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C. परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ/Rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ आती हैं। परीक्षा में वास्तविक संख्या रेखा की पूरी संख्या प्रणाली याद रखें। / Real numbers include both rational and irrational numbers. In exams remember the whole number system on the real number line.
\( \sqrt{5} \) अपरिमेय है और हर अपरिमेय संख्या वास्तविक होती है। वास्तविक संख्या रेखा पर इसे दिखाया जा सकता है। / \( \sqrt{5} \) is irrational and every irrational number is real. It can be shown on the real number line.
B. हर प्राकृतिक संख्या वास्तविक संख्या होती है/Every natural number is a real number
Explanation
Simple Explanation
प्राकृतिक संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का भाग हैं। बड़ी संख्या प्रणाली में छोटे समूह शामिल हो सकते हैं। / Natural numbers are a part of real numbers. Smaller sets can be included in a larger number system.
\( \sqrt{16}=4 \) है और (4) परिमेय संख्या है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। / \( \sqrt{16}=4 \), and (4) is rational. The square root of a perfect square is rational.
D. यह अपरिमेय वास्तविक संख्या है/It is an irrational real number
Explanation
Simple Explanation
(7) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \( \sqrt{7} \) अपरिमेय है। फिर भी यह वास्तविक संख्या है। / (7) is not a perfect square, so \( \sqrt{7} \) is irrational. Still, it is a real number.
\( \frac{-3}{8} \) दो पूर्णांकों का अनुपात है और हर शून्य नहीं है। इसलिए यह परिमेय और वास्तविक दोनों है। / \( \frac{-3}{8} \) is a ratio of two integers with non-zero denominator. So it is both rational and real.
(0.625) समाप्त दशमलव है इसलिए इसे भिन्न में बदला जा सकता है। समाप्त दशमलव परिमेय होते हैं। / (0.625) is a terminating decimal, so it can be converted into a fraction. Terminating decimals are rational.
\(0.\overline{6}\) आवर्ती दशमलव है इसलिए यह परिमेय है। हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है। / \(0.\overline{6}\) is a repeating decimal, so it is rational. Every rational number is also real.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। फिर भी यह वास्तविक संख्या रेखा पर स्थित होता है। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Still, it lies on the real number line.
B. क्योंकि हर शून्य है/Because the denominator is zero
Explanation
Simple Explanation
शून्य से भाग परिभाषित नहीं होता। वास्तविक संख्या बनने के लिए संख्या परिभाषित होनी चाहिए। / Division by zero is undefined. To be a real number, the number must be defined.
( -12 ) पूर्णांक है और हर पूर्णांक वास्तविक संख्या होता है। पूर्णांक को \( \frac{p}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है। / ( -12 ) is an integer and every integer is a real number. An integer can be written as \( \frac{p}{1} \).
प्राकृतिक संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का उपसमूह हैं। संख्या प्रणाली को उपसमूह के रूप में याद करें। / Natural numbers are a subset of real numbers. Remember the number system as nested sets.
\( \sqrt{25}=5 \) क्योंकि \(5^2=25\)। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल जल्दी पहचानें। / \( \sqrt{25}=5 \) because \(5^2=25\). Identify square roots of perfect squares quickly.
\( \frac{3}{4}=0.75 \) है जो (0) और (1) के बीच है। तुलना के लिए दशमलव रूप उपयोगी हो सकता है। / \( \frac{3}{4}=0.75 \), which lies between (0) and (1). Decimal form can help in comparison.
B. ( -3 ) और ( -2 ) के बीच/Between ( -3 ) and ( -2 )
Explanation
Simple Explanation
( -2.5 ) ऋणात्मक है और ( -3 ) तथा ( -2 ) के बीच आता है। ऋणात्मक संख्याओं में बाईं दिशा ध्यान रखें। / ( -2.5 ) is negative and lies between ( -3 ) and ( -2 ). Be careful with the left direction for negative numbers.
\(1^2<2<2^2\) इसलिए \( \sqrt{2} \) (1) और (2) के बीच है। वर्गों की तुलना से वर्गमूल का स्थान मिलता है। / Since \(1^2<2<2^2\), \( \sqrt{2} \) lies between (1) and (2). Compare squares to locate square roots.
