Solving \(x^2+x=6\) gives \(x^2+x-6=0\), so ((x-2)(x+3)=0).
Step 3
Exam Tip
Hence (x=2) or (x=-3), so the class is ({-3,2}). चरण 1: \(2^2+2=6\) है। चरण 2: \(x^2+x=6\) से \(x^2+x-6=0\) मिलता है, इसलिए ((x-2)(x+3)=0)। चरण 3: इसलिए (x=2) या (x=-3), अतः वर्ग ({-3,2}) है।
In the given set, (\gcd(2,8)=2) and (\gcd(6,8)=2).
Step 3
Exam Tip
Elements with the same greatest common divisor form one equivalence class. चरण 1: (\gcd(6,8)=2) है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (\gcd(2,8)=2) और (\gcd(6,8)=2) है। चरण 3: समान महत्तम समापवर्तक वाले तत्व एक ही तुल्यता वर्ग बनाते हैं।
The total is (16+4+1+1=22). चरण 1: वर्ग ({1,3,5,7},{2,6},{4},{8}) बनते हैं। चरण 2: युग्मों की संख्या \(4^2+2^2+1^2+1^2\) होगी। चरण 3: कुल (16+4+1+1=22) युग्म होंगे।
In an equivalence relation, only elements inside the same class are related.
Step 2
Why this answer is correct
(4) is in the first class and (2) is in the second class.
Step 3
Exam Tip
A pair from different classes cannot belong to the relation. चरण 1: तुल्यता संबंध में केवल एक ही वर्ग के अंदर के तत्व संबंधित होते हैं। चरण 2: (4) पहले वर्ग में है और (2) दूसरे वर्ग में है। चरण 3: अलग वर्गों के तत्वों का युग्म संबंध में नहीं होगा।
A class of size (m) contributes \(m^2\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The total is \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\).
Step 3
Exam Tip
Hence the relation contains (14) pairs. चरण 1: आकार (m) वाले तुल्यता वर्ग से \(m^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। चरण 2: कुल युग्म \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\) होंगे। चरण 3: इसलिए संबंध में (14) युग्म होंगे।
Then there are three objects: ({1,2,3},4,5). Three objects have (5) partitions.
Step 3
Exam Tip
Combine elements that must stay together before counting. चरण 1: (1,2,3) को एक संयुक्त समूह मान सकते हैं। चरण 2: अब तीन वस्तुएँ बचती हैं: ({1,2,3},4,5)। तीन वस्तुओं के विभाजन (5) होते हैं। चरण 3: साथ रहने वाले तत्वों को पहले एक वस्तु मानना गिनती को सरल करता है।
This is the number of ways to partition (5) elements into exactly (3) non-empty blocks.
Step 2
Why this answer is correct
The block-size patterns are (3,1,1) and (2,2,1).
Step 3
Exam Tip
The count is (10+15=25), so there are (25) equivalence relations. चरण 1: यह (5) तत्वों को ठीक (3) खाली-न-होने वाले समूहों में बाँटने की गिनती है। चरण 2: आकारों के प्रकार (3,1,1) और (2,2,1) होंगे। चरण 3: गिनती (10+15=25) आती है, इसलिए (25) तुल्यता संबंध हैं।
The number where (1) and (2) are in the same class is (5).
Step 3
Exam Tip
Hence the number where they are in different classes is (15-5=10). चरण 1: (4) तत्वों पर कुल तुल्यता संबंध (15) होते हैं। चरण 2: (1) और (2) एक ही वर्ग में हों तो गिनती (5) है। चरण 3: अलग वर्गों की गिनती (15-5=10) होगी।
The total is (4+1+1+1+1=8). चरण 1: वर्ग ({1,6},{2},{3},{4},{5}) बनते हैं। चरण 2: युग्मों की संख्या \(2^2+1^2+1^2+1^2+1^2\) होगी। चरण 3: कुल (4+1+1+1+1=8) युग्म मिलेंगे।
The difference must be divisible by both (6) and (10).
Step 2
Why this answer is correct
Such a difference is divisible by (\operatorname{lcm}(6,10)=30).
