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Mathematics Quiz - Class 10 Mathematics Real Numbers...

Question 1/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

दो धनात्मक पूर्णांकों 867 और 255 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेय लगाने पर भागफल और शेषफल क्रमशः क्या होंगे?

When Euclid’s division lemma is applied to the positive integers 867 and 255, what are the quotient and remainder respectively?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (q=3, r=102)

Step 1

Concept

बड़े अंक को छोटे अंक से विभाजित करें। / Divide the larger number by the smaller number.

Step 2

Why this answer is correct

\(867=255\times3+102\) और (102<255), इसलिए भागफल 3 और शेषफल 102 है। / \(867=255\times3+102\), and (102<255), so the quotient is 3 and the remainder is 102.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में हमेशा जांचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो। / In exams, always check that the remainder is smaller than the divisor.

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Question 2/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि किसी संख्या को 37 से भाग देने पर भागफल 18 मिलता है, तो अधिकतम संभव संख्या क्या होगी?

If a number is divided by 37 and the quotient is 18, what is the greatest possible number?

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Correct Answer

B. 703

Step 1

Concept

यूक्लिड प्रमेय से संख्या \(=37\times18+r\), जहाँ \(0\le r<37\)। / By the division lemma, number \(=37\times18+r\), where \(0\le r<37\).

Step 2

Why this answer is correct

अधिकतम संख्या के लिए शेषफल 36 होगा, इसलिए संख्या (666+36=702) नहीं, बल्कि \(37\times18=666\) और (666+36=702)। / The greatest remainder is 36, so the number is (666+36=702).

Step 3

Exam Tip

अधिकतम शेषफल हमेशा भाजक से 1 कम होता है। / The greatest remainder is always one less than the divisor.

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Question 3/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

किसी संख्या को 49 से भाग देने पर शेषफल 52 लिखा गया है। यह कथन क्यों गलत है?

A number divided by 49 is said to leave remainder 52. Why is this statement incorrect?

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Correct Answer

A. क्योंकि शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिएBecause the remainder must be less than the divisor

Step 1

Concept

यूक्लिड विभाजन प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। / In Euclid’s division lemma, \(0\le r<b\).

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ भाजक 49 है, इसलिए शेषफल 0 से 48 तक ही हो सकता है। / Here the divisor is 49, so the remainder can only be from 0 to 48.

Step 3

Exam Tip

शेषफल भाजक के बराबर या उससे बड़ा दिखे तो उत्तर तुरंत गलत मानें। / If the remainder is equal to or greater than the divisor, reject it immediately.

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Question 4/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (a=17q+16) है, तो (a) को 17 से भाग देने पर संभावित शेषफल क्या होगा?

If (a=17q+16), what is the possible remainder when (a) is divided by 17?

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Correct Answer

B. 16

Step 1

Concept

मानक रूप (a=bq+r) से तुलना करें। / Compare with the standard form (a=bq+r).

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ भाजक 17 है और शेषफल 16 है, जो 17 से छोटा है। / Here the divisor is 17 and the remainder is 16, which is less than 17.

Step 3

Exam Tip

शेषफल की वैधता देखने के लिए उसे भाजक से जरूर मिलाएं। / Always compare the remainder with the divisor to check validity.

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Question 5/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

धनात्मक पूर्णांक 431 को 19 के रूप में लिखने का सही यूक्लिडीय रूप कौन सा है?

Which is the correct Euclidean form of writing 431 in terms of 19?

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Correct Answer

A. \(431=19\times22+13\)

Step 1

Concept

यूक्लिड रूप में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता और भाजक से छोटा होता है। / In Euclidean form, the remainder is non-negative and smaller than the divisor.

Step 2

Why this answer is correct

\(19\times22=418\), इसलिए (431=418+13) और (13<19)। / \(19\times22=418\), so (431=418+13) and (13<19).

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिड रूप नहीं माना जाता। / A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form.

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Question 6/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

एक संख्या 12 से भाग देने पर केवल कौन से शेषफल दे सकती है?

Which remainders can a number have when divided by 12?

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Correct Answer

B. केवल 0 से 11 तकOnly from 0 to 11

Step 1

Concept

यूक्लिड प्रमेय कहता है कि \(0\le r<b\)। / Euclid’s lemma says \(0\le r<b\).

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ (b=12), इसलिए शेषफल 0 से 11 तक हो सकते हैं। / Here (b=12), so possible remainders are from 0 to 11.

Step 3

Exam Tip

शेषफल की सूची बनाते समय 0 को न भूलें। / Do not forget that 0 is also a possible remainder.

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Question 7/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (a) कोई विषम धनात्मक पूर्णांक है, तो यूक्लिड विभाजन प्रमेय से 2 के संदर्भ में उसका रूप क्या होगा?

If (a) is an odd positive integer, what is its form in terms of 2 using Euclid’s division lemma?

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Correct Answer

B. (a=2q+1)

Step 1

Concept

2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही हो सकता है। / When divided by 2, the remainder can only be 0 or 1.

Step 2

Why this answer is correct

विषम संख्या 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, इसलिए शेषफल 1 होगा और रूप (a=2q+1) बनेगा। / An odd number is not exactly divisible by 2, so the remainder is 1 and the form is (a=2q+1).

Step 3

Exam Tip

सम और विषम के सवालों में 2 को भाजक मानना उपयोगी रहता है। / For even-odd questions, take 2 as the divisor.

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Question 8/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (n=5q+3), तो (n) को 5 से भाग देने पर शेषफल क्या है?

If (n=5q+3), what is the remainder when (n) is divided by 5?

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Correct Answer

B. 3

Step 1

Concept

मानक रूप (n=5q+r) से मिलाएं। / Match it with (n=5q+r).

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ (r=3) है और (3<5), इसलिए यह वैध शेषफल है। / Here (r=3), and (3<5), so it is a valid remainder.

Step 3

Exam Tip

ऐसे सवालों में गुणा वाले पद को भागफल वाला भाग मानें। / In such questions, treat the multiple part as the quotient part.

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Question 9/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यूक्लिड विभाजन प्रमेय में किसी धनात्मक पूर्णांक (b) के लिए शेषफल पर सही शर्त कौन सी है?

In Euclid’s division lemma, which condition on the remainder is correct for a positive integer (b)?

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Correct Answer

B. \(0\le r<b\)

Step 1

Concept

प्रमेय का मुख्य नियम है (a=bq+r)। / The main rule is (a=bq+r).

Step 2

Why this answer is correct

शेषफल के लिए सही सीमा \(0\le r<b\) होती है, क्योंकि शेषफल शून्य भी हो सकता है। / The correct condition is \(0\le r<b\), because the remainder can also be zero.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में (0<r) देखकर सावधान रहें, क्योंकि वह शून्य शेषफल को छोड़ देता है। / Be careful with (0<r), because it excludes exact division.

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Question 10/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

कौन सा कथन यूक्लिड विभाजन प्रमेय की अद्वितीयता को सबसे सही बताता है?

Which statement best describes the uniqueness part of Euclid’s division lemma?

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Correct Answer

B. निर्धारित (a,b) के लिए वैध भागफल और शेषफल केवल एक ही जोड़ी होती हैFor fixed (a,b), the valid quotient and remainder form only one pair

Step 1

Concept

प्रमेय केवल अस्तित्व नहीं, अद्वितीयता भी बताता है। / The lemma gives existence as well as uniqueness.

Step 2

Why this answer is correct

निर्धारित (a) और (b) के लिए (q) और (r) की एक ही वैध जोड़ी होती है। / For fixed (a) and (b), only one valid pair (q,r) satisfies the condition.

Step 3

Exam Tip

कई रूप लिखे जा सकते हैं, पर वैध शेषफल की शर्त पूरी करने वाला रूप ही सही है। / Many algebraic forms may be written, but only the form with a valid remainder is correct.

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Question 11/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

314 को 27 से विभाजित करने पर यूक्लिडीय भागफल और शेषफल क्या होंगे?

What are the Euclidean quotient and remainder when 314 is divided by 27?

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Correct Answer

A. (q=11, r=17)

Step 1

Concept

\(27\times11=297\) और \(27\times12=324\) है। / \(27\times11=297\) and \(27\times12=324\).

Step 2

Why this answer is correct

314 से कम सबसे बड़ा गुणज 297 है, इसलिए शेषफल 17 है। / The greatest multiple not exceeding 314 is 297, so the remainder is 17.

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक शेषफल या भाजक से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें। / Do not accept a negative remainder or a remainder greater than the divisor.

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Question 12/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि किसी संख्या को 23 से भाग देने पर शेषफल 0 है, तो संख्या किस रूप की होगी?

If a number leaves remainder 0 when divided by 23, what is its form?

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Correct Answer

B. (23q)

Step 1

Concept

यूक्लिड रूप (a=bq+r) है। / The Euclidean form is (a=bq+r).

Step 2

Why this answer is correct

यदि शेषफल 0 है, तो (a=23q+0=23q) होगा। / If the remainder is 0, then (a=23q+0=23q).

Step 3

Exam Tip

शेषफल 0 होने का अर्थ है कि संख्या भाजक से पूर्णतः विभाजित है। / Remainder 0 means the number is exactly divisible by the divisor.

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Question 13/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

किस विकल्प में 98 को 15 से भाग देने का वैध यूक्लिडीय रूप दिया गया है?

Which option gives the valid Euclidean form of dividing 98 by 15?

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Correct Answer

B. \(98=15\times6+8\)

Step 1

Concept

वैध रूप में शेषफल 0 से 14 के बीच होना चाहिए। / In a valid form, the remainder must be from 0 to 14.

Step 2

Why this answer is correct

\(15\times6=90\), इसलिए (98=90+8) और 8 वैध शेषफल है। / \(15\times6=90\), so (98=90+8), and 8 is valid.

Step 3

Exam Tip

गणना के साथ शेषफल की सीमा भी जांचें। / Check both the calculation and the remainder limit.

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Question 14/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (a=9q+r), तो (r) के कितने संभव मान हो सकते हैं?

If (a=9q+r), how many possible values can (r) have?

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Correct Answer

B. 9

Step 1

Concept

शेषफल के लिए \(0\le r<9\) होगा। / The remainder must satisfy \(0\le r<9\).

Step 2

Why this answer is correct

संभव मान 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 हैं, कुल 9 मान। / The possible values are 0 through 8, so there are 9 values.

Step 3

Exam Tip

संभव शेषफलों की संख्या हमेशा भाजक के बराबर होती है। / The number of possible remainders is equal to the divisor.

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Question 15/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि 1000 को 64 से भाग दिया जाए, तो शेषफल क्या होगा?

If 1000 is divided by 64, what is the remainder?

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Correct Answer

B. 40

Step 1

Concept

64 के गुणज देखें: \(64\times15=960\)। / Check multiples of 64: \(64\times15=960\).

Step 2

Why this answer is correct

(1000-960=40), इसलिए शेषफल 40 है। / (1000-960=40), so the remainder is 40.

Step 3

Exam Tip

बड़े अंकों में निकटतम छोटे गुणज तक पहुंचना तेज तरीका है। / For large numbers, reaching the nearest lower multiple is a fast method.

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Question 16/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

धनात्मक पूर्णांक को 4 से भाग देने पर कौन सा रूप असंभव है?

Which form is impossible when a positive integer is divided by 4?

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Correct Answer

D. (4q+4)

Step 1

Concept

4 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3 में से होगा। / When divided by 4, the remainder can be 0, 1, 2, or 3.

Step 2

Why this answer is correct

(4q+4) में शेषफल 4 है, जो भाजक के बराबर है, इसलिए यह मानक रूप नहीं है। / In (4q+4), the remainder is 4, equal to the divisor, so it is not a standard form.

Step 3

Exam Tip

शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता। / A remainder is never equal to the divisor.

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Question 17/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

एक संख्या (6q+5) के रूप में है। उसे 6 से भाग देने पर उसके वर्ग का शेषफल क्या होगा?

A number is of the form (6q+5). What will be the remainder of its square when divided by 6?

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Correct Answer

A. 1

Step 1

Concept

संख्या का शेषफल 5 है, इसलिए वर्ग का शेषफल \(5^2=25\) को 6 से भाग देकर मिलेगा। / The number has remainder 5, so the square has the same remainder as \(5^2=25\) divided by 6.

Step 2

Why this answer is correct

\(25=6\times4+1\), इसलिए शेषफल 1 है। / \(25=6\times4+1\), so the remainder is 1.

Step 3

Exam Tip

वर्ग वाले सवालों में पहले छोटे शेषफल का वर्ग लें। / In square questions, first square the smaller remainder.

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Question 18/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि कोई संख्या 7 से भाग देने पर शेषफल 6 देती है, तो उस संख्या में 1 जोड़ने पर 7 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 6 when divided by 7, what is the remainder when 1 is added to it and then divided by 7?

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Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

संख्या को (7q+6) लिखें। / Write the number as (7q+6).

Step 2

Why this answer is correct

1 जोड़ने पर (7q+7=7(q+1)), इसलिए शेषफल 0 होगा। / Adding 1 gives (7q+7=7(q+1)), so the remainder is 0.

Step 3

Exam Tip

शेषफल भाजक से 1 कम हो और 1 जोड़ा जाए, तो संख्या पूर्णतः विभाजित हो जाती है। / If the remainder is one less than the divisor and 1 is added, divisibility becomes exact.