\(3^2=9\) और \(4^2=16\) है इसलिए \( \sqrt{10} \) (3) और (4) के बीच है। पहले निकट पूर्ण वर्ग देखें। / \(3^2=9\) and \(4^2=16\), so \( \sqrt{10} \) lies between (3) and (4). First check nearby perfect squares.
वास्तविक संख्याएँ योग के लिए संवृत होती हैं। दो वास्तविक संख्याओं का योग वास्तविक संख्या ही होता है। / Real numbers are closed under addition. The sum of two real numbers is always a real number.
वास्तविक संख्याएँ गुणन के लिए संवृत होती हैं। इसलिए गुणनफल वास्तविक संख्या होता है। / Real numbers are closed under multiplication. Hence their product is a real number.
समान पदों को जोड़ा जाता है इसलिए \( \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3} \)। वर्गमूल को सीधे अंदर जोड़ना गलत है। / Like terms are added, so \( \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3} \). Do not add numbers inside square roots directly.
\( \sqrt{9}=3 \) और \( \sqrt{4}=2 \) इसलिए योग (5) है। पहले पूर्ण वर्गों के वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{9}=3 \) and \( \sqrt{4}=2 \), so the sum is (5). First find square roots of perfect squares.
\(18=9\times2\) इसलिए \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \)। वर्गमूल में पूर्ण वर्ग गुणनखंड अलग करें। / Since \(18=9\times2\), \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \). Separate perfect-square factors inside square roots.
\(50=25\times2\) इसलिए \( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनें। / Since \(50=25\times2\), \( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \). Choose the largest perfect-square factor.
\(8=4\times2\) इसलिए \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \)। पूर्ण वर्ग (4) को बाहर निकालें। / Since \(8=4\times2\), \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \). Take the perfect square (4) outside.
\( \sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4 \)। गुणन में वर्गमूल के अंदर की संख्याएँ गुणा की जा सकती हैं। / \( \sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4 \). In multiplication, numbers inside square roots can be multiplied.
\( \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{9}=3 \)। समान वर्गमूल नियम भाग में भी लागू होता है। / \( \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{9}=3 \). The same square-root rule also works in division.
\(2^2<6<3^2\) इसलिए \( \sqrt{6} \) (2) और (3) के बीच है। अनुमान के लिए वर्गों की तुलना करें। / Since \(2^2<6<3^2\), \( \sqrt{6} \) lies between (2) and (3). Compare squares for estimation.
\( \sqrt{49}=7 \) है और (7) परिमेय वास्तविक संख्या है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक हो सकता है। / \( \sqrt{49}=7 \), and (7) is a rational real number. The square root of a perfect square can be an integer.
\( \pi \) अपरिमेय संख्या है और वास्तविक संख्या रेखा पर स्थित है। इसे \( \frac{22}{7} \) के बिल्कुल बराबर न मानें। / \( \pi \) is an irrational number and lies on the real number line. Do not treat it as exactly equal to \( \frac{22}{7} \).
\( \frac{22}{7} \) दो पूर्णांकों का अनुपात है और हर शून्य नहीं है। इसलिए यह परिमेय वास्तविक संख्या है। / \( \frac{22}{7} \) is a ratio of two integers with non-zero denominator. So it is a rational real number.
\( \frac{1}{2} \), \( \sqrt{3} \) और ( -5 ) सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। हर में शून्य वाला भिन्न वास्तविक नहीं होता। / \( \frac{1}{2} \), \( \sqrt{3} \), and ( -5 ) are all real numbers. A fraction with zero denominator is not real.
\( \sqrt{4}=2 \) इसलिए \( -\sqrt{4}=-2 \)। वर्गमूल निकालने के बाद बाहर का ऋण चिह्न लगाएँ। / \( \sqrt{4}=2 \), so \( -\sqrt{4}=-2 \). Apply the outside negative sign after finding the square root.