Step 3
Exam Tip
When two modulo conditions must hold together, use the least common multiple. चरण 1: अंतर (6) और (10) दोनों से विभाज्य होना चाहिए। चरण 2: ऐसी संख्या (\operatorname{lcm}(6,10)=30) से विभाज्य होगी। चरण 3: दो मापांक शर्तों को साथ मिलाते समय लघुत्तम समापवर्त्य लें।
(0-4=-4) is divisible by (4), and (4-10=-6) is divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
But (0-10=-10) is divisible by neither (4) nor (6).
Step 3
Exam Tip
Thus transitivity fails. चरण 1: (0-4=-4) (4) से विभाज्य है और (4-10=-6) (6) से विभाज्य है। चरण 2: लेकिन (0-10=-10) न (4) से और न (6) से विभाज्य है। चरण 3: इसलिए दो जुड़े युग्म होने पर तीसरा जरूरी युग्म नहीं मिलता, अतः संक्रमणता टूटती है।
If \(\sin a=\sin b\), then \(\sin b=\sin a\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Equality of function values is transitive, so this is an equivalence relation. चरण 1: \(\sin a=\sin a\), इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: यदि \(\sin a=\sin b\), तो \(\sin b=\sin a\), इसलिए सममितता है। चरण 3: समान फलन मान की बराबरी संक्रमण भी होती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
The solutions of \(\sin x=0\) are \(x=n\pi\), where \(n\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
For trigonometric function classes, include all angles with the same function value. चरण 1: (0) के लिए \(\sin 0=0\) है। चरण 2: \(\sin x=0\) के हल \(x=n\pi\), जहाँ \(n\in\mathbb{Z}\), होते हैं। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन वाले वर्गों में सभी समान फलन मान वाले कोण शामिल करें।
\(6=2\cdot3\), so it has two prime factors with repetition.
Step 2
Why this answer is correct
\(4=2^2\) and \(9=3^2\) also have two prime factors.
Step 3
Exam Tip
Count repeated prime factors when the condition says so. चरण 1: \(6=2\cdot3\), इसलिए इसमें दो अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 2: \(4=2^2\) और \(9=3^2\) में भी दो अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: गुणनखंडों की संख्या गिनते समय पुनरावृत्ति को भी गिनना है।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) के (2) से भाग देने पर शेष और (3) से भाग देने पर शेष दोनों समान हों। (5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
The two numbers must have the same remainders modulo (2) and modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
This is the same as having the same remainder modulo (6).
Step 3
Exam Tip
In the given set, only (5) has remainder (5) modulo (6). चरण 1: दो संख्याओं के शेष (2) और (3) दोनों मापांकों पर समान होने चाहिए। चरण 2: यह असल में (6) से समान शेष जैसा है। चरण 3: दिए गए समुच्चय में (5) जैसा (6) से शेष (5) केवल (5) का है।
The possible values of (\gcd(a,10)) are (1,2,5,10).
Step 2
Why this answer is correct
These four distinct values create four equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
The number of distinct function values gives the number of classes. चरण 1: (\gcd(a,10)) के संभावित मान (1,2,5,10) हैं। चरण 2: इन चार अलग मानों से चार अलग तुल्यता वर्ग बनते हैं। चरण 3: समान फलन मानों की संख्या ही वर्गों की संख्या देती है।
(2,4,6,8) all have greatest common divisor (2) with (10).
Step 3
Exam Tip
Only elements with the same greatest common divisor belong to the class. चरण 1: (\gcd(8,10)=2) है। चरण 2: (2,4,6,8) सभी का (10) के साथ महत्तम समापवर्तक (2) है। चरण 3: समान महत्तम समापवर्तक वाले तत्व ही उसी वर्ग में आएँगे।
Real numbers with floor value (-2) lie in ([-2,-1)).
Step 3
Exam Tip
For negative numbers, be careful that the floor goes to the smaller integer. चरण 1: \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\) है। चरण 2: जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (-2) है, वे ([-2,-1)) में आती हैं। चरण 3: ऋणात्मक संख्याओं में पूर्णांक भाग निकालते समय बाएँ छोटे पूर्णांक पर ध्यान दें।
In an equivalence relation, all elements connected in a chain lie in the same class. चरण 1: (aRb) और (bRc) से संक्रमणता द्वारा (aRc) मिलता है। चरण 2: (aRc) और (cRd) से फिर संक्रमणता द्वारा (aRd) मिलता है। चरण 3: तुल्यता संबंध में एक श्रृंखला के सभी तत्व एक ही वर्ग में आते हैं।
The three classes share at least one common element.
