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शून्यकों का योग (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}) है। परिमेय गुणांकों में संयुग्मी भी मिलता है। / The sum of zeroes is (2), so the other zero is (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}). With rational coefficients, the conjugate also appears.
\(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{11}\) है। परीक्षा में (a=0) वाला संयुग्मी भी पहचानें। / The conjugate of \(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) is \(-\sqrt{11}\). In exams also identify the case (a=0).
A. दूसरा \(\sqrt{5}\), \(k=\sqrt{5}\)/Other \(\sqrt{5}\), \(k=\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
गुणनफल (5) है, इसलिए दूसरा शून्यक \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) होगा। योग \(2\sqrt{5}=2k\), अतः \(k=\sqrt{5}\) है। / The product is (5), so the other zero is \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\). The sum is \(2\sqrt{5}=2k\), hence \(k=\sqrt{5}\).
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। गैर शून्य परिमेय से भाग देने पर अपरिमेयता रहती है। / \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) is irrational and lies between (0) and (1). Dividing by a non zero rational keeps irrationality.
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। जड़ वाला भाग इसे अपरिमेय बनाता है। / \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is irrational and its value lies between (0) and (1). The root part makes it irrational.
शून्यकों का गुणनफल (-18) है। एक शून्यक (3) है, इसलिए दूसरा \(-18\div3=-6\) है। / The product of zeroes is (-18). Since one zero is (3), the other is \(-18\div3=-6\).
\(4x^3-7x\) में (x=0) रखने पर (0) मिलता है और यह शून्य बहुपद नहीं है। (x=0) के लिए अचर पद (0) होना चाहिए। / Substituting (x=0) in \(4x^3-7x\) gives (0), and it is not the zero polynomial. For (x=0), the constant term must be (0).
दूसरा शून्यक \(5-\sqrt{21}\) होगा। योग (10) और गुणनफल (25-21=4) से बहुपद \(x^2-10x+4\) बनता है। / The other zero will be \(5-\sqrt{21}\). Sum (10) and product (25-21=4) give the polynomial \(x^2-10x+4\).
परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यक तुरंत पहचानें। / With rational coefficients \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक आता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों को तुरंत पहचानें। / With rational coefficients, \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक सामान्यतः संयुग्मी रूप में आते हैं। इसलिए \(3-\sqrt{5}\) का साथी शून्यक \(3+\sqrt{5}\) होगा। / For rational coefficients, irrational zeroes usually occur in conjugate pairs. Hence the companion zero of \(3-\sqrt{5}\) is \(3+\sqrt{5}\).
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में इसे संयुग्मी शून्यक नियम की तरह याद रखें। / For a quadratic with rational coefficients, \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Remember this as the conjugate-zero rule.
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी मूल का नियम उपयोगी है। / For a quadratic with rational coefficients, if \(a+\sqrt{b}\) is a zero then \(a-\sqrt{b}\) is also a zero. The conjugate-root rule is useful in exams.
किसी भी वास्तविक संख्या को (0) से गुणा करने पर (0) मिलता है। (0) परिमेय संख्या है। / Multiplying any real number by (0) gives (0). (0) is a rational number.
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें। / If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
गैर शून्य परिमेय गुणक अपरिमेय संख्या को अपरिमेय ही रखता है। शर्त \(r\neq0\) महत्वपूर्ण है। / A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
शून्य रहित परिमेय से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करना है। / Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
अपरिमेय संख्या को शून्य रहित परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। / An irrational number multiplied by a non-zero rational number remains irrational.
Step 3
Exam Tip
भाग के प्रश्नों को गुणा में बदलकर सोचें। / Convert division questions into multiplication for easier reasoning.
अशून्य परिमेय संख्या से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करने जैसा है। / Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{r}\) भी अशून्य परिमेय है, इसलिए \(\frac{x}{r}\) अपरिमेय रहेगा। / \(\frac{1}{r}\) is also a non-zero rational number, so \(\frac{x}{r}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
भाग वाले प्रश्न में हर के शून्य न होने की शर्त जरूर देखें। / In division questions, always check that the denominator is not zero.
अशून्य परिमेय संख्या से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। / Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (pq) परिमेय मान लें, तो \(q=\frac{pq}{p}\) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। / If (pq) were rational, then \(q=\frac{pq}{p}\) would be rational, which contradicts the given condition.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ध्यान रखें कि (p) शून्य नहीं होना चाहिए। / Always check that the rational multiplier is not zero.
अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। / A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / For example, \(3\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
यहां अशून्य शर्त जरूरी है क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य होगा। / The non-zero condition is important because multiplying by zero gives zero.
अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। / Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। / For example, \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
यहां अशून्य शर्त जरूरी है, क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम (0) होगा। / The non-zero condition is important because multiplication by (0) gives (0).
(4) परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को पहले पहचानें। / (4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो/When (a) is any rational number
Explanation
Simple Explanation
परिमेय में अपरिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। यह आसान गुण अक्सर MCQ में आता है। / Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
इसका व्युत्क्रम \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) भी अपरिमेय है। / Its reciprocal \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) is also irrational.
Step 3
Exam Tip
अशून्य अपरिमेय मूल के व्युत्क्रम को परिमेय मानने की गलती न करें। / Do not assume the reciprocal of a non-zero irrational surd is rational.
दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी परिमेय भी हो सकता है। / The sum of two irrational numbers can be rational.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) है। इसलिए (a+b) हमेशा अपरिमेय कहना गलत है। / For example, (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Therefore, saying (a+b) is always irrational is false.
Step 3
Exam Tip
दो अपरिमेय संख्याओं पर हमेशा वाले नियम बहुत सावधानी से लगाएँ। / Be careful with universal statements about two irrational numbers.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और अशून्य परिमेय (2) से भाग देने पर अपरिमेयता बनी रहती है। / \(\sqrt{2}\) is irrational, and dividing by non-zero rational (2) keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) लगभग (0.707) है, इसलिए यह (0) और (1) के बीच है। / \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is about (0.707), so it lies between (0) and (1).
Step 3
Exam Tip
अंतराल और संख्या की प्रकृति दोनों शर्तें साथ-साथ जाँचें। / Check both the interval condition and the nature of the number.
क्योंकि (100<115<121) इसलिए \(\sqrt{115}\) (10) और (11) के बीच है। (115) पूर्ण वर्ग नहीं है। / Since (100<115<121), \(\sqrt{115}\) lies between (10) and (11). (115) is not a perfect square.
क्योंकि (81<85<100) इसलिए \(\sqrt{85}\) (9) और (10) के बीच है। (85) पूर्ण वर्ग नहीं है। / Since (81<85<100), \(\sqrt{85}\) lies between (9) and (10). (85) is not a perfect square.
क्योंकि (64<70<81) इसलिए \(\sqrt{70}\) (8) और (9) के बीच है। (70) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since (64<70<81), \(\sqrt{70}\) lies between (8) and (9). (70) is not a perfect square so it is irrational.
क्योंकि (9<13<16) इसलिए \(\sqrt{13}\) (3) और (4) के बीच है। (13) पूर्ण वर्ग नहीं है। / Since (9<13<16), \(\sqrt{13}\) lies between (3) and (4). (13) is not a perfect square.
क्योंकि (36<43<49) इसलिए \(\sqrt{43}\) (6) और (7) के बीच है। यह अपरिमेय भी है। / Since (36<43<49), \(\sqrt{43}\) lies between (6) and (7). It is also irrational.
क्योंकि (25<30<36) इसलिए \(\sqrt{30}\) (5) और (6) के बीच है। (30) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since (25<30<36), \(\sqrt{30}\) lies between (5) and (6). (30) is not a perfect square so it is irrational.
इसलिए \(2<\sqrt{5}<3\) और (5) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / Therefore \(2<\sqrt{5}<3\) and since (5) is not a perfect square \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
बीच की संख्या खोजते समय वर्गों से सीमा बनाएं। / Use squares to locate irrational square roots between integers.
\(2=\sqrt{4}\) और \(3=\sqrt{9}\) हैं। / \(2=\sqrt{4}\) and \(3=\sqrt{9}\).
Step 2
Why this answer is correct
(5) और (8) दोनों (4) और (9) के बीच हैं तथा पूर्ण वर्ग नहीं हैं। इसलिए \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{8}\) दोनों अपरिमेय हैं और (2) से (3) के बीच हैं। / (5) and (8) lie between (4) and (9) and are not perfect squares. Therefore \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{8}\) are irrational numbers between (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
बीच के अपूर्ण वर्गों से ऐसे युग्म बनते हैं। / Non-perfect squares between two square numbers give such pairs.
\(3=\sqrt{9}\) और \(4=\sqrt{16}\) हैं। / \(3=\sqrt{9}\) and \(4=\sqrt{16}\).
Step 2
Why this answer is correct
(10) पूर्ण वर्ग नहीं है और (9<10<16), इसलिए \(\sqrt{10}\) (3) और (4) के बीच अपरिमेय संख्या है। / (10) is not a perfect square and (9<10<16), so \(\sqrt{10}\) is an irrational number between (3) and (4).
