वतंत्र तत्वों की संख्या गिनें और उत्तर \(2^{\text{(स्वतंत्र तत्वों की संख्या)}}\) द्वारा पाएँ। / We count subsets that exclude 1 and include 4. With 4 fixed in and 1 fixed out, the only free elements are 2 and 3. Each free element can be present or absent, giving \(2^{2}=4\) subsets. Option D (8) is incorrect because it assumes three free choices (\(2^{3}\)); A and B are undercounts. Exam tip: when elements are fixed in/out, count the remaining free elements and compute \(2^{\text{(number of free elements)}}\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं, अकेले तत्व नहीं। (1) को ({1}) लिखने पर वह घात समुच्चय का तत्व होगा। / A power set contains subsets, not bare elements. (1) would need to be written as ({1}) to be an element of the power set.
यदि किसी समुच्चय में \(n\) अवयव हों, तो उसके सम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-1}\) होती है, जब \(n\geq 1\)। यहाँ \(n=5\) है, इसलिए संख्या \(2^{5-1}=16\) होगी। सीधे गणना करने पर भी \(\binom{5}{0}+\binom{5}{2}+\binom{5}{4}=1+10+5=16\) प्राप्त होता है। विकल्प 32 कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^5\) है, जिसमें सम और विषम दोनों आकार वाले उपसमुच्चय शामिल हैं। परीक्षा सुझाव: सम और विषम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या, दोनों, \(2^{n-1}\) होती है। / For a set with \(n\) elements, the number of subsets having even cardinality is \(2^{n-1}\), provided \(n\geq 1\). Here \(n=5\), so the required number is \(2^{5-1}=16\). Equivalently, \(\binom{5}{0}+\binom{5}{2}+\binom{5}{4}=1+10+5=16\). The tempting option 32 is the total number of subsets, \(2^5\), including both even- and odd-sized subsets. Exam tip: for any non-empty finite set, the subsets of even and odd cardinality are equal in number, each being \(2^{n-1}\).
B. (U) में अपूर्ण वर्ग संख्याएँ/Non-perfect-square numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (U) के पूर्ण वर्ग (1,4,9) हैं। पूरक में (U) की बाकी अपूर्ण वर्ग संख्याएँ होंगी। / (A) contains the perfect squares (1,4,9) in (U). Its complement contains the remaining non-perfect-square numbers in (U).
\(\{a,b\}\) का \(A\) में अधिसमुच्चय बनने के लिए केवल तीसरे तत्व \(c\) को शामिल करना या न करना तय किया जा सकता है। इसलिए संभावित अधिसमुच्चय \(\{a,b\}\) और \(\{a,b,c\}\) हैं, अतः कुल 2 अधिसमुच्चय हैं। सूत्र के रूप में, यदि \(S\subseteq A\), तो \(A\) के भीतर \(S\) के अधिसमुच्चयों की संख्या \(2^{|A|-|S|}\) होती है; यहाँ यह \(2^{3-2}=2\) है। विकल्प A केवल \(\{a,b\}\) को गिनता है, जबकि विकल्प D में अतिरिक्त असंभव समुच्चय गिने गए हैं। परीक्षा टिप: अधिसमुच्चयों की संख्या निकालने के लिए मूल समुच्चय में मौजूद लेकिन दिए गए उपसमुच्चय में अनुपस्थित तत्वों की संख्या गिनकर \(2^r\) लगाएँ। / For \(\{a,b\}\) to remain a subset, the only choice is whether to include the remaining element \(c\). Thus, the possible supersets within \(A\) are \(\{a,b\}\) and \(\{a,b,c\}\), giving a total of 2. In general, if \(S\subseteq A\), the number of supersets of \(S\) contained in \(A\) is \(2^{|A|-|S|}\); here, it is \(2^{3-2}=2\). Option A counts only \(\{a,b\}\), while option D includes nonexistent additional possibilities. Exam tip: count the elements of the larger set that are absent from the given subset and use \(2^r\).
सभी अंक (0) से (9) तक होते हैं। (A) सम अंकों का समुच्चय है, इसलिए पूरक विषम अंक हैं। / All digits are from (0) to (9). (A) is the set of even digits, so the complement is the odd digits.
(1,2) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं। शेष (3,4) के लिए \(2^2\) तरीके, इसलिए कुल (8) हैं। / There are (2) ways to choose exactly one of (1,2). The remaining (3,4) give \(2^2\) choices, so total (8).
(A) में (100) तक की प्राकृतिक संख्याएँ हैं। \(\mathbb{N}\) में पूरक (100) से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ हैं। / (A) contains natural numbers up to (100). In \(\mathbb{N}\), the complement is natural numbers greater than (100).
