यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5\}\) हैं, तो (A) से (B) तक कुल कितने फलन बन सकते हैं?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5\}\), how many functions can be formed from (A) to (B)?
#functions
#counting
#finite sets
#exam oriented
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (6)
B (8)
C (9)
D (12)
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Step 1
Concept
(A) के प्रत्येक अवयव के लिए (B) में कोई एक प्रतिबिंब चुनना होता है। / Each element of (A) must choose exactly one image in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (3) अवयव और (B) में (2) अवयव हैं, इसलिए कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। / Since (A) has (3) elements and (B) has (2) elements, the number of functions is \(2^3=8\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में याद रखें कि (A) से (B) तक फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}\) होती है। / Remember that the number of functions from (A) to (B) is \(|B|^{|A|}\).
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यदि (A) में (4) अवयव और (B) में (3) अवयव हैं, तो (A) से (B) तक कितने एकैकी फलन संभव हैं?
If (A) has (4) elements and (B) has (3) elements, how many one-one functions are possible from (A) to (B)?
#functions
#one one function
#finite sets
#expert
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (12)
C (24)
D (81)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग-अलग अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होने चाहिए। / In a one-one function, distinct elements must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (A) में (4) अवयव हैं लेकिन (B) में केवल (3) अवयव हैं, इसलिए (4) अलग प्रतिबिंब नहीं मिल सकते। / Here (A) has (4) elements but (B) has only (3) elements, so (4) distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले प्रांत और सहप्रांत के अवयवों की संख्या की तुलना करें। / First compare the sizes of domain and codomain in such questions.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +1) के बारे में सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement about the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +1).
#functions
#one one
#onto
#quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
B यह एकैकी है पर आच्छादक नहीं / It is one-one but not onto
C यह आच्छादक है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
D यह न एकैकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. यह न एकैकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=2) और (f(-1)=2), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+1\ge 1\), इसलिए ऋणात्मक संख्याएँ और (0) प्रतिबिंब नहीं बन सकते, अतः यह आच्छादक भी नहीं है। / Since \(x^2+1\ge 1\), negative numbers and (0) are not attained, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में एकैकी और आच्छादकता को अलग-अलग जाँचें। / Always test one-one and onto separately.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=3x-5) के लिए (f^{-1}(x)) क्या होगा?
For \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=3x-5), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse function
#linear function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{x+5}{3}\)
B \(\frac{x-5}{3}\)
C (3x+5)
D (5-3x)
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Correct Answer
A. \(\frac{x+5}{3}\)
Step 1
Concept
मान लें (y=3x-5)। / Let (y=3x-5).
Step 2
Why this answer is correct
(x) को (y) के पदों में लिखने पर \(x=\frac{y+5}{3}\) मिलता है। / Solving for (x), we get \(x=\frac{y+5}{3}\).
Step 3
Exam Tip
अंत में (y) की जगह (x) रखने से (f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}) होगा। / Replace (y) by (x), so (f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 ), तो (f) का प्रकार क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 ), what type of function is (f)?
#functions
#bijection
#cubic function
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A केवल एकैकी / Only one-one
B केवल आच्छादक / Only onto
C एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
C. एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3\) हर वास्तविक (x) पर लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। / The function \(x^3\) is strictly increasing on real numbers, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) मौजूद है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। / For every real (y), \(x=\sqrt[3]{y}\) exists, so every (y) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
घन फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर द्वैक होता है। / The cube function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is bijective.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 ) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct for \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 )?
#functions
#onto
#quadratic
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
B यह आच्छादक है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
C यह एकैकी है पर आच्छादक नहीं / It is one-one but not onto
D यह न एकैकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह आच्छादक है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=4) और (f(-2)=4), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \([0,\infty\)) है और हर \(y\ge 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) मिलता है। / The codomain is \([0,\infty\)), and for every \(y\ge 0\), \(x=\sqrt{y}\) exists.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से आच्छादकता बदल सकती है, इसलिए सहप्रांत अवश्य देखें। / Onto property depends on the codomain, so always check it carefully.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), तो (f) कैसा फलन है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), what type of function is (f)?
#functions
#absolute value
#one one
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(3)=3) और (f(-3)=3), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(3)=3) and (f(-3)=3), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(|x|) कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्रतिबिंब नहीं बन सकती। / (|x|) is never negative, so negative real numbers are not attained.