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Question 19/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

किसी संख्या को 8 से भाग देने पर शेषफल 5 है। उसी संख्या में 11 जोड़ने पर 8 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

A number leaves remainder 5 when divided by 8. What is the remainder when 11 is added to the number and it is divided by 8?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

संख्या (8q+5) है। / The number is (8q+5).

Step 2

Why this answer is correct

11 जोड़ने पर (8q+16=8(q+2)), इसलिए शेषफल 0 है। / Adding 11 gives (8q+16=8(q+2)), so the remainder is 0.

Step 3

Exam Tip

जोड़ी गई संख्या को भी भाजक से भाग देकर शेषफल के साथ मिलाएं। / Reduce the added number by the divisor and combine remainders.

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Question 20/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (a=13q+9), तो (a+20) को 13 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=13q+9), what is the remainder when (a+20) is divided by 13?

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Correct Answer

A. 3

Step 1

Concept

(a) का शेषफल 9 है। / The remainder of (a) is 9.

Step 2

Why this answer is correct

20 जोड़ने पर कुल शेषफल (9+20=29), और \(29=13\times2+3\)। / Adding 20 gives total remainder (9+20=29), and \(29=13\times2+3\).

Step 3

Exam Tip

नया शेषफल निकालते समय कुल शेषफल को फिर से भाजक से घटाएं। / When the total remainder exceeds the divisor, reduce it again.

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Question 21/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (x) को 10 से भाग देने पर शेषफल 7 है, तो (3x) को 10 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (x) leaves remainder 7 when divided by 10, what is the remainder when (3x) is divided by 10?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 1

Step 1

Concept

(x=10q+7) लिखें। / Write (x=10q+7).

Step 2

Why this answer is correct

(3x=30q+21=10(3q+2)+1), इसलिए शेषफल 1 है। / (3x=30q+21=10(3q+2)+1), so the remainder is 1.

Step 3

Exam Tip

गुणा के सवालों में शेषफल को गुणा करके फिर भाजक से घटाएं। / In multiplication questions, multiply the remainder and reduce it by the divisor.

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Question 22/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि एक संख्या 11 से भाग देने पर शेषफल 8 देती है, तो उसकी दुगुनी संख्या 11 से भाग देने पर क्या शेषफल देगी?

If a number leaves remainder 8 when divided by 11, what remainder will twice the number leave when divided by 11?

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Correct Answer

A. 5

Step 1

Concept

संख्या (11q+8) मानें। / Let the number be (11q+8).

Step 2

Why this answer is correct

दुगुनी संख्या (22q+16=11(2q+1)+5), इसलिए शेषफल 5 होगा। / Twice the number is (22q+16=11(2q+1)+5), so the remainder is 5.

Step 3

Exam Tip

अंतिम शेषफल हमेशा 11 से छोटा होना चाहिए। / The final remainder must always be less than 11.

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Question 23/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

कौन सा विकल्प (a=5q+r) में (r) का वैध मान नहीं हो सकता?

Which option cannot be a valid value of (r) in (a=5q+r)?

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Correct Answer

D. 5

Step 1

Concept

(a=5q+r) में शेषफल की सीमा \(0\le r<5\) है। / In (a=5q+r), the remainder must satisfy \(0\le r<5\).

Step 2

Why this answer is correct

5 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। / 5 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.

Step 3

Exam Tip

वैध शेषफल 0 से शुरू होता है और भाजक से एक कम पर खत्म होता है। / Valid remainders start from 0 and end at one less than the divisor.

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Question 24/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (p) को 6 से भाग देने पर शेषफल 4 है, तो \(p^2\) को 6 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (p) leaves remainder 4 when divided by 6, what is the remainder when \(p^2\) is divided by 6?

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Correct Answer

C. 4

Step 1

Concept

(p=6q+4) मानें। / Let (p=6q+4).

Step 2

Why this answer is correct

\(p^2\) का शेषफल \(4^2=16\) को 6 से भाग देने पर मिलेगा, और \(16=6\times2+4\)। / The remainder of \(p^2\) is the remainder of \(4^2=16\) divided by 6, and \(16=6\times2+4\).

Step 3

Exam Tip

घात वाले सवालों में पूरे अंक की जगह शेषफल पर काम करें। / In power-based questions, work with the remainder instead of the whole number.

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Question 25/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

तीन लगातार पूर्णांकों में से किसी एक का रूप (3q) क्यों माना जा सकता है?

Why can one of three consecutive integers be taken as of the form (3q)?

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Correct Answer

A. क्योंकि 3 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2 में से एक होता हैBecause division by 3 gives one of the remainders 0, 1, 2

Step 1

Concept

3 से भाग देने पर हर संख्या (3q), (3q+1), या (3q+2) रूप में होगी। / On division by 3, every integer is of the form (3q), (3q+1), or (3q+2).

Step 2

Why this answer is correct

तीन लगातार संख्याओं में ये तीनों शेषफल आते हैं, इसलिए एक संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित होगी। / Three consecutive integers cover these three remainders, so one is exactly divisible by 3.

Step 3

Exam Tip

लगातार संख्याओं में शेषफल चक्र का उपयोग करें। / Use the cycle of remainders for consecutive-number problems.

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Question 26/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (m=4q+3), तो (m+1) किस रूप में लिखा जा सकता है?

If (m=4q+3), in which form can (m+1) be written?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (4(q+1))

Step 1

Concept

(m=4q+3) में 1 जोड़ें। / Add 1 to (m=4q+3).

Step 2

Why this answer is correct

(m+1=4q+4=4(q+1)), इसलिए यह 4 से विभाज्य है। / (m+1=4q+4=4(q+1)), so it is divisible by 4.

Step 3

Exam Tip

शेषफल 3 में 1 जोड़ने पर अगला पूरा गुणज बनता है। / When the remainder 3 gets 1 added, it reaches the next multiple of 4.

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Question 27/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

किस संख्या को 18 से भाग देने पर भागफल 24 और शेषफल 17 मिलेगा?

Which number gives quotient 24 and remainder 17 when divided by 18?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 449

Step 1

Concept

संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। / Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.

Step 2

Why this answer is correct

\(18\times24+17=432+17=449\)। / \(18\times24+17=432+17=449\).

Step 3

Exam Tip

अंतिम जांच करें कि शेषफल 17, भाजक 18 से छोटा है। / Finally check that remainder 17 is less than divisor 18.

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Question 28/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि एक संख्या 21 से भाग देने पर भागफल 31 देती है, तो उस संख्या का सबसे छोटा संभव मान क्या होगा?

If a number gives quotient 31 when divided by 21, what is the least possible value of that number?

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Correct Answer

B. 651

Step 1

Concept

संख्या \(=21\times31+r\), जहाँ \(0\le r<21\)। / Number \(=21\times31+r\), where \(0\le r<21\).

Step 2

Why this answer is correct

सबसे छोटे मान के लिए (r=0), इसलिए संख्या \(21\times31=651\) है। / For the least value, take (r=0), so the number is \(21\times31=651\).

Step 3

Exam Tip

सबसे छोटा मान निकालते समय शेषफल शून्य लें। / For the least possible number, use remainder zero.

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Question 29/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि एक संख्या 21 से भाग देने पर भागफल 31 देती है, तो उस संख्या का सबसे बड़ा संभव मान क्या होगा?

If a number gives quotient 31 when divided by 21, what is the greatest possible value of that number?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 671

Step 1

Concept

संख्या \(21\times31+r\) होगी। / The number is \(21\times31+r\).

Step 2

Why this answer is correct

(r) का सबसे बड़ा मान 20 है, इसलिए संख्या (651+20=671) होगी। / The greatest value of (r) is 20, so the number is (651+20=671).

Step 3

Exam Tip

ऐसे सवालों में अधिकतम शेषफल हमेशा भाजक से एक कम लें। / In such questions, take the maximum remainder as one less than the divisor.

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Question 30/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक हैं और (a=bq+r), तो कौन सा विकल्प प्रमेय को पूरा करता है?

If (a) and (b) are positive integers and (a=bq+r), which option satisfies the lemma?

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Correct Answer

B. (q) पूर्णांक और \(0\le r<b\)(q) integer and \(0\le r<b\)

Step 1

Concept

प्रमेय में (q) पूर्णांक हो सकता है और (r) शेषफल होता है। / In the lemma, (q) is an integer and (r) is the remainder.

Step 2

Why this answer is correct

शेषफल की मुख्य शर्त \(0\le r<b\) है। / The key condition is \(0\le r<b\).

Step 3

Exam Tip

परिभाषा आधारित प्रश्नों में शेषफल की सीमा सबसे महत्वपूर्ण संकेत है। / In definition-based questions, the remainder condition is the most important clue.

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Question 31/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

किसी धनात्मक पूर्णांक को 3 से भाग देने पर उसके वर्ग का शेषफल केवल कौन से हो सकते हैं?

When a positive integer is divided by 3, what remainders can its square have?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. केवल 0 और 1Only 0 and 1

Step 1

Concept

संख्या को (3q), (3q+1), (3q+2) माना जा सकता है। / A number can be (3q), (3q+1), or (3q+2).

Step 2

Why this answer is correct

इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1 और \(2^2=4\) से 1 होंगे। / The square remainders are 0, 1, and the remainder of \(2^2=4\), which is 1.

Step 3

Exam Tip

वर्गों में शेषफल 2 नहीं आता, यह महत्वपूर्ण परीक्षा बिंदु है। / For squares modulo 3, remainder 2 never appears.

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Question 32/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

किसी पूर्णांक को 5 से भाग देने पर कौन सा शेषफल संभव नहीं है?

Which remainder is not possible when an integer is divided by 5?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. 6

Step 1

Concept

5 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 में से होगा। / On division by 5, the remainder can be 0, 1, 2, 3, or 4.

Step 2

Why this answer is correct

6 भाजक 5 से बड़ा है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। / 6 is greater than divisor 5, so it cannot be a remainder.

Step 3

Exam Tip

विकल्पों में पहले वही हटाएं जो भाजक से बड़ा या बराबर हो। / First eliminate options equal to or greater than the divisor.

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Question 33/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (N=12k+11), तो (N+25) को 12 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (N=12k+11), what is the remainder when (N+25) is divided by 12?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

(N) का शेषफल 11 है। / The remainder of (N) is 11.

Step 2

Why this answer is correct

(25) को 12 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (11+1=12), जो 0 बन जाता है। / The remainder of 25 on division by 12 is 1, so total remainder (11+1=12), which becomes 0.

Step 3

Exam Tip

जोड़ में दोनों शेषफल जोड़कर फिर भाजक से घटाएं। / In addition, add the remainders and then reduce by the divisor.

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Question 34/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (y) को 9 से भाग देने पर शेषफल 2 है, तो (5y+4) को 9 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (y) leaves remainder 2 when divided by 9, what is the remainder when (5y+4) is divided by 9?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 5

Step 1

Concept

(y=9q+2) मानें। / Let (y=9q+2).

Step 2

Why this answer is correct

(5y+4=45q+10+4=45q+14=9(5q+1)+5)। / (5y+4=45q+10+4=45q+14=9(5q+1)+5).

Step 3

Exam Tip

रैखिक रूप में पहले शेषफल रखें, फिर सरल करें। / For a linear expression, replace the number by its remainder and simplify.

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Question 35/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि कोई संख्या 14 से भाग देने पर शेषफल 13 देती है, तो उस संख्या से 2 घटाने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 13 when divided by 14, what is the remainder when 2 is subtracted from it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 11

Step 1

Concept

संख्या (14q+13) है। / The number is (14q+13).

Step 2

Why this answer is correct

2 घटाने पर (14q+11), इसलिए शेषफल 11 है। / Subtracting 2 gives (14q+11), so the remainder is 11.

Step 3

Exam Tip

घटाव में यदि शेषफल ऋणात्मक न हो तो सीधे घटा सकते हैं। / In subtraction, if the remainder does not become negative, subtract directly.

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Question 36/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (z) को 8 से भाग देने पर शेषफल 1 है, तो \(z^3\) को 8 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (z) leaves remainder 1 when divided by 8, what is the remainder when \(z^3\) is divided by 8?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

(z=8q+1) मानें। / Let (z=8q+1).

Step 2

Why this answer is correct

घात में शेषफल का उपयोग करें: \(1^3=1\), इसलिए 8 से भाग देने पर शेषफल 1 ही रहेगा। / Use the remainder in the power: \(1^3=1\), so the remainder on division by 8 is still 1.

Step 3

Exam Tip

घात वाले प्रश्नों में पूरा विस्तार करने की जरूरत नहीं होती। / For powers, you do not need to expand the whole expression.

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Question 37/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि किसी संख्या को 16 से भाग देने पर शेषफल 15 है, तो उस संख्या के वर्ग को 16 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 15 when divided by 16, what is the remainder when its square is divided by 16?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 1

Step 1

Concept

संख्या को (16q+15) मानें। / Let the number be (16q+15).

Step 2

Why this answer is correct

वर्ग का शेषफल \(15^2=225\) को 16 से भाग देने पर मिलेगा। \(225=16\times14+1\)। / The square remainder is obtained from \(15^2=225\) divided by 16. \(225=16\times14+1\).

Step 3

Exam Tip

(b-1) शेषफल का वर्ग अक्सर 1 शेषफल देता है। / The square of a remainder (b-1) often gives remainder 1.

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Question 38/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

कौन सा रूप 7 से भाग देने पर संख्या के सभी संभावित रूपों की पूरी सूची देता है?

