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वास्तविक संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या को दर्शाता है। संख्या रेखा समझना तुलना में मदद करता है। / Each point on the real number line represents a real number. Understanding the number line helps in comparison.
\( \frac{6}{0} \) परिभाषित नहीं है क्योंकि हर शून्य है। वास्तविक संख्या हमेशा परिभाषित होनी चाहिए। / \( \frac{6}{0} \) is undefined because the denominator is zero. A real number must be defined.
\(9^2=81\) इसलिए \( \sqrt{81}=9 \)। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल जल्दी पहचानें। / Since \(9^2=81\), \( \sqrt{81}=9 \). Identify square roots of perfect squares quickly.
\(4^2=16\) और \(5^2=25\) है इसलिए \( \sqrt{20} \) (4) और (5) के बीच है। वर्गों से अनुमान लगाएँ। / \(4^2=16\) and \(5^2=25\), so \( \sqrt{20} \) lies between (4) and (5). Estimate using squares.
(0.125) समाप्त दशमलव है इसलिए यह परिमेय संख्या है। समाप्त दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। / (0.125) is a terminating decimal, so it is rational. A terminating decimal can be changed into a fraction.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। ऐसे दशमलव भी वास्तविक संख्या रेखा पर आते हैं। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Such decimals also lie on the real number line.
\( \frac{-11}{6} \) दो पूर्णांकों का अनुपात है और हर शून्य नहीं है। इसलिए यह परिमेय वास्तविक संख्या है। / \( \frac{-11}{6} \) is a ratio of two integers with non-zero denominator. So it is a rational real number.
(17) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \( \sqrt{17} \) अपरिमेय है। फिर भी यह वास्तविक संख्या है। / (17) is not a perfect square, so \( \sqrt{17} \) is irrational. Still, it is a real number.
\(32=16\times2\) इसलिए \( \sqrt{32}=4\sqrt{2} \)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनें। / Since \(32=16\times2\), \( \sqrt{32}=4\sqrt{2} \). Choose the largest perfect-square factor.
\(45=9\times5\) इसलिए \( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \)। वर्गमूल में पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें। / Since \(45=9\times5\), \( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \). Take the perfect square outside the square root.
\(75=25\times3\) इसलिए \( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \)। पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानना जरूरी है। / Since \(75=25\times3\), \( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \). Identifying perfect-square factors is important.
\( \sqrt{2}\times\sqrt{18}=\sqrt{36}=6 \)। गुणा में वर्गमूल के अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / \( \sqrt{2}\times\sqrt{18}=\sqrt{36}=6 \). In multiplication, multiply the numbers inside square roots.
\( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4 \)। वर्गमूल के भाग में अंदर की संख्याओं का भाग लें। / \( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4 \). In division of square roots, divide the numbers inside.
समान करणी पदों के गुणांक जोड़े जाते हैं। इसलिए \(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\)। / Coefficients of like surd terms are added. So \(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\).
समान करणी पदों में गुणांक घटते हैं। इसलिए \(7\sqrt{3}-2\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)। / In like surd terms, coefficients are subtracted. Hence \(7\sqrt{3}-2\sqrt{3}=5\sqrt{3}\).
\( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \) और \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \) हैं। इसलिए योग \(5\sqrt{3}\) है। / \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \) and \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \). So the sum is \(5\sqrt{3}\).
\( \sqrt{4}=2 \) और \( \sqrt{9}=3 \) इसलिए योग (5) है। वर्गमूलों को सीधे अंदर जोड़ना गलत है। / \( \sqrt{4}=2 \) and \( \sqrt{9}=3 \), so the sum is (5). Do not add square roots directly inside.
( \(\sqrt{5}\)2=5 ) होता है। किसी धनात्मक संख्या के वर्गमूल का वर्ग वही संख्या देता है। / ( \(\sqrt{5}\)2=5 ). The square of the square root of a positive number gives the same number.
\(3^2=9\) और \(4^2=16\) है इसलिए \( \sqrt{14} \) (3) और (4) के बीच है। निकटतम पूर्ण वर्ग देखें। / \(3^2=9\) and \(4^2=16\), so \( \sqrt{14} \) lies between (3) and (4). Check the nearest perfect squares.
\(5^2=25\) और \(6^2=36\) है इसलिए \( \sqrt{30} \) (5) और (6) के बीच है। वर्गों की तुलना करें। / \(5^2=25\) and \(6^2=36\), so \( \sqrt{30} \) lies between (5) and (6). Compare squares.
\( \sqrt{9}=3 \) है इसलिए \( -\sqrt{9}=-3 \)। बाहर का ऋण चिह्न अंत में लगाएँ। / \( \sqrt{9}=3 \), so \( -\sqrt{9}=-3 \). Apply the outside negative sign at the end.
( -0.6 ) शून्य से बाईं ओर और ( -1 ) से दाईं ओर है। इसलिए यह ( -1 ) और (0) के बीच है। / ( -0.6 ) is left of zero and right of ( -1 ). So it lies between ( -1 ) and (0).
\(1.25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4} \)। समाप्त दशमलव को (10) की घात वाले हर से लिखें। / \(1.25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4} \). Write terminating decimals using denominators that are powers of (10).