किसी भी दो अलग-अलग वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत वास्तविक संख्याएँ होती हैं। यह संख्या रेखा का महत्वपूर्ण गुण है। / There are infinitely many real numbers between any two distinct real numbers. This is an important property of the number line.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। यह वास्तविक संख्या हो सकता है। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. It can still be a real number.
आवर्ती दशमलव परिमेय संख्या होता है। इसलिए (2.333...) वास्तविक परिमेय संख्या है। / A repeating decimal is a rational number. Therefore (2.333...) is a rational real number.
\( \sqrt{36}=6 \) और \( \sqrt{64}=8 \) इसलिए (6<8)। तुलना से पहले वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{36}=6 \) and \( \sqrt{64}=8 \), so (6<8). Find square roots before comparing.
\( \frac{3}{2}=1.5 \) और \( \sqrt{2}\approx1.414 \) है। इसलिए \( \frac{3}{2} \) बड़ी है। / \( \frac{3}{2}=1.5 \) and \( \sqrt{2}\approx1.414 \). Therefore \( \frac{3}{2} \) is greater.
किसी भी वास्तविक संख्या में (0) जोड़ने पर वही संख्या मिलती है। इसलिए (0) योग का तत्समक अवयव है। / Adding (0) to any real number gives the same number. Hence (0) is the additive identity.
किसी भी वास्तविक संख्या को (1) से गुणा करने पर वही संख्या मिलती है। इसलिए (1) गुणन का तत्समक अवयव है। / Multiplying any real number by (1) gives the same number. Hence (1) is the multiplicative identity.
गुणात्मक प्रतिलोम में अंश और हर बदल जाते हैं। \( \frac{4}{7}\times\frac{7}{4}=1 \)। / In the multiplicative inverse, numerator and denominator are interchanged. \( \frac{4}{7}\times\frac{7}{4}=1 \).
(0) न धनात्मक होता है न ऋणात्मक। संख्या वर्गीकरण में (0) को अलग रखें। / (0) is neither positive nor negative. Keep (0) separate in number classification.
संख्या रेखा पर बाईं संख्या छोटी और दाईं संख्या बड़ी होती है। इसलिए ( -3<-1<2 ) सही है। / On the number line, the left number is smaller and the right number is greater. Therefore ( -3<-1<2 ) is correct.
\(11^2=121\) इसलिए \( \sqrt{121}=11 \)। पूर्ण वर्गों की सूची याद रखना उपयोगी है। / Since \(11^2=121\), \( \sqrt{121}=11 \). Remembering perfect squares is useful.
\(12=4\times3\) इसलिए \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \)। पूर्ण वर्ग गुणनखंड को वर्गमूल से बाहर निकालें। / Since \(12=4\times3\), \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \). Take the perfect-square factor outside the square root.
(5) परिमेय है और \( \sqrt{2} \) अपरिमेय है। दोनों वास्तविक संख्या रेखा पर स्थित हैं। / (5) is rational and \( \sqrt{2} \) is irrational. Both lie on the real number line.
धनात्मक संख्याओं में बड़ी संख्या का वर्गमूल भी बड़ा होता है। (6>5) इसलिए \( \sqrt{6}>\sqrt{5} \)। / For positive numbers, the square root of the greater number is also greater. Since (6>5), \( \sqrt{6}>\sqrt{5} \).
परिमेय संख्या (3) में अपरिमेय \( \sqrt{2} \) जोड़ने पर सामान्यतः अपरिमेय संख्या मिलती है। यह वास्तविक संख्या भी है। / Adding the irrational \( \sqrt{2} \) to the rational number (3) generally gives an irrational number. It is also real.
वास्तविक संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या को दर्शाता है। संख्या रेखा समझना तुलना में मदद करता है। / Each point on the real number line represents a real number. Understanding the number line helps in comparison.
\( \frac{6}{0} \) परिभाषित नहीं है क्योंकि हर शून्य है। वास्तविक संख्या हमेशा परिभाषित होनी चाहिए। / \( \frac{6}{0} \) is undefined because the denominator is zero. A real number must be defined.
\(9^2=81\) इसलिए \( \sqrt{81}=9 \)। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल जल्दी पहचानें। / Since \(9^2=81\), \( \sqrt{81}=9 \). Identify square roots of perfect squares quickly.
