यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 -3x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 -3x), choose the correct statement about (f).
#one-one function
#polynomial
#counterexample
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) केवल आच्छादक है इसलिए एक-एक भी है / (f) is onto only so it is also one-one
C (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\)) / (f) is not one-one because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
D (f) किसी भी वास्तविक संख्या पर परिभाषित नहीं है / (f) is not defined for any real number
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Correct Answer
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\)) / (f) is not one-one because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
Step 1
Concept
एक-एकता को गलत सिद्ध करने के लिए दो अलग आगतों का समान मान दिखाना पर्याप्त है। / To disprove injectivity it is enough to show two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), जबकि \(0\neq\sqrt{3}\)। / (f(0)=0) and (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), while \(0\neq\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में केवल घात देखकर निर्णय न करें, विशेष मानों से जांच करें। / Do not decide by degree alone; test special values.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +x) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +x), what is the nature of (f)?
#increasing function
#cubic function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एक-एक नहीं / Not one-one
B एक-एक / One-one
C स्थिर / Constant
D केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित / Defined only on positive numbers
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Correct Answer
B. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) और (x) दोनों वास्तविक संख्याओं पर बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। / Both \(x^3\) and (x) contribute increasing behavior on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(x_1<x_2\), तो \(x_1^3<x_2^3\) और इसलिए \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\)। / If \(x_1<x_2\), then \(x_1^3<x_2^3\), so \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\).
Step 3
Exam Tip
जो फलन लगातार बढ़ता है वह एक-एक होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=(k+1)x+4) है, तो (f) एक-एक कब होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=(k+1)x+4), when will (f) be one-one?
#parameter
#linear function
#injective function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A जब (k=1) ही हो / Only when (k=1)
B जब (k=-1) / When (k=-1)
C हर वास्तविक (k) के लिए / For every real (k)
D जब \(k\neq-1\) / When \(k\neq-1\)
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Correct Answer
D. जब \(k\neq-1\) / When \(k\neq-1\)
Step 1
Concept
रैखिक फलन (ax+b) एक-एक तब होता है जब \(a\neq0\)। / A linear function (ax+b) is one-one when \(a\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
यहां (x) का गुणांक (k+1) है। / Here the coefficient of (x) is (k+1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(k+1\neq0\), अर्थात \(k\neq-1\) होना चाहिए। / Hence \(k+1\neq0\), so \(k\neq-1\).
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x+\frac{1}{x}), choose the correct statement about (f).
#reciprocal expression
#counterexample
#one-one function
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
D (f) (x=0) पर परिभाषित है / (f) is defined at (x=0)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
समान मान देने वाले अलग आगत ढूंढें। / Look for different inputs giving the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2})। / (f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}).
Step 3
Exam Tip
अलग आगतों पर समान मान मिलने से फलन एक-एक नहीं रहता। / Same value at different inputs makes the function not one-one.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x+\frac{1}{x}), what is the correct conclusion about (f)?
#restricted domain
#reciprocal expression
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) ऋणात्मक मान ही देता है / (f) gives only negative values
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Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
समान मान मानकर जांच करें। / Check by assuming equal images.
Step 2
Why this answer is correct
\(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\) से (\(x_1-x_2\)\left\(1-\frac{1}{x_1x_2}\right\)=0) मिलता है। / From \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\), we get (\(x_1-x_2\)\left\(1-\frac{1}{x_1x_2}\right\)=0).
Step 3
Exam Tip
\(x_1,x_2\ge1\) होने पर दूसरा गुणक शून्य हो तो भी \(x_1=x_2=1\), इसलिए अंत में \(x_1=x_2\) ही मिलता है। / Since \(x_1,x_2\ge1\), the second factor can be zero only when both are (1), so finally \(x_1=x_2\).
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यदि (|A|=5) और (|B|=7) है, तो (A) से (B) तक एक-एक फलनों की संख्या क्या होगी?
If (|A|=5) and (|B|=7), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#counting functions
#permutation
#finite sets
#one-one function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (35)
B (120)
C (2520)
D (16807)
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Step 1
Concept
एक-एक फलन में (A) के पांच तत्वों के लिए (B) से पांच अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs five distinct images from (B) for the five elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\) होगी। / The number is \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलन की गिनती में क्रमचय का प्रयोग करें। / Use permutations for counting one-one functions.
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यदि (|A|=6) और (|B|=4) है, तो (A) से (B) तक एक-एक फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=6) and (|B|=4), what is the number of one-one functions from (A) to (B)?
#finite sets
#pigeonhole principle
#injective function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (24)
B (4096)
C (720)
D (0)
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Step 1
Concept
एक-एक फलन में प्रांत के हर अलग तत्व को सहप्रांत का अलग तत्व चाहिए। / A one-one function needs a distinct codomain element for each distinct domain element.