Which option gives the complete list of possible forms of a number when divided by 7?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. \(7q,7q+1,\ldots,7q+6\)

Step 1

Concept

7 से भाग देने पर शेषफल 0 से 6 तक हो सकता है। / On division by 7, remainders can be from 0 to 6.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए रूप (7q) से (7q+6) तक होंगे। / So the forms are from (7q) to (7q+6).

Step 3

Exam Tip

पूर्ण सूची में 0 शेषफल शामिल करें और 7 शेषफल न लें। / Include remainder 0 and do not include remainder 7 in the complete list.

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Question 39/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (a=20q+19), तो (a+1) का 20 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=20q+19), what is the remainder when (a+1) is divided by 20?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

(a) का शेषफल 19 है। / The remainder of (a) is 19.

Step 2

Why this answer is correct

1 जोड़ने पर (20q+20=20(q+1)), इसलिए शेषफल 0 है। / Adding 1 gives (20q+20=20(q+1)), so the remainder is 0.

Step 3

Exam Tip

भाजक से एक कम शेषफल में 1 जोड़ने पर अगला गुणज बनता है। / Adding 1 to a remainder one less than the divisor gives the next multiple.

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Question 40/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

किसी संख्या को 6 से भाग देने पर शेषफल 2 है। उसी संख्या के घन को 6 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

A number leaves remainder 2 when divided by 6. What is the remainder when its cube is divided by 6?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 2

Step 1

Concept

घन के लिए शेषफल \(2^3=8\) पर काम करें। / For the cube, work with the remainder \(2^3=8\).

Step 2

Why this answer is correct

\(8=6\times1+2\), इसलिए घन का शेषफल 2 है। / \(8=6\times1+2\), so the cube leaves remainder 2.

Step 3

Exam Tip

घातों में शेषफल को छोटा रखकर गणना करें। / In powers, keep the calculation small by using the remainder.

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Question 41/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (a=18q+5) और (b=18p+7), तो (a+b) को 18 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=18q+5) and (b=18p+7), what is the remainder when (a+b) is divided by 18?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 12

Step 1

Concept

दोनों संख्याओं के शेषफल 5 और 7 हैं। / The remainders of the two numbers are 5 and 7.

Step 2

Why this answer is correct

जोड़ने पर शेषफल (5+7=12) होगा, जो 18 से छोटा है। / Their sum gives remainder (5+7=12), which is less than 18.

Step 3

Exam Tip

योग का शेषफल निकालते समय पहले शेषफलों को जोड़ना आसान रहता है। / For a sum, adding the remainders first is easier.

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Question 42/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (a=18q+14) और (b=18p+11), तो (a+b) को 18 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=18q+14) and (b=18p+11), what is the remainder when (a+b) is divided by 18?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 7

Step 1

Concept

शेषफल 14 और 11 जोड़ें। / Add the remainders 14 and 11.

Step 2

Why this answer is correct

(14+11=25), और (25=18+7), इसलिए शेषफल 7 है। / (14+11=25), and (25=18+7), so the remainder is 7.

Step 3

Exam Tip

यदि शेषफलों का योग भाजक से बड़ा हो, तो फिर से घटाएं। / If the sum of remainders exceeds the divisor, reduce it again.

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Question 43/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (a=10q+3) और (b=10p+4), तो (ab) को 10 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=10q+3) and (b=10p+4), what is the remainder when (ab) is divided by 10?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 2

Step 1

Concept

गुणन में शेषफलों को गुणा करें। / In multiplication, multiply the remainders.

Step 2

Why this answer is correct

\(3\times4=12\), और 12 को 10 से भाग देने पर शेषफल 2 है। / \(3\times4=12\), and 12 leaves remainder 2 on division by 10.

Step 3

Exam Tip

गुणन वाले सवालों में पूरी संख्या की जगह शेषफल का गुणन करें। / For products, multiply the remainders instead of the whole numbers.

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Question 44/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि किसी संख्या को 13 से भाग देने पर शेषफल 12 है, तो उस संख्या की तिगुनी संख्या को 13 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 12 when divided by 13, what is the remainder when three times the number is divided by 13?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 10

Step 1

Concept

संख्या (13q+12) है। / The number is (13q+12).

Step 2

Why this answer is correct

तिगुनी संख्या में शेषफल \(3\times12=36\) होगा, और \(36=13\times2+10\)। / For three times the number, the remainder part is \(3\times12=36\), and \(36=13\times2+10\).

Step 3

Exam Tip

गुणन के बाद शेषफल को फिर से भाजक से कम करें। / After multiplication, reduce the remainder below the divisor.

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Question 45/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

किसी संख्या को 4 से भाग देने पर शेषफल 1 या 3 है। उसके वर्ग को 4 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

A number leaves remainder 1 or 3 when divided by 4. What will be the remainder when its square is divided by 4?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

संभावित शेषफल 1 और 3 हैं। / The possible remainders are 1 and 3.

Step 2

Why this answer is correct

\(1^2=1\) और \(3^2=9=4\times2+1\), इसलिए दोनों स्थितियों में शेषफल 1 है। / \(1^2=1\) and \(3^2=9=4\times2+1\), so the remainder is 1 in both cases.

Step 3

Exam Tip

विषम संख्या के वर्ग का 4 से शेषफल 1 होता है। / The square of an odd number leaves remainder 1 when divided by 4.

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Question 46/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

किसी संख्या को 5 से भाग देने पर शेषफल 4 है। उस संख्या के वर्ग को 5 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

A number leaves remainder 4 when divided by 5. What is the remainder when its square is divided by 5?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

वर्ग का शेषफल \(4^2=16\) को 5 से भाग देने पर मिलेगा। / The square remainder comes from dividing \(4^2=16\) by 5.

Step 2

Why this answer is correct

\(16=5\times3+1\), इसलिए शेषफल 1 है। / \(16=5\times3+1\), so the remainder is 1.

Step 3

Exam Tip

भाजक से एक कम शेषफल का वर्ग अक्सर 1 देता है। / A remainder one less than the divisor often gives square remainder 1.

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Question 47/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि (a) को 7 से भाग देने पर शेषफल 5 है, तो (a-9) को 7 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a) leaves remainder 5 when divided by 7, what is the remainder when (a-9) is divided by 7?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 3

Step 1

Concept

(a=7q+5) लिखें। / Write (a=7q+5).

Step 2

Why this answer is correct

(a-9=7q-4=7(q-1)+3), इसलिए शेषफल 3 है। / (a-9=7q-4=7(q-1)+3), so the remainder is 3.

Step 3

Exam Tip

घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़कर वैध शेषफल बनाएं। / If subtraction gives a negative remainder, add the divisor to make it valid.

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Question 48/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि कोई संख्या 9 से भाग देने पर शेषफल 8 देती है, तो उसमें 4 जोड़ने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 8 when divided by 9, what will be the remainder after adding 4 to it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 3

Step 1

Concept

संख्या (9q+8) है। / The number is (9q+8).

Step 2

Why this answer is correct

4 जोड़ने पर (9q+12=9(q+1)+3), इसलिए शेषफल 3 है। / Adding 4 gives (9q+12=9(q+1)+3), so the remainder is 3.

Step 3

Exam Tip

नया शेषफल भाजक से छोटा करने के लिए 9 घटाएं। / Reduce the new remainder below the divisor by subtracting 9.

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Question 49/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

728 को 45 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

What is the remainder when 728 is divided by 45?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 8

Step 1

Concept

45 का 728 से छोटा निकट गुणज खोजें। / Find the nearest lower multiple of 45 below 728.

Step 2

Why this answer is correct

\(45\times16=720\), इसलिए (728-720=8)। / \(45\times16=720\), so (728-720=8).

Step 3

Exam Tip

बड़े भाग में निकटतम गुणज विधि समय बचाती है। / The nearest-multiple method saves time in large divisions.

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Question 50/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 1

यदि किसी संख्या को 12 से भाग देने पर शेषफल 7 है, तो उसी संख्या में 29 जोड़ने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 7 when divided by 12, what will be the remainder after adding 29 to the same number?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

संख्या (12q+7) है। / The number is (12q+7).

Step 2

Why this answer is correct

29 जोड़ने पर कुल शेषफल (7+29=36), और 36, 12 से पूर्णतः विभाजित है। / Adding 29 gives total remainder (7+29=36), and 36 is exactly divisible by 12.

Step 3

Exam Tip

जोड़े गए अंक को सीधे जोड़ सकते हैं, फिर अंतिम शेषफल निकालें। / You may add the given number directly, then find the final remainder.

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Question 51/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यूक्लिड विभाजन प्रमेय के अनुसार 1025 को 84 से भाग देने पर सही भागफल और शेषफल कौन से हैं?

According to Euclid’s division lemma, what are the correct quotient and remainder when 1025 is divided by 84?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (q=12, r=17)

Step 1

Concept

84 का 1025 से छोटा निकट गुणज खोजें। / Find the nearest lower multiple of 84 below 1025.

Step 2

Why this answer is correct

\(84\times12=1008\), इसलिए शेषफल (1025-1008=17) है। / \(84\times12=1008\), so the remainder is (1025-1008=17).

Step 3

Exam Tip

अंतिम शेषफल 84 से छोटा होना चाहिए, तभी रूप वैध है। / The final remainder must be less than 84 for the form to be valid.

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Question 52/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि किसी संख्या को 31 से भाग देने पर भागफल 27 है, तो उस संख्या का सबसे बड़ा संभव मान क्या होगा?

If a number gives quotient 27 when divided by 31, what is the greatest possible value of that number?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 867

Step 1

Concept

संख्या \(31\times27+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<31\)। / The number is of the form \(31\times27+r\), where \(0\le r<31\).

Step 2

Why this answer is correct

सबसे बड़ा शेषफल 30 होगा, इसलिए संख्या (837+30=867) है। / The greatest remainder is 30, so the number is (837+30=867).

Step 3

Exam Tip

अधिकतम मान के लिए शेषफल हमेशा भाजक से एक कम लें। / For the greatest value, take the remainder as one less than the divisor.

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Question 53/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि किसी संख्या को 46 से भाग देने पर भागफल 19 है, तो उस संख्या का सबसे छोटा संभव मान क्या होगा?

If a number gives quotient 19 when divided by 46, what is the least possible value of that number?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 874

Step 1

Concept

संख्या \(46\times19+r\) होगी। / The number is \(46\times19+r\).

Step 2

Why this answer is correct

सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 लें, इसलिए संख्या \(46\times19=874\) है। / For the least value, take remainder 0, so the number is \(46\times19=874\).

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम मान में शेषफल शून्य लेना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For minimum value questions, taking remainder zero is the safest method.

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Question 54/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

किस विकल्प में 703 को 58 से भाग देने का सही यूक्लिडीय रूप है?

Which option shows the correct Euclidean form of dividing 703 by 58?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(703=58\times12+7\)

Step 1

Concept

वैध शेषफल 0 से 57 के बीच होना चाहिए। / A valid remainder must be between 0 and 57.

Step 2

Why this answer is correct

\(58\times12=696\), इसलिए (703=696+7) और 7 वैध शेषफल है। / \(58\times12=696\), so (703=696+7), and 7 is valid.

Step 3

Exam Tip

गणना सही होने के साथ शेषफल की सीमा भी जांचनी चाहिए। / Along with calculation, also check the range of the remainder.

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Question 55/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (x=15q+14), तो (x+16) को 15 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (x=15q+14), what is the remainder when (x+16) is divided by 15?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

(x) का शेषफल 14 है। / The remainder of (x) is 14.

Step 2

Why this answer is correct

16 जोड़ने पर कुल शेषफल (14+16=30), जो 15 से पूर्णतः विभाजित है। / Adding 16 gives total remainder (14+16=30), which is exactly divisible by 15.

Step 3

Exam Tip

जोड़ के बाद शेषफल को फिर से भाजक से घटाकर छोटा करें। / After addition, reduce the remainder again by the divisor.

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Question 56/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (n) को 17 से भाग देने पर शेषफल 6 है, तो (4n+5) को 17 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (n) leaves remainder 6 when divided by 17, what is the remainder when (4n+5) is divided by 17?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 12

Step 1

Concept

(n=17q+6) मानें। / Let (n=17q+6).

Step 2

Why this answer is correct

(4n+5=68q+24+5=68q+29=17(4q+1)+12)। / (4n+5=68q+24+5=68q+29=17(4q+1)+12).

Step 3

Exam Tip

रैखिक रूप में पहले शेषफल को गुणा करें और फिर भाजक से घटाएं। / In a linear expression, first multiply the remainder and then reduce by the divisor.

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Question 57/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि कोई संख्या 9 से भाग देने पर शेषफल 7 देती है, तो उसके वर्ग को 9 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 7 when divided by 9, what is the remainder when its square is divided by 9?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 4

Step 1

Concept

वर्ग का शेषफल \(7^2=49\) को 9 से भाग देकर मिलेगा। / The square remainder comes from dividing \(7^2=49\) by 9.

Step 2

Why this answer is correct

\(49=9\times5+4\), इसलिए शेषफल 4 है। / \(49=9\times5+4\), so the remainder is 4.

Step 3

Exam Tip

वर्ग में पूरी संख्या की जगह केवल शेषफल का वर्ग लेना तेज होता है। / In square questions, squaring only the remainder is faster than using the whole number.

