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एक वर्ग का दृश्य मॉडल पहले भुजा (a) वाला था। उसमें दाईं ओर चौड़ाई (b) की पट्टी और नीचे चौड़ाई (b) की पट्टी जोड़कर कोने में छोटा वर्ग बनाया गया। कुल क्षेत्रफल किस पहचान को दिखाता है?
दो समान आयतों का क्षेत्रफल (ab) और छोटे वर्ग का क्षेत्रफल \(b^2\) है। परीक्षा में बड़े वर्ग को छोटे भागों में बांटकर पहचान लिखें। / The two equal rectangles have area (ab) and the small square has area \(b^2\). Exam tip: split the big square into smaller regions before writing the identity.
भुजा (p) वाले बड़े वर्ग से ऊपर और दाईं ओर चौड़ाई (q) की दो पट्टियां हटाई जाती हैं। कोने का वर्ग \(q^2\) दो बार हटने से वापस जोड़ा जाता है। शेष क्षेत्रफल क्या होगा?
दो पट्टियां घटाने के बाद साझा कोना फिर जोड़ना पड़ता है। परीक्षा में घटाए गए भागों की पुनरावृत्ति जांचें। / After subtracting two strips the common corner must be added back. Exam tip: check overlap when subtracting areas.
पट्टियों का कुल क्षेत्रफल (7x+3x=10x) है। परीक्षा में ((x+a)(x+b)) में मध्य गुणांक (a+b) लें। / The total strip area is (7x+3x=10x). Exam tip: in ((x+a)(x+b)), the middle coefficient is (a+b).
दोनों आयतों में प्रत्येक का क्षेत्रफल (mn) है इसलिए कुल (2mn) होगा। परीक्षा में समान आयतों की संख्या न भूलें। / Each rectangle has area (mn), so together they give (2mn). Exam tip: do not forget the number of equal rectangles.
दृश्य मॉडल में \(r^2\) क्षेत्रफल वाले वर्ग से \(s^2\) क्षेत्रफल वाला छोटा वर्ग हटाया गया। बचे हुए एल आकार को काटकर एक आयत बनाया गया। उस आयत की भुजाएं क्या होंगी?
वर्गों के अंतर को पुनर्व्यवस्थित करने पर आयत ((r-s)(r+s)) बनता है। परीक्षा में \(r^2-s^2\) को अंतर के रूप में पहचानें। / Rearranging the difference of squares forms the rectangle ((r-s)(r+s)). Exam tip: identify \(r^2-s^2\) as a difference of squares.
चार छोटी (2) इकाई चौड़ाइयां मिलकर हर दिशा में (4) की वृद्धि दिखाती हैं। परीक्षा में किनारे पर लगी कुल चौड़ाई देखें। / The four small width parts show an increase of (4) along each side. Exam tip: observe the total added width on the edge.
(36) को \(6^2\) और (12x) को \(2\cdot6\cdot x\) माना जाता है। परीक्षा में स्थिर वर्ग से जोड़ी गई चौड़ाई निकालें। / Here (36) is \(6^2\) and (12x) is \(2\cdot6\cdot x\). Exam tip: find the added width from the constant square.
एक वर्ग मॉडल में दो समान आयतों का कुल क्षेत्रफल (18xy) है और कोने का छोटा वर्ग \(81y^2\) है। यदि मुख्य वर्ग \(x^2\) है तो पूर्ण वर्ग क्षेत्रफल क्या है?
छोटे वर्ग की भुजा (9y) है और दो आयतों का कुल क्षेत्रफल (18xy) है। परीक्षा में दो आयतों का योग सीधे मध्य पद देता है। / The small square has side (9y) and the two rectangles together give (18xy). Exam tip: the sum of the two rectangles directly gives the middle term.
एक दृश्य प्रमाण में (a+b+c) भुजा वाले वर्ग को नौ भागों में बांटा गया है। तीन वर्गों के क्षेत्रफल \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\) हैं। आयताकार भागों का कुल क्षेत्रफल कौन सा है?
हर जोड़ी के दो समान आयत बनते हैं इसलिए कुल (2ab+2bc+2ca) होता है। परीक्षा में तीन पदों के वर्ग में जोड़ीदार आयतों को दो बार गिनें। / Each pair forms two equal rectangles, so the total is (2ab+2bc+2ca). Exam tip: count pairwise rectangles twice in a trinomial square.
