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दोनों आयतों का क्षेत्र \(2x\times3=6x\) है इसलिए कुल (12x) होगा। परीक्षा में बीच का पद दो समान आयतों से आता है। / Each rectangle has area \(2x\times3=6x\), so the total is (12x). Exam tip: the middle term comes from two equal rectangles.
(9x-2=(3x)2) और \(4=2^2\), इसलिए भुजा (3x+2) है। परीक्षा में वर्ग पदों की वर्गमूल से बाहरी भुजा पहचानें। / Since (9x-2=(3x)2) and \(4=2^2\), the side is (3x+2). Exam tip: use square roots of square terms to identify the outer side.
A. क्योंकि \(b^2\) दो बार हट गया होता है/Because \(b^2\) has been removed twice
Explanation
Simple Explanation
दो पट्टियां हटाते समय कोने का \(b^2\) भाग दो बार घट जाता है। परीक्षा में अधिक घटे भाग को वापस जोड़ने का विचार याद रखें। / While removing two strips, the corner \(b^2\) part is subtracted twice. Exam tip: remember to add back the over-subtracted part.
B. भुजा (a) के वर्ग से भुजा (b) का वर्ग हटाकर बचा भाग आयत बनाना/Removing a square of side (b) from a square of side (a) and making a rectangle
Explanation
Simple Explanation
बड़े वर्ग से छोटा वर्ग हटाने पर बचा क्षेत्र पुनर्व्यवस्थित होकर ((a+b)(a-b)) आयत बनता है। परीक्षा में अंतर के वर्गों को आयत मॉडल से जोड़ें। / After removing the smaller square from the larger square, the remaining area rearranges into the rectangle ((a+b)(a-b)). Exam tip: link difference of squares with the rectangle model.
C. वे (2xy) और (-2xy) बनकर कट जाते हैं/They become (2xy) and (-2xy) and cancel
Explanation
Simple Explanation
एक आयत (2xy) और दूसरा (-2xy) होता है इसलिए बीच के पद रद्द हो जाते हैं। परीक्षा में संयुग्म गुणन में बीच के पदों का कटना पहचानें। / One rectangle is (2xy) and the other is (-2xy), so the middle terms cancel. Exam tip: identify cancellation in conjugate products.
बीच का कुल पद (10x) है इसलिए प्रत्येक समान आयत (5x) का होगा। परीक्षा में बीच के पद को दो बराबर भागों में बांटें। / The total middle term is (10x), so each equal rectangle has area (5x). Exam tip: split the middle term into two equal parts.
((3p-4)2=(3p)2-2\times3p\times4+42) होता है। परीक्षा में गुणांक सहित वर्ग करें। / ((3p-4)2=(3p)2-2\times3p\times4+42). Exam tip: square the coefficient along with the variable.
(16x-2=(4x)2) और \(25=5^2\), इसलिए आयाम (4x+5) और (4x-5) होंगे। परीक्षा में पहले दोनों वर्गों की भुजा निकालें। / Since (16x-2=(4x)2) and \(25=5^2\), the dimensions are (4x+5) and (4x-5). Exam tip: first find the side of both squares.
छोटा वर्ग \(a^2=49\) देता है इसलिए (a=7), और (2ax=14x) भी यही बताता है। परीक्षा में दोनों संकेतों से उत्तर मिलाएं। / The small square gives \(a^2=49\), so (a=7), and (2ax=14x) confirms it. Exam tip: match the answer with both clues.
आयत के भाग \(x\times x\), \(x\times8\), \(3\times x\) और \(3\times8\) से बनते हैं। परीक्षा में हर बाहरी भाग का गुणन करें। / The rectangle parts come from \(x\times x\), \(x\times8\), \(3\times x\), and \(3\times8\). Exam tip: multiply each outside part.
A. जब इसे भुजा (x+3) वाले पूर्ण वर्ग में बदला जाए/When it is changed into a complete square of side (x+3)
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग मॉडल में (6x) दो बराबर (3x) आयतों में बांटा जाता है। परीक्षा में बीच के पद को दो समान आयतों में देखें। / In a complete square model, (6x) is split into two equal (3x) rectangles. Exam tip: see the middle term as two equal rectangles.
बीच का पद \(2\times5x\times2y=20xy\) है। परीक्षा में दोनों भुजा भागों का दोगुना गुणन करें। / The middle term is \(2\times5x\times2y=20xy\). Exam tip: double the product of the two side parts.
