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A. \((-\infty,-1]\) पर एकैकी/One-one on (\(-\infty,-1]\)
Step 1
Concept
एकैकी जांचने के लिए बढ़ने-घटने का व्यवहार देखें। / Check monotonic behaviour to test one-one nature.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), इसलिए (\(-\infty,-1]\) पर फलन लगातार बढ़ता है। / (f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), so the function is increasing on (\(-\infty,-1]\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसे घन फलनों के लिए अवकलज का संकेत सबसे तेज तरीका है। / In exams, the sign of the derivative is the quickest method for such cubic functions.
शीर्ष बिंदु (x=-2) है और इसके दाईं ओर फलन लगातार बढ़ता है। / The vertex is at (x=-2), and the function is strictly increasing to the right of it.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन पूरे वास्तविक समुच्चय पर एकैकी नहीं होता, लेकिन शीर्ष के एक ओर एकैकी होता है। / A quadratic function is not one-one on all real numbers, but it is one-one on one side of its vertex.
एकैकी फलन में (A) के अलग-अलग अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयव मिलते हैं। / In a one-one function, distinct elements of (A) must get distinct images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
पहले अवयव के लिए (4), दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(4\cdot3\cdot2=24\)। / The first element has (4) choices, the second has (3), and the third has (2), so total \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
गिनती में क्रम का ध्यान रखें क्योंकि फलन में कौन-सा अवयव किससे जुड़ा है, यह बदलता है। / Remember that order matters in function assignment.
एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम से कम उतने ही अवयव चाहिए जितने प्रांत में हैं। / For a one-one function, the codomain must have at least as many elements as the domain.
Step 2
Why this answer is correct
यहां (A) में (5) और (B) में केवल (3) अवयव हैं, इसलिए अलग-अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। / Here (A) has (5) elements and (B) has only (3), so distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो, तो एकैकी फलन की संख्या तुरंत (0) लिखें। / If the domain is larger than the codomain, the number of one-one functions is (0).
अवकलज से बढ़ने-घटने का पता लगाएं। / Use the derivative to study monotonicity.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=e^x+1), जो हर (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए फलन सख्ती से बढ़ता है और एकैकी है। / (f'(x)=e^x+1), which is positive for every (x). Hence the function is strictly increasing and one-one.
Step 3
Exam Tip
अगर अवकलज हमेशा धनात्मक या हमेशा ऋणात्मक हो, तो फलन एकैकी होता है। / A function with derivative always positive or always negative is one-one.
\(\sin x\) पूरे वास्तविक समुच्चय पर आवर्ती है, इसलिए एकैकी नहीं है। / \(\sin x\) is periodic on the real line, so it is not one-one on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में एकैकी बनाने के लिए उपयुक्त सीमित अंतराल चुनें। / For trigonometric functions, choose a proper restricted interval to make them one-one.
\(\ln x\) का प्रांत (\(0,\infty\)) है। / The domain of \(\ln x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=\frac{1}{x}), जो इस प्रांत में हर जगह धनात्मक है, इसलिए फलन बढ़ता है। / (f'(x)=\frac{1}{x}), which is positive throughout this domain, so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ लघुगणकीय फलन अपने प्रांत पर एकैकी होता है। / An increasing logarithmic function is one-one on its domain.
(|x-2|) का आलेख (x=2) पर मुड़ता है। / The graph of (|x-2|) turns at (x=2).
Step 2
Why this answer is correct
\([2,\infty\)) पर यह (x-2) बन जाता है और लगातार बढ़ता है। / On \([2,\infty\)), it becomes (x-2) and is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन को एकैकी बनाने के लिए मोड़ बिंदु के एक ओर प्रांत सीमित करें। / To make a modulus function one-one, restrict the domain to one side of the turning point.
समान आकार के सीमित समुच्चय में एकैकी फलन वास्तव में क्रमचय जैसा होता है। / For finite sets of equal size, a one-one function acts like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अवयवों को (4) अलग स्थानों पर भेजने के तरीके (4!=24) हैं। / The (4) elements can be mapped distinctly in (4!=24) ways.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव हों, तो एकैकी फलनों की संख्या (n!) होती है। / When domain and codomain have equal size (n), the number of one-one functions is (n!).
एकैकी न होने के लिए दो अलग इनपुटों का समान मान दिखाना काफी है। / To prove not one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\(\frac{1}{2}\)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{2}{5})। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\(\frac{1}{2}\)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{2}{5}).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में उपयुक्त जोड़ी खोजना अवकलज से भी तेज हो सकता है। / In such questions, finding a smart pair can be faster than using derivatives.
दो अलग मानों पर फलन का मान जांचें। / Test the function at two different values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-1)=(-1)3+(-1)2=0), जबकि \(0\ne -1\)। / (f(0)=0) and (f(-1)=(-1)3+(-1)2=0), while \(0\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
एक ही प्रतिबिंब देने वाली जोड़ी मिलते ही पूरे प्रांत पर एकैकीपन टूट जाता है। / One pair of distinct inputs with the same image breaks one-one nature on the whole domain.