क्योंकि (5+6=11) और \(5\cdot6=30\) है। परीक्षा में आयत मॉडल में योग और गुणनफल दोनों मिलाएं। / Because (5+6=11) and \(5\cdot6=30\). Exam tip: match both sum and product in a rectangle model.
एक बड़े वर्ग से (4x) और (4x) क्षेत्रफल वाली दो पट्टियां हटाकर (16) क्षेत्रफल का कोना वापस जोड़ा गया। यदि मूल वर्ग \(x^2\) था तो बना क्षेत्रफल किसके बराबर है?
दो (4x) पट्टियां घटती हैं और साझा कोना (16) वापस जुड़ता है। परीक्षा में ((x-4)2) मॉडल को पहचानें। / Two (4x) strips are subtracted and the common corner (16) is added back. Exam tip: recognize the ((x-4)2) model.
शेष दोनों आयत (u) by (v) हैं इसलिए योग (2uv) है। परीक्षा में रंगीन भागों और शेष भागों को अलग अलग जोड़ें। / Both remaining rectangles are (u) by (v), so their sum is (2uv). Exam tip: add colored and uncolored parts separately.
यह ((2x+3)(2x-3)) है जो \(4x^2-9\) देता है। परीक्षा में योग और अंतर के गुणन को वर्गों के अंतर से जोड़ें। / This is ((2x+3)(2x-3)), which gives \(4x^2-9\). Exam tip: connect product of sum and difference with difference of squares.
मुख्य वर्ग की भुजा (3a) और छोटे वर्ग की भुजा (5b) है। परीक्षा में वर्गमूल से भुजाएं पहचानें। / The main square side is (3a) and the small square side is (5b). Exam tip: identify sides using square roots.
दोनों पट्टियों से हर ओर (7) की चौड़ाई मिलती है इसलिए कोना \(7^2=49\) होगा। परीक्षा में मध्य पद को आधा करके वर्ग लें। / The two strips show width (7) on each side, so the corner is \(7^2=49\). Exam tip: halve the middle coefficient and square it.
A. भुजा (y) वाले वर्ग से दो (3y) पट्टियां हटाकर (9) कोना जोड़ना/Removing two (3y) strips from a square of side (y) and adding the (9) corner
Explanation
Simple Explanation
ऋण मध्य पद घटाई गई दो पट्टियों से आता है। परीक्षा में संकेत देखकर जोड़ने या घटाने का मॉडल चुनें। / The negative middle term comes from the two removed strips. Exam tip: use the sign to decide addition or subtraction model.
(4+9=13) और \(4\cdot9=36\) है इसलिए पट्टियां (4x) और (9x) होंगी। परीक्षा में स्थिर पद के गुणनखंड खोजें। / Since (4+9=13) and \(4\cdot9=36\), the strips are (4x) and (9x). Exam tip: find factors of the constant term.
क्षेत्रफल (a-2-b-2=(a+b)(a-b)) होता है। परीक्षा में आयत की दूसरी भुजा क्षेत्रफल को दी गई भुजा से भाग देकर मिलती है। / The area is (a-2-b-2=(a+b)(a-b)). Exam tip: get the other side by dividing area by the given side.
दोनों विस्तारों को घटाने पर (4ab) बचता है। परीक्षा में दृश्य अंतर को बीजगणितीय घटाव से मिलाएं। / Subtracting the two expansions leaves (4ab). Exam tip: match visual difference with algebraic subtraction.
भुजाएं (2x) और (5) हैं इसलिए दो आयतों में प्रत्येक (10x) है। परीक्षा में हर भाग को लंबाई गुणा चौड़ाई से निकालें। / The side parts are (2x) and (5), so each rectangle is (10x). Exam tip: find each part as length times width.
मध्य पद (3x+8x=11x) है इसलिए (b=11) होगा। परीक्षा में दोनों रैखिक पट्टियों का योग लें। / The middle term is (3x+8x=11x), so (b=11). Exam tip: add both linear strip areas.
लंबवत कट चार भाग बनाते हैं जिनमें दो आयत (ab) के होते हैं। परीक्षा में कटों से बने सभी भाग जोड़ें। / Perpendicular cuts form four parts, including two rectangles of area (ab). Exam tip: add all regions made by the cuts.
