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पाइथागोरस प्रमेय से \(OB^2=1^2+1^2=2\), इसलिए \(OB=\sqrt{2}\)। परीक्षा में समकोण त्रिभुज को पहले पहचानें। / By Pythagoras theorem, \(OB^2=1^2+1^2=2\), so \(OB=\sqrt{2}\). In exams, identify the right triangle first.
यहां (OC-2=\(\sqrt{2}\)2+12=3), इसलिए \(OC=\sqrt{3}\)। हर नए चरण में पिछले वर्गमूल में (1) जोड़ा जाता है। / Here (OC-2=\(\sqrt{2}\)2+12=3), so \(OC=\sqrt{3}\). At each new step, (1) is added to the previous square under the root.
\(OC=\sqrt{3}\) के ऊपर (1) इकाई का लंब बनाने पर \(OD^2=3+1=4\)। क्रम याद रखना ऐसे प्रश्नों में सबसे उपयोगी है। / On \(OC=\sqrt{3}\), drawing a perpendicular of (1) unit gives \(OD^2=3+1=4\). Remembering the order is very useful in such questions.
नई त्रिज्या का वर्ग (8+1=9) होगा, इसलिए लंबाई \(\sqrt{9}\) है। ध्यान रखें कि लंबाई (9) नहीं बल्कि \(\sqrt{9}\) लिखी जाती है। / The square of the new radius is (8+1=9), so the length is \(\sqrt{9}\). Remember that the length is written as \(\sqrt{9}\), not just (9).
B. \(\sqrt{6}\) पर (1) इकाई लंब बनाकर/By drawing (1) unit perpendicular on \(\sqrt{6}\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि (\(\sqrt{6}\)2+12=7), इसलिए नया खंड \(\sqrt{7}\) होगा। सही पिछले खंड को पहचानना जरूरी है। / Because (\(\sqrt{6}\)2+12=7), the new segment becomes \(\sqrt{7}\). Identifying the correct previous segment is necessary.
सूत्र में (n=12) रखने पर \(OP_{12}=\sqrt{13}\) मिलता है। सूचकांक और वर्गमूल के अंदर की संख्या में अंतर पर ध्यान दें। / Putting (n=12) in the formula gives \(OP_{12}=\sqrt{13}\). Pay attention to the difference between the index and the number under the root.
\(\sqrt{2}\) से \(\sqrt{10}\) तक वर्गमूल के अंदर संख्या (8) बढ़ती है, इसलिए (8) नए चरण चाहिए। हर चरण अंदर की संख्या को (1) बढ़ाता है। / From \(\sqrt{2}\) to \(\sqrt{10}\), the number under the root increases by (8), so (8) new steps are needed. Each step increases the inner number by (1).
हर नए समकोण त्रिभुज में (1) इकाई की लंब भुजा जोड़ी जाती है। इसी कारण अगला कर्ण अगले वर्गमूल को दर्शाता है। / In every new right triangle, a perpendicular side of (1) unit is added. This is why the next hypotenuse represents the next square root.
पिछली त्रिज्या का वर्ग (11-1=10) होगा, इसलिए वह \(\sqrt{10}\) थी। उल्टे प्रश्नों में (1) घटाएं। / The square of the previous radius is (11-1=10), so it was \(\sqrt{10}\). In reverse questions, subtract (1).
B. हर नए कर्ण का वर्ग पिछले कर्ण के वर्ग से (1) अधिक होता है/The square of each new hypotenuse is (1) more than the square of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में लंबाई नहीं बल्कि लंबाई का वर्ग (1) से बढ़ता है। इसी फर्क से कई कठिन प्रश्न हल होते हैं। / In the square root spiral, the length itself does not increase by (1); its square increases by (1). This difference helps solve many difficult questions.
(OQ-2=\(\sqrt{15}\)2+12=16) होगा। प्रश्न में \(OQ^2\) पूछा है, इसलिए उत्तर (16) है। / (OQ-2=\(\sqrt{15}\)2+12=16). Since the question asks for \(OQ^2\), the answer is (16).
क्रम \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}\) चलता है। इसलिए \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{4}\) के तुरंत बाद आता है। / The order is \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{5}\) comes immediately after \(\sqrt{4}\).
B. समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग होता है/Right triangles and Pythagoras theorem are used
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल की पूरी रचना समकोण त्रिभुजों पर आधारित है। पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण की लंबाई मिलती है। / The whole construction of the spiral is based on right triangles. Pythagoras theorem gives the length of the new hypotenuse.
पहला त्रिभुज \(\sqrt{2}\) देता है और पांचवां त्रिभुज \(\sqrt{6}\) देता है। इसलिए कुल (5) समकोण त्रिभुज बनते हैं। / The first triangle gives \(\sqrt{2}\), and the fifth triangle gives \(\sqrt{6}\). So, (5) right triangles are formed.
पहला त्रिभुज \(\sqrt{2}\), दूसरा \(\sqrt{3}\), तीसरा \(\sqrt{4}\), चौथा \(\sqrt{5}\) देता है। चरण संख्या में (1) जोड़ें। / The first triangle gives \(\sqrt{2}\), the second \(\sqrt{3}\), the third \(\sqrt{4}\), and the fourth \(\sqrt{5}\). Add (1) to the step number.
(\(\sqrt{12}\)2+12=13), इसलिए \(\sqrt{12}\) वाले कर्ण पर अगला लंब बनेगा। पिछले कर्ण को एक कम अंदर संख्या से पहचानें। / (\(\sqrt{12}\)2+12=13), so the next perpendicular is drawn on the hypotenuse \(\sqrt{12}\). Identify the previous hypotenuse by reducing the inner number by (1).
