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परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (5) हों। / A rational number has a terminating decimal only when the denominator in lowest form has prime factors only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
यहां हर में (7) भी है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत नहीं होगा, पर परिमेय संख्या होने के कारण वह आवर्ती होगा। / Here the denominator also contains (7), so the decimal will not terminate, but since the number is rational, it will repeat.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में जांचें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड देखें। / In exams, always reduce the fraction first and then check the prime factors of the denominator.
भाजक में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव विस्तार समाप्त होगा। / The denominator has only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले भिन्न को सरल रूप में देखकर भाजक के गुणनखंड जांचें। / In exams, first check the prime factors of the simplified denominator.
\(0.\overline{625}\) स्थिर आवर्ती दशमलव है, इसलिए परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य होने पर ही दशमलव सांत माना जाता है। / \(0.\overline{625}\) is a fixed recurring decimal, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / The decimal expansion of a rational number is either terminating or non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(0.10100100010000\ldots\) में कोई स्थायी आवृत्ति नहीं है, इसलिए यह परिमेय नहीं है। / \(0.10100100010000\ldots\) has no fixed repeating block, so it is not rational.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानना जरूरी है। / Learn to distinguish recurring from non-recurring decimals.
हर में केवल (2) और (5) की घातें हैं। / The denominator has only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या (4) और (n) में बड़ी घात होगी। ठीक (7) स्थानों के लिए (n=7) चाहिए। / The number of decimal places is the larger of (4) and (n). For exactly (7) places, (n=7).
Step 3
Exam Tip
ठीक शब्द आए तो बड़ी घात को बराबर मिलाइए। / When the word exactly appears, match the larger exponent carefully.
परिमेय संख्या का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। / A rational number has a decimal that either terminates or recurs.
Step 2
Why this answer is correct
असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या के लिए संभव नहीं है। / Non-terminating non-recurring decimal expansion is not possible for a rational number.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: यह अंतर परिमेय और अपरिमेय संख्या को पहचानने में मदद करता है। / Exam tip: This difference helps identify rational and irrational numbers.
A. सांत होगा और अधिकतम (3) दशमलव स्थान होंगे/It will terminate and have at most (3) decimal places
Step 1
Concept
सरलतम रूप में हर केवल (2) और (5) के घातों से बना है। / In lowest form, the denominator contains only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। दशमलव स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात, यानी (3), तक हो सकती है। / So the decimal expansion is terminating. The number of decimal places can be up to the larger exponent, (3).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखना न भूलें। / In exams, always reduce the fraction first.
\(0.04\overline{6}\) में स्थिर आवर्ती अंक है इसलिए यह परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य आने पर ही सांत दशमलव माना जाता है। / \(0.04\overline{6}\) has a fixed repeating digit, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
सरलतम हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है। / The reduced denominator has only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या बड़ी घात के बराबर होती है। (r>s) होने पर बड़ी घात (r) है। / The number of decimal places equals the larger exponent. Since (r>s), the larger exponent is (r).
Step 3
Exam Tip
दशमलव स्थान के लिए हमेशा (\max(r,s)) याद रखें। / Remember (\max(r,s)) for decimal places.
\(81=3^4\), इसलिए हर का \(3^4\) पूरा कट जाएगा। / \(81=3^4\), so \(3^4\) cancels completely from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(2^4\cdot 5^2\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / The reduced denominator is \(2^4\cdot 5^2\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
पहले गैर जरूरी अभाज्य गुणनखंडों की कटौती देखें। / First check cancellation of prime factors other than (2) and (5).
हर में (2) की घात (0) और (5) की घात (5) है। इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / The denominator has power (0) of (2) and power (5) of (5). So the decimal terminates after (5) places.
Step 3
Exam Tip
(5) की घातें पहचानने के लिए \(3125=5^5\) याद रखना उपयोगी है। / Remembering \(3125=5^5\) helps in quick factorisation.
