ठीक द्विघात के लिए \(x^6\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य है। (a-5=0) से (a=5) मिलता है। / For exactly quadratic, the coefficient of \(x^6\) must be zero and the coefficient of \(x^2\) is non-zero. From (a-5=0), (a=5).
\(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) है, जिसमें चर की घात ऋणात्मक है। एक अमान्य पद पूरे व्यंजक को बहुपद नहीं रहने देता। / \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\), where the variable has a negative power. One invalid term prevents the whole expression from being a polynomial.
बहुपद की घात उसके उस पद की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(0x^8\) शून्य पद है, इसलिए \(x^8\) को नहीं गिना जाएगा। शेष पदों में सबसे बड़ी घात \(5\) है, जो \(-6x^5\) में है। \(3\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर \(2x^3\) की घात इससे कम है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटा दें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable having a non-zero coefficient. Here, \(0x^8\) is a zero term, so \(x^8\) is not counted. Among the remaining terms, the highest power is \(5\), in \(-6x^5\). Option \(3\) is a close distractor, but \(2x^3\) has a lower power. Exam tip: remove all terms with zero coefficients before finding the degree.
घात (3) के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य और \(x^3\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (k=1) पर (k+2=3) भी अशून्य है। / For degree (3), the \(x^4\) coefficient must be zero and the \(x^3\) coefficient must be non-zero. At (k=1), (k+2=3) is also non-zero.
अंश के दोनों पदों को \(x^2\) से भाग देते हैं: \(\frac{x^4}{x^2}-\frac{3x^2}{x^2}=x^{4-2}-3x^{2-2}=x^2-3\)। इसलिए सही उत्तर \(x^2-3\) है। विकल्प B में दूसरे पद का भाग गलत है, क्योंकि \(\frac{3x^2}{x^2}=3\), \(\frac{3}{x^2}\) नहीं। यह सरलीकरण केवल \(x\neq0\) के लिए मान्य है, क्योंकि मूल व्यंजक में \(x=0\) पर हर शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: समान आधार वाली घातों को भाग देते समय घातांक घटाएँ। / Divide both terms of the numerator by \(x^2\): \(\frac{x^4}{x^2}-\frac{3x^2}{x^2}=x^{4-2}-3x^{2-2}=x^2-3\). Therefore, \(x^2-3\) is the correct answer. Option B incorrectly divides the second term, since \(\frac{3x^2}{x^2}=3\), not \(\frac{3}{x^2}\). The simplification is valid only for \(x\neq0\), as the original expression is undefined at \(x=0\). Exam tip: when dividing powers with the same base, subtract the exponents.
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। \(\frac{7}{3}\) पूर्णांक नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be non-negative integers. \(\frac{7}{3}\) is not an integer.
घात (4) तभी होगी जब \(x^4\) का गुणांक शून्य न हो। इसलिए \(\lambda\neq0\) आवश्यक है। / The degree is (4) only when the coefficient of \(x^4\) is not zero. Therefore, \(\lambda\neq0\) is required.
स्थिर बहुपद के लिए (r-3=0) और (r+1=0) दोनों चाहिए। एक ही (r) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / For a constant polynomial, both (r-3=0) and (r+1=0) are needed. One value of (r) cannot satisfy both conditions.
शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। इसे शून्य से अलग स्थिर बहुपद से अलग समझें। / The degree of the zero polynomial is not defined. Keep it separate from a non-zero constant polynomial.
घात (4) के लिए \(x^5\) का गुणांक शून्य और \(x^4\) का गुणांक अशून्य चाहिए। (m=-4) पर (m-1=-5) अशून्य है। / For degree (4), the \(x^5\) coefficient must be zero and the \(x^4\) coefficient must be non-zero. At (m=-4), (m-1=-5) is non-zero.
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि चर मूल के अंदर है/It is not a polynomial because the variable is inside a root
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x^2+4}\) में चर मूल के अंदर है। कक्षा (9) की परिभाषा में ऐसा पद बहुपद पद नहीं माना जाता। / \(\sqrt{x^2+4}\) has the variable inside a root. In the class (9) definition, such a term is not treated as a polynomial term.
पहले विकल्प में चार पद हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। सभी घातें बहुपद के लिए मान्य हैं। / The first option has four terms and the highest power is (6). All powers are valid for a polynomial.
