Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x^2+xy+y^2\) के लिए ऐसे पूर्णांक \(a,b\) चाहिए जिनमें \(a+b=1\) और \(ab=1\) हो; कोई पूर्णांक युग्म यह नहीं देता। A में वर्गों का अंतर लगता है। परीक्षा टिप: मध्य पद और स्थिर पद के गुणनफल की जाँच करें। / For \(x^2+xy+y^2\), integer values \(a,b\) would need \(a+b=1\) and \(ab=1\), but no integer pair satisfies both. Option A uses difference of squares. Exam tip: check the required sum and product of coefficients.
\(x^2-2x-1\) के लिए विवर्तक \(b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-1)=8\) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए इसके मूल पूर्णांक नहीं हैं और यह पूर्णांक गुणांकों वाले रैखिक गुणनखंडों में नहीं टूटता। परीक्षा टिप: पहले विवर्तक का पूर्ण वर्ग होना जाँचें। / For \(x^2-2x-1\), the discriminant is \(b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-1)=8\), which is not a perfect square. Hence its roots are not integers, so it has no linear factorisation with integer coefficients. Exam tip: check whether the discriminant is a perfect square first.
\(x^2+4x+7\) के लिए ऐसे पूर्णांक चाहिए जिनका गुणनफल 7 और योग 4 हो। 1 व 7 का योग 8 है, इसलिए ऐसे पूर्णांक नहीं मिलते। जबकि \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\) है। परीक्षा टिप: पहले गुणनफल और योग जाँचें। / For \(x^2+4x+7\), two integers must have product 7 and sum 4. The pair 1 and 7 has sum 8, so no such integer pair exists. In contrast, \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). Exam tip: check the required product and sum first.
\((3x-2)(2x+1)=6x^2+3x-4x-2=6x^2-x-2\), इसलिए B सही है। विद्यार्थी के गुणनखंडों से मध्य पद \(+x\) मिलता है। परीक्षा में गुणनखंडों को फैलाकर मध्य पद जाँचें। / \((3x-2)(2x+1)=6x^2+3x-4x-2=6x^2-x-2\), so B is correct. The student's factors give a middle term of \(+x\), not \(-x\). Exam tip: expand factors to verify the middle term.
\(a^2-14ab+49b^2\) में प्रथम और अंतिम पद क्रमशः \(a^2\) तथा \((7b)^2\) हैं। मध्य पद \(-2\times a\times7b=-14ab\) है, इसलिए यह \((a-7b)^2\) है। परीक्षा टिप: वर्ग पहचान में मध्य पद \(\pm2pq\) जाँचें। / In \(a^2-14ab+49b^2\), the first and last terms are \(a^2\) and \((7b)^2\). Its middle term is \(-2\times a\times7b=-14ab\), so it equals \((a-7b)^2\). Exam tip: check whether the middle term is \(\pm2pq\).
मान लें कि \(x^2+px+q\) को पूर्णांकों में \((x+m)(x+n)\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। यदि \(q<0\) और \(p>0\) हो, तो \(m\) और \(n\) के बारे में कौन-सा कथन अनिवार्यतः सही है?
A. वे विपरीत चिन्ह के हैं और धनात्मक संख्या का परिमाण अधिक है/They have opposite signs, and the positive number has greater magnitude.
Explanation
Simple Explanation
विस्तार करने पर \(m+n=p\) और \(mn=q\) मिलता है। \(q<0\) से चिन्ह विपरीत होंगे; \(p>0\) से धनात्मक संख्या का परिमाण अधिक होगा। परीक्षा में योग और गुणनफल दोनों जाँचें। / On expanding, \(m+n=p\) and \(mn=q\). Since \(q<0\), the integers have opposite signs; since \(p>0\), the positive integer has greater magnitude. Exam tip: check both sum and product.
6x² + 11x + 3 में 11x को 9x + 2x लिखने पर 3x(2x + 3) + 1(2x + 3) मिलता है। अतः इसका गुणनखंडन (3x + 1)(2x + 3) है। परीक्षा टिप: पहले ac का गुणनफल जाँचें। / For 6x² + 11x + 3, split 11x into 9x + 2x: 3x(2x + 3) + 1(2x + 3). Thus it factorises as (3x + 1)(2x + 3). The other choices have no suitable integer pair. Exam tip: first check the product ac.
\(x^2+x-12=(x+4)(x-3)\) में स्थिर पद \(+4\) और \(-3\) हैं, इसलिए उनके चिह्न विपरीत हैं। क्योंकि स्थिर पदों का गुणनफल \(-12\) है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक स्थिर पद पर विपरीत चिह्न खोजें। / \(x^2+x-12=(x+4)(x-3)\), so the constants \(+4\) and \(-3\) have opposite signs. Their product is \(-12\). In option B, the constants are both positive. Exam tip: a negative constant product indicates opposite signs.
\(x^2+5x+7\) के लिए ऐसे दो पूर्णांक चाहिए जिनका गुणनफल 7 और योग 5 हो। 1 और 7 का योग 8 है, इसलिए यह संभव नहीं है। जबकि \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\) है। परीक्षा टिप: पहले गुणनफल, फिर योग जाँचें। / For \(x^2+5x+7\), two integers must have product 7 and sum 5. The pair 1 and 7 has sum 8, so such factors do not exist. In contrast, \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). Exam tip: check the product first, then the sum.