(2) और (5) की घातों में बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव (3) स्थानों तक जाएगा। / The larger power of (2) and (5) is (3), so the decimal ends after (3) places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: स्थानों की संख्या के लिए बड़ी घात देखें। / Exam tip: Use the larger exponent to count decimal places.
बड़ी घात (3) है और \(\frac{7}{200}=0.035\) है, इसलिए ठीक तीन स्थान हैं। / The larger exponent is (3), and \(\frac{7}{200}=0.035\), so it has exactly three places.
Step 3
Exam Tip
ठीक संख्या पूछी जाए तो दशमलव बनाकर भी पुष्टि करें। / When exact places are asked, verify by writing the decimal.
भाजक में केवल (2) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा और घात (5) होने से पांच स्थानों तक जा सकता है। / The denominator has only (2), so the decimal terminates and may go up to five places.
Step 3
Exam Tip
(2) या (5) की सबसे बड़ी घात दशमलव स्थान बताती है। / The highest power of (2) or (5) gives the number of decimal places.
इसे \(10^3\) बनाने के लिए \(2^3\) से गुणा किया जा सकता है, इसलिए दशमलव तीन स्थानों पर समाप्त होगा। / Multiplying by \(2^3\) can make the denominator \(10^3\), so the decimal terminates in three places.
Step 3
Exam Tip
\(5^3\) देखकर सीधे तीन स्थान याद रखें। / For \(5^3\), think of three decimal places.
\(0.\overline{25}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। / \(0.\overline{25}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
यह सांत नहीं है क्योंकि दशमलव कभी समाप्त नहीं होता। \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं। / It is not terminating because the decimal does not end. \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are irrational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या सांत या असांत आवर्ती दोनों हो सकती है। / Rational numbers can be terminating or non-terminating recurring.
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि वह समाप्त नहीं है, तो उसमें कोई अंक या समूह दोहराएगा। / So if it does not terminate, some digit or block will repeat.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या को असमाप्त अनावर्ती नहीं मानना चाहिए। / Do not call a rational number non-terminating non-recurring.
ऋण चिह्न दशमलव के प्रकार को नहीं बदलता। / The negative sign does not change the type of decimal expansion.
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), इसलिए भाजक में (7) होने से दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / \(28=2^2\times7\), so the factor (7) makes the decimal non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
चिन्ह नहीं, सरल रूप का भाजक देखें। / Check the denominator in lowest form, not the sign.
\(-\frac{17}{200}\) में ऋण चिह्न केवल मान को ऋणात्मक बनाता है। / The negative sign in \(-\frac{17}{200}\) only makes the value negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(200=2^3\times5^2\) है, इसलिए भाजक में केवल (2) और (5) हैं और दशमलव समाप्त होगा। / Since \(200=2^3\times5^2\), the denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
प्रकार तय करते समय ऋण चिह्न को नहीं, सरल रूप के भाजक को देखें। / To decide the decimal type, check the denominator in lowest form, not the negative sign.
अंश का \(3^2\cdot 5\) हर से कटेगा। / The numerator \(3^2\cdot 5\) cancels from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(2^6\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (6) है, इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / The reduced denominator is \(2^6\cdot 5^3\). The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places.
Step 3
Exam Tip
कटौती के बाद ही बड़ी घात देखें। / Look for the larger exponent only after cancellation.
\(\frac{7}{125}\) में \(125=5^3\) है। / For \(\frac{7}{125}\), \(125=5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसे (1000) हर में बदला जा सकता है और दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / It can be converted to denominator (1000), so its decimal ends after (3) places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: ठीक स्थान पूछे जाने पर वास्तविक सरल रूप और बड़ी घात दोनों देखें। / Exam tip: When exact places are asked, check both the lowest form and the larger exponent.
