Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x^3+x\) में (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है इसलिए दो अलग (x) का मान समान नहीं हो सकता। / The expression \(x^3+x\) increases continuously as (x) increases, so two different inputs cannot give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े ऋणात्मक से बहुत बड़े धनात्मक मान तक फलन सभी वास्तविक मान ले सकता है। / Its values cover all real numbers from very negative to very positive.
Step 3
Exam Tip
जब फलन एकैकी और आच्छादी दोनों हो तो वह व्युत्क्रमणीय भी होता है। / A function that is both one-one and onto is also invertible.
(f(1)=2) और (f(-1)=2) इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+1\geq 1\) होता है इसलिए (0) जैसे वास्तविक मान परास में नहीं आते। / Since \(x^2+1\geq 1\), real values like (0) are not in the range.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले फलनों में प्रांत और सहप्रांत ध्यान से देखकर ही निष्कर्ष निकालें। / For square functions, always check both domain and codomain before deciding the type.
ऋणात्मक भाग और धनात्मक भाग दोनों में फलन बढ़ता है और (0) पर भी क्रम बना रहता है। / On both negative and positive sides, the function increases and the order remains consistent at (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान सदैव (-1) और (1) के बीच रहता है और बीच का हर मान मिल जाता है। / Its values always lie between (-1) and (1), and every value in that interval is attained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सहप्रांत अगर परास के बराबर दिया हो तो आच्छादी होने की संभावना जाँचें। / When the codomain is exactly the natural range, check for onto carefully.
अलग प्राकृतिक संख्याओं में (1) जोड़ने पर अलग मान मिलते हैं इसलिए फलन एकैकी है। / Adding (1) to different natural numbers gives different values, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(1) सहप्रांत में है पर किसी \(n\in\mathbb{N}\) के लिए (n+1=1) नहीं हो सकता। / (1) is in the codomain, but no \(n\in\mathbb{N}\) satisfies (n+1=1).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रश्नों में पहला तत्व अक्सर आच्छादीपन को तोड़ देता है। / In natural number functions, the first element often helps test onto.
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
(2n+1) में अलग पूर्णांकों पर अलग विषम पूर्णांक मिलते हैं इसलिए फलन एकैकी है। / (2n+1) gives different odd integers for different integers, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(0) जैसे सम पूर्णांक सहप्रांत में हैं पर किसी (n) से (2n+1=0) पूर्णांक (n) नहीं देता। / Even integers such as (0) are in the codomain but are not obtained from any integer (n).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में सहप्रांत बदलने से आच्छादीपन बदल सकता है। / For linear functions, the codomain can change whether the function is onto.
समिश्र फलन में क्रम न बदलें क्योंकि \(g\circ f\) और \(f\circ g\) सामान्यतः अलग होते हैं। / Do not reverse the order in composition because \(g\circ f\) and \(f\circ g\) are usually different.
\(g\circ f\) आच्छादी है तो अंतिम सहप्रांत का हर तत्व (g(f(x))) के रूप में मिलता है। / If \(g\circ f\) is onto, every element of the final codomain is obtained as (g(f(x))).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है वही तत्व (g) के मान के रूप में भी मिल रहा है। / Hence every such element is also obtained as a value of (g).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (g) आच्छादी होना आवश्यक है लेकिन (f) के बारे में हमेशा ऐसा नहीं कहा जा सकता। / Therefore (g) must be onto, but (f) need not be onto.
एकैकी फलन में (A) के अलग तत्वों को (B) के अलग तत्वों से जोड़ना होता है। / In a one-one function, different elements of (A) must go to different elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) होगी। / The count is \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों में पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं होती। / Repetition of images is not allowed in one-one functions.
कुल फलन \(2^3=8\) हैं। / The total number of functions is \(2^3=8\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी न होने वाले फलनों में सभी तत्व (B) के केवल एक ही तत्व पर जाते हैं ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions send all elements of (A) to only one element of (B), so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादी फलन (8-2=6) हैं। / Hence the number of onto functions is (8-2=6).
समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैकीय फलन क्रमचयों के बराबर होते हैं। / For finite sets of equal size, bijective functions correspond to permutations.
Step 2
Why this answer is correct
संख्या (4!=24) होगी। / The number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
द्वैकीय फलन में हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होता है। / A bijection uses every image exactly once.
(f(1)=2) और (f\left\(\frac{1}{1}\right\)=2) से अलग उदाहरण नहीं मिलता लेकिन (f(2)=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}) से एकैकीपन टूटता है। / (f(2)=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x+\frac{1}{x}\geq2\) इसलिए ऋणात्मक मान नहीं मिलते। / Since \(x+\frac{1}{x}\geq2\) for (x>0), negative values are not obtained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे फलनों में (x) और \(\frac{1}{x}\) की जोड़ी पर ध्यान दें। / For such functions, compare (x) and \(\frac{1}{x}\).
यदि (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)) हो तो (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\)))। / If (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)), then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))).
Step 2
Why this answer is correct
(g) एकैकी है इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\)), और (f) एकैकी है इसलिए \(a_1=a_2\)। / Since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)), and since (f) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का समिश्र भी एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
(C) का कोई भी तत्व लें। / Take any element of (C).
