यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 -3x+1) से दिया गया है, तो (f) के एकैकी होने के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-3 -3x+1), which statement about (f) being one-one is correct?
#functions
#one-one
#counterexample
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? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह केवल धनात्मक संख्याओं पर आच्छादी है / It is onto only on positive numbers
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
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Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान मान दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) और (f\(\sqrt{3}\)=1), जबकि \(0\neq\sqrt{3}\)। / (f(0)=1) and (f\(\sqrt{3}\)=1), while \(0\neq\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद फलन में एक छोटा प्रतिवाद एकैकीपन को तुरंत तोड़ देता है। / For polynomial functions, one clear counterexample quickly settles one-one behaviour.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 +x+5) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-3 +x+5), which statement about (f) is correct?
#bijection
#polynomial
#real function
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? Hint Small clue
A यह द्विआधारी है / It is bijective
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह केवल स्थिर मान देता है / It gives only a constant value
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह द्विआधारी है / It is bijective
Step 1
Concept
\(x^3+x+5\) वास्तविक रेखा पर लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देते हैं। / \(x^3+x+5\) is strictly increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ और पूरा वास्तविक परास लेने वाला फलन द्विआधारी होता है। / A strictly increasing function covering all real values is bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) को (f(x)=\frac{3x+1}{x-2}) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) is given by (f(x)=\frac{3x+1}{x-2}), what is (f^{-1}(x))?
#inverse function
#rational function
#algebra
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A \(\frac{2x+1}{x-3}\)
B \(\frac{x-2}{3x+1}\)
C \(\frac{3x-1}{x+2}\)
D \(\frac{2x-1}{x+3}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{2x+1}{x-3}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{3x+1}{x-2}\) मानकर (x) को अलग करें। / Put \(y=\frac{3x+1}{x-2}\) and isolate (x).
Step 2
Why this answer is correct
(y(x-2)=3x+1) से (x(y-3)=2y+1) मिलता है। / From (y(x-2)=3x+1), we get (x(y-3)=2y+1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{2y+1}{y-3}\), और चर बदलने पर प्रतिलोम मिल जाता है। / Hence \(x=\frac{2y+1}{y-3}\), and replacing (y) by (x) gives the inverse.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=ax+b) से परिभाषित किया गया है और \(f\circ f\) तत्समक फलन है, तो (a,b) के लिए कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=ax+b) and \(f\circ f\) is the identity function, which statement about (a,b) is correct?
#composition
#identity function
#parameter
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A (a=1,b=0) या \(a=-1,b\in\mathbb{R}\) / (a=1,b=0) or \(a=-1,b\in\mathbb{R}\)
B (a=0,b=1)
C \(a=1,b\neq0\)
D (a=2,b=0)
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Correct Answer
A. (a=1,b=0) या \(a=-1,b\in\mathbb{R}\) / (a=1,b=0) or \(a=-1,b\in\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
(f(f(x))=a(ax+b)+b=a-2 x+b(a+1))। / (f(f(x))=a(ax+b)+b=a-2 x+b(a+1)).
Step 2
Why this answer is correct
इसे (x) के बराबर करने पर \(a^2=1\) और (b(a+1)=0) मिलता है। / Equating it with (x) gives \(a^2=1\) and (b(a+1)=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (a=1) पर (b=0), और (a=-1) पर (b) कोई भी वास्तविक हो सकता है। / Hence (a=1,b=0), or (a=-1) with any real (b).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 -6x+11) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 -6x+11), what is the range of (f)?
#range
#quadratic
#completing square
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A \([2,\infty\))
B \([11,\infty\))
C (\(-\infty,2]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([2,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2 -6x+11=(x-3)2 +2) लिखें। / Write (x-2 -6x+11=(x-3)2 +2).
Step 2
Why this answer is correct
((x-3)2 \geq0), इसलिए न्यूनतम मान (2) है। / Since ((x-3)2 \geq0), the minimum value is (2).
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूरा करना परास निकालने में सबसे सुरक्षित तरीका है। / Completing the square is the safest method for range questions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=|x-1|+|x+1|) से परिभाषित किया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=|x-1|+|x+1|), what is the range of (f)?
#absolute value
#range
#real function
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A \([2,\infty\))
B \([0,\infty\))
C (\(-\infty,2]\)
D ({2})
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Correct Answer
A. \([2,\infty\))
Step 1
Concept
यह अभिव्यक्ति संख्या रेखा पर (x) की (1) और (-1) से दूरियों का योग है। / The expression is the sum of distances of (x) from (1) and (-1).
Step 2
Why this answer is correct
\(-1\leq x\leq1\) पर योग (2) रहता है और बाहर जाने पर बढ़ता है। / For \(-1\leq x\leq1\), the sum is (2), and outside this interval it increases.
Step 3
Exam Tip
दूरी वाले निरपेक्ष मान में ज्यामितीय सोच जल्दी उत्तर देती है। / A distance interpretation helps solve absolute value range questions quickly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }), what is the range of (f)?
