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A. एक किनारे से दूसरे किनारे तक समान दिशा/In one even direction from one edge to the other
Explanation
Simple Explanation
एक किनारे से दूसरे किनारे तक समान स्ट्रोक समतल भराव बनाते हैं। परीक्षा में स्ट्रोकों की दिशा न बदलें। / Even strokes from one edge to the other create a flat fill. Avoid changing stroke direction in exams.
D. नियंत्रित क्षैतिज और लंबवत स्ट्रोक/Controlled horizontal and vertical strokes
Explanation
Simple Explanation
क्षैतिज और लंबवत स्ट्रोक भवन की ज्यामितीय संरचना को मजबूत करते हैं। परीक्षा में वस्तु के रूप के अनुसार स्ट्रोक चुनें। / Horizontal and vertical strokes reinforce the geometric structure of a building. Choose strokes according to form.
C. रेखीय परिप्रेक्ष्य असंगत होगा/Linear perspective will become inconsistent
Explanation
Simple Explanation
एक ही दिशा की समानांतर रेखाओं का अभिसरण संगत होना चाहिए। परीक्षा में किनारों को समूह में जांचें। / Parallel edges sharing one direction should converge consistently. In an exam check related edges as a group.
दूर जाती समानांतर रेखाओं को संगत अभिसरण दिखाना चाहिए। परीक्षा में संबंधित किनारों की दिशा एक साथ जांचें। / Receding parallel edges should show consistent convergence. In an exam check the direction of related edges together.
B. परिप्रेक्ष्य असंगत होगा/Perspective will be inconsistent
Explanation
Simple Explanation
एक ही दिशा में दूर जाती रेखाओं का अभिसरण संगत होना चाहिए। परीक्षा में संबंधित किनारों को एक ही दृष्टि दिशा से जांचें। / Receding edges in the same direction should converge consistently. In an exam check related edges against one common direction.
A. प्रारंभिक संरचना निर्माण में/During initial structural construction
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप जटिल वस्तु की बड़ी संरचना समझने में सहायता करते हैं। परीक्षा में विवरण से पहले आयतन बनाएं। / Simple forms help explain the large structure of a complex object. In exams construct volumes before details.
C. एक दिशा में अभिसरित होती हुई/Converging in one direction
Explanation
Simple Explanation
दूर जाती समानांतर रेखाएं परिप्रेक्ष्य में मिलती हुई प्रतीत होती हैं। परीक्षा में संबंधित किनारों की दिशा समान रखें। / Receding parallel lines appear to converge in perspective. In an exam keep the direction of related edges consistent.
C. दृष्टि-बिंदु की ओर अभिसरित होती हुई/Converging toward a vanishing point
Explanation
Simple Explanation
दूर जाती समानांतर रेखाएं परिप्रेक्ष्य में दृष्टि-बिंदु की ओर मिलती प्रतीत होती हैं। परीक्षा में सभी संबंधित किनारों की दिशा संगत रखें। / Receding parallel lines appear to converge toward a vanishing point in perspective. In an exam keep all related edge directions consistent.
A. एक ही लुप्त बिंदु की ओर/Toward a single vanishing point
Explanation
Simple Explanation
एक बिंदु परिप्रेक्ष्य में पीछे जाती समानांतर रेखाएं एक लुप्त बिंदु पर मिलती प्रतीत होती हैं। सामने का तल वास्तविक आकार बनाए रख सकता है। / In one-point perspective receding parallel lines appear to meet at one vanishing point. The front plane may retain its true shape.
A. मूल अनुपात विकृत होगा/The original proportion will be distorted
Explanation
Simple Explanation
वर्ग को असमान दिशा में खींचने से उसकी लंबाई और चौड़ाई का संबंध बदल जाता है। परीक्षा में क्रॉप और स्ट्रेच में अंतर करें। / Stretching a square unevenly changes its width-to-height relationship. Distinguish cropping from stretching in exams.
A. अनुपात विकृत और अस्वाभाविक लग सकता है/Proportion can look distorted and unnatural
Explanation
Simple Explanation
अधिक depth वस्तु के वास्तविक अनुपात को बिगाड़ती है। परीक्षा में dimensions का सही संबंध देखें। / Too much depth disturbs the real proportion of the object. Exam tip: observe correct relation of dimensions.
A. वह सपाट आयत जैसा लग सकता है/It may look like a flat rectangle
Explanation
Simple Explanation
कम depth घनाभ के त्रि आयामी प्रभाव को घटाती है। परीक्षा में लंबाई, चौड़ाई और depth balance करें। / Too little depth reduces the three-dimensional effect of a cuboid. Exam tip: balance length, width, and depth.
Cuboid बनाते समय लंबाई, चौड़ाई और depth का अनुपात संतुलित होना चाहिए। यदि depth को आवश्यकता से बहुत अधिक दिखाया जाए, तो घनाभ पीछे की ओर अनावश्यक रूप से लंबा खिंचा हुआ और विकृत लगेगा। विकल्प B उलटा है, क्योंकि अधिक depth से आकृति सपाट नहीं बल्कि अधिक गहरी दिखती है। परीक्षा टिप: वस्तु के सभी आयामों को देखकर जाँचें कि परिप्रेक्ष्य स्वाभाविक लग रहा है या नहीं। / While drawing a cuboid, the length, width, and depth must remain proportionate. If the depth is shown excessively, the cuboid appears unnecessarily stretched backwards and distorted. Option B is the opposite effect: excessive depth does not make the object look flat; it makes it appear deeper. Exam tip: check whether all dimensions look balanced in perspective.
A. वह flat rectangle जैसा लग सकता है/It may look like a flat rectangle
Explanation
Simple Explanation
Depth कम होने पर cuboid की 3D quality कमजोर हो जाती है। परीक्षा में length, width और depth को संतुलित देखें। / When depth is too little, the 3D quality of a cuboid weakens. Exam tip: balance length, width, and depth.
A. Rectangular solid में depth होती है, rectangle flat shape है/Rectangular solid has depth, rectangle is a flat shape
Explanation
Simple Explanation
Rectangular solid form है और rectangle shape है। परीक्षा में book या brick को rectangular solid से जोड़ें। / A rectangular solid is a form and a rectangle is a shape. Exam tip: connect book or brick with rectangular solid.
ईंट की आकृति घनाभ (cuboid) जैसी होती है, क्योंकि इसकी छह आयताकार सतहें होती हैं। गेंद गोलाकार (sphere) होती है और आइसक्रीम कोन शंकु (cone) जैसा होता है, इसलिए वे सही विकल्प नहीं हैं। परीक्षा टिप: घनाभ को ईंट, किताब या डिब्बे जैसी वस्तुओं से पहचानें। / A brick has a cuboid form because it has six rectangular faces. A ball is spherical, while an ice-cream cone has a conical form, so they are not correct. Exam tip: identify a cuboid through objects such as a brick, book, or box.
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। अतः \((x+4)(x-2)=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8\)। विकल्प B में मध्य पद \(6x\) गलत है। परीक्षा में गुणा करते समय सभी चार पदों का गुणन लिखें। / Area of a rectangle = length × breadth. Thus, \((x+4)(x-2)=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8\). Option B has an incorrect middle term, \(6x\). Exam tip: multiply each term before combining like terms.
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = \((x+5)(x+3)\) = \(x^2+3x+5x+15=x^2+8x+15\)। \(x^2+15\) में मध्य पद छूट जाता है। परीक्षा में दोनों क्रॉस-पद जोड़ें। / Area = length × breadth = \((x+5)(x+3)\) = \(x^2+3x+5x+15=x^2+8x+15\). The option \(x^2+15\) misses the middle terms. Exam tip: add both cross terms carefully.
