We use (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). Thus (60=6\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), so the value is (10).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (10). We use (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). Thus (60=6\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), so the value is (10).
Step 3
Exam Tip
(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)) है। इसलिए (60=6\left\(x+\frac{1}{x}\right\)) और मान (10) है।
We use (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). Thus (40=5\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), so the value is (8).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (8). We use (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). Thus (40=5\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), so the value is (8).
Step 3
Exam Tip
(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)) है। इसलिए (40=5\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), और मान (8) है।
Since (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), (24=4\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). In exams, use the difference of squares identity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (6). Since (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), (24=4\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). In exams, use the difference of squares identity.
Step 3
Exam Tip
(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), इसलिए (24=4\left\(x+\frac{1}{x}\right\))। परीक्षा में वर्गों के अंतर की पहचान लगाएं।
Since (\left\(x+\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2), we get \(25=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\). In exams, use the identity and subtract (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (23). Since (\left\(x+\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2), we get \(25=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\). In exams, use the identity and subtract (2).
Step 3
Exam Tip
(\left\(x+\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2), इसलिए \(25=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\)। परीक्षा में पहचान लगाकर (2) घटाएं।
The numerator is \(a^{-1}+b^{-1}=\dfrac{a+b}{ab}\) and the denominator is ((ab)^{-1}=\dfrac{1}{ab}), so the answer is (a+b). In exams, make a common denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (,a+b,). The numerator is \(a^{-1}+b^{-1}=\dfrac{a+b}{ab}\) and the denominator is ((ab)^{-1}=\dfrac{1}{ab}), so the answer is (a+b). In exams, make a common denominator.
Step 3
Exam Tip
ऊपर \(a^{-1}+b^{-1}=\dfrac{a+b}{ab}\) और नीचे ((ab)^{-1}=\dfrac{1}{ab}), इसलिए उत्तर (a+b) है। परीक्षा में common denominator बनाएं।
((64)^{\frac{1}{3}}=4), (\(x^6\)^{\frac{1}{3}}=x-2), and (\(y^{-3}\)^{\frac{1}{3}}=y^{-1}), so the answer is \(\dfrac{4x^2}{y}\). In exams, apply the exponent to each factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{4x^2}{y},\). ((64)^{\frac{1}{3}}=4), (\(x^6\)^{\frac{1}{3}}=x-2), and (\(y^{-3}\)^{\frac{1}{3}}=y^{-1}), so the answer is \(\dfrac{4x^2}{y}\). In exams, apply the exponent to each factor.
Step 3
Exam Tip
((64)^{\frac{1}{3}}=4), (\(x^6\)^{\frac{1}{3}}=x-2) और (\(y^{-3}\)^{\frac{1}{3}}=y^{-1}), इसलिए उत्तर \(\dfrac{4x^2}{y}\) है। परीक्षा में प्रत्येक factor पर घात लगाएं।
Inside, \(\dfrac{a^2}{b^{-3}}=a^2b^3\), and applying the power (-2) gives \(\dfrac{1}{a^4b^6}\). In exams, simplify the inside part first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{1}{a^4b^6},\). Inside, \(\dfrac{a^2}{b^{-3}}=a^2b^3\), and applying the power (-2) gives \(\dfrac{1}{a^4b^6}\). In exams, simplify the inside part first.
Step 3
Exam Tip
अंदर \(\dfrac{a^2}{b^{-3}}=a^2b^3\), और (-2) घात लगाने पर \(\dfrac{1}{a^4b^6}\) मिलता है। परीक्षा में अंदर का भाग पहले सरल करें।
Applying the outside exponent \(\dfrac{1}{2}\) gives \(a^2b^{-1}=\dfrac{a^2}{b}\). In exams, apply the fractional power to every factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{a^2}{b},\). Applying the outside exponent \(\dfrac{1}{2}\) gives \(a^2b^{-1}=\dfrac{a^2}{b}\). In exams, apply the fractional power to every factor.
Step 3
Exam Tip
बाहर की घात \(\dfrac{1}{2}\) लगाने पर \(a^2b^{-1}=\dfrac{a^2}{b}\) मिलता है। परीक्षा में fractional power को हर factor पर लगाएं।
The expression inside is \(a^{-3}b^4\), and the power (-1) gives its reciprocal \(\dfrac{a^3}{b^4}\). In exams, apply the outer negative power at the end.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{a^3}{b^4},\). The expression inside is \(a^{-3}b^4\), and the power (-1) gives its reciprocal \(\dfrac{a^3}{b^4}\). In exams, apply the outer negative power at the end.