#range
#rational function
#endpoint
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A ([0,1))
B ((0,1])
C ([0,1])
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. ([0,1))
Step 1
Concept
\(x^2\geq0\), इसलिए फलन का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता। / Since \(x^2\geq0\), the function value cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर मान (0) मिलता है और बड़े (|x|) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। / At (x=0), the value is (0), and for large (|x|), it approaches (1) but never equals (1).
Step 3
Exam Tip
सीमा के पास जाने और वास्तव में मान लेने में अंतर रखें। / Distinguish between approaching a value and attaining it.
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यदि (A) में (5) अवयव और (B) में (3) अवयव हैं, तो (A) से (B) में ऐसे फलनों की संख्या कितनी है जिनका परास ठीक (2) अवयवों का हो?
If (A) has (5) elements and (B) has (3) elements, how many functions from (A) to (B) have range exactly of size (2)?
#range size
#counting functions
#finite sets
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A (30)
B (60)
C (90)
D (150)
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Step 1
Concept
परास के (2) अवयव चुनने के तरीके \(\binom{3}{2}=3\) हैं। / Choose the (2) elements of the range in \(\binom{3}{2}=3\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
चुने हुए दो अवयवों पर आच्छादी फलन \(2^5-2=30\) होंगे। / Onto functions onto these two chosen elements are \(2^5-2=30\).
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(3\cdot30=90\) होगी। / Total number is \(3\cdot30=90\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\begin{cases}x+2,&x\geq0\x-2 +2,&x<0\end{cases}) से दिया गया है, तो (f) के एकैकी होने के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\begin{cases}x+2,&x\geq0\x-2 +2,&x<0\end{cases}), which statement about (f) being one-one is correct?
#piecewise function
#one-one
#counterexample
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? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(1))
C यह आच्छादी है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(1))
Step 1
Concept
खंडों में दिए फलन में अलग-अलग खंडों के मान भी मिलाने पड़ते हैं। / For a piecewise function, values from different pieces must also be compared.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=(-1)2 +2=3) और (f(1)=1+2=3)। / (f(-1)=(-1)2 +2=3) and (f(1)=1+2=3).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों पर समान मान मिलते ही एकैकीपन टूट जाता है। / Equal outputs for different inputs break one-one behaviour.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) को (f(x)=x-2 +2x) से दिया गया है, तो (f) के परास और एकैकीपन के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) is given by (f(x)=x-2 +2x), which statement about its range and one-one behaviour is correct?
#domain restriction
#range
#one-one
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A परास \([0,\infty\)) है और यह एकैकी है / Range is \([0,\infty\)) and it is one-one
B परास \([-1,\infty\)) है और यह एकैकी नहीं है / Range is \([-1,\infty\)) and it is not one-one
C परास \(\mathbb{R}\) है और यह आच्छादी है / Range is \(\mathbb{R}\) and it is onto
D परास (\(0,\infty\)) है और यह स्थिर है / Range is (\(0,\infty\)) and it is constant
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Correct Answer
A. परास \([0,\infty\)) है और यह एकैकी है / Range is \([0,\infty\)) and it is one-one
Step 1
Concept
(x-2 +2x=x(x+2)) और \(x\geq0\) होने पर यह (0) से शुरू होकर बढ़ता है। / (x-2 +2x=x(x+2)), and for \(x\geq0\) it starts at (0) and increases.
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर न्यूनतम मान (0) है, इसलिए परास \([0,\infty\)) है। / The minimum value is (0) at (x=0), so the range is \([0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत पर द्विघात फलन एकैकी बन सकता है। / A quadratic can become one-one after restricting its domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) विषम फलन है और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) सम फलन है, तो \(g\circ f\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is an odd function and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is an even function, which statement about \(g\circ f\) is correct?
#even function
#odd function
#composition
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? Hint Small clue
A यह सम फलन है / It is an even function
B यह विषम फलन है / It is an odd function
C यह हमेशा स्थिर फलन है / It is always constant
D यह कभी परिभाषित नहीं होता / It is never defined
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Correct Answer
A. यह सम फलन है / It is an even function
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(-x)=g(f(-x)))। / (\(g\circ f\)(-x)=g(f(-x))).
Step 2
Why this answer is correct
(f) विषम है, इसलिए (f(-x)=-f(x)); और (g) सम है, इसलिए (g(-f(x))=g(f(x)))। / Since (f) is odd, (f(-x)=-f(x)); since (g) is even, (g(-f(x))=g(f(x))).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(g\circ f\) सम फलन है। / Therefore \(g\circ f\) is even.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x+\frac{1}{x}) से दिया गया है, तो सही प्रांत लेने पर कौन सा प्रांत उचित होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is described by (f(x)=x+\frac{1}{x}), what should be the correct domain?