\(4^2=16\) और \(5^2=25\) है इसलिए \( \sqrt{20} \) (4) और (5) के बीच है। वर्गों से अनुमान लगाएँ। / \(4^2=16\) and \(5^2=25\), so \( \sqrt{20} \) lies between (4) and (5). Estimate using squares.
(0.125) समाप्त दशमलव है इसलिए यह परिमेय संख्या है। समाप्त दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। / (0.125) is a terminating decimal, so it is rational. A terminating decimal can be changed into a fraction.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। ऐसे दशमलव भी वास्तविक संख्या रेखा पर आते हैं। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Such decimals also lie on the real number line.
\( \frac{-11}{6} \) दो पूर्णांकों का अनुपात है और हर शून्य नहीं है। इसलिए यह परिमेय वास्तविक संख्या है। / \( \frac{-11}{6} \) is a ratio of two integers with non-zero denominator. So it is a rational real number.
(17) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \( \sqrt{17} \) अपरिमेय है। फिर भी यह वास्तविक संख्या है। / (17) is not a perfect square, so \( \sqrt{17} \) is irrational. Still, it is a real number.
\(32=16\times2\) इसलिए \( \sqrt{32}=4\sqrt{2} \)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनें। / Since \(32=16\times2\), \( \sqrt{32}=4\sqrt{2} \). Choose the largest perfect-square factor.
\(45=9\times5\) इसलिए \( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \)। वर्गमूल में पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें। / Since \(45=9\times5\), \( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \). Take the perfect square outside the square root.
\(75=25\times3\) इसलिए \( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \)। पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानना जरूरी है। / Since \(75=25\times3\), \( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \). Identifying perfect-square factors is important.
\( \sqrt{2}\times\sqrt{18}=\sqrt{36}=6 \)। गुणा में वर्गमूल के अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / \( \sqrt{2}\times\sqrt{18}=\sqrt{36}=6 \). In multiplication, multiply the numbers inside square roots.
\( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4 \)। वर्गमूल के भाग में अंदर की संख्याओं का भाग लें। / \( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4 \). In division of square roots, divide the numbers inside.
समान करणी पदों के गुणांक जोड़े जाते हैं। इसलिए \(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\)। / Coefficients of like surd terms are added. So \(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\).
समान करणी पदों में गुणांक घटते हैं। इसलिए \(7\sqrt{3}-2\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)। / In like surd terms, coefficients are subtracted. Hence \(7\sqrt{3}-2\sqrt{3}=5\sqrt{3}\).
\( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \) और \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \) हैं। इसलिए योग \(5\sqrt{3}\) है। / \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \) and \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \). So the sum is \(5\sqrt{3}\).
\( \sqrt{4}=2 \) और \( \sqrt{9}=3 \) इसलिए योग (5) है। वर्गमूलों को सीधे अंदर जोड़ना गलत है। / \( \sqrt{4}=2 \) and \( \sqrt{9}=3 \), so the sum is (5). Do not add square roots directly inside.
( \(\sqrt{5}\)2=5 ) होता है। किसी धनात्मक संख्या के वर्गमूल का वर्ग वही संख्या देता है। / ( \(\sqrt{5}\)2=5 ). The square of the square root of a positive number gives the same number.
\(3^2=9\) और \(4^2=16\) है इसलिए \( \sqrt{14} \) (3) और (4) के बीच है। निकटतम पूर्ण वर्ग देखें। / \(3^2=9\) and \(4^2=16\), so \( \sqrt{14} \) lies between (3) and (4). Check the nearest perfect squares.
\(5^2=25\) और \(6^2=36\) है इसलिए \( \sqrt{30} \) (5) और (6) के बीच है। वर्गों की तुलना करें। / \(5^2=25\) and \(6^2=36\), so \( \sqrt{30} \) lies between (5) and (6). Compare squares.
\( \sqrt{9}=3 \) है इसलिए \( -\sqrt{9}=-3 \)। बाहर का ऋण चिह्न अंत में लगाएँ। / \( \sqrt{9}=3 \), so \( -\sqrt{9}=-3 \). Apply the outside negative sign at the end.