A. या तो समाप्त या असमाप्त आवर्ती/Either terminating or non-terminating recurring
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है। / A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या कोई अंक समूह बार-बार आता है। / Its decimal either terminates or repeats a block of digits.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: असमाप्त अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या से जुड़ा होता है। / Exam tip: Non-terminating non-recurring decimals are linked with irrational numbers.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
आवर्ती दशमलव में अंकों का निश्चित समूह दोहरता है। / In a recurring decimal, a fixed block of digits repeats.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे दशमलव को भिन्न \(\frac{p}{q}\) में बदला जा सकता है, इसलिए वह परिमेय है। / Such a decimal can be converted into a fraction \(\frac{p}{q}\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
कारण-प्रकार प्रश्नों में कारण का संबंध कथन से जरूर जांचें। / In assertion-reason questions, check whether the reason supports the assertion.
सरलतम हर में केवल (2) और (5) की घातें हैं। / The reduced denominator contains only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
सांत दशमलव के स्थान बड़ी घात के बराबर होते हैं। यहाँ बड़ी घात (7) है। / The number of decimal places equals the larger exponent. Here the larger exponent is (7).
Step 3
Exam Tip
घातों का योग नहीं, बड़ी घात देखिए। / Do not add the exponents; use the larger one.
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (9) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की जगह बड़ी घात देखें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (9). In exams, use the larger exponent instead of adding exponents.
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (8) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों का योग नहीं बड़ी घात देखें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (8). In exams, use the larger exponent, not the sum.
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (7) होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की गलती न करें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (7). In exams, do not add the exponents.
कटौती के बाद हर \(2^5\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^5\cdot 5^3\). The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
Step 3
Exam Tip
दशमलव स्थान गिनने से पहले अंश और हर को सरलतम रूप में जरूर लिखें। / Always reduce the fraction before counting decimal places.
कटौती के बाद हर \(2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
अंश में मौजूद अभाज्य घातों को ध्यान से काटें। / Carefully cancel prime powers present in the numerator.
\(16=2^4\), इसलिए हर से \(2^4\) कटेगा। / \(16=2^4\), so \(2^4\) cancels from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(2^3\cdot 5^4\) होगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / The reduced denominator is \(2^3\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
अंश में छिपी घातों को कटौती में शामिल करें। / Include powers hidden in the numerator during cancellation.
हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है, इसलिए दशमलव सांत होगा। / The denominator has only powers of (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या (a) और (b) में बड़ी घात के बराबर होती है। ठीक (6) स्थानों के लिए (\max(a,b)=6) चाहिए। / The number of decimal places equals the larger of (a) and (b). For exactly (6) places, (\max(a,b)=6).
Step 3
Exam Tip
ऐसी समस्याओं में योग नहीं, बड़ी घात देखें। / In such questions, use the larger exponent, not the sum.
हर में केवल (2) है और घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों तक समाप्त होगा। / The denominator has only (2), with exponent (4), so the decimal ends after (4) places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: \(2^4\) का मतलब अक्सर (4) दशमलव स्थानों तक जाँच करना होता है। / Exam tip: \(2^4\) usually points to checking up to (4) decimal places.
भाजक को \(10^4\) बनाने के लिए \(5^4\) से गुणा किया जा सकता है, इसलिए विस्तार चार स्थानों तक जा सकता है। / To make the denominator a power of (10), multiply by \(5^4\), so it can terminate within four decimal places.
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) की सबसे बड़ी घात पर ध्यान दें। / Focus on the larger exponent of (2) and (5).
(0.5) को भिन्न में लिखने पर \(\frac{5}{10}\) मिलता है। / (0.5) can be written as \(\frac{5}{10}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसे सरल करने पर \(\frac{1}{2}\) प्राप्त होता है। / On simplifying, it becomes \(\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव को पहले स्थानमान के आधार पर भिन्न में बदलें। / Exam tip: Convert a terminating decimal into a fraction using place value first.