\((3a-b)(2a+3b)=6a^2+9ab-2ab-3b^2=6a^2+7ab-3b^2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में मध्य पद \(-7ab\) बनता है। परीक्षा में गुणन के बाद मध्य पद अवश्य जाँचें। / \((3a-b)(2a+3b)=6a^2+9ab-2ab-3b^2=6a^2+7ab-3b^2\), so A is correct. In B, the middle term becomes \(-7ab\). Exam tip: always verify the middle term after multiplication.
मध्य पद को \(15x+4x\) लिखें: \(3x(2x+5)+2(2x+5)=(3x+2)(2x+5)\)। अतः A सही है। B का गुणन करने पर मध्य पद \(16x\) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों का गुणा करके जाँचें। / Split the middle term as \(15x+4x\): \(3x(2x+5)+2(2x+5)=(3x+2)(2x+5)\). Hence A is correct. Option B gives a middle term of \(16x\). Exam tip: multiply the factors to verify the middle term.
\(x^2-49\) दो वर्गों का अंतर है: \(x^2-7^2=(x+7)(x-7)\)। एक भुजा \(x+7\) होने पर दूसरी भुजा \(x-7\) होगी। \(x+7\) लेने से क्षेत्रफल गलत बनेगा। परीक्षा टिप: \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) याद रखें। / \(x^2-49\) is a difference of squares: \(x^2-7^2=(x+7)(x-7)\). Since one side is \(x+7\), the other is \(x-7\). Choosing \(x+7\) gives the wrong area. Exam tip: use \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).
दो आयतों का कुल \(2\cdot a\cdot2b=4ab\) है। परीक्षा में (2b) को पूरा दूसरा भाग मानें। / The total of two rectangles is \(2\cdot a\cdot2b=4ab\). In exams treat (2b) as the whole second part.
दो (2x) पट्टियां घटती हैं, इसलिए कुल घटा आयताकार क्षेत्र (4x) है। परीक्षा में घटाई गई दोनों पट्टियां गिनें। / Two (2x) strips are removed, so the total removed rectangular area is (4x). In exams count both removed strips.
एक आयताकार क्षेत्रफल मॉडल चार भागों में बाँटा गया है, जिनके क्षेत्रफल क्रमशः \(x^2\), \(3x\), \(2x\) और \(6\) हैं। यह मॉडल किस गुणनखंडित व्यंजक को दर्शाता है?
मॉडल की एक भुजा \(x+3\) और दूसरी \(x+2\) होगी। इनके गुणन से \(x^2+3x+2x+6\) चारों भागों के क्षेत्रफलों से मिलता है। \((x+3)^2\) में दोनों मध्य भाग \(3x\) होते। परीक्षा में किनारों की लंबाइयाँ पहचानें। / The side lengths are \(x+3\) and \(x+2\), giving \(x^2+3x+2x+6\), exactly the four regions. In \((x+3)^2\), both middle regions would be \(3x\). Exam tip: read the side lengths from adjoining strips.
वर्ग की भुजा \(a+b\) होने पर उसका क्षेत्रफल \((a+b)^2\) होता है। मॉडल में \(a^2\), \(b^2\) और \(ab\) के दो भाग हैं, इसलिए कुल क्षेत्रफल \(a^2+2ab+b^2\) है। परीक्षा में दो समान \(ab\) आयत दिखें तो \(+2ab\) पहचानें। / A square with side \(a+b\) has area \((a+b)^2\). Its parts are \(a^2\), \(b^2\), and two \(ab\) rectangles, giving \(a^2+2ab+b^2\). Option B has \(-2ab\), so it cannot match this added-area model. Exam tip: count both \(ab\) rectangles.
मॉडल के सभी भागों का क्षेत्रफल जोड़ते हैं: \(a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\)। यह \((a+b)^2\) का क्षेत्रफल मॉडल है। विकल्प A में \(2ab\) घटाया जाता है। परीक्षा टिप: आयतों की संख्या देखकर मध्य पद का गुणांक पहचानें। / Add the areas of all regions: \(a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\). This is the area model of \((a+b)^2\). Option A subtracts the two \(ab\) regions. Exam tip: count the rectangular parts to identify the coefficient of the middle term.
एक दृश्य प्रमाण में (a+b+c) भुजा वाले वर्ग को नौ भागों में बांटा गया है। तीन वर्गों के क्षेत्रफल \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\) हैं। आयताकार भागों का कुल क्षेत्रफल कौन सा है?
हर जोड़ी के दो समान आयत बनते हैं इसलिए कुल (2ab+2bc+2ca) होता है। परीक्षा में तीन पदों के वर्ग में जोड़ीदार आयतों को दो बार गिनें। / Each pair forms two equal rectangles, so the total is (2ab+2bc+2ca). Exam tip: count pairwise rectangles twice in a trinomial square.
(a=8) और (b=6), इसलिए (2ab=96) है। परीक्षा में वर्ग क्षेत्रफल से भुजा निकालकर आयत क्षेत्रफल जोड़ें। / (a=8) and (b=6), so (2ab=96). Exam tip: find side lengths from square areas and add rectangle areas.
आयत का क्षेत्रफल \((x+y)(x-y)\) है। गुणन करने पर मध्य पद कट जाते हैं: \(x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2\)। विकल्प A में दोनों भुजाएँ \(x-y\) होतीं। परीक्षा में संयुग्म पदों को पहचानें। / The rectangle’s area is \((x+y)(x-y)\). On multiplying, the middle terms cancel: \(x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2\). Option A would require both sides to be \(x-y\). Exam tip: identify conjugate binomials first.
दो \(xy\) आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2xy\) होता है। ये चारों टाइलें भुजा \(x+y\) का एक वर्ग बनाती हैं, इसलिए क्षेत्रफल \((x+y)^2\) है। विकल्प B में मध्य पद ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: टाइलों के क्षेत्रफल जोड़कर पहचान चुनें। / The two \(xy\) rectangles have total area \(2xy\). All four tiles form a square of side \(x+y\), so its area is \((x+y)^2\). Option B has a negative middle term. Exam tip: add the tile areas before identifying the identity.
(9m-2=(3m)2) और (25n-2=(5n)2), इसलिए वर्गों का अंतर बनता है। परीक्षा में पहले दोनों वर्गों की भुजाएं निकालें। / (9m-2=(3m)2) and (25n-2=(5n)2), so it forms a difference of squares. In exams first find the sides of both squares.
तीन जोड़े (ab), (bc), (ca) होते हैं और हर जोड़े के दो आयत होते हैं। परीक्षा में (3) जोड़ों को (2) से गुणा करें। / There are three pairs (ab), (bc), (ca), and each pair has two rectangles. Exam tip: multiply (3) pairs by (2).
C. वे (2xy) और (-2xy) बनकर कट जाते हैं/They become (2xy) and (-2xy) and cancel
Explanation
Simple Explanation
एक आयत (2xy) और दूसरा (-2xy) होता है इसलिए बीच के पद रद्द हो जाते हैं। परीक्षा में संयुग्म गुणन में बीच के पदों का कटना पहचानें। / One rectangle is (2xy) and the other is (-2xy), so the middle terms cancel. Exam tip: identify cancellation in conjugate products.
क्रॉस क्षेत्र (ab,ba,ac,ca,bc,cb) हैं, कुल (6) आयत बनते हैं। परीक्षा में विकर्ण के बाहर के खंड गिनें। / The cross regions are (ab,ba,ac,ca,bc,cb), making (6) rectangles. Exam tip: count the off-diagonal sections.