पूर्ण वर्ग को भरने के लिए दो (ab) आयत आवश्यक हैं। परीक्षा में केवल वर्ग पदों से पूरा वर्ग नहीं बनता। / Two (ab) rectangles are needed to complete the square. Exam tip: square terms alone do not form the whole square.
संख्या भाग (-4) और (3) हैं, जिनका गुणन (-12) और (x) पदों का योग (-x) देता है। परीक्षा में चिन्हों के साथ आयत भाग पढ़ें। / The number parts are (-4) and (3), whose product is (-12) and whose (x)-terms sum to (-x). Exam tip: read rectangle parts with signs.
घटाव मॉडल में (b) वाला छोटा वर्ग \(b^2\) धनात्मक रूप से जुड़ता है। परीक्षा में किसी भी पद का वर्ग धनात्मक होता है। / In the subtraction model, the small square from (b) is added positively as \(b^2\). Exam tip: the square of any term is positive.
(81x-2=(9x)2) और (49y-2=(7y)2) है। परीक्षा में वर्गमूल निकालकर ((A+B)(A-B)) लगाएं। / Here (81x-2=(9x)2) and (49y-2=(7y)2). Exam tip: take square roots and use ((A+B)(A-B)).
(x) और (y) के जोड़े से दो समान आयत (xy) बनते हैं। परीक्षा में प्रत्येक अलग जोड़ी के लिए दो आयत गिनें। / The pair (x) and (y) forms two equal (xy) rectangles. Exam tip: count two rectangles for each different pair.
(a) और (b) से बने दो समान आयत होते हैं इसलिए कुल (2ab) है। परीक्षा में जोड़ीदार आयतों को दोगुना करें। / There are two equal rectangles made from (a) and (b), so the total is (2ab). Exam tip: double the paired rectangles.
\(2x\times4=8x\) और \(1\times3x=3x\), इसलिए कुल (11x) है। परीक्षा में क्रॉस आयतों को जोड़ें। / Here \(2x\times4=8x\) and \(1\times3x=3x\), so the total is (11x). Exam tip: add the cross rectangles.
दोनों आयतों का कुल क्षेत्र \(2\times2x\times5=20x\) है। परीक्षा में दोनों आयतों को मिलाकर बीच का पद बनाएं। / The total area of the two rectangles is \(2\times2x\times5=20x\). Exam tip: combine the two rectangles to form the middle term.
A. दो घटाए गए (6x) आयतों से/From two subtracted (6x) rectangles
Explanation
Simple Explanation
दोनों हटाई गई पट्टियों का कुल क्षेत्र (6x+6x=12x) है। परीक्षा में ऋणात्मक बीच का पद हटाए गए आयतों से जोड़ें। / The total area of the two removed strips is (6x+6x=12x). Exam tip: connect the negative middle term with removed rectangles.
A. भुजा (a+b) वाले वर्ग में दो (ab) आयत दिखाई देना/Seeing two (ab) rectangles in a square of side (a+b)
Explanation
Simple Explanation
भुजा (a+b) वाले वर्ग में \(a^2\) और \(b^2\) के साथ दो (ab) भाग भी होते हैं। परीक्षा में बीच का (2ab) कभी न छोड़ें। / A square of side (a+b) has two (ab) parts along with \(a^2\) and \(b^2\). Exam tip: never omit the middle (2ab).
(x-2-16=x-2-42=(x+4)(x-4)) है। परीक्षा में घटे हुए वर्ग की भुजा (4) पहचानें। / (x-2-16=x-2-42=(x+4)(x-4)). Exam tip: identify the side (4) of the removed square.
(18x) को दो (9x) आयतों में बांटते हैं इसलिए \(9^2=81\) जोड़ा जाता है। परीक्षा में (x) के गुणांक का आधा लेकर उसका वर्ग करें। / Split (18x) into two (9x) rectangles, so \(9^2=81\) is added. Exam tip: take half the coefficient of (x) and square it.
यह संयुग्म गुणन है इसलिए बीच के पद कटकर ((3x)2-22=9x-2-4) बचता है। परीक्षा में ((A+B)(A-B)) पहचानें। / This is conjugate multiplication, so middle terms cancel and ((3x)2-22=9x-2-4) remains. Exam tip: identify ((A+B)(A-B)).
स्थिर कोना \(5\times(-2)=-10\) से बनता है। परीक्षा में चिन्ह सहित स्थिर भाग गुणा करें। / The constant corner is formed by \(5\times(-2)=-10\). Exam tip: multiply the constant parts with signs.