अगले चरण में (1) इकाई लंब जुड़ता है, इसलिए नई दूरी \(\sqrt{17+1}=\sqrt{18}\) होगी। वर्गमूल के अंदर की संख्या बढ़ती है। / In the next step, a perpendicular of (1) unit is added, so the new distance becomes \(\sqrt{17+1}=\sqrt{18}\). The number under the root increases.
लगातार कर्णों में वर्गमूल के अंदर की संख्याएं लगातार होती हैं। इसलिए \(\sqrt{9}\) और \(\sqrt{10}\) सही युग्म है। / For consecutive hypotenuses, the numbers under the roots are consecutive. Therefore, \(\sqrt{9}\) and \(\sqrt{10}\) form the correct pair.
ठीक पहले वाले चरण में वर्गमूल के अंदर की संख्या (1) कम होगी, इसलिए लंबाई \(\sqrt{19}\) है। क्रम को पीछे से पढ़ना भी सीखें। / In the immediately previous step, the number under the root is (1) less, so the length is \(\sqrt{19}\). Learn to read the sequence backward too.
B. दोनों परिमेय संख्याएं हैं/Both are rational numbers
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{4}=2\) और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए दोनों परिमेय हैं। सर्पिल परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार के वर्गमूल दिखा सकता है। / \(\sqrt{4}=2\) and \(\sqrt{9}=3\), so both are rational. The spiral can show both rational and irrational square roots.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव मान समाप्त नहीं होता। सर्पिल इसे ज्यामितीय रूप से ठीक दर्शाता है। / \(\sqrt{2}\) is irrational, so its decimal value does not terminate. The spiral represents it exactly geometrically.
नया कर्ण \(\sqrt{3+1}=\sqrt{4}\) होगा। प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज में \(1^2\) जोड़ा जाता है। / The new hypotenuse will be \(\sqrt{3+1}=\sqrt{4}\). Each new right triangle adds \(1^2\).
\(\sqrt{k+1}=\sqrt{21}\) से (k+1=21), इसलिए (k=20)। ऐसे प्रश्नों में वर्गमूल हटाकर अंदर की संख्याएं बराबर करें। / From \(\sqrt{k+1}=\sqrt{21}\), we get (k+1=21), so (k=20). In such questions, equate the numbers under the roots.
तब कर्ण \(\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\) होगा, इसलिए मानक सर्पिल नहीं बनेगा। शुरुआत में (OA=1) लेना जरूरी है। / Then the hypotenuse is \(\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\), so the standard spiral is not formed. It is necessary to start with (OA=1).
पहले \(OB^2=2\), फिर \(OC^2=2+1=3\)। प्रश्न वर्ग पूछता है, इसलिए उत्तर (3) है। / First \(OB^2=2\), then \(OC^2=2+1=3\). The question asks for the square, so the answer is (3).
A. वह पिछले कर्ण पर लंब होना चाहिए/It must be perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नया (1) इकाई खंड पिछले कर्ण पर लंब बनाया जाता है। यही सर्पिल की सही ज्यामितीय रचना है। / Every new (1) unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. This is the correct geometric construction of the spiral.
B. \(\sqrt{7}\) पर (1) इकाई लंब बनाना/Draw a perpendicular of (1) unit on \(\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
(\(\sqrt{7}\)2+12=8), इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{8}\) बनेगा। प्रक्रिया हमेशा पिछले वर्गमूल से शुरू होती है। / (\(\sqrt{7}\)2+12=8), so the new hypotenuse becomes \(\sqrt{8}\). The process always starts from the previous square root.
वर्गमूल सर्पिल में अगला त्रिभुज बनाने के लिए (PQ=1) इकाई रखा जाता है। इसी से \(OQ^2=m+1\) होता है। / In the square root spiral, (PQ=1) unit is used to form the next triangle. This makes \(OQ^2=m+1\).
क्योंकि नया (1) इकाई खंड पिछले कर्ण पर लंब होता है, इसलिए \(OQ^2=OP^2+1\)। सूत्र लिखते समय वर्ग और लंबाई अलग रखें। / Because the new (1) unit segment is perpendicular to the previous hypotenuse, \(OQ^2=OP^2+1\). Keep squares and lengths separate while writing the formula.
\(OQ^2=24+1=25\), इसलिए \(OQ=\sqrt{25}\)। कर्ण पूछे तो वर्गमूल लेना न भूलें। / \(OQ^2=24+1=25\), so \(OQ=\sqrt{25}\). If the hypotenuse is asked, do not forget to take the square root.
पहला त्रिभुज \(\sqrt{2}\) देता है, इसलिए \(\sqrt{12}\) के लिए क्रम (12-1=11) होगा। अंदर की संख्या से (1) घटाएं। / The first triangle gives \(\sqrt{2}\), so for \(\sqrt{12}\), the order is (12-1=11). Subtract (1) from the inner number.
(r)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{r+1}\) होता है। इसलिए (10)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{11}\) है। / The hypotenuse of the (r)th triangle is \(\sqrt{r+1}\). Therefore, the (10)th triangle has hypotenuse \(\sqrt{11}\).
वर्गों का अंतर (3-2=1) है। वर्गमूलों का अंतर और उनके वर्गों का अंतर अलग होते हैं। / The difference of the squares is (3-2=1). The difference of roots and the difference of their squares are different.
आरंभ (OA=1) से होता है और फिर कर्ण \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\) बनते हैं। क्रम में अंदर की संख्या लगातार बढ़ती है। / The start is (OA=1), and then the hypotenuses \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\) are formed. The number under the root increases continuously.
\(\sqrt{27}\) (26)वें त्रिभुज से बनता है, इसलिए (26) नए (1) इकाई लंब खंड लगते हैं। पहला (1) लंब \(\sqrt{2}\) बनाता है। / \(\sqrt{27}\) is formed by the (26)th triangle, so (26) new perpendicular segments of (1) unit are used. The first (1) unit perpendicular forms \(\sqrt{2}\).