आयत का क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं का गुणनफल होता है: \((t+3)(t-4)\)। वितरक गुण का प्रयोग करने पर \(t^2-4t+3t-12=t^2-t-12\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में मध्य पदों के चिह्नों को गलत जोड़ने से \(7t\) आया है। परीक्षा टिप: द्विपदों का गुणन करते समय चारों गुणनफल लिखकर समान पदों को अंत में मिलाइए। / The area of a rectangle is the product of its side lengths: \((t+3)(t-4)\). Using distribution gives \(t^2-4t+3t-12=t^2-t-12\). Therefore, option B is correct. Option A incorrectly adds the middle terms to get \(7t\). Exam tip: while multiplying binomials, write all four products first and then combine like terms.
\(c^2-d^2\) को काटकर ((c+d)(c-d)) आयत बनाया जा सकता है। परीक्षा में बड़ा वर्ग और छोटा वर्ग पहचानें। / \(c^2-d^2\) can be rearranged into a ((c+d)(c-d)) rectangle. Exam tip: identify the big and small squares.
भुजा a वाले बड़े वर्ग के दृश्य मॉडल में दो ab आयताकार पट्टियाँ हटाई जाती हैं। कोने का b² वर्ग दोनों पट्टियों में शामिल होने के कारण एक बार वापस जोड़ा जाता है। यह मॉडल किस बीजीय सर्वसमिका को दर्शाता है?
दो ab पट्टियाँ हटाने पर क्षेत्रफल \(a^2-ab-ab\) होता है। कोने का \(b^2\) भाग दो बार हट गया था, इसलिए उसे एक बार जोड़ते हैं: \(a^2-2ab+b^2\)। परीक्षा में अतिव्यापी भाग को वापस जोड़ना याद रखें। / Removing the two strips gives \(a^2-ab-ab\). The corner \(b^2\) region was removed twice, so it must be added once: \(a^2-2ab+b^2\). Exam tip: add back any overlapping area that was subtracted twice.
बीजगणितीय पहचान के दृश्य वर्ग मॉडल में यदि एक क्षेत्रफल वाला भाग \(a^2\), एक क्षेत्रफल वाला भाग \(b^2\) और दो समान आयताकार भाग \(ab\) हों, तो यह किस पहचान को दर्शाता है?
मॉडल का कुल क्षेत्रफल \(a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\) है, जो \((a+b)^2\) के बराबर है। \((a-b)^2\) में मध्य पद \(-2ab\) होता है। परीक्षा टिप: दो \(ab\) आयतों को पहचानें। / The total model area is \(a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\), which equals \((a+b)^2\). In \((a-b)^2\), the middle term is \(-2ab\). Exam tip: identify the two \(ab\) rectangles.
एक वर्गाकार क्षेत्रफल मॉडल में एक भाग का क्षेत्रफल \(a^2\), दो आयताकार भागों का क्षेत्रफल \(ab\) प्रत्येक और एक भाग का क्षेत्रफल \(b^2\) है। यह मॉडल किस बीजीय सर्वसमिका को दर्शाता है?
चारों भागों का कुल क्षेत्रफल \(a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\) है। बाहरी वर्ग की भुजा \(a+b\) है, इसलिए उसका क्षेत्रफल \((a+b)^2\) होगा। विकल्प B में बीच के आयतों का चिह्न ऋणात्मक होता है। परीक्षा में समान \(ab\) भागों को जोड़कर \(2ab\) पहचानें। / The total area is \(a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\). Since the outer figure is a square of side \(a+b\), its area is \((a+b)^2\). Option B would require negative middle terms. Exam tip: combine the two equal \(ab\) rectangles to get \(2ab\).
कुल मध्य पद (6x) है इसलिए प्रत्येक पट्टी (3x) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग में मध्य पद को दो बराबर भागों में बांटें। / The total middle term is (6x), so each strip is (3x). In exams divide the middle term into two equal parts in a perfect square.
((a+b)2) में दोनों मध्य पट्टियां (ab) और (ab) होती हैं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग में समान पट्टियां खोजें। / In ((a+b)2), the two middle strips are (ab) and (ab). In exams look for equal strips in a perfect square.
एक \(ab\) भाग ऊपर और एक \(ab\) भाग बगल में होता है। परीक्षा में दोनों को जोड़कर \(2ab\) लिखें। / There is one \(ab\) part above and one \(ab\) part beside. Exam tip: add both as \(2ab\).
दो \(ab\) पट्टियां हटने से कुल घटाव \(2ab\) होता है। परीक्षा में बाद में \(b^2\) वापस जुड़ता है। / Two \(ab\) strips are removed, so the total subtraction is \(2ab\). Exam tip: \(b^2\) is added back later.
A. जब चट्टानों में दरारें और जोड़ नदी मार्ग को नियंत्रित करें/When joints and fractures in rocks control river courses
Explanation
Simple Explanation
चट्टानों के जोड़ और दरारें नदी को कोणीय मार्ग दे सकती हैं। परीक्षा में अपवाह प्रतिरूप को भूगर्भीय संरचना से जोड़ें। / Joints and fractures in rocks can give rivers angular courses. For exams connect drainage patterns with geological structure.
A. धाराओं में समकोणीय मोड़ बनते हैं/Streams form right angled bends
Explanation
Simple Explanation
आयताकार प्रतिरूप में धाराएँ संधियों और दरारों का अनुसरण करती हैं। परीक्षा में समकोण मोड़ पहचानें। / In rectangular pattern streams follow joints and fractures. Exam tip: identify right angled bends.
A. वे चट्टानों की संधियों और दरारों का संकेत देते हैं/They indicate rock joints and fractures
Explanation
Simple Explanation
आयताकार प्रतिरूप में धाराएँ दरारों का अनुसरण करती हैं। परीक्षा में समकोण मोड़ को मुख्य संकेत मानें। / In rectangular pattern streams follow fractures. Exam tip: treat right-angled bends as a key clue.
D. चट्टानी दरारों और संधियों का नियंत्रण/Control of rock joints and fractures
Explanation
Simple Explanation
आयताकार प्रतिरूप में धाराएँ दरारों का अनुसरण कर सकती हैं। परीक्षा में समकोण मोड़ को संकेत मानें। / In rectangular pattern streams may follow joints and fractures. Exam tip: treat right-angled bends as a clue.
A. नदियों का समकोणीय मोड़ और दरारों का अनुसरण/Right-angled bends and following joints
Explanation
Simple Explanation
आयताकार प्रतिरूप चट्टानों की संधियों और दरारों से नियंत्रित हो सकता है। परीक्षा में समकोण मोड़ को पहचानें। / Rectangular pattern may be controlled by rock joints and fractures. Exam tip: identify right-angled bends.
आयताकार प्रतिरूप चट्टानों की दरारों और भ्रंशों के अनुसार विकसित हो सकता है। परीक्षा में इसे चट्टानी संरचना से जोड़ें। / Rectangular pattern can develop along joints and faults in rocks. Exam tip: connect it with rock structure.
A. चट्टानों की दरारों और संधियों से/Rock joints and fractures
Explanation
Simple Explanation
आयताकार प्रतिरूप में नदियाँ चट्टानी दरारों का अनुसरण कर सकती हैं। परीक्षा में मोड़ों के समकोण को संकेत मानें। / In rectangular pattern, streams may follow rock joints. Exam tip: treat right-angled bends as a clue.
D. चट्टानों की दरारों और भ्रंशों से/Rock joints and faults
Explanation
Simple Explanation
आयताकार प्रतिरूप चट्टानी संरचना के नियंत्रण में बन सकता है। परीक्षा में इसे दरारों और भ्रंशों से जोड़ें। / Rectangular pattern can develop under the control of rock structure. Exam tip: connect it with joints and faults.
B. चट्टानों की दरारों और भ्रंशों से/Joints and faults in rocks
Explanation
Simple Explanation
आयताकार प्रतिरूप चट्टानों की दरारों के अनुसार विकसित हो सकता है। परीक्षा में इसे चट्टानी संरचना से जोड़ें। / Rectangular pattern may develop along joints in rocks. Exam tip: connect it with rock structure.
