Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x+\frac{1}{x}=\frac{17}{4}\) से \(4x^2-17x+4=0\) बनता है। हल (4) और \(\frac{1}{4}\) हैं इसलिए बड़ी संख्या (4) है। / From \(x+\frac{1}{x}=\frac{17}{4}\), we get \(4x^2-17x+4=0\). The roots are (4) and \(\frac{1}{4}\), so the larger value is (4).
समीकरण \(x-\frac{1}{x}=\frac{15}{4}\) है। इससे \(4x^2-15x-4=0\) और धनात्मक हल (x=4) है। / The equation is \(x-\frac{1}{x}=\frac{15}{4}\). This gives \(4x^2-15x-4=0\), so the positive root is (x=4).
समीकरण \(x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}\) है। इससे \(2x^2-3x-2=0\) और (x=2) मिलता है। / The equation is \(x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}\). It gives \(2x^2-3x-2=0\) and (x=2).
समीकरण \(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\) से \(2x^2-5x+2=0\) बनता है। हल (x=2) या \(x=\frac{1}{2}\) हैं। / The equation \(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\) gives \(2x^2-5x+2=0\). The solutions are (x=2) or \(x=\frac{1}{2}\).
मान लें संख्या (x) है, तो \(x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}\)। इससे \(3x^2-10x+3=0\), इसलिए बड़ी संख्या (3) है। / Let the number be (x), so \(x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}\). This gives \(3x^2-10x+3=0\), so the larger number is (3).
मान लें संख्या (x) है, तो \(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\)। इससे \(2x^2-5x+2=0\), इसलिए बड़ी संख्या (2) है। / Let the number be (x), so \(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\). This gives \(2x^2-5x+2=0\), so the larger number is (2).
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le36\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le36\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(144-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le36\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(144-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le36\).
A. \(m\ge0\) और \(m\neq1\)/\(m\ge0\) and \(m\neq1\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{m-1}{m-1}=1\) है, इसलिए \(m\neq1\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(D=16m\ge0\), अतः \(m\ge0\) और \(m\neq1\)। / The product of roots is \(\frac{m-1}{m-1}=1\), so \(m\neq1\) is needed. For real roots, \(D=16m\ge0\), hence \(m\ge0\) and \(m\neq1\).
C. \(k\neq0\) और \(k^2\le25\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le25\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(100-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le25\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(100-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le25\).
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le16\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le16\)
Explanation
Simple Explanation
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(64-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le16\)। / For reciprocal roots, \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(64-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le16\).
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होता है। यहाँ \(\alpha\beta=k\), इसलिए (k=1), और (D=12>0) से जड़ें वास्तविक भी हैं। / For reciprocal roots, \(\alpha\beta=1\). Here \(\alpha\beta=k\), so (k=1), and (D=12>0) confirms real roots.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (64) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (64), so it is not possible.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (49) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (49), so it is not possible.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (36) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (36), so it is not possible.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (25) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (25), so it is not possible.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (16) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (16), so it is not possible.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
इसका व्युत्क्रम \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) भी अपरिमेय है। / Its reciprocal \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) is also irrational.
Step 3
Exam Tip
अशून्य अपरिमेय मूल के व्युत्क्रम को परिमेय मानने की गलती न करें। / Do not assume the reciprocal of a non-zero irrational surd is rational.
भिन्न \(\frac{x}{x+3}\) है। \(\frac{x}{x+3}+\frac{x+3}{x}=\frac{29}{10}\) से (x=2) या (x=15) आता है और विकल्पों में (2) सही है। / The fraction is \(\frac{x}{x+3}\). From \(\frac{x}{x+3}+\frac{x+3}{x}=\frac{29}{10}\), (x=2) or (x=15), and among the options (2) is correct.
भिन्न \(\frac{x}{x+4}\) हो, तो \(\frac{x}{x+4}+\frac{x+4}{x}=\frac{41}{20}\)। इससे (x=5), इसलिए भिन्न \(\frac{5}{9}\) है। / Let the fraction be \(\frac{x}{x+4}\), then \(\frac{x}{x+4}+\frac{x+4}{x}=\frac{41}{20}\). This gives (x=5), so the fraction is \(\frac{5}{9}\).