\(\sqrt{16}=4\), इसलिए यह एक परिमेय लंबाई है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल तुरंत सरल कर लें। / \(\sqrt{16}=4\), so it is a rational length. Simplify square roots of perfect squares immediately.
लंबाई (3) के लिए कर्ण \(\sqrt{9}\) होना चाहिए। इसलिए यह \(\sqrt{9}\) वाले चरण पर मिलता है। / For length (3), the hypotenuse must be \(\sqrt{9}\). Therefore, it is obtained at the \(\sqrt{9}\) step.
लगातार कर्णों के बीच बनने वाली नई लंब भुजा (1) इकाई होती है। इसे \(PQ^2=31-30=1\) से भी देखा जा सकता है। / The new perpendicular side between consecutive hypotenuses is (1) unit. This can also be seen from \(PQ^2=31-30=1\).
C. \(\sqrt{14}\) के बाद \(\sqrt{16}\) बनाना/Constructing \(\sqrt{16}\) after \(\sqrt{14}\)
Explanation
Simple Explanation
एक चरण में अंदर की संख्या केवल (1) बढ़ती है, इसलिए \(\sqrt{14}\) के बाद \(\sqrt{15}\) आना चाहिए। बीच का चरण छोड़ना गलत है। / In one step, the number under the root increases only by (1), so \(\sqrt{15}\) should come after \(\sqrt{14}\). Skipping a step is incorrect.
A. खंड समानांतर नहीं, लंब होना चाहिए/The segment should be perpendicular, not parallel
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में नया (1) इकाई खंड पिछले कर्ण पर लंब बनाया जाता है। समानांतर खंड से पाइथागोरस प्रमेय लागू नहीं होगा। / In a square root spiral, the new (1) unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. A parallel segment will not allow Pythagoras theorem to apply.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) है, जो अपरिमेय है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), which is irrational. Square roots of perfect squares are rational.
यह संबंध पाइथागोरस प्रमेय जैसा है, इसलिए (OP) और (PQ) लंब होंगे। वर्गमूल सर्पिल में यही समकोण रचना जरूरी है। / This relation matches Pythagoras theorem, so (OP) and (PQ) are perpendicular. This right-angle construction is essential in the square root spiral.
A. क्रम \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) स्पष्ट हो जाता है/The order \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) becomes clear
Explanation
Simple Explanation
\(1=\sqrt{1}\) मानने से पूरा क्रम स्पष्ट दिखता है। फिर हर नए चरण में अंदर की संख्या (1) बढ़ती है। / Taking \(1=\sqrt{1}\) makes the whole sequence clear. Then the inner number increases by (1) at each step.
B. वर्गों में बराबर (1) की वृद्धि/Equal increase of (1) in squares
Explanation
Simple Explanation
कर्णों के वर्ग (2,3,4) हैं, जिनमें (1) की वृद्धि है। वास्तविक लंबाइयों में समान अंतर नहीं होता। / The squares of the hypotenuses are (2,3,4), which increase by (1). The actual lengths do not have equal differences.
सटीक मान \(\sqrt{5}\) ही है, जबकि (2.236) केवल अनुमान है। परीक्षा में सटीक वर्गमूल रूप को प्राथमिकता दें। / The exact value is \(\sqrt{5}\), while (2.236) is only an approximation. In exams, prefer the exact square root form.
\(\sqrt{6}\) पिछले कर्ण \(\sqrt{5}\) और नई लंब भुजा (1) से बनता है। इसलिए संबंध (\(\sqrt{5}\)2+12=6) सही है। / \(\sqrt{6}\) is formed from the previous hypotenuse \(\sqrt{5}\) and the new perpendicular side (1). Therefore, (\(\sqrt{5}\)2+12=6) is correct.
\(\sqrt{2}\) पहला त्रिभुज देता है, इसलिए \(\sqrt{n}\) तक त्रिभुजों की संख्या (n-1) होगी। सामान्य सूत्र लिखते समय आरंभिक पद याद रखें। / \(\sqrt{2}\) is given by the first triangle, so up to \(\sqrt{n}\), the number of triangles is (n-1). Remember the starting term while writing a general formula.
पहला कर्ण (1) और (1) से बनकर \(\sqrt{2}\) होता है। \(\sqrt{4}\) बाद के चरण में मिलता है, पहले कर्ण के रूप में नहीं। / The first hypotenuse is formed from (1) and (1), giving \(\sqrt{2}\). \(\sqrt{4}\) appears in a later step, not as the first hypotenuse.
अंतिम \(\sqrt{32}\) से ठीक पहले \(\sqrt{31}\) बनता है। सर्पिल में क्रम कोई संख्या नहीं छोड़ता। / Just before the final \(\sqrt{32}\), \(\sqrt{31}\) is formed. The spiral does not skip any number in order.
A. वर्गमूलों को ज्यामितीय रूप से निरूपित करना/To represent square roots geometrically
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) जैसे वर्गमूलों को ज्यामितीय रूप से दिखाता है। यह संख्या रेखा और अपरिमेय संख्याओं को समझने में मदद करता है। / The square root spiral represents square roots like \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) geometrically. It helps in understanding the number line and irrational numbers.
नए कर्ण का वर्ग (35+1=36) होगा, इसलिए \(OQ=\sqrt{36}\)। कर्ण पूछने पर वर्गमूल रूप लिखें। / The square of the new hypotenuse is (35+1=36), so \(OQ=\sqrt{36}\). When the hypotenuse is asked, write the square root form.
पिछले चरण में वर्गमूल के अंदर की संख्या (1) कम होती है। इसलिए \(\sqrt{42}\) से पहले \(\sqrt{41}\) होगा। / In the previous step, the number under the root is (1) less. Therefore, \(\sqrt{41}\) comes before \(\sqrt{42}\).