आयत का परिमाप \(2(l+b)\) होता है। इसलिए \(2[(2x+5)+(x-1)]=2(3x+4)=6x+8\)। \(3x+4\) केवल लंबाई और चौड़ाई का योग है, परिमाप नहीं। परीक्षा में पहले सही सूत्र लिखें। / The perimeter of a rectangle is \(2(l+b)\). Thus, \(2[(2x+5)+(x-1)]=2(3x+4)=6x+8\). \(3x+4\) is only the sum of length and breadth, not the perimeter. Exam tip: write the formula first.
आयत चार सीधी भुजाओं और निश्चित कोणों वाला नियमित आकार है, इसलिए यह ज्यामितीय आकार है। जैविक आकार सामान्यतः प्रकृति में पाए जाने वाले अनियमित और मुक्त रूपों वाले होते हैं, जैसे पत्ती या बादल। दृश्य बनावट सतह के दिखाई देने वाले गुण को बताती है, आकार के प्रकार को नहीं। परीक्षा टिप: वर्ग, आयत, त्रिभुज और वृत्त जैसे निश्चित रूपों को ज्यामितीय आकार पहचानें। / A rectangle has straight sides and fixed angles, so it is a geometric shape. Organic shapes are usually irregular, free-flowing forms found in nature, such as leaves or clouds. Visual texture describes how a surface appears to feel; it does not identify a type of shape. Exam tip: classify definite forms such as squares, rectangles, triangles, and circles as geometric shapes.
फोटो की चौड़ाई (x) और लंबाई (x+8) है। फ्रेम सहित माप (x+4) और (x+12) हैं और ((x+4)(x+12)=480) से (x=12)। / The photo breadth is (x) and length is (x+8). With frame, dimensions are (x+4) and (x+12), and ((x+4)(x+12)=480) gives (x=12).
एक आयताकार पार्क की दो चौड़ाइयों और एक लंबाई वाली तीन भुजाओं पर कुल 96 मीटर बाड़ लगानी है। पार्क का क्षेत्रफल अधिकतम होने के लिए उसकी चौड़ाई कितनी होनी चाहिए?
मान लें चौड़ाई b मीटर और लंबाई l मीटर है। तीन भुजाओं की बाड़ के अनुसार l+2b=96, अतः l=96-2b। इसलिए क्षेत्रफल A=b(96-2b)=-2b²+96b होगा। इस द्विघात फलन का अधिकतम मान उसके शीर्ष पर मिलता है: b=−96/(2×−2)=24 मीटर। तब लंबाई 48 मीटर और अधिकतम क्षेत्रफल 1152 वर्ग मीटर होता है। परीक्षा-युक्ति: ax²+bx+c में शीर्ष का x-निर्देशांक −b/(2a) होता है। / Let the breadth be b m and the length be l m. From the three-sided fencing condition, l+2b=96, so l=96−2b. Hence, the area is A=b(96−2b)=−2b²+96b. This quadratic reaches its maximum at its vertex, where b=−96/(2×−2)=24 m. The corresponding length is 48 m and the maximum area is 1152 square m. Exam tip: For ax²+bx+c, the x-coordinate of the vertex is −b/(2a).
यदि चौड़ाई (x) है तो लंबाई (100-2x) और क्षेत्रफल (A=x(100-2x)) है। अधिकतम के लिए \(x=\frac{100}{4}=25\) है। / If breadth is (x), length is (100-2x) and area is (A=x(100-2x)). For maximum area, \(x=\frac{100}{4}=25\).
मान लें कि चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब लंबाई \(x+5\) मीटर होगी और \(x(x+5)=336\), अर्थात् \(x^2+5x-336=0\)। इसका गुणनखंडन \((x+21)(x-16)=0\) है, इसलिए \(x=16\) या \(x=-21\)। चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः सही उत्तर 16 मीटर है। परीक्षा-युक्ति: लंबाई या चौड़ाई से संबंधित द्विघात समीकरण में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) m. Then the length is \(x+5\) m, so \(x(x+5)=336\), giving \(x^2+5x-336=0\). Factoring, \((x+21)(x-16)=0\), so \(x=16\) or \(x=-21\). Since a breadth cannot be negative, the correct answer is 16 m. Exam tip: reject any negative root when the variable represents a physical length.
मान लें कि हाल की चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब उसकी लंबाई \(x+2\) मीटर होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+2)=168\), अर्थात \(x^2+2x-168=0\)। इसका गुणनखंडन \((x+14)(x-12)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-14\)। लंबाई-चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई 12 मीटर है। 10 मीटर लेने पर क्षेत्रफल \(10\times12=120\) वर्ग मीटर होगा, इसलिए वह विकल्प गलत है। परीक्षा-युक्ति: आयाम से संबंधित प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth of the hall be \(x\) metres. Its length will then be \(x+2\) metres. Using the area, \(x(x+2)=168\), so \(x^2+2x-168=0\). Factoring gives \((x+14)(x-12)=0\), yielding \(x=12\) or \(x=-14\). Since a length cannot be negative, the breadth is 12 metres. For example, 10 metres would give an area of \(10\times12=120\) square metres, so it is not correct. Exam tip: reject any negative root when solving for a physical dimension.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \((x+5)\) सेमी होगी। क्षेत्रफल के आधार पर \(x(x+5)=300\), अर्थात् \(x^2+5x-300=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-15)(x+20)=0\) है, इसलिए \(x=15\) या \(x=-20\)। लंबाई-चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई \(15\) सेमी है। परीक्षा में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / Let the breadth be \(x\) cm. Then the length is \((x+5)\) cm. Using the area, \(x(x+5)=300\), so \(x^2+5x-300=0\). Factoring gives \((x-15)(x+20)=0\), hence \(x=15\) or \(x=-20\). Since a length cannot be negative, the breadth is \(15\) cm. In such word problems, always reject the negative root as physically meaningless.
18 मीटर लंबी और 12 मीटर चौड़ी आयताकार क्यारी के बाहर चारों ओर समान चौड़ाई का रास्ता बनाया गया है। क्यारी और रास्ते का कुल क्षेत्रफल 352 वर्ग मीटर है। रास्ते की चौड़ाई कितनी है?
मान लें कि रास्ते की चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब बाहरी आयत की लंबाई \(18+2x\) और चौड़ाई \(12+2x\) होगी। इसलिए \((18+2x)(12+2x)=352\), अर्थात \(x^2+15x-34=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-2)(x+17)=0\) है, इसलिए \(x=2\) या \(x=-17\)। चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः \(x=2\) मीटर सही है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल के प्रश्नों में रास्ते की चौड़ाई दोनों विपरीत दिशाओं में जुड़ती है, इसलिए प्रत्येक आयाम में \(2x\) जोड़ें। / Let the width of the path be \(x\) metres. The outer rectangle then has length \(18+2x\) and breadth \(12+2x\). Hence, \((18+2x)(12+2x)=352\), which gives \(x^2+15x-34=0\). Factoring, \((x-2)(x+17)=0\), so \(x=2\) or \(x=-17\). A width cannot be negative, so \(x=2\) metres. Exam tip: Since the path is added on both sides of each dimension, use \(18+2x\) and \(12+2x\), not \(18+x\) and \(12+x\).