( -0.6 ) शून्य से बाईं ओर और ( -1 ) से दाईं ओर है। इसलिए यह ( -1 ) और (0) के बीच है। / ( -0.6 ) is left of zero and right of ( -1 ). So it lies between ( -1 ) and (0).
\(1.25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4} \)। समाप्त दशमलव को (10) की घात वाले हर से लिखें। / \(1.25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4} \). Write terminating decimals using denominators that are powers of (10).
\(2.75=\frac{275}{100}=\frac{11}{4} \)। दशमलव को भिन्न में बदलकर सरल करें। / \(2.75=\frac{275}{100}=\frac{11}{4} \). Convert the decimal into a fraction and simplify.
\(9\div4=2.25\) होता है। हर (4) वाले भिन्न अक्सर समाप्त दशमलव देते हैं। / \(9\div4=2.25\). Fractions with denominator (4) often give terminating decimals.
\(0.\overline{12}\) आवर्ती दशमलव है इसलिए यह परिमेय है। हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है। / \(0.\overline{12}\) is a repeating decimal, so it is rational. Every rational number is also real.
A. \( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{8} \)/\( \sqrt{2} \) and \( \sqrt{8} \)
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) दोनों अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग के वर्गमूल परिमेय हो सकते हैं। / \( \sqrt{2} \) and \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) are both irrational. Square roots of perfect squares can be rational.
( -5 ) पूर्णांक है और (0.4) समाप्त दशमलव है। इसलिए दोनों परिमेय वास्तविक संख्याएँ हैं। / ( -5 ) is an integer and (0.4) is a terminating decimal. So both are rational real numbers.
\( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \) और \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \) हैं। अंतर \(2\sqrt{2}\) है। / \( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \) and \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \). The difference is \(2\sqrt{2}\).
अंश और हर को \( \sqrt{5} \) से गुणा करें। इससे \( \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} \) मिलता है। / Multiply numerator and denominator by \( \sqrt{5} \). This gives \( \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} \).
हर को परिमेय करने के लिए अंश और हर को \( \sqrt{3} \) से गुणा करें। उत्तर \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \) है। / To rationalise the denominator, multiply numerator and denominator by \( \sqrt{3} \). The answer is \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \).
धनात्मक संख्याओं में बड़ी संख्या का वर्गमूल बड़ा होता है। (3>2) इसलिए \( \sqrt{3}>\sqrt{2} \)। / For positive numbers, the square root of the greater number is greater. Since (3>2), \( \sqrt{3}>\sqrt{2} \).
\( \sqrt{5}\approx2.236 \) इसलिए \( -\sqrt{5}\approx -2.236 \) है। ( -2 ) शून्य के अधिक निकट है इसलिए बड़ी है। / \( \sqrt{5}\approx2.236 \), so \( -\sqrt{5}\approx -2.236 \). ( -2 ) is closer to zero, so it is greater.
\( \sqrt{1}=1 \) और \( \frac{3}{4}=0.75 \) है। इसलिए \( \sqrt{1} \) बड़ी है। / \( \sqrt{1}=1 \) and \( \frac{3}{4}=0.75 \). Therefore \( \sqrt{1} \) is greater.
दो अलग-अलग वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। यह घनत्व गुण का सरल रूप है। / There are infinitely many rational numbers between two distinct real numbers. This is a simple form of the density property.
\(2^2<6<3^2\) इसलिए \( \sqrt{6} \) (2) और (3) के बीच है। (6) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since \(2^2<6<3^2\), \( \sqrt{6} \) lies between (2) and (3). Since (6) is not a perfect square, it is irrational.
\(0.2^2=0.04\) इसलिए \( \sqrt{0.04}=0.2 \)। दशमलव के वर्गमूल में स्थान मान ध्यान रखें। / \(0.2^2=0.04\), so \( \sqrt{0.04}=0.2 \). Be careful with place value in decimal square roots.