Step 3
Exam Tip
परिमाप वाले फलन में संकेत बदलने पर समान मान मिल सकता है। / In absolute value functions, opposite inputs may give the same output.
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यदि \(f:A\to B\) द्वैक है और (|A|=7), तो (|B|) का मान क्या होगा?
If \(f:A\to B\) is bijective and (|A|=7), what is the value of (|B|)?
#functions
#bijection
#finite sets
#cardinality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (6)
C (7)
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Step 1
Concept
द्वैक फलन एकैकी और आच्छादक दोनों होता है। / A bijective function is both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन तभी संभव है जब दोनों समुच्चयों में बराबर अवयव हों। / For finite sets, a bijection is possible only when both sets have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (|B|=|A|=7) होगा। / Therefore (|B|=|A|=7).
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यदि (f(x)=2x+1) और (g(x)=x-2 ), तो (\(g\circ f\)(x)) क्या है?
If (f(x)=2x+1) and (g(x)=x-2 ), what is (\(g\circ f\)(x))?
#functions
#composition
#algebra
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2x^2+1\)
B \(4x^2+4x+1\)
C \(2x^2+2\)
D \(x^2+2x+1\)
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Correct Answer
B. \(4x^2+4x+1\)
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)) का अर्थ (g(f(x))) है। / (\(g\circ f\)(x)) means (g(f(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)=2x+1) को (g) में रखने पर (g(2x+1)=(2x+1)2 ) मिलेगा। / Put (f(x)=2x+1) into (g), giving (g(2x+1)=(2x+1)2 ).
Step 3
Exam Tip
विस्तार करने पर \(4x^2+4x+1\) प्राप्त होता है। / Expanding gives \(4x^2+4x+1\).
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यदि (f(x)=x+2) और (g(x)=3x-1), तो (\(f\circ g\)(x)- \(g\circ f\)(x)) का मान क्या है?
If (f(x)=x+2) and (g(x)=3x-1), what is the value of (\(f\circ g\)(x)-\(g\circ f\)(x))?
#functions
#composition
#linear functions
#exam
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (2)
C (-4)
D (4)
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Step 1
Concept
(f(g(x))=f(3x-1)=3x+1)। / (f(g(x))=f(3x-1)=3x+1).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f(x))=g(x+2)=3x+5)। / (g(f(x))=g(x+2)=3x+5).
Step 3
Exam Tip
अंतर (3x+1-(3x+5)=-4) है, इसलिए क्रम बदलने से मान बदल सकता है। / The difference is (3x+1-(3x+5)=-4), so order matters in composition.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -4x+7) का परास क्या है?
What is the range of \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -4x+7)?
#functions
#range
#quadratic
#parabola
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \([3,\infty\))
B (\(3,\infty\))
C (\(-\infty,3]\)
D \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([3,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2 -4x+7=(x-2)2 +3)। / Rewrite \(x^2-4x+7\) as ((x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
((x-2)2 \ge 0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। / Since ((x-2)2 \ge 0), the minimum value is (3).
Step 3
Exam Tip
ऊपर की ओर खुलने वाले वर्ग फलन का परास न्यूनतम मान से अनंत तक होता है। / Hence the range is \([3,\infty\)).
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5-2x) के लिए कौन सा कथन सही है?
Which statement is correct for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5-2x)?
#functions
#linear function
#bijection
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
B आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी और आच्छादक दोनों है / Both one-one and onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. एकैकी और आच्छादक दोनों है / Both one-one and onto
Step 1
Concept
(5-2x) एक रैखिक फलन है जिसकी ढाल शून्य नहीं है, इसलिए यह एकैकी है। / (5-2x) is a linear function with non-zero slope, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{5-y}{2}\) वास्तविक है, इसलिए यह आच्छादक है। / For any real (y), \(x=\frac{5-y}{2}\) is real, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर अशून्य ढाल वाला रैखिक फलन द्वैक होता है। / A non-constant linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=c) जहाँ (c) स्थिर वास्तविक संख्या है, तो (f) कब एकैकी होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=c), where (c) is a fixed real number, when will (f) be one-one?