Step 2
Why this answer is correct
यहां प्रांत में (6) तत्व हैं और सहप्रांत में केवल (4) तत्व हैं। / Here the domain has (6) elements but the codomain has only (4).
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत में तत्व अधिक हों, तो एक-एक फलन बनना असंभव है। / When the domain has more elements, a one-one function is impossible.
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यदि \(f\circ g\) एक-एक है, तो कौन सा कथन निश्चित रूप से सही है?
If \(f\circ g\) is one-one, which statement is definitely true?
#composition
#injective function
#necessary condition
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (f) स्थिर है / (f) is constant
B (f) अवश्य आच्छादक है / (f) is necessarily onto
C (g) एक-एक है / (g) is one-one
D (g) अवश्य स्थिर है / (g) is necessarily constant
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Correct Answer
C. (g) एक-एक है / (g) is one-one
Step 1
Concept
मान लें (g\(x_1\)=g\(x_2\))। / Suppose (g\(x_1\)=g\(x_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (f(g\(x_1\))=f(g\(x_2\))), अर्थात (\(f\circ g\)\(x_1\)=\(f\circ g\)\(x_2\))। / Then (f(g\(x_1\))=f(g\(x_2\))), so (\(f\circ g\)\(x_1\)=\(f\circ g\)\(x_2\)).
Step 3
Exam Tip
\(f\circ g\) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\), अतः (g) एक-एक है। / Since \(f\circ g\) is one-one, \(x_1=x_2\), hence (g) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\ln\(x^2+1\)) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\ln\(x^2+1\)), choose the correct statement about (f).
#logarithmic function
#even function
#counterexample
#one-one function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
C (f) केवल धनात्मक आगतों पर परिभाषित है / (f) is defined only for positive inputs
D (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
\(x^2\) में (x) और (-x) समान मान देते हैं। / \(x^2\) gives the same value for (x) and (-x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(1)=\ln2) और (f(-1)=\ln2), जबकि \(1\neq-1\)। / Hence (f(1)=\ln2) and (f(-1)=\ln2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
अंदर सम घात हो तो एक-एकता को खास ध्यान से जांचें। / When an even power appears inside, check injectivity carefully.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\ln\(x^2+1\)) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\ln\(x^2+1\)), what is the correct conclusion about (f)?
#restricted domain
#logarithmic function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) (x=0) पर परिभाषित नहीं है / (f) is not defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। / In the given domain \(x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(x^2+1\) बढ़ता है और (\ln\(x^2+1\)) भी बढ़ता है। / As (x) increases, \(x^2+1\) increases and (\ln\(x^2+1\)) also increases.
Step 3
Exam Tip
प्रांत को सही तरह सीमित करने से वही नियम एक-एक बन सकता है। / A suitable domain restriction can make the same rule one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=e^x+e^{-x}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=e^x+e^{-x}), what is the correct statement about (f)?
#exponential function
#even behavior
#counterexample
#one-one function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
C (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
D (f) केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / (f) is defined only on integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
\(e^x+e^{-x}\) में (x) की जगह (-x) रखने पर वही मान मिलता है। / In \(e^x+e^{-x}\), replacing (x) by (-x) gives the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=e+e^{-1}) और (f(-1)=e^{-1}+e), इसलिए दोनों बराबर हैं। / (f(1)=e+e^{-1}) and (f(-1)=e^{-1}+e), so they are equal.
Step 3
Exam Tip
सम व्यवहार वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एक-एक नहीं होते। / Functions with even behavior are not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=e^x-e^{-x}) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=e^x-e^{-x}), what is the nature of (f)?
#exponential function
#increasing function
#one-one function
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एक-एक नहीं / Not one-one
B स्थिर / Constant
C एक-एक / One-one
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
C. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
\(e^x\) बढ़ता है और \(e^{-x}\) घटता है। / \(e^x\) increases and \(e^{-x}\) decreases.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^x-e^{-x}\) (x) बढ़ने पर लगातार बढ़ता है। / Therefore \(e^x-e^{-x}\) keeps increasing as (x) increases.
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ने वाला फलन एक-एक होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(x)=\lfloor x\rfloor) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) and (f(x)=\lfloor x\rfloor), which statement about (f) is correct?
#greatest integer function
#counterexample
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) का कोई मान नहीं है / (f) has no value
D (f) केवल (x=0) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
महत्तम पूर्णांक फलन एक अंतराल के कई मानों को एक ही पूर्णांक देता है। / The greatest integer function maps many values from an interval to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor1.9\rfloor=1\), जबकि \(1.2\neq1.9\)। / \(\lfloor1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor1.9\rfloor=1\), while \(1.2\neq1.9\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ीनुमा फलनों में प्रतिबिंब दोहराना सामान्य है। / Step functions commonly repeat outputs.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-3 ) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-3 ), what is the correct statement about (f)?