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Question 58/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

किसी धनात्मक पूर्णांक को 6 से भाग देने पर उसके सभी संभावित रूपों की सही सूची कौन सी है?

Which is the correct list of all possible forms of a positive integer when divided by 6?

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Correct Answer

A. (6q,6q+1,6q+2,6q+3,6q+4,6q+5)

Step 1

Concept

6 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5 हो सकते हैं। / On division by 6, possible remainders are 0, 1, 2, 3, 4, and 5.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए रूप (6q) से (6q+5) तक होंगे। / So the forms are from (6q) to (6q+5).

Step 3

Exam Tip

पूरी सूची में शेषफल 0 शामिल करें और 6 शामिल न करें। / Include remainder 0 and do not include 6 in the complete list.

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Question 59/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (a=23q+22), तो (a+1) को 23 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=23q+22), what is the remainder when (a+1) is divided by 23?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 0

Step 1

Concept

(a) का शेषफल 22 है, जो 23 से एक कम है। / The remainder of (a) is 22, one less than 23.

Step 2

Why this answer is correct

1 जोड़ने पर (23q+23=23(q+1)), इसलिए शेषफल 0 है। / Adding 1 gives (23q+23=23(q+1)), so the remainder is 0.

Step 3

Exam Tip

भाजक से एक कम शेषफल में 1 जोड़ने पर संख्या अगले गुणज पर पहुंच जाती है। / Adding 1 to a remainder one less than the divisor takes the number to the next multiple.

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Question 60/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (m) को 12 से भाग देने पर शेषफल 5 है, तो (m^-19) को 12 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (m) leaves remainder 5 when divided by 12, what is the remainder when (m^-19) is divided by 12?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 10

Step 1

Concept

(m=12q+5) लिखें। / Write (m=12q+5).

Step 2

Why this answer is correct

(m^-19=12q-14=12(q-2)+10), इसलिए शेषफल 10 है। / (m^-19=12q-14=12(q-2)+10), so the remainder is 10.

Step 3

Exam Tip

घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक को उचित बार जोड़कर वैध शेषफल बनाएं। / If subtraction gives a negative remainder, add the divisor enough times to make it valid.

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Question 61/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यूक्लिड विभाजन प्रमेय में (a=bq+r) है। यदि (b=28), तो (r) का अधिकतम संभव मान क्या होगा?

In Euclid’s division lemma (a=bq+r). If (b=28), what is the greatest possible value of (r)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 27

Step 1

Concept

शेषफल की शर्त \(0\le r<b\) होती है। / The condition on the remainder is \(0\le r<b\).

Step 2

Why this answer is correct

(b=28) होने पर (r) का सबसे बड़ा मान 27 होगा। / If (b=28), the greatest possible value of (r) is 27.

Step 3

Exam Tip

शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता। / The remainder can never be equal to the divisor.

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Question 62/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि किसी संख्या को 25 से भाग देने पर शेषफल 24 है, तो उसकी दुगुनी संख्या को 25 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 24 when divided by 25, what remainder will twice the number leave when divided by 25?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 23

Step 1

Concept

संख्या (25q+24) मानें। / Let the number be (25q+24).

Step 2

Why this answer is correct

दुगुनी संख्या में शेषफल \(2\times24=48\) होगा, और (48=25+23)। / For twice the number, the remainder part is \(2\times24=48\), and (48=25+23).

Step 3

Exam Tip

गुणा के बाद शेषफल को 25 से छोटा करना जरूरी है। / After multiplication, reduce the remainder below 25.

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Question 63/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

किस विकल्प में 589 को 36 से भाग देने पर शेषफल सही दिया गया है?

Which option gives the correct remainder when 589 is divided by 36?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 13

Step 1

Concept

36 का 589 से छोटा निकट गुणज निकालें। / Find the nearest lower multiple of 36 below 589.

Step 2

Why this answer is correct

\(36\times16=576\), इसलिए शेषफल (589-576=13) है। / \(36\times16=576\), so the remainder is (589-576=13).

Step 3

Exam Tip

बड़े अंकों में निकटतम छोटे गुणज का उपयोग करें। / For larger numbers, use the nearest lower multiple.

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Question 64/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि कोई संख्या 8 से भाग देने पर शेषफल 3 देती है, तो उसके घन को 8 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 3 when divided by 8, what is the remainder when its cube is divided by 8?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 3

Step 1

Concept

घन का शेषफल \(3^3=27\) से मिलेगा। / The cube remainder comes from \(3^3=27\).

Step 2

Why this answer is correct

\(27=8\times3+3\), इसलिए शेषफल 3 है। / \(27=8\times3+3\), so the remainder is 3.

Step 3

Exam Tip

घात वाले प्रश्नों में शेषफल को छोटा रखकर गणना करें। / In power questions, keep the calculation small by using the remainder.

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Question 65/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

कौन सा कथन सही है जब किसी पूर्णांक को 10 से भाग दिया जाता है?

Which statement is correct when an integer is divided by 10?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. शेषफल 0 से 9 तक हो सकता हैThe remainder can be from 0 to 9

Step 1

Concept

यूक्लिड प्रमेय में शेषफल 0 से शुरू होता है। / In Euclid’s lemma, the remainder starts from 0.

Step 2

Why this answer is correct

10 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हो सकते हैं। / When divided by 10, possible remainders are 0 through 9.

Step 3

Exam Tip

शेषफल की सूची में भाजक को शामिल न करें। / Do not include the divisor itself in the list of remainders.

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Question 66/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (p=11q+8), तो (3p-7) को 11 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (p=11q+8), what is the remainder when (3p-7) is divided by 11?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 6

Step 1

Concept

(p) का शेषफल 8 है। / The remainder of (p) is 8.

Step 2

Why this answer is correct

(3p-7) में शेषफल \(3\times8-7=17\) होगा, और (17=11+6)। / For (3p-7), the remainder part is \(3\times8-7=17\), and (17=11+6).

Step 3

Exam Tip

रैखिक व्यंजक में अंतिम शेषफल हमेशा भाजक से छोटा करें। / In a linear expression, always reduce the final remainder below the divisor.

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Question 67/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (a=7q+4) और (b=7p+5), तो (a+b) को 7 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=7q+4) and (b=7p+5), what is the remainder when (a+b) is divided by 7?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 2

Step 1

Concept

दोनों शेषफल 4 और 5 हैं। / The two remainders are 4 and 5.

Step 2

Why this answer is correct

योग का शेषफल (4+5=9), और (9=7+2), इसलिए शेषफल 2 है। / The sum has remainder (4+5=9), and (9=7+2), so the remainder is 2.

Step 3

Exam Tip

शेषफलों का योग भाजक से बड़ा हो तो फिर से घटाएं। / If the sum of remainders is greater than the divisor, reduce it again.

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Question 68/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (a=13q+10) और (b=13p+9), तो (ab) को 13 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=13q+10) and (b=13p+9), what is the remainder when (ab) is divided by 13?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 12

Step 1

Concept

गुणन के लिए शेषफल 10 और 9 को गुणा करें। / For multiplication, multiply the remainders 10 and 9.

Step 2

Why this answer is correct

\(10\times9=90\), और \(90=13\times6+12\)। / \(10\times9=90\), and \(90=13\times6+12\).

Step 3

Exam Tip

गुणन में पूरी संख्या की जगह शेषफलों का उपयोग करने से समय बचता है। / In products, using remainders instead of whole numbers saves time.

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Question 69/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि किसी संख्या को 5 से भाग देने पर शेषफल 2 है, तो उस संख्या के घन को 5 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 2 when divided by 5, what is the remainder when its cube is divided by 5?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 3

Step 1

Concept

घन के लिए \(2^3=8\) देखें। / For the cube, consider \(2^3=8\).

Step 2

Why this answer is correct

\(8=5\times1+3\), इसलिए घन का शेषफल 3 है। / \(8=5\times1+3\), so the cube leaves remainder 3.

Step 3

Exam Tip

घातों में पहले छोटे शेषफल की घात निकालें। / In powers, first raise the small remainder to the power.

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Question 70/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

किसी पूर्णांक को 4 से भाग देने पर उसके वर्ग का शेषफल कौन-कौन सा हो सकता है?

When an integer is divided by 4, what remainders can its square have?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. केवल 0 और 1Only 0 and 1

Step 1

Concept

संख्या के संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3 हैं। / The possible remainders of a number are 0, 1, 2, and 3.

Step 2

Why this answer is correct

इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 0, 1 मिलते हैं। / The square remainders are respectively 0, 1, 0, and 1.

Step 3

Exam Tip

4 से भाग देने पर किसी वर्ग का शेषफल 2 या 3 नहीं होता। / A square divided by 4 never leaves remainder 2 or 3.

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Question 71/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (N) को 18 से भाग देने पर शेषफल 11 है, तो (N+25) को 18 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (N) leaves remainder 11 when divided by 18, what is the remainder when (N+25) is divided by 18?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

(N) का शेषफल 11 है। / The remainder of (N) is 11.

Step 2

Why this answer is correct

25 जोड़ने पर कुल शेषफल (11+25=36), और 36, 18 से पूर्णतः विभाजित है। / Adding 25 gives total remainder (11+25=36), and 36 is exactly divisible by 18.

Step 3

Exam Tip

जोड़ के बाद कुल शेषफल को भाजक से फिर भाग दें। / After addition, divide the total remainder again by the divisor.

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Question 72/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

कौन सा विकल्प यूक्लिड विभाजन प्रमेय के लिए गलत शेषफल दिखाता है जब भाजक 19 है?

Which option shows an invalid remainder for Euclid’s division lemma when the divisor is 19?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 19

Step 1

Concept

भाजक 19 होने पर शेषफल 0 से 18 तक हो सकता है। / When the divisor is 19, the remainder can be from 0 to 18.

Step 2

Why this answer is correct

19 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। / 19 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.

Step 3

Exam Tip

शेषफल की सीमा पर आधारित सवालों में बराबर वाले विकल्प को सावधानी से देखें। / In remainder-range questions, watch carefully for the option equal to the divisor.

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Question 73/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि 1441 को 53 से भाग दिया जाए, तो शेषफल क्या होगा?

If 1441 is divided by 53, what is the remainder?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 10

Step 1

Concept

\(53\times27=1431\) है। / \(53\times27=1431\).

Step 2

Why this answer is correct

(1441-1431=10), इसलिए शेषफल 10 है। / (1441-1431=10), so the remainder is 10.

Step 3

Exam Tip

भाग करते समय उस गुणज को चुनें जो संख्या से बड़ा न हो। / While dividing, choose the multiple that does not exceed the number.

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Question 74/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (t=16q+9), तो (2t+3) को 16 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (t=16q+9), what is the remainder when (2t+3) is divided by 16?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 5

Step 1

Concept

(t) का शेषफल 9 है। / The remainder of (t) is 9.

Step 2

Why this answer is correct

(2t+3) का शेषफल \(2\times9+3=21\) होगा, और (21=16+5)। / The remainder part of (2t+3) is \(2\times9+3=21\), and (21=16+5).

Step 3

Exam Tip

अंतिम शेषफल को 16 से कम करना न भूलें। / Do not forget to reduce the final remainder below 16.

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Question 75/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि कोई संख्या 20 से भाग देने पर शेषफल 3 देती है, तो उसकी पांच गुनी संख्या को 20 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 3 when divided by 20, what is the remainder when five times the number is divided by 20?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 15

Step 1

Concept

संख्या को (20q+3) मानें। / Let the number be (20q+3).

Step 2

Why this answer is correct

पांच गुनी संख्या में शेषफल \(5\times3=15\) होगा, जो 20 से छोटा है। / For five times the number, the remainder is \(5\times3=15\), which is less than 20.

Step 3

Exam Tip

गुणा में शेषफल को ही गुणा करें और सीमा जांचें। / In multiplication, multiply the remainder and check the limit.

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Question 76/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

तीन लगातार पूर्णांकों का गुणनफल 6 से विभाज्य क्यों होता है?

Why is the product of three consecutive integers divisible by 6?

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Correct Answer

A. क्योंकि उनमें एक 2 से और एक 3 से विभाज्य होता हैBecause one of them is divisible by 2 and one is divisible by 3

Step 1

Concept

दो लगातार पूर्णांकों में एक सम होता है, इसलिए 2 का गुणनखंड मिलता है। / Among two consecutive integers, one is even, so a factor 2 is present.

Step 2

Why this answer is correct

तीन लगातार पूर्णांकों में एक 3 से विभाज्य होता है, इसलिए 3 का गुणनखंड मिलता है। / Among three consecutive integers, one is divisible by 3, so a factor 3 is present.

Step 3

Exam Tip

2 और 3 मिलकर 6 बनाते हैं, इसलिए गुणनफल 6 से विभाज्य है। / Since 2 and 3 together make 6, the product is divisible by 6.

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Question 77/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि कोई संख्या (4q+1) रूप में है, तो उसके वर्ग को 8 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number is of the form (4q+1), what is the remainder when its square is divided by 8?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

(4q+1) रूप की संख्या विषम होती है। / A number of the form (4q+1) is odd.

Step 2

Why this answer is correct

किसी विषम संख्या का वर्ग 8 से भाग देने पर शेषफल 1 देता है; उदाहरण के लिए \(1^2\) और \(5^2\) दोनों 8 से 1 शेषफल देते हैं। / The square of an odd number leaves remainder 1 when divided by 8; for example, \(1^2\) and \(5^2\) both leave remainder 1.