सेट \(A\) में 3 तत्व हैं, इसलिए इसके पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। इनमें से रिक्त सेट \(\emptyset\) और स्वयं सेट \(A\) को हटाया गया है, इसलिए शेष तत्वों की संख्या \(8-2=6\) होगी। विकल्प D (8) कुल उपसमुच्चयों की संख्या बताता है, लेकिन उसमें हटाए जाने वाले दोनों सेट शामिल हैं। परीक्षा-सुझाव: \(n\) तत्वों वाले सेट के अशून्य उचित उपसमुच्चयों की संख्या सीधे \(2^n-2\) होती है। / Set \(A\) has 3 elements, so its power set \(\mathcal{P}(A)\) contains \(2^3=8\) subsets. The set difference removes the empty set \(\emptyset\) and the set \(A\) itself, leaving \(8-2=6\) elements. Option D (8) is the total number of subsets before these two sets are removed. Exam tip: an n-element set has \(2^n-2\) nonempty proper subsets.
असंयुक्त उपसमुच्चय में (x) और (z) नहीं आ सकते। केवल (y,w) चुने जा सकते हैं, इसलिए \(2^2=4\) हैं। / A disjoint subset cannot contain (x) or (z). Only (y,w) may be chosen, so there are \(2^2=4\).
(A) में (1,3,7,9) हैं। इसलिए पूरक (2) या (5) से विभाज्य तत्व ({2,4,5,6,8,10}) हैं। / (A) contains (1,3,7,9). So the complement is the elements divisible by (2) or (5): ({2,4,5,6,8,10}).
(A) के सभी तत्व सम हैं, इसलिए (\mathcal{P}(A)) के हर उपसमुच्चय में केवल सम संख्याएँ होंगी। कुल संख्या \(2^5=32\) है। / All elements of (A) are even, so every subset in (\mathcal{P}(A)) contains only even numbers. The total number is \(2^5=32\).
(1) निश्चित है और (2) नहीं लेना है, इसलिए (3,4,5) में से (2) तत्व चुनने होंगे। संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। / (1) is fixed and (2) is excluded, so choose (2) elements from (3,4,5). The count is \(\binom{3}{2}=3\).
ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\) है। आकार आधारित प्रश्नों में संयोजन लगाएँ। / The number is \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\). Use combinations for size-based subset questions.
\(A\cap B\) में (6) के गुणज (6,12,18,24) हैं, इसलिए इसमें (4) तत्व हैं। पूरक में (24-4=20) तत्व होंगे। / \(A\cap B\) contains the multiples of (6): (6,12,18,24), so it has (4) elements. The complement has (24-4=20) elements.
\({\emptyset,{a}}\), (A) का उपसमुच्चय है। घात समुच्चय में हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय आते हैं। / \({\emptyset,{a}}\) is a subset of (A). A power set always contains subsets of the original set.
A. \({x:x\in \mathbb{Z}, x<-2\) या (x>3})/\({x:x\in \mathbb{Z}, x<-2\) or (x>3})
Explanation
Simple Explanation
पूरक में वे पूर्णांक होंगे जो दिए गए अंतराल के बाहर हैं। सीमा मान (-2) और (3) (A) में हैं इसलिए पूरक में नहीं होंगे। / The complement contains integers outside the given interval. The endpoints (-2) and (3) are in (A), so they are not in the complement.
(\mathcal{P}(A)) स्वयं (256) तत्वों वाला समुच्चय है। इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^{256}\) तत्व होंगे। / (\mathcal{P}(A)) itself is a set with (256) elements. Its power set therefore has \(2^{256}\) elements.
(1) निश्चित है और (6) निषिद्ध है। शेष चार तत्व स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय होंगे। / (1) is fixed and (6) is forbidden. The remaining four elements are free, so there are \(2^4=16\) subsets.
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। \(\emptyset\) और (A) हटाने पर (6) अरिक्त उचित उपसमुच्चय बचते हैं। / There are \(2^3=8\) total subsets. Removing \(\emptyset\) and (A) leaves (6) non-empty proper subsets.
केवल रिक्त समुच्चय का पूरक पूरा (U) होता है। पूरक वाले प्रश्नों में सार्वत्रिक समुच्चय याद रखें। / Only the empty set has the whole (U) as its complement. Always remember the universal set in complement questions.
विकल्प में (1) और ({1,2}) दोनों (A) के तत्व हैं। ({1,2}) को (A) का तत्व समझें, दो अलग तत्व नहीं। / Both (1) and ({1,2}) in the option are elements of (A). Treat ({1,2}) as one element of (A), not two separate elements.
कम से कम (6) तत्वों का अर्थ (6) या (7) तत्व है। संख्या \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=8\) है। / At least (6) elements means (6) or (7) elements. The count is \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=8\).