Step 3
Exam Tip
अंदर का भाग \(a^{-3}b^4\) है, और (-1) घात से उसका व्युत्क्रम \(\dfrac{a^3}{b^4}\) हो जाता है। परीक्षा में outer negative power अंत में लगाएं।
\(x^{5-(-1)}=x^6\) and \(y^{-2-3}=y^{-5}\), so the form is \(\dfrac{x^6}{y^5}\). In exams, simplify the exponent of each variable separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{x^6}{y^5},\). \(x^{5-(-1)}=x^6\) and \(y^{-2-3}=y^{-5}\), so the form is \(\dfrac{x^6}{y^5}\). In exams, simplify the exponent of each variable separately.
Step 3
Exam Tip
\(x^{5-(-1)}=x^6\) और \(y^{-2-3}=y^{-5}\), इसलिए रूप \(\dfrac{x^6}{y^5}\) है। परीक्षा में हर variable का exponent अलग-अलग simplify करें।
In division, \(a^{2-(-1)}=a^3\) and \(b^{-3-1}=b^{-4}\), so the answer is \(\dfrac{a^3}{b^4}\). In exams, subtract exponents of like variables separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{a^3}{b^4},\). In division, \(a^{2-(-1)}=a^3\) and \(b^{-3-1}=b^{-4}\), so the answer is \(\dfrac{a^3}{b^4}\). In exams, subtract exponents of like variables separately.
Step 3
Exam Tip
भाग में \(a^{2-(-1)}=a^3\) और \(b^{-3-1}=b^{-4}\), इसलिए उत्तर \(\dfrac{a^3}{b^4}\) है। परीक्षा में समान variables के exponents अलग-अलग घटाएं।
(\(4x^{-2}\)^{-1}=4^{-1}x-2=\dfrac{x-2}{4}). In exams, apply the outside exponent to every factor of a product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{x^2}{4},\). (\(4x^{-2}\)^{-1}=4^{-1}x-2=\dfrac{x-2}{4}). In exams, apply the outside exponent to every factor of a product.
Step 3
Exam Tip
(\(4x^{-2}\)^{-1}=4^{-1}x-2=\dfrac{x-2}{4})। परीक्षा में product के हर factor पर बाहर की घात लगाएं।
\(\dfrac{x^2}{y^{-1}}=x^2y\), so the whole square is \(x^4y^2\). In exams, simplify a negative exponent by moving its position.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,x^4y^2,\). \(\dfrac{x^2}{y^{-1}}=x^2y\), so the whole square is \(x^4y^2\). In exams, simplify a negative exponent by moving its position.
Step 3
Exam Tip
\(\dfrac{x^2}{y^{-1}}=x^2y\), इसलिए पूरा वर्ग \(x^4y^2\) है। परीक्षा में ऋणात्मक घातांक को स्थान बदलकर सरल करें।
The outside power (-2) multiplies both exponents, so \(x^4y^{-6}=\dfrac{x^4}{y^6}\). In exams, apply the outside power to every factor inside the bracket.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{x^4}{y^6},\). The outside power (-2) multiplies both exponents, so \(x^4y^{-6}=\dfrac{x^4}{y^6}\). In exams, apply the outside power to every factor inside the bracket.
Step 3
Exam Tip
बाहर की घात (-2) दोनों घातांकों से गुणा होगी, इसलिए \(x^4y^{-6}=\dfrac{x^4}{y^6}\) है। परीक्षा में bracket के बाहर की घात को हर factor पर लगाएं।
A negative exponent gives \(a^{-3}=\frac{1}{a^3}\). The negative sign in the exponent does not make the base negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{1}{a^3}\). A negative exponent gives \(a^{-3}=\frac{1}{a^3}\). The negative sign in the exponent does not make the base negative.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक घात में \(a^{-3}=\frac{1}{a^3}\) होता है। घात का ऋण चिह्न आधार को ऋणात्मक नहीं बनाता।
\(x^3=7+5\sqrt{2}\) and \(3x=3+3\sqrt{2}\), so the difference is \(4+2\sqrt{2}\). In exams calculate powers step by step.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+2\sqrt{2}\). \(x^3=7+5\sqrt{2}\) and \(3x=3+3\sqrt{2}\), so the difference is \(4+2\sqrt{2}\). In exams calculate powers step by step.