Step 3
Exam Tip
दो पूर्णांकों के बीच अपरिमेय खोजने में बीच का अपूर्ण वर्ग उपयोगी होता है। / A non-perfect square between two square numbers helps find an irrational number between two integers.
(64<65<81), इसलिए \(8<\sqrt{65}<9\)। / Since (64<65<81), \(8<\sqrt{65}<9\).
Step 2
Why this answer is correct
(65) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{65}\) अपरिमेय है। / (65) is not a perfect square, so \(\sqrt{65}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
दो पूर्ण वर्गों के बीच की संख्या का वर्गमूल उनके मूलों के बीच होता है। / The square root of a number between two perfect squares lies between their roots.
दूसरा शून्यक \(6+2\sqrt{5}\) होगा। योग (12) और गुणनफल (36-20=16), इसलिए बहुपद \(x^2-12x+16\) है। / The other zero is \(6+2\sqrt{5}\). The sum is (12) and product is (36-20=16), so the polynomial is \(x^2-12x+16\).
A. दूसरा (7), कटान ((6,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((6,0)), ((7,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (13) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (13), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (5) है इसलिए दूसरा शून्यक (11) होगा। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
A. दूसरा (7), कटान ((4,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((4,0)), ((7,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (11) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (11), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (-2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-9) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
A. दूसरा (5), कटान ((4,0)), ((5,0))/Other (5), intersections ((4,0)), ((5,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (9) है इसलिए दूसरा शून्यक (5) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (9), so the other zero is (5). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (3) है इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \(\frac{a+b}{2}\) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (3), so the other zero is (-5). Tip: set \(\frac{a+b}{2}\) equal to the axis of symmetry.
दोनों शून्यकों का औसत (4) है इसलिए दूसरा शून्यक (10) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य मान से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (4), so the other zero is (10). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
A. दूसरा (4), कटान ((3,0)), ((4,0))/Other (4), intersections ((3,0)), ((4,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (7) है, इसलिए दूसरा शून्यक (4) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (7), so the other zero is (4). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \( \frac{a+b}{2} \) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
दो शून्यकों का औसत (1) होगा इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
A. दूसरा (3), कटान ((2,0)), ((3,0))/Other (3), intersections ((2,0)), ((3,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (5) है, इसलिए दूसरा शून्यक (3) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (5), so the other zero is (3). Tip: immediately convert a zero to ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (-1) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-6) होगा। टिप: औसत को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (-1), so the other zero is (-6). Tip: set the average equal to the axis of symmetry.
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) दूसरा शून्यक है। / With rational coefficients, the conjugate of the irrational part is also a zero. Hence \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) is the other zero.
दूसरा शून्यक \(6-\sqrt{19}\) होगा और गुणनफल (36-19=17) है। परीक्षा में स्थिर पद को शून्यकों के गुणनफल से जोड़ें। / The other zero will be \(6-\sqrt{19}\), and the product is (36-19=17). In exams connect the constant term with the product of zeroes.
शून्यकों का योग (0) है और \(x^2+ax+6\) में योग (-a) होता है। अतः (a=0)। / The sum of the zeroes is (0), and in \(x^2+ax+6\), the sum is (-a). Thus (a=0).
साथी शून्यक \(3-\sqrt{8}\) है। योग (6) और गुणनफल (9-8=1) से बहुपद \(x^2-6x+1\) बनता है। / The companion zero is \(3-\sqrt{8}\). Sum (6) and product (9-8=1) form \(x^2-6x+1\).
साथी शून्यक \(5-2\sqrt{6}\) होगा, योग (10) और गुणनफल (25-24=1) है। परीक्षा में संयुग्मी लेकर बहुपद बनाएं। / The companion zero is \(5-2\sqrt{6}\), with sum (10) and product (25-24=1). In exams form the polynomial using the conjugate.
रखने पर \(2+k\sqrt{2}-2=k\sqrt{2}=0\), इसलिए (k=0) है। परीक्षा में शून्यक होने पर (p\(\alpha\)=0) लिखें। / Substitution gives \(2+k\sqrt{2}-2=k\sqrt{2}=0\), so (k=0). In exams write (p\(\alpha\)=0) for a zero.
(p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), इसलिए शून्यक \(-\sqrt{5}\) दो बार है। पूर्ण वर्ग रूप से दोहराया शून्यक मिलता है। / (p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), so the zero is \(-\sqrt{5}\) twice. A perfect-square form gives a repeated zero.
