The reverse of ((1,2)) is ((2,1)), and the reverse of ((2,4)) is ((4,2)).
Step 2
Why this answer is correct
((3,3)) is its own reverse, so it does not break symmetry.
Step 3
Exam Tip
In exams, check non-diagonal pairs in reverse pairs. चरण 1: ((1,2)) का उलटा ((2,1)) और ((2,4)) का उलटा ((4,2)) मौजूद है। चरण 2: ((3,3)) अपना ही उलटा है, इसलिए यह सममितता को नहीं तोड़ता। चरण 3: परीक्षा में गैर-विकर्ण युग्मों को जोड़ी बनाकर जाँचें।
((1,3)) and ((3,1)) are already reverses of each other.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((2,4)), which is ((4,2)), is missing.
Step 3
Exam Tip
To make a relation symmetric, add only the missing reverse pair. चरण 1: ((1,3)) और ((3,1)) पहले से एक-दूसरे के उलटे हैं। चरण 2: ((2,4)) का उलटा ((4,2)) अनुपस्थित है। चरण 3: सममित बनाने के लिए केवल गायब उलटे युग्म को जोड़ें।
In addition-based rules, changing order does not change the sum, so symmetry is easy to test. चरण 1: यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा। चरण 2: इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। चरण 3: जोड़ वाले नियमों में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममितता आसानी से जाँची जाती है।
If (a-b) is odd, then (b-a) is also odd because only the sign changes.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the reverse pair also satisfies the same rule.
Step 3
Exam Tip
While checking evenness or oddness, do not worry about the negative sign. चरण 1: यदि (a-b) विषम है, तो (b-a) भी विषम होगा क्योंकि केवल चिह्न बदलता है। चरण 2: इसलिए हर युग्म का उलटा भी उसी नियम को पूरा करेगा। चरण 3: सम या विषम होने की जाँच में ऋण चिह्न से घबराएँ नहीं।
If \(R^{-1}=R\), then every reverse pair already belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
Treat equality with the inverse as a quick test for symmetry. चरण 1: \(R^{-1}\) में हर युग्म उलट जाता है। चरण 2: यदि \(R^{-1}=R\), तो हर उलटा युग्म पहले से (R) में है। चरण 3: प्रतिलोम बराबरी को सममितता की तेज पहचान मानें।
First check the reverses of the given non-diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((3,4)) is present, but its reverse ((4,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
One missing reverse pair is enough to break symmetry. चरण 1: पहले दिए गए गैर-विकर्ण युग्मों के उलटे युग्म देखें। चरण 2: ((3,4)) मौजूद है, लेकिन उसका उलटा ((4,3)) नहीं है। चरण 3: सममितता टूटने के लिए एक गायब उलटा युग्म ही काफी है।
A. \((1,2)\in R\) है लेकिन \((2,1)\notin R\)/\((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
\(1\le 2\) is true, so \((1,2)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2\le 1\) is false, so \((2,1)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
In order-based rules, always check the reverse pair separately. चरण 1: \(1\le 2\) सत्य है, इसलिए \((1,2)\in R\)। चरण 2: \(2\le 1\) असत्य है, इसलिए \((2,1)\notin R\)। चरण 3: क्रम आधारित नियमों में उलटा युग्म अलग से अवश्य जाँचें।
In absolute difference, (|a-b|) and (|b-a|) are equal.
Step 2
Why this answer is correct
So if (|a-b|=2), then (|b-a|=2) also holds.
Step 3
Exam Tip
Absolute value rules are often good examples of symmetry. चरण 1: निरपेक्ष अंतर में (|a-b|) और (|b-a|) बराबर होते हैं। चरण 2: इसलिए यदि (|a-b|=2), तो (|b-a|=2) भी होगा। चरण 3: निरपेक्ष मान वाले नियम सामान्यतः सममितता के अच्छे उदाहरण होते हैं।
The reverse of ((5,7)) is ((7,5)), so it must be present.