एक टैक्सी का किराया ₹50 स्थिर शुल्क तथा प्रति किलोमीटर ₹12 है। यदि चली गई दूरी को \(x\) से दर्शाया जाए, तो \(C(x)=12x+50\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
A. यह घात 1 का रैखिक बहुपद है/It is a linear polynomial of degree 1.
Explanation
Simple Explanation
\(C(x)=12x+50\) में चर \(x\) का सबसे बड़ा घात 1 है और \(x\) का गुणांक 12 शून्य नहीं है। अतः यह घात 1 का रैखिक बहुपद है। 50 अचर पद है, इसलिए पूरा व्यंजक अचर बहुपद नहीं बन जाता। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर का सबसे बड़ा घात देखें। / In \(C(x)=12x+50\), the highest exponent of the variable \(x\) is 1, and the coefficient of \(x\), 12, is non-zero. Therefore, it is a linear polynomial of degree 1. The number 50 is only the constant term; it does not make the entire expression constant. Exam tip: find a polynomial’s degree by identifying the highest exponent of its variable.
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि इसमें x^{-2} है/It is not a polynomial because it contains x^{-2}
Explanation
Simple Explanation
सही उत्तर B है। यहाँ x-0=1 होता है, इसलिए शून्य घात पूरी तरह स्वीकार्य है। लेकिन x^{-2}=\(\frac{1}{x^2}\) में चर की घात ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है, इसलिए दिया गया व्यंजक बहुपद नहीं है। विकल्प A केवल x-0 को देखकर निष्कर्ष निकालता है और x^{-2} को नजरअंदाज करता है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए सबसे पहले जाँचें कि किसी चर की घात ऋणात्मक या भिन्नात्मक तो नहीं है। / Option B is correct. Here, x-0=1, so a zero exponent is perfectly valid. However, x^{-2}=\(\frac{1}{x^2}\), which gives the variable a negative exponent. In a polynomial, variable exponents must be 0 or positive integers; therefore, the given expression is not a polynomial. Option A considers only x-0 and ignores x^{-2}. Exam tip: To identify a polynomial, first check whether any variable has a negative or fractional exponent.
\(\frac{x^3+1}{x}=x^2+\frac{1}{x}\) है। \(\frac{1}{x}\) में ऋणात्मक घात है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^3+1}{x}=x^2+\frac{1}{x}\). Since \(\frac{1}{x}\) has a negative power, it is not a polynomial.
बहुपद की घात उसके उस पद की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ x-4 का गुणांक 2 है, जो b के किसी भी मान के लिए शून्य नहीं हो सकता। इसलिए p(x) की घात हमेशा 4 है। b=3 होने पर केवल x-2 का गुणांक शून्य होता है, x-4 का पद नहीं हटता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय पहले सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power whose coefficient is non-zero. Here, the coefficient of x-4 is 2, which cannot become zero for any value of b. Hence, the degree of p(x) is always 4. When b=3, only the coefficient of x-2 becomes zero; the x-4 term remains. Exam tip: To find the degree, first check the coefficient of the term with the highest power.
विकल्प A में चर वाले पदों में \(x\) की घातें \(7, 5\) और \(1\) हैं, जो सभी विषम धनात्मक पूर्णांक हैं। \(-6\) स्थिर पद है, इसलिए \(x^7-4x^5+2x-6\) दी गई शर्त के अनुसार बहुपद है। विकल्प B में \(x^6\) की सम घात है। विकल्प C में \(x^{-7}\) की ऋणात्मक घात तथा विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) की भिन्नात्मक घात है; अतः ये \(x\) में बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। / In option A, the variable terms have powers \(7, 5\), and \(1\), all of which are odd positive integers. The term \(-6\) is a constant, so \(x^7-4x^5+2x-6\) satisfies the condition. Option B includes the even power \(x^6\). Option C has the negative exponent in \(x^{-7}\), while option D has the fractional exponent \(\sqrt{x}=x^{1/2}\); therefore, neither is a polynomial in \(x\). Exam tip: Exponents of a variable in a polynomial must be non-negative integers.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (p(x)=9) बचता है। यह शून्य से अलग स्थिर बहुपद है। / The zero-coefficient terms disappear and (p(x)=9) remains. It is a non-zero constant polynomial.