#domain
#rational expression
#function definition
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? Hint Small clue
A \(\mathbb{R}\setminus{0}\)
B \(\mathbb{R}\)
C \([0,\infty\))
D \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
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Correct Answer
A. \(\mathbb{R}\setminus{0}\)
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) तभी परिभाषित है जब \(x\neq0\)। / \(\frac{1}{x}\) is defined only when \(x\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर हर शून्य हो जाएगा, इसलिए उसे हटाना जरूरी है। / At (x=0), the denominator becomes zero, so it must be removed.
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलन में हर को शून्य बनाने वाले मान हमेशा हटाएँ। / For fractional functions, always exclude values that make the denominator zero.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) को (f(x)=x+\frac{1}{x}) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) is given by (f(x)=x+\frac{1}{x}), what is the range of (f)?
#range
#am gm
#positive domain
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? Hint Small clue
A \([2,\infty\))
B (\(2,\infty\))
C \(\mathbb{R}\)
D (\(-\infty,2]\)
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Correct Answer
A. \([2,\infty\))
Step 1
Concept
धनात्मक (x) के लिए \(x+\frac{1}{x}\geq2\) होता है। / For positive (x), \(x+\frac{1}{x}\geq2\).
Step 2
Why this answer is correct
(x=1) पर मान (2) मिल जाता है। / At (x=1), the value (2) is attained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में गुणोत्तर और अंकगणितीय माध्य का विचार बहुत उपयोगी है। / The AM-GM idea is very useful for such range questions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 +px+q) से दिया गया है और उसका न्यूनतम मान (5) है जो (x=2) पर मिलता है, तो (p,q) क्या हैं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 +px+q) and its minimum value is (5) at (x=2), what are (p,q)?
#quadratic function
#minimum
#parameters
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A (p=-4,q=9)
B (p=4,q=-3)
C (p=-2,q=7)
D (p=2,q=1)
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Correct Answer
A. (p=-4,q=9)
Step 1
Concept
शीर्ष का (x)-निर्देशांक \(-\frac{p}{2}\) होता है। / The (x)-coordinate of the vertex is \(-\frac{p}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(-\frac{p}{2}=2\) से (p=-4) मिलता है। / From \(-\frac{p}{2}=2\), we get (p=-4).
Step 3
Exam Tip
(f(2)=5) रखने पर (4-8+q=5), इसलिए (q=9)। / Using (f(2)=5), (4-8+q=5), so (q=9).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=mx-2 +1) से दिया गया है, तो (f) के पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी होने के लिए (m) का कौन सा मान संभव है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=mx-2 +1), which value of (m) can make (f) one-one on all of \(\mathbb{R}\)?
#parameter
#one-one
#quadratic
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A कोई वास्तविक (m) नहीं / No real (m)
B केवल (m=1) / Only (m=1)
C केवल (m=-1) / Only (m=-1)
D हर \(m\neq0\) / Every \(m\neq0\)
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक (m) नहीं / No real (m)
Step 1
Concept
यदि \(m\neq0\), तो (f(1)=f(-1)) होगा। / If \(m\neq0\), then (f(1)=f(-1)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (m=0), तो फलन स्थिर (1) बन जाता है। / If (m=0), the function becomes the constant (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए किसी भी वास्तविक (m) के लिए यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं हो सकता। / Therefore no real (m) makes it one-one on all of \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}) से परिभाषित माना जाए, तो इसे फलन बनाने के लिए प्रांत से कौन सा मान हटाना होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is considered as (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}), which value must be removed from the domain to make it a function?
#domain
#rational function
#well defined
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A (3)
B (-3)
C (1)
D (-1)
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Step 1
Concept
भिन्न में हर (x+3) है। / The denominator is (x+3).
Step 2
Why this answer is correct
(x+3=0) से (x=-3) मिलता है। / Solving (x+3=0) gives (x=-3).
Step 3
Exam Tip
हर को शून्य करने वाला मान प्रांत से हटाया जाता है। / A value making the denominator zero must be removed from the domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{-3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{-3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is given by (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}), which statement about (f) is correct?
#bijection
#rational function
#inverse
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? Hint Small clue
A यह द्विआधारी है / It is bijective
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. यह द्विआधारी है / It is bijective
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x-1}{x+3}\) से \(x=\frac{1+3y}{2-y}\) मिलता है। / From \(y=\frac{2x-1}{x+3}\), we get \(x=\frac{1+3y}{2-y}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\neq2\) के लिए एक अद्वितीय (x) मिलता है और \(x\neq-3\) रहता है। / For every \(y\neq2\), there is a unique (x), and \(x\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
जब हर मान का ठीक एक पूर्वप्रतिबिंब हो, फलन द्विआधारी होता है। / A function with exactly one preimage for every codomain value is bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) के लिए (f(x)=x-2 ), (g(x)=x+1), तो (\(f\circ g\)(x)-\(g\circ f\)(x)) क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are (f(x)=x-2 ), (g(x)=x+1), what is (\(f\circ g\)(x)-\(g\circ f\)(x))?
#composition
#difference
#functions
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? Hint Small clue
A (2x)
B (2x+1)
C \(x^2+1\)
D (0)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)2 )। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +1)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +1).