Step 3

Exam Tip

विषम वर्गों में 8 से शेषफल 1 वाला नियम याद रखें। / Remember the rule that odd squares leave remainder 1 on division by 8.

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Question 78/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (a=29q+20), तो (a-35) को 29 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=29q+20), what is the remainder when (a-35) is divided by 29?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 14

Step 1

Concept

(a-35=29q+20-35=29q-15)। / (a-35=29q+20-35=29q-15).

Step 2

Why this answer is correct

इसे (29(q-1)+14) लिखा जा सकता है, इसलिए शेषफल 14 है। / This can be written as (29(q-1)+14), so the remainder is 14.

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक शेषफल को वैध बनाने के लिए भाजक जोड़ें। / Add the divisor to a negative remainder to make it valid.

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Question 79/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

किसी संख्या को 13 से भाग देने पर शेषफल 8 है। उसी संख्या के वर्ग को 13 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

A number leaves remainder 8 when divided by 13. What is the remainder when its square is divided by 13?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 12

Step 1

Concept

वर्ग के लिए \(8^2=64\) लें। / For the square, take \(8^2=64\).

Step 2

Why this answer is correct

\(64=13\times4+12\), इसलिए शेषफल 12 है। / \(64=13\times4+12\), so the remainder is 12.

Step 3

Exam Tip

अंतिम उत्तर में 64 नहीं लिखें, क्योंकि शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए। / Do not write 64 as the final answer because a remainder must be smaller than the divisor.

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Question 80/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (x=6q+5), तो \(x^2+x\) को 6 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (x=6q+5), what is the remainder when \(x^2+x\) is divided by 6?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

(x) का शेषफल 5 है। / The remainder of (x) is 5.

Step 2

Why this answer is correct

\(x^2+x\) का शेषफल \(5^2+5=30\) से मिलेगा, और 30, 6 से विभाज्य है। / The remainder of \(x^2+x\) comes from \(5^2+5=30\), and 30 is divisible by 6.

Step 3

Exam Tip

व्यंजक में संख्या की जगह उसका शेषफल रखकर हल करें। / Substitute the remainder in the expression to solve quickly.

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Question 81/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

कौन सा विकल्प (352=17q+r) के लिए सही (q) और (r) देता है?

Which option gives the correct (q) and (r) for (352=17q+r)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (q=20, r=12)

Step 1

Concept

\(17\times20=340\) और \(17\times21=357\) है। / \(17\times20=340\) and \(17\times21=357\).

Step 2

Why this answer is correct

352 से छोटा निकट गुणज 340 है, इसलिए शेषफल 12 है। / The nearest lower multiple of 17 below 352 is 340, so the remainder is 12.

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक या 17 से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें। / Do not accept a negative remainder or a remainder greater than 17.

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Question 82/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि किसी संख्या को 32 से भाग देने पर भागफल 15 और शेषफल 31 है, तो संख्या क्या होगी?

If a number gives quotient 15 and remainder 31 when divided by 32, what is the number?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 511

Step 1

Concept

संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। / Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.

Step 2

Why this answer is correct

\(32\times15+31=480+31=511\)। / \(32\times15+31=480+31=511\).

Step 3

Exam Tip

शेषफल 31, भाजक 32 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है। / Remainder 31 is less than divisor 32, so the form is valid.

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Question 83/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (a) को 14 से भाग देने पर शेषफल 9 है और (b) को 14 से भाग देने पर शेषफल 10 है, तो (a-b) को 14 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a) leaves remainder 9 when divided by 14 and (b) leaves remainder 10 when divided by 14, what is the remainder when (a-b) is divided by 14?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 13

Step 1

Concept

अंतर के लिए शेषफल (9-10=-1) मिलेगा। / For the difference, the remainder is (9-10=-1).

Step 2

Why this answer is correct

वैध शेषफल बनाने के लिए 14 जोड़ें, जिससे 13 मिलता है। / Add 14 to make it a valid remainder, giving 13.

Step 3

Exam Tip

घटाव में ऋणात्मक शेषफल आने पर भाजक जोड़ना चाहिए। / In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative.

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Question 84/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

चार लगातार पूर्णांकों में से कम से कम एक संख्या 4 से विभाज्य क्यों होती है?

Why is at least one number among four consecutive integers divisible by 4?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि 4 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3 का चक्र आता हैBecause division by 4 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3

Step 1

Concept

कोई भी पूर्णांक 4 से भाग देने पर (4q), (4q+1), (4q+2), या (4q+3) रूप में होता है। / Any integer divided by 4 is of the form (4q), (4q+1), (4q+2), or (4q+3).

Step 2

Why this answer is correct

चार लगातार पूर्णांकों में ये चारों शेषफल आ जाते हैं। / Four consecutive integers cover all these four remainders.

Step 3

Exam Tip

जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 4 से विभाज्य होगी। / The one with remainder 0 is divisible by 4.

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Question 85/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि कोई संख्या 27 से भाग देने पर शेषफल 26 देती है, तो उस संख्या में 28 जोड़ने पर 27 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 26 when divided by 27, what is the remainder when 28 is added to it and the result is divided by 27?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

मूल शेषफल 26 है। / The original remainder is 26.

Step 2

Why this answer is correct

28 जोड़ने पर कुल शेषफल (26+28=54), जो 27 से पूर्णतः विभाजित है। / Adding 28 gives total remainder (26+28=54), which is exactly divisible by 27.

Step 3

Exam Tip

जोड़ी गई संख्या को भी शेषफल के रूप में घटाकर देखना आसान रहता है। / It is easier to reduce the added number by the divisor and combine remainders.

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Question 86/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (u=10q+7), तो \(u^2-u\) को 10 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (u=10q+7), what is the remainder when \(u^2-u\) is divided by 10?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 2

Step 1

Concept

(u) का शेषफल 7 है। / The remainder of (u) is 7.

Step 2

Why this answer is correct

\(u^2-u\) का शेषफल \(7^2-7=42\) से मिलेगा, और \(42=10\times4+2\)। / The remainder of \(u^2-u\) comes from \(7^2-7=42\), and \(42=10\times4+2\).

Step 3

Exam Tip

व्यंजक में पहले शेषफल रखें, फिर अंतिम शेषफल निकालें। / Substitute the remainder first, then find the final remainder.

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Question 87/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

किसी संख्या को 7 से भाग देने पर शेषफल 4 है। उसी संख्या के चौथे घात को 7 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

A number leaves remainder 4 when divided by 7. What is the remainder when its fourth power is divided by 7?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. 4

Step 1

Concept

चौथे घात के लिए \(4^4\) का शेषफल देखें। / For the fourth power, look at the remainder of \(4^4\).

Step 2

Why this answer is correct

\(4^2=16\), जिसका 7 से शेषफल 2 है; फिर \(4^4\) का शेषफल \(2^2=4\) होगा। / \(4^2=16\), which leaves remainder 2 when divided by 7; then \(4^4\) leaves the same remainder as \(2^2=4\).

Step 3

Exam Tip

बड़ी घातों में छोटे-छोटे चरणों में शेषफल निकालें। / For higher powers, reduce remainders step by step.

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Question 88/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि किसी संख्या को 15 से भाग देने पर शेषफल 10 है, तो उस संख्या में 5 जोड़ने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 10 when divided by 15, what is the remainder after adding 5 to it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

संख्या (15q+10) है। / The number is (15q+10).

Step 2

Why this answer is correct

5 जोड़ने पर (15q+15=15(q+1)), इसलिए शेषफल 0 होगा। / Adding 5 gives (15q+15=15(q+1)), so the remainder is 0.

Step 3

Exam Tip

जब शेषफल और जोड़ी गई संख्या मिलकर भाजक बन जाएं, तो शेषफल 0 हो जाता है। / When the remainder and added number together make the divisor, the new remainder becomes 0.

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Question 89/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (a=12q+8) और (b=12p+5), तो (ab+a) को 12 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=12q+8) and (b=12p+5), what is the remainder when (ab+a) is divided by 12?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

(a) और (b) के शेषफल 8 और 5 हैं। / The remainders of (a) and (b) are 8 and 5.

Step 2

Why this answer is correct

(ab+a) का शेषफल \(8\times5+8=48\) से मिलेगा, और 48, 12 से विभाज्य है। / The remainder of (ab+a) comes from \(8\times5+8=48\), and 48 is divisible by 12.

Step 3

Exam Tip

मिश्रित व्यंजक में हर पद का शेषफल अलग निकालें। / In a mixed expression, find the remainder of each part separately.

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Question 90/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

किस विकल्प में (999) को (100) से भाग देने का सही यूक्लिडीय रूप है?

Which option gives the correct Euclidean form of dividing (999) by (100)?

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Correct Answer

B. \(999=100\times9+99\)

Step 1

Concept

मानक रूप में शेषफल नकारात्मक नहीं होता। / In standard form, the remainder is not negative.

Step 2

Why this answer is correct

\(100\times9=900\), इसलिए (999=900+99) और 99, 100 से छोटा है। / \(100\times9=900\), so (999=900+99), and 99 is less than 100.

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक शेषफल वाला रूप गणना जैसा दिख सकता है, पर यूक्लिडीय रूप नहीं है। / A form with a negative remainder may look computationally close, but it is not Euclidean form.

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Question 91/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि किसी संख्या को 6 से भाग देने पर शेषफल 1 या 5 है, तो उसके वर्ग को 6 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 1 or 5 when divided by 6, what is the remainder when its square is divided by 6?

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Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

संभावित शेषफल 1 और 5 हैं। / The possible remainders are 1 and 5.

Step 2

Why this answer is correct

\(1^2=1\) और \(5^2=25=6\times4+1\), इसलिए दोनों में शेषफल 1 है। / \(1^2=1\) and \(5^2=25=6\times4+1\), so the remainder is 1 in both cases.

Step 3

Exam Tip

6 से सहअभाज्य कई संख्याओं के वर्गों में शेषफल 1 दिखता है, पर हमेशा जांच करना अच्छा है। / Squares of many numbers coprime to 6 show remainder 1, but checking is always better.

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Question 92/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि कोई संख्या 22 से भाग देने पर शेषफल 4 देती है, तो (7) गुना संख्या को 22 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 4 when divided by 22, what is the remainder when 7 times the number is divided by 22?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 6

Step 1

Concept

सात गुना संख्या के लिए शेषफल \(7\times4=28\) होगा। / For seven times the number, the remainder part is \(7\times4=28\).

Step 2

Why this answer is correct

(28=22+6), इसलिए अंतिम शेषफल 6 है। / (28=22+6), so the final remainder is 6.

Step 3

Exam Tip

गुणा के बाद मिला परिणाम भाजक से बड़ा हो तो उसे घटाएं। / If the result after multiplication is greater than the divisor, reduce it.

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Question 93/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (a=5q+2), तो \(a^2+1\) को 5 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=5q+2), what is the remainder when \(a^2+1\) is divided by 5?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

(a) का शेषफल 2 है। / The remainder of (a) is 2.

Step 2

Why this answer is correct

\(a^2+1\) का शेषफल \(2^2+1=5\) से मिलेगा, जो 5 से पूर्णतः विभाजित है। / The remainder of \(a^2+1\) comes from \(2^2+1=5\), which is exactly divisible by 5.

Step 3

Exam Tip

व्यंजक में शेषफल रखने के बाद उत्तर को फिर भाजक से जांचें। / After substituting the remainder in the expression, check it again by the divisor.

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Question 94/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (a) को 9 से भाग देने पर शेषफल 4 है और (b) को 9 से भाग देने पर शेषफल 7 है, तो (2a+b) को 9 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a) leaves remainder 4 when divided by 9 and (b) leaves remainder 7 when divided by 9, what is the remainder when (2a+b) is divided by 9?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 6

Step 1

Concept

(2a+b) में शेषफल \(2\times4+7=15\) होगा। / In (2a+b), the remainder part is \(2\times4+7=15\).

Step 2

Why this answer is correct

(15=9+6), इसलिए शेषफल 6 है। / (15=9+6), so the remainder is 6.

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक पद का शेषफल अलग संभालें। / In such questions, handle the remainder of each term separately.

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Question 95/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

किसी संख्या को 30 से भाग देने पर शेषफल 29 है। उस संख्या में 61 जोड़ने पर 30 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

A number leaves remainder 29 when divided by 30. What is the remainder when 61 is added to the number and the result is divided by 30?

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Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

मूल शेषफल 29 है। / The original remainder is 29.

Step 2

Why this answer is correct

61 का 30 से शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (29+1=30), जो 0 बन जाता है। / 61 leaves remainder 1 when divided by 30, so total remainder (29+1=30), which becomes 0.

Step 3

Exam Tip

बड़ी जोड़ी गई संख्या को पहले छोटे शेषफल में बदलना उपयोगी है। / It is useful to reduce a large added number to a smaller remainder first.

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Question 96/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि किसी पूर्णांक को 3 से भाग देने पर शेषफल 2 है, तो \(n^2+n+1\) को 3 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If an integer leaves remainder 2 when divided by 3, what is the remainder when \(n^2+n+1\) is divided by 3?

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Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

(n) की जगह शेषफल 2 रखें। / Replace (n) by its remainder 2.

Step 2

Why this answer is correct

\(n^2+n+1\) का शेषफल \(2^2+2+1=7\) से मिलेगा, और 7 का 3 से शेषफल 1 है। / The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(2^2+2+1=7\), and 7 leaves remainder 1 when divided by 3.