Step 2
Why this answer is correct
(g) आच्छादी है इसलिए वह किसी (B) के तत्व का प्रतिबिंब है और (f) आच्छादी है इसलिए वह (B) का तत्व किसी (A) से आता है। / Since (g) is onto, it is the image of some element of (B), and since (f) is onto, that element of (B) comes from some element of (A).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(g\circ f\) भी (C) के हर तत्व तक पहुँचता है। / Therefore \(g\circ f\) reaches every element of (C).
व्युत्क्रम के लिए हर निर्गत से ठीक एक आगत वापस मिलना चाहिए। / For an inverse function, every output must correspond back to exactly one input.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकीपन एक से अधिक आगतों को रोकता है और आच्छादीपन हर सहप्रांत तत्व को कवर करता है। / One-one prevents multiple inputs, and onto ensures every codomain element is covered.
Step 3
Exam Tip
इसलिए व्युत्क्रम फलन के लिए द्वैकीय होना आवश्यक और पर्याप्त है। / Hence being bijective is necessary and sufficient for an inverse function.
द्विचर संक्रिया \(A\times A\) से (A) में एक फलन होती है। / A binary operation on (A) is a function from \(A\times A\) to (A).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं और हर युग्म के लिए (n) चुनाव हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs, and each pair has (n) choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(n^{n^2}\) होती है। / Therefore the total number is \(n^{n^2}\).
स्थिर फलन में (A) के सभी तत्व (B) के एक ही तत्व पर जाते हैं। / In a constant function, all elements of (A) go to the same element of (B).
Step 2
Why this answer is correct
वह एक तत्व (B) के (5) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। / That single element can be any of the (5) elements of (B).
Step 3
Exam Tip
इसलिए स्थिर फलनों की संख्या सहप्रांत के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / Hence the number of constant functions equals the number of elements in the codomain.
सीमित समुच्चय में (A) से (A) तक एकैकी फलन अलग-अलग प्रतिबिंब देता है। / For a finite set, a one-one function from (A) to (A) gives distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
जितने तत्व प्रांत में हैं उतने ही सहप्रांत में हैं इसलिए सभी सहप्रांत तत्व उपयोग हो जाते हैं। / Since the domain and codomain have the same number of elements, all codomain elements are used.
Step 3
Exam Tip
सीमित समान समुच्चय पर एकैकी और आच्छादी बराबर प्रभाव रखते हैं। / On finite equal sets, one-one implies onto.
आच्छादी होने से सहप्रांत का हर तत्व उपयोग होता है। / Onto means every codomain element is used.
Step 2
Why this answer is correct
सीमित समान समुच्चय में यदि कोई दो प्रांत तत्व एक ही प्रतिबिंब लेते तो कोई सहप्रांत तत्व छूट जाता। / For finite equal sets, if two domain elements had the same image, some codomain element would be left unused.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (A) से (A) में आच्छादी फलन एकैकी भी होता है। / Therefore an onto function from (A) to (A) is also one-one.
(f(0)=0), (f\(\sqrt{3}\)=0) और (f\(-\sqrt{3}\)=0) से एकैकीपन टूटता है। / (f(0)=0), (f\(\sqrt{3}\)=0), and (f\(-\sqrt{3}\)=0), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
घन बहुपद के मान बहुत ऋणात्मक से बहुत धनात्मक तक जाते हैं इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है। / A cubic polynomial goes from very negative to very positive values, so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
घन फलन हमेशा एकैकी हो यह जरूरी नहीं है। / A cubic function need not always be one-one.
A. एकैकी फलन संभव नहीं पर आच्छादी फलन संभव है/One-one function is impossible but onto function is possible
Step 1
Concept
(A) में (5) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं इसलिए सभी (5) तत्वों को अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। / (A) has (5) elements and (B) has (3), so it is impossible to assign distinct images to all (5) elements.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (B) के (3) तत्वों को (A) के (5) तत्वों से कवर करना संभव है। / But it is possible to cover all (3) elements of (B) using (5) elements of (A).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में तत्वों की संख्या से पहले संभावना जाँचें। / For finite sets, first compare cardinalities.
A. यह स्वयं का व्युत्क्रम है/It is its own inverse
Step 1
Concept
\(x\neq0\) होने पर \(\frac{1}{x}\) भी शून्य नहीं होता इसलिए फलन ठीक से परिभाषित है। / If \(x\neq0\), then \(\frac{1}{x}\neq0\), so the function is well-defined.
Step 2
Why this answer is correct
(f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x) मिलता है। / (f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x).
Step 3
Exam Tip
जब \(f\circ f\) सर्वसमिका हो तो फलन स्वयं का व्युत्क्रम होता है। / When \(f\circ f\) is the identity, the function is its own inverse.
A. फलन एकैकी और आच्छादी है/The function is one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^5+x^3+x\) में (x) बढ़ने पर फलन लगातार बढ़ता है क्योंकि इसकी ढाल \(5x^4+3x^2+1\) हमेशा धनात्मक रहती है। / The function \(x^5+x^3+x\) is strictly increasing because its derivative \(5x^4+3x^2+1\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर मान बहुत ऋणात्मक और बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत धनात्मक हो जाता है, इसलिए हर वास्तविक मान मिल जाता है। / For very large negative (x), the value becomes very negative, and for very large positive (x), the value becomes very positive, so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
विषम घातों वाले बढ़ते बहुपद में एकैकीपन और आच्छादीपन दोनों ध्यान से जाँचें। / For increasing odd-power polynomials, check both one-one and onto carefully.