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not automatically prove all diagonal pairs. चरण 1: सममितता केवल उलटे युग्म की अनिवार्यता बताती है। चरण 2: ((5,7)) का उलटा ((7,5)) है, इसलिए वही अवश्य होगा। चरण 3: सममितता से सभी विकर्ण युग्म अपने आप सिद्ध नहीं होते।
A. (R) सममित है पर जरूरी नहीं कि स्वतुल्य हो/(R) is symmetric but not necessarily reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) and ((2,2)) are their own reverses.
Step 3
Exam Tip
Even if ((3,3)) is missing, symmetry may still hold; that is a reflexivity issue. चरण 1: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। चरण 2: विकर्ण युग्म ((1,1)) और ((2,2)) अपने ही उलटे हैं। चरण 3: यदि समुच्चय में (3) है और ((3,3)) नहीं है, तब भी सममितता बनी रह सकती है; यह स्वतुल्यता का प्रश्न है।
In option A, both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
It does not contain all ((1,1),(2,2),(3,3)), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
In questions with two properties, check both conditions separately. चरण 1: पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए यह सममित है। चरण 2: इसमें ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी नहीं हैं, इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है। चरण 3: दो गुणों वाले प्रश्नों में दोनों शर्तें अलग-अलग जाँचें।
But the reverse of ((1,3)), which is ((3,1)), is missing, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
Having diagonal pairs does not automatically prove symmetry. चरण 1: पहले विकल्प में ((1,1)) और ((2,2)) विकर्ण युग्म हैं। चरण 2: लेकिन ((1,3)) का उलटा ((3,1)) नहीं है, इसलिए यह सममित नहीं है। चरण 3: विकर्ण युग्म मौजूद होने से सममितता अपने आप सिद्ध नहीं होती।
Match the entries on both sides of the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{12}=m_{21}=0\), and \(m_{23}=m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
A matrix identical about the main diagonal represents a symmetric relation. चरण 1: आव्यूह की मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाएँ। चरण 2: यहाँ \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{12}=m_{21}=0\) और \(m_{23}=m_{32}=0\) हैं। चरण 3: मुख्य विकर्ण के बारे में समान आव्यूह सममित संबंध दिखाता है।
If the reverse of one pair is missing, the relation is not symmetric. चरण 1: \(m_{23}=1\) का अर्थ है कि \((2,3)\in R\)। चरण 2: \(m_{32}=0\) का अर्थ है कि \((3,2)\notin R\)। चरण 3: एक युग्म का उलटा न मिले तो संबंध सममित नहीं होता।
A. क्योंकि हर संभव ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी मौजूद है/Because with every possible ((a,b)), ((b,a)) is also present
Step 1
Concept
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the reverse ((b,a)) of any ((a,b)) is also present.
Step 3
Exam Tip
Remember that the universal relation is an important example of a symmetric relation. चरण 1: \(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए किसी भी ((a,b)) का उलटा ((b,a)) भी उसी में होगा। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध को सममित मानना एक महत्वपूर्ण तथ्य है।
A. क्योंकि इसमें ऐसा कोई युग्म नहीं है जिसकी शर्त टूटे/Because there is no pair that can violate the condition
Step 1
Concept
The condition of symmetry is checked only for pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pair, so there is no counterexample.
Step 3
Exam Tip
The empty relation is treated as symmetric automatically. चरण 1: सममितता की शर्त केवल मौजूद युग्मों पर जाँची जाती है। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म है ही नहीं, इसलिए कोई विरोधी उदाहरण नहीं मिलता। चरण 3: खाली संबंध को स्वतः सममित माना जाता है।
\(a\equiv b \pmod{2}\) means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) has the same parity as (b), then (b) has the same parity as (a).
