Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(\alpha\leq3\) और \(\alpha\neq-3\)/\(\alpha\leq3\) and \(\alpha\neq-3\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\alpha-2-4\(\alpha+3\)\(\alpha-2\)=24-4\alpha) है। वास्तविक मूलों के लिए \(\alpha\leq3\) और द्विघात के लिए \(\alpha\neq-3\)। / Here (D=4\alpha-2-4\(\alpha+3\)\(\alpha-2\)=24-4\alpha). For real roots \(\alpha\leq3\), and for a quadratic \(\alpha\neq-3\).
A. \(\alpha\leq2\) और \(\alpha\neq-2\)/\(\alpha\leq2\) and \(\alpha\neq-2\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\alpha-2-4\(\alpha+2\)\(\alpha-1\)=8-4\alpha) है। वास्तविक मूलों के लिए \(\alpha\leq2\) और द्विघात के लिए \(\alpha\neq-2\)। / Here (D=4\alpha-2-4\(\alpha+2\)\(\alpha-1\)=8-4\alpha). For real roots \(\alpha\leq2\), and for a quadratic \(\alpha\neq-2\).
यहाँ (D=4\alpha-2-4\alpha\(\alpha+1\)=-4\alpha) है। वास्तविक मूलों के लिए \(\alpha\leq0\) चाहिए। / Here (D=4\alpha-2-4\alpha\(\alpha+1\)=-4\alpha). For real roots \(\alpha\leq0\) is needed.
क्योंकि \(\alpha^2=3\alpha+1\), व्यंजक (3\alpha+1+3\beta-1=3\(\alpha+\beta\)=9) बनता है, इसलिए कोई विकल्प सही नहीं है। सही मान (9) होगा। / Since \(\alpha^2=3\alpha+1\), the expression becomes (3\alpha+1+3\beta-1=3\(\alpha+\beta\)=9), so no option is correct. The correct value is (9).
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=64-30=34) है। ऐसे प्रश्नों में पहचान का प्रयोग करें। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=64-30=34). Use identities in such questions.
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=49-24=25) है। ऐसे प्रश्नों में पहचान का प्रयोग करें। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=49-24=25). Use identities in such questions.
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=36-16=20) है। ऐसे प्रश्नों में पहचान का प्रयोग करें। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=36-16=20). Use identities in such questions.
(D=4\(\alpha+2\)2-4\alpha-2=16\(\alpha+1\)) है। (D>0) से \(\alpha>-1\) मिलता है। / (D=4\(\alpha+2\)2-4\alpha-2=16\(\alpha+1\)). From (D>0), \(\alpha>-1\).
\(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) और \(\alpha\beta=-\frac{3}{2}\) हैं। (\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=-\frac{37}{6})। / \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) and \(\alpha\beta=-\frac{3}{2}\). (\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=-\frac{37}{6}).
नए शून्यकों का योग \(\alpha+\beta+2=8\) और गुणनफल \(\alpha\beta+\alpha+\beta+1=15\) है। अतः बहुपद \(x^2-8x+15\) है। / The new sum is \(\alpha+\beta+2=8\) and product is \(\alpha\beta+\alpha+\beta+1=15\). Thus the polynomial is \(x^2-8x+15\).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहां \(\alpha\beta=-10\) और \(\alpha+\beta=3\), इसलिए मान (-30) है। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha\beta=-10\) and \(\alpha+\beta=3\), so the value is (-30).
मोनिक बहुपद (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta) होता है। इसलिए \(x^2-5x+6\) सही है। / The monic polynomial is (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta). Hence \(x^2-5x+6\) is correct.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=26\) और \(\alpha\beta=165\), इसलिए मान \(\frac{676-330}{165}=\frac{346}{165}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=26\) and \(\alpha\beta=165\), so the value is \(\frac{676-330}{165}=\frac{346}{165}\). In exams, convert expressions into sum and product.
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=12\) और \(\alpha\beta=-28\), इसलिए मान (-336) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=12\) and \(\alpha\beta=-28\), so the value is (-336). In exams, factor the expression first.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=22\) और \(\alpha\beta=117\), इसलिए मान \(\frac{484-234}{117}=\frac{250}{117}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=22\) and \(\alpha\beta=117\), so the value is \(\frac{484-234}{117}=\frac{250}{117}\). In exams, convert expressions into sum and product.