#functions
#constant function
#one one
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
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A सदैव / Always
B कभी नहीं / Never
C केवल जब (c=0) / Only when (c=0)
D केवल जब (c=1) / Only when (c=1)
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Correct Answer
B. कभी नहीं / Never
Step 1
Concept
स्थिर फलन में हर (x) का प्रतिबिंब (c) ही होता है। / In a constant function, every input has the same image (c).
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग आगतों के समान प्रतिबिंब मिलते हैं, इसलिए एकैकी होने की शर्त टूट जाती है। / Different inputs give the same output, so the one-one condition fails.
Step 3
Exam Tip
अनंत प्रांत पर स्थिर फलन कभी एकैकी नहीं होता। / A constant function on an infinite domain is never one-one.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)), (f(x)=e^x), तो (f) कैसा फलन है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)), (f(x)=e^x), what type of function is (f)?
#functions
#exponential
#bijection
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
Step 1
Concept
\(e^x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। / \(e^x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका हर मान धनात्मक होता है और प्रत्येक (y>0) के लिए \(x=\ln y\) मौजूद है। / Its values are positive, and for every (y>0), \(x=\ln y\) exists.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत (\(0,\infty\)) लेने पर यह द्वैक हो जाता है। / With codomain (\(0,\infty\)), the function is bijective.
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फलन (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct for (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x)?
#functions
#logarithm
#bijection
#inverse
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह द्वैक है / It is bijective
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह केवल आच्छादक है / It is only onto
D यह न एकैकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह द्वैक है / It is bijective
Step 1
Concept
\(\ln x\) अपने प्रांत (\(0,\infty\)) पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / \(\ln x\) is strictly increasing on (\(0,\infty\)), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) मिलता है, इसलिए यह आच्छादक है। / For every real (y), \(x=e^y>0\), so it is onto.
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन घातीय फलन का प्रतिलोम होता है। / The logarithmic function is the inverse of the exponential function.
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यदि (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), तो \(x\ne -1\) के लिए (f^{-1}(x)) क्या है?
If (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), then for \(x\ne -1\), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse function
#rational function
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{1+x}{1-x}\)
B \(\frac{x-1}{x+1}\)
C \(\frac{1-x}{1+x}\)
D \(\frac{x+1}{x-1}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{1+x}{1-x}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{x-1}{x+1}\) मानें। / Let \(y=\frac{x-1}{x+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y(x+1)=x-1) से (x(y-1)=-(1+y)) मिलता है। / From (y(x+1)=x-1), we get (x(y-1)=-(1+y)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{1+y}{1-y}\), अतः (f^{-1}(x)=\frac{1+x}{1-x})। / Hence \(x=\frac{1+y}{1-y}\), so (f^{-1}(x)=\frac{1+x}{1-x}).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +x), तो (f) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +x), what is the correct conclusion about (f)?
#functions
#bijection
#cubic
#monotonic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
B एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
C आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3+x\) सख्ती से बढ़ता है क्योंकि (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है। / \(x^3+x\) is strictly increasing because its value keeps increasing with (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है और फलन द्वैक है। / Hence every real value is attained and the function is bijective.
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों एकैकी हैं, तो \(g\circ f\) के बारे में क्या सत्य है?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both one-one, what is true about \(g\circ f\)?
#functions
#composition
#one one
#theorem
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? Hint Small clue
A सदैव एकैकी / Always one-one
B सदैव आच्छादक / Always onto
C कभी फलन नहीं / Never a function
D सदैव स्थिर / Always constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सदैव एकैकी / Always one-one
Step 1
Concept
(f) एकैकी है, इसलिए अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब (B) में अलग होंगे। / Since (f) is one-one, distinct elements of (A) have distinct images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(g) भी एकैकी है, इसलिए उन अलग प्रतिबिंबों के आगे के प्रतिबिंब (C) में अलग रहेंगे। / Since (g) is also one-one, those distinct images remain distinct in (C).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों का संयोजन एकैकी होता है। / The composition of one-one functions is one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 ) के बारे में कौन सा कथन सही है?
Which statement is correct about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 )?