(0) को निश्चित रखने पर शेष चार तत्वों में से सम संख्या चुननी होगी। संख्या \(\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=8\) है। / After fixing (0), an even number of the remaining four elements must be chosen. The count is \(\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=8\).
({a,d}) से असंयुक्त उपसमुच्चय केवल (b,c) से बनेंगे, जो \(2^2=4\) हैं। इसलिए असंयुक्त नहीं होने वाले (16-4=12) हैं। / Subsets disjoint from ({a,d}) are formed only from (b,c), so there are \(2^2=4\). Hence not disjoint subsets are (16-4=12).
कुल उपसमुच्चय (32) हैं। (2) और (3) दोनों न लेने वाले \(2^3=8\) हैं, इसलिए उत्तर (24) है। / There are (32) total subsets. Those containing neither (2) nor (3) are \(2^3=8\), so the answer is (24).
घात समुच्चय बराबर होने पर मूल समुच्चय भी बराबर होते हैं। क्योंकि मूल समुच्चय स्वयं अपने घात समुच्चय का तत्व होता है। / If power sets are equal, the original sets are also equal. This is because each original set is an element of its own power set.
(r,s) निश्चित हैं और (v) नहीं लेना है। शेष (t,u) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (r,s) are fixed and (v) is excluded. The remaining (t,u) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
दिया है कि \(Y=A\), इसलिए \(Y\) का केवल एक ही संभव मान है। अब \(X\subseteq Y=A\) होने के कारण \(X\), चार-तत्वीय समुच्चय \(A\) का कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है। चार-तत्वीय समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होती है, इसलिए क्रमित युग्मों की संख्या \(16\times 1=16\) है। विकल्प B (8) में कुछ उपसमुच्चय छूट जाते हैं, जबकि विकल्प D (32) में अनावश्यक रूप से पाँच तत्व मान लिए जाते हैं। परीक्षा-टिप: जब किसी एक घटक, यहाँ \(Y\), का मान निश्चित हो, तो केवल दूसरे घटक के संभव मानों की संख्या गिनें। / Since \(Y=A\), there is only one possible value of \(Y\). The condition \(X\subseteq Y=A\) means that \(X\) can be any subset of the four-element set \(A\). A set with four elements has \(2^4=16\) subsets, so the number of ordered pairs is \(16\times 1=16\). Option B (8) omits some valid subsets, while option D (32) incorrectly corresponds to five elements. Exam tip: when one component of an ordered pair is fixed, count the possible values of the remaining component.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) और \(A=\{1,3,5,7\}\) हैं, तो \(U\) के सापेक्ष \(A\) के पूरक \(A'\) के पावर समुच्चय \(\mathcal{P}(A')\) में कितने तत्व होंगे?
\(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है \(A'=U\setminus A=\{2,4,6\}\), इसलिए \(|A'|=3\)। यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके पावर समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। अतः \(|\mathcal{P}(A')|=2^3=8\)। विकल्प C में \(|A|=4\) लेकर \(2^4\) किया गया है, जो \(\mathcal{P}(A)\) का आकार है, \(\mathcal{P}(A')\) का नहीं। परीक्षा-सुझाव: पावर समुच्चय का आकार निकालने से पहले पूरक समुच्चय में तत्वों की संख्या अवश्य निर्धारित करें। / The complement of \(A\) with respect to \(U\) is \(A'=U\setminus A=\{2,4,6\}\), so \(|A'|=3\). A set with \(n\) elements has a power set containing \(2^n\) elements. Therefore, \(|\mathcal{P}(A')|=2^3=8\). Option C results from incorrectly using \(|A|=4\) and calculating \(2^4\); that is the size of \(\mathcal{P}(A)\), not \(\mathcal{P}(A')\). Exam tip: find the number of elements in the required set first, and then apply the power-set formula \(2^n\).
(|\mathcal{P}(B)|=32) और (|\mathcal{P}(A)|=16) है। क्योंकि \(A\subset B\), अंतर में (32-16=16) तत्व होंगे। / (|\mathcal{P}(B)|=32) and (|\mathcal{P}(A)|=16). Since \(A\subset B\), the difference has (32-16=16) elements.
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') होता है। \(A\cap B={2,4}\), इसलिए पूरक में (10-2=8) तत्व हैं। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). Since \(A\cap B={2,4}\), the complement has (10-2=8) elements.
