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\(A^{c}\) में (U) के वे अवयव आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में पहले (U) से (A) हटाएं। / \(A^{c}\) contains elements of (U) that are not in (A). In exams, first remove (A) from (U).
\(A=\{1,4,9\}\) है, इसलिए (n\(A^{c}\)=15-3=12) नहीं बल्कि (15) तक पूर्ण वर्ग ({1,4,9}) ही हैं। सही गिनती (12) होती, इसलिए विकल्पों में गलती पहचानें। / \(A=\{1,4,9\}\), so (n\(A^{c}\)=15-3=12). Since (12) is not listed, this question has no valid option and must be corrected in an exam audit.
किसी समुच्चय का पूरक सार्वत्रिक समुच्चय में मौजूद, लेकिन उस समुच्चय में शामिल न होने वाले अवयवों से बनता है। इसलिए \(B^c=U\setminus B=\{b,c,d\}\), जिसमें 3 अवयव हैं। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि वह पूरे सार्वत्रिक समुच्चय के अवयवों की संख्या है। परीक्षा में पूरक ज्ञात करते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय निश्चित करें और फिर दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of a set consists of the elements in the universal set that are not in that set. Thus, \(B^c=U\setminus B=\{b,c,d\}\), which contains 3 elements. Option 5 is incorrect because it counts all elements of the universal set. In an exam, identify the universal set first and then remove the elements of the given set to find its complement.
समुच्चय \(U\) में पूर्ण वर्ग \(1,4,9,16\) हैं, इसलिए \(n(A)=4\)। पूरक समुच्चय के लिए \(n(A^{c})=n(U)-n(A)=16-4=12\)। अतः सही उत्तर 12 है। परीक्षा में पहले दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के भीतर सभी पूर्ण वर्गों की सूची बनाना उपयोगी रहता है; 16 को उत्तर मानना पूरक समुच्चय की अवधारणा को अनदेखा करना है। / The perfect squares in \(U\) are \(1,4,9,16\), so \(n(A)=4\). For a complement, \(n(A^{c})=n(U)-n(A)=16-4=12\). Therefore, the correct answer is 12. In an exam, first list all perfect squares within the given universal set; choosing 16 would mean ignoring the elements removed to form the complement.
(A) में (3) सहित उससे बड़ी वास्तविक संख्याएं हैं, इसलिए पूरक (x<3) है। असमानता में बराबर का चिन्ह ध्यान से बदलें। / (A) contains (3) and all greater real numbers, so the complement is (x<3). Change the equality part carefully in inequalities.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए उसका पूरक पूरा (U) है। परीक्षा में रिक्त समुच्चय का पूरक तुरंत (U) लिखें। / \(\varnothing\) has no element, so its complement is the whole (U). In exams, write the complement of the empty set as (U).
\(A^{c}={7,8,9,10,11,12}\) है, इसलिए \(A^{c}\cap B={8,10,12}\)। पहले पूरक निकालकर फिर साझा अवयव लें। / \(A^{c}={7,8,9,10,11,12}\), so \(A^{c}\cap B={8,10,12}\). First find the complement and then take common elements.
जब (A) में (U) के सभी अवयव हैं, तो बाहर कुछ नहीं बचता। इसलिए \(U^{c}=\varnothing\) याद रखें। / When (A) contains all elements of (U), nothing remains outside it. So remember \(U^{c}=\varnothing\).
\(A\cup B\cup C={1,2,3,4,5,6,7,8}\) है, इसलिए पूरक ({9}) है। तीन समुच्चयों में भी पहले पूरा संघ निकालें। / \(A\cup B\cup C={1,2,3,4,5,6,7,8}\), so the complement is ({9}). Even with three sets, find the full union first.
पहले दोनों समुच्चयों का संघ निकालते हैं: \(A\cup B=\{1,2,3,5,7,8\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में उपस्थित लेकिन इस संघ में अनुपस्थित तत्व 4 और 6 हैं, इसलिए \((A\cup B)^c=\{4,6\}\)। विकल्प C केवल \(A\cap B\) है, पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय से दिए गए समुच्चय के सभी तत्व हटाएँ। / First find the union: \(A\cup B=\{1,2,3,5,7,8\}\). The elements of the universal set \(U\) that are not in this union are 4 and 6; hence \((A\cup B)^c=\{4,6\}\). Option C represents \(A\cap B\), not the complement. Exam tip: To find a complement, remove every element of the given set from the universal set.