#functions
#power function
#one one
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह केवल आच्छादक है / It is only onto
D यह न एकैकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. यह न एकैकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) और (f(-1)=1), इसलिए एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^4\ge 0\), इसलिए ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते। / Since \(x^4\ge 0\), negative real values are not attained.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में अक्सर समान प्रतिबिंब और सीमित परास दोनों बातों पर ध्यान दें। / For even power functions, check both repeated outputs and restricted range.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 ), तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 ), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#quadratic
#domain restriction
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\sqrt{x}\)
B \(-\sqrt{x}\)
C \(\pm\sqrt{x}\)
D \(x^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{x}\)
Step 1
Concept
प्रांत \([0,\infty\)) है, इसलिए (x) ऋणात्मक नहीं हो सकता। / The domain is \([0,\infty\)), so (x) cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^2\) से \(x=\sqrt{y}\) मिलेगा। / From \(y=x^2\), we get \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
यहाँ \(-\sqrt{y}\) नहीं लिया जाएगा क्योंकि प्रांत में ऋणात्मक संख्या नहीं है। / \(-\sqrt{y}\) is not allowed because the domain has no negative numbers.
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यदि (f(x)=\frac{1}{x}) जहाँ \(x\ne 0\), तो (f(f(x))) का मान क्या है?
If (f(x)=\frac{1}{x}), where \(x\ne 0\), what is the value of (f(f(x)))?
#functions
#composition
#self inverse
#rational
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (x)
B \(\frac{1}{x}\)
C \(x^2\)
D (1)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(f(x)=\frac{1}{x}) है। / (f(x)=\frac{1}{x}).
Step 2
Why this answer is correct
(f(f(x))=f\left\(\frac{1}{x}\right\)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x)। / (f(f(x))=f\left\(\frac{1}{x}\right\)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x).
Step 3
Exam Tip
ऐसा फलन अपने ही प्रतिलोम जैसा व्यवहार करता है। / Such a function behaves like its own inverse.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b) द्वैक है, तो (a) के लिए आवश्यक शर्त क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b) is bijective, what is the necessary condition on (a)?
#functions
#linear
#bijection
#parameter
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (a=0)
B \(a\ne 0\)
C (a=b)
D (b=0)
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Correct Answer
B. \(a\ne 0\)
Step 1
Concept
यदि (a=0), तो फलन (f(x)=b) स्थिर हो जाएगा। / If (a=0), then (f(x)=b) becomes constant.
Step 2
Why this answer is correct
स्थिर फलन न एकैकी होगा और न \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होगा। / A constant function is neither one-one nor onto on \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए रैखिक फलन को द्वैक होने के लिए \(a\ne 0\) चाहिए। / Therefore a linear function is bijective only when \(a\ne 0\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2x+2), तो न्यूनतम मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2x+2), what is the minimum value?
#functions
#range
#minimum
#quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (2)
D (-1)
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Step 1
Concept
(x-2 +2x+2=(x+1)2 +1)। / (x-2 +2x+2=(x+1)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
((x+1)2 \ge 0), इसलिए सबसे छोटा मान (1) है। / Since ((x+1)2 \ge 0), the smallest value is (1).
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूर्ण करने से परास और न्यूनतम मान जल्दी मिलते हैं। / Completing the square quickly gives range and minimum value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-2 +1), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-2 +1), which statement is correct about (f)?
#functions
#onto
#quadratic
#codomain
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
B आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
B. आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
Step 1
Concept
(f(1)=2) और (f(-1)=2), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+1\ge 1\) और हर \(y\ge 1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) मिल जाता है। / Since \(x^2+1\ge 1\), and for every \(y\ge 1\), \(x=\sqrt{y-1}\) works.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को सही पढ़ना इस प्रश्न की मुख्य बात है। / Reading the codomain correctly is the key.
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यदि \(f:A\to B\) जहाँ \(A=\{1,2\}\), \(B=\{a,b,c\}\), तो (A) से (B) तक कितने एकैकी फलन हैं?
If \(f:A\to B\), where \(A=\{1,2\}\), \(B=\{a,b,c\}\), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#functions
#one one
#counting
#finite sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (6)
C (8)
D (9)
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Step 1
Concept
(1) का प्रतिबिंब चुनने के (3) तरीके हैं। / The image of (1) can be chosen in (3) ways.
Step 2
Why this answer is correct
(2) का प्रतिबिंब अलग होना चाहिए, इसलिए (2) तरीके बचते हैं। / The image of (2) must be different, so (2) choices remain.
Step 3
Exam Tip
कुल एकैकी फलन \(3\times2=6\) होंगे। / Total one-one functions are \(3\times2=6\).