Step 3
Exam Tip
\(x^3=7+5\sqrt{2}\) और \(3x=3+3\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(4+2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में घातों की गणना चरणों में करें।
The like (x) terms cancel and the value left is \(2\sqrt{2}\). In exams do not be confused by the type of number during algebraic simplification.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{2}\). The like (x) terms cancel and the value left is \(2\sqrt{2}\). In exams do not be confused by the type of number during algebraic simplification.
Step 3
Exam Tip
समान (x) पद कट जाते हैं और मान \(2\sqrt{2}\) बचता है। परीक्षा में बीजीय सरलीकरण में संख्या के प्रकार से भ्रमित न हों।
Here \(x^2=5+2\sqrt{6}\) and then (\(x^2-5\)2=24), so \(x^4-10x^2+1=0\). In exams a sum of two radicals may lead to a fourth-degree relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x^4-10x^2+1=0\). Here \(x^2=5+2\sqrt{6}\) and then (\(x^2-5\)2=24), so \(x^4-10x^2+1=0\). In exams a sum of two radicals may lead to a fourth-degree relation.
Step 3
Exam Tip
\(x^2=5+2\sqrt{6}\) और फिर (\(x^2-5\)2=24), इसलिए \(x^4-10x^2+1=0\) है। परीक्षा में दो वर्गमूलों के योग से कभी द्विघात नहीं बल्कि चतुर्थ घात संबंध भी बन सकता है।
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\), so the sum is \(2\sqrt{2}\). Rationalising the denominator is a quick exam method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{2}\). \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\), so the sum is \(2\sqrt{2}\). Rationalising the denominator is a quick exam method.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\), इसलिए योग \(2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में हर का परिमेयकरण तेज तरीका है।
A. दोनों पक्षों को (3) से भाग देकर \(q^2=3k^2\) पाना/Divide both sides by (3) to get \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
In \(9k^2=3q^2\), the common factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing by (3) gives \(3k^2=q^2\), that is \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Remove only valid common factors while simplifying. चरण 1: \(9k^2=3q^2\) में साझा गुणनखंड (3) है। चरण 2: (3) से भाग देने पर \(3k^2=q^2\), यानी \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में केवल वैध समान गुणनखंड हटाएँ।
This gives \(5\mid b^2\) and then \(5\mid b\). चरण 1: \(25k^2=5b^2\) में दोनों पक्षों को (5) से भाग दें। चरण 2: \(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\)। चरण 3: यही \(5\mid b^2\) और फिर \(5\mid b\) देता है।
D. \(q^2=2k^2\) होना चाहिए/It should be \(q^2=2k^2\)
Step 1
Concept
Substituting (p=2k) in \(p^2=2q^2\) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing both sides by (2) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Reduce factors carefully during algebraic simplification. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) बनता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: बीजगणितीय सरलीकरण में गुणक ठीक से घटाएँ।
A. \(4k^2=2q^2\) को (2) से सही तरह भाग नहीं दिया गया/\(4k^2=2q^2\) was not divided correctly by (2)
Step 1
Concept
Putting (p=2k) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing both sides by (2) gives \(2k^2=q^2\), that is \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
A simplification error can spoil the proof. चरण 1: (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(2k^2=q^2\), यानी \(q^2=2k^2\) मिलेगा। चरण 3: सरलीकरण की गलती प्रमाण को गलत बना देती है।
In \(25n^2=5y^2\), both sides can be divided by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(5n^2=y^2\), that is \(y^2=5n^2\).
Step 3
Exam Tip
While simplifying, remove only the common factor, not the whole (25). चरण 1: \(25n^2=5y^2\) में दोनों पक्ष (5) से भाग दिए जा सकते हैं। चरण 2: इससे \(5n^2=y^2\), अर्थात \(y^2=5n^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में (25) को पूरा नहीं हटाएँ, केवल समान गुणनखंड हटाएँ।
Squaring the coefficient correctly is necessary for the next conclusion. चरण 1: (a=3m) का वर्ग \(a^2=9m^2\) होगा। चरण 2: इसे \(a^2=3b^2\) में रखने पर \(9m^2=3b^2\) मिलता है। चरण 3: गुणांक का वर्ग सही रखना आगे के निष्कर्ष के लिए जरूरी है।
Multiplying both sides by \(y^2\) gives \(x^2=5y^2\).
