डिग्री (3) के लिए \(x^{11}\) और \(x^7\) दोनों पद हटने चाहिए। (a=2) पर दोनों उच्च पदों के गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (3), both \(x^{11}\) and \(x^7\) terms must vanish. At (a=2), both higher-term coefficients become (0).
फैलाने पर \(x^9-3x^5-x^9+6x^6-2\) मिलता है। \(x^9\) कटता है और सबसे बड़ी घात (6) रहती है। / On expanding, we get \(x^9-3x^5-x^9+6x^6-2\). The \(x^9\) term cancels and the highest power left is (6).
k=1 रखने पर (k-1)2=0 तथा k-2-1=0 हो जाते हैं। इसलिए x^{10} और x-6 वाले पदों के गुणांक शून्य हो जाते हैं और q(x)=4x-2 बचता है। शून्येतर गुणांक वाले उच्चतम घात वाले पद की घात ही बहुपद की डिग्री होती है, अतः डिग्री 2 है। 0 विकल्प तब होता जब पूरा बहुपद एक अशून्य नियतांक होता। परीक्षा टिप: पैरामीटर का मान रखने के बाद शून्य गुणांक वाले पदों को पहले हटाएँ, फिर उच्चतम बची हुई घात देखें। / On substituting k=1, we get (k-1)2=0 and k-2-1=0. Hence the coefficients of the x^{10} and x-6 terms become zero, leaving q(x)=4x-2. The degree of a polynomial is the highest exponent with a non-zero coefficient, so its degree is 2. Option 0 would apply if the polynomial reduced to a non-zero constant. Exam tip: substitute the parameter first, discard zero-coefficient terms, and then identify the highest remaining exponent.
उच्चतम पद \(3x^5\cdot x^4=3x^9\) से बनेगा। इसलिए गुणनफल की डिग्री (9) है। / The highest term comes from \(3x^5\cdot x^4=3x^9\). Therefore the product has degree (9).
समान घात वाले पदों को मिलाने पर \(4x^8-9x^8+5x^8=(4-9+5)x^8=0\) हो जाता है। अतः \(f(x)=-3x^4+10\) बचता है। इसमें शून्येतर गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात \(4\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री \(4\) है। विकल्प 8 गलत है क्योंकि \(x^8\) वाले सभी पद परस्पर निरस्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को सरल करें। / Combining like terms gives \(4x^8-9x^8+5x^8=(4-9+5)x^8=0\). Thus, \(f(x)=-3x^4+10\). The highest exponent with a non-zero coefficient is \(4\), so the degree of the polynomial is \(4\). Option 8 is incorrect because all the \(x^8\) terms cancel out. Exam tip: simplify like terms before finding a polynomial's degree.
बहुचरी बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। यहाँ पदों की कुल घातें क्रमशः 5+4=9, 3+7=10, 1+2=3 और स्थिरांक -11 के लिए 0 हैं। अतः सबसे बड़ी कुल घात 10 है। विकल्प 9 पहले पद की कुल घात है, लेकिन वह बहुपद की कुल डिग्री नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a multivariable polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. Here, the term degrees are 5+4=9, 3+7=10, 1+2=3, and 0 for the constant term -11. Therefore, the highest total degree is 10. Option 9 is the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: Add the exponents in each term and select the largest sum.
x के संदर्भ में डिग्री ज्ञात करते समय y को गुणांक माना जाता है। दिए गए व्यंजक में x की घातें 8, 6, 0 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 8 है, इसलिए बहुपद की x के सापेक्ष डिग्री 8 है। 9, y की एक घात है, x की नहीं। परीक्षा टिप: किसी एक चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, तो केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficient. The powers of x in the given expression are 8, 6, 0, and 0. The greatest of these is 8, so the degree of the polynomial in x is 8. The number 9 is a power of y, not of x. Exam tip: When the degree is asked with respect to one variable, consider powers of that variable only.