(r)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{r+1}\) होता है। इसलिए (18)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{19}\) है। / The hypotenuse of the (r)th triangle is \(\sqrt{r+1}\). Therefore, the (18)th triangle has hypotenuse \(\sqrt{19}\).
\(\sqrt{2}\) पहला त्रिभुज देता है, इसलिए \(\sqrt{48}\) तक त्रिभुजों की संख्या (48-1=47) होगी। गणना में आरंभिक \(\sqrt{1}\) को अलग रखें। / \(\sqrt{2}\) is given by the first triangle, so up to \(\sqrt{48}\), the number of triangles is (48-1=47). Keep the initial \(\sqrt{1}\) separate in counting.
लगातार कर्णों में वर्गमूल के अंदर की संख्याएं (1) के अंतर से बढ़ती हैं। इसलिए \(\sqrt{22},\sqrt{23},\sqrt{24}\) सही क्रम है। / In consecutive hypotenuses, the numbers under the roots increase by (1). Therefore, \(\sqrt{22},\sqrt{23},\sqrt{24}\) is the correct order.
पाइथागोरस प्रमेय से \(OQ^2=63+1=64\)। प्रश्न \(OQ^2\) पूछता है, इसलिए उत्तर (64) है। / By Pythagoras theorem, \(OQ^2=63+1=64\). The question asks for \(OQ^2\), so the answer is (64).
(\(\sqrt{30}\)2+12=31), इसलिए \(\sqrt{30}\) पर लंब बनता है। अगले वर्गमूल के लिए पिछले अंदर मान को पहचानें। / (\(\sqrt{30}\)2+12=31), so the perpendicular is drawn on \(\sqrt{30}\). For the next square root, identify the previous inner value.
A. लंबाइयों का अंतर (1) नहीं, उनके वर्गों का अंतर (1) है/The difference of lengths is not (1), the difference of their squares is (1)
Explanation
Simple Explanation
(\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{10}\)2=1), लेकिन \(\sqrt{11}-\sqrt{10}\neq1\)। परीक्षा में लंबाई और वर्ग में अंतर समझें। / (\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{10}\)2=1), but \(\sqrt{11}-\sqrt{10}\neq1\). In exams, understand the difference between length and square.
\(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\)। पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालना सरल करने का अच्छा तरीका है। / \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\). Taking out the perfect square factor is a good way to simplify.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। इसलिए \(\sqrt{50}\) अपरिमेय संख्या है। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational. Therefore, \(\sqrt{50}\) is an irrational number.
\(\sqrt{49}=7\), जो प्राकृतिक संख्या है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल प्राकृतिक संख्या हो सकते हैं। / \(\sqrt{49}=7\), which is a natural number. Square roots of perfect squares can be natural numbers.
अगले चरण में अंदर की संख्या (1) बढ़ती है, इसलिए \(\sqrt{81}\) बनेगा। सर्पिल क्रम में कोई संख्या नहीं छोड़ता। / In the next step, the inner number increases by (1), so \(\sqrt{81}\) is formed. The spiral does not skip numbers in order.
\(OQ^2=a+1\), इसलिए \(OQ=\sqrt{a+1}\)। सामान्य रूप में भी पाइथागोरस प्रमेय ही लागू होता है। / \(OQ^2=a+1\), so \(OQ=\sqrt{a+1}\). Even in general form, Pythagoras theorem applies.
B. \(\sqrt{98}\) और \(\sqrt{100}\)/\(\sqrt{98}\) and \(\sqrt{100}\)
Explanation
Simple Explanation
क्रम में अंदर की संख्या (1) घटती और (1) बढ़ती है। इसलिए \(\sqrt{99}\) के पहले \(\sqrt{98}\) और बाद में \(\sqrt{100}\) होगा। / In order, the inner number decreases by (1) before and increases by (1) after. So \(\sqrt{98}\) comes before \(\sqrt{99}\), and \(\sqrt{100}\) comes after it.
\(\sqrt{121}=11\), क्योंकि \(11^2=121\)। पूर्ण वर्ग पहचानना समय बचाता है। / \(\sqrt{121}=11\), because \(11^2=121\). Identifying perfect squares saves time.
हर नए चरण में अंदर की संख्या (1) बढ़ती है, इसलिए (8+5=13)। अंतिम कर्ण \(\sqrt{13}\) होगा। / At each new step, the inner number increases by (1), so (8+5=13). The final hypotenuse is \(\sqrt{13}\).
(7) चरण पीछे जाने पर (29-7=22) मिलता है। इसलिए शुरुआत का कर्ण \(\sqrt{22}\) था। / Going (7) steps backward gives (29-7=22). Therefore, the starting hypotenuse was \(\sqrt{22}\).
\(\sqrt{54}=\sqrt{9\times6}=3\sqrt{6}\)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनें। / \(\sqrt{54}=\sqrt{9\times6}=3\sqrt{6}\). Choose the greatest perfect square factor.
B. पिछले कर्ण पर (1) इकाई का लंब बनाना/Drawing a (1) unit perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
मुख्य रचना पिछले कर्ण पर (1) इकाई का लंब बनाने पर निर्भर करती है। इसी से अगला समकोण त्रिभुज बनता है। / The main construction depends on drawing a (1) unit perpendicular to the previous hypotenuse. This creates the next right triangle.
B. नहीं, दिशा बदलती है क्योंकि प्रत्येक नया लंब पिछले कर्ण पर बनता है/No, the direction changes because each new perpendicular is drawn on the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नए चरण में लंब पिछले कर्ण पर बनता है, इसलिए दिशा धीरे-धीरे बदलती है। सर्पिल इसी घुमाव से बनता है। / At each new step, the perpendicular is drawn on the previous hypotenuse, so the direction gradually changes. The spiral is formed by this turning.