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=-24\), इसलिए मान (-240) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=-24\), so the value is (-240). In exams, factor the expression first.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=18\) और \(\alpha\beta=77\), इसलिए मान \(\frac{324-154}{77}=\frac{170}{77}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=18\) and \(\alpha\beta=77\), so the value is \(\frac{324-154}{77}=\frac{170}{77}\). In exams, convert expressions into sum and product.
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=-20\), इसलिए मान (-160) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=-20\), so the value is (-160). In exams, factor the expression first.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=14\) और \(\alpha\beta=45\), इसलिए मान \(\frac{196-90}{45}=\frac{106}{45}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=14\) and \(\alpha\beta=45\), so the value is \(\frac{196-90}{45}=\frac{106}{45}\). In exams, convert expressions into sum and product.
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=-16\), इसलिए मान (-96) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=-16\), so the value is (-96). In exams, factor the expression first.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=21\), इसलिए मान \(\frac{100-42}{21}=\frac{58}{21}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=21\), so the value is \(\frac{100-42}{21}=\frac{58}{21}\). In exams, convert expressions into sum and product.
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=-12\), इसलिए मान (-48) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-12\), so the value is (-48). In exams, factor the expression first.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\), इसलिए मान \(\frac{64-30}{15}=\frac{34}{15}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\), so the value is \(\frac{64-30}{15}=\frac{34}{15}\). In exams, convert expressions into sum and product.
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-8\), इसलिए मान (-16) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-8\), so the value is (-16). In exams, factor the expression first.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) होता है। इसलिए (\(\alpha-\beta\)2+4\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2=100)। / We know (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Hence (\(\alpha-\beta\)2+4\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2=100).
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=49-20=29) है। इसलिए मान (29-6\(\alpha+\beta\)=29-42=-13) है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=49-20=29). Therefore the value is (29-6\(\alpha+\beta\)=29-42=-13).
\(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=10\) है। \(\alpha^2+\beta^2=49-20=29\), इसलिए (29-6(7)=-13), अतः विकल्पों में कोई सही नहीं है। / Here \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=10\). Since \(\alpha^2+\beta^2=49-20=29\), the value is (29-6(7)=-13), so none of the options is correct.
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=7\), इसलिए (7r=84) और (r=12)। / We use (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha+\beta=7\), so (7r=84) and (r=12).
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) है। यहाँ \(\alpha^2+\beta^2=169-72=97\) और \(\alpha\beta=36\), इसलिए मान \(\frac{97}{36}\) है। / We use \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). Here \(\alpha^2+\beta^2=169-72=97\) and \(\alpha\beta=36\), so the value is \(\frac{97}{36}\).
क्योंकि \(\alpha\) जड़ है, \(\alpha^2=5\alpha+3\) और \(\alpha\beta=-3\) है। व्यंजक (5\alpha+3+5\beta-3=5\(\alpha+\beta\)=25) बनता है। / Since \(\alpha\) is a root, \(\alpha^2=5\alpha+3\), and \(\alpha\beta=-3\). The expression becomes (5\alpha+3+5\beta-3=5\(\alpha+\beta\)=25).
जड़ें (5) और (6) हैं। इसलिए \(\frac{6}{4}+\frac{7}{5}=\frac{15}{10}+\frac{14}{10}=\frac{29}{10}\)। / The roots are (5) and (6). Hence \(\frac{6}{4}+\frac{7}{5}=\frac{15}{10}+\frac{14}{10}=\frac{29}{10}\).
जड़ें (5) और (6) हैं। सीधे रखने पर \(\frac{6}{4}+\frac{7}{5}=\frac{29}{10}\), इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / The roots are (5) and (6). Direct substitution gives \(\frac{6}{4}+\frac{7}{5}=\frac{29}{10}\), so none of the given options is correct.
जड़ें (4) और (5) हैं। सीधे रखने पर \(\frac{6}{2}+\frac{7}{3}=\frac{16}{3}\) मिलता है, इसलिए विकल्प (A) सही होना चाहिए। / The roots are (4) and (5). Direct substitution gives \(\frac{6}{2}+\frac{7}{3}=\frac{16}{3}\), so option (A) should be correct.
