Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दो आयतों में प्रत्येक का क्षेत्रफल (5x) है इसलिए कुल (10x) होगा। परीक्षा में मध्य पद को दो बराबर आयतों का योग मानें। / Each rectangle has area (5x), so the total is (10x). Exam tip: treat the middle term as the sum of two equal rectangles.
यहां (a=7) और (b=3), इसलिए पूरा क्षेत्रफल ((7+3)2=100) है। परीक्षा में वर्गफल से भुजा पहचानें। / Here (a=7) and (b=3), so the whole area is ((7+3)2=100). Exam tip: identify the side from the square area.
\(49=7^2\) और \(14x=2\cdot7x\) है। परीक्षा में स्थिर पद का वर्गमूल लेकर छोटे वर्ग की भुजा पाएं। / \(49=7^2\) and \(14x=2\cdot7x\). Exam tip: take the square root of the constant term to find the small square side.
हटाए गए मॉडल से (p-2-q-2=(p-q)(p+q)) बनता है। परीक्षा में वर्गों के अंतर को आयत के क्षेत्रफल से जोड़ें। / The removed-square model gives (p-2-q-2=(p-q)(p+q)). Exam tip: connect difference of squares with rectangle area.
\(16=4^2\) और \(-8x=-2\cdot4x\) है इसलिए भुजा (x-4) है। परीक्षा में ऋण मध्य पद को घटाव वाला मॉडल समझें। / \(16=4^2\) and \(-8x=-2\cdot4x\), so the side is (x-4). Exam tip: read the negative middle term as a subtraction model.
दो हटे आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot40\cdot2=160\) है। परीक्षा में ((a-b)2) में (2ab) घटता है। / The total area of the two removed rectangles is \(2\cdot40\cdot2=160\). Exam tip: in ((a-b)2), (2ab) is subtracted.
((x+6)(x-2)=x-2-2x+6x-12=x-2+4x-12) है। परीक्षा में धन और ऋण क्षेत्रों के चिह्न संभालें। / ((x+6)(x-2)=x-2-2x+6x-12=x-2+4x-12). Exam tip: handle positive and negative area signs carefully.
ग्रिड में \(x\cdot x\), (x\cdot(-3)), \(7\cdot x\), और (7\cdot(-3)) मिलते हैं। परीक्षा में प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ का गुणन करें। / The grid gives \(x\cdot x\), (x\cdot(-3)), \(7\cdot x\), and (7\cdot(-3)). Exam tip: multiply each row and column.
(4x-2=(2x)2), \(9=3^2\), और मध्य पद \(2\cdot2x\cdot3=12x\) है। परीक्षा में दोनों वर्ग पदों की भुजाएं मिलाएं। / (4x-2=(2x)2), \(9=3^2\), and the middle term is \(2\cdot2x\cdot3=12x\). Exam tip: combine the sides from both square terms.
(9a-2=(3a)2) और (16b-2=(4b)2), मध्य पद ऋण है इसलिए ((3a-4b)2) होगा। परीक्षा में संकेत से जोड़ या घटाव तय करें। / (9a-2=(3a)2) and (16b-2=(4b)2); the middle term is negative, so it is ((3a-4b)2). Exam tip: use the sign to decide addition or subtraction.
ग्रिड में (ab) और (ba) दो समान आयत होते हैं। इसलिए संबंधित कुल क्षेत्रफल (2ab) है। / The grid contains two equal rectangles (ab) and (ba). Therefore the related total area is (2ab).
दो बराबर आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot2x\cdot5=20x\) है। परीक्षा में मध्य पद में (2) का गुणक न भूलें। / The total area of two equal rectangles is \(2\cdot2x\cdot5=20x\). Exam tip: do not forget the factor (2) in the middle term.
(6x) को दो (3x) आयतों में बांटते हैं इसलिए कोना \(3^2=9\) होगा। परीक्षा में मध्य पद का आधा लेकर उसका वर्ग करें। / Split (6x) into two (3x) rectangles, so the corner is \(3^2=9\). Exam tip: take half of the middle coefficient and square it.
(-10x) का आधा (-5x) है और कोने का क्षेत्रफल \(5^2=25\) होगा। परीक्षा में चिह्न अलग रखें और वर्ग धनात्मक लें। / Half of (-10x) is (-5x), and the corner area is \(5^2=25\). Exam tip: keep the sign separate and take the square as positive.
दोनों छायांकित आयतों का क्षेत्रफल (ab+ab=2ab) है। परीक्षा में समान आयतों को गिनकर जोड़ें। / The two shaded rectangles have area (ab+ab=2ab). Exam tip: count equal rectangles and add them.
A. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का अंतर लेकर चार (ab) आयत बचाना/Taking the difference of two square areas and leaving four (ab) rectangles
Explanation
Simple Explanation
दोनों वर्गों के क्षेत्रफल घटाने पर चार (ab) क्षेत्र बनते हैं। परीक्षा में अंतर वाले मॉडल में बचे भाग पहचानें। / Subtracting the two square areas leaves four (ab) regions. Exam tip: identify the remaining parts in a difference model.
((30-3)(30+3)=302-32=900-9=891) है। परीक्षा में निकट मध्य संख्या का वर्ग लें। / ((30-3)(30+3)=302-32=900-9=891). Exam tip: use the square of the nearby middle number.
यह ((2x+3)(2x-3)) है इसलिए \(4x^2-9\) मिलता है। परीक्षा में योग और अंतर का गुणन पहचानें। / This is ((2x+3)(2x-3)), so it gives \(4x^2-9\). Exam tip: identify the product of sum and difference.
मध्य भाग \(2\cdot3x\cdot2=12x\) है। परीक्षा में गुणांक सहित भुजा का प्रयोग करें। / The middle part is \(2\cdot3x\cdot2=12x\). Exam tip: use the side along with its coefficient.
(25x-2=(5x)2), \(9=3^2\), और मध्य पद \(-2\cdot5x\cdot3=-30x\) है। परीक्षा में वर्ग पदों की जड़ें लेकर संकेत मिलाएं। / (25x-2=(5x)2), \(9=3^2\), and the middle term is \(-2\cdot5x\cdot3=-30x\). Exam tip: take roots of square terms and match the sign.
क्रॉस क्षेत्र (ab,ba,ac,ca,bc,cb) हैं, कुल (6) आयत बनते हैं। परीक्षा में विकर्ण के बाहर के खंड गिनें। / The cross regions are (ab,ba,ac,ca,bc,cb), making (6) rectangles. Exam tip: count the off-diagonal sections.
तीन वर्ग और छह क्रॉस आयत मिलकर \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\) देते हैं। परीक्षा में समान जोड़ों को (2) से गुणा करें। / Three squares and six cross rectangles give \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\). Exam tip: multiply equal pairs by (2).
((-5)+(-8)=-13) और ((-5)(-8)=40) है। परीक्षा में ऋण आयतों के साथ स्थिर पद धनात्मक हो सकता है। / ((-5)+(-8)=-13) and ((-5)(-8)=40). Exam tip: with negative rectangles, the constant term can be positive.
(-6+4=-2) और \(-6\cdot4=-24\) है। परीक्षा में स्थिर पद के विपरीत चिह्न वाले कारक खोजें। / (-6+4=-2) and \(-6\cdot4=-24\). Exam tip: find factors of the constant term with opposite signs.
(122-52=(12-5)(12+5)=7\cdot17) है। परीक्षा में घटाए गए वर्ग के साथ योग और अंतर बनाएं। / (122-52=(12-5)(12+5)=7\cdot17). Exam tip: form sum and difference with the removed square.
(64x-2=(8x)2) और (81y-2=(9y)2) है। इसलिए अंतर का गुणनखंड ((8x-9y)(8x+9y)) है। / (64x-2=(8x)2) and (81y-2=(9y)2). So the factorisation is ((8x-9y)(8x+9y)).
(16a-2=(4a)2), (25b-2=(5b)2), और \(2\cdot4a\cdot5b=40ab\) है। परीक्षा में वर्ग पदों से भुजाएं बनाएं। / (16a-2=(4a)2), (25b-2=(5b)2), and \(2\cdot4a\cdot5b=40ab\). Exam tip: make sides from square terms.
स्थिर वर्ग की भुजा (4) है इसलिए उसका क्षेत्रफल \(4^2=16\) होगा। परीक्षा में छोटे कोने का वर्ग अलग देखें। / The constant square has side (4), so its area is \(4^2=16\). Exam tip: observe the small corner square separately.
पूरा क्षेत्रफल \(x^2+2xy+y^2\) है इसलिए (50+48=98) होगा। परीक्षा में सभी दृश्य भागों का योग करें। / The whole area is \(x^2+2xy+y^2\), so it is (50+48=98). Exam tip: add all visible parts.
छोटे वर्ग की भुजा (6) है इसलिए वापस जोड़ा क्षेत्रफल \(6^2=36\) है। परीक्षा में दो बार हटे कोने को एक बार जोड़ना याद रखें। / The small square has side (6), so the added-back area is \(6^2=36\). Exam tip: remember to add once the corner removed twice.
