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(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) होता है। \(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\), इसलिए बचे तत्व उत्तर हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Since \(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\), the remaining elements are the answer.
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c) होता है। \(A\cap B={4,5}\), इसलिए (U) से इसे हटाने पर उत्तर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c). Since \(A\cap B={4,5}\), remove it from (U) to get the answer.
(1) से (20) तक (8) अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए (n\(A^c\)=20-8=12)। (1) को अभाज्य न मानें। / There are (8) primes from (1) to (20), so (n\(A^c\)=20-8=12). Do not treat (1) as prime.
\(x^2\le 4\) से \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) मिलता है। (U) के बाकी तत्व \(A^c\) बनाते हैं। / From \(x^2\le 4\), \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\). The remaining elements of (U) form \(A^c\).
(1) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। (4) (A) में है, इसलिए पूरक (4) के बाद शुरू होगा। / (1) is not in (A), so it is included in the complement. (4) is in (A), so the complement starts after (4).
(-1) (A) में है, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। (3) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। / (-1) is in (A), so it is not in the complement. (3) is not in (A), so it is included in the complement.
पूरक लेने पर समावेशन का क्रम उलट जाता है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B^c\subseteq A^c\) मिलता है। / The order of inclusion reverses after taking complements. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B^c\subseteq A^c\).
पूरकों में समावेशन उलटा होता है। इसलिए \(A^c\subseteq B^c\) से \(B\subseteq A\) मिलेगा। / Inclusion reverses for complements. Therefore \(A^c\subseteq B^c\) implies \(B\subseteq A\).
\(A^c\cup B^c\) की संख्या (40+55-20=75) है। डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (n\(A\cap B\)=25)। / The number in \(A^c\cup B^c\) is (40+55-20=75). By De Morgan, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (n\(A\cap B\)=25).
\(A^c-B^c=A^c\cap B\) होता है। \(A^c={5,6,7,8,9}\) और \(B=\{4,5,6\}\), इसलिए उत्तर ({5,6}) है। / \(A^c-B^c=A^c\cap B\). Here \(A^c={5,6,7,8,9}\) and \(B=\{4,5,6\}\), so the answer is ({5,6}).
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएं होंगी। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). So the complement has (30-20=10) numbers.
(1) से (50) तक (5) के (10) गुणज हैं। इसलिए (n\(A^c\)=50-10=40) होगा। / There are (10) multiples of (5) from (1) to (50). Therefore (n\(A^c\)=50-10=40).
\(x^2-5x+6=0\) से (x=2,3) मिलते हैं। (U) से (2) और (3) हटाने पर पूरक मिलता है। / From \(x^2-5x+6=0\), (x=2,3). Removing (2) and (3) from (U) gives the complement.
(U) में (11) पूर्णांक हैं और \(A=\{-3,3\}\) है। इसलिए (n\(A^c\)=11-2=9) होगा। / There are (11) integers in (U), and \(A=\{-3,3\}\). Hence (n\(A^c\)=11-2=9).
यदि (U) में (120) विद्यार्थी हैं, (72) विद्यार्थी हिंदी पढ़ते हैं और (55) विद्यार्थी अंग्रेजी पढ़ते हैं, जबकि (30) दोनों पढ़ते हैं, तो न हिंदी न अंग्रेजी पढ़ने वाले विद्यार्थी कितने हैं?
हिंदी या अंग्रेजी पढ़ने वाले (72+55-30=97) हैं। इसलिए पूरक में (120-97=23) विद्यार्थी हैं। / Students studying Hindi or English are (72+55-30=97). Therefore the complement has (120-97=23) students.
यदि (U) किसी कक्षा के (90) विद्यार्थी हैं और (A) विज्ञान पसंद करने वाले विद्यार्थी हैं। यदि (n\(A^c\)=34), तो विज्ञान पसंद करने वाले विद्यार्थी कितने हैं?
(1) से (25) तक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16,25) हैं। इसलिए (n\(A^c\)=25-5=20) होगा। / The perfect squares from (1) to (25) are (1,4,9,16,25). Hence (n\(A^c\)=25-5=20).
\(A^c\) में सम संख्याएं हैं। (3) से विभाज्य सम संख्याएं (6) और (12) हैं। / \(A^c\) contains even numbers. The even numbers divisible by (3) are (6) and (12).
\(A^c\) में (U) के वे तत्व होंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए \(B=\{4,5,6\}\) चाहिए। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). Therefore \(B=\{4,5,6\}\) is needed.
(A) और (B) असंबद्ध हैं और दोनों मिलकर (U) बनाते हैं। इसलिए (B), (A) का पूरक है। / (A) and (B) are disjoint and together form (U). Therefore (B) is the complement of (A).