\(4x^3y^2\) में घातों का योग \(3+2=5\) है, इसलिए इसकी कुल डिग्री 5 है। A की कुल डिग्री भी 5 लगती है, पर उसमें \(3x^4y\) वास्तव में कुल डिग्री 5 है; अतः A भी सही होगा। परीक्षा में प्रत्येक पद की घातों का योग जाँचें। / In \(4x^3y^2\), the sum of exponents is \(3+2=5\), so its total degree is 5. However, option A also has \(3x^4y\) of total degree 5, so it would also be correct. In exams, check exponent sums for every term.
जब (n>12) है, तो \(x^n\) सबसे बड़ी घात देगा। दिए गए विकल्पों में (n=15) शर्त पूरी करता है। / When (n>12), \(x^n\) gives the highest power. Among the options, (n=15) satisfies the condition.
बहुपद की डिग्री उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(3x^9\) पद मौजूद है और \(m<9\) दिया है, इसलिए \(6x^m\) की घात 9 से कम रहेगी। \(m=7\) रखने पर सबसे बड़ी घात \(9\) ही है, अतः डिग्री \(9\) रहती है। \(m=9\) डिग्री 9 तो देता है, पर वह दी गई शर्त \(m<9\) को पूरा नहीं करता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात के साथ दी गई शर्तों को भी अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable with a non-zero coefficient. Since the term \(3x^9\) is present and \(m<9\), the power in \(6x^m\) must be less than 9. For \(m=7\), the highest power is still \(9\), so the degree remains \(9\). Although \(m=9\) would also give degree 9, it does not satisfy \(m<9\). Exam tip: While finding degree, always check any condition given on the exponent as well.
B. दावा गलत है; सरल करने पर बहुपद की डिग्री 2 है।/The claim is incorrect; after simplification, the degree is 2.
Explanation
Simple Explanation
कोष्ठक हटाने पर \(P(x)=x^4-3x^2+1-x^4-2x^2+5=-5x^2+6\) मिलता है। \(x^4\) पद कट जाते हैं, इसलिए उच्चतम घात 2 है। परीक्षा में पहले बहुपद को सरल करें। / On removing brackets, \(P(x)=x^4-3x^2+1-x^4-2x^2+5=-5x^2+6\). The \(x^4\) terms cancel, so the highest remaining power is 2. Exam tip: simplify fully before finding degree.
A. अशून्य स्थिर बहुपद की डिग्री 0 होती है।/The degree of a non-zero constant polynomial is 0.
Explanation
Simple Explanation
अशून्य स्थिर बहुपद, जैसे 7 = 7x⁰, में x की सबसे बड़ी घात 0 होती है, इसलिए उसकी डिग्री 0 है। शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा में योग में समान उच्चतम घात के पद कट सकते हैं। / A non-zero constant polynomial such as 7 = 7x⁰ has highest exponent 0, so its degree is 0. The degree of the zero polynomial is not defined. Exam tip: in a sum, leading terms can cancel, reducing the degree.
\(b\neq-4\) होने पर \(x^{14}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (14) रहेगी। / When \(b\neq-4\), the coefficient of \(x^{14}\) is not zero. Therefore the highest power remains (14).
जब \(b=-4\) रखा जाता है, तब \(b+4=0\) हो जाता है। इसलिए \((b+4)x^{14}\) पद शून्य हो जाता है और व्यंजक \(8x^5-1\) रह जाता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(5\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(5\) है। \(14\) मूल व्यंजक में घात थी, लेकिन उसका गुणांक शून्य होने पर वह पद डिग्री में नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: पहले चर की उच्चतम घात वाले पद का गुणांक जाँचें; वह शून्य हो सकता है। / On substituting \(b=-4\), we get \(b+4=0\). Hence, the term \((b+4)x^{14}\) becomes zero, and the expression reduces to \(8x^5-1\). The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is \(5\), so its degree is \(5\). Although \(14\) appears in the original expression, that term is not counted because its coefficient becomes zero. Exam tip: check whether the coefficient of the highest-power term becomes zero after substitution.