B. नहीं, क्योंकि पाइथागोरस प्रमेय के लिए समकोण जरूरी है/No, because a right angle is necessary for Pythagoras theorem
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{16}\) तभी निश्चित होगा जब नया खंड पिछले कर्ण पर लंब हो। समकोण के बिना पाइथागोरस प्रमेय नहीं लगेगा। / \(\sqrt{16}\) is certain only when the new segment is perpendicular to the previous hypotenuse. Without a right angle, Pythagoras theorem cannot be applied.
अंदर की संख्या (3) से (7) तक (4) बढ़ती है। इसलिए (4) नए चरण चाहिए। / The inner number increases from (3) to (7) by (4). Therefore, (4) new steps are needed.
\(\sqrt{90}=\sqrt{9\times10}=3\sqrt{10}\)। पूर्ण वर्ग (9) को बाहर निकालें। / \(\sqrt{90}=\sqrt{9\times10}=3\sqrt{10}\). Take the perfect square (9) outside.
(\(\sqrt{26}\)2=26) और \(1^2=1\), इसलिए योग (27) है। यही \(\sqrt{27}\) बनाने का चरण है। / (\(\sqrt{26}\)2=26) and \(1^2=1\), so the sum is (27). This is the step to form \(\sqrt{27}\).
अगला कर्ण \(\sqrt{101}\) होगा, जो सरल पूर्णांक नहीं है। \(\sqrt{100}=10\) के बाद भी क्रम \(\sqrt{101}\) से चलता है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{101}\), which is not a simple integer. Even after \(\sqrt{100}=10\), the sequence continues with \(\sqrt{101}\).
A. सर्पिल से मिली दूरी को कंपास से संख्या रेखा पर चिह्नित किया जा सकता है/The distance obtained from the spiral can be marked on the number line using a compass
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल सटीक दूरी देता है, जिसे कंपास से संख्या रेखा पर स्थानांतरित किया जा सकता है। यह अपरिमेय संख्याओं को दिखाने में उपयोगी है। / The spiral gives an exact distance that can be transferred to the number line with a compass. It is useful for showing irrational numbers.
(3) चरण पहले जाने पर (65-3=62) मिलता है। इसलिए कर्ण \(\sqrt{62}\) था। / Going (3) steps back gives (65-3=62). Therefore, the hypotenuse was \(\sqrt{62}\).
C. हर नए लंब खंड की लंबाई (2)/Length of every new perpendicular segment is (2)
Explanation
Simple Explanation
मानक सर्पिल में हर नया लंब खंड (1) इकाई का होता है। (2) इकाई लेने से अलग क्रम बनेगा। / In the standard spiral, every new perpendicular segment is (1) unit long. Taking (2) units would create a different sequence.
\(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}\) भी सही है, लेकिन \(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}\) से और बड़ा पूर्ण वर्ग नहीं निकलता। विकल्पों में \(2\sqrt{30}\) नहीं सही दिया गया है, इसलिए ध्यान से जांचें। / \(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}\) is simplest, while \(4\sqrt{15}\) squares to (240). Check each option carefully.
\(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}\)। विकल्पों को वर्ग करके भी जांच सकते हैं। / \(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}\). You can also check options by squaring them.
\(\sqrt{2}\) पहला कर्ण है, इसलिए (25)वां कर्ण \(\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\) होगा। गिनती का आरंभ स्पष्ट रखें। / \(\sqrt{2}\) is the first hypotenuse, so the (25)th hypotenuse is \(\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\). Keep the starting point of counting clear.
(\(\sqrt{12}\)2+12=13), इसलिए परिणाम \(\sqrt{13}\) होगा। \(\sqrt{14}\) के लिए पहले \(\sqrt{13}\) चाहिए। / (\(\sqrt{12}\)2+12=13), so the result will be \(\sqrt{13}\). To get \(\sqrt{14}\), \(\sqrt{13}\) is needed first.
B. \(\sqrt{144}\) परिमेय है और \(\sqrt{145}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{144}\) is rational and \(\sqrt{145}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{144}=12\) परिमेय है, जबकि (145) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{145}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{144}=12\) is rational, while (145) is not a perfect square. Therefore, \(\sqrt{145}\) is irrational.
अंदर की संख्या (40) से (47) तक (7) बढ़ती है। इसलिए (7) नए लंब खंड बनेंगे। / The inner number increases from (40) to (47) by (7). Therefore, (7) new perpendicular segments will be drawn.
पहले समकोण त्रिभुज की दोनों लंब भुजाएं (1) और (1) होती हैं। इसलिए कर्ण \(\sqrt{2}\) होता है। / The first right triangle has perpendicular sides (1) and (1). Therefore, the hypotenuse is \(\sqrt{2}\).
A. सर्पिल में मिली दूरी को कंपास से संख्या रेखा पर स्थानांतरित करें/Transfer the distance obtained in the spiral to the number line using a compass
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल \(\sqrt{6}\) की सटीक ज्यामितीय दूरी देता है। कंपास से वही दूरी संख्या रेखा पर रखी जा सकती है। / The spiral gives the exact geometric distance of \(\sqrt{6}\). The same distance can be placed on the number line using a compass.
\(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\)। बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड से सरल रूप जल्दी मिलता है। / \(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\). A large perfect square factor gives the simplified form quickly.
\(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}\) कुल (4) कर्ण हैं। गिनती में \(\sqrt{2}\) को पहला कर्ण मानें। / \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}\) are (4) hypotenuses in total. Count \(\sqrt{2}\) as the first hypotenuse.
\(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\)। पूर्ण वर्ग (25) को बाहर निकालें। / \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\). Take the perfect square (25) outside.