यदि दो समुच्चय असंबद्ध हों और मिलकर (U) बनाएं, तो वे एक-दूसरे के पूरक होते हैं। इसलिए \(B=A^c\) होगा। / If two sets are disjoint and together form (U), then they are complements of each other. Hence \(B=A^c\).
(A) और \(A^c\) असंबद्ध हैं और मिलकर (U) बनाते हैं। इसलिए उनकी संख्याओं का योग (n(U)) होता है। / (A) and \(A^c\) are disjoint and together form (U). Therefore the sum of their cardinalities is (n(U)).
\(A^c\) में (7) तत्व हैं क्योंकि (A) में (3) तत्व हैं। (5) \(A^c\) में नहीं है, इसलिए जोड़ने पर संख्या (8) होगी। / \(A^c\) has (7) elements because (A) has (3) elements. Since (5) is not in \(A^c\), adding it makes the count (8).
अंकों का \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) है। सम अंक (5) हैं, इसलिए विषम अंक भी (5) हैं। / The digit set is \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). There are (5) even digits, so there are (5) odd digits.
दोनों से विभाज्य होने का अर्थ (6) से विभाज्य होना है, इसलिए \(A=\{6,12\}\)। बाकी तत्व \(A^c\) हैं। / Divisible by both means divisible by (6), so \(A=\{6,12\}\). The remaining elements are \(A^c\).
\(C=A^c\) है, इसलिए (C^c=\(A^c\)^c=A)। दोहरे पूरक में मूल समुच्चय वापस आता है। / \(C=A^c\), so (C^c=\(A^c\)^c=A). The double complement returns the original set.
A. (A) और \(A^c\) (U) का विभाजन बनाते हैं/(A) and \(A^c\) form a partition of (U)
Explanation
Simple Explanation
दो असंबद्ध समुच्चय जो मिलकर (U) बनाते हैं, (U) का विभाजन बनाते हैं। यह पूरक का वैचारिक अर्थ है। / Two disjoint sets that together form (U) make a partition of (U). This is the conceptual meaning of complement.
यदि \(A=A^c\), तो \(A\cap A^c=A\) होगा, लेकिन \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। इससे \(A=\varnothing\) चाहिए, पर तब \(A^c=U\), इसलिए संभव नहीं है। / If \(A=A^c\), then \(A\cap A^c=A\), but \(A\cap A^c=\varnothing\). This would force \(A=\varnothing\), but then \(A^c=U\), so it is impossible.
पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष होता है। इसलिए (U) बदलने पर \(A^c\) भी बदल सकता है। / Complement is always relative to the universal set. Therefore \(A^c\) may change when (U) changes.
\(U_2\) में पूरक ({3,4,5,6}) और \(U_1\) में पूरक ({3,4}) है। अंतर ({5,6}) है। / Relative to \(U_2\), the complement is ({3,4,5,6}), and relative to \(U_1\), it is ({3,4}). The difference is ({5,6}).
\(A^c={5,6,7,8,9,10}\) और \(A^c\cap B={5,6}\) है। इसका पूरक (U-{5,6}) होगा। / \(A^c={5,6,7,8,9,10}\) and \(A^c\cap B={5,6}\). Its complement is (U-{5,6}).
\(A^c={1,3,5,7,9}\) है और \(A^c\cup B={1,2,3,4,5,7,9}\) है। (U) में बचे (6,8) हैं। / \(A^c={1,3,5,7,9}\), and \(A^c\cup B={1,2,3,4,5,7,9}\). The remaining elements in (U) are (6,8).
\(A^c\cap B^c\) में वे संख्याएं हैं जो न (3) से विभाज्य हैं और न सम हैं। ऐसी संख्याएं (1,5,7,11,13,17) हैं। / \(A^c\cap B^c\) contains numbers that are neither divisible by (3) nor even. These are (1,5,7,11,13,17).
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c) है। \(A\cap B={2,4,6}\), इसलिए पूरक में (12-3=9) तत्व होंगे। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c). Since \(A\cap B={2,4,6}\), the complement has (12-3=9) elements.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। \(A\cup B={1,2,3,4,5}\), इसलिए बचे तत्व (6,7,8) हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Since \(A\cup B={1,2,3,4,5}\), the remaining elements are (6,7,8).
(U) में (10) तत्व हैं और \(A^c\) में (3) तत्व हैं। इसलिए (n(A)=10-3=7) होगा। / (U) has (10) elements and \(A^c\) has (3) elements. Therefore (n(A)=10-3=7).