A. भुजा (2a-3b) वाला वर्ग/Square with side (2a-3b)
Explanation
Simple Explanation
(4a-2=(2a)2), (9b-2=(3b)2) और बीच का पद \(-2\times2a\times3b\) है। परीक्षा में तीनों पदों को पूर्ण वर्ग पैटर्न से मिलाएं। / Here (4a-2=(2a)2), (9b-2=(3b)2), and the middle term is \(-2\times2a\times3b\). Exam tip: match all three terms with the perfect square pattern.
एक (ab) छूटने से बीच का पद (2ab) की जगह (ab) रह जाएगा। परीक्षा में दोनों समान आयत गिनना जरूरी है। / If one (ab) is missed, the middle term becomes (ab) instead of (2ab). Exam tip: count both equal rectangles.
(49x-2=(7x)2), \(4=2^2\) और \(28x=2\times7x\times2\) है। परीक्षा में बीच के पद से पुष्टि करें। / Here (49x-2=(7x)2), \(4=2^2\), and \(28x=2\times7x\times2\). Exam tip: confirm using the middle term.
भाग \(4x^2\), (8x), (3x) और (6) हैं, जिनसे \(4x^2+11x+6\) मिलता है। परीक्षा में समान (x) पद जोड़ें। / The parts are \(4x^2\), (8x), (3x), and (6), giving \(4x^2+11x+6\). Exam tip: add like (x)-terms.
एक ही आकृति का क्षेत्र दो तरीकों से लिखा गया है इसलिए दोनों अभिव्यक्तियां बराबर हैं। परीक्षा में दृश्य प्रमाण में समान क्षेत्र का सिद्धांत याद रखें। / The area of the same figure is written in two ways, so the expressions are equal. Exam tip: remember the same-area principle in visual proofs.
\(9=3^2\) और \(-6x=-2\times x\times3\), इसलिए यह ((x-3)2) है। परीक्षा में ऋणात्मक बीच के पद से घटाव वर्ग पहचानें। / Since \(9=3^2\) and \(-6x=-2\times x\times3\), it is ((x-3)2). Exam tip: identify a subtraction square from the negative middle term.
A. भुजा (x+6) वाले वर्ग का मॉडल/Model of a square with side (x+6)
Explanation
Simple Explanation
(12x) दो (6x) आयतों में बंटता है और कोना \(6^2=36\) होता है। परीक्षा में छोटे वर्ग की भुजा आधे बीच पद से मिलती है। / The (12x) term splits into two (6x) rectangles, and the corner is \(6^2=36\). Exam tip: the small square side comes from half the middle coefficient.
क्षेत्र ((12+5)(12-5)=17\times7=119) है। परीक्षा में सीधे \(12^2-25\) की जगह अंतर के वर्गों का उपयोग करें। / The area is ((12+5)(12-5)=17\times7=119). Exam tip: use difference of squares instead of direct subtraction.
A. क्योंकि बीच की दो (6x) आयतें गायब हैं/Because the two middle (6x) rectangles are missing
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+36\) में \(2\times x\times6\) वाले दो आयत नहीं हैं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के लिए दोनों बीच आयत जरूरी मानें। / In \(x^2+36\), the two rectangles of \(2\times x\times6\) are missing. Exam tip: both middle rectangles are necessary for a complete square.
स्थिर कोना \((-3)\times(-7)=21\) होता है। परीक्षा में दो ऋणात्मक स्थिर भागों का गुणन धनात्मक होता है। / The constant corner is \((-3)\times(-7)=21\). Exam tip: the product of two negative constant parts is positive.
(25a-2=(5a)2), (9b-2=(3b)2) और \(-30ab=-2\times5a\times3b\) है। परीक्षा में घटाव वाले पूर्ण वर्ग को पहचानें। / Here (25a-2=(5a)2), (9b-2=(3b)2), and \(-30ab=-2\times5a\times3b\). Exam tip: identify the subtraction perfect square.
तीन जोड़े (ab), (bc), (ca) होते हैं और हर जोड़े के दो आयत होते हैं। परीक्षा में (3) जोड़ों को (2) से गुणा करें। / There are three pairs (ab), (bc), (ca), and each pair has two rectangles. Exam tip: multiply (3) pairs by (2).