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(2-\sqrt{3}\) दूसरा शून्यक होगा। / With rational coefficients, the conjugate of an irrational zero is also a zero. So \(2-\sqrt{3}\) will be the other zero.
दोनों शून्यक \(\sqrt{3}\) हैं, इसलिए योग \(2\sqrt{3}\) है। \(x^2+kx+3\) में योग (-k) है, अतः \(k=-2\sqrt{3}\)। / Both zeroes are \(\sqrt{3}\), so the sum is \(2\sqrt{3}\). In \(x^2+kx+3\), the sum is (-k), hence \(k=-2\sqrt{3}\).
एकघात बहुपद \(x-\alpha\) का शून्यक \(\alpha\) होता है। यहाँ \(\alpha=2\sqrt{3}\) है। / A linear polynomial \(x-\alpha\) has zero \(\alpha\). Here \(\alpha=2\sqrt{3}\).
\(0\times\sqrt{7}=0\), \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\), और \(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=2\) परिमेय हैं। / \(0\times\sqrt{7}=0\), \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\), and \(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=2\) are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{7}\) में अशून्य परिमेय गुणक और अपरिमेय मूल है, इसलिए यह अपरिमेय है। / \(4\sqrt{7}\) is a non-zero rational multiple of an irrational number, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
शून्य से गुणा वाले विकल्प को जल्दी परिमेय पहचानें। / Quickly identify multiplication by zero as rational.
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\)/\(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Explanation
Simple Explanation
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है। / (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
(5) गैर शून्य परिमेय है इसलिए \(5\sqrt{3}\) अपरिमेय है। ध्यान रखें (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होता है। / (5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
A. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
उनका गुणन \(\sqrt{36}=6\) परिमेय है, और योग \(3\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Their product is \(\sqrt{36}=6\), which is rational, and their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
योग और गुणन की प्रकृति अलग-अलग जाँचें। / Check the nature of the sum and product separately.
शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें। / Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors.
शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें। / Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors.
शून्य से गुणा करने का मामला अलग होता है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें। / Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors.
क्योंकि (9<15<16), इसलिए \(3<\sqrt{15}<4\) है और \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गों के बीच तुलना करें। / Since (9<15<16), \(3<\sqrt{15}<4\) and \(\sqrt{15}\) is irrational. In exams compare between squares.
क्योंकि (9<13<16), इसलिए \(3<\sqrt{13}<4\) और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गों के बीच तुलना करें। / Since (9<13<16), \(3<\sqrt{13}<4\), and \(\sqrt{13}\) is irrational. In exams compare between squares.
C. परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है, जहाँ \(q\neq0\)/Rational numbers can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ (p,q) पूर्णांक और \(q\neq0\) हों। / A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\), where (p,q) are integers and \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
अपरिमेय संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती। / An irrational number cannot be written in that form.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा के प्रश्न में \(q\neq0\) अवश्य देखें। / In definition questions, always check the condition \(q\neq0\).
(20) इस अंतराल में है और पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{20}\) अपरिमेय है। / (20) lies in this interval and is not a perfect square, so \(\sqrt{20}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल की असमानता में दोनों तरफ वर्ग लेकर अंतराल बनाएं। / In square-root inequalities, square the bounds to form the interval.
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। अपरिमेय संख्या को परिमेय से भाग देने पर शून्येतर परिमेय के लिए अपरिमेय ही रहती है। / \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is irrational and its value lies between (0) and (1). An irrational divided by a non-zero rational remains irrational.
क्योंकि \(2<\frac{5}{2}<3\), इसलिए \(\sqrt{2}<\sqrt{\frac{5}{2}}<\sqrt{3}\) और यह अपरिमेय है। परीक्षा में वर्ग करके तुलना करें। / Since \(2<\frac{5}{2}<3\), \(\sqrt{2}<\sqrt{\frac{5}{2}}<\sqrt{3}\), and it is irrational. In exams compare by squaring.
(x=0) रखने पर \(3x^3-2x=0\) मिलता है। (x=0) को शून्य बनाने के लिए अचर पद (0) होना चाहिए। / Substituting (x=0) in \(3x^3-2x\) gives (0). To make (x=0) a zero, the constant term must be (0).
(x=0) रखने पर \(x^2+1=1\), इसलिए (0) इसका शून्य नहीं है। (x=0) पर अचर पद निर्णायक होता है। / On substituting (x=0), \(x^2+1=1\), so (0) is not its zero. The constant term is decisive at (x=0).
दूसरा शून्यक (8) है और औसत \(\frac{-10+8}{2}=-1\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (8), and the average is \(\frac{-10+8}{2}=-1\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