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=6\) हैं। नई जड़ें (5) और (6) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-11x+30=0\) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=6\). The new roots are (5) and (6), so the equation is \(x^2-11x+30=0\).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=64-48=16) है। इसलिए (16+3(12)=52)। / Here (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=64-48=16). Therefore (16+3(12)=52).
\(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=5\) है। \(\alpha^2+\beta^2=26\), इसलिए (26-5\(\alpha+\beta\)=-4)। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=5\). Since \(\alpha^2+\beta^2=26\), the value is (26-5\(\alpha+\beta\)=-4).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=6\), इसलिए (6r=54) और (r=9)। / We use (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha+\beta=6\), so (6r=54) and (r=9).
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) है। यहाँ \(\alpha^2+\beta^2=73\) और \(\alpha\beta=24\), इसलिए मान \(\frac{73}{24}\) है। / We use \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). Here \(\alpha^2+\beta^2=73\) and \(\alpha\beta=24\), so the value is \(\frac{73}{24}\).
क्योंकि \(\alpha\) जड़ है, \(\alpha^2=4\alpha+2\) होगा और \(\alpha\beta=-2\) है। व्यंजक (4\alpha+2+4\beta-2=4\(\alpha+\beta\)=16) बनता है। / Since \(\alpha\) is a root, \(\alpha^2=4\alpha+2\), and \(\alpha\beta=-2\). The expression becomes (4\alpha+2+4\beta-2=4\(\alpha+\beta\)=16).
जड़ें (3) और (4) हैं। सीधे रखने पर \(\frac{4}{2}+\frac{5}{3}=\frac{11}{3}\) मिलता है। / The roots are (3) and (4). Direct substitution gives \(\frac{4}{2}+\frac{5}{3}=\frac{11}{3}\).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=36-32=4) है। फिर (4+2(8)=20) मिलता है। / Here (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=36-32=4). Then (4+2(8)=20).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=6\) है। \(\alpha^2+\beta^2=13\), इसलिए (13-4\(\alpha+\beta\)=13-20=-7)। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=6\). Since \(\alpha^2+\beta^2=13\), the value is (13-4\(\alpha+\beta\)=13-20=-7).
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=13) है। इसलिए मान (13-4(5)=-7) होगा, अतः कोई विकल्प सही नहीं है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=13). Thus the value is (13-4(5)=-7), so none of the options is correct.
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=-5\), इसलिए (r(-5)=-20) और (r=4)। / We use (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha+\beta=-5\), so (r(-5)=-20) and (r=4).
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) है। यहाँ \(\alpha^2+\beta^2=45\) और \(\alpha\beta=18\), इसलिए मान \(\frac{5}{2}\) है। / We use \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). Here \(\alpha^2+\beta^2=45\) and \(\alpha\beta=18\), so the value is \(\frac{5}{2}\).
जड़ों में से एक \(\alpha=2\) हो सकती है, जिससे \(\alpha-2=0\) बनता है। इसलिए व्यंजक अपरिभाषित है; परीक्षा में हर पहले शून्य हर देखें। / One root can be \(\alpha=2\), which makes \(\alpha-2=0\). Therefore the expression is undefined; always check zero denominators first in exams.
जड़ें (3) और (5) हैं। सीधे रखने पर \(\frac{5}{1}+\frac{7}{3}=\frac{22}{3}\) आता है, इसलिए विकल्पों में कोई सही नहीं; सही प्रश्न के लिए उत्तर \(\frac{22}{3}\) होना चाहिए। / The roots are (3) and (5). Substitution gives \(\frac{5}{1}+\frac{7}{3}=\frac{22}{3}\), so none of the options is correct; the correct value should be \(\frac{22}{3}\).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) लगाएँ। (16=\(\alpha+\beta\)2-20), इसलिए (\(\alpha+\beta\)2=36) और \(m^2=36\)। / Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Since (16=\(\alpha+\beta\)2-20), we get (\(\alpha+\beta\)2=36) and \(m^2=36\).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। \(\alpha\beta=-\frac{5}{2}\) और \(\alpha+\beta=-\frac{3}{2}\), इसलिए मान \(\frac{15}{4}\) है। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Since \(\alpha\beta=-\frac{5}{2}\) and \(\alpha+\beta=-\frac{3}{2}\), the value is \(\frac{15}{4}\).