आयत का परिमाप 120 मीटर है, इसलिए \(2(l+b)=120\), अर्थात् \(l+b=60\)। क्षेत्रफल के अनुसार \(lb=875\)। यदि एक आयाम \(x\) है, तो दूसरा \(60-x\) होगा और \(x(60-x)=875\)। इससे \(x^2-60x+875=0\), जिसके मूल 25 और 35 हैं। अतः सही आयाम 25 मीटर और 35 मीटर हैं। विकल्प A का क्षेत्रफल 800 वर्ग मीटर, जबकि विकल्प C का क्षेत्रफल 900 वर्ग मीटर है। परीक्षा-युक्ति: बाड़ से जुड़े प्रश्नों में पहले परिमाप और फिर क्षेत्रफल का समीकरण बनाइए। / The perimeter of the rectangle is 120 m, so \(2(l+b)=120\), giving \(l+b=60\). Its area gives \(lb=875\). If one dimension is \(x\), the other is \(60-x\), so \(x(60-x)=875\). Thus \(x^2-60x+875=0\), whose roots are 25 and 35. Therefore, the dimensions are 25 m and 35 m. Option A gives an area of 800 square metres, while option C gives 900 square metres. Exam tip: In fencing problems, form the perimeter equation first and the area equation second.
मान लें कि लंबाई और चौड़ाई क्रमशः x और y हैं। परिमाप से 2(x+y)=50, इसलिए x+y=25, और क्षेत्रफल से xy=150। अतः y=25-x रखने पर \(x(25-x)=150\), अर्थात \(x^2-25x+150=0\)। इसका गुणनखंड \((x-10)(x-15)=0\) है, इसलिए आयाम 10 मीटर और 15 मीटर हैं। विकल्प B में योग 25 तो है, लेकिन गुणनफल 144 है, इसलिए वह क्षेत्रफल की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: आयत के प्रश्नों में परिमाप से लंबाई-चौड़ाई का योग और क्षेत्रफल से उनका गुणनफल निकालें। / Let the length and breadth be x and y. From the perimeter, 2(x+y)=50, so x+y=25; from the area, xy=150. Substituting y=25-x gives \(x(25-x)=150\), or \(x^2-25x+150=0\). Factoring, \((x-10)(x-15)=0\), so the dimensions are 10 m and 15 m. Option B has the correct sum of 25 but its product is 144, not 150, so it does not satisfy the area condition. Exam tip: In rectangle problems, use the perimeter to find the sum of the dimensions and the area to find their product.
30 मीटर लंबी और 20 मीटर चौड़ी एक आयताकार घास वाली जगह के अंदर चारों ओर समान चौड़ाई का रास्ता बना है। रास्ते के बाद बचा हुआ घास का क्षेत्रफल 416 वर्ग मीटर है। रास्ते की चौड़ाई कितनी है?
मान लें कि रास्ते की चौड़ाई \(x\) मीटर है। रास्ते के अंदर बची आयत की लंबाई \(30-2x\) और चौड़ाई \(20-2x\) होगी। इसलिए \((30-2x)(20-2x)=416\)। इसे हल करने पर \(x^2-25x+46=0\), अर्थात \((x-2)(x-23)=0\)। \(x=23\) मीटर असंगत है, क्योंकि रास्ते की चौड़ाई 20 मीटर की आधी चौड़ाई से कम होनी चाहिए। अतः \(x=2\) मीटर सही उत्तर है। परीक्षा-युक्ति: अंदर की ओर बने रास्ते में दोनों आयामों से \(2x\) घटाया जाता है। / Let the width of the path be \(x\) m. The dimensions of the remaining grassy rectangle are \((30-2x)\) m and \((20-2x)\) m. Thus, \((30-2x)(20-2x)=416\), which gives \(x^2-25x+46=0\), or \((x-2)(x-23)=0\). The root \(x=23\) m is not possible because the path width must be less than half the breadth, so the valid value is \(x=2\) m. Exam tip: for a path inside all four sides, subtract \(2x\) from both original dimensions.
चौड़ाई (x m) मानें, तब (x(x+8)=273)। \(इससे (x=13) और लंबाई (21) है, इसलिए परिधि (2(13+21)=68\) m) है। / Let the breadth be (x m\(), then (x(x+8)=273). This gives (x=13) and length (21), so the perimeter is (2(13+21)=68\) m).
एक आयताकार शीट की लंबाई चौड़ाई से (8 cm) अधिक है। प्रत्येक कोने से (2 cm) का वर्ग काटकर मोड़ने पर डिब्बे का आयतन \(240 cm^3\) बनता है। मूल चौड़ाई क्या है?
मूल चौड़ाई (x) हो, तो डिब्बे का आधार ((x-4)(x+4)) और ऊँचाई (2) है। (2(x-4)(x+4)=240) से \(x^2=136\), इसलिए विकल्पों में कोई सही नहीं। / Let original breadth be (x), then the box base is ((x-4)(x+4)) and height is (2). From (2(x-4)(x+4)=240), \(x^2=136\), so none of the options is exact.
चौड़ाई (x) हो, तो (x(x+4)=96), इसलिए (x=8) और लंबाई (12) है। \(परिधि (2(8+12)=40\) m) है। \(/ Let breadth be (x), then (x(x+4)=96), so (x=8) and length is (12). The perimeter is (2(8+12)=40\) m).
चौड़ाई (x) हो, तो लंबाई (3x-2) और (x(3x-2)=161)। इससे \(3x^2-2x-161=0\), इसलिए (x=7)। / Let breadth be (x), then length is (3x-2), and (x(3x-2)=161). This gives \(3x^2-2x-161=0\), so (x=7).
एक आयताकार फोटो की लंबाई चौड़ाई से (7 cm) अधिक है। उसके चारों ओर (1 cm) चौड़ा फ्रेम लगाने पर कुल क्षेत्रफल \(180 cm^2\) हो जाता है। फोटो की चौड़ाई क्या है?
फोटो की चौड़ाई (x) हो, तो बाहरी माप ((x+2)) और ((x+9)) हैं। ((x+2)(x+9)=180) से (x=9)। / Let the photo breadth be (x), so outer dimensions are ((x+2)) and ((x+9)). From ((x+2)(x+9)=180), we get (x=9).
चौड़ाई (x) हो, तो (x(x+4)=240), इसलिए (x=12) और लंबाई (16) है। \(परिधि (2(12+16)=56) नहीं, सही (56\) m) है। \(/ Let breadth be (x), then (x(x+4)=240), so (x=12) and length is (16). The perimeter is (2(12+16)=56\) m), so choose (56 m).
मान लें चौड़ाई (x m) है, तब (x(x+5)=300), इसलिए (x=15)। परीक्षा में ऋणात्मक माप को अस्वीकार करें। / Let the breadth be (x m\(), so (x(x+5)=300), giving (x=15). In exams, reject the negative dimension.\)
एक आयताकार बगीचे के चारों ओर बाहर की ओर समान चौड़ाई का 5 मीटर चौड़ा रास्ता बना है। बगीचे की लंबाई 60 मीटर और चौड़ाई 42 मीटर है। रास्ते सहित बाहरी आयत का कुल क्षेत्रफल कितना होगा?
रास्ता चारों ओर है, इसलिए बाहरी लंबाई में 5 + 5 = 10 मीटर और बाहरी चौड़ाई में भी 10 मीटर जुड़ेंगे। अतः बाहरी आयाम 60 + 10 = 70 मीटर और 42 + 10 = 52 मीटर होंगे। कुल क्षेत्रफल \(70 \times 52 = 3640\) वर्ग मीटर है, इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा में चारों ओर की चौड़ाई जोड़ते समय चौड़ाई को दोनों विपरीत दिशाओं के लिए दो गुना करना याद रखें। / Since the path surrounds the garden on all four sides, 5 + 5 = 10 m must be added to both dimensions. Thus, the outer length is 60 + 10 = 70 m and the outer width is 42 + 10 = 52 m. The total area is \(70 \times 52 = 3640\) square metres, so option C is correct. Exam tip: for a path around all sides, add twice the path width to each original dimension.