समुच्चय \(A\) के दो अलग-अलग अवयव हैं: \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\)। ध्यान दें कि \(\emptyset\) एक अवयव है, जबकि \(\{\emptyset\}\) उस अवयव से बना एक-सदस्यीय समुच्चय है; इसलिए दोनों समान नहीं हैं। किसी \(n\)-अवयवी समुच्चय के घात समुच्चय में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। अतः \(|A|=2\) और \(|\mathcal{P}(A)|=2^2=4\)। विकल्प 2 केवल \(A\) के अवयवों की संख्या बताता है, घात समुच्चय के अवयवों की नहीं। परीक्षा-टिप: पहले मूल समुच्चय के अलग-अलग अवयव गिनें, फिर \(2^{|A|}\) का प्रयोग करें। / The set \(A\) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\). Note that \(\emptyset\) is an element, whereas \(\{\emptyset\}\) is a one-element set containing it; therefore, they are not the same. A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets. Hence, \(|A|=2\) and \(|\mathcal{P}(A)|=2^2=4\). Option 2 gives the number of elements of \(A\), not the number of elements of its power set. Exam tip: count the distinct elements of the original set first, then apply \(2^{|A|}\).
A. वे त्रिभुज जो समबाहु नहीं हैं/Triangles that are not equilateral
Explanation
Simple Explanation
पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के भीतर लिया जाता है। इसलिए (E') सभी ऐसे त्रिभुज हैं जो समबाहु नहीं हैं। / Complement is always taken inside the universal set. So (E') is all triangles that are not equilateral.
कुल उपसमुच्चय \(2^7=128\) हैं और ठीक (5) तत्व वाले \(\binom{7}{5}=21\) हैं। इसलिए उत्तर (128-21=107) है। / Total subsets are \(2^7=128\), and exactly (5)-element subsets are \(\binom{7}{5}=21\). So the answer is (128-21=107).
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएँ (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएँ हैं। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). Hence the complement has (30-20=10) numbers.
(a,b) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं और (e) निश्चित है। (c,d) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2\times2^2=8\)। / There are (2) ways to choose exactly one of (a,b), and (e) is fixed. (c,d) are free, so \(2\times2^2=8\).
ऐसे उपसमुच्चय में (3) होना चाहिए और (4) नहीं होना चाहिए। (1,2) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। / Such a subset must contain (3) and must not contain (4). (1,2) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B'\subseteq A'\) मिलता है। / Inclusion reverses when complements are taken. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B'\subseteq A'\).
\(\mathcal{P}(A)\) में \(A\) के सभी उपसमुच्चय शामिल होते हैं। यहाँ \(\{3,4\}\), \(A\) का एक तत्व है; इसलिए उसका एकतत्वीय उपसमुच्चय \(\{\{3,4\}\}\), \(A\) का उपसमुच्चय है और निश्चित रूप से \(\mathcal{P}(A)\) में शामिल होगा। विकल्प B में \(\{3,4\}\) स्वयं \(A\) का तत्व है, लेकिन उपसमुच्चय नहीं, क्योंकि 3 और 4, \(A\) के अलग-अलग तत्व नहीं हैं। विकल्प C और D में 3 को सीधे तत्व के रूप में शामिल किया गया है, जबकि \(3\notin A\)। परीक्षा टिप: nested sets में यह जाँचें कि किसी वस्तु का संबंध \(A\) से ‘तत्व’ का है या ‘उपसमुच्चय’ का। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains every subset of \(A\). Here, \(\{3,4\}\) is an element of \(A\), so its singleton set \(\{\{3,4\}\}\) is a subset of \(A\) and must belong to \(\mathcal{P}(A)\). Option B, \(\{3,4\}\), is an element of \(A\) but is not a subset of \(A\), since 3 and 4 are not separate elements of \(A\). Options C and D contain 3 directly, and \(3\notin A\), so they are not subsets of \(A\). Exam tip: for nested sets, distinguish carefully between an element of a set and a subset of that set.
(|A|=5) और (|B|=3), इसलिए \(|A\times B|=15\) है। अतः उसके घात समुच्चय में \(2^{15}\) तत्व होंगे। / (|A|=5) and (|B|=3), so \(|A\times B|=15\). Therefore its power set has \(2^{15}\) elements.
(A) में (U) की विषम संख्याएँ हैं। इसलिए पूरक में (U) की सम संख्याएँ ({2,4,6,8}) होंगी। / (A) contains the odd numbers of (U). Therefore the complement is the even numbers of (U): ({2,4,6,8}).
ऐसे उपसमुच्चय केवल \(\emptyset\) और ({1}) हैं। शर्तों में खाली समुच्चय को भी गिनना न भूलें। / The only such subsets are \(\emptyset\) and ({1}). Do not forget to count the empty set in condition-based questions.
(2) (A) में शामिल है, इसलिए पूरक में (2) नहीं आएगा। \(\mathbb{R}\) में पूरक (\(2,\infty\)) है। / (2) is included in (A), so it is not in the complement. In \(\mathbb{R}\), the complement is (\(2,\infty\)).