\(0.5^2=0.25\) इसलिए \( \sqrt{0.25}=0.5 \)। वर्गमूल के लिए वर्ग करके जाँच सकते हैं। / \(0.5^2=0.25\), so \( \sqrt{0.25}=0.5 \). You can check a square root by squaring it.
अंश और हर के अलग-अलग वर्गमूल लें। \( \sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8} \)। / Take square roots of numerator and denominator separately. \( \sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8} \).
\( \sqrt{16}=4 \) और \( \sqrt{81}=9 \) है। इसलिए उत्तर \( \frac{4}{9} \) है। / \( \sqrt{16}=4 \) and \( \sqrt{81}=9 \). Therefore the answer is \( \frac{4}{9} \).
परिमेय (2) में अपरिमेय \( \sqrt{3} \) जोड़ने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। यह वास्तविक संख्या भी है। / Adding irrational \( \sqrt{3} \) to rational (2) gives an irrational number. It is also a real number.
परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। इसलिए \(5-\sqrt{2}\) अपरिमेय वास्तविक संख्या है। / Subtracting an irrational number from a rational number gives an irrational result. Thus \(5-\sqrt{2}\) is an irrational real number.
एक ही वर्गमूल को स्वयं से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। इसलिए \( \sqrt{7}\times\sqrt{7}=7 \)। / Multiplying the same square root by itself gives the number inside. Therefore \( \sqrt{7}\times\sqrt{7}=7 \).
\(40=4\times10\) इसलिए \( \sqrt{40}=2\sqrt{10} \)। पूर्ण वर्ग (4) को बाहर निकालें। / Since \(40=4\times10\), \( \sqrt{40}=2\sqrt{10} \). Take the perfect square (4) outside.
\( \sqrt{64}=8 \) है और (8) परिमेय संख्या है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। / \( \sqrt{64}=8 \) and (8) is rational. The square root of a perfect square is rational.
(0.272727...) आवर्ती दशमलव है इसलिए परिमेय है। आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। / (0.272727...) is repeating so it is rational. A repeating decimal can be converted into a fraction.
\(3^2=9\) और \(4^2=16\) है इसलिए \( \sqrt{11} \) (3) और (4) के बीच है। वर्गों से वर्गमूल का स्थान पहचानें। / \(3^2=9\) and \(4^2=16\) so \( \sqrt{11} \) lies between (3) and (4). Use squares to locate square roots.
\(98=49\times2\) इसलिए \( \sqrt{98}=7\sqrt{2} \)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनें। / Since \(98=49\times2\), \( \sqrt{98}=7\sqrt{2} \). Choose the largest perfect-square factor.
\(72=36\times2\) इसलिए \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \)। पूर्ण वर्ग को वर्गमूल से बाहर निकालें। / Since \(72=36\times2\), \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \). Take the perfect square outside the square root.
\(63=9\times7\) इसलिए \( \sqrt{63}=3\sqrt{7} \)। पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानना जरूरी है। / Since \(63=9\times7\), \( \sqrt{63}=3\sqrt{7} \). Identifying perfect-square factors is important.
\( \sqrt{2}\times\sqrt{50}=\sqrt{100}=10 \)। गुणा में वर्गमूल के अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / \( \sqrt{2}\times\sqrt{50}=\sqrt{100}=10 \). In multiplication, multiply the numbers inside square roots.
\( \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\sqrt{16}=4 \)। भाग करते समय वर्गमूल के अंदर का भाग लें। / \( \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\sqrt{16}=4 \). During division, divide the numbers inside square roots.
समान करणी पदों के गुणांक जोड़े जाते हैं। इसलिए \(4\sqrt{2}+5\sqrt{2}=9\sqrt{2}\)। / Coefficients of like surd terms are added. Thus \(4\sqrt{2}+5\sqrt{2}=9\sqrt{2}\).
समान करणी पदों में गुणांक घटते हैं। इसलिए \(9\sqrt{7}-4\sqrt{7}=5\sqrt{7}\)। / For like surd terms, subtract the coefficients. Hence \(9\sqrt{7}-4\sqrt{7}=5\sqrt{7}\).