C. हर में (2) और (5) के अलावा कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होगा/The denominator has at least one prime factor other than (2) and (5)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या का असांत दशमलव आवर्ती होता है। / A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तब होता है जब सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड बचता है। इसलिए विकल्प (C) सही है। / This happens when the reduced denominator has at least one prime factor other than (2) and (5). So option (C) is correct.
Step 3
Exam Tip
(2) या (5) साथ में हो सकते हैं, पर कोई अन्य गुणनखंड भी होगा। / (2) or (5) may also be present, but some other prime must remain.
C. सरलतम हर (625) है/The reduced denominator is (625)
Step 1
Concept
\(0.00048=\frac{48}{100000}\) है। / \(0.00048=\frac{48}{100000}\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), और \(625=5^4\) है। / Reducing gives \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), and \(625=5^4\).
Step 3
Exam Tip
दशमलव अंकों की संख्या सीधे अंतिम हर नहीं बताती; पहले भिन्न को सरल करें। / The number of decimal digits does not always give the final denominator; reduce first.
(2) की घात (2) और (5) की घात (1) है, इसलिए बड़ी घात (2) होगी। दशमलव (2) स्थानों पर समाप्त होगा। / The powers of (2) and (5) are (2) and (1), so the larger exponent is (2). The decimal terminates after (2) places.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर दिया हो तो सीधे उसकी घातें देखें। / If the reduced denominator is given, check its exponents directly.
\(242=2\cdot 11^2\), इसलिए कटौती के बाद हर \(2^2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए पहले सरल करें फिर दशमलव स्थान गिनें। / Since \(242=2\cdot 11^2\), the reduced denominator becomes \(2^2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so reduce first and then count decimal places.
हर से \(3\cdot 5^2\) कटने पर हर \(2^3\) बचेगा। इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / Cancelling \(3\cdot 5^2\) from the denominator leaves \(2^3\). So the decimal terminates after (3) places.
Step 3
Exam Tip
पहले अंश और हर की पूरी कटौती करें। / Always complete cancellation before counting decimal places.
\(\frac{96}{450}\) को (6) से सरल करने पर \(\frac{16}{75}\) मिलता है। / \(\frac{96}{450}\) simplifies by (6) to \(\frac{16}{75}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(75=3\times5^2\), इसलिए हर में (3) बचता है और दशमलव समाप्त नहीं होगा। / Since \(75=3\times5^2\), factor (3) remains in the denominator, so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सरल रूप के हर में (2) और (5) के अलावा कोई गुणनखंड हो तो दशमलव आवर्ती होता है। / Exam tip: If the reduced denominator has a factor other than (2) and (5), the decimal is recurring.
\(\frac{27}{150}\) को (3) से सरल करने पर \(\frac{9}{50}\) मिलता है। / \(\frac{27}{150}\) simplifies by (3) to \(\frac{9}{50}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(50=2\times5^2\), इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। / Since \(50=2\times5^2\), the denominator has only (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: दशमलव का प्रकार बताने से पहले भिन्न को न्यूनतम रूप में जरूर लिखें। / Exam tip: Always reduce the fraction to lowest form before deciding the decimal type.
\(\frac{45}{120}\) को (15) से सरल करने पर \(\frac{3}{8}\) मिलता है। / \(\frac{45}{120}\) simplifies by (15) to \(\frac{3}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\), इसलिए दशमलव प्रसार समाप्त होगा। / Since \(8=2^3\), the decimal expansion is terminating.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: हर में (3) या (5) देखकर तुरंत निर्णय न लें, पहले भिन्न को सरल करें। / Exam tip: Do not decide quickly from the original denominator; reduce the fraction first.
सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा (11) भी है। / The reduced denominator has (11) along with (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है। असांत अनावर्ती रूप अपरिमेय संख्याओं से जुड़ा होता है। / Such a rational number has a non-terminating recurring decimal. Non-terminating non-recurring decimals are linked with irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या का असांत दशमलव हमेशा आवर्ती होता है। / A rational non-terminating decimal is always recurring.