(a) को हटाने पर (5) तत्व बचते हैं। उनमें से ठीक (3) चुनने के \(\binom{5}{3}=10\) तरीके हैं। / After excluding (a), (5) elements remain. Choosing exactly (3) of them gives \(\binom{5}{3}=10\) ways.
(A) में कम से कम एक विषम संख्या है, इसलिए उपसमुच्चयों के योग सम और विषम बराबर संख्या में होंगे। कुल (32) हैं, अतः सम योग वाले (16) हैं। / Since (A) has at least one odd number, subsets with even and odd sums are equal in number. Total subsets are (32), so even-sum subsets are (16).
(10) के गुणज (10,20,30,40,50) हैं, इसलिए (|A|=5)। (A') में (45) तत्व हैं, अतः (|\mathcal{P}(A')|=2^{45})। / The multiples of (10) are (10,20,30,40,50), so (|A|=5). (A') has (45) elements, hence (|\mathcal{P}(A')|=2^{45}).
({1,2,3}) के उपसमुच्चय में (1) नहीं होना चाहिए। केवल (2,3) से बनने वाले \(2^2=4\) उपसमुच्चय मिलेंगे। / The subset of ({1,2,3}) must not contain (1). Subsets formed only from (2,3) give \(2^2=4\) choices.
A. (U) में (1) और संयुक्त संख्याएँ/(1) and composite numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (U) की अभाज्य संख्याएँ हैं। इसलिए पूरक में (1) और संयुक्त संख्याएँ होंगी। / (A) contains the prime numbers of (U). Therefore the complement contains (1) and composite numbers.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) तत्व हैं। किसी (8)-तत्वीय समुच्चय के घात समुच्चय में (8) एकल उपसमुच्चय होते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) elements. The power set of an (8)-element set has (8) singleton subsets.
(A'={e,f,g,h}) और (B'={a,b,g,h}) हैं। केवल एक में आने वाले तत्व (a,b,e,f) हैं, इसलिए (4) तत्व हैं। / (A'={e,f,g,h}) and (B'={a,b,g,h}). Elements in exactly one are (a,b,e,f), so there are (4).
(1,2,3) में से कम से कम दो चुनने के \(\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=4\) तरीके हैं। शेष तीन तत्व स्वतंत्र हैं, इसलिए \(4\times2^3=32\) है। / Choosing at least two from (1,2,3) gives \(\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=4\) ways. The remaining three elements are free, so the count is \(4\times2^3=32\).
क्योंकि \(2^{n(A)}=64\), इसलिए (n(A)=6) और (n(A')=10-6=4)। परीक्षा में पहले आधार समुच्चय को पहचानें। / Since \(2^{n(A)}=64\), (n(A)=6), so (n(A')=10-6=4). In exams, identify the universal set first.
(16) के भाजक (1,2,4,8,16) हैं, इसलिए (A') में (11) तत्व हैं। अतः (n(\mathcal{P}(B))=2^{11}=2048)। / The divisors of (16) are (1,2,4,8,16), so (A') has (11) elements. Hence (n(\mathcal{P}(B))=2^{11}=2048).
घात समुच्चय का प्रत्येक तत्व मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({1,{2}}) में केवल (A) के तत्व हैं। / Every element of a power set is a subset of the original set. ({1,{2}}) contains only elements of (A).
({1,2}) में (1) है, लेकिन (1) स्वयं (A) का तत्व नहीं है। घात समुच्चय के तत्व हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय होते हैं। / ({1,2}) contains (1), but (1) itself is not an element of (A). Elements of a power set are always subsets of the original set.
(12) के भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं, इसलिए बाकी तत्व पूरक में आएंगे। परीक्षा में पूरक हमेशा (U) के संदर्भ में लें। / The divisors of (12) are (1,2,3,4,6,12), so the remaining elements form the complement. Always take complement with respect to (U).
\(2^{n(A)}=32\), इसलिए (n(A)=5) और (n(A')=8)। (A') के (2)-तत्वीय उपसमुच्चय \(\binom{8}{2}=28\) होंगे। / Since \(2^{n(A)}=32\), (n(A)=5) and (n(A')=8). The number of (2)-element subsets of (A') is \(\binom{8}{2}=28\).
यदि दो समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय समान हैं, तो मूल समुच्चय भी समान होंगे। यह घात समुच्चय की एक महत्वपूर्ण परीक्षा-युक्ति है। / If two sets have exactly the same subsets, the original sets must be equal. This is an important power set result for exams.
(4) के (5) और (6) के (3) गुणज हैं, जबकि (12) का केवल (1) साझा गुणज है। इसलिए संघ में (7) तत्व और पूरक में (20-7=13) तत्व होंगे। / There are (5) multiples of (4) and (3) multiples of (6), with (1) common multiple of (12). So the union has (7) elements and the complement has (20-7=13) elements.