उच्चतम पद \(x^5\cdot x^7=x^{12}\) से मिलेगा। इसलिए गुणनफल की डिग्री (12) है। / The highest term comes from \(x^5\cdot x^7=x^{12}\). Therefore the product has degree (12).
दिया गया व्यंजक सरल करने पर: \(5x^7(x^2-1)-5x^9+2x^6=5x^9-5x^7-5x^9+2x^6=-5x^7+2x^6\)। यहाँ \(5x^9\) और \(-5x^9\) कट जाते हैं। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 7 है, इसलिए इसकी डिग्री 7 है। विकल्प 9 गलत है क्योंकि \(x^9\) वाले पद सरल करने पर शून्य हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले कोष्ठक खोलकर समान घात वाले पदों को अवश्य मिलाइए। / On simplifying, \(5x^7(x^2-1)-5x^9+2x^6=5x^9-5x^7-5x^9+2x^6=-5x^7+2x^6\). The terms \(5x^9\) and \(-5x^9\) cancel. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 7, so its degree is 7. Option 9 is incorrect because the \(x^9\) terms become zero after simplification. Exam tip: Expand brackets and combine like terms before finding the degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (-41) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (-41) remains. It is a non-zero constant polynomial with degree (0).
पहले बहुपद की डिग्री (10) है और \(x^9\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^9\) का गुणांक (0) है। / The first polynomial has degree (10), and the \(x^9\) term is absent. So the coefficient of \(x^9\) is (0).
पहले व्यंजक को सरल करें: \(x^5(x^2-6)=x^7-6x^5\)। अतः \(p(x)=x^7-6x^5-x^7+6x^5+29=29\)। यह एक अशून्य स्थिर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 7 मूल असरलित व्यंजक में दिखने वाली उच्चतम घात है, पर उसके पद कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को पूरी तरह सरल अवश्य करें। / First simplify the expression: \(x^5(x^2-6)=x^7-6x^5\). Hence, \(p(x)=x^7-6x^5-x^7+6x^5+29=29\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Option 7 is the highest power visible in the unsimplified expression, but those terms cancel. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
पहले गुणन करें:
\((x^5+2x^2)(x^6-x^3)=x^{11}-x^8+2x^8-2x^5=x^{11}+x^8-2x^5\)। अब इसमें से \(x^{11}\) घटाने पर \(x^8-2x^5\) प्राप्त होता है। इसकी सबसे बड़ी घात \(8\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री 8 है। \(11\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर \(x^{11}\) वाले पद आपस में कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान घात वाले पदों को सरल करके देखें। / First expand the product: \((x^5+2x^2)(x^6-x^3)=x^{11}-x^8+2x^8-2x^5=x^{11}+x^8-2x^5\). Subtracting \(x^{11}\) leaves \(x^8-2x^5\). The highest power present is 8, so the degree is 8. Option 11 is a close distractor, but the \(x^{11}\) terms cancel. Exam tip: always simplify like terms before identifying the degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^8\) और \(x^5\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=6) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^8\) and \(x^5\) terms must vanish. At (c=6), both coefficients become (0).
डिग्री (4) के लिए \(x^7\) पद हटना चाहिए और \(x^4\) पद बचना चाहिए। (d=-4) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (4), the \(x^7\) term must vanish and the \(x^4\) term must remain. This condition holds at (d=-4).
पहले पद की कुल घात (5+2+4=11) है और दूसरे पद की (3+1+7=11) है। इसलिए कुल डिग्री (11) है। / The total power of the first term is (5+2+4=11) and of the second term is (3+1+7=11). Therefore the total degree is (11).