\( \sqrt{48}=4\sqrt{3} \) और \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \) हैं। इसलिए योग \(7\sqrt{3}\) है। / \( \sqrt{48}=4\sqrt{3} \) and \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \). Therefore the sum is \(7\sqrt{3}\).
\( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \) और \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \) हैं। अंतर \(3\sqrt{3}\) है। / \( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \) and \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \). The difference is \(3\sqrt{3}\).
अंश और हर को \( \sqrt{2} \) से गुणा करें। इससे हर (2) हो जाता है। / Multiply numerator and denominator by \( \sqrt{2} \). This makes the denominator (2).
अंश और हर को \( \sqrt{7} \) से गुणा करने पर \( \frac{5\sqrt{7}}{7} \) मिलता है। हर को परिमेय करना परीक्षा में सामान्य प्रश्न है। / Multiplying numerator and denominator by \( \sqrt{7} \) gives \( \frac{5\sqrt{7}}{7} \). Rationalising the denominator is a common exam question.
संयुग्मी \(2-\sqrt{3}\) से गुणा करें और हर (4-3=1) बनेगा। इसलिए उत्तर \(2-\sqrt{3}\) है। / Multiply by the conjugate \(2-\sqrt{3}\) and the denominator becomes (4-3=1). Hence the answer is \(2-\sqrt{3}\).
हर के संयुग्मी \(3+\sqrt{5}\) से गुणा किया जाता है। इसलिए नए अंश में \(3+\sqrt{5}\) आएगा। / We multiply by the conjugate \(3+\sqrt{5}\). So the new numerator will contain \(3+\sqrt{5}\).
यह अंतर के वर्ग का रूप है (22-\(\sqrt{5}\)2=4-5=-1)। संयुग्मी गुणा में मध्य पद कट जाते हैं। / It is a difference of squares (22-\(\sqrt{5}\)2=4-5=-1). Middle terms cancel in conjugate multiplication.
(32-\(\sqrt{2}\)2=9-2=7) होता है। संयुग्मी का गुणन अक्सर परिमेय उत्तर देता है। / (32-\(\sqrt{2}\)2=9-2=7). Multiplying conjugates often gives a rational answer.
क्योंकि (12>3) है इसलिए \( \sqrt{12}>\sqrt{3} \)। धनात्मक संख्याओं में बड़ा आधार बड़ा वर्गमूल देता है। / Since (12>3), \( \sqrt{12}>\sqrt{3} \). For positive numbers, a larger radicand gives a larger square root.
\( \sqrt{10}\approx3.16 \) इसलिए \( -\sqrt{10} \) ( -3 ) से छोटा है। शून्य के पास वाली ऋणात्मक संख्या बड़ी होती है। / \( \sqrt{10}\approx3.16 \), so \( -\sqrt{10} \) is less than ( -3 ). The negative number closer to zero is greater.
\(1.2^2=1.44\) इसलिए \( \sqrt{1.44}=1.2 \)। दशमलव वर्गमूल में स्थान मान ध्यान रखें। / \(1.2^2=1.44\), so \( \sqrt{1.44}=1.2 \). Be careful with place value in decimal square roots.
अंश और हर के वर्गमूल अलग-अलग लें। \( \sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6} \) है। / Take the square roots of numerator and denominator separately. \( \sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6} \).
\( \sqrt{121}=11 \) और \( \sqrt{144}=12 \) है। इसलिए उत्तर \( \frac{11}{12} \) है। / \( \sqrt{121}=11 \) and \( \sqrt{144}=12 \). Therefore the answer is \( \frac{11}{12} \).
\(3.125=\frac{3125}{1000}=\frac{25}{8} \)। समाप्त दशमलव को भिन्न बनाकर सरल करें। / \(3.125=\frac{3125}{1000}=\frac{25}{8} \). Convert the terminating decimal into a fraction and simplify.
\(4.5=\frac{45}{10}=\frac{9}{2} \)। दशमलव को (10) की घात वाले हर में लिखें। / \(4.5=\frac{45}{10}=\frac{9}{2} \). Write the decimal with a denominator that is a power of (10).