\(\sqrt{2}\) से \(\sqrt{9}\) तक (2,3,4,5,6,7,8,9) कुल (8) कर्ण हैं। \(\sqrt{4}\) और \(\sqrt{9}\) पूर्णांक लंबाइयां भी देते हैं। / From \(\sqrt{2}\) to \(\sqrt{9}\), the inner numbers (2,3,4,5,6,7,8,9) give (8) hypotenuses. \(\sqrt{4}\) and \(\sqrt{9}\) also give integer lengths.
\(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\)। मूल लंबाई वही है, केवल रूप सरल किया गया है। / \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\). The length is the same, only the form is simplified.
नया कर्ण \(\sqrt{18+1}=\sqrt{19}\) होगा। (19) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए यही सरल रूप है। / The new hypotenuse is \(\sqrt{18+1}=\sqrt{19}\). Since (19) is not a perfect square, this is already the simplest form.
\(\sqrt{4}=2\) है, जो परिमेय संख्या है। सर्पिल में बने सभी वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते। / \(\sqrt{4}=2\), which is a rational number. Not all square roots formed in the spiral are irrational.
(m)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{m+1}\) होता है। इसलिए (m+1=46) से (m=45)। / The hypotenuse of the (m)th triangle is \(\sqrt{m+1}\). Thus (m+1=46), so (m=45).
\(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), और \(\sqrt{16}=4\) पूर्णांक हैं। इसलिए कुल (3) पूर्णांक लंबाइयां मिलेंगी। / \(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), and \(\sqrt{16}=4\) are integers. Therefore, (3) integer lengths are obtained.
A. \(अगला कर्ण (=\sqrt{\)पिछले कर्ण का वर्ग+1})/\(Next hypotenuse (=\sqrt{\)square of previous hypotenuse+1})
Explanation
Simple Explanation
\(पाइथागोरस प्रमेय से अगला कर्ण (\sqrt{(\)पिछला कर्ण)2+1}) होता है। इसलिए वर्ग और वर्गमूल दोनों सही जगह होने चाहिए। \(/ By Pythagoras theorem, the next hypotenuse is (\sqrt{(\)previous hypotenuse\()^2+1}). So both square and square root must be in the correct places.\)
लंबाई (5) होने पर वर्ग (25) होगा, इसलिए कर्ण \(\sqrt{25}\) के रूप में दिखेगा। पूर्णांक लंबाइयों को उनके वर्गमूल रूप से जोड़ें। / If the length is (5), its square is (25), so the hypotenuse appears as \(\sqrt{25}\). Connect integer lengths with their square root forms.
वर्गमूल सर्पिल में हर नया कर्ण समकोण त्रिभुज से बनता है। इसलिए इसका मुख्य आधार पाइथागोरस प्रमेय है। / In a square root spiral, every new hypotenuse is formed using a right triangle. Therefore, its main basis is Pythagoras theorem.
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \( \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \) है। परीक्षा में पहला त्रिभुज हमेशा \( \sqrt{2} \) से जोड़ें। / By Pythagoras, the hypotenuse is \( \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \). In exams, connect the first triangle with \( \sqrt{2} \).
नई त्रिज्या ( \sqrt{\(\sqrt{8}\)2+12}=\sqrt{9}=3 ) होगी। याद रखें हर नए चरण में वर्ग के अंदर (1) जुड़ता है। / The new radius is ( \sqrt{\(\sqrt{8}\)2+12}=\sqrt{9}=3 ). Remember that each new step adds (1) inside the square root.
A. त्रिज्या पर लंबवत (1) इकाई/Perpendicular unit segment of (1)
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{5} \) के लिए \( \sqrt{4} \) पर (1) इकाई लंबवत जोड़ते हैं। निर्माण में लंबवतता सबसे जरूरी संकेत है। / For \( \sqrt{5} \), a unit segment (1) is drawn perpendicular to \( \sqrt{4} \). Perpendicularity is the key construction clue.
हर नए समकोण त्रिभुज में बाहरी भुजा (1) इकाई होती है। इसी से \(OP_{n+1}=\sqrt{n+1}\) मिलता है। / Each new right triangle uses an outer side of (1) unit. This gives \(OP_{n+1}=\sqrt{n+1}\).
B. अगली त्रिज्या निश्चित रूप से \( \sqrt{8} \) नहीं मानी जा सकती/The next radius cannot be surely taken as \( \sqrt{8} \)
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय के लिए समकोण जरूरी है। लंबवत भुजा न हो तो \( \sqrt{n+1} \) की गारंटी नहीं रहती। / A right angle is necessary for Pythagoras. Without a perpendicular side, \( \sqrt{n+1} \) is not guaranteed.
\( \sqrt{2} \) से \( \sqrt{10} \) तक (2) से (10) जाने में (8) वृद्धि होती हैं। हर वृद्धि के लिए एक नया इकाई रेखाखंड लगता है। / From \( \sqrt{2} \) to \( \sqrt{10} \), the inside number increases (8) times. Each increase needs one new unit segment.
अगले त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ \( \sqrt{6} \) और (1) हैं। क्षेत्रफल \( \frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times 1=\frac{\sqrt{6}}{2} \) होगा। / The next triangle has perpendicular sides \( \sqrt{6} \) and (1). Its area is \( \frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times 1=\frac{\sqrt{6}}{2} \).
(13) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \( \sqrt{13} \) अपरिमेय है। वर्गमूल सर्पिल ऐसे वर्गमूलों को रचनात्मक रूप से दिखाता है। / Since (13) is not a perfect square, \( \sqrt{13} \) is irrational. The square root spiral shows such square roots geometrically.
\(OP_{k+1}=\sqrt{k+1}\), इसलिए (k+1=17) और (k=16)। सूचकांक में एक की वृद्धि ध्यान रखें। / Since \(OP_{k+1}=\sqrt{k+1}\), (k+1=17) and (k=16). Track the one-step increase carefully.
