डिग्री (2) के लिए \(x^{12}\) और \(x^8\) दोनों पद हटने चाहिए। (a=5) पर दोनों उच्च पदों के गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (2), both \(x^{12}\) and \(x^8\) terms must vanish. At (a=5), both higher-term coefficients become (0).
फैलाने पर \(x^{10}-2x^6-x^{10}+3x^7-9\) मिलता है। \(x^{10}\) कटता है और सबसे बड़ी घात (7) रहती है। / On expanding, we get \(x^{10}-2x^6-x^{10}+3x^7-9\). The \(x^{10}\) term cancels and the highest power left is (7).
(k=-2) रखने पर \(x^{11}\) और \(x^6\) दोनों पद हट जाते हैं। बचा \(-5x^3+1\) है जिसकी डिग्री (3) है। / Putting (k=-2) removes both \(x^{11}\) and \(x^6\) terms. The remaining \(-5x^3+1\) has degree (3).
उच्चतम पद \(4x^6\cdot x^5=4x^{11}\) से बनेगा। इसलिए गुणनफल की डिग्री (11) है। / The highest term comes from \(4x^6\cdot x^5=4x^{11}\). Therefore the product has degree (11).
समान घात वाले पदों को मिलाने पर \(6x^9-11x^9+5x^9=(6-11+5)x^9=0\) मिलता है। अतः \(f(x)=4x^5-13\) रह जाता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 5 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। विकल्प 9 गलत है क्योंकि \(x^9\) वाले पद पूरी तरह निरस्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को सरल करके उनका गुणांक जाँचें। / Combining like terms gives \(6x^9-11x^9+5x^9=(6-11+5)x^9=0\). Thus, \(f(x)=4x^5-13\). The highest exponent is 5, so the degree of the polynomial is 5. Option 9 is incorrect because all the \(x^9\) terms cancel completely. Exam tip: Before finding the degree, simplify like terms and check whether the leading coefficient becomes zero.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। यहाँ पदों की कुल घातें क्रमशः \(6+4=10\), \(2+9=11\), \(1+3=4\) और स्थिर पद \(-7\) के लिए \(0\) हैं। अतः सबसे बड़ी कुल घात \(11\) है। \(10\) पहला पद \(8x^6y^4\) की कुल घात है, लेकिन यह अधिकतम नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. The term degrees here are \(6+4=10\), \(2+9=11\), \(1+3=4\), and \(0\) for the constant term \(-7\). Hence, the highest total degree is \(11\). Although \(10\) is the degree of the first term \(8x^6y^4\), it is not the greatest. Exam tip: add the exponents within each term, then select the largest sum.
\(x\) के सापेक्ष डिग्री ज्ञात करते समय \(y\) को गुणांक का भाग माना जाता है। दिए गए व्यंजक में \(x\) वाली घातें \(7\) और \(9\) हैं; \(6y^8-4\) में \(x\) की घात \(0\) है। सबसे बड़ी घात \(9\) होने से \(x\) के सापेक्ष बहुपद की डिग्री \(9\) है। विकल्प \(7\) केवल पहले पद \(9x^7y^5\) की \(x\)-घात है। परीक्षा टिप: किसी विशेष चर के सापेक्ष डिग्री में केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / To find the degree with respect to \(x\), treat every power of \(y\) as part of the coefficient. The powers of \(x\) in the expression are \(7\) and \(9\); in \(6y^8-4\), the power of \(x\) is \(0\). Since the greatest power is \(9\), the degree of the polynomial with respect to \(x\) is \(9\). Option \(7\) is only the power of \(x\) in the first term, \(9x^7y^5\). Exam tip: for degree with respect to one variable, compare powers of that variable only.
y के संदर्भ में बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए केवल y की सबसे बड़ी घात देखी जाती है; x को स्थिर माना जाता है। दिए गए पदों में y की घातें क्रमशः 5, 3, 8 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 8 है, जो पद 6y-8 में है। इसलिए सही उत्तर 8 है। 9x-7y-5 की कुल घात 12 है, पर वह y के संदर्भ में डिग्री नहीं है। परीक्षा टिप: किसी एक चर के सापेक्ष डिग्री में केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / To find the degree with respect to y, consider only the powers of y and treat x as a constant. The powers of y in the given terms are 5, 3, 8, and 0 respectively. The greatest power is 8, occurring in 6y-8. Hence, the degree with respect to y is 8. Although 9x-7y-5 has total degree 12, that is not its degree in y. Exam tip: for degree in one variable, compare exponents of that variable only.