A. क्योंकि कोई तत्व एक साथ (A) में और (A) में नहीं हो सकता/because no element can be both in (A) and not in (A)
Explanation
Simple Explanation
पूरक की परिभाषा में \(x\notin A\) शर्त होती है। इसलिए वही तत्व (A) में भी नहीं हो सकता। / The definition of complement has the condition \(x\notin A\). So the same element cannot also be in (A).
(1) से (100) तक (10) के (10) गुणज हैं। इसलिए पूरक में (100-10=90) तत्व होंगे। / There are (10) multiples of (10) from (1) to (100). Therefore the complement has (100-10=90) elements.
यदि \(B=A^c\), तो \(A\cup B=A\cup A^c=U\) होगा। यह पूरक का सीधा गुण है। / If \(B=A^c\), then \(A\cup B=A\cup A^c=U\). This is a direct property of complement.
यदि \(B=A^c\), तो \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\) होगा। पूरक समुच्चय हमेशा असंबद्ध होते हैं। / If \(B=A^c\), then \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\). Complementary sets are always disjoint.
यहां \(A\cap B=\varnothing\) है। इसलिए (\(A\cap B\)^c=\varnothing^c=U) होगा। / Here \(A\cap B=\varnothing\). Therefore (\(A\cap B\)^c=\varnothing^c=U).
\(A^c\cap B^c\) में वे संख्याएं हैं जो न (2) से और न (3) से विभाज्य हैं। ऐसी संख्याएं (1,5,7,11,13,17) हैं। / \(A^c\cap B^c\) contains numbers divisible by neither (2) nor (3). These numbers are (1,5,7,11,13,17).
पहले \(A\cup B={1,2,4,6,8,9,10,12,14,16}\) लिखें। (U) में बचे हुए तत्व ही पूरक हैं। / First write \(A\cup B={1,2,4,6,8,9,10,12,14,16}\). The remaining elements in (U) form the complement.
\(A^c\cap B\) में विषम लेकिन अभाज्य नहीं संख्याएं आएंगी। (1), (9) और (15) इस शर्त को पूरा करते हैं। / \(A^c\cap B\) contains odd numbers that are not prime. (1), (9), and (15) satisfy this condition.
\(x^2<9\) से \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) मिलता है। (U) से इन्हें हटाने पर पूरक मिलता है। / From \(x^2<9\), \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\). Removing these from (U) gives the complement.
(-1) और (4) दोनों (A) में शामिल नहीं हैं, इसलिए वे पूरक में आएंगे। अंतरालों में खुले और बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / (-1) and (4) are not included in (A), so they come in the complement. Pay special attention to open and closed endpoints in intervals.
(0) और (2) (A) में शामिल हैं, इसलिए पूरक उनसे बाहर होगा। (6) (U) में शामिल है, इसलिए अंतिम सिरा बंद रहेगा। / (0) and (2) are included in (A), so the complement stays outside them. (6) is included in (U), so the right endpoint remains closed.
पूरक लेने पर समावेशन का क्रम उलट जाता है। इसलिए सबसे बड़े (C) का पूरक सबसे छोटा होगा। / The order of inclusion reverses after taking complements. Hence the complement of the largest set (C) is the smallest.
पूरकों में समावेशन उलट जाता है। इसलिए \(B^c\subseteq A^c\) से \(A\subseteq B\) मिलता है। / Inclusion reverses for complements. Therefore \(B^c\subseteq A^c\) gives \(A\subseteq B\).
(n\(A^c\cup B^c\)=35+50-18=67) है। डी मॉर्गन से यह (n(\(A\cap B\)^c)) है, इसलिए (n\(A\cap B\)=90-67=23)। / (n\(A^c\cup B^c\)=35+50-18=67). By De Morgan, this is (n(\(A\cap B\)^c)), so (n\(A\cap B\)=90-67=23).
\(A^c-B^c=A^c\cap B\) होता है। \(A^c={6,7,8,9,10}\), इसलिए (B) के साथ साझा भाग ({6,7,8}) है। / \(A^c-B^c=A^c\cap B\). Since \(A^c={6,7,8,9,10}\), the common part with (B) is ({6,7,8}).
पहले (B-A={1,4}) है। (U) से इसे हटाने पर ((B-A)^c={2,3,5,6,7,8,9}) मिलता है। / First (B-A={1,4}). Removing it from (U) gives ((B-A)^c={2,3,5,6,7,8,9}).
(4) के (10) और (5) के (8) गुणज हैं, साझा (20) के (2) गुणज हैं। इसलिए (n(A)=10+8-2=16) और (n\(A^c\)=24)। / There are (10) multiples of (4) and (8) multiples of (5), with (2) common multiples of (20). Thus (n(A)=10+8-2=16), so (n\(A^c\)=24).