#integer function
#cubic function
#injective function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f(1)=f(-1))
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) एक-एक है / (f) is one-one
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
घन फलन पूर्णांकों पर क्रम बनाए रखता है। / The cube function preserves order on integers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(n_1^3=n_2^3\), तो \(n_1=n_2\) ही होगा। / If \(n_1^3=n_2^3\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
विषम घात का यह सरल नियम पूर्णांकों पर एक-एक रहता है। / This simple odd-power rule remains one-one on integers.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=|n|) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=|n|), why is (f) not one-one?
#absolute value
#integer function
#counterexample
#one-one function
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? Hint Small clue
A क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
B क्योंकि हर मान ऋणात्मक है / Because every value is negative
C क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
D क्योंकि (f(1)\neq f(-1)) / Because (f(1)\neq f(-1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान विपरीत पूर्णांकों को समान मान देता है। / Absolute value gives the same value for opposite integers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\neq-2\), लेकिन (|2|=2) और (|-2|=2)। / \(2\neq-2\), but (|2|=2) and (|-2|=2).
Step 3
Exam Tip
एक समान प्रतिबिंब मिलते ही एक-एकता टूट जाती है। / One repeated image is enough to break injectivity.
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यदि \(f=\{(1,a),(2,c),(3,b),(4,d)\}\) है, जहां \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d,e}\), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f=\{(1,a),(2,c),(3,b),(4,d)\}\), where \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d,e}\), choose the correct statement about (f).
#ordered pairs
#finite function
#one-one function
#class 12
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A (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
D (f) का प्रांत रिक्त है / The domain of (f) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब दिया गया है। / Each element of the domain has exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (a,c,b,d) सभी अलग हैं। / The images (a,c,b,d) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में दूसरे अवयवों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एक-एक होता है। / For finite sets a function is one-one when second components do not repeat.
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यदि \(f:A\to B\) एक-एक है और \(A=\{p,q,r,s\}\), तो कौन सी छवि-सूची संभव नहीं है?
If \(f:A\to B\) is one-one and \(A=\{p,q,r,s\}\), which image list is not possible?
#finite mapping
#image list
#one-one function
#exam practice
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(p)=1,\ f(q)=2,\ f(r)=3,\ f(s)=4)
B (f(p)=5,\ f(q)=6,\ f(r)=7,\ f(s)=8)
C (f(p)=2,\ f(q)=4,\ f(r)=6,\ f(s)=8)
D (f(p)=3,\ f(q)=5,\ f(r)=3,\ f(s)=7)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (f(p)=3,\ f(q)=5,\ f(r)=3,\ f(s)=7)
Step 1
Concept
एक-एक फलन में अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। / In a one-one function different inputs must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
चौथे विकल्प में (p) और (r) दोनों का प्रतिबिंब (3) है। / In the fourth option both (p) and (r) have image (3).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सबसे पहले दोहराए गए प्रतिबिंब को खोजें। / In such questions first look for repeated images.
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किस स्थिति में \(f:A\to B\) का प्रतिलोम संबंध (f(A)\to A) एक फलन बनेगा?
In which case will the inverse relation of \(f:A\to B\) become a function from (f(A)) to (A)?
#inverse relation
#injective function
#one-one function
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A जब (f) एक-एक हो / When (f) is one-one
B जब (f) स्थिर हो और (A) में कई तत्व हों / When (f) is constant and (A) has many elements
C जब (B) रिक्त हो / When (B) is empty
D जब (f) परिभाषित न हो / When (f) is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब (f) एक-एक हो / When (f) is one-one
Step 1
Concept
प्रतिलोम में हर प्रतिबिंब को उसके मूल आगत से जोड़ा जाता है। / In the inverse relation each image is linked back to its original input.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f) एक-एक है, तो हर प्रतिबिंब का केवल एक मूल आगत होगा। / If (f) is one-one, each image has only one original input.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम को फलन बनाने के लिए एक-एकता जरूरी शर्त है। / Injectivity is the key condition for the inverse to be a function.
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एक-एक फलन की रेखाचित्र द्वारा जांच के लिए कौन सा नियम सही है?
Which rule is correct for checking a one-one function from its graph?
#horizontal line test
#graph
#one-one function
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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A हर ऊर्ध्वाधर रेखा रेखाचित्र को दो बार काटे / Every vertical line cuts the graph twice
B हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बार काटे / Every horizontal line cuts the graph at most once
C हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को कम से कम दो बार काटे / Every horizontal line cuts the graph at least twice
D रेखाचित्र का वक्र होना जरूरी है / The graph must be curved
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Correct Answer
B. हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बार काटे / Every horizontal line cuts the graph at most once
Step 1
Concept
एक-एकता का अर्थ है कि एक ही (y)-मान दो अलग (x)-मानों से न मिले। / Injectivity means the same (y)-value should not come from two different (x)-values.