(2) और (3) दोनों से विभाज्य संख्याएं (6) के गुणज हैं, यानी (5) संख्याएं। इसलिए (n\(A^{c}\)=30-5=25)। / Numbers divisible by both (2) and (3) are multiples of (6), giving (5) numbers. Thus (n\(A^{c}\)=30-5=25).
बड़ा समुच्चय लेने पर पूरक छोटा हो जाता है, इसलिए \(B^{c}\subseteq A^{c}\)। उपसमुच्चय में पूरक का क्रम उलट जाता है। / When the set becomes larger, its complement becomes smaller, so \(B^{c}\subseteq A^{c}\). Complements reverse the subset order.
(n\(A^{c}\)=n(U)-n(A)=40-18=22)। अवयव संख्या में पूरक के लिए कुल में से दिए गए समुच्चय को घटाएं। / (n\(A^{c}\)=n(U)-n(A)=40-18=22). For complement cardinality, subtract the given set from the total.
न खेलने वाले विद्यार्थी क्रिकेट समुच्चय के पूरक में हैं, इसलिए (60-35=25)। शब्द प्रश्न में सार्वत्रिक समुच्चय पहचानना जरूरी है। / Students who do not play cricket are in the complement of the cricket set, so (60-35=25). In word problems, identify the universal set first.
(A) में (U) की सम संख्याएं हैं, इसलिए पूरक विषम संख्याएं ({1,3,5,7,9}) हैं। शर्त को ध्यान से पढ़ें। / (A) contains the even numbers of (U), so the complement is the odd numbers ({1,3,5,7,9}). Read the condition carefully.
(A) में धन पूर्णांक हैं, इसलिए पूरक में (0) और ऋण पूर्णांक आते हैं। असमानता में सीमांत मान जरूर जांचें। / (A) contains positive integers, so the complement includes (0) and negative integers. Always check the boundary value in inequalities.
((2,5)) में अंतिम बिंदु शामिल नहीं हैं, इसलिए पूरक में (2) और (5) शामिल होंगे। अंतराल के पूरक में कोष्ठक बदलना याद रखें। / ((2,5)) does not include endpoints, so the complement includes (2) and (5). Remember bracket changes in interval complements.
([-1,4]) में अंतिम बिंदु शामिल हैं, इसलिए पूरक में वे शामिल नहीं होंगे। बंद अंतराल का पूरक खुले अंतिम बिंदु देता है। / ([-1,4]) includes the endpoints, so the complement does not include them. The complement of a closed interval has open endpoints.
(A) वे अवयव हैं जो \(A^{c}\) में नहीं हैं, इसलिए \(A=\{1,3,4,6,7,9\}\)। दिए गए पूरक को (U) से हटाएं। / (A) contains the elements not in \(A^{c}\), so \(A=\{1,3,4,6,7,9\}\). Remove the given complement from (U).
\(A^{c}\) में वे (x) होते हैं जो (U) में हैं पर (A) में नहीं हैं। पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में लिखा जाता है। / \(A^{c}\) contains those (x) that are in (U) but not in (A). A complement is always written relative to the universal set.
कोई अवयव एक साथ (A) और \(A^{c}\) दोनों में नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap A^{c}=\varnothing\) होता है। / No element can be in both (A) and \(A^{c}\) at the same time. Therefore, \(A\cap A^{c}=\varnothing\).
(A) और \(A^{c}\) मिलकर पूरे (U) को बना देते हैं। पूरक गुणों में यह सबसे उपयोगी सर्वसमिका है। / (A) and \(A^{c}\) together form the whole (U). This is one of the most useful complement identities.