Step 3
Exam Tip
अंतर ((x+1)2 -\(x^2+1\)=2x) है। / The difference is ((x+1)2 -\(x^2+1\)=2x).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ऐसा है कि (f(x+y)=f(x)f(y)), (f(0)=1), और (f(x)>0), तो (f(-x)) किसके बराबर होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) satisfies (f(x+y)=f(x)f(y)), (f(0)=1), and (f(x)>0), what is (f(-x))?
#functional equation
#inverse value
#functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (\frac{1}{f(x)})
B (f(x))
C (-f(x))
D (0)
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Correct Answer
A. (\frac{1}{f(x)})
Step 1
Concept
(x+(-x)=0) रखें। / Put (x+(-x)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=f(x)f(-x)=1)। / Then (f(0)=f(x)f(-x)=1).
Step 3
Exam Tip
(f(x)>0) होने से (f(-x)=\frac{1}{f(x)}) मिलता है। / Since (f(x)>0), (f(-x)=\frac{1}{f(x)}).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ऐसा है कि (f(x+y)=f(x)+f(y)) और (f(1)=3), तो (f(5)) का मान क्या होगा, यदि (f) रैखिक माना जाए?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) satisfies (f(x+y)=f(x)+f(y)) and (f(1)=3), what is (f(5)), assuming (f) is linear?
#functional equation
#linear function
#value
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (8)
B (15)
C (3)
D (5)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
योग गुण के अनुसार (f(5)=f(1+1+1+1+1))। / By the additive property, (f(5)=f(1+1+1+1+1)).
Step 2
Why this answer is correct
यह (5f(1)=5\cdot3=15) होगा। / This becomes (5f(1)=5\cdot3=15).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में दिए हुए मान को बार-बार जोड़कर उपयोग करें। / In such questions, use repeated addition of the given value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\max{x,1-x}) से दिया गया है, तो (f) का न्यूनतम मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\max{x,1-x}), what is the minimum value of (f)?
#maximum function
#minimum value
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{1}{2}\)
B (0)
C (1)
D कोई न्यूनतम मान नहीं / No minimum value
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{1}{2}\)
Step 1
Concept
अधिकतम मान को छोटा करने के लिए (x) और (1-x) को बराबर करना चाहिए। / To minimize the maximum, make (x) and (1-x) equal.
Step 2
Why this answer is correct
(x=1-x) से \(x=\frac{1}{2}\) मिलता है। / Solving (x=1-x) gives \(x=\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
उस बिंदु पर दोनों मान \(\frac{1}{2}\) हैं, इसलिए न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) है। / At this point both values are \(\frac{1}{2}\), so the minimum is \(\frac{1}{2}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\min{x-2 ,4}) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\min{x-2 ,4}), what is the range of (f)?
#minimum function
#range
#piecewise idea
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ([0,4])
B ([0,4))
C ((0,4])
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. ([0,4])
Step 1
Concept
\(x^2\) का मान (0) से शुरू होकर बढ़ता है। / \(x^2\) starts from (0) and increases.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2\geq4\) होने पर फलन (4) ही लेता है। / When \(x^2\geq4\), the function takes the value (4).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (0) से (4) तक सभी मान मिलते हैं और दोनों सिरों के मान शामिल हैं। / Hence all values from (0) to (4) are attained, including both endpoints.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x|x|) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x|x|), which statement about (f) is correct?
#absolute value
#bijection
#piecewise function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह द्विआधारी है / It is bijective
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह द्विआधारी है / It is bijective
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर (f(x)=x-2 ) और (x<0) पर (f(x)=-x-2 ) होता है। / For \(x\geq0\), (f(x)=x-2 ), and for (x<0), (f(x)=-x-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक आगत ऋणात्मक मान और धनात्मक आगत धनात्मक मान देते हैं, तथा मान क्रम से बढ़ते हैं। / Negative inputs give negative outputs and positive inputs give positive outputs, with ordered growth.
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (y) के लिए ठीक एक (x) मिलता है, इसलिए फलन द्विआधारी है। / Every real (y) has exactly one preimage, so the function is bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x|x|) से दिया गया है, तो (f^{-1}(4)) का मान क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x|x|), what is (f^{-1}(4))?
#inverse value
#absolute value
#function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (-2)
C (4)
D (16)
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Step 1
Concept
(4) धनात्मक है, इसलिए आगत (x) भी धनात्मक होगा। / Since (4) is positive, the input (x) must be positive.
Step 2
Why this answer is correct
धनात्मक (x) पर (f(x)=x-2 ), इसलिए \(x^2=4\)। / For positive (x), (f(x)=x-2 ), so \(x^2=4\).
Step 3
Exam Tip
धनात्मक हल (x=2) है। / The positive solution is (x=2).
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) हैं तथा \(g\circ f\) एकैकी है, तो कौन सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही है?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\), and \(g\circ f\) is one-one, which conclusion is definitely true?
