All four self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) has ((2,1)), and ((3,4)) has ((4,3)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Transitivity is satisfied inside each small group, so it is an equivalence relation. चरण 1: चारों अपने युग्म हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((3,4)) के साथ ((4,3)) हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: हर छोटे समूह में संक्रमणीयता भी पूरी है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
(a-a=0), which is divisible by (3), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (3), then (b-a) is also divisible by (3), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The sum of such divisible differences remains divisible by (3), so it is an equivalence relation. चरण 1: (a-a=0), (3) से विभाज्य है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि (a-b) विभाज्य है, तो (b-a) भी विभाज्य है, इसलिए सममितता है। चरण 3: विभाज्यता वाले अंतरों का जोड़ फिर (3) से विभाज्य रहता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
Every number is a multiple of itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) is a multiple of (b) and (b) is a multiple of (c), then (a) is a multiple of (c).
Step 3
Exam Tip
The multiple relation is generally not symmetric, for example (6) is a multiple of (3), but (3) is not a multiple of (6). चरण 1: हर संख्या स्वयं की गुणज होती है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि (a), (b) का गुणज और (b), (c) का गुणज है, तो (a), (c) का गुणज होगा। चरण 3: गुणज संबंध सामान्यतः सममित नहीं होता, जैसे (6), (3) का गुणज है पर (3), (6) का नहीं।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Both ((1,3)) and ((3,1)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) and ((3,1)) require ((1,1)) and ((3,3)), which are present, so it is transitive. चरण 1: सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: ((1,3)) और ((3,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) तथा ((3,3)) चाहिए, जो मौजूद हैं, इसलिए संक्रमणीयता भी है।
In the first option, both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
But ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs give symmetry, but not automatic transitivity. चरण 1: पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। चरण 2: लेकिन ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है। चरण 3: उल्टे युग्म होने से सममितता आती है, पर संक्रमणीयता अपने आप नहीं आती।
A. ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) on ({1,2,3})
Step 1
Concept
The first option has all self-pairs and reverse pairs for every non-self pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
An equivalence relation needs all three properties, not just two. चरण 1: पहले विकल्प में सभी अपने युग्म हैं और हर असमान युग्म का उल्टा भी है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है। चरण 3: तुल्यता संबंध बनने के लिए तीनों गुण चाहिए, दो गुण काफी नहीं हैं।
A. (R) स्वसम, सममित और संक्रमणीय है/(R) is reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
An equivalence relation is defined by three properties.
Step 2
Why this answer is correct
These are reflexivity, symmetry and transitivity.
Step 3
Exam Tip
Whenever a question says equivalence, immediately apply all three properties. चरण 1: तुल्यता संबंध की परिभाषा तीन गुणों से बनती है। चरण 2: ये गुण हैं स्वसमता, सममितता और संक्रमणीयता। चरण 3: किसी प्रश्न में तुल्यता लिखा हो तो तुरंत तीनों गुणों को लागू करें।
A. ((2,3)) नहीं है, इसलिए संक्रमणीयता टूटती है/((2,3)) is missing, so transitivity fails
Step 1
Concept
The relation looks reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) and ((1,3)) require ((2,3)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
For equivalence relation, full transitivity checking is necessary. चरण 1: संबंध स्वसम और सममित दिखता है। चरण 2: ((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, पर वह नहीं है। चरण 3: तुल्यता संबंध में संक्रमणीयता की पूरी जाँच करना जरूरी है।
When divided by (2), only two remainders are possible: (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2,4) form one class and (1,3) form another.
Step 3
Exam Tip
In same-remainder relations, the number of classes is linked to possible remainders. चरण 1: (2) से भाग देने पर केवल दो शेष संभव हैं: (0) और (1)। चरण 2: (2,4) एक वर्ग में और (1,3) दूसरे वर्ग में आएँगे। चरण 3: समान शेष वाले संबंध में वर्गों की संख्या संभावित शेषों से जुड़ी होती है।
Every number has the same remainder as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) have the same remainder, then (b) and (a) also do.
Step 3
Exam Tip
The same-remainder link passes to a third number, so it is an equivalence relation. चरण 1: हर संख्या का शेष अपने साथ समान है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि (a) और (b) का शेष समान है, तो (b) और (a) का भी समान है। चरण 3: समान शेष की कड़ी तीसरी संख्या तक जाती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
(1) and (2) are related to each other, so they belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) is related only to itself, so it forms a separate class.
