द्विघात बहुपद की उच्चतम घात 2 होती है। इसलिए \(x^5\) का गुणांक शून्य होना चाहिए: \(a-4=0\)। अतः \(a=4\)। इस स्थिति में \(p(x)=3x^2-7\) बनता है, जिसकी घात 2 है क्योंकि \(x^2\) का गुणांक 3 शून्य नहीं है। \(a=0\) लेने पर \(x^5\) पद बना रहेगा, इसलिए वह द्विघात नहीं होगा। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले प्रश्नों में उच्चतम घात वाले पद का गुणांक पहले शून्य करें। / A quadratic polynomial has highest power 2. Therefore, the coefficient of \(x^5\) must be zero: \(a-4=0\). Hence, \(a=4\). Then \(p(x)=3x^2-7\), which has degree 2 because the coefficient of \(x^2\) is the non-zero number 3. If \(a=0\), the \(x^5\) term remains, so the polynomial is not quadratic. Exam tip: in parameter-based questions, first make the coefficient of the highest unwanted power zero.
\(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) है, जिसमें (x) की घात ऋणात्मक है। वास्तविक गुणांक होना अकेले बहुपद की गारंटी नहीं देता। / \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\), where the power of (x) is negative. Having real coefficients alone does not guarantee a polynomial.
बहुपद की घात उस पद की सबसे बड़ी घातांक होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(0x^6\) का मान शून्य है, इसलिए यह बहुपद की घात में शामिल नहीं होगा। शेष पदों में \(5x^4\) की घात सबसे अधिक है, अतः \(p(x)\) की घात \(4\) है। \(6\) चुनना गलत है क्योंकि उसका गुणांक \(0\) है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of a term with a non-zero coefficient. Here, \(0x^6\) equals zero, so it does not contribute to the degree. Among the remaining terms, \(5x^4\) has the greatest exponent; therefore, the degree of \(p(x)\) is \(4\). Choosing \(6\) is incorrect because its coefficient is \(0\). Exam tip: remove all zero-coefficient terms before identifying the highest power.
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (k+2=0) से (k=-2) मिलता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^3\) must be zero and the coefficient of \(x^2\) must remain non-zero. From (k+2=0), (k=-2).
B. यह बहुपद नहीं है, क्योंकि \(\sqrt{x}=x^{1/2} है / It is not a polynomial because \(\sqrt{x}=x^{1 / 2}\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। यहाँ \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) है और \(1/2\) पूर्णांक नहीं है। इसलिए \(x^2+\sqrt{x}+1\) बहुपद नहीं है। इसमें \(x^2\) होने के बावजूद इसे द्विघात बहुपद नहीं कह सकते, क्योंकि पूरा व्यंजक बहुपद होना आवश्यक है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में चर का मूल या भिन्नात्मक घात दिखे, तो पहले जाँचें कि वह बहुपद है या नहीं। / In a polynomial, the exponents of the variable can only be non-negative integers. Here, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and \(1/2\) is not an integer. Therefore, \(x^2+\sqrt{x}+1\) is not a polynomial. Although the expression contains \(x^2\), it cannot be called a quadratic polynomial because the complete expression must first be a polynomial. Exam tip: if a variable appears under a radical or with a fractional exponent, first test whether the expression is a polynomial.
घन बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 3 होती है और सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। \(4y^3-2y+8\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह ठीक घन बहुपद है। \(y^4+y^3+1\) चतुर्थ घात का बहुपद है, जबकि \(y^{-3}+2\) बहुपद नहीं है क्योंकि इसमें ऋणात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने से पहले ऋणात्मक या भिन्नात्मक घातों की जाँच करें। / A cubic polynomial has highest exponent 3, and every exponent of the variable must be a non-negative integer. In \(4y^3-2y+8\), the highest exponent is 3, so it is exactly cubic. \(y^4+y^3+1\) is quartic, while \(y^{-3}+2\) is not a polynomial because it has a negative exponent. Exam tip: before identifying the degree, check that no variable has a negative or fractional exponent.