हर \(2^6\cdot 5^3\) है और भिन्न सरलतम है क्योंकि (37) इनमें से किसी से नहीं कटता। / The denominator is \(2^6\cdot 5^3\), and the fraction is in lowest form because (37) does not cancel.
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी घात (6) है, इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places.
Step 3
Exam Tip
घातों को जोड़ने की गलती न करें। / Do not add the exponents for decimal places.
\(126=2\cdot 3^2\cdot 7\) और \(1575=3^2\cdot 5^2\cdot 7\) है। / \(126=2\cdot 3^2\cdot 7\) and \(1575=3^2\cdot 5^2\cdot 7\).
Step 2
Why this answer is correct
कटौती के बाद \(\frac{2}{25}\) मिलता है। \(25=5^2\), इसलिए दशमलव (2) स्थानों पर समाप्त होगा। / After cancellation, we get \(\frac{2}{25}\). Since \(25=5^2\), the decimal terminates after (2) places.
Step 3
Exam Tip
बड़े अंकों में अभाज्य गुणनखंडन मदद करता है। / Prime factorisation helps with larger numbers.
\(128=2^7\), इसलिए \(\frac{7}{128}\) में (7) दशमलव स्थान होंगे। / \(128=2^7\), so \(\frac{7}{128}\) has (7) decimal places.
Step 2
Why this answer is correct
\(625=5^4\), \(40=2^3\cdot 5\), और \(160=2^5\cdot 5\) हैं, इसलिए इनके स्थान क्रमशः (4), (3), और (5) हैं। / \(625=5^4\), \(40=2^3\cdot 5\), and \(160=2^5\cdot 5\), giving (4), (3), and (5) places.
Step 3
Exam Tip
तुलना में हर का अभाज्य रूप जल्दी निकालें। / For comparison, factorise the denominators quickly.
\(\frac{39}{2600}=\frac{3}{200}\) है। / \(\frac{39}{2600}=\frac{3}{200}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(200=2^3\cdot 5^2\), इसलिए बड़ी घात (3) है। दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / \(200=2^3\cdot 5^2\), so the larger exponent is (3). The decimal terminates after (3) places.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप निकाले बिना हर से निष्कर्ष न निकालें। / Do not conclude from the denominator before reducing.
सरलतम हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है। / The reduced denominator contains only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या बड़ी घात के बराबर होती है। यहाँ बड़ी घात (6) है। / The number of decimal places equals the larger exponent. Here the larger exponent is (6).
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव में घातों को जोड़ने की गलती न करें। / For terminating decimals, do not add the exponents.
\(0.58\overline{23}\) में (23) स्थिर रूप से दोहरता है, इसलिए यह परिमेय है। स्थिर आवर्ती खंड परिमेयता का मजबूत संकेत है। / In \(0.58\overline{23}\), the block (23) repeats regularly, so it is rational. A fixed repeating block is a strong sign of rationality.
\(0.\overline{018}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। / \(0.\overline{018}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
यह समाप्त नहीं होता, इसलिए सांत दशमलव नहीं है। बाकी सांत हैं या अपरिमेय हैं। / It does not end, so it is not a terminating decimal. The other options are either terminating or irrational.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / Recurring decimals are rational.
परिमेय संख्या का दशमलव या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। / A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
\(2.01001000100001\ldots\) में कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं हो सकता। / \(2.01001000100001\ldots\) has no fixed repeating block. So it cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
लंबा दशमलव देखकर नहीं, पुनरावृत्ति देखकर निर्णय लें। / Decide by checking repetition, not merely by seeing a long decimal.
A. सांत और (2) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (2) places
Explanation
Simple Explanation
\(189=3^3\cdot 7\), इसलिए सरल हर \(2^2\cdot 5\) बचेगा। बड़ी घात (2) है, इसलिए दशमलव (2) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(189=3^3\cdot 7\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\). The larger exponent is (2), so the decimal terminates after (2) places.