Step 2
Why this answer is correct
क्षैतिज रेखा एक निश्चित (y)-मान को दिखाती है। / A horizontal line represents a fixed (y)-value.
Step 3
Exam Tip
यदि कोई क्षैतिज रेखा दो बार काटती है, तो फलन एक-एक नहीं होगा। / If any horizontal line cuts the graph twice, the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }), what is the correct statement about (f)?
#rational function
#counterexample
#one-one function
#expert
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
C (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
D (f) स्थिर है / (f) is constant
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Correct Answer
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
भिन्न वाले फलन में समान मानों की जांच करें। / For a rational function check repeated values carefully.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), while \(2\neq\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों पर समान मान मिलने से एक-एकता नहीं रहती। / Same value at two different inputs destroys injectivity.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{-1}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x-1}{x+1}) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}-{-1}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), what is the correct conclusion about (f)?
#linear fractional function
#rational function
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) (x=1) पर परिभाषित नहीं है / (f) is not defined at (x=1)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
समान प्रतिबिंब मानकर हल करें। / Assume equal images and solve.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\) करने पर सरल करने से \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\), simplification gives \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक भिन्नात्मक फलन में क्रॉस गुणा करते समय प्रांत की मनाही याद रखें। / In linear fractional functions remember the excluded domain value while cross multiplying.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-2 +1}) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-2 +1}), choose the correct statement about (f).
#rational function
#even expression
#counterexample
#one-one function
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) केवल शून्य मान देता है / (f) gives only zero value
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Correct Answer
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
नियम में केवल \(x^2\) है, इसलिए (x) और (-x) समान मान दे सकते हैं। / The rule contains only \(x^2\), so (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=0) और (f(-1)=0), जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=0) and (f(-1)=0), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले भिन्न रूप में विपरीत आगत तुरंत जांचें। / In rational expressions with even powers, test opposite inputs quickly.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x+1) यदि (x<0) और (f(x)=x-2 ) यदि \(x\ge0\) से परिभाषित किया गया है। सही कथन क्या है?
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x+1) if (x<0) and (f(x)=x-2 ) if \(x\ge0\). What is the correct statement?
#piecewise function
#range overlap
#counterexample
#expert
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
C (f) हर जगह स्थिर है / (f) is constant everywhere
D (f) एक-एक नहीं है क्योंकि दो भागों के परास मिलते हैं / (f) is not one-one because the ranges of the two pieces overlap
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Correct Answer
D. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि दो भागों के परास मिलते हैं / (f) is not one-one because the ranges of the two pieces overlap
Step 1
Concept
टुकड़ों में दिए फलन में अलग-अलग भागों के परास देखें। / In a piecewise function check the ranges of different pieces.
Step 2
Why this answer is correct
(f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}) और (f\left\(\frac{1}{\sqrt{2}}\right\)=\frac{1}{2}), जबकि दोनों आगत अलग हैं। / (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}) and (f\left\(\frac{1}{\sqrt{2}}\right\)=\frac{1}{2}), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
अलग भागों से समान मान मिलना एक-एकता को तोड़ देता है। / Same value from different pieces breaks injectivity.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-1) यदि (x<0) और (f(x)=x+1) यदि \(x\ge0\) से परिभाषित किया गया है। (f) के लिए सही कथन क्या है?
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-1) if (x<0) and (f(x)=x+1) if \(x\ge0\). What is correct about (f)?
#piecewise function
#disjoint ranges
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
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Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x<0) पर (f(x)<-1) मिलता है। / For (x<0), (f(x)<-1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge0\) पर (f(x)\ge1) मिलता है, इसलिए दोनों भागों के परास अलग हैं। / For \(x\ge0\), (f(x)\ge1), so the ranges of the two pieces are disjoint.
Step 3
Exam Tip
हर भाग अलग-अलग एक-एक है और परास नहीं मिलते, इसलिए पूरा फलन एक-एक है। / Each piece is one-one and their ranges do not overlap, so the whole function is one-one.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\sin x) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), what is the correct statement about (f)?
#sine function
#restricted interval
#counterexample
#one-one function
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A (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\)) / (f) is not one-one because (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\)) / (f) is not one-one because (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\sin x\) पहले बढ़ता है फिर घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\sin x\) first increases and then decreases.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), जबकि दोनों कोण अलग हैं। / \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), while the angles are different.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन में अंतराल बहुत ध्यान से देखें। / For trigonometric functions check the interval carefully.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\cos x) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) and (f(x)=\cos x), what is the nature of (f)?