जब b=0 रखा जाता है, तब bx-4=0 हो जाता है। इसलिए p(x)=3x-3-2x+1 बचता है। इस बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 3 है, अतः इसकी घात 3 है। विकल्प 4 गलत है क्योंकि x-4 का गुणांक शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / Substituting b=0 makes bx-4=0. Thus, p(x)=3x-3-2x+1. The greatest exponent of x with a non-zero coefficient is 3, so the degree is 3. Option 4 is incorrect because the coefficient of x-4 becomes zero. Exam tip: remove all terms with zero coefficients before finding the degree.
\(m\) को स्थिर मानने पर \(m^2x^3-5mx+6\) में \(x\) की घातें क्रमशः 3, 1 और 0 हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है। विकल्प A में \(x^{-2}\), विकल्प B में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), और विकल्प C में \(\frac{m}{x}=mx^{-1}\) है; इनमें \(x\) की घातें बहुपद के लिए मान्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: जिस चर में बहुपद जाँचना हो, उसकी प्रत्येक घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Treating \(m\) as a constant, the powers of \(x\) in \(m^2x^3-5mx+6\) are 3, 1, and 0. All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\). Option A has \(x^{-2}\), option B has \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and option C has \(\frac{m}{x}=mx^{-1}\); these powers are not permitted in a polynomial. Exam tip: For a polynomial in a given variable, every exponent of that variable must be a non-negative integer.
स्थिर बहुपद में \(x^2\) और \(x\) दोनों के गुणांक शून्य होने चाहिए। अतः \(r-1=0\) से \(r=1\) तथा \(r+2=0\) से \(r=-2\) मिलना चाहिए। एक ही \(r\) का मान 1 और −2 दोनों नहीं हो सकता, इसलिए ऐसा कोई \(r\) नहीं है। \(r=1\) केवल \(x^2\) पद हटाता है, जबकि \(x\) पद बना रहता है। परीक्षा टिप: स्थिर बहुपद के लिए चर वाले प्रत्येक पद का गुणांक शून्य जाँचें। / For a polynomial to be constant, the coefficients of both \(x^2\) and \(x\) must be zero. Thus, \(r-1=0\) requires \(r=1\), while \(r+2=0\) requires \(r=-2\). The same value of \(r\) cannot be both 1 and −2, so no such \(r\) exists. In particular, \(r=1\) removes only the \(x^2\) term; the \(x\) term remains. Exam tip: for a constant polynomial, set the coefficient of every variable term equal to zero.
अंश में \(x\) उभयनिष्ठ गुणनखंड है: \(x^3+2x=x(x^2+2)\)। अतः \(x\ne0\) के लिए \(\frac{x^3+2x}{x}=x^2+2\) मिलता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। रैखिक बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 1 होती है। परीक्षा टिप: व्यंजक को पहले सरल करें, फिर चर की सबसे बड़ी घात से बहुपद की डिग्री पहचानें। / The numerator has a common factor \(x\): \(x^3+2x=x(x^2+2)\). Therefore, for \(x\ne0\), \(\frac{x^3+2x}{x}=x^2+2\). The highest power of \(x\) is 2, so it is a quadratic polynomial. A linear polynomial has highest power 1. Exam tip: simplify the expression first, then use the highest exponent of the variable to identify the degree.
\(x^{5/2}\) में घात \(\frac{5}{2}\) है जो पूर्णांक नहीं है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{5/2}\), the power is \(\frac{5}{2}\), which is not an integer. Such a power is not valid in a polynomial.
A. \(5x^6-2x^3+1\), घात (6)/\(5x^6-2x^3+1\), degree (6)
Explanation
Simple Explanation
पहले विकल्प में सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। बाकी विकल्प बहुपद नहीं हैं। / In the first option, all powers are non-negative integers and the highest power is (6). The other options are not polynomials.
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। (c+5=0) से (c=-5) और \(x^2\) का गुणांक (-7) अशून्य रहता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^3\) must be zero. From (c+5=0), (c=-5), and the \(x^2\) coefficient (-7) remains non-zero.