\(2.75=\frac{275}{100}=\frac{11}{4} \)। दशमलव को भिन्न में बदलकर सरल करें। / \(2.75=\frac{275}{100}=\frac{11}{4} \). Convert the decimal into a fraction and simplify.
\(9\div4=2.25\) होता है। हर (4) वाले भिन्न अक्सर समाप्त दशमलव देते हैं। / \(9\div4=2.25\). Fractions with denominator (4) often give terminating decimals.
\(0.\overline{12}\) आवर्ती दशमलव है इसलिए यह परिमेय है। हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है। / \(0.\overline{12}\) is a repeating decimal, so it is rational. Every rational number is also real.
A. \( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{8} \)/\( \sqrt{2} \) and \( \sqrt{8} \)
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) दोनों अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग के वर्गमूल परिमेय हो सकते हैं। / \( \sqrt{2} \) and \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) are both irrational. Square roots of perfect squares can be rational.
( -5 ) पूर्णांक है और (0.4) समाप्त दशमलव है। इसलिए दोनों परिमेय वास्तविक संख्याएँ हैं। / ( -5 ) is an integer and (0.4) is a terminating decimal. So both are rational real numbers.
\( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \) और \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \) हैं। अंतर \(2\sqrt{2}\) है। / \( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \) and \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \). The difference is \(2\sqrt{2}\).
अंश और हर को \( \sqrt{5} \) से गुणा करें। इससे \( \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} \) मिलता है। / Multiply numerator and denominator by \( \sqrt{5} \). This gives \( \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} \).
हर को परिमेय करने के लिए अंश और हर को \( \sqrt{3} \) से गुणा करें। उत्तर \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \) है। / To rationalise the denominator, multiply numerator and denominator by \( \sqrt{3} \). The answer is \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \).
धनात्मक संख्याओं में बड़ी संख्या का वर्गमूल बड़ा होता है। (3>2) इसलिए \( \sqrt{3}>\sqrt{2} \)। / For positive numbers, the square root of the greater number is greater. Since (3>2), \( \sqrt{3}>\sqrt{2} \).
\( \sqrt{5}\approx2.236 \) इसलिए \( -\sqrt{5}\approx -2.236 \) है। ( -2 ) शून्य के अधिक निकट है इसलिए बड़ी है। / \( \sqrt{5}\approx2.236 \), so \( -\sqrt{5}\approx -2.236 \). ( -2 ) is closer to zero, so it is greater.
\( \sqrt{1}=1 \) और \( \frac{3}{4}=0.75 \) है। इसलिए \( \sqrt{1} \) बड़ी है। / \( \sqrt{1}=1 \) and \( \frac{3}{4}=0.75 \). Therefore \( \sqrt{1} \) is greater.
दो अलग-अलग वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। यह घनत्व गुण का सरल रूप है। / There are infinitely many rational numbers between two distinct real numbers. This is a simple form of the density property.
\(2^2<6<3^2\) इसलिए \( \sqrt{6} \) (2) और (3) के बीच है। (6) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since \(2^2<6<3^2\), \( \sqrt{6} \) lies between (2) and (3). Since (6) is not a perfect square, it is irrational.
\(0.2^2=0.04\) इसलिए \( \sqrt{0.04}=0.2 \)। दशमलव के वर्गमूल में स्थान मान ध्यान रखें। / \(0.2^2=0.04\), so \( \sqrt{0.04}=0.2 \). Be careful with place value in decimal square roots.
\(0.5^2=0.25\) इसलिए \( \sqrt{0.25}=0.5 \)। वर्गमूल के लिए वर्ग करके जाँच सकते हैं। / \(0.5^2=0.25\), so \( \sqrt{0.25}=0.5 \). You can check a square root by squaring it.
अंश और हर के अलग-अलग वर्गमूल लें। \( \sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8} \)। / Take square roots of numerator and denominator separately. \( \sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8} \).
\( \sqrt{16}=4 \) और \( \sqrt{81}=9 \) है। इसलिए उत्तर \( \frac{4}{9} \) है। / \( \sqrt{16}=4 \) and \( \sqrt{81}=9 \). Therefore the answer is \( \frac{4}{9} \).
परिमेय (2) में अपरिमेय \( \sqrt{3} \) जोड़ने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। यह वास्तविक संख्या भी है। / Adding irrational \( \sqrt{3} \) to rational (2) gives an irrational number. It is also a real number.
परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। इसलिए \(5-\sqrt{2}\) अपरिमेय वास्तविक संख्या है। / Subtracting an irrational number from a rational number gives an irrational result. Thus \(5-\sqrt{2}\) is an irrational real number.
एक ही वर्गमूल को स्वयं से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। इसलिए \( \sqrt{7}\times\sqrt{7}=7 \)। / Multiplying the same square root by itself gives the number inside. Therefore \( \sqrt{7}\times\sqrt{7}=7 \).
\(40=4\times10\) इसलिए \( \sqrt{40}=2\sqrt{10} \)। पूर्ण वर्ग (4) को बाहर निकालें। / Since \(40=4\times10\), \( \sqrt{40}=2\sqrt{10} \). Take the perfect square (4) outside.