Step 3
Exam Tip
Remember the condition \(y\neq0\) while removing the denominator. चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{x}{y}\) को वर्ग करने पर \(5=\frac{x^2}{y^2}\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को \(y^2\) से गुणा करने पर \(x^2=5y^2\) बनता है। चरण 3: हर हटाते समय \(y\neq0\) की शर्त ध्यान में रखें।
Reduce factors correctly during simplification. चरण 1: (p=5r) रखने पर \(25r^2=5q^2\) बनता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (5) से भाग देने पर \(q^2=5r^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में गुणक सही घटाएँ।
When squaring (p=3r), both (3) and (r) are squared.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (p-2=(3r)2=9r-2).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to square the coefficient, or the proof will go wrong. चरण 1: (p=3r) का वर्ग लेते समय (3) और (r) दोनों का वर्ग होगा। चरण 2: इसलिए (p-2=(3r)2=9r-2)। चरण 3: गुणांक का वर्ग न भूलें, नहीं तो आगे का प्रमाण गलत हो जाएगा।
This step completes the proof that (q) is even. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में (p=2r) रखें। चरण 2: \(4r^2=2q^2\), इसलिए \(q^2=2r^2\) मिलता है। चरण 3: इस कदम से (q) के सम होने का प्रमाण पूरा होता है।
Do not forget to square the coefficient; it leads to \(q^2=3k^2\) next. चरण 1: (p=3k) का वर्ग करने पर (p-2=(3k)2) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(p^2=9k^2\) होगा। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना न भूलें, यही आगे \(q^2=3k^2\) देता है।
Simplify algebra carefully, or the proof will break. चरण 1: (p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। चरण 2: \(25k^2=5q^2\), इसलिए \(q^2=5k^2\)। चरण 3: बीजगणितीय सरलीकरण ध्यान से करें, वरना प्रमाण टूट जाता है।
A. वर्ग समीकरण से गलत मूल समीकरण निकालना/Incorrectly deriving a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
(a=2b) does not directly follow from \(a^2=2b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is that \(a^2\) is even and (a) is even.
Step 3
Exam Tip
Do not hastily make a root-level equation from a squared equation. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। चरण 2: सही निष्कर्ष है कि \(a^2\) सम है और (a) सम है। चरण 3: वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न बनाएं।
C. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
Step 1
Concept
Squaring (p=3k) gives ((3k)2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct value is \(9k^2\), not \(3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Square the whole expression. चरण 1: (p=3k) को वर्ग करने पर ((3k)2) मिलेगा। चरण 2: सही मान \(9k^2\) है, \(3k^2\) नहीं। चरण 3: वर्ग करते समय पूरी राशि का वर्ग करें।
C. (p=5k) से \(p^2=5k^2\)/From (p=5k), \(p^2=5k^2\)
Step 1
Concept
The square of (p=5k) is ((5k)2).
Step 2
Why this answer is correct
((5k)2=25k-2), so writing \(5k^2\) is wrong.