Step 2
Why this answer is correct
If two equivalence classes have non-empty intersection, they are equal.
Step 3
Exam Tip
Applying this to all three classes gives ([a]=[b]=[c]). चरण 1: तीनों वर्गों में कोई एक समान तत्व है। चरण 2: दो तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद खाली न हो तो वे समान होते हैं। चरण 3: यही बात तीनों पर लागू होगी, इसलिए तीनों वर्ग समान हैं।
A relation based on equal function value groups all elements with the same value. चरण 1: (\max(2,4)=4) है। चरण 2: (1,2,3,4) सभी के लिए (\max(a,4)=4) मिलता है। चरण 3: समान फलन मान से बने संबंध में समान मान वाले सभी तत्व एक वर्ग बनाते हैं।
The number of distinct function values gives the number of classes. चरण 1: (\max(a,4)) के संभावित मान (4,5,6) हैं। चरण 2: वर्ग ({1,2,3,4},{5},{6}) बनते हैं। चरण 3: अलग-अलग फलन मानों की संख्या ही तुल्यता वर्गों की संख्या है।
The distance of ((3,4)) from the origin is \(\sqrt{3^2+4^2}=5\).
Step 2
Why this answer is correct
The point ((0,5)) also has distance (5).
Step 3
Exam Tip
All points with the same distance from the origin belong to the same class. चरण 1: ((3,4)) की मूलबिंदु से दूरी \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) है। चरण 2: ((0,5)) की दूरी भी (5) है। चरण 3: समान दूरी वाले सभी बिंदु उसी तुल्यता वर्ग में आते हैं।
A. मूलबिंदु केंद्र वाले वृत्त/Circles centered at the origin
Step 1
Concept
Having the same distance from the origin means having a fixed radius.
Step 2
Why this answer is correct
All points with a fixed radius form a circle centered at the origin.
Step 3
Exam Tip
In geometric relations, equivalence classes often appear as shapes. चरण 1: मूलबिंदु से समान दूरी का अर्थ एक निश्चित त्रिज्या है। चरण 2: निश्चित त्रिज्या वाले सभी बिंदु मूलबिंदु केंद्र वाला वृत्त बनाते हैं। चरण 3: ज्यामितीय संबंधों में तुल्यता वर्ग अक्सर आकृतियों के रूप में दिखते हैं।
A. (R) के वर्ग (S) के वर्गों से छोटे या बराबर भाग होंगे/Classes of (R) are smaller or equal parts of classes of (S)
Step 1
Concept
\(R\subseteq S\) means every pair related by (R) is also related by (S).
Step 2
Why this answer is correct
Thus (S) may merge more elements together.
Step 3
Exam Tip
Each (R)-class is contained in some (S)-class. चरण 1: \(R\subseteq S\) का अर्थ है कि (R) में जितने संबंध हैं वे (S) में भी हैं। चरण 2: इसलिए (S) अधिक तत्वों को एक साथ जोड़ सकता है। चरण 3: अतः (R) का प्रत्येक वर्ग (S) के किसी वर्ग के भीतर होगा।
(S) merges the two (R)-classes ({1,2}) and ({3,4}) into a larger class.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore every pair inside an (R)-class remains inside an (S)-class.
Step 3
Exam Tip
Hence \(R\subseteq S\). चरण 1: (S) ने (R) के दो वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) को मिलाकर बड़ा वर्ग बनाया है। चरण 2: इसलिए (R) के अंदर के सभी युग्म (S) में मौजूद रहेंगे। चरण 3: अतः \(R\subseteq S\) सही है।
In \(R\cap S\), two elements stay together only if they are together in both relations.
Step 2
Why this answer is correct
Here no two distinct elements are together in both partitions.