#cosine function
#decreasing function
#one-one function
#class 12
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A एक-एक नहीं / Not one-one
B स्थिर / Constant
C एक-एक / One-one
D केवल (0) पर परिभाषित / Defined only at (0)
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Correct Answer
C. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
लगातार घटने वाले फलन में दो अलग आगत समान मान नहीं दे सकते। / In a strictly decreasing function two different inputs cannot give the same value.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ फलन भी एक-एक होता है। / A decreasing function can also be one-one.
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यदि \(f:\left[0,\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\tan x) है, तो सही कथन चुनिए।
If \(f:\left[0,\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\tan x), choose the correct statement.
#tangent function
#restricted domain
#one-one function
#expert
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) स्थिर है / (f) is constant
C (f) ऋणात्मक मान देता है / (f) gives negative values
D (f) एक-एक है / (f) is one-one
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Correct Answer
D. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दो अलग (x) के लिए समान \(\tan x\) नहीं मिलेगा। / Therefore two different (x)-values cannot have the same tangent value.
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) को सही सीमित अंतराल पर लेने से एक-एकता मिलती है। / Taking \(\tan x\) on a suitable restricted interval gives injectivity.
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यदि (|A|=3) और (|B|=3) है, तो (A) से (B) तक एक-एक फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=3) and (|B|=3), what is the number of one-one functions from (A) to (B)?
#finite sets
#counting
#permutation
#one-one function
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A (6)
B (9)
C (27)
D (3)
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Step 1
Concept
तीन तत्वों के लिए तीन अलग प्रतिबिंब लगाने हैं। / Three elements need three distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
संख्या (3!=6) होगी। / The number is (3!=6).
Step 3
Exam Tip
बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन वस्तुतः सभी तत्वों को अलग ढंग से मिलाता है। / For finite sets of equal size, a one-one function is just an arrangement of all elements distinctly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-4 +x-2 ) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-4 +x-2 ), what is the correct statement about (f)?
#even polynomial
#counterexample
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
C (f) केवल ऋणात्मक मान देता है / (f) gives only negative values
D (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
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Correct Answer
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
नियम में सभी घात सम हैं। / All powers in the rule are even.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1+1=2) और (f(-1)=1+1=2), जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=1+1=2) and (f(-1)=1+1=2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले बहुपद पूरे वास्तविक प्रांत पर अक्सर एक-एक नहीं होते। / Polynomials with even-power symmetry are usually not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-4 +x-2 ) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-4 +x-2 ), what is the nature of (f)?
#restricted domain
#even polynomial
#increasing function
#one-one function
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? Hint Small clue
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। / In the given domain \(x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(x^2\) और \(x^4\) दोनों बढ़ते हैं। / As (x) increases, both \(x^2\) and \(x^4\) increase.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अलग-अलग आगत अलग-अलग मान देंगे और फलन एक-एक होगा। / Therefore different inputs give different outputs and the function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-5 -x) है, तो कौन सा विकल्प (f) के एक-एक न होने को सिद्ध करता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 -x), which option proves that (f) is not one-one?
#polynomial
#roots
#counterexample
#one-one function
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? Hint Small clue
A (f(2)=f(3))
B (f(-2)=f(2))
C (f(1)=f(2))
D (f(-1)=f(0)=f(1))
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Correct Answer
D. (f(-1)=f(0)=f(1))
Step 1
Concept
एक-एकता को गलत करने के लिए अलग आगतों पर समान मान दिखाएं। / To disprove injectivity, show the same value at different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0) है। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में शून्य देने वाले अनेक मान एक-एकता को तुरंत तोड़ देते हैं। / Multiple roots giving the same output quickly break injectivity.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-5 +x-3 +x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 +x-3 +x), choose the correct statement about (f).
#increasing polynomial
#odd powers
#one-one function
#expert
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A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) स्थिर है / (f) is constant
C (f) एक-एक है / (f) is one-one
D (f) केवल (x=0) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=0)
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Correct Answer
C. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(x^5\), \(x^3\) और (x) सभी बढ़ने वाले पद हैं। / \(x^5\), \(x^3\), and (x) are all increasing terms.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर इनका योग भी बढ़ता है। / As (x) increases, their sum also increases.
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ने वाला फलन एक-एक होता है, इसलिए यह फलन एक-एक है। / A strictly increasing function is one-one, so this function is one-one.
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यदि \(f:A\to B\) एक-एक है, तो निम्न में से कौन सा कथन इसके बराबर अर्थ रखता है?
If \(f:A\to B\) is one-one, which of the following statement has equivalent meaning?