A. भुजा (x+y) वाले वर्ग से भुजा (z) वाला वर्ग हटाना/Removing a square of side (z) from a square of side (x+y)
Explanation
Simple Explanation
पहले (x-2+2xy+y-2=(x+y)2) है और फिर \(z^2\) घटता है। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / First (x-2+2xy+y-2=(x+y)2), then \(z^2\) is subtracted. Exam tip: identify the perfect square first.
(a-2+6a+9=(a+3)2) है और उससे \(b^2\) घटता है। इसलिए अंतर के वर्ग का प्रयोग करें। / (a-2+6a+9=(a+3)2) and \(b^2\) is subtracted from it. So use difference of squares.
((2x+3)(x+1)=2x-2+2x+3x+3=2x-2+5x+3) नहीं, लेकिन ((2x+1)(x+3)=2x-2+6x+x+3=2x-2+7x+3) है। परीक्षा में सभी विकल्प फैलाकर जांचें। / ((2x+3)(x+1)=2x-2+5x+3) is not correct, but ((2x+1)(x+3)=2x-2+7x+3) is correct. Exam tip: expand all options to check.
((2x+1)(x+3)=2x-2+6x+x+3=2x-2+7x+3) है। परीक्षा में मध्य पद को दो भागों में तोड़ें। / ((2x+1)(x+3)=2x-2+6x+x+3=2x-2+7x+3). Exam tip: split the middle term into two parts.
((2x+3)(3x+4)=6x-2+8x+9x+12=6x-2+17x+12) है। परीक्षा में क्रॉस क्षेत्र (8x) और (9x) जोड़ें। / ((2x+3)(3x+4)=6x-2+8x+9x+12=6x-2+17x+12). Exam tip: add the cross areas (8x) and (9x).
(7+(-5)=2) और (7\cdot(-5)=-35) है। परीक्षा में विपरीत चिह्न वाले कारकों का योग देखें। / (7+(-5)=2) and (7\cdot(-5)=-35). Exam tip: check the sum of opposite-sign factors.
((x+2)(x-2)=x-2-22=x-2-4) है। परीक्षा में \(b^2\) को संख्या के वर्ग से पहचानें। / ((x+2)(x-2)=x-2-22=x-2-4). Exam tip: identify \(b^2\) from the square of the number.
(81-18x+x-2=x-2-18x+81=(x-9)2), जो (9-x) के वर्ग के बराबर है। परीक्षा में पदों को क्रम में रखकर देखें। / (81-18x+x-2=x-2-18x+81=(x-9)2), equal to the square of (9-x). Exam tip: arrange terms in order first.
(4x-2=(2x)2) और \(49=7^2\), इसलिए मध्य पद \(2\cdot2x\cdot7=28x\) है। परीक्षा में दोनों भुजाओं का दुगुना गुणन करें। / (4x-2=(2x)2) and \(49=7^2\), so the middle term is \(2\cdot2x\cdot7=28x\). Exam tip: multiply twice the two sides.
मध्य क्षेत्रफल \(2\cdot2a\cdot3b=12ab\) है। परीक्षा में गुणांक को आयतों की भुजाओं में शामिल करें। / The middle area is \(2\cdot2a\cdot3b=12ab\). Exam tip: include coefficients in the rectangle sides.
((5a-2b)2=25a-2-2\cdot5a\cdot2b+4b-2) है। परीक्षा में मध्य पद में दुगुना गुणन करें। / ((5a-2b)2=25a-2-2\cdot5a\cdot2b+4b-2). Exam tip: multiply twice for the middle term.
B. भुजा (a) वाले वर्ग से भुजा (b) वाला वर्ग हटता है/A square of side (b) is removed from a square of side (a)
Explanation
Simple Explanation
वर्गों का अंतर हटाने वाले मॉडल से बनता है, जोड़ वाले पूरे वर्ग से नहीं। परीक्षा में हटाया गया भाग देखें। / Difference of squares comes from the removal model, not from the full addition square. Exam tip: look for the removed part.
(4+5=9) और \(4\cdot5=20\) है। परीक्षा में योग मध्य पद और गुणन स्थिर पद से मिलाएं। / (4+5=9) and \(4\cdot5=20\). Exam tip: match the sum with the middle term and the product with the constant term.
यह ((x-6)2) है और दो हटे आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot6x=12x\) है। परीक्षा में घटाया गया मध्य क्षेत्र पहचानें। / This is ((x-6)2), and the total area of the two removed rectangles is \(2\cdot6x=12x\). Exam tip: identify the subtracted middle area.