यहां \(2^{2^{n(A)}}=16=2^4\), इसलिए \(2^{n(A)}=4\) और (n(A)=2)। घात समुच्चय पर घात समुच्चय में दो बार सूत्र लगाएं। / Here \(2^{2^{n(A)}}=16=2^4\), so \(2^{n(A)}=4\) and (n(A)=2). Apply the power set formula twice.
(a) निश्चित है और (b,c) बाहर हैं, इसलिए केवल (d,e) स्वतंत्र हैं। कुल \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनेंगे। / (a) is fixed and (b,c) are excluded, so only (d,e) are free. Therefore \(2^2=4\) subsets are possible.
\(A\cup B={a,b,c,e}\), इसलिए (U) में बचा तत्व (d) है। पूरक निकालने से पहले संघ पूरा करें। / \(A\cup B={a,b,c,e}\), so the only remaining element in (U) is (d). Find the union before taking complement.
उचित उपसमुच्चय की संख्या \(2^{n(A)}-1\) होती है, इसलिए \(2^{n(A)}=6\)। घात समुच्चय में मूल समुच्चय भी शामिल होता है। / The number of proper subsets is \(2^{n(A)}-1\), so \(2^{n(A)}=6\). The power set also includes the original set itself.
A. ऐसा कोई सीमित समुच्चय नहीं है/No such finite set exists
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(2^n-1=5\) से \(2^n=6\) मिलता है, जो (2) की घात नहीं है। ऐसे प्रश्न में संख्या की सम्भवता भी जांचें। / Because \(2^n-1=5\) gives \(2^n=6\), which is not a power of (2). In such questions, also check whether the number is possible.
(1) से (20) तक (8) अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए (A') में (12) तत्व हैं। अतः (n(\mathcal{P}(A'))=2^{12}=4096)। / There are (8) primes from (1) to (20), so (A') has (12) elements. Hence (n(\mathcal{P}(A'))=2^{12}=4096).
(\mathcal{P}(A)) के तत्व उपसमुच्चय होते हैं, सामान्य तत्व नहीं। इसलिए \(1\in\mathcal{P}(A)\) गलत है। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets, not ordinary elements. Therefore \(1\in\mathcal{P}(A)\) is false.
(A'={2,4,6,8}) और (B'={1,4,6,7}), अतः प्रतिच्छेद ({4,6}) है। ऐसे प्रश्न में दोनों पूरक अलग निकालें। / (A'={2,4,6,8}) and (B'={1,4,6,7}), so the intersection is ({4,6}). Find both complements separately.
समीकरण \(2^m=m+12\) है और (m=4) रखने पर (16=16) मिलता है। छोटी पूर्ण संख्याएं जांचना तेज तरीका है। / The equation is \(2^m=m+12\), and (m=4) gives (16=16). Testing small integers is a quick method.
A. सभी विषम प्राकृतिक संख्याएं/All odd natural numbers
Explanation
Simple Explanation
जब \(U=\mathbb{N}\) है, तो पूरक केवल प्राकृतिक संख्याओं के अंदर लिया जाएगा। इसलिए सम प्राकृतिक संख्याओं का पूरक विषम प्राकृतिक संख्याएं हैं। / When \(U=\mathbb{N}\), complement is taken only within natural numbers. Thus the complement of even natural numbers is odd natural numbers.
तीन तत्वों वाले समुच्चय के एक-तत्वीय उपसमुच्चय (3) होते हैं। ये सभी (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। / A set with (3) elements has (3) singleton subsets. All of them are elements of (\mathcal{P}(A)).
ठीक (2) तत्व चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं। घात समुच्चय में सभी आकारों के उपसमुच्चय होते हैं। / The number of ways to choose exactly (2) elements is \(\binom{4}{2}=6\). The power set contains subsets of every size.
\(U={1,\ldots,9}\) और \(x^2<20\) के लिए \(A=\{1,2,3,4\}\) है। बाकी ({5,6,7,8,9}) पूरक है। / \(U={1,\ldots,9}\), and \(x^2<20\) gives \(A=\{1,2,3,4\}\). The remaining set ({5,6,7,8,9}) is the complement.
(1) को निश्चित रखकर बाकी (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। निश्चित तत्व वाले प्रश्न में बाकी तत्वों पर घात लगाएं। / Fix (1), then each of the remaining (2) elements may be chosen or not, giving \(2^2=4\) subsets. For a fixed element, take powers over the remaining elements.
(p) को बाहर रखकर केवल (q,r,s) से उपसमुच्चय बनेंगे, इसलिए \(2^3=8\)। किसी तत्व को हटाने पर शेष तत्वों की शक्ति लें। / Excluding (p), subsets are formed only from (q,r,s), so \(2^3=8\). When one element is forbidden, take the power of the remaining elements.