A. सांत और (1) दशमलव स्थान/Terminating with (1) decimal place
Step 1
Concept
\(44=2^2\cdot 11\) है। / \(44=2^2\cdot 11\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^3\cdot 5\cdot 11\) से \(2^2\cdot 11\) कटने पर \(2\cdot 5=10\) बचता है। इसलिए दशमलव (1) स्थान पर समाप्त होगा। / Cancelling \(2^2\cdot 11\) from \(2^3\cdot 5\cdot 11\) leaves \(2\cdot 5=10\). So the decimal terminates after (1) place.
Step 3
Exam Tip
पूरी कटौती के बाद ही दशमलव स्थान गिनें। / Count decimal places only after complete cancellation.
B. परिमेय और असांत आवर्ती/Rational and non-terminating recurring
Step 1
Concept
दशमलव में (36) बार-बार आ रहा है। / The block (36) repeats in the decimal.
Step 2
Why this answer is correct
आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है, लेकिन यह सांत नहीं है। इसलिए यह परिमेय और असांत आवर्ती है। / A recurring decimal is always rational, but it is not terminating. So it is rational and non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती खंड दिखते ही परिमेयता पहचानें। / When a repeating block appears, identify the number as rational.
B. यह परिमेय है और सांत दशमलव है/It is rational and terminating
Step 1
Concept
\(0.125000\ldots\) में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य आते हैं। / In \(0.125000\ldots\), only zeros occur after a point.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह सांत दशमलव है और \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\) के रूप में परिमेय है। / So it is a terminating decimal and equals \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
अंत में लिखे शून्य दशमलव को असांत नहीं बनाते। / Trailing zeros do not make a decimal non-terminating.
समाप्त दशमलव के लिए भाजक में केवल (2) और (5) होने चाहिए। / For a terminating decimal, the denominator should have only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
(3) बचने पर दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। / If (3) remains, the decimal will not terminate and will be recurring because the number is rational.
Step 3
Exam Tip
सरल रूप में बचे गुणनखंड ही निर्णय करते हैं। / The remaining factors in lowest form decide the result.
B. असमाप्त आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(45=3^2\times5\) है। / \(45=3^2\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
हर में (3) भी है, इसलिए यह (2) और (5) तक सीमित नहीं है। / The denominator also has (3), so it is not made only of (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य रूप में हर में अन्य अभाज्य आने पर दशमलव असमाप्त आवर्ती होता है। / If any other prime remains in the reduced denominator, the decimal expansion is non-terminating recurring.
सांत दशमलव के लिए सरलतम रूप में हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प (D) में हर में (3) है और \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\) को सरल करने पर भी (3) बचता है। इसलिए यह सांत नहीं होगा। / In option (D), the denominator contains (3), and after reducing \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\), the factor (3) remains. So it will not terminate.
Step 3
Exam Tip
विकल्प देखने से पहले संभावित कटौती भी सोचें। / Always consider possible cancellation before deciding.
\(\frac{21}{56}=\frac{3}{8}\) है। / \(\frac{21}{56}=\frac{3}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(8=2^3\) है, इसलिए हर में केवल (2) का गुणनखंड है। / The reduced denominator is \(8=2^3\), so it contains only the prime factor (2).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में मूल हर देखकर निर्णय न लें, पहले भिन्न को सरलतम रूप में बदलें। / In exams, do not decide from the original denominator; reduce the fraction first.
\(750=2\cdot 3\cdot 5^3\) कटने पर हर \(2^5\cdot 5^2\) बचता है। बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(750=2\cdot 3\cdot 5^3\), the reduced denominator is \(2^5\cdot 5^2\). The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
हर में (2) की बड़ी घात (3) है, इसलिए अधिकतम (3) स्थान होंगे। / The larger exponent is (3), so there can be at most (3) decimal places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: अंश (a) चाहे जो हो, न्यूनतम रूप में हर ही दशमलव स्थान तय करता है। / Exam tip: Whatever (a) is, the denominator in lowest form decides the decimal places.