B. दोनों (xy) आयत अभी भी मौजूद हैं/The two (xy) rectangles still exist
Explanation
Simple Explanation
चित्र का आकार बदल सकता है पर भागों की संरचना नहीं बदलती। परीक्षा में अनुपात नहीं बल्कि क्षेत्रफल संबंध देखें। / The drawing scale may change but the structure of parts does not. Exam tip: focus on area relation, not visual proportion.
भाग (5x) और (7x) तथा कोना (35) भुजाओं (5) और (7) को दिखाते हैं। परीक्षा में कोने का गुणनफल भुजाओं की स्थिर लंबाइयां बताता है। / The parts (5x) and (7x), with corner (35), show constant sides (5) and (7). Exam tip: the corner product reveals the constant side lengths.
(16p-2=(4p)2) और (25q-2=(5q)2) हैं तथा मध्य पद ऋण है। परीक्षा में संकेत और वर्गमूल दोनों जांचें। / Here (16p-2=(4p)2) and (25q-2=(5q)2), and the middle term is negative. Exam tip: check both signs and square roots.
क्रॉस आयत दो हैं और प्रत्येक का क्षेत्रफल (ab) है। परीक्षा में (2ab) को दो आयतों का संयुक्त क्षेत्रफल मानें। / There are two cross rectangles and each has area (ab). Exam tip: treat (2ab) as the combined area of two rectangles.
(4+5=9) और \(4\cdot5=20\) है इसलिए आयत पूरा बनता है। परीक्षा में दोनों शर्तों को साथ जांचें। / Since (4+5=9) and \(4\cdot5=20\), the rectangle is complete. Exam tip: verify both conditions together.
दोनों पट्टियां (3x) by (2y) की हैं इसलिए कुल (12xy) घटता है। परीक्षा में ऋण मध्य पद को दो पट्टियों से समझें। / Both strips are (3x) by (2y), so (12xy) is subtracted. Exam tip: understand the negative middle term through two strips.
A. भुजा (a) के वर्ग से भुजा (b) का वर्ग हटाकर शेष को आयत बनाना/Removing a square of side (b) from a square of side (a) and rearranging the remainder into a rectangle
Explanation
Simple Explanation
वर्गों के अंतर का शेष भाग आयत ((a+b)(a-b)) में बदलता है। परीक्षा में काटकर पुनर्व्यवस्था का विचार याद रखें। / The remaining part of the difference of squares becomes the rectangle ((a+b)(a-b)). Exam tip: remember the cut-and-rearrange idea.
(2xk=16x) से (k=8) और कोना \(k^2=64\) होगा। परीक्षा में कुल पट्टी क्षेत्रफल से आधी चौड़ाई निकालें। / From (2xk=16x), (k=8), so the corner is \(k^2=64\). Exam tip: get the half-width from the total strip area.
(-5+3=-2) और \(-5\cdot3=-15\) है। परीक्षा में संकेतों सहित गुणनखंडों का दृश्य अर्थ समझें। / Since (-5+3=-2) and \(-5\cdot3=-15\). Exam tip: interpret factors with signs in the visual model.
प्रत्येक आयत (2a) by (b) है इसलिए कुल (4ab) होगा। परीक्षा में बदली हुई भुजा (2a) को ध्यान से लें। / Each rectangle is (2a) by (b), so the total is (4ab). Exam tip: handle the changed side (2a) carefully.
A. पूरे वर्ग की भुजा (5x+2y) है/The side of the whole square is (5x+2y)
Explanation
Simple Explanation
\(25x^2\) और \(4y^2\) के वर्गमूल (5x) और (2y) हैं और मध्य पद (20xy) सही है। परीक्षा में मध्य पद (2ab) से पुष्टि करें। / The square roots of \(25x^2\) and \(4y^2\) are (5x) and (2y), and the middle term (20xy) fits. Exam tip: confirm using the (2ab) term.
A. भुजा (7) वाला वर्ग हटाना/Removing a square of side (7)
Explanation
Simple Explanation
\(49=7^2\) है इसलिए भुजा (7) का वर्ग हटता है। परीक्षा में स्थिर वर्ग का वर्गमूल पहचानें। / Since \(49=7^2\), a square of side (7) is removed. Exam tip: identify the square root of the constant square.
((x+4)2-(x-4)2=16x) होता है। परीक्षा में दो वर्गों के अंतर में (4ab) का प्रयोग करें। / ((x+4)2-(x-4)2=16x). Exam tip: use (4ab) for the difference of two such squares.