Step 3
Exam Tip
While forming equivalence classes, group elements that are mutually related. चरण 1: (1) और (2) एक-दूसरे से संबंधित हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में होंगे। चरण 2: (3) केवल स्वयं से संबंधित है, इसलिए उसका अलग वर्ग बनेगा। चरण 3: तुल्यता वर्ग बनाते समय जो अवयव आपस में जुड़े हों उन्हें एक समूह में रखें।
A. \(\le\) द्वारा बना संबंध/Relation defined by \(\le\)
Step 1
Concept
A partial order needs reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
The relation \(\le\) satisfies all three.
Step 3
Exam Tip
Remember the difference: equivalence uses symmetry, partial order uses antisymmetry. चरण 1: आंशिक क्रम में स्वसमता, विरोधी सममितता और संक्रमणीयता चाहिए। चरण 2: \(\le\) संबंध ये तीनों गुण पूरा करता है। चरण 3: तुल्यता और आंशिक क्रम में अंतर याद रखें: तुल्यता में सममितता, आंशिक क्रम में विरोधी सममितता होती है।
In antisymmetry, two reverse pairs can both exist only when the two elements are equal.
Step 2
Why this answer is correct
So ((a,b)) and ((b,a)) imply (a=b).
Step 3
Exam Tip
Do not treat antisymmetry as simply the opposite of symmetry. चरण 1: विरोधी सममितता में दो उल्टे युग्म तभी साथ हो सकते हैं जब दोनों अवयव समान हों। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) से (a=b) निष्कर्ष आता है। चरण 3: विरोधी सममितता को सममितता का विपरीत समझने की गलती न करें।
Antisymmetry fails when both ((a,b)) and ((b,a)) occur for \(a\ne b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
If no reverse non-self pair pair exists, antisymmetry holds. चरण 1: विरोधी सममितता तब टूटती है जब \(a\ne b\) के लिए ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों। चरण 2: यहाँ ((1,2)) है, पर ((2,1)) नहीं है। चरण 3: उल्टे असमान युग्म की जोड़ी न होने पर विरोधी सममितता बनी रहती है।
B. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne2\)/No, because ((1,2)) and ((2,1)) both exist while \(1\ne2\)
Step 1
Concept
In antisymmetry, reverse pairs for unequal elements must not both be present.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(1\ne2\), and both ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 3
Exam Tip
This is a direct violation of antisymmetry. चरण 1: विरोधी सममितता में असमान अवयवों के उल्टे युग्म साथ नहीं होने चाहिए। चरण 2: यहाँ \(1\ne2\) है और ((1,2),(2,1)) दोनों हैं। चरण 3: यह विरोधी सममितता तोड़ने का सीधा उदाहरण है।
These are reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 3
Exam Tip
Equivalence uses symmetry, while partial order uses antisymmetry. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध की तीन शर्तें होती हैं। चरण 2: ये शर्तें स्वसमता, विरोधी सममितता और संक्रमणीयता हैं। चरण 3: तुल्यता में सममितता होती है, जबकि आंशिक क्रम में विरोधी सममितता होती है।
Every positive integer divides itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\mid b\) and \(b\mid a\), then for positive integers (a=b), so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so it is a partial order. चरण 1: हर धनात्मक पूर्णांक स्वयं को विभाजित करता है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid a\), तो धनात्मक पूर्णांकों में (a=b), इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए यह आंशिक क्रम है।
Every set is a subset of itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then (A=B), so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), then \(A\subseteq C\), so it is a partial order. चरण 1: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो (A=B), इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो \(A\subseteq C\), इसलिए यह आंशिक क्रम है।
If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then \(a^2=c^2\), so transitivity holds. चरण 1: \(a^2=a^2\), इसलिए स्वसमता है। चरण 2: \(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\), इसलिए सममितता है। चरण 3: यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\), इसलिए संक्रमणीयता है।
Equality of absolute values transfers through a third number, so it is an equivalence relation. चरण 1: (|a|=|a|), इसलिए स्वसमता है। चरण 2: (|a|=|b|) होने पर (|b|=|a|), इसलिए सममितता है। चरण 3: समान परम मान तीसरी संख्या तक भी जुड़ता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
If (a=b) or (a=-b), the reverse relation also holds.