(125) को (1000) बनाने के लिए (8) से गुणा करते हैं, इसलिए (3) दशमलव स्थान होंगे। / To make (125) into (1000), multiply by (8), so there are (3) decimal places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: \(5^n\) वाले हर में प्रायः (n) स्थान मिलते हैं। / Exam tip: A \(5^n\) denominator usually gives (n) decimal places.
\(0.135135135\ldots\) में (135) का समूह बार-बार आ रहा है। / In \(0.135135135\ldots\), the block (135) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं होता। / A recurring decimal is rational, but it does not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: असमाप्त दशमलव में नियमित दोहराव हो तो उसे परिमेय मानें। / Exam tip: If a non-terminating decimal has a regular repeated block, treat it as rational.
\(0.727272\ldots\) में (72) का समूह बार-बार आ रहा है। / In \(0.727272\ldots\), the block (72) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
बार-बार आने वाला दशमलव परिमेय होता है। / A repeating decimal is rational.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: केवल लंबा दशमलव नहीं, दोहराव का नियम पहचानें। / Exam tip: Do not only see that a decimal is long; check whether a fixed pattern repeats.
A. सांत और (4) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (4) places
Explanation
Simple Explanation
\(147=3\cdot 7^2\) कटने पर हर \(2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(147=3\cdot 7^2\), the reduced denominator is \(2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
\(64000=2^9\cdot 5^3\) नहीं, बल्कि \(64000=64\cdot 1000=2^6\cdot 2^3\cdot 5^3=2^9\cdot 5^3\) है। यह (9) स्थान देगा, इसलिए विकल्प (B) सही नहीं हो सकता। / \(64000=2^9\cdot 5^3\), so it would give (9) places, not (6).
Step 2
Why this answer is correct
\(15625=5^6\), इसलिए \(\frac{9}{15625}\) ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / \(15625=5^6\), so \(\frac{9}{15625}\) terminates exactly after (6) places.
Step 3
Exam Tip
घातों की गणना सावधानी से करें। / Calculate prime powers carefully.
\(\frac{3}{6250}\) सरलतम रूप में है और बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अन्य हरों में बड़ी घात (4) या (3) है। / \(\frac{3}{6250}\) is in lowest form and the larger exponent is (5), so it terminates exactly after (5) places. The other denominators have larger exponent (4) or (3).
Step 3
Exam Tip
ठीक स्थानों के लिए बड़ी घात को मिलाइए। / For exact places, match the larger exponent.
A. सांत और (5) दशमलव स्थान/Terminating with (5) decimal places
Step 1
Concept
\(7^0=1\), इसलिए हर में (7) का वास्तविक गुणनखंड नहीं है। / \(7^0=1\), so there is no actual factor (7) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^5\cdot 5^3\) है, इसलिए दशमलव सांत होगा और बड़ी घात (5) स्थान देगी। / The denominator is \(2^5\cdot 5^3\), so the decimal terminates with (5) places.
Step 3
Exam Tip
शून्य घात को देखकर भ्रमित न हों। / Do not get confused by a zero exponent.
\(125=5^3\) है, इसलिए हर के \(5^5\) में से \(5^3\) कट जाएगा। / \(125=5^3\), so \(5^3\) cancels from \(5^5\) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
सरल रूप में हर \(2^4\times5^2\) रहेगा, जिसकी बड़ी घात (4) है। / The reduced denominator is \(2^4\times5^2\), whose larger exponent is (4).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: अंश में मौजूद (2) या (5) हर की घातों को घटा सकते हैं। / Exam tip: Factors (2) or (5) in the numerator can reduce the denominator powers.