Step 3
Exam Tip
Therefore all classes are singleton classes. चरण 1: \(R\cap S\) में दो तत्व तभी साथ होंगे जब वे दोनों संबंधों में साथ हों। चरण 2: यहाँ कोई दो अलग तत्व दोनों विभाजनों में एक साथ नहीं हैं। चरण 3: इसलिए केवल एकल वर्ग बचेंगे।
Since (7) is rational, it is in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
Adding a rational number does not change the class in a rational-difference relation. चरण 1: (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+7\)-\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)=7) है। चरण 2: (7) परिमेय है, इसलिए यह उसी तुल्यता वर्ग में है। चरण 3: परिमेय अंतर वाले संबंध में जोड़ने वाला परिमेय पद वर्ग नहीं बदलता।
(3) is a positive rational number, so \(-6\sqrt{5}\) is in the same class.
Step 3
Exam Tip
Here the ratio must be positive rational, not just similar-looking. चरण 1: \(\frac{-6\sqrt{5}}{-2\sqrt{5}}=3\) है। चरण 2: (3) धनात्मक परिमेय है, इसलिए \(-6\sqrt{5}\) उसी वर्ग में है। चरण 3: यहाँ अनुपात का धनात्मक परिमेय होना जरूरी है, केवल समान मूल चिह्न पर्याप्त नहीं।
A. क्योंकि यह \(a^3\) के समान शेष पर आधारित है/Because it is based on the same remainder of \(a^3\)
Step 1
Concept
For every (a), \(a^3\equiv a^3 \pmod{7}\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
Equality of remainders is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Equality of remainders is transitive, so the relation is an equivalence relation. चरण 1: हर (a) के लिए \(a^3\equiv a^3 \pmod{7}\), इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: समान शेष की बराबरी उल्टे क्रम में भी सही रहती है। चरण 3: समान शेष की बराबरी संक्रमण भी होती है, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है।
\(2^2=4\), so the class contains elements whose square has remainder (4) modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
(2,3,7,8) have square remainder (4) modulo (5).
Step 3
Exam Tip
Compare square remainders, not the numbers themselves. चरण 1: \(2^2=4\), इसलिए वर्ग में वे तत्व आएँगे जिनके वर्ग का शेष (4) हो। चरण 2: (2,3,7,8) के वर्ग (5) से भाग देने पर शेष (4) देते हैं। चरण 3: वर्गीय शेष की तुलना करते समय संख्या नहीं, उसके वर्ग का शेष देखें।
The square remainders that appear are only (0,1,4).
Step 2
Why this answer is correct
The classes are ({5},{1,4,6},{2,3,7,8}).
Step 3
Exam Tip
The number of distinct square remainders gives the number of classes. चरण 1: दिए गए तत्वों के वर्गीय शेष (0,1,4) ही मिलते हैं। चरण 2: वर्ग ({5},{1,4,6},{2,3,7,8}) बनते हैं। चरण 3: अलग-अलग वर्गीय शेषों की संख्या ही तुल्यता वर्गों की संख्या है।
Subsets with the same size belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
The number of (3)-element subsets of a (5)-element set is \(\binom{5}{3}=10\).
Step 3
Exam Tip
Use combinations in subset-cardinality questions. चरण 1: समान आकार वाले उपसमुच्चय एक ही वर्ग में आते हैं। चरण 2: (5) तत्वों वाले समुच्चय के (3) तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। चरण 3: उपसमुच्चय संबंधों में संयोजन का प्रयोग करें।
Choose exactly one element from ({1,2}) in (2) ways and any subset of ({3,4}) in (4) ways.
Step 3
Exam Tip
The class size is \(2\cdot4=8\). चरण 1: \({1,3}\cap{1,2}={1}\), इसलिए संख्या (1) है। चरण 2: ({1,2}) से ठीक एक तत्व चुनने के (2) तरीके हैं और ({3,4}) से कोई भी उपसमुच्चय चुनने के (4) तरीके हैं। चरण 3: कुल \(2\cdot4=8\) उपसमुच्चय होंगे।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) में सभी विकर्ण युग्म हैं और ((1,2),(2,1),(2,4),(4,2)) हैं। इसे तुल्यता संबंध बनाने के लिए न्यूनतम कौन से युग्म जोड़ने होंगे?
From ((1,2)) and ((2,4)), transitivity requires ((1,4)).
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry then requires ((4,1)).