B. ( -8 ) और ( -7 ) के बीच/Between ( -8 ) and ( -7 )
Explanation
Simple Explanation
\( -\sqrt{27}-3\approx-8.196 \) नहीं, बल्कि \( -\sqrt{27}\approx-5.196 \) होने से योग लगभग (-8.196) है। इसलिए यह (-9) और (-8) के बीच है। / \( -\sqrt{27}\approx-5.196 \), so \( -\sqrt{27}-3\approx-8.196 \). Therefore it lies between (-9) and (-8).
\( \sqrt{39}\approx6.245 \), इसलिए \(6-\sqrt{39}\approx-0.245\) है। घटाव वाले मूल में चिह्न जरूर जाँचें। / \( \sqrt{39}\approx6.245 \), so \(6-\sqrt{39}\approx-0.245\). Always check the sign in root subtraction.
C. ( -7 ) और ( -6 ) के बीच/Between ( -7 ) and ( -6 )
Explanation
Simple Explanation
\( -\sqrt{18}-2\approx-6.243 \), इसलिए यह (-7) और (-6) के बीच है। ऋणात्मक योगों में अनुमान सावधानी से करें। / \( -\sqrt{18}-2\approx-6.243 \), so it lies between (-7) and (-6). Estimate negative sums carefully.
\( \sqrt{31}\approx5.568 \), इसलिए \(5-\sqrt{31}\approx-0.568\) है। घटाव वाले मूलों में चिह्न अवश्य जाँचें। / \( \sqrt{31}\approx5.568 \), so \(5-\sqrt{31}\approx-0.568\). Always check the sign in root subtraction.
C. ( -5 ) और ( -4 ) के बीच/Between ( -5 ) and ( -4 )
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{7}\approx2.646 \), इसलिए \(u\approx-4.646\) है। अतः यह (-5) और (-4) के बीच होगा। / \( \sqrt{7}\approx2.646 \), so \(u\approx-4.646\). Therefore it lies between (-5) and (-4).
\(4<\sqrt{22}<5\), इसलिए \(-1<-5+\sqrt{22}<0\)। मिश्रित अभिव्यक्ति में सीमा जोड़ें। / Since \(4<\sqrt{22}<5\), \(-1<-5+\sqrt{22}<0\). Add bounds carefully in mixed expressions.
B. ( -6 ) और ( -5 ) के बीच/Between ( -6 ) and ( -5 )
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(5<\sqrt{29}<6\), इसलिए \(-6<-\sqrt{29}<-5\)। ऋणात्मक मूलों में क्रम उलटकर लिखें। / Since \(5<\sqrt{29}<6\), \(-6<-\sqrt{29}<-5\). For negative roots, write the reversed interval carefully.
A. ( -3 ) और ( -2 ) के बीच/Between ( -3 ) and ( -2 )
Explanation
Simple Explanation
\( -\sqrt{2}-1\approx-2.414 \), इसलिए यह (-3) और (-2) के बीच है। ऋणात्मक योगों में अनुमान सावधानी से करें। / \( -\sqrt{2}-1\approx-2.414 \), so it lies between (-3) and (-2). Estimate negative sums carefully.
\( \sqrt{10}\approx3.162 \) इसलिए \(2-\sqrt{10}\approx-1.162\) है। घटाव वाले मूल में अनुमान जरूरी है। / \( \sqrt{10}\approx3.162 \), so \(2-\sqrt{10}\approx-1.162\). Estimation is important in root subtraction.
\(x=-4+\sqrt{13}\) और \(3<\sqrt{13}<4\), इसलिए (-1<x<0)। संयुक्त अभिव्यक्ति में सीमा जोड़ें। / \(x=-4+\sqrt{13}\), and \(3<\sqrt{13}<4\), so (-1<x<0). Add bounds in combined expressions.
\(\sqrt{5}\approx2.236\) और \(\sqrt{2}\approx1.414\), इसलिए अंतर लगभग (0.822) है। अपरिमेयों के अंतर का स्थान निकालने के लिए छोटे अनुमान उपयोग करें। / \(\sqrt{5}\approx2.236\) and \(\sqrt{2}\approx1.414\), so the difference is about (0.822). Use short approximations to locate differences of irrationals.
क्योंकि \(3<\sqrt{12}<4\), इसलिए \(-4<-\sqrt{12}<-3\)। ऋणात्मक करने पर असमानता की दिशा बदलती है। / Since \(3<\sqrt{12}<4\), \(-4<-\sqrt{12}<-3\). Multiplying by a negative reverses the inequality.