B. यह 2 घात का बहुपद है/It is a polynomial of degree 2
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x\) है, इसलिए चर \(x\) हर में नहीं है; \(\frac{1}{2}\) केवल उसका गुणांक है। इस व्यंजक के पद \(x^2\), \(\frac{1}{2}x\) और 9 हैं, जिनमें \(x\) की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं। ये सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं और सबसे बड़ी घात 2 है, अतः यह 2 घात का बहुपद है। विकल्प A में चर को हर में मानना गलत है, जबकि विकल्प C केवल एक पद की घात देखकर पूरे बहुपद की घात बताता है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए सभी पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / Since \(\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x\), the variable \(x\) is not in the denominator; \(\frac{1}{2}\) is only a coefficient. The terms are \(x^2\), \(\frac{1}{2}x\), and 9, whose exponents of \(x\) are 2, 1, and 0 respectively. All are non-negative integers, and the greatest exponent is 2, so it is a polynomial of degree 2. Option A wrongly treats the variable as being in the denominator, while option C looks at only one term instead of the whole polynomial. Exam tip: find the degree of a polynomial by identifying the greatest exponent of the variable among all its terms.
\(x^5+x^3-x+2\) में चार पद हैं: \(x^5\), \(x^3\), \(-x\) और \(2\)। चर \(x\) की सबसे बड़ी घात \(5\) है, इसलिए इस बहुपद की घात \(5\) है। विकल्प B में चार पद हैं, लेकिन उसकी घात \(4\) है। विकल्प C की घात \(5\) है, पर उसमें केवल दो पद हैं। विकल्प D बहुपद नहीं है, क्योंकि \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में ऋणात्मक घात है। परीक्षा टिप: पहले पदों की संख्या गिनें, फिर चर की सबसे बड़ी अऋणात्मक पूर्णांक घात पहचानें। / \(x^5+x^3-x+2\) has four terms: \(x^5\), \(x^3\), \(-x\), and \(2\). The highest power of \(x\) is \(5\), so the degree of this polynomial is \(5\). Option B has four terms but degree \(4\). Option C has degree \(5\), but it contains only two terms. Option D is not a polynomial because \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) has a negative exponent. Exam tip: First count the terms, then identify the greatest non-negative integer exponent of the variable.
रैखिक होने के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और (2x) पद मौजूद है। \(a^2-9=0\) से \(a=\pm3\)। / For it to be linear, the \(x^4\) coefficient must be zero and the (2x) term is present. From \(a^2-9=0\), \(a=\pm3\).
(u) के संदर्भ में \(\frac{1}{x}\) स्थिर जैसा है, इसलिए यह (u) में बहुपद है। लेकिन (x) के संदर्भ में \(\frac{1}{x}\) की घात (-1) है। / With respect to (u), \(\frac{1}{x}\) is like a constant, so it is a polynomial in (u). With respect to (x), \(\frac{1}{x}\) has power (-1).
बहुपद की घात उस पद की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(0x^5\) का गुणांक शून्य है, इसलिए यह पद बहुपद की घात में योगदान नहीं देता। शेष पदों में \(7x^3\) की घात सबसे अधिक 3 है; अतः यह घात 3 का बहुपद है। घात 5 वाला विकल्प इसलिए गलत है क्योंकि \(x^5\) का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को अनदेखा करें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable having a non-zero coefficient. Here, the coefficient of \(0x^5\) is zero, so this term does not contribute to the degree. Among the remaining terms, \(7x^3\) has the highest power, 3; therefore, the polynomial has degree 3. The degree-5 option is incorrect because the coefficient of \(x^5\) is zero. Exam tip: Ignore all terms with zero coefficients before finding the degree.
C. यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(x^{-1}\) है/It is not a polynomial because it has \(x^{-1}\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^0\) मान्य है लेकिन \(x^{-1}\) मान्य नहीं है। एक अमान्य पद पूरे व्यंजक को बहुपद नहीं रहने देता। / \(x^0\) is valid but \(x^{-1}\) is not valid. One invalid term prevents the whole expression from being a polynomial.