(1) से (60) तक (6) के (10) गुणज हैं। इसलिए पूरक में (60-10=50) तत्व होंगे। / There are (10) multiples of (6) from (1) to (60). Therefore the complement has (60-10=50) elements.
\(x^2-7x+12=0\) से (x=3,4) मिलते हैं। (U) से (3) और (4) हटाने पर \(A^c\) मिलता है। / From \(x^2-7x+12=0\), (x=3,4). Removing (3) and (4) from (U) gives \(A^c\).
(U) में (13) पूर्णांक हैं और \(A=\{-4,4\}\) है। इसलिए (n\(A^c\)=13-2=11) होगा। / There are (13) integers in (U), and \(A=\{-4,4\}\). Hence (n\(A^c\)=13-2=11).
एक सर्वे में (150) लोगों में से (85) चाय पसंद करते हैं, (70) कॉफी पसंद करते हैं और (40) दोनों पसंद करते हैं। न चाय न कॉफी पसंद करने वाले लोगों की संख्या कितनी है?
चाय या कॉफी पसंद करने वाले (85+70-40=115) हैं। इसलिए पूरक में (150-115=35) लोग होंगे। / People who like tea or coffee are (85+70-40=115). Therefore the complement has (150-115=35) people.
(1) से (36) तक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16,25,36) हैं। इसलिए (n\(A^c\)=36-6=30) होगा। / The perfect squares from (1) to (36) are (1,4,9,16,25,36). Hence (n\(A^c\)=36-6=30).
यह सम संख्याओं में से (4) से विभाज्य संख्याएं हटाने जैसा है। इसलिए उत्तर (2,6,10,14,18) है। / This is like removing the multiples of (4) from the even numbers. Therefore the answer is (2,6,10,14,18).
यदि \(B^c=A\), तो \(B=A^c\) होगा। (U) से (2,4,6) हटाने पर \(B=\{1,3,5,7\}\) मिलता है। / If \(B^c=A\), then \(B=A^c\). Removing (2,4,6) from (U) gives \(B=\{1,3,5,7\}\).
(A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है और दोनों मिलकर (U) बनाते हैं। इसलिए (B), (A) का पूरक है। / (A) and (B) have no common element and together form (U). Therefore (B) is the complement of (A).
यदि दो समुच्चय असंबद्ध हों और मिलकर (U) बनाएं, तो वे पूरक होते हैं। इसलिए \(P^c=Q\) होगा। / If two sets are disjoint and together form (U), they are complements. Hence \(P^c=Q\).
\(A^c\) में (8) तत्व हैं और (6,12) इसमें नहीं हैं। इसलिए दो नए तत्व जोड़ने पर कुल (10) तत्व होंगे। / \(A^c\) has (8) elements, and (6,12) are not in it. Adding these two new elements gives (10) elements.
अंकों में अभाज्य अंक (2,3,5,7) हैं। कुल (10) अंक हैं, इसलिए पूरक में (10-4=6) अंक होंगे। / The prime digits are (2,3,5,7). There are (10) digits in all, so the complement has (10-4=6) digits.
दोनों से विभाज्य होने का अर्थ (10) से विभाज्य होना है। (1) से (18) तक केवल (10) ऐसा है, इसलिए बाकी सभी \(A^c\) में हैं। / Divisible by both means divisible by (10). From (1) to (18), only (10) satisfies this, so all others are in \(A^c\).
A. \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(A\cup A^c=U\)/\(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\)
Explanation
Simple Explanation
विभाजन के लिए भाग असंबद्ध होने चाहिए और उनका संघ पूरा (U) होना चाहिए। (A) और \(A^c\) यही दोनों शर्तें पूरी करते हैं। / For a partition, the parts must be disjoint and their union must be the whole (U). (A) and \(A^c\) satisfy both conditions.
A. ऐसा कोई (A) संभव नहीं है/no such (A) is possible
Explanation
Simple Explanation
यदि \(A=A^c\), तो \(A\cap A^c=A\) होगा, पर \(A\cap A^c=\varnothing\) है। \(U\ne\varnothing\) में यह स्थिति संभव नहीं होती। / If \(A=A^c\), then \(A\cap A^c=A\), but \(A\cap A^c=\varnothing\). For \(U\ne\varnothing\), this situation is impossible.
A. \(A^c\) में नए तत्व जुड़ सकते हैं/new elements may be added to \(A^c\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक (U) पर निर्भर करता है। यदि (U) में नए तत्व आए और वे (A) में न हों, तो वे \(A^c\) में जुड़ेंगे। / Complement depends on (U). If new elements enter (U) and are not in (A), they are added to \(A^c\).