Step 3
Exam Tip
In similarity-type rules, check both directions naturally. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। चरण 2: यदि (a) की प्रकृति (b) जैसी है, तो (b) की प्रकृति भी (a) जैसी होगी। चरण 3: समानता जैसे नियमों में दोनों दिशा स्वाभाविक रूप से जाँचें।
If \(a\equiv b \pmod{3}\), both leave the same remainder when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The same fact also gives \(b\equiv a \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
Congruence rules are good examples of symmetry. चरण 1: यदि \(a\equiv b \pmod{3}\), तो दोनों का (3) से भाग देने पर शेष समान है। चरण 2: यही बात उलटकर \(b\equiv a \pmod{3}\) भी देती है। चरण 3: सर्वांगसमता वाले नियम सममितता के अच्छे उदाहरण हैं।
A. \((2,1)\in R\) है लेकिन \((1,2)\notin R\)/\((2,1)\in R\) but \((1,2)\notin R\)
Step 1
Concept
(2=1+1), so \((2,1)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
For ((1,2)), (1=2+1) is false.
Step 3
Exam Tip
One-direction rules often fail symmetry. चरण 1: (2=1+1), इसलिए \((2,1)\in R\)। चरण 2: ((1,2)) के लिए (1=2+1) गलत है। चरण 3: एक दिशा वाले नियमों में सममितता अक्सर असफल होती है।
If \(a^2=b^2\), then by reversing equality, \(b^2=a^2\) is also true.
Step 2
Why this answer is correct
Hence if ((a,b)) belongs to the relation, ((b,a)) also belongs.
Step 3
Exam Tip
In equality-based rules, swap the two sides to test symmetry. चरण 1: यदि \(a^2=b^2\), तो बराबरी को उलटकर \(b^2=a^2\) भी सत्य है। चरण 2: इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: बराबरी पर आधारित नियमों में सममितता जाँचते समय दोनों ओर बदलकर देखें।
The pairs giving sum (5) are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of every pair is also in the list, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
In counting questions, first list all pairs systematically. चरण 1: योग (5) देने वाले युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। चरण 2: हर युग्म का उलटा भी सूची में है, इसलिए संबंध सममित है। चरण 3: गिनती वाले प्रश्नों में पहले सभी युग्म व्यवस्थित रूप से लिखें।
In fixed difference rules, reversing may change the sign, so be careful. चरण 1: \((3,1)\in R\) क्योंकि (3-1=2)। चरण 2: \((1,3)\notin R\) क्योंकि (1-3=-2), जो (2) नहीं है। चरण 3: निश्चित अंतर वाले नियमों में उलटने पर चिह्न बदल सकता है, इसलिए सावधानी रखें।
Therefore, if \(|a-b|\le 1\), the reverse pair also satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
Absolute difference inequalities often lead to symmetric relations. चरण 1: (|a-b|) और (|b-a|) का मान हमेशा समान होता है। चरण 2: इसलिए \(|a-b|\le 1\) होने पर उलटा युग्म भी यही शर्त पूरी करेगा। चरण 3: निरपेक्ष अंतर वाले असमानता नियमों में सममितता की संभावना अधिक होती है।
In a symmetric relation, the reverse of every given pair must also exist.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((2,5)) is ((5,2)), and the reverse of ((4,6)) is ((6,4)).
Step 3
Exam Tip
For multiple pairs, reverse each pair separately. चरण 1: सममित संबंध में हर दिए गए युग्म का उलटा युग्म भी होता है। चरण 2: ((2,5)) का उलटा ((5,2)) और ((4,6)) का उलटा ((6,4)) है। चरण 3: कई युग्मों वाले प्रश्न में प्रत्येक युग्म को अलग-अलग उलटें।
The pair ((1,3)) and ((3,1)) is also complete; only the reverse ((4,2)) of ((2,4)) is missing.
Step 3
Exam Tip
For minimum addition, count only missing reverse pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) की जोड़ी पूरी है। चरण 2: ((1,3)) और ((3,1)) की जोड़ी भी पूरी है, केवल ((2,4)) का उलटा ((4,2)) गायब है। चरण 3: न्यूनतम जोड़ने में केवल गायब उलटे युग्म गिनें।
In the inverse relation, all ordered pairs are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
Here the reverse of every pair is already in the same relation.