\(\sqrt{2}\approx1.414\) और \(\sqrt{3}\approx1.732\), इसलिए योग लगभग (3.146) है। योग के लिए अनुमानित मान जोड़ें। / \(\sqrt{2}\approx1.414\) and \(\sqrt{3}\approx1.732\), so the sum is about (3.146). Add approximate values for sums.
क्योंकि \(2<\sqrt{5}<3\), इसलिए \(1<-1+\sqrt{5}<2\)। स्थिर संख्या जोड़ने या घटाने पर पूरी असमानता बदलें। / Since \(2<\sqrt{5}<3\), \(1<-1+\sqrt{5}<2\). When adding or subtracting a constant, adjust the whole inequality.
क्योंकि \(1<\sqrt{3}<2\), इसलिए \(0<2-\sqrt{3}<1\)। घटाव में असमानता की दिशा सावधानी से देखें। / Since \(1<\sqrt{3}<2\), \(0<2-\sqrt{3}<1\). Be careful with inequalities when subtracting.
क्योंकि \(4^2=16\) और \(5^2=25\), इसलिए \(4<\sqrt{20}<5\)। पूर्ण वर्गों की सीमा तुरंत अंतराल देती है। / Because \(4^2=16\) and \(5^2=25\), \(4<\sqrt{20}<5\). Perfect-square bounds quickly give the interval.
क्योंकि \(2^2<5<3^2\), इसलिए \(\sqrt{5}\) (2) और (3) के बीच है और ऋणात्मक मान (-3) और (-2) के बीच होगा। ऋणात्मक दिशा में क्रम उलट जाता है। / Since \(2^2<5<3^2\), \(\sqrt{5}\) lies between (2) and (3), so \(-\sqrt{5}\) lies between (-3) and (-2). On the negative side, order reverses.
यहाँ (D=4(4t+1)2-4\(7t^2+2t+5\)=36t-2+24t-16) है। (D<0) से \(-1<t<\frac{2}{9}\) मिलता है। / Here (D=4(4t+1)2-4\(7t^2+2t+5\)=36t-2+24t-16). From (D<0), \(-1<t<\frac{2}{9}\).
यहाँ (D=4(v+2)2-4(4v+11)=4\(v^2-7\)) नहीं, सही रूप (4\(v^2-7\)) नहीं है। परीक्षा में विस्तार सावधानी से करें। / Here (D=4(v+2)2-4(4v+11)) must be expanded carefully. Always verify the middle term before solving the interval.
यहाँ (D=4(t+1)2-4(3t+7)=4\(t^2-t-6\)) है। (D<0) से (-2<t<3) नहीं, गुणनखंड फिर से जाँचें। / Here (D=4(t+1)2-4(3t+7)=4\(t^2-t-6\)). For (D<0), factor again carefully before selecting the interval.
A. \(\frac{4-2\sqrt{6}}{3}<t<\frac{4+2\sqrt{6}}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(2t-1)2-4\(t^2+2\)=4\(3t^2-4t-1\)) है। (D<0) से दिए गए दोनों मूलों के बीच का अंतराल मिलता है। / Here (D=4(2t-1)2-4\(t^2+2\)=4\(3t^2-4t-1\)). From (D<0), the interval between the two boundary roots is obtained.
यहाँ (D=4(k-1)2-4(k+5)=4\(k^2-3k-4\)) नहीं, सही सरल रूप (4\(k^2-3k-4\)) है। (D<0) से (0<k<3) नहीं मिलता, इसलिए गुणनखंड जाँचें। / Here (D=4(k-1)2-4(k+5)=4\(k^2-3k-4\)). Use (D<0) and factor carefully before choosing the interval.
वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। \(a^2+a-2<0\) से (-2<a<1) मिलता है। / For no real roots, (D<0) is required. From \(a^2+a-2<0\), we get (-2<a<1).
वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। यहाँ (D=4\(a^2-6a-1\)), इसलिए \(3-\sqrt{10}<a<3+\sqrt{10}\)। / For no real roots, (D<0) is required. Here (D=4\(a^2-6a-1\)), so \(3-\sqrt{10}<a<3+\sqrt{10}\).
वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। यहाँ (D=4(t-2)(2t+3)), इसलिए \(-\frac{3}{2}<t<2\)। / For no real roots, (D<0) is required. Here (D=4(t-2)(2t+3)), so \(-\frac{3}{2}<t<2\).
यहाँ (D=(k+1)2-16) है और वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। इससे (-5<k<3) मिलता है। / Here (D=(k+1)2-16), and no real roots need (D<0). This gives (-5<k<3).
B. ( -6 ) और ( -5 ) के बीच/Between ( -6 ) and ( -5 )
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{99}\approx9.95 \), इसलिए \(p\approx-5.95\) है। अतः यह (-6) और (-5) के बीच होगा। / \( \sqrt{99}\approx9.95 \), so \(p\approx-5.95\). Hence it lies between (-6) and (-5).
A. ( -6 ) और ( -5 ) के बीच/Between ( -6 ) and ( -5 )
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{68}\approx8.246 \), इसलिए \(p\approx-5.246\) है। इसलिए यह (-6) और (-5) के बीच है। / \( \sqrt{68}\approx8.246 \), so \(p\approx-5.246\). Hence it lies between (-6) and (-5).
A. ( -5 ) और ( -4 ) के बीच/Between ( -5 ) and ( -4 )
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{45}\approx6.708 \), इसलिए \(p\approx-4.708\) है। इसलिए यह (-5) और (-4) के बीच है। / \( \sqrt{45}\approx6.708 \), so \(p\approx-4.708\). Hence it lies between (-5) and (-4).
क्योंकि \(2=\frac{8}{4}\), इसलिए (0) से (2) तक (8) चौथाई भाग बनेंगे और \(\frac{7}{4}\) सातवें भाग पर होगा। हर को समान इकाई बनाने में प्रयोग करें। / Since \(2=\frac{8}{4}\), the interval from (0) to (2) has (8) fourth-parts and \(\frac{7}{4}\) is at the seventh part. Use the denominator to make equal units.
(4x+6=0) से \(x=-\frac{3}{2}\), जो (-2) और (-1) के बीच है। परीक्षा में ऋणात्मक भिन्न का अंतराल सावधानी से पहचानें। / From (4x+6=0), \(x=-\frac{3}{2}\), which lies between (-2) and (-1). In exams, identify the interval of a negative fraction carefully.
\(-\frac{3}{4}\) ऋणात्मक है और (-1) से बड़ा है। परीक्षा में ऐसे भिन्न को (-1) और (0) के बीच दिखाएं। / \(-\frac{3}{4}\) is negative and greater than (-1). In exams, show such fractions between (-1) and (0).
\(-\frac{1}{4}=-0.25\), इसलिए यह (-1) और (0) के बीच है। छोटे ऋणात्मक भिन्न (0) के बाईं ओर पास होते हैं। / \(-\frac{1}{4}=-0.25\), so it lies between (-1) and (0). Small negative fractions are close to (0) on the left.
मान लें \(u=\frac{1}{x}\) और \(v=\frac{1}{y}\)। (3u+2v=13), (2u-v=3) हल करने पर \(u=\frac{19}{7}\) आता है। / Let \(u=\frac{1}{x}\) and \(v=\frac{1}{y}\). Solve (3u+2v=13), (2u-v=3) carefully before choosing.
मान लें \(u=\frac{1}{x}\) और \(v=\frac{1}{y}\)। (2u+3v=13), (3u-2v=4) हल करने पर (u=2) मिलता है। / Let \(u=\frac{1}{x}\) and \(v=\frac{1}{y}\). Solving (2u+3v=13), (3u-2v=4) gives (u=2).
\( \sqrt{36}=6 \), इसलिए \( \frac{1}{\sqrt{36}}=\frac{1}{6} \)। हर में वर्गमूल को पहले सरल करें। / \( \sqrt{36}=6 \), so \( \frac{1}{\sqrt{36}}=\frac{1}{6} \). Simplify the root in the denominator first.
\( \sqrt{25}=5 \), इसलिए \( \frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5} \)। हर में वर्गमूल को पहले सरल करें। / \( \sqrt{25}=5 \), so \( \frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5} \). Simplify the root in the denominator first.
\( \sqrt{4}=2 \), इसलिए \( \frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2} \)। हर में मूल को पहले सरल करें। / \( \sqrt{4}=2 \), so \( \frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2} \). Simplify the root in the denominator first.