Step 3

Exam Tip

बहुपद जैसे व्यंजकों में संख्या की जगह उसका शेषफल रखने से हल सरल हो जाता है। / In polynomial-like expressions, substituting the remainder makes the solution simple.

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Question 97/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (a=24q+17), तो (5a) को 24 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=24q+17), what is the remainder when (5a) is divided by 24?

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Correct Answer

A. 13

Step 1

Concept

(a) का शेषफल 17 है। / The remainder of (a) is 17.

Step 2

Why this answer is correct

(5a) के लिए \(5\times17=85\), और \(85=24\times3+13\)। / For (5a), compute \(5\times17=85\), and \(85=24\times3+13\).

Step 3

Exam Tip

गुणा के बाद शेषफल को भाजक से कम करना अनिवार्य है। / After multiplication, the remainder must be reduced below the divisor.

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Question 98/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (r) शेषफल है और भाजक 41 है, तो निम्न में से कौन सा (r) का वैध मान नहीं है?

If (r) is the remainder and the divisor is 41, which of the following is not a valid value of (r)?

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Correct Answer

C. 41

Step 1

Concept

शेषफल की सीमा \(0\le r<41\) है। / The remainder must satisfy \(0\le r<41\).

Step 2

Why this answer is correct

41 भाजक के बराबर है, इसलिए शेषफल नहीं हो सकता। / 41 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.

Step 3

Exam Tip

परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) सबसे महत्वपूर्ण नियम है। / In definition-based questions, (r<b) is the most important rule.

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Question 99/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (n=8q+7), तो \(n^2+2n+1\) को 8 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (n=8q+7), what is the remainder when \(n^2+2n+1\) is divided by 8?

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Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

व्यंजक (n^-2+2n+1=(n+1)²) है। / The expression \(n^2+2n+1\) is ((n+1)²).

Step 2

Why this answer is correct

(n) का शेषफल 7 है, इसलिए (n+1) का शेषफल 0 होगा और वर्ग भी 8 से विभाज्य होगा। / Since (n) has remainder 7, (n+1) has remainder 0, so its square is divisible by 8.

Step 3

Exam Tip

पहले व्यंजक की बनावट पहचानना गणना कम कर देता है। / Recognizing the structure of the expression reduces calculation.

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Question 100/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 2

यदि (a=18q+13) और (b=18p+16), तो (a+b+7) को 18 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=18q+13) and (b=18p+16), what is the remainder when (a+b+7) is divided by 18?

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Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

शेषफलों को जोड़ें: (13+16+7=36)। / Add the remainders: (13+16+7=36).

Step 2

Why this answer is correct

36, 18 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है। / 36 is exactly divisible by 18, so the remainder is 0.

Step 3

Exam Tip

कई पदों वाले प्रश्न में केवल शेषफलों को जोड़कर अंतिम घटाव करें। / In multi-term questions, add only the remainders and then reduce at the end.

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Question 101/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यूक्लिड विभाजन प्रमेय के अनुसार 1365 को 112 से भाग देने पर भागफल और शेषफल क्या होंगे?

According to Euclid’s division lemma, what are the quotient and remainder when 1365 is divided by 112?

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Correct Answer

A. (q=12, r=21)

Step 1

Concept

112 का 1365 से छोटा निकट गुणज खोजें। / Find the nearest lower multiple of 112 below 1365.

Step 2

Why this answer is correct

\(112\times12=1344\), इसलिए शेषफल (1365-1344=21) है। / \(112\times12=1344\), so the remainder is (1365-1344=21).

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में अंतिम शेषफल को भाजक से छोटा जरूर जांचें। / In exams, always check that the final remainder is smaller than the divisor.

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Question 102/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि किसी संख्या को 39 से भाग देने पर भागफल 22 है, तो उस संख्या का सबसे बड़ा संभव मान क्या होगा?

If a number gives quotient 22 when divided by 39, what is the greatest possible value of that number?

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Correct Answer

B. 896

Step 1

Concept

संख्या \(39\times22+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<39\)। / The number has the form \(39\times22+r\), where \(0\le r<39\).

Step 2

Why this answer is correct

सबसे बड़ा शेषफल 38 होगा, इसलिए संख्या (858+38=896) है। / The greatest remainder is 38, so the number is (858+38=896).

Step 3

Exam Tip

अधिकतम संख्या के लिए शेषफल भाजक से एक कम लें। / For the greatest number, take the remainder one less than the divisor.

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Question 103/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि किसी संख्या को 57 से भाग देने पर भागफल 18 है, तो उस संख्या का सबसे छोटा संभव मान क्या होगा?

If a number gives quotient 18 when divided by 57, what is the least possible value of that number?

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Correct Answer

B. 1026

Step 1

Concept

संख्या \(57\times18+r\) होगी। / The number is \(57\times18+r\).

Step 2

Why this answer is correct

सबसे छोटे मान के लिए (r=0), इसलिए संख्या \(57\times18=1026\) है। / For the least value, (r=0), so the number is \(57\times18=1026\).

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम मान में शेषफल हमेशा शून्य मानकर शुरू करें। / For a minimum value, start with remainder zero.

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Question 104/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

किस विकल्प में 947 को 73 से भाग देने का सही यूक्लिडीय रूप है?

Which option gives the correct Euclidean form of dividing 947 by 73?

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Correct Answer

A. \(947=73\times12+71\)

Step 1

Concept

वैध शेषफल 0 से 72 के बीच होना चाहिए। / A valid remainder must be from 0 to 72.

Step 2

Why this answer is correct

\(73\times12=876\), इसलिए (947=876+71) और 71 वैध शेषफल है। / \(73\times12=876\), so (947=876+71), and 71 is valid.

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक शेषफल वाला रूप सही गणना जैसा लग सकता है, पर वह यूक्लिडीय रूप नहीं है। / A form with a negative remainder may look close, but it is not Euclidean form.

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Question 105/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (x=26q+25), तो (x+28) को 26 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (x=26q+25), what is the remainder when (x+28) is divided by 26?

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Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

(x) का शेषफल 25 है। / The remainder of (x) is 25.

Step 2

Why this answer is correct

28 जोड़ने पर कुल शेषफल (25+28=53), और \(53=26\times2+1\)। / Adding 28 gives total remainder (25+28=53), and \(53=26\times2+1\).

Step 3

Exam Tip

जोड़ के बाद शेषफल को फिर से भाजक से घटाकर छोटा करें। / After addition, reduce the remainder again by the divisor.

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Question 106/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (n) को 19 से भाग देने पर शेषफल 8 है, तो (5n+7) को 19 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (n) leaves remainder 8 when divided by 19, what is the remainder when (5n+7) is divided by 19?

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Correct Answer

A. 9

Step 1

Concept

(n=19q+8) मानें। / Let (n=19q+8).

Step 2

Why this answer is correct

(5n+7) का शेषफल \(5\times8+7=47\) से मिलेगा, और \(47=19\times2+9\)। / The remainder of (5n+7) comes from \(5\times8+7=47\), and \(47=19\times2+9\).

Step 3

Exam Tip

रैखिक व्यंजक में शेषफल रखकर गणना छोटी हो जाती है। / In a linear expression, using the remainder keeps the calculation short.

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Question 107/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि कोई संख्या 11 से भाग देने पर शेषफल 9 देती है, तो उसके वर्ग को 11 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 9 when divided by 11, what is the remainder when its square is divided by 11?

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Correct Answer

A. 4

Step 1

Concept

वर्ग का शेषफल \(9^2=81\) को 11 से भाग देकर मिलेगा। / The square remainder comes from dividing \(9^2=81\) by 11.

Step 2

Why this answer is correct

\(81=11\times7+4\), इसलिए शेषफल 4 है। / \(81=11\times7+4\), so the remainder is 4.

Step 3

Exam Tip

वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय उसके शेषफल का वर्ग लें। / In square questions, square the remainder instead of the whole number.

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Question 108/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

किसी धनात्मक पूर्णांक को 9 से भाग देने पर उसके सभी संभावित रूपों की सही सूची कौन सी है?

Which is the correct list of all possible forms of a positive integer when divided by 9?

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Correct Answer

A. \(9q,9q+1,\ldots,9q+8\)

Step 1

Concept

9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक हो सकता है। / On division by 9, possible remainders are from 0 to 8.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए सभी रूप (9q) से (9q+8) तक होंगे। / Therefore, all forms are from (9q) to (9q+8).

Step 3

Exam Tip

पूरी सूची में 0 शेषफल रखें और 9 शेषफल न रखें। / Include remainder 0 and do not include remainder 9.

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Question 109/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (a=31q+30), तो (a+1) को 31 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=31q+30), what is the remainder when (a+1) is divided by 31?

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Correct Answer

D. 0

Step 1

Concept

(a) का शेषफल 30 है, जो 31 से एक कम है। / The remainder of (a) is 30, one less than 31.

Step 2

Why this answer is correct

1 जोड़ने पर (31q+31=31(q+1)), इसलिए शेषफल 0 है। / Adding 1 gives (31q+31=31(q+1)), so the remainder is 0.

Step 3

Exam Tip

भाजक से एक कम शेषफल में 1 जोड़ने पर अगला पूरा गुणज बनता है। / Adding 1 to a remainder one less than the divisor gives the next exact multiple.

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Question 110/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (m) को 17 से भाग देने पर शेषफल 4 है, तो (m^-23) को 17 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (m) leaves remainder 4 when divided by 17, what is the remainder when (m^-23) is divided by 17?

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Correct Answer

A. 15

Step 1

Concept

(m=17q+4) लिखें। / Write (m=17q+4).

Step 2

Why this answer is correct

(m^-23=17q-19=17(q-2)+15), इसलिए शेषफल 15 है। / (m^-23=17q-19=17(q-2)+15), so the remainder is 15.

Step 3

Exam Tip

घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक को जरूरत के अनुसार जोड़ें। / If subtraction gives a negative remainder, add the divisor as needed.

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Question 111/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यूक्लिड विभाजन प्रमेय में यदि भाजक 52 है, तो शेषफल का अधिकतम संभव मान क्या होगा?

In Euclid’s division lemma, if the divisor is 52, what is the greatest possible value of the remainder?

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Correct Answer

B. 51

Step 1

Concept

शेषफल की शर्त \(0\le r<52\) होगी। / The remainder condition is \(0\le r<52\).

Step 2

Why this answer is correct

52 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 51 है, इसलिए वही अधिकतम शेषफल है। / The greatest integer smaller than 52 is 51, so it is the greatest possible remainder.

Step 3

Exam Tip

शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता। / A remainder can never be equal to the divisor.

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Question 112/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि किसी संख्या को 28 से भाग देने पर शेषफल 27 है, तो उसकी तिगुनी संख्या को 28 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 27 when divided by 28, what remainder will three times the number leave when divided by 28?

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Correct Answer

A. 25

Step 1

Concept

तिगुनी संख्या के लिए शेषफल \(3\times27=81\) होगा। / For three times the number, the remainder part is \(3\times27=81\).

Step 2

Why this answer is correct

\(81=28\times2+25\), इसलिए अंतिम शेषफल 25 है। / \(81=28\times2+25\), so the final remainder is 25.

Step 3

Exam Tip

गुणा के बाद मिले शेषफल को भाजक से छोटा करना जरूरी है। / After multiplication, reduce the remainder below the divisor.

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Question 113/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

किस विकल्प में 875 को 41 से भाग देने पर शेषफल सही दिया गया है?

Which option gives the correct remainder when 875 is divided by 41?

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Correct Answer

B. 14

Step 1

Concept

41 का 875 से छोटा निकट गुणज निकालें। / Find the nearest lower multiple of 41 below 875.

Step 2

Why this answer is correct

\(41\times21=861\), इसलिए शेषफल (875-861=14) है। / \(41\times21=861\), so the remainder is (875-861=14).

Step 3

Exam Tip

निकटतम छोटे गुणज की विधि बड़े अंकों में समय बचाती है। / The nearest lower multiple method saves time with larger numbers.

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Question 114/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि कोई संख्या 10 से भाग देने पर शेषफल 3 देती है, तो उसके घन को 10 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 3 when divided by 10, what is the remainder when its cube is divided by 10?

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Correct Answer

B. 7

Step 1

Concept

घन के लिए \(3^3=27\) लें। / For the cube, take \(3^3=27\).

Step 2

Why this answer is correct

27 को 10 से भाग देने पर शेषफल 7 है। / Dividing 27 by 10 gives remainder 7.

Step 3

Exam Tip

घात वाले प्रश्नों में संख्या की जगह उसके छोटे शेषफल का उपयोग करें। / In power questions, use the smaller remainder instead of the full number.

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Question 115/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

कौन सा कथन सही है जब किसी पूर्णांक को 14 से भाग दिया जाता है?

Which statement is correct when an integer is divided by 14?

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Correct Answer

B. शेषफल 0 से 13 तक हो सकता हैThe remainder can be from 0 to 13

Step 1

Concept

यूक्लिड प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। / In Euclid’s lemma, \(0\le r<b\).

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ (b=14), इसलिए शेषफल 0 से 13 तक हो सकता है। / Here (b=14), so the remainder can be from 0 to 13.

Step 3

Exam Tip

शेषफल की सूची में 0 शामिल करें और भाजक को बाहर रखें। / Include 0 in the list of remainders and exclude the divisor itself.