Step 3
Exam Tip
When a relation is symmetric, its inverse is equal to itself. चरण 1: प्रतिलोम संबंध में सभी युग्म उलटते हैं। चरण 2: यहाँ हर युग्म का उलटा पहले से उसी संबंध में है। चरण 3: जब संबंध सममित हो, तब उसका प्रतिलोम उसी के बराबर होता है।
\(R^{-1}=R\) holds exactly when the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
In option A, both ((1,2)) and ((2,1)) are present, and ((3,3)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
Convert inverse questions into symmetry checks. चरण 1: \(R^{-1}=R\) तभी होगा जब संबंध सममित हो। चरण 2: पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) अपना ही उलटा है। चरण 3: प्रतिलोम वाले प्रश्न को सममितता की जाँच में बदल दें।
The greatest common divisor of two numbers does not change when the order changes.
Step 2
Why this answer is correct
If (\gcd(a,b)=1), then (\gcd(b,a)=1) also.
Step 3
Exam Tip
In number-property rules, swap the order and see whether the rule remains unchanged. चरण 1: दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक क्रम बदलने से नहीं बदलता। चरण 2: यदि (a) और (b) का महत्तम समापवर्तक (1) है, तो (b) और (a) का भी (1) होगा। चरण 3: संख्या-गुण वाले नियम में क्रम बदलकर नियम की स्थिरता जाँचें।
If (a) and (b) are both even, then after swapping, (b) and (a) are also both even.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, with ((a,b)), the reverse ((b,a)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
When the same condition applies to both entries, check symmetry carefully. चरण 1: यदि (a) और (b) दोनों सम हैं, तो क्रम बदलने पर (b) और (a) भी दोनों सम ही रहेंगे। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: दोनों घटकों पर समान शर्त लगी हो तो सममितता ध्यान से जाँचें।
A. \((1,2)\in R\) है लेकिन \((2,1)\notin R\)/\((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
(1) divides (2), so \((1,2)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
(2) does not divide (1), so \((2,1)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
Divisibility generally does not remain the same after reversing the order. चरण 1: (1) संख्या (2) को विभाजित करती है, इसलिए \((1,2)\in R\)। चरण 2: (2) संख्या (1) को विभाजित नहीं करती, इसलिए \((2,1)\notin R\)। चरण 3: विभाज्यता सामान्य रूप से दिशा बदलने पर वही नहीं रहती।
In option A, every non-diagonal pair has its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
It does not contain all diagonal pairs, yet symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Keep the conditions of symmetry and reflexivity separate. चरण 1: पहले विकल्प में हर गैर-विकर्ण युग्म का उलटा मौजूद है। चरण 2: इसमें सभी विकर्ण युग्म नहीं हैं, फिर भी सममितता पूरी है। चरण 3: सममितता और स्वतुल्यता की शर्तों को अलग रखें।
Transitivity gives ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) and ((2,1)) give ((1,1)).
Step 3
Exam Tip
In mixed-property questions, think by chaining ordered pairs. चरण 1: संक्रमणीयता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। चरण 2: यहाँ ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) मिलता है। चरण 3: गुणों के मिले-जुले प्रश्न में क्रमित युग्मों की कड़ी बनाकर सोचें।
When \(a\ne b\), the reverse of ((a,b)) is a different pair ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
This reverse pair is required for symmetry.
Step 3
Exam Tip
For non-diagonal pairs, do not forget to write the reverse separately. चरण 1: \(a\ne b\) होने पर ((a,b)) का उलटा अलग युग्म ((b,a)) होता है। चरण 2: सममितता के लिए यह उलटा युग्म अनिवार्य है। चरण 3: गैर-विकर्ण युग्मों में उलटा युग्म अलग से लिखना न भूलें।
Rules depending on order often break symmetry. चरण 1: (a<b) एक दिशा वाला नियम है। चरण 2: यदि (a<b), तो सामान्यतः (b<a) सत्य नहीं होगा। चरण 3: क्रम पर निर्भर नियमों में सममितता अक्सर टूटती है।
A. हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\)/For every \(a\in A\), \((a,a)\in R\)
Step 1
Concept
Having every ((a,a)) is the condition of reflexivity, not symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry asks only for reverses of existing pairs.