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य चाहिए। (k=0) पर (k-2=-2) अशून्य है। / For degree (2), the \(x^3\) coefficient must be zero and the \(x^2\) coefficient must be non-zero. At (k=0), (k-2=-2) is non-zero.
(-3) पूर्णांक है लेकिन ऋणात्मक है। बहुपद में घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / (-3) is an integer but it is negative. In a polynomial, powers must be zero or positive integers.
दिया है कि \(f(x)=x^2-1\)। अतः \(g(x)=x^3+f(x)=x^3+x^2-1\) होगा। इस बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए \(g(x)\) की घात 3 है। घात 2 केवल \(f(x)\) की घात है, \(g(x)\) की नहीं। परीक्षा टिप: किसी फलन में दूसरे बहुपद को रखने के बाद सरलीकृत व्यंजक में \(x\) की सबसे बड़ी घात देखें। / Given \(f(x)=x^2-1\), we get \(g(x)=x^3+f(x)=x^3+x^2-1\). The highest power of \(x\) in this polynomial is 3, so the degree of \(g(x)\) is 3. Degree 2 is the degree of \(f(x)\), not of \(g(x)\). Exam tip: Substitute first, simplify the polynomial, and then identify the highest power of \(x\).
\(\sqrt{7}\) एक वास्तविक गुणांक है और मान्य है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / \(\sqrt{7}\) is a real coefficient and is allowed. All powers of the variable are non-negative integers.
स्थिर बहुपद में \(x^2\) और \(x\) वाले पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए। इसलिए \(a+1=0\) से \(a=-1\) तथा \(a-2=0\) से \(a=2\) मिलता है। एक ही \(a\) का मान \(-1\) और \(2\) दोनों नहीं हो सकता, अतः ऐसा कोई \(a\) नहीं है। केवल \(a=-1\) रखने पर \(x^2\) का पद हटता है, लेकिन \(x\) का पद बना रहता है। परीक्षा टिप: स्थिर बहुपद के लिए चर वाले प्रत्येक पद का गुणांक शून्य जाँचें। / For a constant polynomial, the coefficients of both the \(x^2\) term and the \(x\) term must be zero. Thus, \(a+1=0\) gives \(a=-1\), while \(a-2=0\) gives \(a=2\). The same value of \(a\) cannot be both \(-1\) and \(2\), so no such \(a\) exists. Taking \(a=-1\) removes only the \(x^2\) term; the \(x\) term still remains. Exam tip: for a constant polynomial, set the coefficient of every variable term equal to zero.
A. \(x^n+2\), जहाँ (n) बदलता है/\(x^n+2\), where (n) varies
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। बदलते चर पर निर्भर घात परिभाषा में मान्य नहीं है। / In a polynomial, powers are fixed non-negative integers. A power depending on a varying variable is not valid in the definition.
बहुपद की घात चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(a\neq0\) होने से \(ax^7\) पद उपस्थित है। इसलिए \(p(x)\) की घात \(7\) है। \(x^2\) पद होने पर भी घात \(2\) नहीं होगी, क्योंकि \(7\), \(2\) से बड़ी घात है। परीक्षा टिप: सबसे अधिक घात वाले पद का गुणांक शून्य नहीं है, यह अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. Since \(a\neq0\), the term \(ax^7\) is present. Hence, the degree of \(p(x)\) is \(7\). It is not \(2\), because \(7\) is the greater exponent. Exam tip: always verify that the coefficient of the highest-power term is non-zero.
\(7x^2+5\) में \(x\) की उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। इसके केवल दो पद, \(7x^2\) और 5, हैं; अतः यह द्विपदी है, त्रिपदी नहीं। \(2x^2-3x+1\) द्विघात तो है, लेकिन उसके तीन पद हैं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात उच्चतम घातांक से और पदों का प्रकार अलग-अलग पदों को गिनकर ज्ञात करें। / In \(7x^2+5\), the highest power of \(x\) is 2, so it is a quadratic polynomial. It has only two terms, \(7x^2\) and 5; therefore, it is a binomial, not a trinomial. Although \(2x^2-3x+1\) is also quadratic, it has three terms. Exam tip: find the degree from the highest exponent and the type from the number of terms separately.