जब (n>13) है, तो \(x^n\) सबसे बड़ी घात देगा। दिए गए विकल्पों में (n=16) शर्त पूरी करता है। / When (n>13), \(x^n\) gives the highest power. Among the options, (n=16) satisfies the condition.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(2x^{10}\) पद पहले से मौजूद है। चूँकि \(m<10\) होना चाहिए, इसलिए \(m=8\) लेने पर सबसे बड़ी घात \(10\) ही रहती है और बहुपद की डिग्री \(10\) होती है। \(m=10\) से डिग्री तो 10 रहती, पर वह दी गई शर्त \(m<10\) को पूरा नहीं करता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात के साथ दी गई शर्तों को भी अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable. The term \(2x^{10}\) is already present. Since \(m<10\), taking \(m=8\) keeps \(10\) as the highest exponent, so the polynomial has degree \(10\). Although \(m=10\) would also leave the degree as 10, it does not satisfy the condition \(m<10\). Exam tip: While finding a degree, always check any condition given on the exponent as well.
बहुपद \((x^6-4)\) की डिग्री 6 है। किसी अशून्य बहुपद की घात लेने पर उसकी डिग्री घात के साथ गुणा होती है: \(6\times3=18\)। विस्तार में उच्चतम घात वाला पद \((x^6)^3=x^{18}\) होगा, इसलिए डिग्री 18 है। 12 एक संभावित भ्रम है, क्योंकि घातों को जोड़ना नहीं, बल्कि 3 से गुणा करना है। परीक्षा टिप: \((P(x))^n\) की डिग्री सामान्यतः \(n\deg(P)\) होती है। / The polynomial \((x^6-4)\) has degree 6. When a non-zero polynomial is raised to a power, its degree is multiplied by that power: \(6\times3=18\). On expansion, the highest-degree term is \((x^6)^3=x^{18}\), so the degree is 18. Choosing 12 may result from an incorrect operation on exponents; here the degree must be multiplied by 3. Exam tip: \(\deg((P(x))^n)=n\deg(P(x))\) for a non-zero polynomial \(P(x)\).
अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः \(\deg(PQ)=4+6=10\)। जोड़ या घटाव में अग्र पद कट सकते हैं, इसलिए उनकी डिग्री सदैव निश्चित नहीं होती। परीक्षा टिप: गुणनफल के लिए डिग्रियाँ जोड़ें। / For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees. Hence \(\deg(PQ)=4+6=10\). In addition or subtraction, leading terms may cancel, so the degree is not fixed. Exam tip: add degrees only when polynomials are multiplied.
\(b\neq6\) होने पर \(x^{15}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (15) रहेगी। / When \(b\neq6\), the coefficient of \(x^{15}\) is not zero. Therefore the highest power remains (15).
B. यह चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्येतर हो/It is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient.
Explanation
Simple Explanation
अशून्य बहुपद की डिग्री चर की सबसे बड़ी घात होती है, बशर्ते उस पद का गुणांक शून्येतर हो। पदों की संख्या डिग्री नहीं बताती। परीक्षा में पहले शून्य गुणांक वाले पद हटाएँ। / The degree of a non-zero polynomial is the highest exponent of its variable whose coefficient is non-zero. The number of terms is not its degree. Exam tip: ignore every term with coefficient 0 first.
उच्चतम पद \(x^6\cdot x^8=x^{14}\) से मिलेगा। इसलिए गुणनफल की डिग्री (14) है। / The highest term comes from \(x^6\cdot x^8=x^{14}\). Therefore the product has degree (14).
पहले व्यंजक का प्रसार करें: \(6x^8(x^2-1)=6x^{10}-6x^8\)। अतः पूरा व्यंजक \(6x^{10}-6x^8-6x^{10}+5x^7=-6x^8+5x^7\) बनता है। \(x^{10}\) वाले पद निरस्त हो जाते हैं और शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात 8 है, इसलिए इसकी डिग्री 8 है। विकल्प 10 गलत है क्योंकि \(x^{10}\) का गुणांक सरल करने पर शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा कोष्ठक खोलकर समान घात वाले पदों को मिलाइए। / First expand: \(6x^8(x^2-1)=6x^{10}-6x^8\). Therefore, the full expression becomes \(6x^{10}-6x^8-6x^{10}+5x^7=-6x^8+5x^7\). The \(x^{10}\) terms cancel, and the highest power in the remaining polynomial is 8, so its degree is 8. Option 10 is incorrect because the coefficient of \(x^{10}\) becomes zero after simplification. Exam tip: Always expand brackets and combine like terms before finding a polynomial’s degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (53) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (53) remains. It is a non-zero constant polynomial with degree (0).