Step 3
Exam Tip
Distinguish between always true and not necessarily true statements. चरण 1: हर ((a,a)) का होना स्वतुल्यता की शर्त है, सममितता की नहीं। चरण 2: सममितता केवल मौजूद युग्मों के उलटे युग्म माँगती है। चरण 3: हमेशा सत्य और जरूरी नहीं सत्य में अंतर पहचानें।
A. (R) सममित है पर स्वतुल्य नहीं/(R) is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) and ((2,1)), as well as ((1,3)) and ((3,1)), are reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1),(2,2),(3,3)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
Check symmetry first and reflexivity separately. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)), ((1,3)) और ((3,1)) उलटे युग्म हैं। चरण 2: ((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं, इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है। चरण 3: पहले सममितता, फिर स्वतुल्यता की अलग जाँच करें।
All diagonal pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) of (A) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is also symmetric.
Step 3
Exam Tip
When two properties are asked, verify both fully. चरण 1: (A) के सभी विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वतुल्य है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं, इसलिए सममितता भी है। चरण 3: जब दो गुण पूछे जाएँ, दोनों की पूरी जाँच करें।
In a symmetric matrix, \(m_{12}=m_{21}\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
In option A, both entries are (1), so the matrix is identical about the main diagonal.
Step 3
Exam Tip
In small matrices, compare entries above and below the diagonal. चरण 1: सममित आव्यूह में \(m_{12}=m_{21}\) होना चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में दोनों प्रविष्टियाँ (1) हैं, इसलिए यह मुख्य विकर्ण के बारे में समान है। चरण 3: छोटे आव्यूह में विकर्ण के ऊपर और नीचे की प्रविष्टियाँ मिलाएँ।
A. कोई अतिरिक्त युग्म जरूरी नहीं/No extra pair is required
Step 1
Concept
The reverse of ((3,3)) is ((3,3)) itself.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore no new reverse pair is needed because of this pair.
Step 3
Exam Tip
Treat diagonal pairs as immediately safe for symmetry. चरण 1: ((3,3)) का उलटा वही ((3,3)) है। चरण 2: इसलिए इस युग्म के कारण कोई नया उलटा युग्म जोड़ना नहीं पड़ता। चरण 3: विकर्ण युग्मों को सममितता में तुरंत सुरक्षित मानें।
So with ((a,b)), the reverse ((b,a)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
This inequality rule remains the same in both directions. चरण 1: यदि \(a\ne b\), तो \(b\ne a\) भी सत्य होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में आएगा। चरण 3: असमानता का यह नियम दोनों दिशाओं में एक जैसा रहता है।
Therefore, if \(a+b\le 5\), then \(b+a\le 5\) also holds.
Step 3
Exam Tip
In sum-based inequalities, changing order does not change the condition. चरण 1: योग में (a+b=b+a) होता है। चरण 2: इसलिए यदि \(a+b\le 5\), तो \(b+a\le 5\) भी होगा। चरण 3: योग पर आधारित असमानता में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती।
(1+2=3), which is odd, so ((1,2)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(2+1=3) is also odd, so ((2,1)) also belongs.
Step 3
Exam Tip
In sum-based rules, the reverse pair usually satisfies the same condition. चरण 1: (1+2=3), जो विषम है, इसलिए ((1,2)) संबंध में है। चरण 2: (2+1=3) भी विषम है, इसलिए ((2,1)) भी संबंध में होगा। चरण 3: योग वाले नियम में उलटा युग्म प्रायः उसी शर्त को पूरा करता है।
A. गैर-विकर्ण युग्मों के आधार पर यह सममित हो सकता है/Based on non-diagonal pairs, it can be symmetric
Step 1
Concept
Every given non-diagonal pair has its reverse present.
Step 2
Why this answer is correct
Diagonal pairs may or may not be present; they are not compulsory for symmetry.