बहुपद में सभी बीच की घातों का होना जरूरी नहीं है। \(x^8+3x^3-2\) में उपस्थित घातें मान्य हैं। / A polynomial need not contain all middle powers. In \(x^8+3x^3-2\), the present powers are valid.
बहुपद की घात उस चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक अशून्य हो। यहाँ \(x^3\) का गुणांक 2 है, जो (h) के किसी भी वास्तविक मान के लिए अशून्य रहता है। इसलिए बहुपद की घात हमेशा 3 होगी। (h=5) रखने पर केवल (x) का पद समाप्त होता है, \(x^3\) का पद नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले पद के गुणांक को पहले जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable having a non-zero coefficient. Here, the coefficient of \(x^3\) is 2, which remains non-zero for every real value of (h). Hence, the polynomial always has degree 3. For (h=5), only the (x) term disappears; the \(x^3\) term does not. Exam tip: To determine degree, first check the coefficient of the highest-power term.
A. वास्तव में यह \(x^3+1\) बनता है, इसलिए यह बहुपद है/It actually simplifies to \(x^3+1\), so it is a polynomial.
Explanation
Simple Explanation
अंश का गुणनखंड करने पर \(x^5+x^2=x^2(x^3+1)\) मिलता है। इसलिए \(\frac{x^5+x^2}{x^2}=x^3+1\), जहाँ \(x\ne0\) है। \(x^3+1\) में चर की घातें 3 और 0 हैं, जो दोनों अऋणात्मक पूर्णांक हैं; अतः यह बहुपद है। विकल्प B में \(x^2\) से भाग देने का गलत सरलीकरण किया गया है। परीक्षा टिप: भिन्नात्मक बीजीय व्यंजक को सरल करने से पहले अंश का गुणनखंड कीजिए। / Factor the numerator: \(x^5+x^2=x^2(x^3+1)\). Hence \(\frac{x^5+x^2}{x^2}=x^3+1\), for \(x\ne0\). The exponents of the variable in \(x^3+1\) are 3 and 0, both non-negative integers, so it is a polynomial. Option B comes from incorrect division by \(x^2\). Exam tip: factor the numerator before cancelling a common factor in an algebraic fraction.
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(\sin x\) बहुपद पद नहीं है/It is not a polynomial because \(\sin x\) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में पद चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों के रूप में होते हैं। \(\sin x\) ऐसा पद नहीं है। / In a polynomial, terms are powers of the variable with non-negative integer exponents. \(\sin x\) is not such a term.
बहुपद की घात उसके उच्चतम घात वाले पद की घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(x^2\) का गुणांक \(1\) है और यह \(a\) के किसी भी मान पर शून्य नहीं होता। इसलिए \(p(x)\) की घात सभी वास्तविक \(a\) के लिए \(2\) है। \(a=0\) रखने पर भी \(p(x)=x^2\) रहता है, जिसकी घात \(2\) है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में सबसे बड़े घात वाले पद का गुणांक पहले जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest exponent whose coefficient is non-zero. Here, the coefficient of \(x^2\) is \(1\), and it never becomes zero for any value of \(a\). Hence, \(p(x)\) has degree \(2\) for all real \(a\). Even when \(a=0\), \(p(x)=x^2\), which still has degree \(2\). Exam tip: In a polynomial containing a parameter, first check whether the coefficient of the highest-power term can become zero.
विकल्प B, \(4+\frac{1}{x^5}\), बहुपद नहीं है क्योंकि \(\frac{1}{x^5}=x^{-5}\) होता है। इसमें \(x\) की घात \(-5\) है, जबकि बहुपद में चर की घात केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, अर्थात \(0,1,2,\ldots\), हो सकती है। विकल्प C में \(x^0=1\) है, इसलिए वह बहुपद है। परीक्षा टिप: चर हर में हो तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / Option B, \(4+\frac{1}{x^5}\), is not a polynomial because \(\frac{1}{x^5}=x^{-5}\). The exponent of \(x\) is \(-5\), whereas exponents of variables in a polynomial must be non-negative integers: \(0,1,2,\ldots\). In option C, \(x^0=1\), so it is a polynomial. Exam tip: If a variable is in the denominator, rewrite it with a negative exponent and check it.