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) होता है। \(\alpha+\beta=-4\) और \(\alpha\beta=1\) से मान (14) आता है। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). With \(\alpha+\beta=-4\) and \(\alpha\beta=1\), the value is (14).
यहां \(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=5\) है। (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=20) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=5\). (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=20).
यहां \(\alpha+\beta=14\) और \(\alpha\beta=45\) है। \(\alpha^2+\beta^2=196-90=106\) इसलिए मान \(\frac{106}{45}\) है। / Here \(\alpha+\beta=14\) and \(\alpha\beta=45\). \(\alpha^2+\beta^2=196-90=106\), so the value is \(\frac{106}{45}\).
मूल (5) और (4) हैं इसलिए योग (9) और अंतर \(\pm1\) हो सकता है। इसलिए मान (9) या (-9) है। / The roots are (5) and (4), so the sum is (9) and the difference can be \(\pm1\). Hence the value is (9) or (-9).
यहां \(\alpha+\beta=-2\) और \(\alpha\beta=-2\) है। (\alpha-2+\alpha\beta+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=6) है। / Here \(\alpha+\beta=-2\) and \(\alpha\beta=-2\). (\alpha-2+\alpha\beta+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=6).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहां \(\alpha\beta=-21\) और \(\alpha+\beta=4\) इसलिए मान (-84) है। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha\beta=-21\) and \(\alpha+\beta=4\), so the value is (-84).
यहां \(\alpha+\beta=12\) और \(\alpha\beta=32\) है। \(\alpha^2+\beta^2=144-64=80\) और \(\frac{80}{32}=\frac{5}{2}\) है। / Here \(\alpha+\beta=12\) and \(\alpha\beta=32\). \(\alpha^2+\beta^2=144-64=80\), and \(\frac{80}{32}=\frac{5}{2}\).
B. \(\frac{7}{3}\) या \(-\frac{7}{3}\)/\(\frac{7}{3}\) or \(-\frac{7}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
मूल (5) और (2) हैं इसलिए योग (7) और अंतर \(\pm3\) हो सकता है। इसलिए मान \(\frac{7}{3}\) या \(-\frac{7}{3}\) है। / The roots are (5) and (2), so the sum is (7) and the difference can be \(\pm3\). Hence the value is \(\frac{7}{3}\) or \(-\frac{7}{3}\).
यहां \(\alpha+\beta=-1\) और \(\alpha\beta=-1\) है। (\alpha-2+\alpha\beta+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=1-(-1)=2) है। / Here \(\alpha+\beta=-1\) and \(\alpha\beta=-1\). (\alpha-2+\alpha\beta+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=1-(-1)=2).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहां \(\alpha\beta=-10\) और \(\alpha+\beta=3\) इसलिए मान (-30) है। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha\beta=-10\) and \(\alpha+\beta=3\), so the value is (-30).
यहां \(\alpha+\beta=\frac{5}{4}\) और \(\alpha\beta=-\frac{3}{2}\) है। इसलिए \(\alpha+\beta-2\alpha\beta=\frac{5}{4}+3=\frac{17}{4}\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=\frac{5}{4}\) and \(\alpha\beta=-\frac{3}{2}\). Therefore \(\alpha+\beta-2\alpha\beta=\frac{5}{4}+3=\frac{17}{4}\).
मोनिक समीकरण (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0) होता है। इसलिए \(x^2+7x-18=0\) सही है। / The monic equation is (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0). Therefore \(x^2+7x-18=0\) is correct.
यहां \(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=20\) है। इसलिए कुल (9+20=29) है। / Here \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=20\). Therefore the total is (9+20=29).
यहां \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\) है। इसलिए \(\alpha+\beta-\alpha\beta=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=2\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\). Therefore \(\alpha+\beta-\alpha\beta=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=2\).
मोनिक समीकरण (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0) होता है। इसलिए \(x^2+5x-14=0\) सही है। / The monic equation is (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0). Therefore \(x^2+5x-14=0\) is correct.
यहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\) है। इसलिए कुल (8+15=23) है। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\). Therefore the total is (8+15=23).