पहले बहुपद की डिग्री (11) है और \(x^{10}\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^{10}\) का गुणांक (0) है। / The first polynomial has degree (11), and the \(x^{10}\) term is absent. So the coefficient of \(x^{10}\) is (0).
यहाँ \(Z(x)=0\) प्रत्येक \(x\) के लिए शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसका उच्चतम घात वाला पद निर्धारित नहीं किया जा सकता। अतः इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। \(0\) किसी अचर अशून्य बहुपद की डिग्री हो सकती है, शून्य बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय पहले जाँचें कि बहुपद पूर्णतः शून्य तो नहीं है। / Here, \(Z(x)=0\) is the zero polynomial for every value of \(x\). It has no non-zero term, so there is no highest power to determine its degree. Therefore, its degree is not defined. Degree \(0\) applies to a non-zero constant polynomial, not to the zero polynomial. Exam tip: Before finding degree, check whether the polynomial is identically zero.
पहले व्यंजक को सरल कीजिए: \(x^6(x^2-7)=x^8-7x^6\)। अतः \(p(x)=x^8-7x^6-x^8+7x^6+31=31\)। यह एक शून्येतर अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 8 लेने पर पदों के निरसन को अनदेखा कर दिया जाता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूरी तरह सरल करें। / First simplify the expression: \(x^6(x^2-7)=x^8-7x^6\). Hence, \(p(x)=x^8-7x^6-x^8+7x^6+31=31\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Choosing 8 would ignore the cancellation of like terms. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
गुणन से \(x^{13}+2x^9-3x^5\) मिलता है और \(x^{13}\) कटता है। बची सबसे बड़ी घात (9) है। / Multiplication gives \(x^{13}+2x^9-3x^5\), and \(x^{13}\) cancels. The remaining highest power is (9).
डिग्री (0) के लिए \(x^9\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=-7) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^9\) and \(x^6\) terms must vanish. At (c=-7), both coefficients become (0).
डिग्री (5) के लिए \(x^8\) पद हटना चाहिए और \(x^5\) पद बचना चाहिए। (d=8) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (5), the \(x^8\) term must vanish and the \(x^5\) term must remain. This condition holds at (d=8).
पहले पद की कुल घात (6+3+4=13) है और दूसरे पद की (2+2+9=13) है। इसलिए कुल डिग्री (13) है। / The total power of the first term is (6+3+4=13) and of the second term is (2+2+9=13). Therefore the total degree is (13).
(z) की सबसे बड़ी घात (9) है। अन्य चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (9). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
\((x^6+x^3)^2=x^{12}+2x^9+x^6\)। अतः \(h(x)=x^{12}+2x^9+x^6-x^{12}-2x^9=x^6\)। इस बहुपद का सबसे बड़ा घातांक \(6\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(6\) है। \(12\) और \(9\) वाले पद निरस्त हो जाते हैं, इसलिए वे डिग्री निर्धारित नहीं करते। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को सरल करके समान पदों को अवश्य निरस्त करें। / \((x^6+x^3)^2=x^{12}+2x^9+x^6\). Therefore, \(h(x)=x^{12}+2x^9+x^6-x^{12}-2x^9=x^6\). The highest exponent in the simplified polynomial is \(6\), so its degree is \(6\). The terms with exponents \(12\) and \(9\) cancel, so they do not determine the degree. Exam tip: simplify the expression and cancel like terms before finding the degree.
शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए सबसे बड़ी घात निर्धारित नहीं की जा सकती। अतः इसकी डिग्री परिभाषित नहीं है। परीक्षा में इसे स्थिर बहुपद 0 की डिग्री न मानें। / The zero polynomial has no non-zero term, so there is no highest exponent to identify. Hence, its degree is not defined. Exam tip: do not confuse it with a non-zero constant polynomial, whose degree is 0.
डिग्री (10) के लिए \(n+6\le10\) होना चाहिए। इसलिए \(n\le4\) सही शर्त है। / For degree (10), \(n+6\le10\) must hold. Therefore \(n\le4\) is the correct condition.