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यदि (A) में (3) अवयव और (B) में (3) अवयव हैं, तो (A) से (B) तक कितने द्वैक फलन संभव हैं?
If (A) has (3) elements and (B) has (3) elements, how many bijective functions are possible from (A) to (B)?
#functions
#bijection
#counting
#permutation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (6)
C (9)
D (27)
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Step 1
Concept
समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन एक प्रकार का क्रमविन्यास होता है। / For finite sets with equal size, a bijection is like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
(3) अवयवों को (3) अलग प्रतिबिंब देने के (3!) तरीके हैं। / There are (3!) ways to assign (3) distinct images.
Step 3
Exam Tip
(3!=6), इसलिए कुल द्वैक फलन (6) होंगे। / Since (3!=6), there are (6) bijective functions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), what is the correct statement about (f)?
#functions
#sine function
#range
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह केवल आच्छादक है / It is only onto
D यह न एकैकी न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. यह न एकैकी न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए यह पूरी \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक नहीं है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तिता और परास दोनों जाँचें। / For trigonometric functions, check periodicity and range.
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फलन \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x) कैसा है?
What type is \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x)?
#functions
#sine
#domain restriction
#bijection
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैक / Bijective
B केवल आच्छादक / Only onto
C केवल एकैकी / Only one-one
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. द्वैक / Bijective
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल में इसका परास ठीक ([-1,1]) है। / Its range on this interval is exactly ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
प्रांत को सीमित करने से वही फलन द्वैक बन सकता है। / Restricting the domain can make the same function bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), which statement is correct?
#functions
#cosine
#range
#periodic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैक / Bijective
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक नहीं है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]), so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत यदि \(\mathbb{R}\) हो तो सीमित परास वाले फलन आच्छादक नहीं होंगे। / If codomain is \(\mathbb{R}\), a bounded range function is not onto.
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यदि \(f:\left[0,\pi\right]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), तो (f) का प्रकार क्या है?
If \(f:\left[0,\pi\right]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), what is the type of (f)?
#functions
#cosine
#bijection
#domain restriction
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैक / Bijective
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. द्वैक / Bijective
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) सख्ती से घटता है, इसलिए एकैकी है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल पर यह (1) से (-1) तक सभी मान लेता है। / On this interval, it takes all values from (1) to (-1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह दिए गए सहप्रांत ([-1,1]) पर आच्छादक भी है। / Hence it is also onto the codomain ([-1,1]).
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यदि (f(x)=2x+3) और (f^{-1}(k)=4), तो (k) का मान क्या है?
If (f(x)=2x+3) and (f^{-1}(k)=4), what is the value of (k)?
#functions
#inverse
#linear
#application
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (8)
B (11)
C (5)
D (4)
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Step 1
Concept
(f^{-1}(k)=4) का अर्थ है (f(4)=k)। / (f^{-1}(k)=4) means (f(4)=k).
Step 2
Why this answer is correct
(f(4)=2\cdot4+3=11)। / (f(4)=2\cdot4+3=11).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम वाले प्रश्नों में कथन को मूल फलन की भाषा में बदलें। / In inverse function questions, translate the statement into the original function.
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यदि (f(x)=x-2 -1) और (g(x)=x+1), तो (\(f\circ g\)(2)) का मान क्या है?
If (f(x)=x-2 -1) and (g(x)=x+1), what is the value of (\(f\circ g\)(2))?
#functions
#composition
#value based
#exam
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (5)
C (8)
D (9)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
पहले (g(2)=2+1=3) निकालें। / First find (g(2)=2+1=3).
Step 2
Why this answer is correct
अब (f(g(2))=f(3)=32 -1=8)। / Now (f(g(2))=f(3)=32 -1=8).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में हमेशा भीतर वाले फलन को पहले हल करें। / In composition, always evaluate the inner function first.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -6x+10) का परास क्या है?
What is the range of \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -6x+10)?
#functions
#range
#quadratic
#minimum
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \([1,\infty\))
B \([0,\infty\))
C (\(-\infty,1]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([1,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2 -6x+10=(x-3)2 +1)। / Rewrite \(x^2-6x+10\) as ((x-3)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
((x-3)2 \ge 0), इसलिए न्यूनतम मान (1) है। / Since ((x-3)2 \ge 0), the minimum value is (1).
