When the remainder 3 gets 1 added, it reaches the next multiple of 4. चरण 1: (m=4q+3) में 1 जोड़ें। चरण 2: (m+1=4q+4=4(q+1)), इसलिए यह 4 से विभाज्य है। चरण 3: शेषफल 3 में 1 जोड़ने पर अगला पूरा गुणज बनता है।
B. निर्धारित (a,b) के लिए वैध भागफल और शेषफल केवल एक ही जोड़ी होती है/For fixed (a,b), the valid quotient and remainder form only one pair
Step 1
Concept
The lemma gives existence as well as uniqueness.
Step 2
Why this answer is correct
For fixed (a) and (b), only one valid pair (q,r) satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
Many algebraic forms may be written, but only the form with a valid remainder is correct. चरण 1: प्रमेय केवल अस्तित्व नहीं, अद्वितीयता भी बताता है। चरण 2: निर्धारित (a) और (b) के लिए (q) और (r) की एक ही वैध जोड़ी होती है। चरण 3: कई रूप लिखे जा सकते हैं, पर वैध शेषफल की शर्त पूरी करने वाला रूप ही सही है।
To find the unknown divisor, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (93=5b+8)। चरण 2: (85=5b), इसलिए (b=17)। चरण 3: अज्ञात भाजक निकालने से पहले शेषफल घटाएं।
Finding the remainder of the large added part separately is an easy method. चरण 1: (27) को (11) से बाँटें। चरण 2: \(27=11 \times 2+5\), इसलिए (11q+27=11(q+2)+5)। चरण 3: बड़े जोड़े गए भाग का अलग से शेषफल निकालना सरल तरीका है।
(11q+22=11(q+2)+0), so the correct remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
If the added part is exactly divisible by the divisor, the remainder becomes zero. चरण 1: (22), (11) का गुणज है। चरण 2: (11q+22=11(q+2)+0), इसलिए सही शेषफल (0) है। चरण 3: जोड़ा गया भाग यदि भाजक से पूरा विभाजित हो तो शेषफल शून्य हो जाता है।
(25) cannot be the remainder because it is greater than (18).
Step 2
Why this answer is correct
(25=18+7), so (18q+25=18(q+1)+7).
Step 3
Exam Tip
Divide a large remainder again by the divisor to bring it into the correct range. चरण 1: (25) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि यह (18) से बड़ा है। चरण 2: (25=18+7), इसलिए (18q+25=18(q+1)+7)। चरण 3: बड़े शेषफल को भाजक से फिर बाँटकर सही सीमा में लाएं।
If the added part is a multiple of the divisor, the remainder can become (0). चरण 1: (46), (23) का (2) गुना है। चरण 2: (23q+46=23(q+2)+0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: यदि जोड़ा गया भाग भाजक का गुणज हो, तो शेषफल (0) बन सकता है।
To find the unknown divisor, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (97=8b+1)। चरण 2: (96=8b), इसलिए (b=12)। चरण 3: अज्ञात भाजक निकालने से पहले शेषफल घटाना आसान तरीका है।
The remainder must be less than (16), but (21) is larger.
Step 2
Why this answer is correct
(21=16+5), so (16q+21=16(q+1)+5).
Step 3
Exam Tip
If a large remainder appears, divide it again by the divisor and correct it. चरण 1: शेषफल (16) से छोटा होना चाहिए, पर (21) बड़ा है। चरण 2: (21=16+5), इसलिए (16q+21=16(q+1)+5)। चरण 3: बड़ा शेषफल दिखे तो उसे भाजक से फिर बाँटकर सही करें।
(9) cannot be the remainder because it is greater than (7).
Step 2
Why this answer is correct
(9=7+2), so (7q+9=7(q+1)+2).
Step 3
Exam Tip
A large remainder must be converted into the correct range. चरण 1: (9) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि वह (7) से बड़ा है। चरण 2: (9=7+2), इसलिए (7q+9=7(q+1)+2)। चरण 3: बड़े शेषफल को सही सीमा में बदलना जरूरी है।
(15) cannot be the remainder because it is greater than (10).
Step 2
Why this answer is correct
(15=10+5), so (10q+15=10(q+1)+5).
Step 3
Exam Tip
The correct remainder is always less than the divisor. चरण 1: (15) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि यह (10) से बड़ा है। चरण 2: (15=10+5), इसलिए (10q+15=10(q+1)+5)। चरण 3: सही शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।
To find the unknown divisor, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (82=6b+4)। चरण 2: (82-4=78), इसलिए (6b=78) और (b=13)। चरण 3: अज्ञात भाजक निकालने से पहले शेषफल घटाएं।
If the leftover part is greater than the divisor, divide it again. चरण 1: शेषफल (9) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: (12=9+3), इसलिए (9q+12=9(q+1)+3)। चरण 3: यदि बचा भाग भाजक से बड़ा हो तो उसे फिर से बाँटें।
Here the divisor is (13) and the remainder is (5).
Step 3
Exam Tip
Since (5<13), the form is already correct. चरण 1: (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: यहाँ भाजक (13) और शेषफल (5) है। चरण 3: (5<13) होने से यह रूप पहले से सही है।
(20) cannot be the remainder because it is greater than (18).
Step 2
Why this answer is correct
(20=18+2), so (18q+20=18(q+1)+2).
Step 3
Exam Tip
The correct remainder always lies from (0) to one less than the divisor. चरण 1: (20) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि वह (18) से बड़ा है। चरण 2: (20=18+2), इसलिए (18q+20=18(q+1)+2)। चरण 3: सही शेषफल हमेशा (0) और भाजक से एक कम तक होता है।
To find an unknown divisor, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (73=7b+3)। चरण 2: (70=7b), इसलिए (b=10)। चरण 3: अज्ञात भाजक निकालते समय पहले शेषफल घटाएं।
If the remainder is greater than the divisor, divide it again and rewrite the form. चरण 1: शेषफल (11) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: (15=11+4), इसलिए (11q+15=11(q+1)+4)। चरण 3: यदि शेषफल भाजक से बड़ा हो, तो उसे फिर से बाँटकर सही रूप बनाएं।