#definition
#contrapositive
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A यदि (a=b), तो (f(a)\neq f(b)) / If (a=b), then (f(a)\neq f(b))
B यदि (f(a)=f(b)), तो \(a\neq b\) / If (f(a)=f(b)), then \(a\neq b\)
C हर (a) के लिए (f(a)) समान है / (f(a)) is same for every (a)
D यदि \(a\neq b\), तो (f(a)\neq f(b)) / If \(a\neq b\), then (f(a)\neq f(b))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. यदि \(a\neq b\), तो (f(a)\neq f(b)) / If \(a\neq b\), then (f(a)\neq f(b))
Step 1
Concept
एक-एकता का अर्थ है अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग हों। / Injectivity means different inputs have different images.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a\neq b\) होने पर (f(a)\neq f(b)) होना चाहिए। / Therefore if \(a\neq b\), then (f(a)\neq f(b)).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा को दोनों रूपों में याद रखें, इससे प्रमाण आसान होते हैं। / Remember both forms of the definition to handle proofs easily.
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रैखिक भिन्नात्मक फलन (f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}) के लिए \(ad-bc\neq0\) और \(cx+d\neq0\) हो, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
For the linear fractional function (f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}), if \(ad-bc\neq0\) and \(cx+d\neq0\), what is correct about (f)?
#linear fractional function
#parameter
#injective function
#expert
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? Hint Small clue
A (f) अपने प्रांत पर एक-एक है / (f) is one-one on its domain
B (f) हमेशा स्थिर है / (f) is always constant
C (f) कभी फलन नहीं बनता / (f) never becomes a function
D (f) हर जगह अपरिभाषित है / (f) is undefined everywhere
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Correct Answer
A. (f) अपने प्रांत पर एक-एक है / (f) is one-one on its domain
Step 1
Concept
समान मान मानकर क्रॉस गुणा करें। / Assume equal values and cross multiply.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{ax_1+b}{cx_1+d}=\frac{ax_2+b}{cx_2+d}\) को सरल करने पर ((ad-bc)\(x_1-x_2\)=0) मिलता है। / Simplifying \(\frac{ax_1+b}{cx_1+d}=\frac{ax_2+b}{cx_2+d}\) gives ((ad-bc)\(x_1-x_2\)=0).
Step 3
Exam Tip
\(ad-bc\neq0\) होने से \(x_1=x_2\), अतः फलन एक-एक है। / Since \(ad-bc\neq0\), \(x_1=x_2\), so the function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{-3}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{2x+1}{x+3}) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:\mathbb{R}-{-3}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{2x+1}{x+3}), what is the nature of (f)?
#rational function
#linear fractional
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A एक-एक नहीं / Not one-one
B स्थिर / Constant
C एक-एक / One-one
D अपरिभाषित / Undefined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
यह रैखिक भिन्नात्मक रूप है। / This is a linear fractional form.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(ad-bc=2\cdot3-1\cdot1=5\neq0\)। / Here \(ad-bc=2\cdot3-1\cdot1=5\neq0\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए अपने दिए गए प्रांत पर यह फलन एक-एक है। / Therefore the function is one-one on its given domain.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:[2,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=|x-2|), what is the correct statement about (f)?
#absolute value
#restricted domain
#one-one function
#expert
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल ऋणात्मक मान देता है / (f) gives only negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में \(x\ge2\) है। / In the given domain \(x\ge2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (|x-2|=x-2), जो बढ़ने वाला रैखिक फलन है। / Therefore (|x-2|=x-2), which is an increasing linear function.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान को एक ओर सीमित करने से फलन एक-एक बन सकता है। / Restricting an absolute value function to one side can make it one-one.
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यदि (f:\(-\infty,2]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If (f:\(-\infty,2]\to[0,\infty\)) and (f(x)=|x-2|), what is the correct conclusion about (f)?
#absolute value
#decreasing function
#restricted domain
#one-one function
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) स्थिर है / (f) is constant
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) एक-एक है / (f) is one-one
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में \(x\le2\) है। / In the given domain \(x\le2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (|x-2|=2-x), जो घटने वाला रैखिक फलन है। / Therefore (|x-2|=2-x), which is a decreasing linear function.
Step 3
Exam Tip
घटने वाला रैखिक फलन भी एक-एक होता है। / A decreasing linear function is also one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) and (f(x)=|x-2|), why is (f) not one-one?