दूसरे कोष्ठक को घटाते समय उसके प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है: p(x)=x-8-6x-5+3-x-8+2x-5=-4x-5+3। यहाँ x-8 के पद कट जाते हैं और शेष बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 5 है। इसलिए इसकी डिग्री 5 है। 8 निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन x-8 का गुणांक सरल करने पर 0 हो जाता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूर्णतः सरल करें। / While subtracting the second bracket, the sign of every term changes: p(x)=x-8-6x-5+3-x-8+2x-5=-4x-5+3. The x-8 terms cancel, and the highest power of x in the remaining polynomial is 5. Hence, its degree is 5. Option 8 is a close distractor, but the coefficient of x-8 becomes 0 after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
कोष्ठक खोलने पर \(x^8(x^2+1)-x^2(x^8-7)=x^{10}+x^8-x^{10}+7x^2=x^8+7x^2\) मिलता है। \(x^{10}\) वाले पद आपस में कट जाते हैं। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(8\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(8\) है। विकल्प \(10\) तब मिलता यदि समान \(x^{10}\) पदों के निरस्तीकरण को न देखा जाए। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा सरल रूप में लिखें। / On expanding, \(x^8(x^2+1)-x^2(x^8-7)=x^{10}+x^8-x^{10}+7x^2=x^8+7x^2\). The \(x^{10}\) terms cancel each other. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is \(8\), so its degree is \(8\). Option \(10\) would result from overlooking the cancellation of like terms. Exam tip: Always simplify a polynomial before finding its degree.
(e=-4) पर \(x^{13}\) पद हटता है लेकिन \(x^{11}\) का गुणांक (-5) रहता है। इसलिए डिग्री (11) है। / At (e=-4), the \(x^{13}\) term vanishes but the coefficient of \(x^{11}\) remains (-5). Therefore the degree is (11).
दिया गया व्यंजक सरल करने पर p(x)=0 प्राप्त होता है, क्योंकि प्रत्येक पद का गुणांक 0 है। यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद की कोई उच्चतम घात वाला अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। विकल्प 0 केवल अशून्य अचर बहुपद, जैसे p(x)=5, की डिग्री होता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल करके शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / On simplification, p(x)=0 because every term has coefficient 0. This is the zero polynomial. It has no non-zero term with a highest power, so its degree is not defined. Option 0 is the degree of a non-zero constant polynomial, such as p(x)=5, not of the zero polynomial. Exam tip: Simplify a polynomial and remove zero-coefficient terms before finding its degree.
उच्चतम घात \(x\cdot x^6\cdot x^7=x^{14}\) से आती है। इसलिए डिग्री (14) है। / The highest power comes from \(x\cdot x^6\cdot x^7=x^{14}\). Therefore the degree is (14).
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। \(x^7y^3+2x\) में पद \(x^7y^3\) की कुल घात \(7+3=10\) है, जबकि \(2x\) की घात 1 है। इसलिए इस बहुपद की कुल डिग्री 10 है। विकल्प A में अधिकतम कुल घात \(5+4=9\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में घातों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of variables in any one term. In \(x^7y^3+2x\), the term \(x^7y^3\) has total degree \(7+3=10\), while \(2x\) has degree 1. Hence, the polynomial has total degree 10. In option A, the greatest total degree is \(5+4=9\), so it is not correct. Exam tip: add the exponents in each term and select the largest sum.
\(0x^{18}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{16}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (16) है। / \(0x^{18}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{16}\) term. Therefore the degree is (16).
दिए गए व्यंजक में घटाने पर समान पद कट जाते हैं:
\((x^8+x^5+1)-(x^8+x^5)=1\)। प्राप्त बहुपद 1 एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री 0 होती है। 8 या 5 मूल व्यंजक में घातें हैं, लेकिन वे सरल करने पर बचती नहीं हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा सरल करें; शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती है, पर 1 की डिग्री 0 है। / On subtraction, the like terms cancel:
\((x^8+x^5+1)-(x^8+x^5)=1\). The resulting polynomial, 1, is a non-zero constant polynomial, so its degree is 0. Although 8 and 5 occur in the original expression, those terms do not remain after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial before finding its degree; the zero polynomial has undefined degree, but the degree of 1 is 0.
डिग्री (0) के लिए \(x^{13}\) और \(x^9\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=-11) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^{13}\) and \(x^9\) terms must vanish. At (s=-11), both coefficients become (0).
दिए गए बहुपदों को घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^{10}+6x^5+13)-(x^{10}+6x^5)=13\)। यह एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। \(10\) मूल बहुपदों की डिग्री है, लेकिन घटाने के बाद उच्च घात वाले पद समाप्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: घटाव के बाद प्राप्त अंतिम बहुपद की डिग्री ही लिखें। / On subtracting the polynomials, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^{10}+6x^5+13)-(x^{10}+6x^5)=13\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Although the original polynomials have degree \(10\), their highest-degree terms cancel on subtraction. Exam tip: always find the simplified resulting polynomial before identifying its degree.