Step 3
Exam Tip
This relation is like (|a|=|b|), so transitivity also holds and it is an equivalence relation. चरण 1: हर (a) के लिए (a=a), इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि (a=b) या (a=-b), तो उल्टा संबंध भी सही रहता है। चरण 3: यह संबंध (|a|=|b|) जैसा है, इसलिए संक्रमणीयता भी मिलती है और यह तुल्यता संबंध है।
If (a>b) and (b>c), then (a>c), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
It is not reflexive or symmetric because no number is greater than itself. चरण 1: (a-b>0) का अर्थ (a>b) है। चरण 2: यदि (a>b) और (b>c), तो (a>c), इसलिए संक्रमणीयता है। चरण 3: यह स्वसम या सममित नहीं है, क्योंकि कोई संख्या स्वयं से बड़ी नहीं होती।
The relation \(\ge\) is reflexive, antisymmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
Do not call it equivalence because it is generally not symmetric. चरण 1: \(a-b\ge0\) का अर्थ \(a\ge b\) है। चरण 2: \(\ge\) संबंध स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय होता है। चरण 3: इसे तुल्यता न मानें, क्योंकि यह सामान्यतः सममित नहीं है।
(a<b) does not imply (b<a), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
(a<b) and (b<c) imply (a<c), so it is transitive. चरण 1: (a<a) असत्य है, इसलिए (<) स्वसम नहीं है। चरण 2: (a<b) से (b<a) नहीं आता, इसलिए यह सममित नहीं है। चरण 3: (a<b) और (b<c) से (a<c) आता है, इसलिए यह संक्रमणीय है।
In equivalence relation questions, first write the reverse pair of a given pair. चरण 1: तुल्यता संबंध सममित होता है। चरण 2: सममितता के कारण ((2,5)) होने पर ((5,2)) अवश्य होगा। चरण 3: तुल्यता संबंध में दिए गए युग्म से पहले उसका उल्टा युग्म निकालें।
From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Symmetry can then give ((4,1)), but the direct transitive conclusion is ((1,4)). चरण 1: तुल्यता संबंध संक्रमणीय होता है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) अवश्य मिलेगा। चरण 3: फिर सममितता से ((4,1)) भी मिल सकता है, पर पहले सीधा निष्कर्ष ((1,4)) है।
In antisymmetry, if both reverse pairs are present, the elements must be equal.
Step 3
Exam Tip
This conclusion is very useful in partial order questions. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध विरोधी सममित होता है। चरण 2: विरोधी सममितता में दोनों उल्टे युग्म होने पर अवयव समान होने चाहिए। चरण 3: आंशिक क्रम के प्रश्न में यह निष्कर्ष बहुत उपयोगी होता है।
A. यह हमेशा स्वसम, सममित और संक्रमणीय होता है/It is always reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
An identity relation contains only self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
These pairs give reflexivity, are their own reverses, and do not break transitivity.
Step 3
Exam Tip
So identity relation is a simple example of an equivalence relation. चरण 1: तत्समक संबंध में केवल अपने युग्म होते हैं। चरण 2: ये युग्म स्वसमता देते हैं, अपने उल्टे स्वयं हैं और संक्रमणीयता भी नहीं तोड़ते। चरण 3: इसलिए तत्समक संबंध तुल्यता संबंध का सरल उदाहरण है।
A. यह हमेशा स्वसम और सममित होता है/It is always reflexive and symmetric
Step 1
Concept
The universal relation contains all pairs of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence every self-pair and every reverse pair is present.
Step 3
Exam Tip
Think of the universal relation as the complete collection of all pairs. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए हर अपने युग्म और हर उल्टा युग्म भी मौजूद होता है। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध को सभी युग्मों का पूरा संग्रह समझें।
The number of subsets of (16) pairs is \(2^{16}\). चरण 1: \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। चरण 2: हर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। चरण 3: (16) युग्मों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{16}\) है।
The remaining (16-4=12) pairs are free, so the number is \(2^{12}\). चरण 1: कुल युग्म \(4^2=16\) हैं। चरण 2: स्वसम संबंध में (4) अपने युग्म निश्चित रहेंगे। चरण 3: बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है।
The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
For (n=4), \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) independent choices.
Step 3
Exam Tip
Therefore the number is \(2^{10}\). चरण 1: सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। चरण 2: (n=4) रखने पर \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) स्वतंत्र चुनाव मिलते हैं। चरण 3: इसलिए संख्या \(2^{10}\) होगी।
The non-self reverse-pair groups are \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
These (6) groups can be chosen independently, so the number is \(2^6\). चरण 1: स्वसमता के कारण (4) अपने युग्म निश्चित हो जाते हैं। चरण 2: असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) हैं। चरण 3: ये (6) समूह स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है।
For symmetry, only non-self reverse-pair groups remain independent.