Step 3
Exam Tip
In symmetry, check reverses only for existing pairs. चरण 1: दिए गए हर गैर-विकर्ण युग्म का उलटा युग्म मौजूद है। चरण 2: विकर्ण युग्म हों या न हों, वे सममितता की अनिवार्य शर्त नहीं हैं। चरण 3: सममितता में केवल मौजूद युग्मों के उलटे युग्मों की जाँच करें।
A. \((a,b)\in R\) जब (|a-b|=4)/\((a,b)\in R\) when (|a-b|=4)
Step 1
Concept
The value of (|a-b|) does not change after swapping the order.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, if (|a-b|=4), then (|b-a|=4) too.
Step 3
Exam Tip
Treat absolute difference as a quick clue for symmetry. चरण 1: (|a-b|) का मान क्रम बदलने पर नहीं बदलता। चरण 2: इसलिए (|a-b|=4) होने पर (|b-a|=4) भी होगा। चरण 3: निरपेक्ष अंतर को सममितता पहचानने की तेज कुंजी मानें।
A. ऐसा \((a,b)\in R\) जिसके लिए \((b,a)\notin R\)/A pair \((a,b)\in R\) for which \((b,a)\notin R\)
Step 1
Concept
One counterexample is enough to disprove symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
You need a pair whose reverse is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
In a long list, first search for one missing reverse pair. चरण 1: सममितता को गलत दिखाने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है। चरण 2: ऐसा युग्म चाहिए जिसका उलटा संबंध में न हो। चरण 3: लंबी सूची में पहले एक गायब उलटा युग्म खोजें।
All diagonal pairs are present, so they are not the problem.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((2,3)), which is ((3,2)), is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Even when reflexivity appears to hold, check symmetry separately. चरण 1: विकर्ण युग्म सभी मौजूद हैं, इसलिए वे समस्या नहीं हैं। चरण 2: ((2,3)) का उलटा ((3,2)) संबंध में नहीं है। चरण 3: स्वतुल्यता दिखने पर भी सममितता अलग से जाँचें।
If a pair gives sum (6), its reverse will also give sum (6).
Step 3
Exam Tip
Connect the commutative property of addition with symmetry. चरण 1: (a+b) और (b+a) हमेशा बराबर होते हैं। चरण 2: यदि कोई युग्म योग (6) देता है, तो उसका उलटा भी योग (6) देगा। चरण 3: योग के क्रम-परिवर्तन गुण को सममितता से जोड़कर देखें।
A. \(R=\{(1,2),(3,3)\}\) में ((2,1)) जोड़ें/Add ((2,1)) to \(R=\{(1,2),(3,3)\}\)
Step 1
Concept
((3,3)) is its own reverse, so it is fine.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((1,2)), which is ((2,1)), is missing.
Step 3
Exam Tip
For minimum correction, add only the required reverse pair. चरण 1: ((3,3)) अपना उलटा स्वयं है, इसलिए वह ठीक है। चरण 2: ((1,2)) का उलटा ((2,1)) नहीं है। चरण 3: न्यूनतम सुधार में केवल जरूरी उलटा युग्म जोड़ें।
The pair ((2,4)) and ((4,2)) is also complete, but the reverse ((4,1)) of ((1,4)) is missing.
Step 3
Exam Tip
In a symmetric extension, every missing reverse pair is added. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) की जोड़ी पूरी है। चरण 2: ((2,4)) और ((4,2)) की जोड़ी भी पूरी है, लेकिन ((1,4)) का उलटा ((4,1)) नहीं है। चरण 3: सममित विस्तार में हर गायब उलटा युग्म जोड़ा जाता है।
A. हर \((a,b)\in R\) के लिए \((b,a)\in R\) जाँचना/Check \((b,a)\in R\) for every \((a,b)\in R\)
Step 1
Concept
The basic condition of symmetry is based on reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the main check is whether the reverse of every present pair belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Do not decide only by counting pairs or looking at the size. चरण 1: सममितता की मूल शर्त उलटे युग्म पर आधारित है। चरण 2: इसलिए प्रत्येक मौजूद युग्म का उलटा संबंध में है या नहीं, यही मुख्य जाँच है। चरण 3: संख्या या आकार देखकर जल्दबाजी में निर्णय न लें।