\(\alpha+\beta=12\) और \(\alpha\beta=35\) हैं। \(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}=\frac{\alpha+\beta-2}{\alpha\beta-\alpha-\beta+1}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\)। / \(\alpha+\beta=12\) and \(\alpha\beta=35\). \(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}=\frac{\alpha+\beta-2}{\alpha\beta-\alpha-\beta+1}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\).
परस्पर व्युत्क्रम शून्यकों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (16) है, इसलिए यह संभव नहीं है। / Reciprocal zeroes must have product (1). Here the product is (16), so it is not possible.
शून्यकों के व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=1\), इसलिए उत्तर (4) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=1\), so the answer is (4).
\(\alpha+\beta=\frac{9}{2}\) और \(\alpha\beta=2\) हैं। इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{4}\)। / \(\alpha+\beta=\frac{9}{2}\) and \(\alpha\beta=2\). Hence \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{4}\).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) है। यहां \(\frac{3}{2}\div-\frac{5}{2}=-\frac{3}{5}\)। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here \(\frac{3}{2}\div-\frac{5}{2}=-\frac{3}{5}\).
\(x=\frac{8}{9}\), इसलिए \(x^{-1}=\frac{9}{8}\)। परीक्षा में \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) को सही दिशा में लगाएं। / Here \(x=\frac{8}{9}\), so \(x^{-1}=\frac{9}{8}\). In exams, apply \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) in the correct direction.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{24}{135}=\frac{8}{45}\) होता है। परीक्षा में उत्तर को सरल रूप में लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{24}{135}=\frac{8}{45}\). In exams, write the answer in simplest form.
(7x-2-50x+7=(7x-1)(x-7)), इसलिए \(x=\frac{1}{7}\) और (7) हैं। परीक्षा में प्राप्त हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें। / (7x-2-50x+7=(7x-1)(x-7)), so \(x=\frac{1}{7}\) and (7). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
दोनों पक्षों को (7x) से गुणा करने पर \(7+7x^2=50x\), यानी \(7x^2-50x+7=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (7x) gives \(7+7x^2=50x\), that is \(7x^2-50x+7=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{20}{91}\) होता है। परीक्षा में reciprocal वाले प्रश्न में पहले योग और गुणनफल लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{20}{91}\). In exams, first write sum and product in reciprocal questions.
(6x-2-37x+6=(6x-1)(x-6)), इसलिए \(x=\frac{1}{6}\) और (6) हैं। परीक्षा में प्राप्त हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें। / (6x-2-37x+6=(6x-1)(x-6)), so \(x=\frac{1}{6}\) and (6). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
दोनों पक्षों को (6x) से गुणा करने पर \(6+6x^2=37x\), यानी \(6x^2-37x+6=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (6x) gives \(6+6x^2=37x\), that is \(6x^2-37x+6=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{16}{63}\) होता है। परीक्षा में reciprocal वाले प्रश्न में पहले योग और गुणनफल लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{16}{63}\). In exams, first write sum and product in reciprocal questions.
(5x-2-26x+5=(5x-1)(x-5)), इसलिए \(x=\frac{1}{5}\) और (5) हैं। परीक्षा में प्राप्त हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें। / (5x-2-26x+5=(5x-1)(x-5)), so \(x=\frac{1}{5}\) and (5). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
दोनों पक्षों को (5x) से गुणा करने पर \(5+5x^2=26x\), यानी \(5x^2-26x+5=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (5x) gives \(5+5x^2=26x\), that is \(5x^2-26x+5=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{12}{35}\) होता है। परीक्षा में reciprocal वाले प्रश्न में पहले योग और गुणनफल लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{12}{35}\). In exams, first write sum and product in reciprocal questions.
(4x-2-17x+4=(4x-1)(x-4)), इसलिए \(x=\frac{1}{4}\) और (4) हैं। परीक्षा में मिले हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें। / (4x-2-17x+4=(4x-1)(x-4)), so \(x=\frac{1}{4}\) and (4). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
दोनों पक्षों को (4x) से गुणा करने पर \(4+4x^2=17x\), यानी \(4x^2-17x+4=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (4x) gives \(4+4x^2=17x\), that is \(4x^2-17x+4=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{20}\) होता है। परीक्षा में reciprocal वाले प्रश्न में पहले योग और गुणनफल लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{20}\). In exams, first write sum and product in reciprocal questions.