Step 3
Exam Tip
There are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups, so the count is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\). चरण 1: स्वसमता सभी (n) अपने युग्मों को निश्चित कर देती है। चरण 2: सममितता के लिए केवल असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह स्वतंत्र रहते हैं। चरण 3: ऐसे समूहों की संख्या (\frac{n(n-1)}{2}) है, इसलिए कुल संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है।
B. नहीं, सममितता से केवल उल्टे युग्म मिलते हैं/No, symmetry gives only reverse pairs
Step 1
Concept
Symmetry gives only ((2,1)) from ((1,2)) and ((3,2)) from ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) would be guaranteed by transitivity, not symmetry.
Step 3
Exam Tip
Do not mix properties; each property has a separate role. चरण 1: सममितता केवल ((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) देती है। चरण 2: ((1,3)) की गारंटी संक्रमणीयता से आती, सममितता से नहीं। चरण 3: गुणों को मिलाकर न पढ़ें, हर गुण का अलग काम है।
From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
From ((2,1)) and ((1,2)), it requires ((2,2)).
Step 3
Exam Tip
A pair of reverse pairs can force self-pairs through transitivity. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से संक्रमणीयता के अनुसार ((1,1)) चाहिए। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। चरण 3: उल्टे युग्मों की जोड़ी होने पर संक्रमणीयता अपने युग्मों की मांग कर सकती है।
B. नहीं, संक्रमणीयता भी चाहिए/No, transitivity is also needed
Step 1
Concept
An equivalence relation needs three properties.
Step 2
Why this answer is correct
Along with reflexivity and symmetry, transitivity is also necessary.
Step 3
Exam Tip
Do not declare equivalence after checking only two properties. चरण 1: तुल्यता संबंध के लिए तीन गुण चाहिए। चरण 2: स्वसमता और सममितता के साथ संक्रमणीयता भी जरूरी है। चरण 3: दो गुण देखकर तुल्यता संबंध घोषित न करें।
B. नहीं, सममितता भी चाहिए/No, symmetry is also needed
Step 1
Concept
Equivalence relation needs symmetry along with reflexivity and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
Many relations like \(\le\) are reflexive and transitive but not symmetric.
Step 3
Exam Tip
All three properties are required for equivalence. चरण 1: तुल्यता संबंध में स्वसमता और संक्रमणीयता के साथ सममितता भी चाहिए। चरण 2: कई संबंध जैसे \(\le\) स्वसम और संक्रमणीय होते हैं, पर सममित नहीं। चरण 3: तुल्यता के लिए तीनों गुण पूरे होने चाहिए।
B. नहीं, सभी अवयवों के अपने युग्म जरूरी नहीं मिलते/No, self-pairs for all elements need not occur
Step 1
Concept
Symmetry and transitivity can create self-pairs for connected elements.
Step 2
Why this answer is correct
But elements not related to anything may still miss their self-pairs.
Step 3
Exam Tip
Reflexivity requires checking self-pairs for every element separately. चरण 1: सममित और संक्रमणीय होने से कुछ जुड़े अवयवों के अपने युग्म मिल सकते हैं। चरण 2: पर जिन अवयवों का कोई संबंध नहीं है, उनके अपने युग्म जरूरी नहीं मिलते। चरण 3: स्वसमता के लिए हर अवयव का अपना युग्म अलग से जाँचना जरूरी है।
The relation has ((1,1)) and ((2,2)), but not ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
If even one element lacks its self-pair, the relation is not reflexive. चरण 1: स्वसमता के लिए (1,2,3) तीनों के अपने युग्म चाहिए। चरण 2: संबंध में ((1,1)) और ((2,2)) हैं, पर ((3,3)) नहीं है। चरण 3: किसी भी एक अवयव का अपना युग्म छूटे तो संबंध स्वसम नहीं होता।
A. यह हमेशा सममित और संक्रमणीय होता है/It is always symmetric and transitive
Step 1
Concept
In the empty relation, no pair exists to violate symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
There are no linked pairs to violate transitivity either.
Step 3
Exam Tip
But on a non-empty set it is not reflexive because self-pairs are missing. चरण 1: रिक्त संबंध में कोई ऐसा युग्म नहीं होता जो सममितता को तोड़े। चरण 2: संक्रमणीयता तोड़ने वाले जुड़े युग्म भी नहीं होते। चरण 3: पर अरिक्त समुच्चय पर यह स्वसम नहीं होता, क्योंकि अपने युग्म नहीं होते।
A. यह स्वसम, सममित और संक्रमणीय माना जाता है/It is considered reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
In the empty set, there is no element that can violate reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
There are no pairs that can violate symmetry or transitivity.