यदि \(U_1={1,2,3,4,5}\), \(U_2={1,2,3,4,5,6,7}\) और \(A=\{2,5\}\) है, तो \(U_2\) के सापेक्ष \(A^c\) में \(U_1\) के सापेक्ष \(A^c\) से कौन से अतिरिक्त तत्व होंगे?
\(U_1\) में पूरक ({1,3,4}) और \(U_2\) में पूरक ({1,3,4,6,7}) है। अतिरिक्त तत्व ({6,7}) हैं। / Relative to \(U_1\), the complement is ({1,3,4}), and relative to \(U_2\), it is ({1,3,4,6,7}). The extra elements are ({6,7}).
\(A^c={5,6,7,8,9,10,11,12}\) और \(A^c\cap B={5,6,7}\) है। इसका पूरक (U-{5,6,7}) होगा। / \(A^c={5,6,7,8,9,10,11,12}\) and \(A^c\cap B={5,6,7}\). Its complement is (U-{5,6,7}).
\(A^c={1,3,5,7,9}\) और \(A^c\cup B={1,2,3,4,5,7,9}\) है। (U) में बचे (6,8,10) हैं। / \(A^c={1,3,5,7,9}\), and \(A^c\cup B={1,2,3,4,5,7,9}\). The remaining elements in (U) are (6,8,10).
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। (4) या (6) से विभाज्य संख्याएं (6+4-2=8) हैं, इसलिए पूरक में (24-8=16) तत्व हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Numbers divisible by (4) or (6) are (6+4-2=8), so the complement has (24-8=16) elements.
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c) है। \(A\cap B={3,5}\), इसलिए पूरक में (15-2=13) तत्व होंगे। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c). Since \(A\cap B={3,5}\), the complement has (15-2=13) elements.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। \(A\cup B={1,2,4,6,7,8,10}\), इसलिए बचे तत्व ({3,5,9,11}) हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Since \(A\cup B={1,2,4,6,7,8,10}\), the remaining elements are ({3,5,9,11}).
(U) में (14) तत्व हैं और \(A^c\) में (6) तत्व हैं। इसलिए (n(A)=14-6=8) होगा। / (U) has (14) elements and \(A^c\) has (6) elements. Therefore (n(A)=14-6=8).
A. क्योंकि (U) का हर तत्व या तो (A) में है या (A) के बाहर है/because every element of (U) is either in (A) or outside (A)
Explanation
Simple Explanation
(U) का हर तत्व (A) में या \(A^c\) में जरूर आएगा। इसलिए दोनों का संघ पूरा (U) बनाता है। / Every element of (U) must belong to (A) or to \(A^c\). Therefore their union forms the whole (U).
सही पूरक ({1,4,6,7,8,9}) है। विकल्प ({1,4,6,7,8}) में (9) छूट गया है। / The correct complement is ({1,4,6,7,8,9}). The option ({1,4,6,7,8}) misses (9).
(1) से (80) तक (8) के (10) गुणज हैं। इसलिए पूरक में (80-10=70) तत्व होंगे। / There are (10) multiples of (8) from (1) to (80). Therefore the complement has (80-10=70) elements.
यदि \(B=A^c\), तो \(A\cup B=A\cup A^c=U\) होगा। यह पूरक का मूल गुण है। / If \(B=A^c\), then \(A\cup B=A\cup A^c=U\). This is a basic property of complement.
यदि \(B=A^c\), तो \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\) होगा। पूरक समुच्चय असंबद्ध होते हैं। / If \(B=A^c\), then \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\). Complementary sets are disjoint.
यहां \(A\cap B=\varnothing\) है। इसलिए (\(A\cap B\)^c=\varnothing^c=U) होगा। / Here \(A\cap B=\varnothing\). Therefore (\(A\cap B\)^c=\varnothing^c=U).
\(A^{c}\) में (U) के वे अवयव आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में पहले (U) से (A) हटाएं। / \(A^{c}\) contains elements of (U) that are not in (A). In exams, first remove (A) from (U).
\(A=\{1,4,9\}\) है, इसलिए (n\(A^{c}\)=15-3=12) नहीं बल्कि (15) तक पूर्ण वर्ग ({1,4,9}) ही हैं। सही गिनती (12) होती, इसलिए विकल्पों में गलती पहचानें। / \(A=\{1,4,9\}\), so (n\(A^{c}\)=15-3=12). Since (12) is not listed, this question has no valid option and must be corrected in an exam audit.