(z) की सबसे बड़ी घात (8) है। अन्य चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (8). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
एक विद्यार्थी दावा करता है कि किसी बहुपद की डिग्री हमेशा उसके पदों की संख्या के बराबर होती है। निम्नलिखित में से कौन-सा उदाहरण इस दावे को गलत सिद्ध करता है?
B. \(4x^7-3\) में दो पद हैं और इसकी डिग्री 7 है/\(4x^7-3\) has two terms and degree 7
Explanation
Simple Explanation
बहुपद \(4x^7-3\) में केवल दो पद हैं, पर \(x\) का उच्चतम घातांक 7 है; इसलिए इसकी डिग्री 7 है, 2 नहीं। परीक्षा में पदों की संख्या नहीं, सबसे बड़ी घात देखें। / The polynomial \(4x^7-3\) has only two terms, but its highest exponent of \(x\) is 7, so its degree is 7, not 2. Exam tip: count the highest power, not the terms.
यह
a-2-b-2=(a-b)(a+b)
के रूप का गुणनफल है। यहाँ
a=x-6
और
b=1
लेने पर
\(x^6-1\)\(x^6+1\)=x^{12}-1
प्राप्त होता है। इस बहुपद में
x
की सबसे बड़ी घात 12 है, इसलिए इसकी डिग्री 12 है। 6 प्रत्येक गुणनखंड की डिग्री है, पूरे गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: गुणनखंडों का गुणन करने से पहले सर्वसमिका पहचानने पर डिग्री जल्दी ज्ञात होती है। / This product has the form
a-2-b-2=(a-b)(a+b)
. Taking
a=x-6
and
b=1
gives
\(x^6-1\)\(x^6+1\)=x^{12}-1
. The highest power of
x
in this polynomial is 12, so its degree is 12. Degree 6 is the degree of each factor, not of the complete product. Exam tip: Recognising an identity before multiplying helps find the degree quickly.
डिग्री (9) के लिए \(n+5\le9\) होना चाहिए। इसलिए \(n\le4\) सही शर्त है। / For degree (9), \(n+5\le9\) must hold. Therefore \(n\le4\) is the correct condition.
कोष्ठक खोलने पर दूसरे व्यंजक के प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है: \(p(x)=x^7-5x^4+2-x^7+2x^4=-3x^4+2\)। \(x^7\) के पद कट जाते हैं और शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात \(4\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(4\) है। \(7\) मूल व्यंजकों में दिखाई देता है, लेकिन सरलीकरण के बाद उसका पद नहीं बचता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूरी तरह सरल करें। / On removing the brackets, every term of the second expression changes sign: \(p(x)=x^7-5x^4+2-x^7+2x^4=-3x^4+2\). The \(x^7\) terms cancel, and the highest power in the remaining polynomial is \(4\); hence its degree is \(4\). Although \(7\) appears in the original expressions, its term does not remain after simplification. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
व्यंजक का प्रसार करने पर
\(x^7(x^2+1)-x^2(x^7-6)=x^9+x^7-x^9+6x^2=x^7+6x^2\) मिलता है। इसमें सबसे अधिक घात वाला पद \(x^7\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री 7 है। विकल्प 9 गलत है, क्योंकि \(x^9\) के पद आपस में कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले कोष्ठक खोलकर समान पदों को अवश्य सरल करें। / On expanding the expression,
\(x^7(x^2+1)-x^2(x^7-6)=x^9+x^7-x^9+6x^2=x^7+6x^2\). The highest power of \(x\) in the simplified polynomial is 7, so its degree is 7. Option 9 is incorrect because the \(x^9\) terms cancel each other. Exam tip: Always expand and combine like terms before finding the degree of a polynomial.
(e=3) पर \(x^{12}\) पद हटता है लेकिन \(x^{10}\) का गुणांक (5) रहता है। इसलिए डिग्री (10) है। / At (e=3), the \(x^{12}\) term vanishes but the coefficient of \(x^{10}\) remains (5). Therefore the degree is (10).