Step 3
Exam Tip
In empty-set questions, conditions can be vacuously true. चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, इसलिए स्वसमता की शर्त तोड़ने वाला कोई अवयव नहीं है। चरण 2: सममितता और संक्रमणीयता तोड़ने वाले युग्म भी नहीं हैं। चरण 3: रिक्त समुच्चय वाले प्रश्नों में शर्तें रिक्त रूप से सत्य हो सकती हैं।
Self-pairs satisfy symmetry and do not violate antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs of unequal elements would break antisymmetry. चरण 1: तत्समक संबंध में केवल अपने युग्म होते हैं। चरण 2: अपने युग्म सममितता भी पूरी करते हैं और विरोधी सममितता भी नहीं तोड़ते। चरण 3: असमान उल्टे युग्म साथ हों तो विरोधी सममितता टूट जाती है।
A. असमान अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता/No pair can occur between unequal elements
Step 1
Concept
Symmetry says if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must be present.
Step 2
Why this answer is correct
Antisymmetry does not allow both pairs for unequal (a,b).
Step 3
Exam Tip
Therefore no pair between unequal elements can remain. चरण 1: सममितता कहती है कि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी हो। चरण 2: विरोधी सममितता असमान (a,b) के लिए दोनों युग्मों को साथ अनुमति नहीं देती। चरण 3: इसलिए असमान अवयवों के बीच युग्म रखना संभव नहीं रहता।
B. नहीं, क्योंकि ((1,3)) नहीं है/No, because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
Even with self-pairs present, transitivity can fail separately. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रमणीयता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, जो नहीं है। चरण 3: स्वसम युग्म मौजूद होने पर भी संक्रमणीयता अलग से टूट सकती है।
No reverse pair for unequal elements occurs, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive. चरण 1: सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: कोई असमान उल्टा युग्म साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए संक्रमणीयता है।
A. क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne2\)/Because ((1,2)) and ((2,1)) both exist while \(1\ne2\)
Step 1
Concept
A partial order requires antisymmetry.
Step 2
Why this answer is correct
Here for unequal (1) and (2), both reverse pairs are present.
Step 3
Exam Tip
Once antisymmetry fails, the relation cannot be a partial order. चरण 1: आंशिक क्रम के लिए विरोधी सममितता जरूरी है। चरण 2: यहाँ असमान (1) और (2) के लिए दोनों उल्टे युग्म मौजूद हैं। चरण 3: विरोधी सममितता टूटते ही संबंध आंशिक क्रम नहीं रह सकता।
A. वास्तविक संख्याओं पर \(\le\)/\(\le\) on real numbers
Step 1
Concept
\(\le\) is reflexive, antisymmetric and transitive, so it is a partial order.
Step 2
Why this answer is correct
It is not symmetric because \(2\le3\) but \(3\le2\) is false.
Step 3
Exam Tip
Symmetry is required for equivalence relation. चरण 1: \(\le\) स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है, इसलिए आंशिक क्रम है। चरण 2: यह सममित नहीं है, क्योंकि \(2\le3\) है पर \(3\le2\) नहीं। चरण 3: तुल्यता संबंध के लिए 3: तुल्यता संबंध के लिए सममितता जरूरी होती है।
A. पूर्णांकों पर समान शेष (2) से भाग देने पर/Same remainder on division by (2) over integers
Step 1
Concept
The same-remainder relation is reflexive, symmetric and transitive, so it is an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
It is not antisymmetric because different numbers can have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
Distinguish symmetric equivalence relations from partial orders. चरण 1: समान शेष संबंध स्वसम, सममित और संक्रमणीय है, इसलिए तुल्यता संबंध है। चरण 2: यह विरोधी सममित नहीं होता, क्योंकि अलग संख्याएँ भी समान शेष रख सकती हैं। चरण 3: सममित तुल्यता संबंधों को आंशिक क्रम से अलग पहचानें।
A. पहले अपने युग्म, फिर उल्टे युग्म, फिर जुड़े युग्म/First self-pairs, then reverse pairs, then linked pairs
Step 1
Concept
Self-pairs help check reflexivity quickly.
Step 2
Why this answer is correct
Reverse pairs help check symmetry or antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
Linked pairs help check transitivity and then decide the final type. चरण 1: अपने युग्मों से स्वसमता जल्दी जाँची जाती है। चरण 2: उल्टे युग्मों से सममितता या विरोधी सममितता जाँची जाती है। चरण 3: जुड़े युग्मों से संक्रमणीयता जाँचकर अंतिम प्रकार तय करें।