\(B^{c}={b,c,d}\), इसलिए अवयवों की संख्या (3) है। गिनती करते समय केवल (U) के अंदर देखें। / \(B^{c}={b,c,d}\), so the number of elements is (3). While counting, look only inside (U).
\(A=\{1,4,9,16\}\) है, इसलिए (n\(A^{c}\)=16-4=12)। पूर्ण वर्गों की सूची पहले बना लें। / \(A=\{1,4,9,16\}\), so (n\(A^{c}\)=16-4=12). List the perfect squares first.
(A) में (3) सहित उससे बड़ी वास्तविक संख्याएं हैं, इसलिए पूरक (x<3) है। असमानता में बराबर का चिन्ह ध्यान से बदलें। / (A) contains (3) and all greater real numbers, so the complement is (x<3). Change the equality part carefully in inequalities.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए उसका पूरक पूरा (U) है। परीक्षा में रिक्त समुच्चय का पूरक तुरंत (U) लिखें। / \(\varnothing\) has no element, so its complement is the whole (U). In exams, write the complement of the empty set as (U).
\(A^{c}={7,8,9,10,11,12}\) है, इसलिए \(A^{c}\cap B={8,10,12}\)। पहले पूरक निकालकर फिर साझा अवयव लें। / \(A^{c}={7,8,9,10,11,12}\), so \(A^{c}\cap B={8,10,12}\). First find the complement and then take common elements.
जब (A) में (U) के सभी अवयव हैं, तो बाहर कुछ नहीं बचता। इसलिए \(U^{c}=\varnothing\) याद रखें। / When (A) contains all elements of (U), nothing remains outside it. So remember \(U^{c}=\varnothing\).
\(A\cup B\cup C={1,2,3,4,5,6,7,8}\) है, इसलिए पूरक ({9}) है। तीन समुच्चयों में भी पहले पूरा संघ निकालें। / \(A\cup B\cup C={1,2,3,4,5,6,7,8}\), so the complement is ({9}). Even with three sets, find the full union first.
\(A\cup B={1,2,3,5,7,8}\), इसलिए पूरक ({4,6}) है। पहले संघ निकालना अधिक सुरक्षित है। / \(A\cup B={1,2,3,5,7,8}\), so the complement is ({4,6}). Finding the union first is safer.
(2) और (3) दोनों से विभाज्य संख्याएं (6) के गुणज हैं, यानी (5) संख्याएं। इसलिए (n\(A^{c}\)=30-5=25)। / Numbers divisible by both (2) and (3) are multiples of (6), giving (5) numbers. Thus (n\(A^{c}\)=30-5=25).
बड़ा समुच्चय लेने पर पूरक छोटा हो जाता है, इसलिए \(B^{c}\subseteq A^{c}\)। उपसमुच्चय में पूरक का क्रम उलट जाता है। / When the set becomes larger, its complement becomes smaller, so \(B^{c}\subseteq A^{c}\). Complements reverse the subset order.
(n\(A^{c}\)=n(U)-n(A)=40-18=22)। अवयव संख्या में पूरक के लिए कुल में से दिए गए समुच्चय को घटाएं। / (n\(A^{c}\)=n(U)-n(A)=40-18=22). For complement cardinality, subtract the given set from the total.
न खेलने वाले विद्यार्थी क्रिकेट समुच्चय के पूरक में हैं, इसलिए (60-35=25)। शब्द प्रश्न में सार्वत्रिक समुच्चय पहचानना जरूरी है। / Students who do not play cricket are in the complement of the cricket set, so (60-35=25). In word problems, identify the universal set first.
(A) में (U) की सम संख्याएं हैं, इसलिए पूरक विषम संख्याएं ({1,3,5,7,9}) हैं। शर्त को ध्यान से पढ़ें। / (A) contains the even numbers of (U), so the complement is the odd numbers ({1,3,5,7,9}). Read the condition carefully.
(A) में धन पूर्णांक हैं, इसलिए पूरक में (0) और ऋण पूर्णांक आते हैं। असमानता में सीमांत मान जरूर जांचें। / (A) contains positive integers, so the complement includes (0) and negative integers. Always check the boundary value in inequalities.
((2,5)) में अंतिम बिंदु शामिल नहीं हैं, इसलिए पूरक में (2) और (5) शामिल होंगे। अंतराल के पूरक में कोष्ठक बदलना याद रखें। / ((2,5)) does not include endpoints, so the complement includes (2) and (5). Remember bracket changes in interval complements.