फलन में प्रत्येक प्रांत अवयव का एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। / Each domain element has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (5) है, इसलिए अलग इनपुटों के प्रतिबिंब अलग नहीं हैं। / Both (1) and (3) have image (5), so distinct inputs do not have distinct images.
Step 3
Exam Tip
एकैकी जांचते समय समान प्रतिबिंबों पर विशेष ध्यान दें। / While checking one-one nature, focus on repeated images.
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि (a,b>0)। / \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) gives (a=b), since (a,b>0).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम प्रकार के फलनों में समान मान रखकर सीधा प्रमाण अच्छा रहता है। / For reciprocal-type functions, direct proof using equal images is very effective.
\(\tan x\) आवर्ती है और हर जगह परिभाषित भी नहीं है। / \(\tan x\) is periodic and is not defined everywhere.
Step 2
Why this answer is correct
(\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर यह लगातार बढ़ता है और हर मान एक बार लेता है। / On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), it is strictly increasing and takes each value once.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय प्रतिलोम फलनों के लिए मानक एकैकी अंतराल याद रखें। / Remember standard one-one intervals for inverse trigonometric functions.
पूर्णांकों में (1) और (-1) दोनों मौजूद हैं। / Both (1) and (-1) are present in integers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1), लेकिन \(1\ne -1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), but \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन सममित होता है, इसलिए बड़े प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / The square function is symmetric, so it is generally not one-one on a large symmetric domain.
(f(a)=f(b)\Rightarrow a+2=b+2\Rightarrow a=b), इसलिए फलन एकैकी है। / (f(a)=f(b)\Rightarrow a+2=b+2\Rightarrow a=b), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\mathbb{N}\) में (1) और (2) जैसे मान किसी (n) से नहीं मिलते, इसलिए आच्छादी नहीं है। / Values like (1) and (2) in \(\mathbb{N}\) are not images of any (n), so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
एकैकी और आच्छादी को अलग-अलग जांचना चाहिए। / Always test one-one and onto separately.
\(a^3=b^3\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं में घन फलन क्रम बनाए रखता है। / \(a^3=b^3\) gives (a=b), because the cube function preserves order on real numbers.
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सरल घात फलन अक्सर पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी होते हैं। / Simple odd-power functions are often one-one on the whole real domain.
(A) के (5) अवयवों को (B) के (6) अलग अवयवों पर भेजना है। / The (5) elements of (A) must be mapped to (5) distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्पों की संख्या \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=720\) है। / The number of choices is \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=720\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों की गिनती में \(^{m}P_n\) का प्रयोग करें, जहां (m) सहप्रांत और (n) प्रांत के अवयव हैं। / Use \(^{m}P_n\) for counting one-one functions from an (n)-element domain to an (m)-element codomain.
\(1+\cos x\ge 0\) हर (x) के लिए है और फलन घटता नहीं है; साथ ही \(x+\sin x\) समान मान दो अलग बिंदुओं पर नहीं दोहराता। / \(1+\cos x\ge 0\) for every (x), and the function does not repeat the same value at two distinct points.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में अवकलज के साथ फलन की कुल बढ़ने की दिशा भी देखें। / In such questions, combine derivative sign with overall increasing behaviour.
\(1-\cos x\ge 0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे नहीं लौटता। / \(1-\cos x\ge 0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
गैर-ऋणात्मक अवकलज के साथ समान मान दोहराने की संभावना जांचकर एकैकीपन तय करें। / With a non-negative derivative, check whether equal values can repeat before deciding one-one nature.
(A) के तीन अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयवों से जोड़ना है। / The three elements of (A) must be assigned distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प \(5\cdot4\cdot3=60\) होंगे। / The choices are \(5\cdot4\cdot3=60\).
Step 3
Exam Tip
साधारण फलनों की संख्या \(5^3\) होती, लेकिन एकैकी में दोहराव नहीं चल सकता। / The number of all functions would be \(5^3\), but one-one functions cannot repeat images.
\(x^2\) में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। / In \(x^2\), (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\infty\)) पर ऋणात्मक भाग हट जाता है और फलन लगातार बढ़ता है। / On \([0,\infty\)), the negative side is removed and the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को एकैकी बनाने के लिए प्रांत को केवल एक ओर रखें। / To make the square function one-one, keep the domain on one side only.
प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। / The domain contains only zero and negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए एक ही मान दो अलग (x) पर नहीं आता। / On this domain, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है। / A strictly decreasing function is also one-one.
अवकलज (f'(x)=3x-2-12x+12=3(x-2)2) है। / The derivative is (f'(x)=3x-2-12x+12=3(x-2)2).
Step 2
Why this answer is correct
यह हर (x) पर (0) या धनात्मक है और फलन घटता नहीं है; वास्तव में (f(x)=(x-2)3+9) है, जो एकैकी है। / It is zero or positive everywhere, and (f(x)=(x-2)3+9), which is one-one.
Step 3
Exam Tip
घन रूप में बदलना कई बार अवकलज से भी साफ समाधान देता है। / Rewriting a cubic can sometimes give a clearer solution than derivative alone.