एक भुजा (x) हो तो दूसरी (101-x) होगी और (x(101-x)=2508) बनेगा। हल (44) और (57) हैं, इसलिए छोटी भुजा (44) है। / If one side is (x), the other is (101-x), and (x(101-x)=2508). The solutions are (44) and (57), so the shorter side is (44).
50 मीटर लंबाई और 36 मीटर चौड़ाई वाले आयताकार बगीचे के चारों ओर समान चौड़ाई x मीटर का रास्ता बना है। रास्ते सहित पूरे आयत का क्षेत्रफल 2760 वर्ग मीटर है। x का मान क्या है?
रास्ता चारों ओर है, इसलिए बाहरी आयाम (50+2x) मीटर और (36+2x) मीटर होंगे। अतः (50+2x)(36+2x)=2760। x=5 रखने पर 60×46=2760 प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर 5 मीटर है। x=4 या 6 रखने पर क्षेत्रफल क्रमशः 2552 और 2912 वर्ग मीटर आता है। परीक्षा-युक्ति: चारों ओर रास्ते की चौड़ाई x होने पर प्रत्येक आयाम में 2x जोड़ें। / Since the path surrounds the garden on all four sides, the outer dimensions are (50+2x) m and (36+2x) m. Therefore, (50+2x)(36+2x)=2760. Substituting x=5 gives 60×46=2760, so the width of the path is 5 m. The nearby values x=4 and x=6 give areas of 2552 and 2912 square metres, respectively. Exam tip: for a path of width x around all four sides, add 2x to each original dimension.
एक आयताकार बगीचे के चारों ओर 4 मीटर चौड़ा समान रास्ता बना है। बगीचे की लंबाई 46 मीटर और चौड़ाई 32 मीटर है। रास्ते सहित पूरे आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना होगा?
रास्ता बगीचे के चारों ओर है, इसलिए बाहरी लंबाई में दोनों सिरों की चौड़ाई जोड़नी होगी: \(46+2\times4=54\) मीटर। इसी प्रकार बाहरी चौड़ाई \(32+2\times4=40\) मीटर होगी। अतः रास्ते सहित क्षेत्रफल \(54\times40=2160\) वर्ग मीटर है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A केवल अनुमानित या गलत आयामों से प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: चारों ओर रास्ते की चौड़ाई हो तो प्रत्येक आयाम में \(2\times\) रास्ते की चौड़ाई जोड़ें। / Since the path surrounds the garden on all four sides, add twice its width to each garden dimension: the outer length is \(46+2\times4=54\) m and the outer breadth is \(32+2\times4=40\) m. Therefore, the total area is \(54\times40=2160\) square metres, so option B is correct. Option A results from using incorrect outer dimensions. Exam tip: for a path around all four sides, add \(2\times\) the path width to both dimensions before multiplying.
एक आयताकार बगीचे की चौड़ाई \(x\) मीटर है और उसकी लंबाई चौड़ाई से 5 मीटर अधिक है। यदि बगीचे का क्षेत्रफल 84 वर्ग मीटर है, तो \(x\) के लिए कौन-सा द्विघात समीकरण इस स्थिति को सही दर्शाता है?
चौड़ाई \(x\) और लंबाई \(x+5\) है। इसलिए क्षेत्रफल \(x(x+5)=84\) होगा, जिससे \(x^2+5x-84=0\) मिलता है। विकल्प B में लंबाई का अंतर गलत चिन्ह से लिया गया है। परीक्षा टिप: क्षेत्रफल के प्रश्न में पहले दोनों विमाएँ लिखें। / The width is \(x\) and the length is \(x+5\). Hence, \(x(x+5)=84\), which gives \(x^2+5x-84=0\). Option B uses the wrong sign for the added length. Exam tip: write both dimensions before forming the area equation.
एक भुजा (x) हो तो दूसरी (93-x) होगी और (x(93-x)=2016) बनेगा। हल (36) और (56) हैं, इसलिए छोटी भुजा (36) है। / If one side is (x), the other is (93-x), and (x(93-x)=2016). The solutions are (36) and (56), so the shorter side is (36).
एक आयताकार बगीचा 42 मीटर लंबा और 28 मीटर चौड़ा है। उसके बाहर चारों ओर समान चौड़ाई का x मीटर का रास्ता बना है। बगीचे और रास्ते का कुल क्षेत्रफल 1848 वर्ग मीटर है। x का मान क्या है?
रास्ते सहित बाहरी आयाम \((42+2x)\) मीटर और \((28+2x)\) मीटर होंगे। इसलिए \((42+2x)(28+2x)=1848\), जिससे \(4x^2+140x-672=0\) या \(x^2+35x-168=0\) प्राप्त होता है। अतः \(x=\frac{-35\pm\sqrt{1897}}{2}\)। चौड़ाई धनात्मक होने के कारण केवल \(x=\frac{-35+\sqrt{1897}}{2}\approx4.28\) मीटर मान्य है। ऋणात्मक मूल को भौतिक लंबाई के रूप में नहीं लिया जा सकता। परीक्षा-युक्ति: रास्ते की चौड़ाई चारों ओर होने पर दोनों आयामों में \(2x\) जोड़ा जाता है। / The outer dimensions, including the path, are \((42+2x)\) m and \((28+2x)\) m. Thus, \((42+2x)(28+2x)=1848\), which gives \(4x^2+140x-672=0\), or \(x^2+35x-168=0\). Hence, \(x=\frac{-35\pm\sqrt{1897}}{2}\). Since a width must be positive, the valid value is \(x=\frac{-35+\sqrt{1897}}{2}\approx4.28\) m. The negative root is not physically meaningful. Exam tip: when a path surrounds a rectangle externally, add \(2x\) to both its length and breadth.
एक आयताकार बगीचे के चारों ओर 3 मीटर चौड़ाई का समान रास्ता बना हुआ है। बगीचा 34 मीटर लंबा और 22 मीटर चौड़ा है। रास्ते सहित बगीचे का कुल क्षेत्रफल कितना होगा?
रास्ता बगीचे के चारों ओर है, इसलिए लंबाई और चौड़ाई दोनों में रास्ते की चौड़ाई दो बार जुड़ती है। बाहरी लंबाई \(34+2(3)=40\) मीटर और बाहरी चौड़ाई \(22+2(3)=28\) मीटर होगी। अतः कुल क्षेत्रफल \(40\times28=1120\) वर्ग मीटर है, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प B में बाहरी आयामों या गुणा की गलत गणना हुई है। परीक्षा-युक्ति: चारों ओर के रास्ते में प्रत्येक आयाम में \(2\times\) रास्ते की चौड़ाई जोड़ें। / Since the path surrounds the garden, its width is added twice to both the length and the breadth. The outer length is \(34+2(3)=40\) m and the outer breadth is \(22+2(3)=28\) m. Therefore, the total area is \(40\times28=1120\) square metres, so option C is correct. Option B results from an incorrect calculation of the outer dimensions or their product. Exam tip: for a path around all four sides, add twice the path width to each dimension.
एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल एक आयताकार पार्क के क्षेत्रफल के बराबर है। वर्ग की भुजा 42 मीटर है तथा आयत की चौड़ाई \(x\) मीटर और लंबाई \((x+20)\) मीटर है। आयत की चौड़ाई \(x\) का सही मान क्या है?