(A) में (5) तत्व हैं और (U) में (15), इसलिए (A') में (10) तत्व हैं। अतः घात समुच्चय में \(2^{10}=1024\) तत्व हैं। / (A) has (5) elements and (U) has (15), so (A') has (10) elements. Therefore its power set has \(2^{10}=1024\) elements.
A. \({1,2}\in A\) और \({1,2}\in\mathcal{P}(A)\)/\({1,2}\in A\) and \({1,2}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({1,2}) (A) का एक तत्व है और साथ ही (A) का उपसमुच्चय भी है। इसलिए यह (A) में भी है और (\mathcal{P}(A)) में भी है। / ({1,2}) is an element of (A) and also a subset of (A). Hence it belongs to both (A) and (\mathcal{P}(A)).
कम से कम (4) तत्वों वाले उपसमुच्चय (4)-तत्वीय और (5)-तत्वीय होंगे। संख्या \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\) है। / Subsets with at least (4) elements are (4)-element and (5)-element subsets. The count is \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\).
विषम आकार (1) और (3) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=3+1=4\) है। आकार के आधार पर उपसमुच्चय गिनें। / The odd sizes are (1) and (3), so the count is \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=3+1=4\). Count subsets by their sizes.
(A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय होगा। इसलिए घात समुच्चय का संबंध भी उसी दिशा में रहता है। / Every subset of (A) is also a subset of (B). Therefore the power set relation remains in the same direction.
(2) के (15), (5) के (6), और (10) के (3) गुणज हैं, इसलिए संघ में (18) तत्व हैं। पूरक में (30-18=12) तत्व होंगे। / There are (15) multiples of (2), (6) multiples of (5), and (3) multiples of (10), so the union has (18) elements. The complement has (30-18=12) elements.
पावर सेट में किसी भी उपसमुच्चय के लिए हर तत्व के दो स्थिति हो सकती हैं: शामिल या शामिल नहीं। प्रश्न में 1 अवश्यक है और 4 निष्कासित है, इसलिए 2 और 3 के बारे में कोई बाधा नहीं — वे स्वतंत्र हैं। प्रत्येक स्वतंत्र तत्व के 2 विकल्प हैं, अतः कुल उपसमुच्चय = \(2^{2}=4\)। निकटभ्रमित विकल्प C (8) तब आता है जब तीन स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ (\(2^{3}\)), और विकल्प B (6) किसी नियमित पावर-ऑफ-2 गणना का परिणाम नहीं है। परीक्षा टिप: पहले सुनिश्चित और निष्कासित तत्व हाथ से अलग कर लें, फिर बचे हुए तत्वों पर \(2^{n}\) लागू करें। / In a power set each element is either present or absent. Here 1 must be present and 4 must be absent, so only elements 2 and 3 are free to be chosen or not. That gives \(2\) choices for each of the 2 free elements, so total subsets = \(2^{2}=4\). The closest distractor C (8) would correspond to mistakenly treating three elements as free (\(2^{3}\)), while B (6) is not a valid power-of-2 count for independent inclusion/exclusion. Exam tip: fix required/excluded elements first, then count the remaining free elements and use \(2^{n}\).
पूरक एक-तत्वीय होने के लिए मूल उपसमुच्चय में (3) तत्व होने चाहिए। ऐसे उपसमुच्चय \(\binom{4}{3}=4\) हैं। / For the complement to be singleton, the original subset must have (3) elements. There are \(\binom{4}{3}=4\) such subsets.
रिक्त समुच्चय का एकमात्र उपसमुच्चय स्वयं रिक्त समुच्चय है। इसलिए उसका घात समुच्चय \({\varnothing}\) है। / The only subset of the empty set is the empty set itself. Therefore its power set is \({\varnothing}\).
संख्या \(\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20\) है। ऐसे प्रश्नों में आकारों को अलग-अलग जोड़ें। / The count is \(\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20\). In such questions, add the required sizes separately.
शब्द sets में अलग-अलग अक्षर (s,e,t) हैं, इसलिए (A) में (3) तत्व हैं। घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। / The word sets has distinct letters (s,e,t), so (A) has (3) elements. The power set has \(2^3=8\) elements.