बहुपद के पद हैं: x-6, -2x-4, x-2 और -1। अतः इसमें 4 पद हैं। बहुपद की घात उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जो यहाँ 6 है। घात 4 नहीं है, क्योंकि x-6 पद मौजूद है। परीक्षा टिप: पदों को जोड़ और घटाव के चिह्नों के आधार पर अलग-अलग गिनें। / The terms of the polynomial are x-6, -2x-4, x-2, and -1. Therefore, it has 4 terms. The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term, which is 6 here. Degree 4 is incorrect because the term x-6 is present. Exam tip: Count terms by separating the expression at addition and subtraction signs.
\(z^2x^4+3zx^2-8\) में \(x\) की घातें \(4\), \(2\) और \(0\) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है। यहाँ \(z^2\) तथा \(3z\), \(x\) की घातों के गुणांक हैं। विकल्प A में \(x\) की घात \(-2\) है, विकल्प C में \(x\) हर में है अर्थात उसकी घात \(-1\) है, और विकल्प D में \(x\) की घात \(\frac12\) है; इसलिए ये \(x\) में बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को \(x\) में बहुपद जाँचते समय केवल \(x\) की घातों को देखें; अन्य अक्षर गुणांक हो सकते हैं। / In \(z^2x^4+3zx^2-8\), the powers of \(x\) are \(4\), \(2\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\). The expressions \(z^2\) and \(3z\) act as coefficients of powers of \(x\). In option A, \(x\) has exponent \(-2\); in option C, \(x\) is in the denominator, so its exponent is \(-1\); and in option D, the exponent of \(x\) is \(\frac12\). Hence, these are not polynomials in \(x\). Exam tip: when testing for a polynomial in \(x\), check the exponents of \(x\); other letters may be coefficients.
घात (0) के लिए \(x^2\) और (x) दोनों के गुणांक शून्य होने चाहिए। (a-2=0) से (a=2) है और (7) बचता है। / For degree (0), the coefficients of both \(x^2\) and (x) must be zero. From (a-2=0), (a=2), and (7) remains.
\(\log x\) चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घात वाला पद नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\log x\) is not a term with a non-negative integer power of the variable. Therefore, it is not a polynomial.
C. यह शून्य बहुपद है जिसकी घात परिभाषित नहीं है/It is the zero polynomial whose degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
सभी पदों के गुणांक शून्य हैं, इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। / All terms have zero coefficients, so it is the zero polynomial. The degree of the zero polynomial is not defined.
A. चर की घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों/Variable powers are fixed zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की पहचान मुख्य रूप से चर की घातों से होती है। घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / A polynomial is identified mainly by the powers of the variable. The powers must be fixed non-negative integers.
\(x^8-5x^6+2x^2+4\) में \(x\) की घातें \(8,6,2\) और \(0\) (स्थिर पद \(4\) की घात) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक तथा सम हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है और इसमें केवल सम घातें हैं। \(x^7+x^2+1\) बहुपद तो है, पर \(7\) विषम घात है। \(x^{-2}+x^4\) और \(x^{1/2}+x^2\) बहुपद नहीं हैं क्योंकि इनमें क्रमशः ऋणात्मक और भिन्नात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^8-5x^6+2x^2+4\), the powers of \(x\) are \(8,6,2\), and \(0\) (for the constant term \(4\)). They are all non-negative integers and even, so it is a polynomial containing only even powers. \(x^7+x^2+1\) is a polynomial, but \(7\) is an odd power. \(x^{-2}+x^4\) and \(x^{1/2}+x^2\) are not polynomials because they contain a negative and a fractional exponent, respectively. Exam tip: powers of the variable in a polynomial must be non-negative integers.
घात (4) के लिए \(x^5\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। \(k^2-1=0\) से \(k=\pm1\) और \(2x^4\) अशून्य रहता है। / For degree (4), the coefficient of \(x^5\) must be zero. From \(k^2-1=0\), \(k=\pm1\), and \(2x^4\) remains non-zero.