Step 3
Exam Tip
अतः परास \([1,\infty\)) होगा। / Therefore the range is \([1,\infty\)).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#functions
#greatest integer
#range
#one one
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\lfloor 1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / \(\lfloor 1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास केवल पूर्णांक हैं, सभी वास्तविक संख्याएँ नहीं। / Its range is only the integers, not all real numbers.
Step 3
Exam Tip
महानतम पूर्णांक फलन में परास को ध्यान से देखें। / For the greatest integer function, check the range carefully.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+5), तो (f) कैसा फलन है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+5), what type of function is (f)?
#functions
#integers
#bijection
#linear
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैक / Bijective
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. द्वैक / Bijective
Step 1
Concept
यदि \(n_1+5=n_2+5\), तो \(n_1=n_2\), इसलिए यह एकैकी है। / If \(n_1+5=n_2+5\), then \(n_1=n_2\), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए \(n=m-5\in\mathbb{Z}\), इसलिए हर (m) मिल जाता है। / For any \(m\in\mathbb{Z}\), \(n=m-5\in\mathbb{Z}\), so every (m) is attained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर नियत जोड़ वाला फलन द्वैक होता है। / Adding a fixed integer gives a bijection on integers.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=2n), तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=2n), which statement is correct?
#functions
#integers
#one one
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
B आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C द्वैक / Bijective
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
\(2n_1=2n_2\) से \(n_1=n_2\), इसलिए फलन एकैकी है। / From \(2n_1=2n_2\), we get \(n_1=n_2\), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन विषम पूर्णांक जैसे (1) किसी (2n) के रूप में नहीं मिलते। / But odd integers like (1) are not of the form (2n).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर (2n) केवल सम पूर्णांक देता है। / On integers, (2n) produces only even integers.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+1), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+1), what type is (f)?
#functions
#natural numbers
#one one
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैक / Bijective
B एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
C आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
B. एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
(n+1) अलग (n) के लिए अलग मान देता है, इसलिए एकैकी है। / (n+1) gives different values for different (n), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (1) किसी (n+1) के रूप में नहीं मिलेगा। / If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), then (1) is not of the form (n+1).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं पर आरंभिक अवयव की जाँच जरूर करें। / On natural numbers, always check the first element of the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2x), तो क्या यह एकैकी है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2x), is it one-one?
#functions
#one one
#counterexample
#quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ क्योंकि यह बहुपद है / Yes because it is a polynomial
B हाँ क्योंकि इसका परास अनंत है / Yes because its range is infinite
C नहीं क्योंकि अलग आगत समान प्रतिबिंब दे सकते हैं / No because different inputs can give the same image
D नहीं क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / No because it is not defined
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Correct Answer
C. नहीं क्योंकि अलग आगत समान प्रतिबिंब दे सकते हैं / No because different inputs can give the same image
Step 1
Concept
(f(0)=0) और (f(-2)=0) मिलते हैं। / (f(0)=0) and (f(-2)=0).
Step 2
Why this answer is correct
दो अलग आगतों (0) और (-2) का प्रतिबिंब समान है। / Two different inputs (0) and (-2) have the same image.
Step 3
Exam Tip
एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए एक ही मान देने वाले दो अलग आगत दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one property, one counterexample is enough.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|+3), तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|+3), what is the range of (f)?
#functions
#range
#absolute value
#minimum
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \([3,\infty\))
B (\(3,\infty\))
C (\(-\infty,3]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([3,\infty\))
Step 1
Concept
\(|x-2|\ge 0\) होता है। / \(|x-2|\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
सबसे छोटा मान तब मिलेगा जब (|x-2|=0), अर्थात (x=2), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। / The smallest value occurs when (|x-2|=0), that is (x=2), giving minimum (3).
Step 3
Exam Tip
परिमाप वाले फलन का परास उसके न्यूनतम मान से आगे जाता है। / The range of this absolute value function starts from its minimum value.
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यदि (f(x)=|x|) और (g(x)=x-1), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या है?
If (f(x)=|x|) and (g(x)=x-1), what is (\(f\circ g\)(x))?