\(B^{c}={1,2,3,8,9,10}\), इसलिए \(A\cap B^{c}={1,2,3}\)। पहले पूरक फिर प्रतिच्छेद करें। / \(B^{c}={1,2,3,8,9,10}\), so \(A\cap B^{c}={1,2,3}\). First find the complement and then the intersection.
समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे सभी अवयव होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(p,r,t\), \(A\) में हैं, जबकि \(q\) और \(s\) \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(q\in A^c\) है। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए \(U-A\) निकालें। / The complement \(A^c\) consists of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here, \(p,r,t\) belong to \(A\), whereas \(q\) and \(s\) do not. Therefore, \(q\in A^c\). Exam tip: Find a complement by calculating \(U-A\).
B. \(x\in U\) और \(x\notin A\)/\(x\in U\) and \(x\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
\(x\in A^{c}\) का अर्थ है कि (x) सार्वत्रिक समुच्चय में है पर (A) में नहीं है। प्रतीक पढ़ते समय (U) को न भूलें। / \(x\in A^{c}\) means (x) is in the universal set but not in (A). Do not forget (U) while reading the symbol.
\(A=\{3,6,9,12\}\), इसलिए पूरक बाकी अवयव हैं। गुणज वाले प्रश्नों में पहले सूची बनाएं। / \(A=\{3,6,9,12\}\), so the complement is the remaining elements. In multiple-based questions, list the set first.
यदि \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) और \(A=\{x\in U:x\text{ अभाज्य है}\}\), तो सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक समुच्चय \(A^c\) क्या होगा?
दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में अभाज्य संख्याएँ \(2,3,5,7\) हैं, इसलिए \(A=\{2,3,5,7\}\)। पूरक समुच्चय में \(U\) के वे सभी अवयव आते हैं जो \(A\) में नहीं हैं, अतः \(A^c=\{1,4,6,8,9\}\)। विकल्प C में 2, 3, 5 और 7 जैसी अभाज्य संख्याएँ भी शामिल हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: 1 अभाज्य संख्या नहीं है; अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होते हैं। / The prime numbers in the given universal set are \(2,3,5,7\), so \(A=\{2,3,5,7\}\). The complement contains all elements of \(U\) that are not in \(A\); therefore, \(A^c=\{1,4,6,8,9\}\). Option C is incorrect because it still includes the prime numbers 2, 3, 5 and 7. Exam tip: 1 is neither prime nor composite; a prime number has exactly two positive divisors.
\(A^{c}={4,5,6}\) और \(B^{c}={1,2,6}\), उनका संघ ({1,2,4,5,6}) है। यह (\(A\cap B\)^{c}) से भी मिलता है। / \(A^{c}={4,5,6}\) and \(B^{c}={1,2,6}\), so their union is ({1,2,4,5,6}). This also matches (\(A\cap B\)^{c}).
\(A^{c}={3,5,6}\) और \(B^{c}={1,3,5}\), इसलिए प्रतिच्छेद ({3,5}) है। यह (\(A\cup B\)^{c}) जैसा है। / \(A^{c}={3,5,6}\) and \(B^{c}={1,3,5}\), so the intersection is ({3,5}). This is the same as (\(A\cup B\)^{c}).
परिभाषा के अनुसार \(A^c=U\setminus A\) होता है। यदि \(A^c\) रिक्त है, तो \(U\) का कोई भी अवयव \(A\) से बाहर नहीं है; इसलिए \(A\) में \(U\) के सभी अवयव हैं और \(A=U\)। विकल्प A और D रिक्त समुच्चय से संबंधित हैं, जबकि विकल्प C इस स्थिति में सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का पूरक रिक्त हो, तो वह समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय के बराबर होता है। / By definition, \(A^c=U\setminus A\). If \(A^c\) is empty, no element of \(U\) lies outside \(A\); hence \(A\) contains every element of \(U\), so \(A=U\). Options A and D describe conditions related to an empty set, while option C is not true in this situation. Exam tip: a set with an empty complement is equal to the universal set.
यदि (A) का पूरक पूरा (U) है, तो (A) में कोई अवयव नहीं है। इसलिए \(A=\varnothing\) सही है। / If the complement of (A) is the whole (U), then (A) has no element. Thus, \(A=\varnothing\) is correct.