समान क्षेत्रफल के आधार पर \(x(x+20)=42^2=1764\) होगा। अतः \(x^2+20x-1764=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-20\pm\sqrt{20^2+4(1764)}}{2}=-10\pm2\sqrt{466}\)। लंबाई और चौड़ाई धनात्मक होने के कारण केवल \(x=-10+2\sqrt{466}\approx33.17\) मीटर स्वीकार्य है; ऋणात्मक मूल अमान्य है। परीक्षा में क्षेत्रफल का समीकरण बनाकर मूलों में से धनात्मक मूल चुनना याद रखें। / Since the areas are equal, \(x(x+20)=42^2=1764\). Therefore, \(x^2+20x-1764=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{-20\pm\sqrt{20^2+4(1764)}}{2}=-10\pm2\sqrt{466}\). Because a breadth must be positive, the valid value is \(x=-10+2\sqrt{466}\approx33.17\) m; the negative root is not physically meaningful. In such problems, first form the area equation and then reject any root that makes a length negative.
यदि एक भुजा (x) है, तो दूसरी (77-x) होगी और (x(77-x)=1480) बनेगा। हल (37) और (40) हैं, इसलिए छोटी भुजा (37) है। / If one side is (x), the other is (77-x), and (x(77-x)=1480). The solutions are (37) and (40), so the shorter side is (37).
आयत की दोनों भुजाओं का योग परिमाप के आधे के बराबर होता है, इसलिए योग \(60/2=30\) मीटर है। यदि एक भुजा \(x\) मीटर है, तो दूसरी \(30-x\) मीटर होगी। अतः \(x(30-x)=216\), अर्थात् \(x^2-30x+216=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-18)(x-12)=0\) है, इसलिए भुजाएँ 18 मीटर और 12 मीटर हैं। बड़ी भुजा 18 मीटर है। परीक्षा में पहले परिमाप का आधा लेकर भुजाओं का योग निकालना उपयोगी रहता है। / The sum of the two sides of a rectangle is half its perimeter, so the sum is \(60/2=30\) metres. If one side is \(x\) metres, the other is \(30-x\) metres. Thus, \(x(30-x)=216\), giving \(x^2-30x+216=0\). Factoring gives \((x-18)(x-12)=0\), so the sides are 18 metres and 12 metres. Therefore, the longer side is 18 metres. In exams, first use half the perimeter to find the sum of the two sides.
एक आयताकार मैदान 30 मीटर लंबा और 18 मीटर चौड़ा है। इसके बाहर चारों ओर समान चौड़ाई का रास्ता बना हुआ है। मैदान और रास्ते का कुल क्षेत्रफल 748 वर्ग मीटर है। रास्ते की चौड़ाई कितनी है?
रास्ते की चौड़ाई को \(x\) मीटर मानें। तब बाहरी आयत की लंबाई \(30+2x\) और चौड़ाई \(18+2x\) होगी। इसलिए \((30+2x)(18+2x)=748\)। विस्तार करने पर \(x^2+24x-52=0\), अर्थात \((x-2)(x+26)=0\)। चौड़ाई धनात्मक होने के कारण \(x=2\) मीटर सही उत्तर है; \(x=-26\) व्यावहारिक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: रास्ते की चौड़ाई दोनों विपरीत दिशाओं में जुड़ती है, इसलिए प्रत्येक आयाम में \(2x\) जोड़ें। / Let the width of the path be \(x\) metres. Then the outer rectangle has length \(30+2x\) and width \(18+2x\). Thus, \((30+2x)(18+2x)=748\). On simplifying, \(x^2+24x-52=0\), or \((x-2)(x+26)=0\). Since a width must be positive, \(x=2\) metres is the valid answer; \(x=-26\) is not physically meaningful. Exam tip: because the path is added on both opposite sides, add \(2x\) to each original dimension.
एक आयताकार फोटोफ्रेम की बाहरी लंबाई (24) और चौड़ाई (18) है। चारों ओर समान चौड़ाई की पट्टी हटाने पर अंदर का क्षेत्रफल (280) है। पट्टी की चौड़ाई क्या है?
पट्टी की चौड़ाई (x) हो, तो अंदर का क्षेत्रफल ((24-2x)(18-2x)=280)। (x=2) सही मान है। / Let the border width be (x), then the inner area is ((24-2x)(18-2x)=280). (x=2) is the correct value.
मान लें कि कमरे की चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब लंबाई \(x+6\) इकाई होगी और क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+6)=432\), अर्थात \(x^2+6x-432=0\)। इसका गुणनखंडन \((x+24)(x-18)=0\) है। इसलिए \(x=18\) या \(x=-24\); लंबाई-चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई 18 इकाई है। परीक्षा-युक्ति: आयामों के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हमेशा अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) units. Then the length is \(x+6\) units, so the area gives \(x(x+6)=432\), or \(x^2+6x-432=0\). Factoring, \((x+24)(x-18)=0\), so \(x=18\) or \(x=-24\). Since a length cannot be negative, the breadth is 18 units. Exam tip: Reject any negative root when solving for a physical dimension.
मान लें कि खेत की चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब लंबाई \(x+8\) मीटर होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+8)=384\), अर्थात् \(x^2+8x-384=0\)। इसका गुणनखंड \((x-16)(x+24)=0\) है, इसलिए \(x=16\) या \(x=-24\)। लंबाई या चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई 16 मीटर है। विकल्प B (24 m) वास्तव में इस स्थिति में लंबाई है, चौड़ाई नहीं। परीक्षा-टिप: क्षेत्रफल के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / Let the breadth of the field be \(x\) metres. Then its length is \(x+8\) metres. Using the area, \(x(x+8)=384\), so \(x^2+8x-384=0\). Factoring gives \((x-16)(x+24)=0\), hence \(x=16\) or \(x=-24\). Since a length cannot be negative, the breadth is 16 m. Option B (24 m) is the corresponding length, not the breadth. Exam tip: Always reject negative roots when solving geometrical measurement problems.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब लंबाई \(x+4\) इकाई होगी और क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+4)=360\)। अतः \(x^2+4x-360=0\), जिसे \((x-18)(x+20)=0\) लिखा जा सकता है। इसलिए \(x=18\) या \(x=-20\)। लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, इसलिए चौड़ाई 18 इकाई है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हमेशा अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) units. Then the length is \(x+4\) units, so the area gives \(x(x+4)=360\). Thus, \(x^2+4x-360=0\), which factors as \((x-18)(x+20)=0\). Therefore, \(x=18\) or \(x=-20\). Since a length cannot be negative, the breadth is 18 units. Exam tip: Always reject a negative root when solving a geometrical measurement problem.
रास्ता चारों ओर है, इसलिए लंबाई और चौड़ाई दोनों में 2 मीटर की चौड़ाई दो बार जुड़ती है। बाहरी लंबाई = 20 + 2 + 2 = 24 मीटर और बाहरी चौड़ाई = 14 + 2 + 2 = 18 मीटर। अतः कुल बाहरी क्षेत्रफल = 24 × 18 = 432 वर्ग मीटर। विकल्पों में 384 या 408 लेने पर किसी एक या दोनों दिशाओं में रास्ते की पूरी चौड़ाई नहीं जुड़ती। परीक्षा-टिप: चारों ओर समान चौड़ाई के रास्ते के लिए प्रत्येक आयाम में 2 × रास्ते की चौड़ाई जोड़ें। / Since the path surrounds all four sides, its width is added twice to both dimensions. Outer length = 20 + 2 + 2 = 24 m and outer width = 14 + 2 + 2 = 18 m. Therefore, total outer area = 24 × 18 = 432 square metres. Values such as 384 or 408 result from failing to add the path width correctly in one or both directions. Exam tip: For a path around all four sides, add twice the path width to each original dimension.
एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल एक आयताकार पार्क के क्षेत्रफल के बराबर है। वर्ग की भुजा 30 मीटर है, जबकि आयत की चौड़ाई (x) मीटर और लंबाई (x+15) मीटर है। आयत की चौड़ाई (x) का धनात्मक मान क्या है?