(3x-2-10x+3=(3x-1)(x-3)), इसलिए \(x=\frac{1}{3}\) और (3) हैं। परीक्षा में प्राप्त हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें। / (3x-2-10x+3=(3x-1)(x-3)), so \(x=\frac{1}{3}\) and (3). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
दोनों पक्षों को (3x) से गुणा करने पर \(3+3x^2=10x\), यानी \(3x^2-10x+3=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (3x) gives \(3+3x^2=10x\), that is \(3x^2-10x+3=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{7}{10}\) होता है। परीक्षा में reciprocal वाले प्रश्न में पहले योग और गुणनफल लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{7}{10}\). In exams, first write sum and product for reciprocal questions.
(2x-2-5x+2=(2x-1)(x-2)), इसलिए \(x=\frac{1}{2}\) और (2) हैं। परीक्षा में प्राप्त हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें। / (2x-2-5x+2=(2x-1)(x-2)), so \(x=\frac{1}{2}\) and (2). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
दोनों पक्षों को (2x) से गुणा करने पर \(2+2x^2=5x\), यानी \(2x^2-5x+2=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (2x) gives \(2+2x^2=5x\), that is \(2x^2-5x+2=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
\(\alpha^2+\beta^2=64-4=60\) और (\(\alpha\beta\)2=4) है। इसलिए \(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=\frac{60}{4}=15\)। / Here \(\alpha^2+\beta^2=64-4=60\) and (\(\alpha\beta\)2=4). Thus \(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=\frac{60}{4}=15\).
व्युत्क्रम जड़ों का गुणनफल (1) होता है। समीकरण \(x^2-\frac{5}{2}x+1=0\) को (2) से गुणा करने पर \(2x^2-5x+2=0\) मिलता है। / Reciprocal roots have product (1). Multiplying \(x^2-\frac{5}{2}x+1=0\) by (2) gives \(2x^2-5x+2=0\).
(\frac{1}{\alpha-2}+\frac{1}{\beta-2}=\frac{\alpha-2+\beta-2}{\(\alpha\beta\)2}) होता है। \(\alpha^2+\beta^2=30\) और (\(\alpha\beta\)2=9), इसलिए मान \(\frac{10}{3}\) है। / We use (\frac{1}{\alpha-2}+\frac{1}{\beta-2}=\frac{\alpha-2+\beta-2}{\(\alpha\beta\)2}). Since \(\alpha^2+\beta^2=30\) and (\(\alpha\beta\)2=9), the value is \(\frac{10}{3}\).
(\frac{1}{\alpha-2}+\frac{1}{\beta-2}=\frac{\alpha-2+\beta-2}{\(\alpha\beta\)2}) होता है। \(\alpha^2+\beta^2=21\) और (\(\alpha\beta\)2=4), इसलिए मान \(\frac{21}{4}\) है। / We use (\frac{1}{\alpha-2}+\frac{1}{\beta-2}=\frac{\alpha-2+\beta-2}{\(\alpha\beta\)2}). Since \(\alpha^2+\beta^2=21\) and (\(\alpha\beta\)2=4), the value is \(\frac{21}{4}\).
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होता है। यहाँ \(\alpha\beta=m\), इसलिए (m=1)। / For reciprocal roots, \(\alpha\beta=1\). Here \(\alpha\beta=m\), so (m=1).
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) और \(\alpha\beta=1\) है। व्युत्क्रम जड़ों का योग \(\frac{10}{3}\) और गुणनफल (1) ही रहता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=1\). The reciprocal roots also have sum \(\frac{10}{3}\) and product (1).
व्युत्क्रम जड़ों के लिए गुणनफल (1) होता है और यहाँ गुणनफल (k) है। इसलिए (k=1); परीक्षा में पहले गुणनफल देखें। / For reciprocal roots, the product is (1), and here the product is (k). Hence (k=1); in exams, check the product first.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ मान \(\frac{17}{72}\) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the value is \(\frac{17}{72}\).
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\frac{\frac{19}{6}}{\frac{10}{6}}=\frac{19}{10}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here it is \(\frac{\frac{19}{6}}{\frac{10}{6}}=\frac{19}{10}\).