दिया गया व्यंजक सरल करने पर प्रत्येक पद का गुणांक 0 होने के कारण p(x)=0 प्राप्त होता है। यह शून्य बहुपद है और शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। 9 चुनना गलत है, क्योंकि x-9 का गुणांक भी 0 है; इसलिए वह पद बहुपद में प्रभावी नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / On simplification, every term has coefficient 0, so p(x)=0. This is the zero polynomial, and the degree of the zero polynomial is not defined. Choosing 9 is incorrect because the coefficient of x-9 is also 0, so that term does not contribute to the polynomial. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
उच्चतम घात \(x\cdot x^5\cdot x^6=x^{12}\) से आती है। इसलिए डिग्री (12) है। / The highest power comes from \(x\cdot x^5\cdot x^6=x^{12}\). Therefore the degree is (12).
बहुपद \(x^6y^3+2x\) में पद \(x^6y^3\) की कुल घात \(6+3=9\) है, जबकि \(2x\) की घात 1 है। अतः बहुपद की कुल डिग्री उसके पदों की अधिकतम कुल घात, अर्थात 9, है। विकल्प A में अधिकतम कुल घात \(4+3=7\) है। परीक्षा टिप: दो चरों वाले किसी पद की कुल घात ज्ञात करने के लिए सभी चरों के घातांकों को जोड़ें। / In \(x^6y^3+2x\), the term \(x^6y^3\) has total degree \(6+3=9\), while \(2x\) has degree 1. Therefore, the total degree of the polynomial, which is the greatest total degree among its terms, is 9. In option A, the greatest total degree is only \(4+3=7\). Exam tip: For a term in two variables, add the exponents of all variables to find its total degree.
\(0x^{17}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{15}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (15) है। / \(0x^{17}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{15}\) term. Therefore the degree is (15).
कोष्ठक खोलने पर समान पद कट जाते हैं:
\((x^7+x^4+1)-(x^7+x^4)=1\)। यह एक अशून्य नियतांक बहुपद है। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर 0 है। ‘परिभाषित नहीं’ विकल्प शून्य बहुपद के लिए लागू होता है, नियतांक 1 के लिए नहीं। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल करें, फिर बचे हुए उच्चतम घात वाले पद से डिग्री ज्ञात करें। / On expanding the brackets, the like terms cancel:
\((x^7+x^4+1)-(x^7+x^4)=1\). This is a non-zero constant polynomial. The degree of every non-zero constant polynomial is \(0\), so the correct answer is 0. “Not defined” applies to the zero polynomial, not to the constant polynomial 1. Exam tip: simplify the expression first, then identify the highest power that remains.
डिग्री (0) के लिए \(x^{12}\) और \(x^8\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=-5) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^{12}\) and \(x^8\) terms must vanish. At (s=-5), both coefficients become (0).
घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^9+5x^4+11)-(x^9+5x^4)=11\)। चूँकि 11 एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए उसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 9 या 4 मूल बहुपदों के उच्चतम घातों पर आधारित हैं, लेकिन घटाने के बाद वे पद शेष नहीं रहते। परीक्षा टिप: बहुपदों के योग या अंतर की डिग्री ज्ञात करने से पहले उसे सरल अवश्य करें। / On subtraction, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^9+5x^4+11)-(x^9+5x^4)=11\). Since 11 is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Options 9 and 4 refer to powers in the original polynomials, but those terms do not remain after subtraction. Exam tip: always simplify a sum or difference of polynomials before finding its degree.
\(A(x)+B(x)=(x^8+7)+(-x^8+9x^5)=9x^5+7\)। यहाँ \(x^8\) के पद परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद में सबसे अधिक घात \(5\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(5\) है। \(8\) चुनना गलत होगा, क्योंकि जोड़ के बाद \(x^8\) पद बचता ही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद ही उच्चतम घात वाले शून्येतर पद से डिग्री ज्ञात करें। / \(A(x)+B(x)=(x^8+7)+(-x^8+9x^5)=9x^5+7\). The \(x^8\) terms cancel each other. The highest power with a non-zero coefficient in the remaining polynomial is \(5\), so its degree is \(5\). Choosing \(8\) would be incorrect because no \(x^8\) term remains after addition. Exam tip: always simplify the sum first, then identify the highest power with a non-zero coefficient.