घात (1) के लिए \(x^2\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। (k=0) रखने पर (3x+4) रैखिक बहुपद बचता है। / For degree (1), the coefficient of \(x^2\) must be zero. With (k=0), (3x+4) remains a linear polynomial.
\(\frac{1}{x^4}=x^{-4}\) है, जो ऋणात्मक घात है। बहुपद में ऋणात्मक घातें स्वीकार्य नहीं हैं। / \(\frac{1}{x^4}=x^{-4}\), which is a negative power. Negative powers are not allowed in polynomials.
\(\sqrt{11}\) स्थिर वास्तविक संख्या है और मान्य है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / \(\sqrt{11}\) is a real constant and is allowed. All powers of the variable are non-negative integers.
D. यह घात 4 का बहुपद है/It is a polynomial of degree 4
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की घात उस चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य नहीं होता। यहाँ \(x^4\) का गुणांक \(a\) है और \(a\neq0\) दिया गया है, इसलिए \(x^4\) पद बना रहेगा। \(b\) और \(c\) के किसी भी मान से इस उच्चतम घात वाले पद पर प्रभाव नहीं पड़ता; इसलिए बहुपद की घात 4 है। घात 2 वाला विकल्प केवल तब हो सकता था जब \(a=0\) होता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले उच्चतम घात वाले पद का गुणांक अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest power of the variable with a non-zero coefficient. Here, the coefficient of \(x^4\) is \(a\), and \(a\neq0\), so the \(x^4\) term remains present. No value of \(b\) or \(c\) can affect this highest-power term; therefore, the polynomial has degree 4. It could be quadratic only if \(a=0\). Exam tip: Before identifying a polynomial’s degree, always check the coefficient of its highest-power term.
बहुपद में बीच की घातों का होना जरूरी नहीं है। \(x^5+2x^2-3\) में उपस्थित घातें (5), (2), (0) हैं और मान्य हैं। / A polynomial need not contain all middle powers. In \(x^5+2x^2-3\), the present powers (5), (2), (0) are valid.
दिया गया व्यंजक सरल करने पर p(x)=6 मिलता है, क्योंकि x वाले सभी पदों के गुणांक 0 हैं। 6 एक अशून्य स्थिर बहुपद है, इसलिए इसकी घात 0 होती है। "परिभाषित नहीं" केवल शून्य बहुपद के लिए माना जाता है, अशून्य स्थिर बहुपद के लिए नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / On simplifying, p(x)=6 because every term containing x has coefficient 0. Since 6 is a non-zero constant polynomial, its degree is 0. “Not defined” applies to the zero polynomial, not to a non-zero constant polynomial. Exam tip: remove terms with zero coefficients before finding the degree.
A. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों और गुणांक वास्तविक हो सकते हैं/Variable powers are zero or positive integers and coefficients may be real
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की मुख्य शर्त चर की घातों पर होती है। घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / The main condition for a polynomial is about the powers of the variable. The powers must be zero or positive integers.
स्थिर बहुपद के लिए (s-2=0) और (s+1=0) दोनों चाहिए। एक ही (s) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / For a constant polynomial, both (s-2=0) and (s+1=0) are required. One value of (s) cannot satisfy both conditions.
पहले विकल्प में घातें (6), (4), (2) और (0) हैं। ये सभी सम और बहुपद के लिए मान्य हैं। / In the first option, the powers are (6), (4), (2), and (0). All are even and valid for a polynomial.
घात (2) तभी होगी जब \(x^2\) का गुणांक शून्य न हो। इसलिए \(\lambda\neq0\) चाहिए। / The degree will be (2) only if the coefficient of \(x^2\) is non-zero. Therefore, \(\lambda\neq0\) is required.
\(5x^3-2x+7\) में \(x\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह एक चर में बहुपद है। विकल्प B में \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) तथा विकल्प D में ऋणात्मक घात है; विकल्प C में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) की भिन्नात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की प्रत्येक घात ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(5x^3-2x+7\), the powers of \(x\) are \(3\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in one variable. In option B, \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\), and option D also has a negative exponent; option C has \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), a fractional exponent. Exam tip: every exponent of the variable in a polynomial must be a non-negative integer.