\((x+p)(x+q)\) को खोलने पर \(x^2+(p+q)x+pq\) मिलता है। समान घातों के गुणांकों की तुलना से \(p+q=m\) और \(pq=n\) होते हैं। विकल्प C में अंतर लेना गलत है। परीक्षा-युक्ति: मध्य पद के लिए योग और स्थिर पद के लिए गुणनफल मिलाइए। / Expanding \((x+p)(x+q)\) gives \(x^2+(p+q)x+pq\). Comparing coefficients, \(p+q=m\) and \(pq=n\). Option C incorrectly uses the difference. Exam tip: match the sum with the middle coefficient and the product with the constant term.
\(x^2+5x+5\) का विविक्तकर \(b^2-4ac=5^2-4(1)(5)=5\) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है। अतः इसके मूल परिमेय नहीं हैं और इसे पूर्णांक गुणांकों वाले दो रैखिक द्विपदों के गुणनफल के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इसके विपरीत, \(x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\) है। परीक्षा टिप: द्विघात के लिए विविक्तकर पूर्ण वर्ग न हो तो पूर्णांक गुणांकों में रैखिक गुणनखंडन संभव नहीं होता। / For \(x^2+5x+5\), the discriminant is \(b^2-4ac=5^2-4(1)(5)=5\), which is not a perfect square. Therefore, its roots are not rational, so it cannot be written as a product of two linear binomials with integer coefficients. In contrast, \(x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\). Exam tip: if the discriminant of a quadratic is not a perfect square, factorisation into integer-coefficient linear factors is not possible.
मध्य पद को \(15x+4x\) लिखें: \(3x(2x+5)+2(2x+5)=(3x+2)(2x+5)\)। अतः A सही है। B का गुणन करने पर मध्य पद \(16x\) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों का गुणा करके जाँचें। / Split the middle term as \(15x+4x\): \(3x(2x+5)+2(2x+5)=(3x+2)(2x+5)\). Hence A is correct. Option B gives a middle term of \(16x\). Exam tip: multiply the factors to verify the middle term.
\(t^2+t-6\) का गुणनखंड करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ खोजते हैं जिनका गुणनफल \(-6\) और योग \(1\) हो। ये संख्याएँ \(3\) और \(-2\) हैं। इसलिए \(t^2+t-6=(t+3)(t-2)\)। विकल्प B में \(-3+2=-1\) होता है, इसलिए उससे \(t^2-t-6\) प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: गुणनखंडों को फैलाकर मध्य पद और स्थिर पद की जाँच करें। / To factorise \(t^2+t-6\), find two numbers whose product is \(-6\) and whose sum is \(1\). They are \(3\) and \(-2\). Hence, \(t^2+t-6=(t+3)(t-2)\). In option B, \(-3+2=-1\), so it produces \(t^2-t-6\). Exam tip: expand the factors once to check the middle term and the constant term.
\(t^2+7t+12\) को गुणनखण्डित करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग \(7\) और गुणनफल \(12\) हो। \(3+4=7\) तथा \(3\times4=12\), इसलिए \(t^2+7t+12=(t+3)(t+4)\)। विकल्प C में स्थिर पद \(12\) तो मिलता है, लेकिन मध्य पद \(8t\) बनता है। परीक्षा टिप: दो द्विपदों को गुणा करके मध्य पद के गुणांकों का योग अवश्य जाँचें। / To factor \(t^2+7t+12\), we need two numbers whose sum is \(7\) and product is \(12\). Since \(3+4=7\) and \(3\times4=12\), \(t^2+7t+12=(t+3)(t+4)\). Option C also gives constant term \(12\), but its middle term is \(8t\), not \(7t\). Exam tip: multiply the binomials or check both the sum and product before choosing an answer.
आयत की भुजाएँ \((x+a)\) और \((x+b)\) होंगी, इसलिए \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)। यहाँ \(a+b=15\) और \(ab=54\) चाहिए। \(6+9=15\) तथा \(6\times9=54\), अतः स्थिर पट्टियाँ \(6\) और \(9\) हैं और व्यंजक \((x+6)(x+9)\) बनता है। \(3\) और \(18\) का गुणनफल \(54\) है, पर उनका योग \(21\) है। परीक्षा टिप: मध्य पद के गुणांक के लिए योग और स्थिर पद के लिए गुणनफल, दोनों जाँचें। / If the rectangle has side lengths \((x+a)\) and \((x+b)\), then \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\). Here, we need \(a+b=15\) and \(ab=54\). Since \(6+9=15\) and \(6\times9=54\), the constant strips are \(6\) and \(9\), giving \((x+6)(x+9)\). Although \(3\) and \(18\) have product \(54\), their sum is \(21\). Exam tip: always check both the sum for the middle coefficient and the product for the constant term.
आयत की भुजाओं का गुणनफल क्षेत्रफल के बराबर होना चाहिए। \((v+4)(v+9)=v^2+9v+4v+36=v^2+13v+36\), इसलिए सही भुजाएँ \(v+4\) और \(v+9\) हैं। विकल्प A में स्थिर पद का गुणनफल \(36\) है, लेकिन \(3+12=15\) होने से मध्य पद \(15v\) बनता है। परीक्षा टिप: दो ऐसे संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल स्थिर पद और योग \(v\) का गुणांक हो। / The product of the rectangle’s sides must equal the given area. \((v+4)(v+9)=v^2+9v+4v+36=v^2+13v+36\), so the sides are \(v+4\) and \(v+9\). In option A, the constants multiply to \(36\), but \(3+12=15\), so it produces a middle term of \(15v\), not \(13v\). Exam tip: find two numbers whose product is the constant term and whose sum is the coefficient of \(v\).