\( \frac{13}{20}=\frac{65}{100}=0.65 \)। हर को (100) में बदलना आसान तरीका है। / \( \frac{13}{20}=\frac{65}{100}=0.65 \). Changing the denominator to (100) is an easy method.
\( \frac{17}{25}=\frac{68}{100}=0.68 \)। हर (25) को (100) बनाने के लिए (4) से गुणा करें। / \( \frac{17}{25}=\frac{68}{100}=0.68 \). Multiply denominator (25) by (4) to make (100).
\(0.\overline{45}\) आवर्ती दशमलव है इसलिए परिमेय है। हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है। / \(0.\overline{45}\) is a repeating decimal, so it is rational. Every rational number is also real.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। ऐसा दशमलव फिर भी वास्तविक संख्या हो सकता है। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Such a decimal can still be a real number.
परिमेय (4) में अपरिमेय \( \sqrt{6} \) जोड़ने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। यह वास्तविक संख्या भी है। / Adding irrational \( \sqrt{6} \) to rational (4) gives an irrational number. It is also a real number.
परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। इसलिए \(7-\sqrt{3}\) अपरिमेय वास्तविक संख्या है। / Subtracting an irrational number from a rational number gives an irrational result. Thus \(7-\sqrt{3}\) is an irrational real number.
एक ही वर्गमूल को स्वयं से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। इसलिए \( \sqrt{13}\times\sqrt{13}=13 \)। / Multiplying the same square root by itself gives the number inside. Therefore \( \sqrt{13}\times\sqrt{13}=13 \).
किसी धनात्मक संख्या के वर्गमूल का वर्ग वही संख्या देता है। इसलिए ( \(\sqrt{15}\)2=15 )। / The square of the square root of a positive number gives the same number. Therefore ( \(\sqrt{15}\)2=15 ).
D. ( -2 ) और ( -1 ) के बीच/Between ( -2 ) and ( -1 )
Explanation
Simple Explanation
( -1.25 ) ( -2 ) से बड़ा और ( -1 ) से छोटा है। इसलिए यह ( -2 ) और ( -1 ) के बीच स्थित है। / ( -1.25 ) is greater than ( -2 ) and less than ( -1 ). So it lies between ( -2 ) and ( -1 ).
\(3^2<10<4^2\) इसलिए \( \sqrt{10} \) (3) और (4) के बीच है। (10) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since \(3^2<10<4^2\), \( \sqrt{10} \) lies between (3) and (4). Since (10) is not a perfect square, it is irrational.
\(4^2<22<5^2\) इसलिए \( \sqrt{22} \) (4) और (5) के बीच है। (22) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since \(4^2<22<5^2\), \( \sqrt{22} \) lies between (4) and (5). Since (22) is not a perfect square, it is irrational.
दो अलग-अलग वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। यह वास्तविक संख्या रेखा की घनत्व विशेषता है। / There are infinitely many irrational numbers between two distinct real numbers. This is a density property of the real number line.
वास्तविक संख्या रेखा सतत होती है इसलिए दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच अनंत वास्तविक संख्याएँ होती हैं। यह मूल गुण याद रखें। / The real number line is continuous, so infinitely many real numbers lie between two distinct points. Remember this basic property.
\(2\sqrt{3}\times3\sqrt{3}=6\times3=18\) होता है। गुणांक और करणी भाग अलग-अलग गुणा करें। / \(2\sqrt{3}\times3\sqrt{3}=6\times3=18\). Multiply coefficients and surd parts separately.
\(14^2=196\) इसलिए \( \sqrt{196}=14 \)। पूर्ण वर्गों को पहचानना परीक्षा में समय बचाता है। / Since \(14^2=196\), \( \sqrt{196}=14 \). Recognising perfect squares saves time in exams.
\(108=36\times3\) इसलिए \( \sqrt{108}=6\sqrt{3} \)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनें। / Since \(108=36\times3\), \( \sqrt{108}=6\sqrt{3} \). Choose the largest perfect-square factor.
\( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \) इसलिए \( \sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2} \)। पहले करणी को सरल करें फिर समान पद जोड़ें। / \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \), so \( \sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2} \). First simplify the surd and then add like terms.