क्योंकि \( \sqrt{9}=3 \), इसलिए दूरी (3) इकाई है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल को तुरंत सरल करें। / Because \( \sqrt{9}=3 \), the distance is (3) units. Simplify square roots of perfect squares immediately.
नया समकोण त्रिभुज \(OP_n\) और (1) से बनता है। इसलिए कर्ण के वर्ग में (1) जुड़ता है। / The new right triangle is formed using \(OP_n\) and (1). Hence the square of the hypotenuse increases by (1).
नई लंबाई \( \sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26} \) है। लंबाई (1) सीधे नहीं जुड़ती, वर्गों में जुड़ती है। / The new length is \( \sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26} \). The length (1) is not added directly; squares are added.
वर्गों का अंतर (21-20=1) है। यही अंतर हर लगातार चरण में स्थिर रहता है। / The difference of squares is (21-20=1). This difference stays constant at each consecutive step.
\( \sqrt{1} \) से \( \sqrt{11} \) तक कुल (11) बिंदु होते हैं। गिनती में आरंभिक \( \sqrt{1} \) को भी शामिल करें। / From \( \sqrt{1} \) to \( \sqrt{11} \), there are (11) points. Include the initial \( \sqrt{1} \) in counting.
\( \sqrt{18} \) पिछले कर्ण \( \sqrt{17} \) पर (1) लंबवत जोड़कर बनता है। क्रम में हमेशा पिछले वर्गमूल को देखें। / \( \sqrt{18} \) is formed by adding a perpendicular (1) to the previous hypotenuse \( \sqrt{17} \). Always check the previous square root in the sequence.
कर्ण ( \sqrt{\(\sqrt{11}\)2+12}=\sqrt{12} ) है। चरण का नाम नए कर्ण से पहचाना जाता है। / The hypotenuse is ( \sqrt{\(\sqrt{11}\)2+12}=\sqrt{12} ). The step is identified by the new hypotenuse.
B. दोनों में नई बाहरी भुजा (1) इकाई और लंबवत है/The new outer side is (1) unit and perpendicular in both
Explanation
Simple Explanation
हर नए चरण में नई जोड़ी गई भुजा (1) इकाई और लंबवत होती है। पुरानी त्रिज्या बदलती रहती है। / At every new step, the added side is (1) unit and perpendicular. The old radius keeps changing.
क्योंकि (25<27<36), इसलिए \(5<\sqrt{27}<6\)। पूर्ण वर्गों से अनुमान लगाना तेज तरीका है। / Since (25<27<36), \(5<\sqrt{27}<6\). Estimating with perfect squares is a quick method.
\( \sqrt{16}=4 \), इसलिए यह पूर्णांक दूरी (4) पर आता है। पूर्ण वर्गों पर सर्पिल के बिंदु पूर्णांक दूरी देते हैं। / \( \sqrt{16}=4 \), so it lies at integer distance (4). Points for perfect squares give integer distances in the spiral.
C. क्योंकि यह \( \sqrt{n} \) जैसी दूरियों को रचनात्मक रूप से देता है/Because it geometrically gives distances like \( \sqrt{n} \)
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल \( \sqrt{n} \) लंबाई वाले कर्ण बनाता है। जब (n) पूर्ण वर्ग नहीं होता, तब ऐसी लंबाइयाँ अपरिमेय होती हैं। / The spiral constructs hypotenuse lengths \( \sqrt{n} \). When (n) is not a perfect square, such lengths are irrational.
नया कर्ण \( \sqrt{25}=5 \) है। यहाँ उत्तर ठीक (5) है, केवल निकट नहीं। / The new hypotenuse is \( \sqrt{25}=5 \). Here the answer is exactly (5), not just close.
A. अगला कर्ण \( \sqrt{7} \) होगा/The next hypotenuse is \( \sqrt{7} \)
Explanation
Simple Explanation
अगला कर्ण ( \sqrt{\(\sqrt{6}\)2+12}=\sqrt{7} ) है। लंबाइयाँ नहीं, वर्ग जोड़े जाते हैं। / The next hypotenuse is ( \sqrt{\(\sqrt{6}\)2+12}=\sqrt{7} ). Squares are added, not lengths.
पुराना कर्ण \( \sqrt{2} \) नई भुजा (1) के साथ समकोण बनाता है। नया कर्ण \( \sqrt{3} \) होता है। / The old hypotenuse \( \sqrt{2} \) makes a right angle with the new side (1). The new hypotenuse is \( \sqrt{3} \).
हर चरण में वर्ग के अंदर संख्या (1) बढ़ती है। इसलिए \( \sqrt{30} \) के बाद \( \sqrt{31} \) बनेगा। / At each step, the number under the square root increases by (1). Therefore, after \( \sqrt{30} \), \( \sqrt{31} \) is formed.
यदि कर्णों को पहले बने समकोण त्रिभुज से गिनें, तो क्रम \( \sqrt{2} \) से शुरू होता है। आधार \( \sqrt{1} \) प्रारंभिक त्रिज्या है। / If hypotenuses are counted from the first right triangle, the sequence starts at \( \sqrt{2} \). The base \( \sqrt{1} \) is the initial radius.
\( \sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2} \) है। सरलीकरण में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालें। / \( \sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2} \). Extract the largest perfect square while simplifying.
नया कर्ण \( \sqrt{36}=6 \) होगा, जो (6) के बराबर है। दिए विकल्पों में सही जानकारी के अनुसार यह (6) और (7) वाले क्षेत्र से जुड़ता है। / The new hypotenuse is \( \sqrt{36}=6 \), exactly (6). Among the given options, it is associated with the (6) and (7) range.
\( \sqrt{15} \) के लिए पिछली त्रिज्या \( \sqrt{14} \) होती है और नई भुजा (1) होती है। यही क्रम सर्पिल की पहचान है। / For \( \sqrt{15} \), the previous radius is \( \sqrt{14} \) and the new side is (1). This sequence identifies the spiral.