बहुपद के पद हैं: \(x^4\), \(-2x^3\), \(3x^2\), \(-4x\) और \(5\)। इसलिए इसमें 5 पद हैं। बहुपद की घात चर \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है, जो \(x^4\) में 4 है। अतः सही उत्तर 5 पद और घात 4 है। \(5\) स्थिर पद है, इसलिए उसे गिनते समय छोड़ना नहीं चाहिए। परीक्षा टिप: पदों को जोड़ या घटाव के चिह्नों के आधार पर अलग-अलग गिनें। / The terms of the polynomial are \(x^4\), \(-2x^3\), \(3x^2\), \(-4x\), and \(5\). Hence, it has 5 terms. The degree of a polynomial is the highest exponent of \(x\), which is 4 in \(x^4\). Therefore, the correct answer is 5 terms and degree 4. Do not omit the constant \(5\), as it is also a term. Exam tip: Count terms by separating them at addition and subtraction signs.
\(5x^2-11\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। इसमें केवल दो अशून्य पद, \(5x^2\) और \(-11\), हैं; अतः यह द्विपदी है, त्रिपदी नहीं। \(x^2+3x+2\) द्विघात तो है, लेकिन उसके तीन पद हैं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात सबसे बड़ी घातांक से और पदों की संख्या अशून्य पदों को गिनकर तय करें। / In \(5x^2-11\), the highest power of \(x\) is 2, so it is a quadratic polynomial. It has only two non-zero terms, \(5x^2\) and \(-11\), making it a binomial rather than a trinomial. \(x^2+3x+2\) is quadratic, but it has three terms. Exam tip: find the degree from the highest exponent and count only non-zero terms to identify the type of polynomial.
B. \(h\) का कोई भी वास्तविक मान/Any real value of \(h\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद \(p(x)=2x^3+(h-4)x^2+7\) में \(x^3\) का गुणांक \(2\) है, जो शून्य नहीं है और \(h\) पर निर्भर भी नहीं करता। इसलिए सबसे बड़ी घात वाला पद \(2x^3\) प्रत्येक वास्तविक \(h\) के लिए बना रहता है, अतः बहुपद की घात \(3\) ही होगी। \(h=4\) रखने पर केवल \(x^2\) का गुणांक शून्य होता है; \(x^3\) पद नहीं हटता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले गैर-शून्य गुणांक को पहले जाँचें। / In \(p(x)=2x^3+(h-4)x^2+7\), the coefficient of \(x^3\) is \(2\). It is non-zero and does not depend on \(h\). Hence the highest-power term \(2x^3\) remains present for every real value of \(h\), so the degree is always \(3\). If \(h=4\), only the \(x^2\) coefficient becomes zero; the \(x^3\) term does not disappear. Exam tip: to determine degree, first check the coefficient of the highest-power term.
\(3x^2+1\) में \(x\) का पद \(3x^2\) उपस्थित है और इसकी घात 2 है। अतः यह \(x\) में एक अचर बहुपद है, स्थिर बहुपद नहीं। \(14\), \(0\) और \(-9\) में \(x\) नहीं है, इसलिए वे स्थिर बहुपद हैं। परीक्षा टिप: जिस बहुपद में चर की कोई धनात्मक घात हो, वह स्थिर बहुपद नहीं होता। / In \(3x^2+1\), the term \(3x^2\) contains \(x\), and the polynomial has degree 2. Hence, it is a non-constant polynomial in \(x\). The expressions \(14\), \(0\), and \(-9\) contain no \(x\), so they are constant polynomials. Exam tip: A polynomial with a variable raised to a positive power cannot be a constant polynomial.
A. क्योंकि यह \(x^2-\frac{1}{x^2}\) बनता है/Because it becomes \(x^2-\frac{1}{x^2}\)
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप \(x^2-\frac{1}{x^2}\) है। \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) के कारण यह बहुपद नहीं है। / The simplified form is \(x^2-\frac{1}{x^2}\). Because \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), it is not a polynomial.