(4) और (-3) का गुणन (-12) और योग (1) है। परीक्षा में आयत के दो संख्यात्मक भागों का योग और गुणनफल जांचें। / The product of (4) and (-3) is (-12), and their sum is (1). Exam tip: check the sum and product of the two number parts.
((2x+3)(3x+5)) में \(2x\times5=10x\), \(3\times3x=9x\) होता है इसलिए यह नहीं; सही मिलान ((2x+5)(3x+3)) भी कोना (15) देता है पर (6x) और (15x) देता है। इसलिए कोई विकल्प पूर्ण नहीं है। / In ((2x+3)(3x+5)), \(2x\times5=10x\) and \(3\times3x=9x\), so it does not match; ((2x+5)(3x+3)) also gives corner (15) but cross terms (6x) and (15x). Thus no option fully matches.
(4+10=14) और \(4\times10=40\), इसलिए आयाम (x+4) और (x+10) बनते हैं। परीक्षा में योग और गुणनफल दोनों जांचें। / Since (4+10=14) and \(4\times10=40\), the dimensions are (x+4) and (x+10). Exam tip: check both sum and product.
क्रॉस आयत (9x) और (-5x) हैं, जिनका योग (4x) है। परीक्षा में चिन्ह सहित समान पद जोड़ें। / The cross rectangles are (9x) and (-5x), whose sum is (4x). Exam tip: add like terms with signs.
(64x-2=(8x)2), (25y-2=(5y)2) और बीच का पद \(-2\times8x\times5y\) है। परीक्षा में दृश्य वर्ग के दोनों मुख्य भाग पहचानें। / Here (64x-2=(8x)2), (25y-2=(5y)2), and the middle term is \(-2\times8x\times5y\). Exam tip: identify both main side parts of the visual square.
A. दो वर्ग जिनकी भुजाएं (x+4) और (x-4) हैं/Two squares with sides (x+4) and (x-4)
Explanation
Simple Explanation
दो अलग भुजाओं वाले वर्गों के क्षेत्रों का अंतर दिया गया है। परीक्षा में (\(A^2-B^2\)) को ((A+B)(A-B)) से भी देख सकते हैं। / The expression gives the difference between areas of two squares with different sides. Exam tip: also view (\(A^2-B^2\)) as ((A+B)(A-B)).
यह (((x+4)+(x-4))((x+4)-(x-4))=2x\times8=16x) है। परीक्षा में (A+B) और (A-B) अलग-अलग निकालें। / It is (((x+4)+(x-4))((x+4)-(x-4))=2x\times8=16x). Exam tip: find (A+B) and (A-B) separately.
दोनों समान आयतों में प्रत्येक का क्षेत्र (ax) है इसलिए कुल (2ax) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग में बीच का पद दोगुना गुणन होता है। / Each of the two equal rectangles has area (ax), so the total is (2ax). Exam tip: the middle term in a perfect square is double product.
वर्ग पद धनात्मक रहते हैं और केवल बीच का \(2\times2x\times3y=12xy\) पद चिन्ह बदलता है। परीक्षा में वर्ग पदों के चिन्ह स्थिर रखें। / The square terms remain positive, and only the middle term \(2\times2x\times3y=12xy\) changes sign. Exam tip: keep square term signs fixed.
(36x-2=(6x)2) और \(1=1^2\), इसलिए आयाम (6x+1) और (6x-1) होंगे। परीक्षा में दोनों वर्गों की भुजाएं पहचानें। / Since (36x-2=(6x)2) and \(1=1^2\), the dimensions are (6x+1) and (6x-1). Exam tip: identify the sides of both squares.
B. उसने दो (2x) आयत छोड़ दिए/The student omitted two (2x) rectangles
Explanation
Simple Explanation
((x+2)2) में \(x^2\), दो (2x) आयत और (4) होते हैं। परीक्षा में दृश्य भागों को पूरा गिनें। / In ((x+2)2), there are \(x^2\), two (2x) rectangles, and (4). Exam tip: count all visual parts completely.
A. पूर्ण वर्ग से केवल दो (5x) आयतों का क्षेत्र बचता है/Only the area of two (5x) rectangles remains from the complete square
Explanation
Simple Explanation
((x+5)2=x-2+10x+25), इसलिए \(x^2+25\) हटाने पर (10x) बचता है। परीक्षा में हटाए गए भागों को सावधानी से घटाएं। / ((x+5)2=x-2+10x+25), so removing \(x^2+25\) leaves (10x). Exam tip: subtract removed parts carefully.