\(OP_{n+3}^2=n+3\) और \(OP_n^2=n\), इसलिए अंतर (3) है। वर्गों पर काम करने से प्रश्न आसान होता है। / \(OP_{n+3}^2=n+3\) and \(OP_n^2=n\), so the difference is (3). Working with squares makes the question easier.
\(2\sqrt{3}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{12}\) है। इसलिए यह \( \sqrt{12} \) चरण पर मिलता है। / \(2\sqrt{3}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{12}\). So it appears at the \( \sqrt{12} \) step.
\( \sqrt{40}=\sqrt{4\times 10}=2\sqrt{10} \) है। पूर्ण वर्ग (4) बाहर निकलता है। / \( \sqrt{40}=\sqrt{4\times 10}=2\sqrt{10} \). The perfect square (4) comes outside.
\(36=6^2\) और \(49=7^2\), इसलिए \(6<\sqrt{48}<7\)। पूर्ण वर्गों की तुलना हमेशा भरोसेमंद रहती है। / Since \(36=6^2\) and \(49=7^2\), \(6<\sqrt{48}<7\). Comparing with perfect squares is always reliable.
B. \(OP_4=\sqrt{4}\) और दूरी (2) इकाई है/\(OP_4=\sqrt{4}\) and the distance is (2) units
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \( \sqrt{4}=2 \), इसलिए \(OP_4\) की दूरी (2) है। सूचकांक और दूरी को अलग-अलग समझें। / Because \( \sqrt{4}=2 \), the distance \(OP_4\) is (2). Understand the index and the distance separately.
\( \sqrt{63}=\sqrt{9\times 7}=3\sqrt{7} \) है। पहले सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग पहचानें। / \( \sqrt{63}=\sqrt{9\times 7}=3\sqrt{7} \). Identify the largest perfect square first.
वर्गों का अंतर (13-5=8) है। वर्गमूलों के वर्ग लेने पर अंदर की संख्या मिलती है। / The difference of squares is (13-5=8). Squaring square roots gives the number inside.
\( \sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2} \), इसलिए (a=6)। गुणनखंड में पूर्ण वर्ग ढूँढें। / \( \sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2} \), so (a=6). Look for a perfect-square factor.
D. क्योंकि ( \(\sqrt{n}\)2+12=n+1 )/Because ( \(\sqrt{n}\)2+12=n+1 )
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण का वर्ग (n+1) होता है। इसलिए नया कर्ण \( \sqrt{n+1} \) है। / By Pythagoras, the square of the new hypotenuse is (n+1). Therefore the new hypotenuse is \( \sqrt{n+1} \).
(64<80<81), इसलिए \(8<\sqrt{80}<9\)। पूर्ण वर्गों को याद रखना ऐसे प्रश्नों में मदद करता है। / Since (64<80<81), \(8<\sqrt{80}<9\). Remembering perfect squares helps in such questions.
\( \sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5} \) है। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग (9) निकालें। / \( \sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5} \). Extract the largest perfect square (9).
\( \sqrt{99} \) लगभग (10) से थोड़ा कम है क्योंकि (99) संख्या (100) के पास है। पूर्ण वर्ग (100) से तुलना करें। / \( \sqrt{99} \) is slightly less than (10) because (99) is close to (100). Compare with the perfect square (100).
\(OP_b^2=b\) और \(OP_a^2=a\), इसलिए अंतर (b-a=5) है। वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग लें। / \(OP_b^2=b\) and \(OP_a^2=a\), so the difference is (b-a=5). Square the lengths to remove square roots.
पूर्णांक दूरी पूर्ण वर्गों पर मिलती है और (28) के बाद अगला पूर्ण वर्ग (36) है। इसलिए अगली पूर्णांक दूरी \( \sqrt{36}=6 \) पर मिलेगी। / Integer distances occur at perfect squares, and the next perfect square after (28) is (36). So the next integer distance is at \( \sqrt{36}=6 \).
B. यह (5) और (6) के बीच है/It is between (5) and (6)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि (25<32<36), इसलिए \(5<\sqrt{32}<6\)। हमेशा नजदीकी पूर्ण वर्गों से तुलना करें। / Because (25<32<36), \(5<\sqrt{32}<6\). Always compare with nearby perfect squares.
समकोण त्रिभुज में ( \(\sqrt{7}\)2+12=8 ) होता है। यह सीधे पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग है। / In the right triangle, ( \(\sqrt{7}\)2+12=8 ). This is a direct use of Pythagoras theorem.
\( \sqrt{17} \) संख्या (4) के पास है क्योंकि (17), (16) से केवल (1) अधिक है। पूर्ण वर्ग के सबसे नजदीक संख्या देखें। / \( \sqrt{17} \) is close to (4) because (17) is only (1) more than (16). Look for the number closest to a perfect square.
लगातार त्रिज्याएँ \( \sqrt{n} \), \( \sqrt{n+1} \), \( \sqrt{n+2} \) होती हैं। इनके वर्ग (n,n+1,n+2) हैं। / Consecutive radii are \( \sqrt{n} \), \( \sqrt{n+1} \), and \( \sqrt{n+2} \). Their squares are (n,n+1,n+2).
\( \sqrt{108}=\sqrt{36\times 3}=6\sqrt{3} \) है। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग (36) चुनें। / \( \sqrt{108}=\sqrt{36\times 3}=6\sqrt{3} \). Choose the largest perfect square (36).
\( \sqrt{121}=11 \), इसलिए दूरी (11) इकाई होगी। पूर्ण वर्ग आने पर वर्गमूल पूर्णांक बन जाता है। / \( \sqrt{121}=11 \), so the distance will be (11) units. A perfect square gives an integer square root.