C. \(a\) के सभी वास्तविक मानों के लिए/For all real values of \(a\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की घात, \(x\) की उस सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(x^2\) का गुणांक हमेशा \(1\) है, जो \(a\) के किसी भी मान पर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(p(x)\) की घात सभी वास्तविक \(a\) के लिए \(2\) है। \(a\ne0\) वाली शर्त आवश्यक नहीं है, क्योंकि \(a=0\) पर भी \(p(x)=x^2\) की घात \(2\) रहती है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में उच्चतम घात वाले पद का गुणांक पहले जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of \(x\) having a non-zero coefficient. Here, the coefficient of \(x^2\) is always \(1\), and it cannot become zero for any value of \(a\). Hence, \(p(x)\) has degree \(2\) for every real \(a\). The condition \(a\ne0\) is unnecessary because even when \(a=0\), \(p(x)=x^2\) still has degree \(2\). Exam tip: In a polynomial containing a parameter, first check the coefficient of the highest-power term.
A. \(x^n+1\), जहाँ (n) बदलता चर है/\(x^n+1\), where (n) is a changing variable
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। बदलते चर वाली घात परिभाषा में मान्य नहीं है। / In a polynomial, powers must be fixed non-negative integers. A power depending on a changing variable is not valid in the definition.
बहुपद \(x^3-5x^2+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी घात 3 है और यह घन बहुपद है। इसके तीन अशून्य पद \(x^3\), \(-5x^2\) और \(2\) हैं, इसलिए यह त्रिपदी है। अतः सही पहचान घन त्रिपदी है। घन द्विपदी गलत है क्योंकि इसमें तीन पद हैं, दो नहीं। परीक्षा टिप: घात जानने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें और पदों की संख्या अलग से गिनें। / In \(x^3-5x^2+2\), the highest power of \(x\) is 3, so its degree is 3 and it is a cubic polynomial. It has three non-zero terms: \(x^3\), \(-5x^2\), and \(2\); therefore, it is a trinomial. Hence, it is a cubic trinomial. “Cubic binomial” is incorrect because the expression has three terms, not two. Exam tip: find the highest exponent for the degree, then count the non-zero terms separately.
\(x^5-2x^3+x-9\) में \(x\) की घातें 5, 3 और 1 हैं, जो सभी विषम धनात्मक पूर्णांक हैं, तथा \(-9\) स्थिर पद है। इसलिए यह बहुपद प्रश्न की दोनों शर्तें पूरी करता है। \(x^4+x^2+1\) बहुपद है, पर इसमें चर की घातें सम हैं। \(x^{-3}+x\) में ऋणात्मक घात है और \(\sqrt{x}+x^3\) में \(x\) की घात \(\frac12\) है; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। / In \(x^5-2x^3+x-9\), the powers of \(x\) are 5, 3, and 1, all odd positive integers, and \(-9\) is the constant term. Therefore, it satisfies both conditions in the question. \(x^4+x^2+1\) is a polynomial, but its variable terms have even powers. \(x^{-3}+x\) has a negative exponent, while \(\sqrt{x}+x^3\) contains \(x^{\frac12}\); hence neither is a polynomial. Exam tip: exponents of variables in a polynomial must be 0 or positive integers.
बहुपद की घात 0 होने के लिए वह केवल एक अशून्य स्थिरांक होना चाहिए। यहाँ स्थिरांक पद 2 है, इसलिए x वाले दोनों पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए: a-1=0 और a+3=0। पहले से a=1 तथा दूसरे से a=-3 मिलता है, जो एक ही a के लिए संभव नहीं है। इसलिए ऐसा कोई a नहीं है। परीक्षा टिप: घात 0 के लिए सभी चर वाले पदों के गुणांक शून्य करना आवश्यक है। / For a polynomial to have degree 0, it must reduce to a non-zero constant. Since the constant term here is 2, the coefficients of both x-terms must be zero: a-1=0 and a+3=0. These give a=1 and a=-3 respectively, which cannot hold for the same value of a. Therefore, no such a exists. Exam tip: for degree 0, set the coefficients of every variable term equal to zero.
\(\sqrt{x^2+1}\) में चर मूल के अंदर है। कक्षा (9) की परिभाषा में यह बहुपद पद नहीं माना जाता। / \(\sqrt{x^2+1}\) has the variable inside a root. In the class (9) definition, it is not treated as a polynomial term.
बहुपद की घात चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(a\neq0\) है, इसलिए \(ax^5\) पद उपस्थित है और \(x\) की सबसे बड़ी घात \(5\) है। \(bx^3\) पद की घात केवल \(3\) है, इसलिए वह बहुपद की घात निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक शून्य है या नहीं, यह अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Since \(a\neq0\), the term \(ax^5\) is present, so the highest power of \(x\) is \(5\). The term \(bx^3\) has exponent \(3\), so it does not determine the degree. Exam tip: always verify that the coefficient of the highest-power term is non-zero.
\(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\) है, जो बहुपद है। सरल करने से पहले और बाद की घातों को ध्यान से देखें। / \(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\), which is a polynomial. Check powers carefully before and after simplification.
\(x^3-4x\) में कोई अलग स्थिर पद नहीं है, इसलिए स्थिर पद (0) माना जाता है। इसकी घातें मान्य हैं। / In \(x^3-4x\), there is no separate constant term, so the constant term is considered (0). Its powers are valid.
यह शून्य बहुपद है, क्योंकि इसके सभी गुणांक शून्य हैं। बहुपद की घात सबसे बड़े उस घातांक को कहते हैं जिसका गुणांक शून्य न हो; शून्य बहुपद में ऐसा कोई घातांक नहीं होता। इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं है। घात 0 केवल अशून्य अचर बहुपद, जैसे 5, की होती है। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद और अशून्य अचर बहुपद में अंतर अवश्य रखें। / This is the zero polynomial because all its coefficients are zero. The degree of a polynomial is the greatest exponent having a non-zero coefficient; the zero polynomial has no such exponent. Hence, its degree is not defined. Degree 0 belongs only to a non-zero constant polynomial, such as 5. Exam tip: Do not confuse the zero polynomial with a non-zero constant polynomial.
(-2) पूर्णांक है लेकिन ऋणात्मक है। बहुपद में घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / (-2) is an integer but it is negative. In a polynomial, powers must be zero or positive integers.
दिया है कि \(q(x)=x^3+p(x)\) और \(p(x)=2x^2-3x+5\)। अतः \(q(x)=x^3+2x^2-3x+5\) होगा। इस बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए \(q(x)\) की घात 3 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि बहुपदों को जोड़ने पर घातें जोड़ी नहीं जातीं; केवल सबसे बड़ी घात देखी जाती है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल रूप में लिखें, फिर शून्येतर गुणांक वाले पद की उच्चतम घात पहचानें। / Since \(q(x)=x^3+p(x)\) and \(p(x)=2x^2-3x+5\), we get \(q(x)=x^3+2x^2-3x+5\). The highest power of \(x\) in this polynomial is 3, so the degree of \(q(x)\) is 3. Option 5 is incorrect because degrees are not added when polynomials are added; the highest power is considered. Exam tip: simplify the polynomial first, then identify the highest power with a non-zero coefficient.
बहुपद x-2-4 में सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात द्विघात है। इसमें दो पद, x-2 और -4, हैं; इसलिए यह द्विपदी है। अतः सही पहचान द्विघात द्विपदी है। द्विघात त्रिपदी में तीन पद होते हैं। परीक्षा टिप: बहुपद की पहचान के लिए पहले पदों की संख्या, फिर सबसे बड़ी घात जाँचें। / In the polynomial x-2-4, the highest exponent is 2, so its degree is quadratic. It has two terms, x-2 and -4, so it is a binomial. Therefore, it is a quadratic binomial. A quadratic trinomial would have three terms. Exam tip: first count the terms, then identify the highest exponent.
ठीक घन के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^3\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (a-2=0) से (a=2) मिलता है। / For exactly cubic, the coefficient of \(x^4\) must be zero and the coefficient of \(x^3\) must remain non-zero. From (a-2=0), (a=2).