((x-1)2) का शीर्ष (x=1) पर है। / The vertex of ((x-1)2) is at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
([0,2]) में शीर्ष के दोनों ओर बिंदु हैं, जैसे (0) और (2), जिनका मान (1) है। / The interval ([0,2]) contains points on both sides of the vertex, such as (0) and (2), both giving value (1).
Step 3
Exam Tip
यदि अंतराल में शीर्ष के दोनों ओर समान दूरी वाले बिंदु हों, तो द्विघात फलन एकैकी नहीं होगा। / If an interval contains points equally placed around the vertex, a quadratic is not one-one.
तब (g(f(a))=g(f(b))), यानी (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b)। / Then (g(f(a))=g(f(b))), so (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)). Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में परिभाषा को सीधे लागू करें। / In composition questions, apply the definition directly.
(g(f(a))=g(f(b))), और (g) एकैकी है, इसलिए (f(a)=f(b))। फिर (f) एकैकी होने से (a=b)। / Then (g(f(a))=g(f(b))), and since (g) is one-one, (f(a)=f(b)). Since (f) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का संयोजन भी एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
\(\frac{a+1}{a-1}=\frac{b+1}{b-1}\) से ((a+1)(b-1)=(b+1)(a-1)), जिससे (a=b) मिलता है। / \(\frac{a+1}{a-1}=\frac{b+1}{b-1}\) gives ((a+1)(b-1)=(b+1)(a-1)), leading to (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक रैखिक फलनों में क्रॉस गुणा करके एकैकीपन जांचें। / For fractional linear functions, cross-multiplication is a good way to test one-one nature.
इसका विविक्तकर \(2^2-4\cdot3\cdot1=-8<0\) और अग्र गुणांक धनात्मक है, इसलिए (f'(x)>0) हर (x) पर। / Its discriminant is \(2^2-4\cdot3\cdot1=-8<0\) and the leading coefficient is positive, so (f'(x)>0) for all (x).
Step 3
Exam Tip
अवकलज हमेशा धनात्मक हो तो फलन एकैकी होता है। / If the derivative is always positive, the function is one-one.
प्रांत में (4) अवयव हैं और सहप्रांत में (3) अवयव हैं। / The domain has (4) elements and the codomain has (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी फलन में चारों प्रांत अवयवों को अलग-अलग प्रतिबिंब चाहिए, जो केवल (3) अवयवों में संभव नहीं। / A one-one function needs four distinct images, which is impossible with only (3) codomain elements.
Step 3
Exam Tip
जब सहप्रांत छोटा हो, तो एकैकी फलन नहीं बनता। / If the codomain is smaller than the domain, no one-one function exists.
दो अलग इनपुटों के मान जांचें। / Check values at two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(3)=27-27=0), जबकि \(0\ne3\)। / (f(0)=0) and (f(3)=27-27=0), while \(0\ne3\).
Step 3
Exam Tip
घन फलन भी हर बार एकैकी नहीं होता; उसमें मोड़ होने पर समान मान आ सकते हैं। / A cubic function is not always one-one; turning behaviour can create repeated values.
\(\lfloor x\rfloor\) किसी संख्या से छोटे या बराबर सबसे बड़े पूर्णांक को देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to the number.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), जबकि \(1.2\ne1.8\)। / (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\ne1.8\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ीनुमा फलनों में कई इनपुटों का प्रतिबिंब समान हो सकता है। / Step-like functions often map many inputs to the same output.
A. क्योंकि (f(1.1)=f(1.9))/Because (f(1.1)=f(1.9))
Step 1
Concept
\(\lceil x\rceil\) (x) से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक देता है। / \(\lceil x\rceil\) gives the smallest integer greater than or equal to (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(\lceil1.1\rceil=2\) और \(\lceil1.9\rceil=2\), जबकि दोनों इनपुट अलग हैं। / \(\lceil1.1\rceil=2\) and \(\lceil1.9\rceil=2\), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मान फलनों में एकैकीपन जांचने के लिए पास-पास के दशमलव मान उपयोगी होते हैं। / For integer-valued functions, nearby decimal values are useful for testing one-one nature.
तीनों प्रतिबिंब अलग-अलग हैं, इसलिए कोई दो अलग इनपुट समान प्रतिबिंब नहीं देते। / All three images are distinct, so no two different inputs have the same image.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में तालिका बनाकर एकैकीपन जल्दी जांचा जा सकता है। / For finite sets, a value table quickly checks one-one nature.
वर्ग फलन में विपरीत संख्याओं के वर्ग समान होते हैं। / In a square function, opposite numbers have the same square.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4-1=3) और (f(-2)=4-1=3), जबकि \(2\ne-2\)। / (f(2)=4-1=3) and (f(-2)=4-1=3), while \(2\ne-2\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन के लिए (x) और (-x) जैसी जोड़ी अक्सर तुरंत उत्तर देती है। / For quadratic functions, pairs like (x) and (-x) often give a quick counterexample.