पूरक समुच्चय के लिए \(n(A)+n(A^{c})=n(U)\)। यहाँ \(n(U)=8\) और \(n(A^{c})=3\), इसलिए \(n(A)=8-3=5\)। विकल्प A केवल पूरक समुच्चय की संख्या बताता है, जबकि विकल्प C पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या है। परीक्षा-युक्ति: पूरक दिए होने पर कुल तत्वों में से पूरक के तत्व घटाएँ। / For a complement, \(n(A)+n(A^{c})=n(U)\). Here, \(n(U)=8\) and \(n(A^{c})=3\), so \(n(A)=8-3=5\). Option A gives the cardinality of the complement, while option C gives the cardinality of the universal set. Exam tip: When the complement is known, subtract its cardinality from the cardinality of the universal set.
\(A^{c}={5,6,7,8,9,10}\), और यह (B) का उपसमुच्चय है। इसलिए ये सभी अवयव (B) में होने जरूरी हैं। / \(A^{c}={5,6,7,8,9,10}\), and it is a subset of (B). Hence all these elements must be in (B).
\(U\setminus A\) का अर्थ है (U) से (A) हटाना, यही \(A^{c}\) है। पूरक को अंतर संकेत से भी लिखते हैं। / \(U\setminus A\) means removing (A) from (U), which is \(A^{c}\). Complement is also written using difference notation.
सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ पूरे सार्वत्रिक समुच्चय के बराबर होता है: \(A^{c}\cup A=U\) । इसलिए \(A^{c}\cup A\) में |U|=7 अवयव होंगे। विकल्प 3 केवल |A| को दर्शाता है, संघ को नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\) की सर्वसमिकाएँ याद रखें। / For any set and its complement relative to the universal set, their union is the entire universal set: \(A^{c}\cup A=U\) . Hence, \(A^{c}\cup A\) has |U|=7 elements. Option 3 represents only |A| , not the union. Exam tip: Remember the identities \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\) .
(A) और \(A^{c}\) में कोई साझा अवयव नहीं होता, इसलिए प्रतिच्छेद खाली है। रिक्त समुच्चय की अवयव संख्या (0) होती है। / (A) and \(A^{c}\) are disjoint, so their intersection is empty. The cardinality of the empty set is (0).
(A) के बाहर (U) में ({3,4,6,7}) बचते हैं, जो (C) है। पूरक पहचानने के लिए (U) से तुलना करें। / The elements left in (U) outside (A) are ({3,4,6,7}), which is (C). Compare with (U) to identify a complement.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{x:x\in\mathbb{N},\ 1\le x\le 20\}\) तथा \(A=\{x:x\in U,\ x\text{, }20\text{ का गुणनखंड है}\}\) हैं, तो \(U\) के सापेक्ष \(A\) के पूरक समुच्चय \(A^c\) में कितने अवयव होंगे?
समुच्चय \(U\) में 1 से 20 तक कुल 20 प्राकृतिक संख्याएँ हैं। 20 के गुणनखंड \(A=\{1,2,4,5,10,20\}\) हैं, इसलिए \(n(A)=6\)। अतः \(n(A^c)=n(U)-n(A)=20-6=14\)। विकल्प 6 केवल \(A\) के अवयवों की संख्या बताता है, उसके पूरक की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक की गणना के लिए हमेशा उसी सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) लागू करें। / The universal set \(U\) contains 20 natural numbers, from 1 to 20. The factors of 20 are \(A=\{1,2,4,5,10,20\}\), so \(n(A)=6\). Therefore, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=20-6=14\). Option 6 gives the number of elements in \(A\), not in its complement. Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A^c)=n(U)-n(A)\), always keeping the reference universal set in mind.
(A) विषम संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए \(A^{c}\) सम संख्याएं ({2,4,6,8,10}) हैं। रूप देखकर भी उत्तर मिल सकता है। / (A) is the set of odd numbers, so \(A^{c}\) is the even numbers ({2,4,6,8,10}). The pattern can also help.