Step 3
Exam Tip
Then (1,2,4) become one complete equivalence class. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) होने से संक्रमणता के लिए ((1,4)) चाहिए। चरण 2: सममितता बनाए रखने के लिए ((4,1)) भी चाहिए। चरण 3: तब (1,2,4) एक पूरा तुल्यता वर्ग बन जाएगा।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
All diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) has ((2,1)), and ((3,4)) has ((4,3)).
Step 3
Exam Tip
The classes ({1,2}) and ({3,4}) are complete, so transitivity holds. चरण 1: सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) और ((3,4)) का उल्टा ((4,3)) है। चरण 3: वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) पूरे हैं, इसलिए संक्रमणता भी पूरी है।
Inside one equivalence class, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
A class with (4) elements contributes \(4^2\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence this class contributes (16) pairs. चरण 1: एक तुल्यता वर्ग के अंदर हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। चरण 2: (4) तत्वों वाले वर्ग से \(4^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। चरण 3: इसलिए इस वर्ग से (16) युग्म मिलेंगे।
\(a\in[b]\) means (a) is related to (b), so ([a]=[b]).
Step 2
Why this answer is correct
\(b\in[c]\) gives ([b]=[c]).
Step 3
Exam Tip
Therefore all three equivalence classes are equal. चरण 1: \(a\in[b]\) से (a) और (b) संबंधित हैं, इसलिए ([a]=[b])। चरण 2: \(b\in[c]\) से ([b]=[c])। चरण 3: इसलिए तीनों तुल्यता वर्ग समान होंगे।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) के गुणज होने की स्थिति और (4) के गुणज होने की स्थिति में समान हों। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
(6) is a multiple of (2), but not a multiple of (4).
Step 2
Why this answer is correct
In the given set, (2) has the same status.
Step 3
Exam Tip
Matching both statuses gives the class ({2,6}). चरण 1: (6) (2) का गुणज है, लेकिन (4) का गुणज नहीं है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (2) भी यही स्थिति रखता है। चरण 3: दोहरी स्थिति मिलाने पर (6) का वर्ग ({2,6}) होगा।
In \(R\cap S\), numbers must have the same remainder modulo (3) and modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) and (5) are coprime, this is the same as congruence modulo (15).
Step 3
Exam Tip
Hence the class of (7) is the integers congruent to (7) modulo (15). चरण 1: \(R\cap S\) में (3) और (5) दोनों मापांकों पर समान शेष चाहिए। चरण 2: क्योंकि (3) और (5) परस्पर अभाज्य हैं, यह (15) से समान शेष जैसा है। चरण 3: इसलिए (7) का वर्ग (15) मापांक में (7) शेष वाले पूर्णांकों का है।
The sum of squares of class sizes gives the number of ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(3^2+3^2+1^2=9+9+1=19\).
Step 3
Exam Tip
Therefore (3,3,1) is a possible class-size pattern. चरण 1: वर्ग-आकारों के वर्गों का योग युग्मों की संख्या देता है। चरण 2: \(3^2+3^2+1^2=9+9+1=19\) है। चरण 3: इसलिए (3,3,1) संभव वर्ग-आकार हैं।
The class sizes must add to (5), and their squares must add to (13).
Step 2
Why this answer is correct
(3+2=5) and \(3^2+2^2=9+4=13\).
Step 3
Exam Tip
Thus the class sizes can be (3,2). चरण 1: वर्ग-आकारों का योग (5) होना चाहिए और उनके वर्गों का योग (13) होना चाहिए। चरण 2: (3+2=5) और \(3^2+2^2=9+4=13\)। चरण 3: इसलिए वर्ग-आकार (3,2) हो सकते हैं।
The numbers (1,2,3,4,5,6) have distinct remainders modulo (7).
Step 2
Why this answer is correct
So no two different elements are related.
Step 3
Exam Tip
Only the pairs ((a,a)) remain, making it the identity relation. चरण 1: (1,2,3,4,5,6) सभी का (7) से भाग देने पर अलग-अलग शेष है। चरण 2: इसलिए कोई दो अलग तत्व संबंधित नहीं होंगे। चरण 3: केवल ((a,a)) युग्म बचेंगे, इसलिए यह पहचान संबंध है।
A. इसके वर्ग ({1,5},{2,4},{3}) बनते हैं/Its classes are ({1,5},{2,4},{3})
Step 1
Concept
The condition (a=b) gives all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Divisibility of (a+b) by (6) links (1) with (5), and (2) with (4).