([-1,4]) में अंतिम बिंदु शामिल हैं, इसलिए पूरक में वे शामिल नहीं होंगे। बंद अंतराल का पूरक खुले अंतिम बिंदु देता है। / ([-1,4]) includes the endpoints, so the complement does not include them. The complement of a closed interval has open endpoints.
(A) वे अवयव हैं जो \(A^{c}\) में नहीं हैं, इसलिए \(A=\{1,3,4,6,7,9\}\)। दिए गए पूरक को (U) से हटाएं। / (A) contains the elements not in \(A^{c}\), so \(A=\{1,3,4,6,7,9\}\). Remove the given complement from (U).
\(A^{c}\) में वे (x) होते हैं जो (U) में हैं पर (A) में नहीं हैं। पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में लिखा जाता है। / \(A^{c}\) contains those (x) that are in (U) but not in (A). A complement is always written relative to the universal set.
कोई अवयव एक साथ (A) और \(A^{c}\) दोनों में नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap A^{c}=\varnothing\) होता है। / No element can be in both (A) and \(A^{c}\) at the same time. Therefore, \(A\cap A^{c}=\varnothing\).
(A) और \(A^{c}\) मिलकर पूरे (U) को बना देते हैं। पूरक गुणों में यह सबसे उपयोगी सर्वसमिका है। / (A) and \(A^{c}\) together form the whole (U). This is one of the most useful complement identities.
\(B^{c}={1,2,3,8,9,10}\), इसलिए \(A\cap B^{c}={1,2,3}\)। पहले पूरक फिर प्रतिच्छेद करें। / \(B^{c}={1,2,3,8,9,10}\), so \(A\cap B^{c}={1,2,3}\). First find the complement and then the intersection.
B. \(x\in U\) और \(x\notin A\)/\(x\in U\) and \(x\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
\(x\in A^{c}\) का अर्थ है कि (x) सार्वत्रिक समुच्चय में है पर (A) में नहीं है। प्रतीक पढ़ते समय (U) को न भूलें। / \(x\in A^{c}\) means (x) is in the universal set but not in (A). Do not forget (U) while reading the symbol.
\(A=\{3,6,9,12\}\), इसलिए पूरक बाकी अवयव हैं। गुणज वाले प्रश्नों में पहले सूची बनाएं। / \(A=\{3,6,9,12\}\), so the complement is the remaining elements. In multiple-based questions, list the set first.
\(A=\{2,3,5,7\}\), इसलिए \(A^{c}={1,4,6,8,9}\)। याद रखें कि (1) अभाज्य नहीं है। / \(A=\{2,3,5,7\}\), so \(A^{c}={1,4,6,8,9}\). Remember that (1) is not prime.
\(A^{c}={4,5,6}\) और \(B^{c}={1,2,6}\), उनका संघ ({1,2,4,5,6}) है। यह (\(A\cap B\)^{c}) से भी मिलता है। / \(A^{c}={4,5,6}\) and \(B^{c}={1,2,6}\), so their union is ({1,2,4,5,6}). This also matches (\(A\cap B\)^{c}).
\(A^{c}={3,5,6}\) और \(B^{c}={1,3,5}\), इसलिए प्रतिच्छेद ({3,5}) है। यह (\(A\cup B\)^{c}) जैसा है। / \(A^{c}={3,5,6}\) and \(B^{c}={1,3,5}\), so the intersection is ({3,5}). This is the same as (\(A\cup B\)^{c}).
यदि पूरक खाली है, तो (A) ने पूरे (U) को कवर कर लिया है। इसलिए (A=U) होगा। / If the complement is empty, then (A) covers the whole (U). Therefore, (A=U).
यदि (A) का पूरक पूरा (U) है, तो (A) में कोई अवयव नहीं है। इसलिए \(A=\varnothing\) सही है। / If the complement of (A) is the whole (U), then (A) has no element. Thus, \(A=\varnothing\) is correct.
(n(A)=n(U)-n\(A^{c}\)=8-3=5)। यदि पूरक दिया हो तो कुल में से पूरक घटाएं। / (n(A)=n(U)-n\(A^{c}\)=8-3=5). If the complement is given, subtract it from the total.
\(A^{c}={5,6,7,8,9,10}\), और यह (B) का उपसमुच्चय है। इसलिए ये सभी अवयव (B) में होने जरूरी हैं। / \(A^{c}={5,6,7,8,9,10}\), and it is a subset of (B). Hence all these elements must be in (B).
\(U\setminus A\) का अर्थ है (U) से (A) हटाना, यही \(A^{c}\) है। पूरक को अंतर संकेत से भी लिखते हैं। / \(U\setminus A\) means removing (A) from (U), which is \(A^{c}\). Complement is also written using difference notation.