समीकरण \(x^2=x\) को \(x(x-1)=0\) के रूप में लिखें — अतः \(x=0\) या \(x=1\)। इसलिए \(A=\{0,1\}\)। पूरक \(A'=U\setminus A=\{2,3,4,5\}\) में 4 तत्व हैं। किसी सेट के पावर सेट का आकार \(2^{\text{(तत्वों की संख्या)}}\) होता है, अतः \(n(\mathcal{P}(A'))=2^4=16\)। निकटवर्ती विकर्षक गलत हैं क्योंकि वे या तो सिर्फ \(|A'|\) को (4) पका रहे हैं, या गलत आधार वाला घात (\(2^3=8\), \(2^5=32\)) ले रहे हैं। परीक्षा टिप: पहले पूरक का आकार गिनें, फिर तुरंत \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\) लागू करें। / Solve \(x^2=x\) as \(x(x-1)=0\), so \(x=0\) or \(x=1\). Thus \(A=\{0,1\}\). The complement \(A'=U\setminus A=\{2,3,4,5\}\) has 4 elements. The power set of a set with \(k\) elements has size \(2^k\), so \(n(\mathcal{P}(A'))=2^4=16\). Closest distractors are incorrect: 4 is just \(|A'|\), 8 equals \(2^3\) and 32 equals \(2^5\), both wrong exponents. Exam tip: count elements of the (complement) set first, then use \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\) to avoid mistakes.
(a) और (b) निश्चित हैं, बाकी (3) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / (a) and (b) are fixed, and the remaining (3) elements are free. Therefore there are \(2^3=8\) subsets.
(1) से (25) तक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16,25) हैं, यानी (5) तत्व। इसलिए (n(A')=25-5=20)। / The perfect squares from (1) to (25) are (1,4,9,16,25), giving (5) elements. Thus (n(A')=25-5=20).
(3) तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। उचित उपसमुच्चय में स्वयं (A) नहीं आता, इसलिए (7) हैं। / A set with (3) elements has \(2^3=8\) subsets. A proper subset excludes (A) itself, so there are (7).
(2) को निश्चित रखने पर बाकी (3) से विषम संख्या तत्व चुनने होंगे। संख्या \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=4\) है। / After fixing (2), choose an odd number of elements from the remaining (3). The count is \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=4\).
\(A\cap B={3,4}\), इसलिए इसका पूरक (U) में बाकी सभी तत्व हैं। प्रतिच्छेद का पूरक लेते समय पहले साझा तत्व निकालें। / \(A\cap B={3,4}\), so its complement is all other elements in (U). For complement of an intersection, first find the common elements.
(U) में (-3) से (3) तक पूर्णांक हैं और (A) में (0,1,2,3) हैं। इसलिए पूरक ({-3,-2,-1}) है। / (U) has integers from (-3) to (3), and (A) has (0,1,2,3). Thus the complement is ({-3,-2,-1}).
(A) के उपसमुच्चयों में केवल \(\varnothing\) ही (A) से असंयुक्त है। असंयुक्त का अर्थ साझा तत्व न होना है। / Among subsets of (A), only \(\varnothing\) is disjoint from (A). Disjoint means having no common element.
कुल उपसमुच्चय (64) हैं और जिनमें (1,2) दोनों नहीं हैं वे \(2^4=16\) हैं। इसलिए उत्तर (64-16=48) है। / There are (64) total subsets, and those containing neither (1) nor (2) are \(2^4=16\). Hence the answer is (64-16=48).
A. क्योंकि \(A'\subseteq U\)/Because \(A'\subseteq U\)
Explanation
Simple Explanation
किसी भी पूरक (A') के सभी तत्व (U) के अंदर ही होते हैं। इसलिए \(A'\subseteq U\) से \(\mathcal{P}(A')\subseteq\mathcal{P}(U)\) मिलता है। / Every complement (A') contains elements only from (U). Thus \(A'\subseteq U\) gives \(\mathcal{P}(A')\subseteq\mathcal{P}(U)\).
कोई समुच्चय अपने पूरक के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि तब वह अपने ही प्रत्येक तत्व को रखेगा और नहीं भी रखेगा। इसलिए संख्या (0) है। / No set can be equal to its complement because each element would have to be both included and not included. Therefore the count is (0).
(18) के अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं, इसलिए (A) में (2) तत्व हैं। (A') में (16) तत्व होंगे और \(2^{16}=65536\)। / The prime factors of (18) are (2) and (3), so (A) has (2) elements. (A') has (16) elements and \(2^{16}=65536\).
पूरक स्थिति है कि (1) नहीं है और (5) है, जिसके \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। कुल (32) में से (8) घटाने पर (24) मिलते हैं। / The opposite condition is not containing (1) and containing (5), which gives \(2^3=8\) subsets. Subtracting from (32) gives (24).
A. यह सत्य है क्योंकि (A'=B)/It is true because (A'=B)
Explanation
Simple Explanation
(A) सम संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए (A') (U) में विषम संख्याएं हैं, जो (B) है। समान मूल समुच्चय के घात समुच्चय भी समान होते हैं। / (A) is the set of even numbers, so (A') in (U) is the set of odd numbers, which is (B). Equal original sets have equal power sets.