Step 3
Exam Tip
Never forget to square the coefficient. चरण 1: (p=5k) का वर्ग ((5k)2) होगा। चरण 2: ((5k)2=25k-2), इसलिए \(5k^2\) लिखना गलत है। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना कभी न भूलें।
Do not write ((3k)2) as \(3k^2\). चरण 1: (p=3k) का वर्ग करने पर \(p^2=9k^2\) मिलता है। चरण 2: इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\) होगा। चरण 3: ((3k)2) को \(3k^2\) न लिखें।
A. वर्ग समीकरण से मूल समीकरण गलत तरीके से निकालना/Incorrectly taking a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
(p=5q) does not directly follow from \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is that \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Do not hastily derive a root-level equation from a squared equation. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q) नहीं मिलता। चरण 2: सही निष्कर्ष है कि \(p^2\) (5) से विभाज्य है और फिर (p) (5) से विभाज्य है। चरण 3: वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न निकालें।
A. (p=5k) से \(p^2=5k^2\) लिखना/Writing \(p^2=5k^2\) from (p=5k)
Step 1
Concept
Squaring (p=5k) gives ((5k)2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct value is \(25k^2\), not \(5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Forgetting to square the coefficient can be a major proof error. चरण 1: (p=5k) का वर्ग करने पर ((5k)2) मिलता है। चरण 2: सही मान \(25k^2\) है, \(5k^2\) नहीं। चरण 3: गुणांक का वर्ग भूलना प्रमाण में बड़ी गलती बन सकता है।
Always remember to square the coefficient. चरण 1: (p=3k) है, इसलिए (p-2=(3k)2)। चरण 2: ((3k)2=9k-2), अतः \(9k^2=3q^2\) मिलेगा। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना हमेशा याद रखें।
The coefficient (3) must also be squared to (9). चरण 1: (p=3k) दिया है। चरण 2: वर्ग करने पर (p-2=(3k)2=9k-2)। चरण 3: गुणांक (3) का भी वर्ग (9) करना जरूरी है।
Writing ((2k)2) as \(2k^2\) is a common mistake. चरण 1: (p=2k) होने पर (p-2=(2k)2=4k-2)। चरण 2: इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। चरण 3: ((2k)2) को \(2k^2\) लिखना सामान्य गलती है।
Writing ((5k)2) as \(5k^2\) is a mistake. चरण 1: (m=5k) रखने पर \(m^2=25k^2\) होगा। चरण 2: इसलिए \(m^2=5n^2\) में \(25k^2=5n^2\) मिलेगा। चरण 3: ((5k)2) को \(5k^2\) लिखना गलती है।
Do not forget to square the coefficient. चरण 1: (p=2r) है, इसलिए (p-2=(2r)2=4r-2)। चरण 2: इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4r^2=2q^2\) मिलता है। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना न भूलें।
Do this algebraic step carefully in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (p=5k) को वर्ग करें। चरण 2: ((5k)2=25k-2), इसलिए \(p^2=25k^2\)। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह बीजगणितीय चरण बहुत ध्यान से करें।
Then conclude that (b) is divisible by (3). चरण 1: \(9k^2=3b^2\) में दोनों ओर (3) से भाग करें। चरण 2: \(3k^2=b^2\) मिलेगा, यानी \(b^2=3k^2\)। चरण 3: फिर (b) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लें।
A small algebra mistake can spoil the whole proof. चरण 1: (a=5k) लिखते हैं। चरण 2: वर्ग करने पर (a-2=(5k)2=25k-2)। चरण 3: छोटे बीजगणितीय कदमों में गलती से पूरा प्रमाण बिगड़ सकता है।
Do not forget to square the coefficient also. चरण 1: (a=2k) दिया है। चरण 2: वर्ग करने पर (a-2=(2k)2=4k-2) मिलता है। चरण 3: गुणांक का भी वर्ग करना न भूलें।
Writing ((2k)2) as \(2k^2\) is a common mistake. चरण 1: (p=2k) है। चरण 2: दोनों ओर वर्ग करने पर (p-2=(2k)2=4k-2)। चरण 3: ((2k)2) को \(2k^2\) लिखना आम गलती है।
Do this simplification carefully in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (p=5k) दिया है। चरण 2: वर्ग करने पर (p-2=(5k)2=25k-2)। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह सरलीकरण ध्यान से करें।
The product is (\sqrt{7}\(\sqrt{7}+4\)=7+4\sqrt{7}).
Step 3
Exam Tip
Before applying an identity directly, substitute the given value of (x) carefully. चरण 1: ((x-2)=\sqrt{7}) और ((x+2)=\sqrt{7}+4)। चरण 2: गुणन (\sqrt{7}\(\sqrt{7}+4\)=7+4\sqrt{7}) है। चरण 3: सीधे सूत्र लगाने से पहले (x) का दिया हुआ मान ध्यान से रखें।
Using the identity \(x^2+\frac{1}{x^2}=10\), we get \(x^4-10x^2+1=0\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, recognize the relation between (x) and its conjugate reciprocal. चरण 1: \(x^2=5+2\sqrt{6}\) है। चरण 2: \(x^2+\frac{1}{x^2}=10\) की पहचान से \(x^4-10x^2+1=0\) मिलता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में (x) और उसके संयुग्मी व्युत्क्रम का संबंध पहचानें।
\(a-2=\sqrt{5}-1\), so (a(a-2)=\(1+\sqrt{5}\)\(\sqrt{5}-1\)=4).