\(A(x)+B(x)=(x^9+8)+(-x^9+10x^6)=10x^6+8\)। यहाँ \(x^9\) और \(-x^9\) परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद का सबसे बड़ा घातांक 6 है, इसलिए इसकी डिग्री 6 है। विकल्प 9 सही नहीं है, क्योंकि जोड़ के बाद \(x^9\) पद बचता ही नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद ही उसका उच्चतम घातांक देखकर डिग्री ज्ञात करें। / \(A(x)+B(x)=(x^9+8)+(-x^9+10x^6)=10x^6+8\). The \(x^9\) and \(-x^9\) terms cancel each other. The highest exponent in the remaining polynomial is 6, so its degree is 6. Option 9 is incorrect because no \(x^9\) term remains after addition. Exam tip: Always simplify the polynomial first, then identify its highest exponent.
एक विद्यार्थी कहता है कि बहुपद \(R(x)=3x^4-2x^3+x^2+5x^4+2x^3-8x^4\) की डिग्री 4 है, क्योंकि इसमें \(x^4\) पद दिखाई देता है। उसके कथन का सही मूल्यांकन कौन-सा है?
C. विद्यार्थी गलत है; समान पदों को मिलाने पर \(x^4\) और \(x^3\) पद कट जाते हैं, इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है।/The student is incorrect; after combining like terms, the \(x^4\) and \(x^3\) terms cancel, so the degree is 2.
Explanation
Simple Explanation
\(x^4\) का गुणांक \(3+5-8=0\) और \(x^3\) का गुणांक \(-2+2=0\) है। अतः \(R(x)=x^2\), जिसकी डिग्री 2 है। परीक्षा में पहले समान पद मिलाइए। / The coefficient of \(x^4\) is \(3+5-8=0\), and that of \(x^3\) is \(-2+2=0\). Thus \(R(x)=x^2\), whose degree is 2. In exams, simplify before finding degree.
दिए गए मान रखने पर बहुपद \(5x^9+7x^{14}+1\) बनता है। बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है, अतः डिग्री \(14\) है। \(23\) घातों का योग है, लेकिन डिग्री ज्ञात करने के लिए घातों को जोड़ा नहीं जाता। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल रूप में लिखकर \(x\) की सबसे बड़ी घात पहचानें। / Substituting the given values gives the polynomial \(5x^9+7x^{14}+1\). The degree of a polynomial is the greatest exponent of \(x\) in any term, so its degree is \(14\). \(23\) is the sum of the exponents, but exponents are not added to find a polynomial’s degree. Exam tip: first write the polynomial in simplified form and then identify the highest power of \(x\).
विकल्प D में \(x^8-x^8=0\), इसलिए व्यंजक सरल होकर \(11x^5\) बनता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 5 है, अतः इसकी डिग्री 5 है, 8 नहीं। विकल्प B में \(0x^9\) का कोई प्रभाव नहीं होता और शेष उच्चतम घातांक \(x^8\) है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को जोड़कर या घटाकर व्यंजक को सरल करें। / In option D, \(x^8-x^8=0\), so the expression simplifies to \(11x^5\). Its highest exponent is 5, so its degree is 5, not 8. In option B, \(0x^9\) has no effect, and the highest remaining power is \(x^8\). Exam tip: simplify like terms before finding the degree of a polynomial.
पहले विस्तार करें: \(x^6(x^3+x)=x^9+x^7\)। इसलिए \(p(x)=x^9+x^7-x^9-x^7+41=41\)। शून्येतर अचर बहुपद \(41\) की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर \(0\) है। \(9\) या \(7\) लेने की भूल तब होती है जब समान पदों के निरस्तीकरण को नहीं देखा जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा कोष्ठक खोलकर समान पदों को मिलाइए। / First expand: \(x^6(x^3+x)=x^9+x^7\). Hence, \(p(x)=x^9+x^7-x^9-x^7+41=41\). A non-zero constant polynomial such as \(41\) has degree \(0\), so \(0\) is correct. Choosing \(9\) or \(7\) ignores the cancellation of like terms. Exam tip: expand brackets and combine like terms before finding a polynomial’s degree.