बराबर क्षेत्रफल के आधार पर \(x(x+15)=30^2=900\), अतः \(x^2+15x-900=0\)। इसका हल \(x=\frac{-15\pm\sqrt{3825}}{2}=\frac{15(-1\pm\sqrt{17})}{2}\) है। लंबाई और चौड़ाई धनात्मक होने के कारण केवल \(x=\frac{15(\sqrt{17}-1)}{2}\approx23.42\) मीटर मान्य है; दूसरा मूल ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल के प्रश्नों में पहले सही समीकरण बनाइए और फिर ज्यामितीय लंबाई के लिए धनात्मक मूल चुनिए। / Equality of the areas gives \(x(x+15)=30^2=900\), so \(x^2+15x-900=0\). Solving it, \(x=\frac{-15\pm\sqrt{3825}}{2}=\frac{15(-1\pm\sqrt{17})}{2}\). Since a breadth must be positive, the valid value is \(x=\frac{15(\sqrt{17}-1)}{2}\approx23.42\) m; the other root is negative and therefore invalid. Exam tip: In area word problems, form the equation first and retain only the positive root for a physical length.
यदि एक भुजा (x) है, तो दूसरी (59-x) होगी और (x(59-x)=840) बनेगा। हल (24) और (35) हैं, इसलिए छोटी भुजा (24) है। / If one side is (x), the other is (59-x), and (x(59-x)=840). The solutions are (24) and (35), so the shorter side is (24).
एक आयताकार फोटोफ्रेम की बाहरी लंबाई (20) और चौड़ाई (16) है। चारों ओर समान चौड़ाई की पट्टी हटाने पर अंदर का क्षेत्रफल (192) है। पट्टी की चौड़ाई क्या है?
पट्टी की चौड़ाई (x) हो, तो अंदर का क्षेत्रफल ((20-2x)(16-2x)=192)। (x=2) सही मान है। / Let the border width be (x), then the inner area is ((20-2x)(16-2x)=192). (x=2) is the correct value.
मान लें कि कमरे की चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब लंबाई \(x+10\) इकाई होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+10)=300\), अर्थात् \(x^2+10x-300=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-15)(x+20)=0\) है, इसलिए \(x=15\) या \(x=-20\)। लंबाई या चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई 15 इकाई है। परीक्षा में शब्द-समस्याओं में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / Let the breadth of the room be \(x\) units. Then its length is \(x+10\) units. Using the area, \(x(x+10)=300\), so \(x^2+10x-300=0\). Factoring gives \((x-15)(x+20)=0\), hence \(x=15\) or \(x=-20\). Since a length cannot be negative, the breadth is 15 units. In word problems, always reject roots that are not physically meaningful.
मान लें कि खेत की चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब लंबाई \(x+5\) मीटर होगी और \(x(x+5)=200\), अर्थात् \(x^2+5x-200=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-5\pm\sqrt{825}}{2}=\frac{5(-1\pm\sqrt{33})}{2}\)। चौड़ाई धनात्मक होने के कारण \(x=\frac{5(\sqrt{33}-1)}{2}\) मीटर होगी। इसलिए लंबाई \(x+5=\frac{5(1+\sqrt{33})}{2}\) मीटर, लगभग 16.86 मीटर है। 20 मीटर सही नहीं है, क्योंकि तब चौड़ाई 15 मीटर और क्षेत्रफल 300 वर्ग मीटर हो जाएगा। परीक्षा-युक्ति: आयत के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल छोड़कर धनात्मक मूल को क्षेत्रफल से अवश्य जाँचें। / Let the breadth be \(x\) metres. Then the length is \(x+5\) metres, so \(x(x+5)=200\), or \(x^2+5x-200=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{-5\pm\sqrt{825}}{2}=\frac{5(-1\pm\sqrt{33})}{2}\). Since breadth must be positive, \(x=\frac{5(\sqrt{33}-1)}{2}\) metres. Therefore, the length is \(x+5=\frac{5(1+\sqrt{33})}{2}\) metres, approximately 16.86 metres. The distractor 20 m is incorrect because it would give a breadth of 15 m and an area of 300 square metres. Exam tip: discard the negative root and verify the positive root using the area condition.
मान लेते हैं कि बगीचे की चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब लंबाई \(x+8\) इकाई होगी और \(x(x+8)=240\), अर्थात् \(x^2+8x-240=0\)। इसका गुणनखंड \((x-12)(x+20)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-20\)। लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, इसलिए चौड़ाई 12 इकाई है। परीक्षा टिप: क्षेत्रफल वाले आयत के प्रश्नों में पहले एक आयाम को \(x\) मानकर दूसरा आयाम लिखें और ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) units. Then the length is \(x+8\) units, so \(x(x+8)=240\), giving \(x^2+8x-240=0\). Factoring, \((x-12)(x+20)=0\), so \(x=12\) or \(x=-20\). Since a length cannot be negative, the breadth is 12 units. Exam tip: In rectangle-area problems, assign \(x\) to one dimension, express the other in terms of \(x\), and reject any negative root.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \(x+6\) सेमी होगी, इसलिए \(x(x+6)=667\), अर्थात \(x^2+6x-667=0\)। इसका गुणनखंड \((x-23)(x+29)=0\) है, जिससे \(x=23\) या \(x=-29\) मिलता है। लंबाई या चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए चौड़ाई 23 सेमी है। विकल्प D लंबाई का मान है, चौड़ाई का नहीं। परीक्षा-युक्ति: उत्तर चुनने से पहले लंबाई और चौड़ाई को गुणा करके क्षेत्रफल की जाँच करें। / Let the breadth be \(x\) cm. Then the length is \(x+6\) cm, so \(x(x+6)=667\), giving \(x^2+6x-667=0\). Factoring, \((x-23)(x+29)=0\), gives \(x=23\) or \(x=-29\). A length or breadth cannot be negative, so the breadth is 23 cm. Option D is the length, not the breadth. Exam tip: verify the answer by multiplying the breadth and the corresponding length to check the given area.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \(x+4\) सेमी होगी और \(x(x+4)=320\), अर्थात \(x^2+4x-320=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-16)(x+20)=0\) है, इसलिए \(x=16\) या \(x=-20\)। लंबाई-चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई 16 सेमी है। परीक्षा टिप: आयामों से जुड़े प्रश्नों में केवल धनात्मक मूल स्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) cm. Then the length is \(x+4\) cm, so \(x(x+4)=320\), or \(x^2+4x-320=0\). Factoring gives \((x-16)(x+20)=0\), so \(x=16\) or \(x=-20\). Since a dimension cannot be negative, the breadth is 16 cm. Exam tip: In measurement problems, reject any negative root.
वर्ग का क्षेत्रफल \(18^2=324\) है और (12x=324) से (x=27) है। समान क्षेत्रफल में दोनों क्षेत्रों को बराबर रखें। / The square area is \(18^2=324\), and (12x=324) gives (x=27). For equal areas, equate both areas.
चौड़ाई (x) हो तो (2(x+x+9)=90), जिससे (x=18) और लंबाई (27) है। पूछा गया आयाम ध्यान से चुनें। / If breadth is (x), then (2(x+x+9)=90), giving (x=18) and length (27). Choose the dimension asked carefully.
चौड़ाई (x) और लंबाई (x+7) हो तो (2(x+x+7)=74), जिससे (x=15) है। परिमाप प्रश्न में (2(l+b)) प्रयोग करें। / If breadth is (x) and length is (x+7), then (2(x+x+7)=74), giving (x=15). In perimeter questions, use (2(l+b)).
चौड़ाई (x) लेने पर (x(x+22)=864), जिससे (x=18) मिलता है। अंत में \(18 \times 40=720\) जैसी गलत जाँच से बचें और सही गुणनफल जाँचें। / Taking breadth as (x), (x(x+22)=864), giving (x=18). Avoid wrong checking and verify the correct product.