\(A^{c}\cup A=U\), इसलिए इसमें (7) अवयव हैं। सर्वसमिका को सीधे उपयोग करने से समय बचता है। / \(A^{c}\cup A=U\), so it has (7) elements. Using the identity directly saves time.
(A) और \(A^{c}\) में कोई साझा अवयव नहीं होता, इसलिए प्रतिच्छेद खाली है। रिक्त समुच्चय की अवयव संख्या (0) होती है। / (A) and \(A^{c}\) are disjoint, so their intersection is empty. The cardinality of the empty set is (0).
(A) के बाहर (U) में ({3,4,6,7}) बचते हैं, जो (C) है। पूरक पहचानने के लिए (U) से तुलना करें। / The elements left in (U) outside (A) are ({3,4,6,7}), which is (C). Compare with (U) to identify a complement.
(20) के गुणनखंड ({1,2,4,5,10,20}) हैं, इसलिए (n(A)=6)। अतः (n\(A^{c}\)=20-6=14)। / The factors of (20) are ({1,2,4,5,10,20}), so (n(A)=6). Hence (n\(A^{c}\)=20-6=14).
(A) विषम संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए \(A^{c}\) सम संख्याएं ({2,4,6,8,10}) हैं। रूप देखकर भी उत्तर मिल सकता है। / (A) is the set of odd numbers, so \(A^{c}\) is the even numbers ({2,4,6,8,10}). The pattern can also help.
\(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), इसलिए (A) से बाहर ({-2,0,2}) हैं। ऋण संख्याओं और (0) को ध्यान से शामिल करें। / \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so the elements outside (A) are ({-2,0,2}). Include negative numbers and (0) carefully.
(B) में (U) के वे सभी अवयव हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए \(B=A^{c}\) है। / (B) contains all elements of (U) that are not in (A). Therefore, \(B=A^{c}\).
\(A^{c}={3,4,5}\) और इसमें (A) का कोई अवयव नहीं है, इसलिए अंतर वही रहेगा। असंपाती समुच्चयों में घटाने से समुच्चय नहीं बदलता। / \(A^{c}={3,4,5}\) and it has no element of (A), so the difference remains the same. Subtracting a disjoint set does not change it.
(A) और \(A^{c}\) में कोई साझा अवयव नहीं है, इसलिए \(A\setminus A^{c}=A\)। पूरक के साथ अंतर में असंपाती गुण उपयोग करें। / (A) and \(A^{c}\) have no common element, so \(A\setminus A^{c}=A\). Use the disjoint property with complements.
(n(A)=n(U)-n\(A^{c}\)=30-12=18)। पूरक और समुच्चय की अवयव संख्या मिलकर कुल देती है। / (n(A)=n(U)-n\(A^{c}\)=30-12=18). The cardinalities of a set and its complement add to the total.
(9) (U) में है और (A) में नहीं है, इसलिए \(9\in A^{c}\)। सदस्यता प्रश्नों में दोनों शर्तें जांचें। / (9) is in (U) and not in (A), so \(9\in A^{c}\). In membership questions, check both conditions.
\(A\cap D=\varnothing\) और \(A\cup D=U\), इसलिए \(D=A^{c}\)। पूरक साबित करने के लिए ये दो शर्तें उपयोगी हैं। / \(A\cap D=\varnothing\) and \(A\cup D=U\), so \(D=A^{c}\). These two conditions are useful to prove a complement.
(A) में विषम संख्याएं हैं, इसलिए पूरक में सम संख्याएं हैं। नकारात्मक शब्दों में शर्त को उल्टा समझें। / (A) contains odd numbers, so the complement contains even numbers. With negative wording, reverse the condition carefully.
\(A\setminus B={1,2,3}\), इसलिए इसका पूरक ({4,5,6,7,8,9,10}) है। पहले अंतर निकालें फिर पूरक लें। / \(A\setminus B={1,2,3}\), so its complement is ({4,5,6,7,8,9,10}). First find the difference, then take the complement.
\(A^{c}={5,6,7,8}\) और \(A^{c}\cup B={3,4,5,6,7,8}\), इसलिए पूरक ({1,2}) है। चरण न छोड़ें। / \(A^{c}={5,6,7,8}\) and \(A^{c}\cup B={3,4,5,6,7,8}\), so the complement is ({1,2}). Do not skip steps.
(A) के बाहर (U) में ठीक (B) के अवयव हैं, इसलिए \(B=A^{c}\)। साथ ही (A) और (B) असंपाती हैं। / The elements outside (A) in (U) are exactly the elements of (B), so \(B=A^{c}\). Also, (A) and (B) are disjoint.