#functions
#composition
#absolute value
#algebra
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (|x|-1)
B (|x-1|)
C (x+1)
D (|x+1|)
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Correct Answer
B. (|x-1|)
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(g(x))) होता है। / (\(f\circ g\)(x)=f(g(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(g(x)=x-1) को (f) में रखने पर (f(x-1)=|x-1|) मिलेगा। / Substitute (g(x)=x-1) into (f), giving (f(x-1)=|x-1|).
Step 3
Exam Tip
परिमाप में पूरा भीतरी व्यंजक रखना चाहिए। / Keep the entire inner expression inside the absolute value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x), तो एकैकी न होने का सही प्रमाण कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x), which is a correct proof that it is not one-one?
#functions
#one one
#cubic
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(0)=f\(\sqrt{3}\)=0)
B (f(1)=f(2))
C (f(-1)=f(1))
D (f(2)=f(3))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(0)=f\(\sqrt{3}\)=0)
Step 1
Concept
(f(0)=03 -3\cdot0=0)। / (f(0)=03 -3\cdot0=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3 -3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0)। / (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3 -3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों का समान प्रतिबिंब मिल गया, इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / Two distinct inputs have the same image, so the function is not one-one.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादक है और (B) में (5) अवयव हैं, तो (f(A)) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is onto and (B) has (5) elements, how many elements will (f(A)) have?
#functions
#onto
#image set
#finite sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (4)
B (5)
C (6)
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Step 1
Concept
आच्छादक फलन में (B) का हर अवयव (A) के किसी अवयव का प्रतिबिंब होता है। / In an onto function, every element of (B) is the image of some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(A)=B) होता है। / Therefore (f(A)=B).
Step 3
Exam Tip
अतः (f(A)) में भी (5) अवयव होंगे। / Hence (f(A)) has (5) elements.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (A) में (6) अवयव हैं, तो (f(A)) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is one-one and (A) has (6) elements, how many elements will (f(A)) have?
#functions
#one one
#image set
#cardinality
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? Hint Small clue
A (3)
B (5)
C (6)
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग-अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होते हैं। / In a one-one function, distinct elements of (A) have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (6) अवयव हैं, इसलिए (6) अलग प्रतिबिंब मिलेंगे। / Since (A) has (6) elements, there will be (6) distinct images.
Step 3
Exam Tip
अतः (f(A)) में (6) अवयव होंगे। / Therefore (f(A)) has (6) elements.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -1), तो (f) आच्छादक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -1), why is (f) not onto?
#functions
#onto
#range
#quadratic
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? Hint Small clue
A क्योंकि (f(0)=-1) / Because (f(0)=-1)
B क्योंकि (-2) कोई प्रतिबिंब नहीं है / Because (-2) is not an image
C क्योंकि (1) कोई प्रतिबिंब नहीं है / Because (1) is not an image
D क्योंकि (0) कोई प्रतिबिंब नहीं है / Because (0) is not an image
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Correct Answer
B. क्योंकि (-2) कोई प्रतिबिंब नहीं है / Because (-2) is not an image
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2-1\ge -1\)। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2-1\ge -1\).
Step 2
Why this answer is correct
(-2) जैसा मान (-1) से छोटा है, इसलिए वह कभी नहीं मिल सकता। / A value like (-2) is less than (-1), so it can never be attained.
Step 3
Exam Tip
आच्छादक न होने के लिए सहप्रांत का एक छूटा हुआ अवयव दिखाना काफी है। / To disprove onto property, one missing codomain element is enough.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), what is the range of (f)?
#functions
#range
#absolute value
#rational
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+10 Time+ 10 sec extra
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A ((-1,1))
B ([-1,1])
C ((0,1))
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. ((-1,1))
Step 1
Concept
(x>0) पर मान \(\frac{x}{1+x}\) होता है, जो (0) से (1) के बीच रहता है। / For (x>0), the value is \(\frac{x}{1+x}\), which lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर मान \(\frac{x}{1-x}\) होता है, जो (-1) से (0) के बीच रहता है। / For (x<0), the value is \(\frac{x}{1-x}\), which lies between (-1) and (0).
Step 3
Exam Tip
मान (1) और (-1) तक पहुँचते नहीं, इसलिए परास ((-1,1)) है। / The values (1) and (-1) are approached but not attained, so the range is ((-1,1)).
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यदि (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), तो \(x\ne1\) के लिए (f^{-1}(x)) क्या है?