#absolute value
#counterexample
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A क्योंकि (f(1)=f(3)) / Because (f(1)=f(3))
B क्योंकि (f(2)) परिभाषित नहीं है / Because (f(2)) is not defined
C क्योंकि (f) हर जगह ऋणात्मक है / Because (f) is negative everywhere
D क्योंकि (f(0)\neq f(4)) / Because (f(0)\neq f(4))
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(3)) / Because (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान केंद्र से बराबर दूरी वाले आगतों को समान मान देता है। / Absolute value gives the same value to inputs equally distant from the center.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3), (2) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(1)=1) और (f(3)=1)। / (1) and (3) are equally distant from (2), so (f(1)=1) and (f(3)=1).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक प्रांत पर निरपेक्ष मान फलन आम तौर पर एक-एक नहीं होता। / On the whole real domain an absolute value function is generally not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)) तथा (f(x)=\sqrt{x-2 +1}) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)) and (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), choose the correct statement about (f).
#square root function
#even expression
#counterexample
#one-one function
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
C (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
D (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
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Correct Answer
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
\(x^2\) के कारण विपरीत आगत समान अंदरूनी मान देते हैं। / Because of \(x^2\), opposite inputs give the same inner value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=\sqrt2) और (f(-1)=\sqrt2), जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=\sqrt2) and (f(-1)=\sqrt2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल होने से पहले अंदर के वर्ग को ध्यान से देखें। / Before focusing on the square root, check the square inside it.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x-2 +1}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), what is the correct statement about (f)?
#restricted domain
#square root function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) ऋणात्मक मान देता है / (f) gives negative values
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Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। / In the given domain \(x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(x^2+1\) और फिर \(\sqrt{x^2+1}\) भी बढ़ता है। / As (x) increases, \(x^2+1\) and then \(\sqrt{x^2+1}\) increase.
Step 3
Exam Tip
सही प्रांत पर वर्गमूल वाला यह फलन एक-एक हो जाता है। / On the correct domain this square-root function becomes one-one.
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यदि \(g\circ f\) एक-एक है, तो (g) के बारे में कौन सा कथन सबसे सटीक है?
If \(g\circ f\) is one-one, which statement about (g) is the most accurate?
#composition
#range of function
#injectivity
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (g) पूरे प्रांत पर अवश्य एक-एक है / (g) must be one-one on its whole domain
B (g) अवश्य स्थिर है / (g) must be constant
C (g) फलन नहीं हो सकता / (g) cannot be a function
D (g) को कम से कम (f(A)) पर एक-एक व्यवहार करना होगा / (g) must behave one-one at least on (f(A))
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Correct Answer
D. (g) को कम से कम (f(A)) पर एक-एक व्यवहार करना होगा / (g) must behave one-one at least on (f(A))
Step 1
Concept
संयोजन \(g\circ f\) में (g) केवल (f) के परास पर काम करता है। / In \(g\circ f\), (g) is used only on the range of (f).
Step 2
Why this answer is correct
(g) पूरे प्रांत पर एक-एक न भी हो, फिर भी (f(A)) पर अलग मान दे सकता है। / (g) may not be one-one on its whole domain but can behave distinctly on (f(A)).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में प्रयुक्त भाग और पूरे प्रांत में अंतर समझना जरूरी है। / In composition, distinguish the used part from the whole domain.
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यदि (|A|=4) और (|B|=6) है, तो (A) से (B) तक एक-एक फलनों की संख्या क्या होगी?
If (|A|=4) and (|B|=6), what is the number of one-one functions from (A) to (B)?
#counting one-one functions
#permutation
#finite sets
#class 12
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A (24)
B (360)
C (1296)
D (10)
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Step 1
Concept
(A) के चार तत्वों के लिए (B) से चार अलग प्रतिबिंब चुनने हैं। / Four elements of (A) need four distinct images from (B).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) होगी। / The number is \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलनों की गिनती में चयन नहीं, क्रमचय लगता है क्योंकि आगत अलग-अलग हैं। / For one-one functions use permutations, not combinations, because domain elements are distinct.
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यदि (f:\(-\infty,0]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=x-2 ) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If (f:\(-\infty,0]\to[0,\infty\)) and (f(x)=x-2 ), what is the nature of (f)?
#square function
#restricted domain
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। / The given domain contains only zero and negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए समान मान दो बार नहीं आता। / On this interval, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value does not occur twice.
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) को शून्य के एक ओर सीमित करने से वह एक-एक हो जाता है। / Restricting \(x^2\) to one side of zero makes it one-one.
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यदि (f:\(-\infty,2]\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\(-\infty,2]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 ), what is the correct statement about (f)?
#square function
#domain restriction
#counterexample
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) हर जगह घटता है / (f) is decreasing everywhere
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Correct Answer
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
प्रांत (\(-\infty,2]\) में (1) और (-1) दोनों शामिल हैं। / The domain (\(-\infty,2]\) contains both (1) and (-1).
Step 2
Why this answer is correct
\(1\neq-1\), लेकिन (12 =(-1)2 =1)। / \(1\neq-1\), but (12 =(-1)2 =1).