एक विद्यार्थी कहता है कि बहुपद \(R(x)=(3x^6-2x^4)+(5x^4-3x^6)+7x^2\) की डिग्री 6 है, क्योंकि इसमें \(x^6\) पद दिखाई देता है। उसके कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
B. कथन गलत है; सरल करने पर \(x^6\) पद कट जाते हैं और बहुपद की डिग्री 4 होती है।/The statement is incorrect; after simplification, the \(x^6\) terms cancel and the degree is 4.
Explanation
Simple Explanation
समान पद मिलाने पर \(3x^6-3x^6=0\) और \(-2x^4+5x^4=3x^4\) मिलता है। अतः \(R(x)=3x^4+7x^2\) की डिग्री 4 है। परीक्षा में डिग्री सरल करने के बाद ही देखें। / Combining like terms gives \(3x^6-3x^6=0\) and \(-2x^4+5x^4=3x^4\). Thus, \(R(x)=3x^4+7x^2\), whose highest exponent is 4. In exams, always simplify before finding degree.
a=8 और b=13 रखने पर बहुपद 4x-8+6x-13+1 बनता है। इसके पदों की घातें 8, 13 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 13 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 13 है। 6 केवल x-13 का गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: पहले चर की प्रत्येक घात देखें और सबसे बड़ी घात चुनें। / On substituting a=8 and b=13, the polynomial becomes 4x-8+6x-13+1. The degrees of its terms are 8, 13, and 0. Since 13 is the highest exponent of x, the degree of the polynomial is 13. Note that 6 is only the coefficient of x-13, not the degree. Exam tip: identify the largest exponent of the variable after simplifying or substituting values.
पहले व्यंजक को सरल करें: \(x^5(x^3+x)=x^8+x^6\)। अतः \(p(x)=x^8+x^6-x^8-x^6+37=37\)। 37 एक शून्येतर अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। \(8\) या \(6\) सरल करने से पहले के पदों की घात हैं; वे आपस में कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूर्णतः सरल करें। / First simplify the expression: \(x^5(x^3+x)=x^8+x^6\). Therefore, \(p(x)=x^8+x^6-x^8-x^6+37=37\). Since 37 is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). The values \(8\) and \(6\) are powers of terms before simplification, but those terms cancel. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
यहाँ \(x^5\) की डिग्री 5 तथा \((x-4)^2\) की डिग्री 2 है। दो अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः डिग्री \(5+2=7\) है। विकल्प 10 गलत है, क्योंकि घातों को गुणा नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: गुणनफल में डिग्रियाँ जोड़ें और घात वाले गुणनखंड की डिग्री को उसकी घात से गुणा करें। / The degree of \(x^5\) is 5, and the degree of \((x-4)^2\) is 2. The degree of the product of two non-zero polynomials equals the sum of their degrees. Therefore, the degree is \(5+2=7\). Option 10 is incorrect because the degrees are not multiplied. Exam tip: In a product, add the degrees; for a power of a factor, multiply its degree by the power.
बहुपद की डिग्री 0 होने के लिए वह एक अचर बहुपद होना चाहिए। अतः \(x^{10}\) और \(x^3\) दोनों के गुणांक शून्य होने चाहिए। दोनों का गुणांक \(r+9\) है, इसलिए \(r+9=0\), जिससे \(r=-9\) मिलता है। तब व्यंजक केवल \(18\) रह जाता है, जिसकी डिग्री 0 है। \(r=0\) रखने पर \(x^{10}\) का गुणांक 9 होगा, इसलिए डिग्री 10 रहेगी। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक पहले जाँचें। / For the polynomial to have degree 0, it must become a constant polynomial. Therefore, the coefficients of both \(x^{10}\) and \(x^3\) must be zero. Their common coefficient is \(r+9\), so \(r+9=0\), giving \(r=-9\). The expression then becomes only \(18\), whose degree is 0. If \(r=0\), the coefficient of \(x^{10}\) is 9, so the degree remains 10. Exam tip: first check the coefficient of the term with the highest power.