If (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), then for \(x\ne1\), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#rational function
#expert
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A \(\frac{x+3}{x-2}\)
B \(\frac{x-3}{x+2}\)
C \(\frac{x+2}{x-3}\)
D \(\frac{3-x}{2-x}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{x+3}{x-2}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x+3}{x-1}\) मानें। / Let \(y=\frac{2x+3}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y(x-1)=2x+3) से (x(y-2)=y+3) मिलता है। / From (y(x-1)=2x+3), we get (x(y-2)=y+3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{y+3}{y-2}\), अतः (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2})। / Therefore \(x=\frac{y+3}{y-2}\), so (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-5 +x-3 +x), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-5 +x-3 +x), what type is (f)?
#functions
#bijection
#polynomial
#odd function
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A द्वैक / Bijective
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. द्वैक / Bijective
Step 1
Concept
यह फलन सख्ती से बढ़ता है क्योंकि उच्च विषम घातों के साथ (x) का प्रभाव लगातार बढ़ता है। / The function is strictly increasing because the odd power terms along with (x) increase consistently.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर फलन \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the function goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह एकैकी भी है और \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक भी है। / Hence it is both one-one and onto on \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge0\x-1,&x<0\end{cases}), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge0\x-1,&x<0\end{cases}), which statement is correct about (f)?
#functions
#piecewise
#one one
#range
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A एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
B आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C द्वैक / Bijective
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
(x<0) पर मान (\(-\infty,-1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर मान \([1,\infty\)) में आते हैं। / For (x<0), values lie in (\(-\infty,-1\)), and for \(x\ge0\), values lie in \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों भागों के मान आपस में नहीं मिलते, इसलिए फलन एकैकी है। / The two parts do not overlap, so the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
लेकिन ((-1,1)) के मान नहीं मिलते, इसलिए यह आच्छादक नहीं है। / But values in ((-1,1)) are missing, so it is not onto.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -6x-2 +12x+1) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -6x-2 +12x+1)?
#functions
#bijection
#cubic transformation
#expert
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A यह द्वैक है / It is bijective
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह केवल आच्छादक है / It is only onto
D यह न एकैकी न आच्छादक है / It is neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. यह द्वैक है / It is bijective
Step 1
Concept
(x-3 -6x-2 +12x+1=(x-2)3 +9) लिखा जा सकता है। / We can write (x-3 -6x-2 +12x+1=(x-2)3 +9).
Step 2
Why this answer is correct
घन फलन ((x-2)3 ) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैं और हर वास्तविक मान प्राप्त होता है। / The cubic expression ((x-2)3 ) is strictly increasing, so distinct inputs give distinct outputs and every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसे बहुपद को पहले घन रूप में बदलकर एकैकी और आच्छादकता जल्दी पहचानें। / In exams, convert such polynomials into shifted cubic form to identify one-one and onto properties quickly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<0\x-2 +1,&x\ge0\end{cases}), तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<0\x-2 +1,&x\ge0\end{cases}), what is the correct conclusion about (f)?
#functions
#piecewise
#bijection
#range
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? Hint Small clue
A एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
B आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C द्वैक है / Bijective
D न एकैकी न आच्छादक है / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादक है / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(x<0) पर (2x+1) के मान (\(-\infty,1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर \(x^2+1\) के मान \([1,\infty\)) में आते हैं, इसलिए परास पूरी \(\mathbb{R}\) है। / For (x<0), (2x+1) gives values in (\(-\infty,1\)), and for \(x\ge0\), \(x^2+1\) gives values in \([1,\infty\)), so the range is all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (f(0)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0) अलग मान हैं, इसलिए एकैकी जाँच के लिए बेहतर उदाहरण लें: (f\left\(-\frac{1}{4}\right\)=\frac{1}{2}) और यह मान दूसरे भाग से नहीं आता; फिर भी पहले भाग सख्ती से बढ़ता है और दूसरे भाग भी सख्ती से बढ़ता है तथा दोनों परास अलग हैं। / Both parts are increasing on their domains, and their ranges do not overlap, so different inputs cannot have the same output.
Step 3
Exam Tip
अतः यह वास्तव में एकैकी और आच्छादक दोनों है, इसलिए सही निष्कर्ष द्वैक होना चाहिए। / Hence the function is both one-one and onto, so it is bijective.
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