Step 3
Exam Tip
प्रांत यदि शून्य के दोनों ओर फैला हो, तो \(x^2\) एक-एक नहीं रहता। / If the domain spreads on both sides of zero, \(x^2\) is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2x-3 -5) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-3 -5), choose the correct statement about (f).
#cubic function
#transformation
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) (x=0) पर परिभाषित नहीं है / (f) is not defined at (x=0)
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Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(2x^3-5\) घन फलन का रूपांतरण है। / \(2x^3-5\) is a transformation of the cube function.
Step 2
Why this answer is correct
\(2x_1^3-5=2x_2^3-5\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\)। / From \(2x_1^3-5=2x_2^3-5\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
घन फलन पर खिंचाव और स्थानांतरण करने से एक-एकता नहीं बदलती। / Stretching and shifting the cube function does not destroy injectivity.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 -6x+10) है, तो कौन सा विकल्प (f) के एक-एक न होने को दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -6x+10), which option shows that (f) is not one-one?
#quadratic function
#vertex
#counterexample
#one-one function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(0)=f(6))
B (f(1)=f(2))
C (f(3)=f(4))
D (f(-1)=f(1))
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Correct Answer
A. (f(0)=f(6))
Step 1
Concept
(x-2 -6x+10=(x-3)2 +1) है। / (x-2 -6x+10=(x-3)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
(0) और (6), (3) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(0)=10) और (f(6)=10)। / (0) and (6) are equally distant from (3), so (f(0)=10) and (f(6)=10).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में शिखर के दोनों ओर बराबर दूरी वाले मान जल्दी जांचें। / For quadratics quickly test points equally distant from the vertex.
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यदि \(f:[a,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के एक-एक होने के लिए (a) की कौन सी शर्त पर्याप्त और आवश्यक है?
If \(f:[a,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 ), which condition on (a) is necessary and sufficient for (f) to be one-one?
#parameter
#restricted domain
#square function
#one-one function
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A \(a\ge0\)
B (a<0)
C (a=-1)
D (a) कोई भी वास्तविक संख्या हो / (a) may be any real number
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Correct Answer
A. \(a\ge0\)
Step 1
Concept
\(x^2\) शून्य के दाईं ओर बढ़ता है और शून्य के दोनों ओर समान मान दे सकता है। / \(x^2\) increases to the right of zero and can give the same value on both sides of zero.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\ge0\), तो पूरा प्रांत शून्य के दाईं ओर रहेगा और दो अलग आगत समान मान नहीं देंगे। / If \(a\ge0\), the whole domain stays to the right of zero, so two different inputs do not give the same value.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में प्रांत शिखर के एक ही ओर होना चाहिए। / For a quadratic function the domain should lie on one side of the vertex.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +3x+2) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +3x+2), choose the correct statement about (f).
#increasing polynomial
#cubic function
#one-one function
#class 12
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A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / (f) is defined only on integers
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Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(x^3\) और (3x) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। / Both \(x^3\) and (3x) contribute increasing behavior.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(x^3+3x+2\) लगातार बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। / As (x) increases, \(x^3+3x+2\) keeps increasing, so the same value does not occur at two different inputs.
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ने वाला फलन हमेशा एक-एक होता है। / A strictly increasing function is always one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 -6x-2 +9x) है, तो कौन सा विकल्प (f) के एक-एक न होने को सिद्ध करता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 -6x-2 +9x), which option proves that (f) is not one-one?
#polynomial
#counterexample
#one-one function
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(0)=f(3))
B (f(1)=f(2))
C (f(-1)=f(1))
D (f(2)=f(4))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(0)=f(3))
Step 1
Concept
एक-एकता को गलत सिद्ध करने के लिए दो अलग आगतों का समान मान दिखाना पर्याप्त है। / To disprove injectivity it is enough to show equal output for two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(3)=27-54+27=0), जबकि \(0\neq3\)। / (f(0)=0) and (f(3)=27-54+27=0), while \(0\neq3\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में आसान मान रखकर समान प्रतिबिंब जल्दी खोजें। / In polynomial questions use simple values to quickly find repeated images.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\log x) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\log x), what is the correct conclusion about (f)?
#logarithmic function
#domain
#one-one function
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
D (f) ऋणात्मक आगतों पर भी परिभाषित है / (f) is also defined for negative inputs
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
लघुगणकीय फलन अपने सही प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। / The logarithmic function increases on its proper domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\log x_1=\log x_2\), तो \(x_1=x_2\) ही होगा। / If \(\log x_1=\log x_2\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन की एक-एकता जांचते समय पहले उसका प्रांत अवश्य देखें। / While checking injectivity of a logarithmic function, always check its domain first.
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