मोनिक समीकरण (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0) होता है। इसलिए \(x^2+3x-10=0\) सही है। / The monic equation is (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0). Therefore \(x^2+3x-10=0\) is correct.
यहां \(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=6\) है। इसलिए कुल (5+6=11) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=6\). Therefore the total is (5+6=11).
यहाँ \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=-33\) है। इसलिए (\alpha\beta+5\alpha+5\beta=-33+5(8)=7)। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=-33\). Thus (\alpha\beta+5\alpha+5\beta=-33+5(8)=7).
मूलों का योग (9) और गुणनफल (4) है। इसलिए \(\alpha+\beta+5\alpha\beta=9+20=29\)। / The sum of roots is (9) and the product is (4). Therefore \(\alpha+\beta+5\alpha\beta=9+20=29\).
यहाँ \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=-30\) है। इसलिए (\alpha\beta+4\alpha+4\beta=-30+4(7)=-2)। / Here \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=-30\). Thus (\alpha\beta+4\alpha+4\beta=-30+4(7)=-2).
मूलों का योग (8) और गुणनफल (5) है। इसलिए \(\alpha+\beta+4\alpha\beta=8+20=28\)। / The sum of roots is (8) and the product is (5). Therefore \(\alpha+\beta+4\alpha\beta=8+20=28\).
यहाँ \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=-27\) है। इसलिए (\alpha\beta+3\alpha+3\beta=-27+3(6)=-9)। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=-27\). Thus (\alpha\beta+3\alpha+3\beta=-27+3(6)=-9).
मूलों का योग (7) और गुणनफल (3) है। इसलिए \(\alpha+\beta+3\alpha\beta=7+9=16\)। / The sum of roots is (7) and the product is (3). Therefore \(\alpha+\beta+3\alpha\beta=7+9=16\).
यहाँ \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=-21\) है। इसलिए (\alpha\beta+2\alpha+2\beta=-21+2(4)=-13)। / Here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-21\). Thus (\alpha\beta+2\alpha+2\beta=-21+2(4)=-13).
मूलों का योग (5) और गुणनफल (2) है। इसलिए \(\alpha+\beta+2\alpha\beta=5+4=9\)। / The sum of roots is (5) and the product is (2). Therefore \(\alpha+\beta+2\alpha\beta=5+4=9\).
यहाँ \(\alpha+\beta=-3\) और \(\alpha\beta=-18\) है। इसलिए (\alpha\beta-\alpha-\beta=-18-(-3)=-15)। / Here \(\alpha+\beta=-3\) and \(\alpha\beta=-18\). Thus (\alpha\beta-\alpha-\beta=-18-(-3)=-15).
मूलों का योग (4) और गुणनफल (1) है। इसलिए \(\alpha+\beta+\alpha\beta=5\)। / The sum of roots is (4) and the product is (1). Therefore \(\alpha+\beta+\alpha\beta=5\).
A. \(4+\sqrt{5}\) और \(4-\sqrt{5}\)/\(4+\sqrt{5}\) and \(4-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
\(4+\sqrt{5}\) और \(4-\sqrt{5}\) का योग (8) और गुणनफल (16-5=11) है। परीक्षा में विकल्पों का योग और गुणनफल जांचें। / The sum of \(4+\sqrt{5}\) and \(4-\sqrt{5}\) is (8), and the product is (16-5=11). In exams check the sum and product of options.
\(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=16-15=1\), इसलिए कुल (9) है। परीक्षा में योग और गुणनफल अलग-अलग निकालें। / \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=16-15=1\), so the total is (9). In exams find the sum and product separately.
योग (10) और गुणनफल (25-6=19) है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों के लिए योग और गुणनफल जल्दी निकालें। / The sum is (10) and the product is (25-6=19). In exams quickly find sum and product for conjugate zeroes.
\(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=1\), इसलिए \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{64-2}{1}=62\)। ऐसे प्रश्नों में पहले योग और गुणनफल निकालें। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=1\), so \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{64-2}{1}=62\). In such questions, first find the sum and product.
\(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-11\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=4+11=15)। सममित व्यंजकों में योग और गुणनफल काफी होते हैं। / \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-11\), so (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=4+11=15). Sum and product are enough for symmetric expressions.