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Question 116/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (p=13q+11), तो (4p-9) को 13 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (p=13q+11), what is the remainder when (4p-9) is divided by 13?

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Correct Answer

A. 9

Step 1

Concept

(p) का शेषफल 11 है। / The remainder of (p) is 11.

Step 2

Why this answer is correct

(4p-9) का शेषफल \(4\times11-9=35\) से मिलेगा, और \(35=13\times2+9\)। / The remainder of (4p-9) comes from \(4\times11-9=35\), and \(35=13\times2+9\).

Step 3

Exam Tip

अंतिम शेषफल को हमेशा भाजक से कम करें। / Always reduce the final remainder below the divisor.

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Question 117/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (a=8q+6) और (b=8p+7), तो (a+b) को 8 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=8q+6) and (b=8p+7), what is the remainder when (a+b) is divided by 8?

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Correct Answer

B. 5

Step 1

Concept

दोनों संख्याओं के शेषफल 6 और 7 हैं। / The two remainders are 6 and 7.

Step 2

Why this answer is correct

योग का शेषफल (6+7=13) से मिलेगा, और (13=8+5)। / The sum remainder comes from (6+7=13), and (13=8+5).

Step 3

Exam Tip

शेषफलों का योग भाजक से बड़ा हो तो उसे फिर घटाएं। / If the sum of remainders is greater than the divisor, reduce it again.

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Question 118/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (a=17q+12) और (b=17p+15), तो (ab) को 17 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=17q+12) and (b=17p+15), what is the remainder when (ab) is divided by 17?

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Correct Answer

B. 10

Step 1

Concept

गुणन के लिए शेषफल 12 और 15 को गुणा करें। / For multiplication, multiply the remainders 12 and 15.

Step 2

Why this answer is correct

\(12\times15=180\), और \(180=17\times10+10\)। / \(12\times15=180\), and \(180=17\times10+10\).

Step 3

Exam Tip

गुणन वाले प्रश्नों में शेषफलों का गुणा करके अंतिम शेषफल निकालें। / In product questions, multiply the remainders and then find the final remainder.

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Question 119/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि किसी संख्या को 7 से भाग देने पर शेषफल 5 है, तो उस संख्या के घन को 7 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 5 when divided by 7, what is the remainder when its cube is divided by 7?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 6

Step 1

Concept

घन के लिए \(5^3=125\) देखें। / For the cube, consider \(5^3=125\).

Step 2

Why this answer is correct

\(125=7\times17+6\), इसलिए शेषफल 6 है। / \(125=7\times17+6\), so the remainder is 6.

Step 3

Exam Tip

बड़ी घात में बीच-बीच में शेषफल घटाकर गणना आसान रखें। / In higher powers, reduce remainders along the way to keep calculation easy.

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Question 120/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

किसी पूर्णांक को 5 से भाग देने पर उसके वर्ग का शेषफल कौन-कौन सा हो सकता है?

When an integer is divided by 5, what remainders can its square have?

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Correct Answer

A. केवल 0, 1 और 4Only 0, 1 and 4

Step 1

Concept

संख्या के संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 हैं। / The possible remainders of a number are 0, 1, 2, 3, and 4.

Step 2

Why this answer is correct

इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 4, 4, 1 मिलते हैं। / Their square remainders are 0, 1, 4, 4, and 1 respectively.

Step 3

Exam Tip

5 से भाग देने पर किसी वर्ग का शेषफल 2 या 3 नहीं आता। / A square divided by 5 never leaves remainder 2 or 3.

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Question 121/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (N) को 22 से भाग देने पर शेषफल 17 है, तो (N+49) को 22 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (N) leaves remainder 17 when divided by 22, what is the remainder when (N+49) is divided by 22?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 2

Step 1

Concept

(N) का शेषफल 17 है। / The remainder of (N) is 17.

Step 2

Why this answer is correct

49 को 22 से भाग देने पर शेषफल 5 है, इसलिए कुल शेषफल (17+5=22), जो 0 होना चाहिए; पर सीधे (17+49=66), और 66 भी 22 से विभाज्य है। / (49) leaves remainder 5 on division by 22, so (17+5=22), which gives remainder 0.

Step 3

Exam Tip

जोड़ी गई संख्या को छोटे शेषफल में बदलने के बाद अंतिम घटाव जरूर करें। / After reducing the added number, reduce the final sum again by the divisor.

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Question 122/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

कौन सा विकल्प यूक्लिड विभाजन प्रमेय के लिए गलत शेषफल दिखाता है जब भाजक 24 है?

Which option shows an invalid remainder for Euclid’s division lemma when the divisor is 24?

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Correct Answer

C. 24

Step 1

Concept

भाजक 24 होने पर शेषफल 0 से 23 तक हो सकता है। / When the divisor is 24, the remainder can be from 0 to 23.

Step 2

Why this answer is correct

24 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। / 24 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.

Step 3

Exam Tip

शेषफल के प्रश्न में भाजक के बराबर विकल्प को तुरंत सावधानी से देखें। / In remainder questions, carefully check any option equal to the divisor.

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Question 123/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि 1682 को 67 से भाग दिया जाए, तो शेषफल क्या होगा?

If 1682 is divided by 67, what is the remainder?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 7

Step 1

Concept

\(67\times25=1675\) है। / \(67\times25=1675\).

Step 2

Why this answer is correct

(1682-1675=7), इसलिए शेषफल 7 है। / (1682-1675=7), so the remainder is 7.

Step 3

Exam Tip

भाग करते समय ऐसा गुणज लें जो दी गई संख्या से बड़ा न हो। / While dividing, choose a multiple that does not exceed the given number.

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Question 124/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (t=18q+13), तो (3t+4) को 18 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (t=18q+13), what is the remainder when (3t+4) is divided by 18?

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Correct Answer

B. 7

Step 1

Concept

(t) का शेषफल 13 है। / The remainder of (t) is 13.

Step 2

Why this answer is correct

(3t+4) का शेषफल \(3\times13+4=43\) से मिलेगा, और \(43=18\times2+7\)। / The remainder part of (3t+4) is \(3\times13+4=43\), and \(43=18\times2+7\).

Step 3

Exam Tip

अंतिम शेषफल को 18 से कम करना जरूरी है। / The final remainder must be reduced below 18.

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Question 125/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि कोई संख्या 32 से भाग देने पर शेषफल 6 देती है, तो उसकी सात गुनी संख्या को 32 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 6 when divided by 32, what is the remainder when seven times the number is divided by 32?

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Correct Answer

B. 10

Step 1

Concept

सात गुनी संख्या के लिए शेषफल \(7\times6=42\) होगा। / For seven times the number, the remainder part is \(7\times6=42\).

Step 2

Why this answer is correct

(42=32+10), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। / (42=32+10), so the final remainder is 10.

Step 3

Exam Tip

गुणा के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से घटाएं। / After multiplication, reduce the result again by the divisor.

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Question 126/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

पांच लगातार पूर्णांकों में से कम से कम एक संख्या 5 से विभाज्य क्यों होती है?

Why is at least one number among five consecutive integers divisible by 5?

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Correct Answer

A. क्योंकि 5 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 का चक्र आता हैBecause division by 5 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3, 4

Step 1

Concept

कोई भी पूर्णांक 5 से भाग देने पर (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), या (5q+4) रूप में होता है। / Any integer divided by 5 has one of the forms (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), or (5q+4).

Step 2

Why this answer is correct

पांच लगातार पूर्णांकों में ये पांचों शेषफल आ जाते हैं। / Five consecutive integers cover all five remainders.

Step 3

Exam Tip

जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 5 से विभाज्य होगी। / The number with remainder 0 is divisible by 5.

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Question 127/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि कोई संख्या (6q+1) या (6q+5) रूप में है, तो उसके वर्ग को 6 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number is of the form (6q+1) or (6q+5), what is the remainder when its square is divided by 6?

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Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

संभावित शेषफल 1 और 5 हैं। / The possible remainders are 1 and 5.

Step 2

Why this answer is correct

\(1^2=1\) और \(5^2=25=6\times4+1\), इसलिए दोनों स्थितियों में शेषफल 1 है। / \(1^2=1\) and \(5^2=25=6\times4+1\), so the remainder is 1 in both cases.

Step 3

Exam Tip

ऐसे रूपों में पूरी संख्या नहीं, केवल शेषफल पर काम करें। / In such forms, work only with the remainder, not the whole number.

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Question 128/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (a=37q+29), तो (a-48) को 37 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=37q+29), what is the remainder when (a-48) is divided by 37?

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Correct Answer

C. 18

Step 1

Concept

(a-48=37q+29-48=37q-19)। / (a-48=37q+29-48=37q-19).

Step 2

Why this answer is correct

इसे (37(q-1)+18) लिखा जा सकता है, इसलिए शेषफल 18 है। / This can be written as (37(q-1)+18), so the remainder is 18.

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक शेषफल को वैध बनाने के लिए एक बार भाजक जोड़ें। / Add the divisor once to make a negative remainder valid.

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Question 129/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

किसी संख्या को 15 से भाग देने पर शेषफल 11 है। उसी संख्या के वर्ग को 15 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

A number leaves remainder 11 when divided by 15. What is the remainder when its square is divided by 15?

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Correct Answer

A. 1

Step 1

Concept

वर्ग के लिए \(11^2=121\) लें। / For the square, take \(11^2=121\).

Step 2

Why this answer is correct

\(121=15\times8+1\), इसलिए शेषफल 1 है। / \(121=15\times8+1\), so the remainder is 1.

Step 3

Exam Tip

अंतिम उत्तर में 121 नहीं लिखें, क्योंकि शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए। / Do not write 121 as the final answer because a remainder must be smaller than the divisor.

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Question 130/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (x=8q+7), तो \(x^2+x\) को 8 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (x=8q+7), what is the remainder when \(x^2+x\) is divided by 8?

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Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

(x) का शेषफल 7 है। / The remainder of (x) is 7.

Step 2

Why this answer is correct

\(x^2+x\) का शेषफल \(7^2+7=56\) से मिलेगा, और 56, 8 से विभाज्य है। / The remainder of \(x^2+x\) comes from \(7^2+7=56\), and 56 is divisible by 8.

Step 3

Exam Tip

व्यंजक में संख्या की जगह उसका शेषफल रखने से हल तेजी से होता है। / Substituting the remainder in the expression gives a quick solution.

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Question 131/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

कौन सा विकल्प (511=23q+r) के लिए सही (q) और (r) देता है?

Which option gives the correct (q) and (r) for (511=23q+r)?

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Correct Answer

A. (q=22, r=5)

Step 1

Concept

\(23\times22=506\) और \(23\times23=529\) है। / \(23\times22=506\) and \(23\times23=529\).

Step 2

Why this answer is correct

511 से छोटा निकट गुणज 506 है, इसलिए शेषफल 5 है। / The nearest lower multiple of 23 below 511 is 506, so the remainder is 5.

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक या भाजक से बड़ा शेषफल मानक रूप में स्वीकार न करें। / Do not accept a negative remainder or a remainder greater than the divisor.

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Question 132/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि किसी संख्या को 45 से भाग देने पर भागफल 16 और शेषफल 44 है, तो संख्या क्या होगी?

If a number gives quotient 16 and remainder 44 when divided by 45, what is the number?

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Correct Answer

A. 764

Step 1

Concept

संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। / Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.

Step 2

Why this answer is correct

\(45\times16+44=720+44=764\)। / \(45\times16+44=720+44=764\).

Step 3

Exam Tip

शेषफल 44, भाजक 45 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है। / The remainder 44 is less than divisor 45, so the form is valid.

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Question 133/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (a) को 16 से भाग देने पर शेषफल 3 है और (b) को 16 से भाग देने पर शेषफल 9 है, तो (a-b) को 16 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a) leaves remainder 3 when divided by 16 and (b) leaves remainder 9 when divided by 16, what is the remainder when (a-b) is divided by 16?

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Correct Answer

A. 10

Step 1

Concept

अंतर के लिए शेषफल (3-9=-6) मिलेगा। / For the difference, the remainder is (3-9=-6).

Step 2

Why this answer is correct

वैध शेषफल बनाने के लिए 16 जोड़ें, जिससे 10 मिलता है। / Add 16 to make it valid, giving 10.

Step 3

Exam Tip

घटाव में ऋणात्मक शेषफल आने पर भाजक जोड़ें। / In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative.

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Question 134/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

छह लगातार पूर्णांकों में से कम से कम एक संख्या 6 से विभाज्य क्यों होती है?

Why is at least one number among six consecutive integers divisible by 6?

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Correct Answer

A. क्योंकि 6 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5 का चक्र आता हैBecause division by 6 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3, 4, 5

Step 1

Concept

6 से भाग देने पर शेषफल 0 से 5 तक हो सकते हैं। / On division by 6, possible remainders are from 0 to 5.

Step 2

Why this answer is correct

छह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। / Six consecutive integers cover all these remainders once.

Step 3

Exam Tip

जिस संख्या का शेषफल 0 है, वह 6 से विभाज्य होगी। / The number with remainder 0 is divisible by 6.

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Question 135/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि कोई संख्या 35 से भाग देने पर शेषफल 34 देती है, तो उस संख्या में 71 जोड़ने पर 35 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 34 when divided by 35, what is the remainder when 71 is added to it and the result is divided by 35?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

मूल शेषफल 34 है। / The original remainder is 34.