#composition
#one-one
#logical conclusion
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (g) एकैकी है / (g) is one-one
C दोनों आच्छादी हैं / Both are onto
D (f) स्थिर है / (f) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एकैकी है / (f) is one-one
Step 1
Concept
यदि (f\(a_1\)=f\(a_2\)), तो (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))) होगा। / If (f\(a_1\)=f\(a_2\)), then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))).
Step 2
Why this answer is correct
\(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए \(a_1=a_2\)। / Since \(g\circ f\) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (f) का एकैकी होना अनिवार्य है, पर (g) पूरे (B) पर जरूरी नहीं। / Hence (f) must be one-one, while (g) need not be one-one on all of (B).
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) हैं तथा \(g\circ f\) आच्छादी है, तो कौन सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही है?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\), and \(g\circ f\) is onto, which conclusion is definitely true?
#composition
#onto
#logical conclusion
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (g) आच्छादी है / (g) is onto
B (f) आच्छादी है / (f) is onto
C दोनों एकैकी हैं / Both are one-one
D (g) स्थिर है / (g) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (g) आच्छादी है / (g) is onto
Step 1
Concept
\(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए (C) का हर अवयव (g(f(a))) के रूप में आता है। / Since \(g\circ f\) is onto, every element of (C) is of the form (g(f(a))).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि वही अवयव (g(b)) के रूप में भी आता है, जहाँ (b=f(a))। / That same element is also of the form (g(b)), where (b=f(a)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (g) अवश्य आच्छादी है। / Hence (g) must be onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-1}) से दिया गया है, तो यह फलन किस प्रांत पर (x+1) जैसा व्यवहार करेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-1}), on which domain does it behave like (x+1)?
#domain
#simplification
#rational function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
B \(\mathbb{R}\)
C \(\mathbb{R}\setminus{-1}\)
D ({1})
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Correct Answer
A. \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
Step 1
Concept
(x-2 -1=(x-1)(x+1)) है। / (x-2 -1=(x-1)(x+1)).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\neq1\) होने पर \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) बनता है। / For \(x\neq1\), \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\).
Step 3
Exam Tip
काटने से पहले जिस मान पर हर शून्य है, उसे प्रांत से हटाना नहीं भूलें। / Even after cancellation, the value making the original denominator zero must be excluded.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-1}) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-1}), what is the range of (f)?
#range
#removed point
#rational function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\mathbb{R}\setminus{2}\)
B \(\mathbb{R}\)
C \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
D \([2,\infty\))
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Correct Answer
A. \(\mathbb{R}\setminus{2}\)
Step 1
Concept
\(x\neq1\) पर फलन (x+1) के बराबर है। / For \(x\neq1\), the function equals (x+1).
Step 2
Why this answer is correct
(x=1) हट जाने से (x+1=2) वाला मान नहीं मिल सकता। / Since (x=1) is removed, the value (x+1=2) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
सरलीकरण के बाद भी हटे हुए प्रांत का असर परास पर पड़ सकता है। / Even after simplification, removed domain points can affect the range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 +1) और \(g:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) को (g(x)=\sqrt{x-1}) से दिया गया है, तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is (f(x)=x-2 +1) and \(g:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) is (g(x)=\sqrt{x-1}), which statement is correct?
#inverse function
#domain restriction
#square function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (g) पूरे (f) का प्रतिलोम है / (g) is the inverse of all of (f)
B (g) (f) के \(x\geq0\) तक सीमित रूप का प्रतिलोम है / (g) is the inverse of (f) restricted to \(x\geq0\)
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (g) परिभाषित नहीं है / (g) is not defined
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Correct Answer
B. (g) (f) के \(x\geq0\) तक सीमित रूप का प्रतिलोम है / (g) is the inverse of (f) restricted to \(x\geq0\)
Step 1
Concept
(f(x)=x-2 +1) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। / (f(x)=x-2 +1) is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि प्रांत \(x\geq0\) तक सीमित करें, तो \(y=x^2+1\) से \(x=\sqrt{y-1}\) मिलता है। / If its domain is restricted to \(x\geq0\), then \(y=x^2+1\) gives \(x=\sqrt{y-1}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम बनाने के लिए कई बार प्रांत को उचित रूप से सीमित करना पड़ता है। / To define an inverse, the domain often needs a suitable restriction.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\lfloor x\rfloor+{x}) से दिया गया है, जहाँ ({x}) भिन्नांश भाग है, तो (f(x)) किसके बराबर है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\lfloor x\rfloor+{x}), where ({x}) is the fractional part, what is (f(x)) equal to?
#floor function
#fractional part
#identity
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? Hint Small clue
A (x)
B \(\lfloor x\rfloor\)
C ({x})
D (x+1)
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Step 1
Concept
किसी भी वास्तविक (x) को पूर्णांक भाग और भिन्नांश भाग के योग के रूप में लिखा जाता है। / Every real (x) is the sum of its greatest integer part and fractional part.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\lfloor x\rfloor+{x}=x\)। / Therefore \(\lfloor x\rfloor+{x}=x\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक भाग से जुड़े प्रश्नों में मूल पहचान याद रखें। / For greatest integer questions, remember this basic identity.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) को (f(x)=\lfloor x\rfloor) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) is given by (f(x)=\lfloor x\rfloor), which statement about (f) is correct?
#floor function
#onto
#not one-one
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
B एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
Step 1
Concept
हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए आच्छादी है। / For every integer (n), choosing (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। / \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) लेने से आच्छादिता बदल जाती है। / Taking codomain \(\mathbb{Z}\) changes onto behaviour.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) को (f(n)=2n+1) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is given by (f(n)=2n+1), which statement about (f) is correct?
#integers
#one-one
#not onto
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? Hint Small clue
A एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C द्विआधारी / Bijective
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
(2n+1) अलग-अलग (n) के लिए अलग-अलग मान देता है। / (2n+1) gives different values for different (n).
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान हमेशा विषम पूर्णांक होता है, इसलिए सम पूर्णांक नहीं मिलते। / Its values are always odd integers, so even integers are not obtained.
Step 3
Exam Tip
एकैकी और आच्छादी को अलग-अलग जांचना जरूरी है। / One-one and onto must be checked separately.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) को (f(n)=n-3 ) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is defined by (f(n)=n-3 ), which statement about (f) is correct?
#integer function
#one-one
#not onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C द्विआधारी / Bijective
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
पूर्णांकों पर \(n^3\) बढ़ता है, इसलिए अलग (n) अलग मान देते हैं। / On integers, \(n^3\) is increasing, so different (n) give different values.
Step 2
Why this answer is correct
(2) किसी पूर्णांक का घन नहीं है, इसलिए सहप्रांत का हर मान नहीं मिलता। / (2) is not the cube of any integer, so not every codomain value is reached.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक प्रांत में घात फलन का परास अलग से जांचें। / For power functions on integers, check the range carefully.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) को (f(n)=n-2 ) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) is given by (f(n)=n-2 ), which statement about (f) is correct?
#natural numbers
#one-one
#not onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C द्विआधारी / Bijective
D स्थिर फलन / Constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याओं पर \(n^2\) बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। / On natural numbers, \(n^2\) increases, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(2) किसी प्राकृतिक संख्या का वर्ग नहीं है, इसलिए आच्छादी नहीं है। / (2) is not the square of any natural number, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में सभी मान वर्ग नहीं होते। / In natural numbers, not every value is a perfect square.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\ln\(1+x^2\)) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\ln\(1+x^2\)), what is the range of (f)?
#logarithmic function
#range
#real function
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? Hint Small clue
A \([0,\infty\))
B (\(0,\infty\))
C \(\mathbb{R}\)
D (\(-\infty,0]\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([0,\infty\))
Step 1
Concept
\(1+x^2\geq1\) हर वास्तविक (x) के लिए। / \(1+x^2\geq1\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (\ln\(1+x^2\)\geq\ln1=0), और (x=0) पर (0) मिलता है। / Hence (\ln\(1+x^2\)\geq\ln1=0), and (0) occurs at (x=0).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन में अंदर की मात्रा का न्यूनतम पहले देखें। / For logarithmic functions, first check the minimum of the inside expression.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) को (f(x)=\ln x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) is defined by (f(x)=\ln x), what type of function is (f)?
#logarithmic function
#bijection
#inverse
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? Hint Small clue
A द्विआधारी / Bijective
B एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. द्विआधारी / Bijective
Step 1
Concept
\(\ln x\) (\(0,\infty\)) पर सख्ती से बढ़ता है। / \(\ln x\) is strictly increasing on (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) लेने पर \(\ln x=y\) मिलता है। / For every real (y), choosing \(x=e^y>0\) gives \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह (\(0,\infty\)) से \(\mathbb{R}\) पर द्विआधारी है। / Hence it is bijective from (\(0,\infty\)) to \(\mathbb{R}\).
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) को (f(x)=e^{2x+1}) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) is given by (f(x)=e^{2x+1}), what is (f^{-1}(x))?
#inverse function
#exponential
#logarithm
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? Hint Small clue
A \(\frac{\ln x-1}{2}\)
B \(\frac{\ln x+1}{2}\)
C \(2\ln x+1\)
D \(e^{2x-1}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{\ln x-1}{2}\)
Step 1
Concept
\(y=e^{2x+1}\) मानें। / Put \(y=e^{2x+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\ln y=2x+1\), इसलिए \(x=\frac{\ln y-1}{2}\)। / Then \(\ln y=2x+1\), so \(x=\frac{\ln y-1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
चर बदलकर (f^{-1}(x)=\frac{\ln x-1}{2}) मिलता है। / Replacing (y) by (x) gives (f^{-1}(x)=\frac{\ln x-1}{2}).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\sin x+\cos x) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\sin x+\cos x), what is the range of (f)?
#trigonometric function
#range
#amplitude
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? Hint Small clue
A \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)
B ([-1,1])
C \([0,\sqrt{2}]\)
D \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)
Step 1
Concept
(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left\(x+\frac{\pi}{4}\right\)) लिखा जा सकता है। / Write (\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left\(x+\frac{\pi}{4}\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin\) का मान ([-1,1]) में रहता है। / The sine function lies in ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
इसलिए परास \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\) है। / Hence the range is \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\).
