How many rational numbers are there between any two distinct real numbers?किसी भी दो अलग-अलग वास्तविक संख्याओं के बीच कितनी परिमेय संख्याएँ होती हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Infinitely manyअनंत
The direct answer is C, infinitely many. Rational numbers have the density property: between any two distinct real numbers, no matter how close they are, there are infinitely many rational numbers. To understand it, let the two numbers be a and b with a<b. Their average \\(\frac{a+b}{2}\\) lies between them. We can then find more numbers between a and that average, and between the average and b; repeating this process never ends. In this question the endpoints are real numbers, and rational numbers are densely placed throughout the real number line, so infinitely many rational numbers occur between them. Option A, only 1, is wrong because the average already gives one, and more can be found. Option B, only 2, is similarly too small. Option C is correct. Option D, none, is wrong because at least one rational number can be found between any two distinct real numbers, and in fact there are infinitely many. Exam cue: “between any two distinct real numbers” plus “rational numbers” usually tests density, whose answer is infinitely many.सीधा उत्तर C, अनंत है। परिमेय संख्याओं का घनत्व गुण कहता है कि किसी भी दो अलग-अलग वास्तविक संख्याओं के बीच, चाहे वे कितनी भी पास क्यों न हों, अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। इसे समझने के लिए मान लें कि दो संख्याएँ a और b हैं तथा \\(a<b\\)। उनका औसत \\(\frac{a+b}{2}\\) दोनों के बीच स्थित होगा। फिर a और इस औसत के बीच भी एक औसत निकाला जा सकता है, तथा औसत और b के बीच भी। इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराने पर संख्याएँ कभी समाप्त नहीं होंगी। वास्तविक संख्या रेखा में परिमेय संख्याएँ हर अंतराल में फैली रहती हैं, इसलिए उत्तर अनंत है। विकल्प A, केवल 1, गलत है क्योंकि औसत से एक संख्या मिलती है और उसके अलावा भी कई मिल सकती हैं। विकल्प B, केवल 2, भी बहुत कम है। विकल्प C सही है। विकल्प D, कोई नहीं, गलत है क्योंकि कम-से-कम एक और वास्तव में अनंत परिमेय संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा संकेत: “दो अलग वास्तविक संख्याओं के बीच” और “परिमेय संख्याएँ” साथ आएँ तो density property याद करें—उत्तर infinitely many होता है।
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