मध्य पद (6x+8x=14x) है इसलिए (p=14) होगा। परीक्षा में स्थिर भुजाओं का योग मध्य गुणांक देता है। / The middle term is (6x+8x=14x), so (p=14). Exam tip: the sum of constant side parts gives the middle coefficient.
मध्य पद (+2ab) और (-2ab) कट जाते हैं। परीक्षा में जोड़ते समय समान विपरीत पदों को देखें। / The middle terms (+2ab) and (-2ab) cancel. Exam tip: watch opposite like terms while adding.
तीन पदों के वर्ग में हर जोड़ी का दुगुना गुणनफल आता है। परीक्षा में (x) और (z) की जोड़ी भी गिनें। / In a trinomial square, twice the product of every pair appears. Exam tip: count the pair (x) and (z) too.
दो रैखिक पट्टियां (10x) और (10x) देती हैं इसलिए (m=20) है। परीक्षा में दो बराबर पट्टियों का योग लें। / The two linear strips give (10x) and (10x), so (m=20). Exam tip: add the two equal strips.
A. भुजा (3x) वाले वर्ग से भुजा (1) वाला वर्ग हटाना/Removing a square of side (1) from a square of side (3x)
Explanation
Simple Explanation
(9x-2=(3x)2) और \(1=1^2\) है इसलिए यह वर्गों का अंतर है। परीक्षा में दोनों पदों को पूर्ण वर्ग के रूप में देखें। / Here (9x-2=(3x)2) and \(1=1^2\), so it is a difference of squares. Exam tip: view both terms as perfect squares.
पहली भुजा (x+3) और दूसरी (x+4) है इसलिए अंतर (1) है। परीक्षा में क्षेत्रफल से पहले भुजा निकालें। / The first side is (x+3) and the second is (x+4), so the difference is (1). Exam tip: find the side before comparing areas.
कुल मध्य पद (12x) है और दो समान पट्टियां हैं इसलिए प्रत्येक (6x) है। परीक्षा में कुल मध्य पद को दो बराबर भागों में बांटें। / The total middle term is (12x), and there are two equal strips, so each is (6x). Exam tip: divide the middle term into two equal parts.
\(25=5^2\) है और मध्य पद \(2\cdot5\cdot x\) से मेल खाता है। परीक्षा में स्थिर पद का वर्गमूल लें। / Since \(25=5^2\), and the middle term matches \(2\cdot5\cdot x\). Exam tip: take the square root of the constant term.
(ax) और (-ax) विपरीत रैखिक भाग हैं इसलिए कट जाते हैं। परीक्षा में योग और अंतर के गुणन में मध्य पद शून्य होता है। / The parts (ax) and (-ax) are opposite linear parts, so they cancel. Exam tip: the middle term is zero in product of sum and difference.
A. क्योंकि पहचान क्षेत्रफल पर आधारित है/Because the identity is based on area
Explanation
Simple Explanation
दृश्य पहचान भागों के क्षेत्रफल जोड़कर बनती है परिमाप से नहीं। परीक्षा में क्षेत्रफल और परिमाप को अलग रखें। / The visual identity is formed by adding areas of parts, not by perimeter. Exam tip: keep area and perimeter separate.
(7+8=15) और \(7\cdot8=56\) है इसलिए यही पट्टियां सही हैं। परीक्षा में गुणनफल और योग दोनों मिलाएं। / Since (7+8=15) and \(7\cdot8=56\), these strips are correct. Exam tip: match both product and sum.
(4a-2=(2a)2) है इसलिए अंतर ((2a-b)(2a+b)) बनेगा। परीक्षा में पहले बड़े वर्ग की भुजा पहचानें। / Since (4a-2=(2a)2), the difference becomes ((2a-b)(2a+b)). Exam tip: identify the side of the larger square first.
दो वर्ग \(x^2\) और (81) हैं जबकि (18x) पट्टियों का क्षेत्रफल है। परीक्षा में वर्ग भागों और आयत भागों को अलग करें। / The two squares are \(x^2\) and (81), while (18x) is the strip area. Exam tip: separate square parts from rectangular parts.
गलती में दोनों क्रॉस आयतों का क्षेत्रफल (2xy) छोड़ दिया गया। परीक्षा में ((x+y)2) को कभी \(x^2+y^2\) न लिखें। / The mistake ignores the two cross rectangles of total area (2xy). Exam tip: never write ((x+y)2) as \(x^2+y^2\).