(\sqrt{5}+\(-\sqrt{5}\)=0) और (\sqrt{5}\cdot\(-\sqrt{5}\)=-5) है। विपरीत अपरिमेयों का योग शून्य हो सकता है। / (\sqrt{5}+\(-\sqrt{5}\)=0) and (\sqrt{5}\cdot\(-\sqrt{5}\)=-5). Opposite irrationals can have zero sum.
\(\alpha^2=3\alpha+1\) और \(\alpha\beta=-1\) रखें। तब व्यंजक (3\alpha+1+3\beta-1=3\(\alpha+\beta\)=9) होगा। / Use \(\alpha^2=3\alpha+1\) and \(\alpha\beta=-1\). Then the expression is (3\alpha+1+3\beta-1=3\(\alpha+\beta\)=9).
यहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\) है। मान (\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{34}{15}) होगा। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\). The value is (\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{34}{15}).
मूल (3) और (5) हैं इसलिए \(\alpha-1\) और \(\beta-1\) (2) और (4) होंगे। मान \(\frac{2}{4}+\frac{4}{2}=\frac{5}{2}\) है। / The roots are (3) and (5), so \(\alpha-1\) and \(\beta-1\) are (2) and (4). The value is \(\frac{2}{4}+\frac{4}{2}=\frac{5}{2}\).
यहां \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=12\) है। (\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{25}{12}) होगा। / Here \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=12\). (\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{25}{12}).
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{11}{3}\) और \(\alpha\beta=2\), इसलिए मान \(\frac{85}{18}\) है। / We use \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). Here \(\alpha+\beta=\frac{11}{3}\) and \(\alpha\beta=2\), so the value is \(\frac{85}{18}\).
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), इसलिए मान \(\frac{37}{6}\) है। / We use \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). Here \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), so the value is \(\frac{37}{6}\).
तीन पदों में \(2\beta=\alpha+\gamma\), इसलिए \(\beta=7\)। परीक्षा में मध्य पद को सिरों का औसत मानें। / For three AP terms, \(2\beta=\alpha+\gamma\), so \(\beta=7\). In exams, treat the middle term as the average of the extremes.
\(\alpha+\beta=12\) और \(\alpha\beta=35\) हैं। \(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}=\frac{\alpha+\beta-2}{\alpha\beta-\alpha-\beta+1}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\)। / \(\alpha+\beta=12\) and \(\alpha\beta=35\). \(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}=\frac{\alpha+\beta-2}{\alpha\beta-\alpha-\beta+1}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\).
\(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=20\) हैं। (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=\alpha\beta+2\(\alpha+\beta\)+4=20+18+4=42)। / \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=20\). (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=\alpha\beta+2\(\alpha+\beta\)+4=20+18+4=42).
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) और \(\alpha\beta=\frac{7}{3}\) हैं। इसलिए (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=\frac{100}{9}-\frac{14}{3}=\frac{58}{9})। / Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=\frac{7}{3}\). Hence (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=\frac{100}{9}-\frac{14}{3}=\frac{58}{9}).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25-24=1)। इस पहचान से शून्यक निकाले बिना उत्तर मिल जाता है। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25-24=1). This identity avoids finding the zeroes separately.
\(\alpha+\beta=\frac{9}{2}\) और \(\alpha\beta=2\) हैं। इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{4}\)। / \(\alpha+\beta=\frac{9}{2}\) and \(\alpha\beta=2\). Hence \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{4}\).
\(\alpha+\beta=6\) और (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होता है। इसलिए (20=36-2k) से (k=8) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=6\) and (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). So (20=36-2k), giving (k=8).
द्विघात \(ax^2+bx+c\) के लिए शून्यकों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{5}{2}\)। / For \(ax^2+bx+c\), the sum of zeroes is \(-\frac{b}{a}\). Hence \(\alpha+\beta=-\frac{5}{2}\).
योग (8) और अंतर (2) से शून्यक (5) और (3) हैं। गुणनफल (15) है इसलिए (k=15)। / From sum (8) and difference (2), the zeroes are (5) and (3). Their product is (15), so (k=15).
\(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=1\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=64-12=52)। / \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=1\). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=64-12=52).