Step 3
Exam Tip
These form complete separate classes, so the relation is an equivalence relation. चरण 1: (a=b) से सभी विकर्ण युग्म मिलते हैं। चरण 2: (a+b) (6) से विभाज्य होने पर (1) और (5), (2) और (4) जुड़ते हैं। चरण 3: ये पूरे अलग-अलग वर्ग बनाते हैं, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है।
A. (B) में एक से अधिक अलग तुल्यता वर्गों के तत्व हैं/(B) contains elements from more than one distinct equivalence class
Step 1
Concept
An equivalence class is a complete block, not any larger chosen subset.
Step 2
Why this answer is correct
If (B) contains ([a]) plus elements from another class, it is not a single class.
Step 3
Exam Tip
You cannot cut or arbitrarily combine classes to make a new class. चरण 1: तुल्यता वर्ग पूरा समूह होता है, उसका मनचाहा बड़ा उपसमुच्चय जरूरी नहीं कि वर्ग हो। चरण 2: यदि (B) में ([a]) के साथ दूसरे वर्ग के कुछ तत्व भी हैं, तो (B) एक वर्ग नहीं रहेगा। चरण 3: तुल्यता वर्गों को काटकर या जोड़कर नया वर्ग नहीं बनाया जा सकता।
All elements of the same equivalence class are related to one another.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (6) both lie in ({1,2,6}).
Step 3
Exam Tip
Therefore ((2,6)) must belong to the relation. चरण 1: एक ही तुल्यता वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। चरण 2: (2) और (6) दोनों ({1,2,6}) में हैं। चरण 3: इसलिए ((2,6)) संबंध में अवश्य होगा।
In the intersection, the difference must be divisible by both (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the difference is divisible by (\operatorname{lcm}(2,3)=6).
Step 3
Exam Tip
Congruence modulo (6) has (6) equivalence classes on integers. चरण 1: प्रतिच्छेद में अंतर (2) और (3) दोनों से विभाज्य होना चाहिए। चरण 2: इसलिए अंतर (\operatorname{lcm}(2,3)=6) से विभाज्य होगा। चरण 3: मापांक (6) के अनुसार पूर्णांकों के (6) तुल्यता वर्ग बनते हैं।
\(|1-2|\leq 1\) and \(|2-3|\leq 1\), so (1R2) and (2R3).
Step 2
Why this answer is correct
But (|1-3|=2), so (1R3) is false.
Step 3
Exam Tip
Therefore transitivity fails, so it is not an equivalence relation. चरण 1: \(|1-2|\leq 1\) और \(|2-3|\leq 1\), इसलिए (1R2) और (2R3) हैं। चरण 2: लेकिन (|1-3|=2), इसलिए (1R3) नहीं है। चरण 3: इसलिए संबंध संक्रमण नहीं है और तुल्यता संबंध नहीं बनता।
A. तुल्यता संबंध नहीं, क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है/Not an equivalence relation because reflexivity fails
Step 1
Concept
(R) contains every ((a,a)) because each number has the same remainder as itself.
Step 2
Why this answer is correct
The complement contains no ((a,a)) pair.
Step 3
Exam Tip
Without reflexivity, the complement is not an equivalence relation. चरण 1: (R) में सभी ((a,a)) युग्म हैं क्योंकि हर संख्या का शेष स्वयं के समान है। चरण 2: पूरक संबंध में कोई भी ((a,a)) युग्म नहीं होगा। चरण 3: स्वतुल्यता न होने से पूरक तुल्यता संबंध नहीं है।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य होने की स्थिति और (2) से विभाज्य होने की स्थिति में समान हों। इस संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
The classes are ({1,5,7}), ({2,4}), ({3}), and ({6}).
Step 2
Why this answer is correct
The number of ordered pairs is \(3^2+2^2+1^2+1^2\).
Step 3
Exam Tip
The total is (9+4+1+1=15). चरण 1: वर्ग ({1,5,7}), ({2,4}), ({3}), ({6}) बनते हैं। चरण 2: युग्मों की संख्या \(3^2+2^2+1^2+1^2\) होगी। चरण 3: कुल (9+4+1+1=15) युग्म होंगे।