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यदि \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) को (f(x)=\sin x) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) is given by (f(x)=\sin x), which statement about (f) is correct?
#sine function
#bijection
#restricted domain
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? Hint Small clue
A द्विआधारी / Bijective
B एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. द्विआधारी / Bijective
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल में (-1) से (1) तक सभी मान मिलते हैं। / It attains every value from (-1) to (1).
Step 3
Exam Tip
उचित प्रांत और सहप्रांत लेने से त्रिकोणमितीय फलन द्विआधारी बन सकता है। / With a suitable domain and codomain, a trigonometric function can be bijective.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) को (f(x)=\cos x) से दिया गया है, तो (f^{-1}(0)) क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) is given by (f(x)=\cos x), what is (f^{-1}(0))?
#cosine function
#inverse value
#restricted domain
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\frac{\pi}{2}\)
B (0)
C \(\pi\)
D \(2\pi\)
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Correct Answer
A. \(\frac{\pi}{2}\)
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत \([0,\pi]\) में \(\cos x\) एकैकी है। / On the domain \([0,\pi]\), \(\cos x\) is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos x=0\) का हल \(x=\frac{\pi}{2}\) है। / The solution of \(\cos x=0\) is \(x=\frac{\pi}{2}\).
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में प्रतिलोम मान एक ही होता है। / On a restricted domain, the inverse value is unique.
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यदि \(f:A\to B\) कोई फलन है और \(f^{-1}\) भी फलन है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन निश्चित रूप से सही है?
If \(f:A\to B\) is a function and \(f^{-1}\) is also a function, which statement about (f) is definitely true?
#inverse relation
#one-one
#function property
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (f) स्थिर है / (f) is constant
C (f) का प्रांत रिक्त है / The domain of (f) is empty
D (f) आच्छादी नहीं है / (f) is not onto
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Correct Answer
A. (f) एकैकी है / (f) is one-one
Step 1
Concept
प्रतिलोम संबंध के फलन होने के लिए हर निर्गत से एक ही आगत जुड़ना चाहिए। / For the inverse relation to be a function, each output must come from only one input.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f) एकैकी नहीं होगा, तो किसी निर्गत के दो आगत होंगे। / If (f) is not one-one, one output has two inputs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(f^{-1}\) के फलन होने से (f) का एकैकी होना निश्चित है। / Therefore, if \(f^{-1}\) is a function, (f) must be one-one.
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यदि \(f:A\to B\) द्विआधारी है और (A) में (6) अवयव हैं, तो (B) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is bijective and (A) has (6) elements, how many elements does (B) have?
#bijection
#finite sets
#cardinality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (6)
B (5)
C (7)
D जानकारी पर्याप्त नहीं / Information is insufficient
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Step 1
Concept
द्विआधारी फलन एकैकी और आच्छादी दोनों होता है। / A bijective function is both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
सीमित समुच्चयों में ऐसे फलन के लिए प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव होते हैं। / For finite sets, a bijection exists only when domain and codomain have equal sizes.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (B) में भी (6) अवयव होंगे। / Hence (B) also has (6) elements.
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) से (A) में द्विआधारी फलनों की संख्या कितनी होती है?
If (A) has (n) elements, how many bijective functions are there from (A) to (A)?
#bijection
#counting
#permutation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (n!)
B \(n^2\)
C \(2^n\)
D \(n^n\)
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Step 1
Concept
(A) से (A) में द्विआधारी फलन अवयवों का क्रमचय होता है। / A bijection from (A) to (A) is a permutation of the elements.
Step 2
Why this answer is correct
(n) अवयवों के क्रमचय (n!) होते हैं। / The number of permutations of (n) elements is (n!).
Step 3
Exam Tip
स्वसमुच्चय पर द्विआधारी फलनों की गिनती में सीधे (n!) याद रखें। / For bijections on the same finite set, use (n!).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\), तो (A) से (A) में ऐसे फलनों की संख्या कितनी है जो एकैकी नहीं हैं?
If \(A=\{1,2,3\}\), how many functions from (A) to (A) are not one-one?
#counting functions
#not one-one
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (21)
B (6)
C (18)
D (27)
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Step 1
Concept
कुल फलन \(3^3=27\) हैं। / Total functions are \(3^3=27\).
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी फलन (3!=6) हैं। / One-one functions are (3!=6).
Step 3
Exam Tip
एकैकी नहीं फलन (27-6=21) होंगे। / Not one-one functions are (27-6=21).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{a,b\}\), तो (A) से (B) में ऐसे फलनों की संख्या कितनी है जो आच्छादी नहीं हैं?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{a,b\}\), how many functions from (A) to (B) are not onto?
#not onto
#counting functions
#finite sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (4)
C (8)
D (14)
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Step 1
Concept
आच्छादी नहीं होने के लिए (B) का कोई एक अवयव पूरी तरह छूटना चाहिए। / To be not onto, one element of (B) must be completely missed.