\(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), इसलिए (A) से बाहर ({-2,0,2}) हैं। ऋण संख्याओं और (0) को ध्यान से शामिल करें। / \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so the elements outside (A) are ({-2,0,2}). Include negative numbers and (0) carefully.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक उन सभी अवयवों का समुच्चय होता है जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(A\) के बाहर \(U\) के अवयव \(\{5,6,7,8\}\) हैं, जो ठीक \(B\) के अवयव हैं। इसलिए \(B=A^c\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\) और \(B\) असंयुक्त हैं, अतः \(A\cap B=\varnothing\), न कि \(B\)। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए पहले सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of \(A\), with respect to the universal set \(U\), contains all elements of \(U\) that are not in \(A\). Here, the elements of \(U\) outside \(A\) are \(\{5,6,7,8\}\), which are exactly the elements of \(B\). Therefore, \(B=A^c\). Option D is incorrect because \(A\) and \(B\) are disjoint, so \(A\cap B=\varnothing\), not \(B\). Exam tip: To find a complement, remove the elements of the given set from the universal set.
\(A^{c}={3,4,5}\) और इसमें (A) का कोई अवयव नहीं है, इसलिए अंतर वही रहेगा। असंपाती समुच्चयों में घटाने से समुच्चय नहीं बदलता। / \(A^{c}={3,4,5}\) and it has no element of (A), so the difference remains the same. Subtracting a disjoint set does not change it.
(A) और \(A^{c}\) में कोई साझा अवयव नहीं है, इसलिए \(A\setminus A^{c}=A\)। पूरक के साथ अंतर में असंपाती गुण उपयोग करें। / (A) and \(A^{c}\) have no common element, so \(A\setminus A^{c}=A\). Use the disjoint property with complements.
किसी समुच्चय और उसके पूरक की अवयव-संख्या का योग सार्वत्रिक समुच्चय की अवयव-संख्या के बराबर होता है: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। इसलिए \(n(A)=30-12=18\)। विकल्प 12 केवल पूरक समुच्चय की अवयव-संख्या है। परीक्षा में याद रखें: \(n(A)=n(U)-n(A^c)\)। / The cardinalities of a set and its complement add up to the cardinality of the universal set: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(n(A)=30-12=18\). Option 12 is only the cardinality of the complement. Exam tip: use \(n(A)=n(U)-n(A^c)\).
(9) (U) में है और (A) में नहीं है, इसलिए \(9\in A^{c}\)। सदस्यता प्रश्नों में दोनों शर्तें जांचें। / (9) is in (U) and not in (A), so \(9\in A^{c}\). In membership questions, check both conditions.
\(A\cap D=\varnothing\) और \(A\cup D=U\), इसलिए \(D=A^{c}\)। पूरक साबित करने के लिए ये दो शर्तें उपयोगी हैं। / \(A\cap D=\varnothing\) and \(A\cup D=U\), so \(D=A^{c}\). These two conditions are useful to prove a complement.
(A) में विषम संख्याएं हैं, इसलिए पूरक में सम संख्याएं हैं। नकारात्मक शब्दों में शर्त को उल्टा समझें। / (A) contains odd numbers, so the complement contains even numbers. With negative wording, reverse the condition carefully.
\(A\setminus B={1,2,3}\), इसलिए इसका पूरक ({4,5,6,7,8,9,10}) है। पहले अंतर निकालें फिर पूरक लें। / \(A\setminus B={1,2,3}\), so its complement is ({4,5,6,7,8,9,10}). First find the difference, then take the complement.
\(A^{c}={5,6,7,8}\) और \(A^{c}\cup B={3,4,5,6,7,8}\), इसलिए पूरक ({1,2}) है। चरण न छोड़ें। / \(A^{c}={5,6,7,8}\) and \(A^{c}\cup B={3,4,5,6,7,8}\), so the complement is ({1,2}). Do not skip steps.
(A) के बाहर (U) में ठीक (B) के अवयव हैं, इसलिए \(B=A^{c}\)। साथ ही (A) और (B) असंपाती हैं। / The elements outside (A) in (U) are exactly the elements of (B), so \(B=A^{c}\). Also, (A) and (B) are disjoint.