\(x^2-5x+6\) में तीन पद हैं: \(x^2\), \(-5x\) और \(6\)। इसकी सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है; तीन पद होने के कारण यह त्रिपदी भी है। \(x^3-5x+6\) भी त्रिपदी है, लेकिन उसकी घात 3 है, इसलिए वह घन बहुपद है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात सबसे बड़े घातांक से और पदों की संख्या \(+\) या \(-\) से अलग हुए पदों से ज्ञात करें। / \(x^2-5x+6\) has three terms: \(x^2\), \(-5x\), and \(6\). Its highest exponent is 2, so it is a quadratic polynomial; because it has three terms, it is a trinomial. \(x^3-5x+6\) is also a trinomial, but its degree is 3, so it is cubic. Exam tip: identify degree from the highest exponent and count terms separated by \(+\) or \(-\).
\(\frac{x^2+4}{x^2}=1+\frac{4}{x^2}\) है। \(\frac{4}{x^2}=4x^{-2}\), इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^2+4}{x^2}=1+\frac{4}{x^2}\). Since \(\frac{4}{x^2}=4x^{-2}\), it is not a polynomial.
A. (c), (d) और (e) के किसी भी मान के लिए/For any values of (c), (d) and (e)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की घात उस चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(x^4\) का गुणांक (1) है, जो (c), (d) और (e) के किसी भी मान के लिए शून्य नहीं हो सकता। इसलिए बहुपद की घात निश्चित रूप से (4) है। (c), (d) या (e) को शून्य करने से केवल निम्न घात वाले पद प्रभावित होते हैं, \(x^4\) पद नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable whose coefficient is non-zero. Here, the coefficient of \(x^4\) is (1), which cannot become zero for any values of (c), (d), and (e). Hence, the degree is definitely (4). Setting (c), (d), or (e) to zero affects only lower-degree terms, not the \(x^4\) term. Exam tip: always check the coefficient of the highest-power term before deciding the degree.
\(x^3+1\) में \(x\) की घातें 3 और 0 हैं, जो ऋणेतर पूर्णांक हैं; इसलिए यह \(x\) में बहुपद है। इसकी उच्चतम घात 3 है, इसलिए यह घन बहुपद है, रैखिक बहुपद नहीं। \(5x-2\) की घात 1 होने से वह रैखिक बहुपद है। \(\frac{1}{x}+2\) में \(x\) की घात \(-1\) तथा \(\sqrt{x}+1\) में \(\frac12\) है, इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक होती है। / In \(x^3+1\), the powers of \(x\) are 3 and 0, both non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\). Its highest power is 3, making it a cubic polynomial rather than a linear polynomial. \(5x-2\) is linear because its degree is 1. In \(\frac{1}{x}+2\) and \(\sqrt{x}+1\), the powers of \(x\) are \(-1\) and \(\frac12\), so they are not polynomials. Exam tip: variable exponents in a polynomial must be 0 or positive integers.
स्थिर बहुपद के लिए सभी चर पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए। (a-1=0) से (a=1) मिलता है और (5) बचता है। / For a constant polynomial, all variable-term coefficients must be zero. From (a-1=0), (a=1), and (5) remains.
घात (5) के लिए \(x^6\) का गुणांक शून्य और \(x^5\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (a=-2) पर (a-4=-6) अशून्य रहता है। / For degree (5), the \(x^6\) coefficient must be zero and the \(x^5\) coefficient must be non-zero. At (a=-2), (a-4=-6) remains non-zero.
हर पद को (x) से भाग देने पर \(x^3+x+1\) मिलता है। इसमें सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / Dividing each term by (x) gives \(x^3+x+1\). All its powers are non-negative integers.
बहुपद के पद चर की निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों में होते हैं। \(\cos x\) ऐसा पद नहीं है। / Polynomial terms use fixed non-negative integer powers of the variable. \(\cos x\) is not such a term.
घात (0) के लिए चर वाले दोनों गुणांक शून्य होने चाहिए। (k-3=0) और (2k-6=0) दोनों से (k=3) मिलता है। / For degree (0), both variable-term coefficients must be zero. Both (k-3=0) and (2k-6=0) give (k=3).
घात (3) के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य और \(x^3\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (a=2) पर \(a^2-4=0\) और (a+2=4) है। / For degree (3), the \(x^4\) coefficient must be zero and the \(x^3\) coefficient must be non-zero. At (a=2), \(a^2-4=0\) and (a+2=4).