Step 2
Why this answer is correct
दो संभावनाएँ हैं: सभी अवयव (a) पर जाएँ या सभी (b) पर जाएँ। / There are two possibilities: all elements map to (a), or all map to (b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादी नहीं फलनों की संख्या (2) है। / Therefore the number of not onto functions is (2).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }), what is the range of (f)?
#range
#rational function
#discriminant
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\)
B ((-1,1))
C ([0,1])
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \(\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{x}{1+x^2}\) मानें। / Put \(y=\frac{x}{1+x^2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(yx^2-x+y=0\) को (x) में द्विघात मानकर विविक्तकर \(\geq0\) रखें। / Treat \(yx^2-x+y=0\) as a quadratic in (x) and require its discriminant to be non-negative.
Step 3
Exam Tip
\(1-4y^2\geq0\) से \(-\frac{1}{2}\leq y\leq\frac{1}{2}\) मिलता है। / From \(1-4y^2\geq0\), we get \(-\frac{1}{2}\leq y\leq\frac{1}{2}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-2 +1}{x-2 +2}) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x-2 +1}{x-2 +2}), what is the range of (f)?
#range
#rational function
#endpoint
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\left[\frac{1}{2},1\right\))
B (\left\(\frac{1}{2},1\right]\)
C ([0,1])
D (\(1,\infty\))
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Correct Answer
A. \(\left[\frac{1}{2},1\right\))
Step 1
Concept
(f(x)=1-\frac{1}{x-2 +2}) लिखें। / Write (f(x)=1-\frac{1}{x-2 +2}).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
(|x|) बढ़ने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं लेता, इसलिए परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है। / As (|x|) increases, the value approaches (1) but never reaches it, so the range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\)).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 -6x-2 +12x+1) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-3 -6x-2 +12x+1), which statement about (f) is correct?
#cubic function
#bijection
#transformation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह द्विआधारी है / It is bijective
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह द्विआधारी है / It is bijective
Step 1
Concept
(x-3 -6x-2 +12x+1=(x-2)3 +9) है। / (x-3 -6x-2 +12x+1=(x-2)3 +9).
Step 2
Why this answer is correct
घन फलन ((x-2)3 ) पूरे \(\mathbb{R}\) पर सख्ती से बढ़ता और सभी वास्तविक मान लेता है। / The cubic ((x-2)3 ) is strictly increasing on \(\mathbb{R}\) and takes all real values.
Step 3
Exam Tip
स्थानांतरण से द्विआधारिता नहीं बदलती। / Shifting does not change bijectivity.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\x-2 +2,&x\geq1\end{cases}) से दिया गया है, तो (f) के परास के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\x-2 +2,&x\geq1\end{cases}), which statement about the range of (f) is correct?
#piecewise function
#range
#real function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A परास (\(-\infty,3\)\cup[3,\infty)=\mathbb{R}) है / The range is (\(-\infty,3\)\cup[3,\infty)=\mathbb{R})
B परास \([3,\infty\)) है / The range is \([3,\infty\))
C परास (\(-\infty,3\)) है / The range is (\(-\infty,3\))
D परास \(\mathbb{R}\setminus{3}\) है / The range is \(\mathbb{R}\setminus{3}\)
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Correct Answer
A. परास (\(-\infty,3\)\cup[3,\infty)=\mathbb{R}) है / The range is (\(-\infty,3\)\cup[3,\infty)=\mathbb{R})
Step 1
Concept
(x<1) पर (2x+1<3), इसलिए परास का भाग (\(-\infty,3\)) है। / For (x<1), (2x+1<3), giving the range part (\(-\infty,3\)).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\geq1\) पर \(x^2+2\geq3\), और (x=1) पर (3) मिलता है। / For \(x\geq1\), \(x^2+2\geq3\), and (3) occurs at (x=1).
Step 3
Exam Tip
दोनों भाग मिलाकर पूरा \(\mathbb{R}\) मिल जाता है। / Combining both parts gives all of \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) से दिया गया है, तो (f^{-1}(5)) का मान क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is given by (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), what is the value of (f^{-1}(5))?
#inverse value
#rational function
#functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{8}{3}\)
B (3)
C \(\frac{2}{3}\)
D (5)
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Correct Answer
A. \(\frac{8}{3}\)
Step 1
Concept
(f^{-1}(5)) का अर्थ है वह आगत (x), जिसके लिए (f(x)=5) हो। / (f^{-1}(5)) means the input (x) for which (f(x)=5).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2x+3}{x-1}=5\) से (2x+3=5x-5), इसलिए (3x=8)। / From \(\frac{2x+3}{x-1}=5\), we get (2x+3=5x-5), so (3x=8).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{8}{3}\); प्रतिलोम मान निकालते समय पहले मूल फलन में लक्ष्य मान रखकर हल करें। / Hence \(x=\frac{8}{3}\); for inverse values, set the original function equal to the target value and solve.
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