दो अशून्य बहुपदों के गुणन की डिग्री उनके डिग्री के योग के बराबर होती है। अतः \(\deg(p(x)q(x))=7+6=13\), इसलिए सही विकल्प 13 है। विकल्प 42 डिग्रियों का गुणन करने से मिलता है, जो बहुपदों के गुणन की डिग्री का नियम नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें। / For the product of two non-zero polynomials, the degree equals the sum of their degrees. Thus, \(\deg(p(x)q(x))=7+6=13\), so 13 is correct. Option 42 comes from multiplying the degrees, which is not the rule for the degree of a polynomial product. Exam tip: add the degrees when polynomials are multiplied.
बहुपद के प्रत्येक पद की कुल घात निकालते हैं: \(x^6y^2\) की कुल घात \(6+2=8\), \(x^4y^7\) की कुल घात \(4+7=11\), और \(xy\) की कुल घात \(1+1=2\) है। इनमें सबसे बड़ी कुल घात 11 है, इसलिए बहुपद की कुल डिग्री 11 है। विकल्प 8 केवल पहले पद की कुल घात है, पूरे बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: बहुचर बहुपद में प्रत्येक पद के घातांकों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / Find the total degree of each term: \(x^6y^2\) has degree \(6+2=8\), \(x^4y^7\) has degree \(4+7=11\), and \(xy\) has degree \(1+1=2\). The greatest of these is 11, so the total degree of the polynomial is 11. Option 8 is only the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: For a polynomial in more than one variable, add the exponents in each term and select the greatest sum.
डिग्री (0) के लिए \(x^{13}\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (u=9) पर दोनों गुणांक (0) हैं। / For degree (0), both \(x^{13}\) and \(x^6\) terms must vanish. At (u=9), both coefficients are (0).
समान पदों को मिलाने पर \(5x^{11}-5x^{11}=0\) और \(6x^7-6x^7=0\) हो जाते हैं। अतः \(F(x)=8x^4-3\) बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 4 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 4 है। विकल्प 0 केवल किसी अशून्य अचर बहुपद की डिग्री होता; यहाँ \(x^4\) का पद मौजूद है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को सरल करके रद्द होने वाले पदों को हटाएँ। / On combining like terms, \(5x^{11}-5x^{11}=0\) and \(6x^7-6x^7=0\). Thus, \(F(x)=8x^4-3\). The highest exponent of \(x\) is 4, so the degree of the polynomial is 4. Option 0 would be the degree of a non-zero constant polynomial, but an \(x^4\) term remains here. Exam tip: simplify and cancel like terms before finding a polynomial's degree.
(\(x^6+2x^3\)2=x^{12}+4x-9+4x-6) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(4x^6+7x^5\) बचता है जिसकी डिग्री (6) है। / (\(x^6+2x^3\)2=x^{12}+4x-9+4x-6). After higher terms cancel, \(4x^6+7x^5\) remains, whose degree is (6).
डिग्री (2) के लिए \(x^{14}\) और \(x^8\) दोनों पद हटने चाहिए। (w=10) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (2), both \(x^{14}\) and \(x^8\) terms must vanish. At (w=10), both coefficients become (0).
गुणन में \(x^{12}\) पद बनता है और बाहर का \(-x^{12}\) उसे काट देता है। बची हुई सबसे बड़ी घात (8) है। / The product creates an \(x^{12}\) term and the outside \(-x^{12}\) cancels it. The remaining highest power is (8).