Step 3
Exam Tip
Recognizing the hidden conjugate form is a quick method. चरण 1: (a-2-2a=a(a-2)) है। चरण 2: \(a-2=\sqrt{5}-1\), इसलिए (a(a-2)=\(1+\sqrt{5}\)\(\sqrt{5}-1\)=4)। चरण 3: छिपे हुए संयुग्मी रूप को पहचानना तेज तरीका है।
Therefore (x-4=\(x^2\)2=4), and the value is (4-8+4=0).
Step 3
Exam Tip
For powers of a surd, first find \(x^2\). चरण 1: \(x^2=2\) है। चरण 2: इसलिए (x-4=\(x^2\)2=4), और मान (4-8+4=0) है। चरण 3: मूल वाली संख्या पर घात लगाते समय पहले \(x^2\) निकालें।
Simplify the inner expression first, then square it. चरण 1: \(x+1=\sqrt{3}\) है। चरण 2: इसलिए ((x+1)2=\(\sqrt{3}\)2=3)। चरण 3: पहले भीतर के पद को सरल करें, फिर वर्ग करें।
Forgetting the middle term (2ab) is a common mistake. चरण 1: ((a+b)2=a-2+2ab+b-2) लगाएं। चरण 2: (\(\sqrt{11}\)2+2\sqrt{11}\times2+22=11+4\sqrt{11}+4=15+4\sqrt{11})। चरण 3: मध्य पद (2ab) को भूलना सामान्य गलती है।
Forgetting the middle term (2ab) is a common mistake. चरण 1: ((a+b)2=a-2+2ab+b-2) लगाएं। चरण 2: (\(\sqrt{7}\)2+2\sqrt{7}\times1+12=7+2\sqrt{7}+1=8+2\sqrt{7})। चरण 3: मध्य पद (2ab) को भूलना सामान्य गलती है।
Missing the middle term (2ab) is a common mistake. चरण 1: ((a+b)2=a-2+2ab+b-2) लगाएं। चरण 2: (\(\sqrt{5}\)2+2\(\sqrt{5}\)(2)+22=5+4\sqrt{5}+4=9+4\sqrt{5})। चरण 3: मध्य पद (2ab) को छोड़ना सामान्य गलती है।
To find the unknown divisor, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (93=5b+8)। चरण 2: (85=5b), इसलिए (b=17)। चरण 3: अज्ञात भाजक निकालने से पहले शेषफल घटाएं।
Finding the remainder of the large added part separately is an easy method. चरण 1: (27) को (11) से बाँटें। चरण 2: \(27=11 \times 2+5\), इसलिए (11q+27=11(q+2)+5)। चरण 3: बड़े जोड़े गए भाग का अलग से शेषफल निकालना सरल तरीका है।
To find the unknown divisor, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (97=8b+1)। चरण 2: (96=8b), इसलिए (b=12)। चरण 3: अज्ञात भाजक निकालने से पहले शेषफल घटाना आसान तरीका है।
(9) cannot be the remainder because it is greater than (7).
Step 2
Why this answer is correct
(9=7+2), so (7q+9=7(q+1)+2).
Step 3
Exam Tip
A large remainder must be converted into the correct range. चरण 1: (9) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि वह (7) से बड़ा है। चरण 2: (9=7+2), इसलिए (7q+9=7(q+1)+2)। चरण 3: बड़े शेषफल को सही सीमा में बदलना जरूरी है।
To find the unknown divisor, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (82=6b+4)। चरण 2: (82-4=78), इसलिए (6b=78) और (b=13)। चरण 3: अज्ञात भाजक निकालने से पहले शेषफल घटाएं।
If the leftover part is greater than the divisor, divide it again. चरण 1: शेषफल (9) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: (12=9+3), इसलिए (9q+12=9(q+1)+3)। चरण 3: यदि बचा भाग भाजक से बड़ा हो तो उसे फिर से बाँटें।
To find an unknown divisor, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (73=7b+3)। चरण 2: (70=7b), इसलिए (b=10)। चरण 3: अज्ञात भाजक निकालते समय पहले शेषफल घटाएं।