यह बहुपद दो गुणकों का गुणनफल है। x-6 की डिग्री 6 है तथा (x-5)2 की डिग्री 2 है। गुणनफल में डिग्रियाँ जुड़ती हैं, इसलिए कुल डिग्री 6+2=8 है। विकल्प 12 गलत है, क्योंकि घातों को गुणा नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: गुणनफल के रूप में दिए बहुपदों की डिग्रियाँ जोड़ें। / This polynomial is a product of two factors. The degree of x-6 is 6, and the degree of (x-5)2 is 2. Degrees add when polynomials are multiplied, so the total degree is 6+2=8. Option 12 is incorrect because the exponents are not multiplied. Exam tip: For a polynomial written as a product, add the degrees of its factors.
बहुपद की डिग्री 0 होने का अर्थ है कि वह एक अचर, अर्थात केवल 22, रह जाए। इसलिए \(x^{11}\) और \(x^4\) दोनों के गुणांक शून्य होने चाहिए। दोनों का गुणांक \(r-10\) है, अतः \(r-10=0\), जिससे \(r=10\) मिलता है। \(r=-10\) रखने पर गुणांक \(-20\) होगा और बहुपद की डिग्री 11 रहेगी। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में डिग्री घटाने के लिए उच्चतम घात के गुणांक को पहले शून्य जाँचें। / For the polynomial to have degree 0, it must reduce to a constant, namely 22. Therefore, the coefficients of both \(x^{11}\) and \(x^4\) must be zero. Since each coefficient is \(r-10\), we get \(r-10=0\), so \(r=10\). If \(r=-10\), the coefficient becomes \(-20\), and the polynomial still has degree 11. Exam tip: In parameter-based polynomials, first set the coefficient of the highest power to zero when checking whether the degree can decrease.
अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनके डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः
( p(x)q(x) ) की डिग्री = 8 + 7 = 15 होगी। विकल्प 8 केवल p(x) की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ते हैं, जबकि बहुपदों के योग में सामान्यतः बड़ी डिग्री लेते हैं। / For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees. Thus, the degree of ( p(x)q(x) ) is 8 + 7 = 15. Option 8 is only the degree of p(x), not of the product. Exam tip: Add degrees when multiplying polynomials; for addition, the higher degree generally determines the result.
दो चरों वाले किसी पद की कुल डिग्री उसके चरों की घातों का योग होती है। यहाँ x-7y-2 की कुल डिग्री 7+2=9, x-5y-8 की 5+8=13 तथा xy की 1+1=2 है। इनका सबसे बड़ा मान 13 है, इसलिए बहुपद की कुल डिग्री 13 है। विकल्प A केवल पहले पद की कुल डिग्री है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय प्रत्येक पद की कुल घात निकालकर सबसे बड़ी कुल घात चुनें। / For a term in two variables, the total degree is the sum of the exponents of its variables. Here, the total degrees of x-7y-2, x-5y-8, and xy are 7+2=9, 5+8=13, and 1+1=2 respectively. The greatest of these is 13, so the total degree of the polynomial is 13. Option A is only the total degree of the first term. Exam tip: Find the total degree of every term and choose the greatest one.
डिग्री (0) के लिए \(x^{14}\) और \(x^7\) दोनों पद हटने चाहिए। (u=-12) पर दोनों गुणांक (0) हैं। / For degree (0), both \(x^{14}\) and \(x^7\) terms must vanish. At (u=-12), both coefficients are (0).
दिए गए व्यंजक में \(6x^{12}-6x^{12}=0\) और \(7x^8-7x^8=0\) हो जाते हैं। इसलिए \(F(x)=9x^5-4\) बचता है। इसमें शून्येतर गुणांक वाला सबसे बड़ा घातांक \(5\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(5\) है। विकल्प 0 केवल किसी शून्येतर अचर बहुपद की डिग्री होता। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को जोड़कर या घटाकर सरल कीजिए, फिर शेष उच्चतम घातांक देखिए। / In the given expression, \(6x^{12}-6x^{12}=0\) and \(7x^8-7x^8=0\). Thus, \(F(x)=9x^5-4\). The highest exponent with a non-zero coefficient is \(5\), so the degree of the polynomial is \(5\). Option 0 would apply only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: simplify like terms first, then identify the highest remaining exponent.
(\(x^7+4x^3\)2=x^{14}+8x^{10}+16x-6) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(16x^6+6x^2\) बचता है जिसकी डिग्री (6) है। / (\(x^7+4x^3\)2=x^{14}+8x^{10}+16x-6). After higher terms cancel, \(16x^6+6x^2\) remains, whose degree is (6).