Step 2

Why this answer is correct

71 को 35 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (34+1=35), जो 0 बन जाता है। / (71) leaves remainder 1 on division by 35, so total remainder (34+1=35), which becomes 0.

Step 3

Exam Tip

बड़ी जोड़ी गई संख्या को पहले छोटे शेषफल में बदलें। / First reduce the large added number to a small remainder.

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Question 136/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (u=12q+5), तो \(u^2-u\) को 12 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (u=12q+5), what is the remainder when \(u^2-u\) is divided by 12?

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Correct Answer

A. 8

Step 1

Concept

(u) का शेषफल 5 है। / The remainder of (u) is 5.

Step 2

Why this answer is correct

\(u^2-u\) का शेषफल \(5^2-5=20\) से मिलेगा, और (20=12+8)। / The remainder of \(u^2-u\) comes from \(5^2-5=20\), and (20=12+8).

Step 3

Exam Tip

व्यंजक में पहले शेषफल रखें, फिर अंतिम शेषफल निकालें। / Substitute the remainder first, then find the final remainder.

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Question 137/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

किसी संख्या को 9 से भाग देने पर शेषफल 7 है। उसी संख्या के चौथे घात को 9 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

A number leaves remainder 7 when divided by 9. What is the remainder when its fourth power is divided by 9?

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Correct Answer

B. 4

Step 1

Concept

\(7^2=49\), और 49 को 9 से भाग देने पर शेषफल 4 है। / \(7^2=49\), which leaves remainder 4 on division by 9.

Step 2

Why this answer is correct

\(7^4\) के लिए \(4^2=16\), और 16 का 9 से शेषफल 7 नहीं, बल्कि 7 है; इसलिए सही शेषफल 7 होगा। / For \(7^4\), use \(4^2=16\), and 16 leaves remainder 7 on division by 9.

Step 3

Exam Tip

बड़ी घातों में हर चरण के बाद शेषफल घटाना जरूरी है। / In higher powers, reduce the remainder after each step.

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Question 138/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि किसी संख्या को 18 से भाग देने पर शेषफल 12 है, तो उस संख्या में 6 जोड़ने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 12 when divided by 18, what is the remainder after adding 6 to it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

संख्या (18q+12) है। / The number is (18q+12).

Step 2

Why this answer is correct

6 जोड़ने पर (18q+18=18(q+1)), इसलिए शेषफल 0 है। / Adding 6 gives (18q+18=18(q+1)), so the remainder is 0.

Step 3

Exam Tip

जब शेषफल और जोड़ी गई संख्या मिलकर भाजक बन जाएं, तो नया शेषफल शून्य होता है। / When the remainder and the added number make the divisor, the new remainder becomes zero.

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Question 139/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (a=14q+9) और (b=14p+6), तो (ab+a) को 14 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=14q+9) and (b=14p+6), what is the remainder when (ab+a) is divided by 14?

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Correct Answer

A. 7

Step 1

Concept

(a) और (b) के शेषफल 9 और 6 हैं। / The remainders of (a) and (b) are 9 and 6.

Step 2

Why this answer is correct

(ab+a) का शेषफल \(9\times6+9=63\) से मिलेगा, और \(63=14\times4+7\)। / The remainder of (ab+a) comes from \(9\times6+9=63\), and \(63=14\times4+7\).

Step 3

Exam Tip

मिश्रित व्यंजक में प्रत्येक पद का शेषफल अलग संभालें। / In a mixed expression, handle the remainder of each term separately.

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Question 140/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

किस विकल्प में (1201) को (120) से भाग देने का सही यूक्लिडीय रूप है?

Which option gives the correct Euclidean form of dividing (1201) by (120)?

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Correct Answer

A. \(1201=120\times10+1\)

Step 1

Concept

मानक रूप में शेषफल 0 से 119 के बीच होना चाहिए। / In standard form, the remainder must be from 0 to 119.

Step 2

Why this answer is correct

\(120\times10=1200\), इसलिए (1201=1200+1) है। / \(120\times10=1200\), so (1201=1200+1).

Step 3

Exam Tip

गणना सही होने के साथ शेषफल की वैध सीमा भी जरूरी है। / Along with correct calculation, the valid range of the remainder is necessary.

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Question 141/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि किसी संख्या को 8 से भाग देने पर शेषफल 1, 3, 5 या 7 है, तो उसके वर्ग को 8 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 1, 3, 5, or 7 when divided by 8, what is the remainder when its square is divided by 8?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

ये सभी शेषफल विषम संख्या को दिखाते हैं। / These remainders all represent odd numbers.

Step 2

Why this answer is correct

\(1^2,3^2,5^2,7^2\) सभी को 8 से भाग देने पर शेषफल 1 मिलता है। / \(1^2,3^2,5^2,7^2\) all leave remainder 1 when divided by 8.

Step 3

Exam Tip

विषम संख्या के वर्ग का 8 से शेषफल 1 याद रखें। / Remember that the square of an odd number leaves remainder 1 on division by 8.

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Question 142/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि कोई संख्या 27 से भाग देने पर शेषफल 5 देती है, तो (8) गुना संख्या को 27 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If a number leaves remainder 5 when divided by 27, what is the remainder when 8 times the number is divided by 27?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 13

Step 1

Concept

आठ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(8\times5=40\) होगा। / For eight times the number, the remainder part is \(8\times5=40\).

Step 2

Why this answer is correct

(40=27+13), इसलिए अंतिम शेषफल 13 है। / (40=27+13), so the final remainder is 13.

Step 3

Exam Tip

गुणा के बाद परिणाम को भाजक से छोटा करें। / After multiplication, reduce the result below the divisor.

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Question 143/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (a=7q+3), तो \(a^2+2\) को 7 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=7q+3), what is the remainder when \(a^2+2\) is divided by 7?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 4

Step 1

Concept

(a) का शेषफल 3 है। / The remainder of (a) is 3.

Step 2

Why this answer is correct

\(a^2+2\) का शेषफल \(3^2+2=11\) से मिलेगा, और (11=7+4)। / The remainder of \(a^2+2\) comes from \(3^2+2=11\), and (11=7+4).

Step 3

Exam Tip

व्यंजक में शेषफल रखकर फिर अंतिम शेषफल निकालें। / Substitute the remainder in the expression, then find the final remainder.

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Question 144/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (a) को 11 से भाग देने पर शेषफल 6 है और (b) को 11 से भाग देने पर शेषफल 8 है, तो (3a+b) को 11 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a) leaves remainder 6 when divided by 11 and (b) leaves remainder 8 when divided by 11, what is the remainder when (3a+b) is divided by 11?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 4

Step 1

Concept

(3a+b) में शेषफल \(3\times6+8=26\) होगा। / In (3a+b), the remainder part is \(3\times6+8=26\).

Step 2

Why this answer is correct

\(26=11\times2+4\), इसलिए शेषफल 4 है। / \(26=11\times2+4\), so the remainder is 4.

Step 3

Exam Tip

कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें। / In multi-term expressions, handle the remainder of each term separately.

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Question 145/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

किसी संख्या को 42 से भाग देने पर शेषफल 41 है। उस संख्या में 85 जोड़ने पर 42 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

A number leaves remainder 41 when divided by 42. What is the remainder when 85 is added to the number and the result is divided by 42?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

मूल शेषफल 41 है। / The original remainder is 41.

Step 2

Why this answer is correct

85 को 42 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (41+1=42), जो 0 बनता है। / (85) leaves remainder 1 on division by 42, so total remainder (41+1=42), which becomes 0.

Step 3

Exam Tip

बड़ी संख्या जोड़ने पर पहले उसका छोटा शेषफल निकालें। / When adding a large number, first find its smaller remainder.

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Question 146/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि किसी पूर्णांक को 4 से भाग देने पर शेषफल 3 है, तो \(n^2+n+1\) को 4 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If an integer leaves remainder 3 when divided by 4, what is the remainder when \(n^2+n+1\) is divided by 4?

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Correct Answer

A. 1

Step 1

Concept

(n) की जगह शेषफल 3 रखें। / Replace (n) by its remainder 3.

Step 2

Why this answer is correct

\(n^2+n+1\) का शेषफल \(3^2+3+1=13\) से मिलेगा, और 13 का 4 से शेषफल 1 है। / The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(3^2+3+1=13\), and 13 leaves remainder 1 when divided by 4.

Step 3

Exam Tip

बहुपद जैसे व्यंजकों में शेषफल रखने से हल सीधा हो जाता है। / In polynomial-like expressions, substituting the remainder makes the solution direct.

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Question 147/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (a=30q+23), तो (6a) को 30 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=30q+23), what is the remainder when (6a) is divided by 30?

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Correct Answer

A. 18

Step 1

Concept

(a) का शेषफल 23 है। / The remainder of (a) is 23.

Step 2

Why this answer is correct

(6a) के लिए \(6\times23=138\), और \(138=30\times4+18\)। / For (6a), compute \(6\times23=138\), and \(138=30\times4+18\).

Step 3

Exam Tip

गुणा के बाद उत्तर को भाजक से छोटा करें। / After multiplication, reduce the answer below the divisor.

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Question 148/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (r) शेषफल है और भाजक 63 है, तो निम्न में से कौन सा (r) का वैध मान नहीं है?

If (r) is the remainder and the divisor is 63, which of the following is not a valid value of (r)?

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Correct Answer

C. 63

Step 1

Concept

शेषफल की सीमा \(0\le r<63\) है। / The remainder must satisfy \(0\le r<63\).

Step 2

Why this answer is correct

63 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। / 63 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.

Step 3

Exam Tip

(r<b) वाली शर्त को परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले जांचें। / In definition-based questions, check the condition (r<b) first.

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Question 149/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (n=10q+9), तो \(n^2+2n+1\) को 10 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (n=10q+9), what is the remainder when \(n^2+2n+1\) is divided by 10?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

(n^-2+2n+1=(n+1)²) है। / (n^-2+2n+1=(n+1)²).

Step 2

Why this answer is correct

(n) का शेषफल 9 है, इसलिए (n+1) का शेषफल 0 होगा और उसका वर्ग भी 10 से विभाज्य होगा। / Since (n) has remainder 9, (n+1) has remainder 0, so its square is divisible by 10.

Step 3

Exam Tip

पहले व्यंजक की बनावट पहचानें, इससे गणना कम होती है। / First recognize the structure of the expression to reduce calculation.

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Question 150/150 Hard Mathematics Real Numbers Euclid’s Division Lemma Class 10 Level 3

यदि (a=21q+17) और (b=21p+19), तो (a+b+6) को 21 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

If (a=21q+17) and (b=21p+19), what is the remainder when (a+b+6) is divided by 21?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

शेषफलों को जोड़ें: (17+19+6=42)। / Add the remainders: (17+19+6=42).

Step 2

Why this answer is correct

42, 21 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 होना चाहिए। / (42) is exactly divisible by 21, so the remainder should be 0.

Step 3

Exam Tip

कई पदों वाले प्रश्नों में केवल शेषफलों को जोड़कर अंतिम घटाव करें। / In multi-term questions, add only the remainders and reduce at the end.

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Class 10 Mathematics - Real Numbers - Euclid’s Division Lemma Hard Quiz

दो धनात्मक पूर्णांकों 867 और 255 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेय लगाने पर भागफल और शेषफल क्रमशः क्या होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि किसी संख्या को 37 से भाग देने पर भागफल 18 मिलता है, तो अधिकतम संभव संख्या क्या होगी?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

किसी संख्या को 49 से भाग देने पर शेषफल 52 लिखा गया है। यह कथन क्यों गलत है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (a=17q+16) है, तो (a) को 17 से भाग देने पर संभावित शेषफल क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

धनात्मक पूर्णांक 431 को 19 के रूप में लिखने का सही यूक्लिडीय रूप कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

एक संख्या 12 से भाग देने पर केवल कौन से शेषफल दे सकती है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (a) कोई विषम धनात्मक पूर्णांक है, तो यूक्लिड विभाजन प्रमेय से 2 के संदर्भ में उसका रूप क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (n=5q+3), तो (n) को 5 से भाग देने पर शेषफल क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यूक्लिड विभाजन प्रमेय में किसी धनात्मक पूर्णांक (b) के लिए शेषफल पर सही शर्त कौन सी है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

कौन सा कथन यूक्लिड विभाजन प्रमेय की अद्वितीयता को सबसे सही बताता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

314 को 27 से विभाजित करने पर यूक्लिडीय भागफल और शेषफल क्या होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि किसी संख्या को 23 से भाग देने पर शेषफल 0 है, तो संख्या किस रूप की होगी?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

किस विकल्प में 98 को 15 से भाग देने का वैध यूक्लिडीय रूप दिया गया है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (a=9q+r), तो (r) के कितने संभव मान हो सकते हैं?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि 1000 को 64 से भाग दिया जाए, तो शेषफल क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

धनात्मक पूर्णांक को 4 से भाग देने पर कौन सा रूप असंभव है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

एक संख्या (6q+5) के रूप में है। उसे 6 से भाग देने पर उसके वर्ग का शेषफल क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि कोई संख्या 7 से भाग देने पर शेषफल 6 देती है, तो उस संख्या में 1 जोड़ने पर 7 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

किसी संख्या को 8 से भाग देने पर शेषफल 5 है। उसी संख्या में 11 जोड़ने पर 8 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (a=13q+9), तो (a+20) को 13 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct