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((f+g)(x)=f(x)+g(x)), इसलिए \(2x+3+x^2-1=x^2+2x+2\)। परीक्षा में like terms को साथ जोड़ें। / ((f+g)(x)=f(x)+g(x)), so \(2x+3+x^2-1=x^2+2x+2\). In exams, combine like terms carefully.
((f-g)(x)=f(x)-g(x)), अतः (x-2+4x-(3x-5)=x-2+x+5)। घटाते समय bracket का sign बदलता है। / ((f-g)(x)=f(x)-g(x)), hence (x-2+4x-(3x-5)=x-2+x+5). While subtracting, change the signs inside the bracket.
((fg)(x)=f(x)g(x)), इसलिए ((x+2)(x-3)=x-2-x-6)। गुणा में दोनों terms को distribute करें। / ((fg)(x)=f(x)g(x)), so ((x+2)(x-3)=x-2-x-6). In multiplication, distribute both terms properly.
(\frac{x-2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3), पर (x=3) allowed नहीं है। cancel करने के बाद भी मूल denominator याद रखें। / (\frac{x-2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3), but (x=3) is not allowed. Even after cancellation, remember the original denominator.
दोनों square roots defined होने चाहिए, इसलिए \(x-1\geq 0\) और \(5-x\geq 0\), जिससे \(x\in[1,5]\)। sum के लिए domains का intersection लें। / Both square roots must be defined, so \(x-1\geq 0\) and \(5-x\geq 0\), giving \(x\in[1,5]\). For a sum, take the intersection of domains.
(f(x)) में denominator (x-2) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x\neq 2\)। polynomial (g(x)) सभी real (x) पर defined है। / In (f(x)), the denominator (x-2) cannot be zero, so \(x\neq 2\). The polynomial (g(x)) is defined for all real (x).
((f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=1+(-1)=0)। पहले functions में value रखें, फिर जोड़ें। / ((f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=1+(-1)=0). First substitute the value in each function, then add.
(g(2)=5) और (f(2)=4), इसलिए ((g-f)(2)=5-4=1)। order को ध्यान से पढ़ें क्योंकि (g-f) और (f-g) अलग होते हैं। / (g(2)=5) and (f(2)=4), so ((g-f)(2)=5-4=1). Read the order carefully because (g-f) and (f-g) are different.
((f+g+h)(x)=(x+1)+(x-1)+x-2=x-2+2x)। constants (1) और (-1) cancel हो जाते हैं। / ((f+g+h)(x)=(x+1)+(x-1)+x-2=x-2+2x). The constants (1) and (-1) cancel out.
((3f)(x)=3f(x)=3\(2x^2-1\)=6x-2-3)। scalar को पूरी function से multiply करें। / ((3f)(x)=3f(x)=3\(2x^2-1\)=6x-2-3). Multiply the scalar by the whole function.
quotient में denominator (g(x)=x) शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(x\neq 0\)। simplify करने से पहले restriction लगाएं। / In a quotient, the denominator (g(x)=x) must not be zero, so \(x\neq 0\). Apply the restriction before simplifying.
product का domain दोनों domains का intersection होता है, और (f(x)) में \(x\neq 4\)। (g(x)) polynomial है, इसलिए कोई नई restriction नहीं है। / The domain of a product is the intersection of both domains, and in (f(x)), \(x\neq 4\). Since (g(x)) is a polynomial, it adds no new restriction.
(g(-2)=0), इसलिए quotient (\left\(\frac{f}{g}\right\)(-2)) defined नहीं है। numerator भी (0) हो तो भी denominator (0) allowed नहीं होता। / (g(-2)=0), so the quotient (\left\(\frac{f}{g}\right\)(-2)) is not defined. Even if the numerator is (0), a zero denominator is not allowed.
(f(-3)=3) और (g(-3)=-3), इसलिए ((f-g)(-3)=3-(-3)=6)। modulus में negative input का output positive होता है। / (f(-3)=3) and (g(-3)=-3), so ((f-g)(-3)=3-(-3)=6). A modulus gives a non-negative output.
((f+g)(x)=2x+5+5-2x=10), इसलिए यह constant function है। opposite terms cancel हों तो ध्यान से लिखें। / ((f+g)(x)=2x+5+5-2x=10), so it is a constant function. When opposite terms cancel, write the remaining constant carefully.
((f+g)(x)=x-2-x-2=0), इसलिए यह zero function है। समान opposite functions का sum zero देता है। / ((f+g)(x)=x-2-x-2=0), so it is the zero function. The sum of equal opposite functions gives zero.
((2f-3g)(x)=2(x+5)-3(2x-1)=-4x+13)। coefficients को पूरी function पर लागू करें। / ((2f-3g)(x)=2(x+5)-3(2x-1)=-4x+13). Apply coefficients to the whole function.
((f-g)(x)=x-2+1-\(x^2-1\)=2)। bracket हटाते समय (-1) का sign बदलकर (+1) होता है। / ((f-g)(x)=x-2+1-\(x^2-1\)=2). While removing the bracket, the sign of (-1) changes to (+1).
((fg)(x)=(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}=1), पर (x=-1) allowed नहीं है। reciprocal वाली function में denominator check करें। / ((fg)(x)=(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}=1), but (x=-1) is not allowed. Always check the denominator in a reciprocal function.
\(\sqrt{x+2}\) के लिए \(x\geq -2\) और \(\frac{1}{x-1}\) के लिए \(x\neq 1\)। intersection से domain \([-2,\infty\)-{1}) मिलता है। / For \(\sqrt{x+2}\), \(x\geq -2\), and for \(\frac{1}{x-1}\), \(x\neq 1\). Their intersection gives \([-2,\infty\)-{1}).
(\frac{x-2-2x}{x-2}=\frac{x(x-2)}{x-2}=x), पर \(x\neq 2\)। cancelled factor से मूल restriction खत्म नहीं होती। / (\frac{x-2-2x}{x-2}=\frac{x(x-2)}{x-2}=x), but \(x\neq 2\). A cancelled factor does not remove the original restriction.
(f(1)=4) और (g(1)=2), इसलिए ((fg)(1)=4\cdot2=8)। product में values multiply होती हैं। / (f(1)=4) and (g(1)=2), so ((fg)(1)=4\cdot2=8). In a product, the function values are multiplied.
((g+f)(x)=g(x)+f(x)=x-2+2x+x-4=x-2+3x-4)। addition में order बदलने से answer नहीं बदलता। / ((g+f)(x)=g(x)+f(x)=x-2+2x+x-4=x-2+3x-4). In addition, changing the order does not change the answer.
दोनों denominators non-zero होने चाहिए, इसलिए \(x\neq -3\) और \(x\neq 1\)। rational functions में सभी denominators check करें। / Both denominators must be non-zero, so \(x\neq -3\) and \(x\neq 1\). For rational functions, check all denominators.
(f(0)=0) और (g(0)=1), इसलिए ((f-g)(0)=0-1=-1)। (0) पर value रखते समय constant term न भूलें। / (f(0)=0) and (g(0)=1), so ((f-g)(0)=0-1=-1). At (0), do not forget the constant term.
(f(3)=-1) और (g(3)=8), इसलिए ((f+g)(3)=7)। direct substitution सबसे सुरक्षित तरीका है। / (f(3)=-1) and (g(3)=8), so ((f+g)(3)=7). Direct substitution is the safest method.
(\(x^2-1\)\(x^2+1\)=x-4-1) difference of squares से मिलता है। formula पहचानने से calculation तेज होती है। / (\(x^2-1\)\(x^2+1\)=x-4-1) by difference of squares. Recognizing the formula makes calculation faster.
(g(x)=(x+2)2), इसलिए (\frac{g(x)}{f(x)}=x+2), लेकिन \(x\neq -2\)। quotient में denominator की zero value हटानी जरूरी है। / (g(x)=(x+2)2), so (\frac{g(x)}{f(x)}=x+2), but \(x\neq -2\). In a quotient, remove the zero value of the denominator.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\geq 0\) चाहिए और (g(x)) सभी real (x) पर defined है। इसलिए product का domain \([0,\infty\)) है। / \(\sqrt{x}\) needs \(x\geq 0\), and (g(x)) is defined for all real (x). Therefore, the product domain is \([0,\infty\)).
((f+g)(x)=x-2+4x+2=(x+2)2-2)। complete square में आधे coefficient का square जोड़कर घटाते हैं। / ((f+g)(x)=x-2+4x+2=(x+2)2-2). In completing the square, add and subtract the square of half the coefficient.
\(\frac{1}{x}\) में (x=0) पर denominator शून्य हो जाता है। इसलिए sum का domain \(\mathbb{R}-{0}\) है। / In \(\frac{1}{x}\), the denominator becomes zero at (x=0). Therefore, the domain of the sum is \(\mathbb{R}-{0}\).
((f-g)(x)=x-3-x=x\(x^2-1\)=x(x-1)(x+1))। पहले common factor निकालना आसान रहता है। / ((f-g)(x)=x-3-x=x\(x^2-1\)=x(x-1)(x+1)). Taking the common factor first makes it easier.
(f(0)=3) और (g(0)=-6), इसलिए ((fg)(0)=3\cdot(-6)=-18)। sign multiplication में गलती न करें। / (f(0)=3) and (g(0)=-6), so ((fg)(0)=3\cdot(-6)=-18). Do not make a sign error in multiplication.
(x-2+5x+6=(x+2)(x+3)), इसलिए quotient (x+3) है, पर \(x\neq -2\)। factorization के साथ restriction लिखना जरूरी है। / (x-2+5x+6=(x+2)(x+3)), so the quotient is (x+3), but \(x\neq -2\). Write the restriction along with the factorization.
((f+g)(x)=3x-3), इसलिए (3x-3=0) से (x=1)। पहले sum बनाएं, फिर equation solve करें। / ((f+g)(x)=3x-3), so (3x-3=0) gives (x=1). First form the sum, then solve the equation.
(f(2)=0) और (g(2)=0), इसलिए ((fg)(2)=0\cdot0=0)। product में कोई factor zero हो तो product zero होता है। / (f(2)=0) and (g(2)=0), so ((fg)(2)=0\cdot0=0). If any factor is zero, the product is zero.
दोनों denominators (x+2) और (x-5) non-zero होने चाहिए। इसलिए \(x\neq -2\) और \(x\neq 5\)। / Both denominators (x+2) and (x-5) must be non-zero. Therefore, \(x\neq -2\) and \(x\neq 5\).
((f+g)(x)=x-2+2x=(x+1)2-1), इसलिए minimum value (-1) है। complete square से quadratic का minimum आसानी से मिलता है। / ((f+g)(x)=x-2+2x=(x+1)2-1), so the minimum value is (-1). Completing the square helps find the minimum of a quadratic.
((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-3\)=4), इसलिए (x=5) पर भी value (4) है। पहले simplify करने से calculation कम होती है। / ((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-3\)=4), so at (x=5) the value is also (4). Simplifying first reduces calculation.
\(\sqrt{x-4}\) के लिए \(x\geq 4\) और \(\sqrt{x+1}\) के लिए \(x\geq -1\)। intersection \([4,\infty\)) है। / For \(\sqrt{x-4}\), \(x\geq 4\), and for \(\sqrt{x+1}\), \(x\geq -1\). The intersection is \([4,\infty\)).
((f+g)(x)=2x) और ((f-g)(x)=(x-1)-(x+1)=-2)। plus और minus operations अलग-अलग करें। / ((f+g)(x)=2x) and ((f-g)(x)=(x-1)-(x+1)=-2). Perform plus and minus operations separately.
(x-2-1=(x-1)(x+1)), इसलिए denominator zero (x=1) और (x=-1) पर होता है। domain में denominator zero values हटती हैं। / (x-2-1=(x-1)(x+1)), so the denominator is zero at (x=1) and (x=-1). Values making the denominator zero are excluded from the domain.
((5f-2g)(x)=5\(2x^2\)-2\(3x^2\)=10x-2-6x-2=4x-2)। like terms को अंत में combine करें। / ((5f-2g)(x)=5\(2x^2\)-2\(3x^2\)=10x-2-6x-2=4x-2). Combine like terms at the end.
(f(2)=0) और (g(2)=-1), इसलिए quotient (0) है। denominator non-zero हो तो numerator (0) allowed है। / (f(2)=0) and (g(2)=-1), so the quotient is (0). A zero numerator is allowed when the denominator is non-zero.
((f+g)(x)=x-2+x+2), जिसकी highest power (2) है। polynomial की degree highest exponent से मिलती है। / ((f+g)(x)=x-2+x+2), whose highest power is (2). The degree of a polynomial is given by its highest exponent.
((fg)(x)=\frac{x+2}{x-1}(x-1)=x+2), पर मूल (f(x)) के कारण \(x\neq 1\)। simplification के साथ domain restriction लिखें। / ((fg)(x)=\frac{x+2}{x-1}(x-1)=x+2), but because of the original (f(x)), \(x\neq 1\). Write the domain restriction with the simplification.
(g(-1)=0), इसलिए quotient (-1) पर defined नहीं है। cancel करने से पहले original denominator check करें। / (g(-1)=0), so the quotient is not defined at (-1). Check the original denominator before cancellation.
((f+2g+h)(x)=x-2+2x+1=(x+1)2)। coefficients को सही function से जोड़ें। / ((f+2g+h)(x)=x-2+2x+1=(x+1)2). Attach each coefficient to the correct function.
((fg)(x)=(x-2)(x+2)=x-2-4), इसलिए ((fg)(x)+4=x-2)। difference of squares का उपयोग करें। / ((fg)(x)=(x-2)(x+2)=x-2-4), so ((fg)(x)+4=x-2). Use the difference of squares identity.
((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x-2+1+2x-3=x-2+2x-2)। परीक्षा में समान पदों को ध्यान से जोड़ें। / ((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x-2+1+2x-3=x-2+2x-2). In exams, combine like terms carefully.
((g-f)(x)=g(x)-f(x)=x-2-4-(3x+5)=x-2-3x-9)। घटाते समय पूरे (f(x)) पर ऋण लगाएँ। / ((g-f)(x)=g(x)-f(x)=x-2-4-(3x+5)=x-2-3x-9). While subtracting, apply the minus sign to the whole (f(x)).
((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+2)(x-5)=x-2-3x-10)। गुणा में विस्तार के बाद समान पद मिलाएँ। / ((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+2)(x-5)=x-2-3x-10). After expanding, combine like terms.
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{x-2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3), जहाँ \(x \neq 3\)। हर शून्य न हो, यह हमेशा जाँचें। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{x-2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3), where \(x \neq 3\). Always check that the denominator is not zero.
हरों (x-2) और (x+4) को शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(x \neq 2\) और \(x \neq -4\)। परिमेय फलनों में हर पहले जाँचें। / The denominators (x-2) and (x+4) must not be zero, so \(x \neq 2\) and \(x \neq -4\). In rational functions, check denominators first.
((f-g)(x)=2x-2-(x+1)), इसलिए ((f-g)(-2)=8-(-1)=9)। पहले फलन बनाकर फिर मान रखें। / ((f-g)(x)=2x-2-(x+1)), so ((f-g)(-2)=8-(-1)=9). First form the function, then substitute the value.
((f+g)(x)=2x-2), अतः ((f+g)(3)=2\cdot 32=18)। विरोधी पद कट सकते हैं, इसलिए सरल रूप देखें। / ((f+g)(x)=2x-2), hence ((f+g)(3)=2\cdot 32=18). Opposite terms may cancel, so simplify first.
((fg)(2)=f(2)g(2)=(4-1)(5)=15)। उत्पाद में दोनों फलनों का मान अलग-अलग निकालना आसान है। / ((fg)(2)=f(2)g(2)=(4-1)(5)=15). In a product, finding both values separately is often easier.
फलनों का योग क्रमविनिमेय है, इसलिए ((f+g)(x)=(g+f)(x))। योग में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / Addition of functions is commutative, so ((f+g)(x)=(g+f)(x)). Changing order in addition does not change the value.
मूल (f(x)) में \(x-1 \neq 0\), इसलिए \(x \neq 1\), भले ही गुणा के बाद सरलीकरण हो। प्रांत मूल अभिव्यक्तियों से तय करें। / In the original (f(x)), \(x-1 \neq 0\), so \(x \neq 1\), even if simplification occurs after multiplication. Decide the domain from original expressions.
((fg)(x)=\frac{2}{x}\cdot x-2=2x), पर मूल हर के कारण \(x \neq 0\)। सरलीकरण के बाद भी मूल प्रतिबंध रखें। / ((fg)(x)=\frac{2}{x}\cdot x-2=2x), but \(x \neq 0\) because of the original denominator. Keep original restrictions after simplification.
(\frac{x-2+4x+4}{x+2}=\frac{(x+2)2}{x+2}=x+2), जहाँ \(x \neq -2\)। हर का शून्य मान अलग से लिखें। / (\frac{x-2+4x+4}{x+2}=\frac{(x+2)2}{x+2}=x+2), where \(x \neq -2\). Write the zero of the denominator separately.
((2f-g)(x)=2x-3-\(2x^3-1\)=1)। कोष्ठक खोलते समय चिह्न बदलना न भूलें। / ((2f-g)(x)=2x-3-\(2x^3-1\)=1). Do not forget sign changes while opening brackets.
\(x^2\) सभी वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है, लेकिन \(\sqrt{x}\) के लिए \(x \geq 0\) चाहिए। योग का प्रांत प्रतिच्छेद है। / \(x^2\) is defined for all real (x), but \(\sqrt{x}\) needs \(x \geq 0\). The domain of the sum is the intersection.
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x \geq 2\) और \(\frac{1}{x}\) के लिए \(x \neq 0\); प्रतिच्छेद \(x \geq 2\) है। सबसे कड़ा प्रतिबंध पहचानें। / \(\sqrt{x-2}\) requires \(x \geq 2\) and \(\frac{1}{x}\) requires \(x \neq 0\); the intersection is \(x \geq 2\). Identify the strongest restriction.
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{-1}{1}=-1)। भाग में हर का मान शून्य है या नहीं, पहले देखें। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{-1}{1}=-1). In division, first check whether the denominator value is zero.
((f+g-h)(x)=2x+3+x-4-x-2=-x-2+3x-1)। कई फलनों में पदों को क्रम से मिलाएँ। / ((f+g-h)(x)=2x+3+x-4-x-2=-x-2+3x-1). With many functions, combine terms in order.
(\frac{x-2+x}{x}=\frac{x(x+1)}{x}=x+1), जहाँ \(x \neq 0\)। साझा गुणनखंड काटते समय प्रतिबंध न भूलें। / (\frac{x-2+x}{x}=\frac{x(x+1)}{x}=x+1), where \(x \neq 0\). Do not forget the restriction while cancelling a common factor.
((f+g)(x)=\frac{x+2}{x+2}=1), लेकिन \(x+2 \neq 0\)। सरल उत्तर के साथ प्रांत का प्रतिबंध लिखना जरूरी है। / ((f+g)(x)=\frac{x+2}{x+2}=1), but \(x+2 \neq 0\). It is important to write the domain restriction with the simplified answer.
((fg)(x)=3\(x^2-7x\)=3x-2-21x)। स्थिर फलन से गुणा करते समय हर पद पर गुणा करें। / ((fg)(x)=3\(x^2-7x\)=3x-2-21x). When multiplying by a constant function, multiply every term.
((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)=(x-2)2=x-2-4x+4)। ((ff)(x)) को (f(f(x))) न समझें। / ((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)=(x-2)2=x-2-4x+4). Do not confuse ((ff)(x)) with (f(f(x))).
((f+g)(a)=f(a)+g(a)=a-2+2a)। चर बदलने पर हर (x) की जगह वही मान रखें। / ((f+g)(a)=f(a)+g(a)=a-2+2a). When the variable changes, replace every (x) by that value.
(f(0)=0) और (g(0)=0), इसलिए ((fg)(0)=0)। उत्पाद में कोई एक मान शून्य हो तो उत्पाद शून्य होता है। / (f(0)=0) and (g(0)=0), so ((fg)(0)=0). If one value in a product is zero, the product is zero.
(f(x)) के लिए \(x \neq 1\) चाहिए और (f(x)=\frac{1}{x-1}) कभी शून्य नहीं होता। इसलिए केवल \(x \neq 1\) प्रतिबंध है। / (f(x)) needs \(x \neq 1\), and (f(x)=\frac{1}{x-1}) is never zero. So the only restriction is \(x \neq 1\).
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4), इसलिए (x=-1) पर मान (-5) होना चाहिए; पर सही जाँच में \(\frac{-15}{3}=-5\)। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4), so at (x=-1) the value is (-5). Check directly as \(\frac{-15}{3}=-5\).
(\frac{x-2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4), अतः (-1-4=-5)। सरलीकरण के बाद सही मान रखें। / (\frac{x-2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4), hence (-1-4=-5). Substitute carefully after simplification.
वर्गमूल के लिए \(9-x^2 \geq 0\), इसलिए \(-3 \leq x \leq 3\)। रैखिक फलन कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं देता। / For the square root, \(9-x^2 \geq 0\), so \(-3 \leq x \leq 3\). The linear function gives no extra restriction.
(\frac{x-2+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2), इसलिए (x=2) पर मान (4) है। गुणनखंड बनाकर समय बचाएँ। / (\frac{x-2+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2), so at (x=2) the value is (4). Factorisation saves time.
(f(1)=1) और (g(1)=3), इसलिए ((f+g)(1)-(fg)(1)=4-3=1)। ऐसे प्रश्नों में पहले अलग-अलग मान निकालें। / (f(1)=1) and (g(1)=3), so ((f+g)(1)-(fg)(1)=4-3=1). In such questions, find individual values first.
((f-g)(x)=x-2-2x+2=(x-1)2+1), जो कभी (0) नहीं होता। वर्ग पूर्ण करने से वास्तविक हल जल्दी दिखता है। / ((f-g)(x)=x-2-2x+2=(x-1)2+1), which is never (0). Completing the square quickly shows real solutions.
((g-f)(x)=2), इसलिए इसका परिसर केवल ({2}) है। स्थिर फलन का परिसर एक-सदस्यीय होता है। / ((g-f)(x)=2), so its range is only ({2}). The range of a constant function is a singleton set.
((fg)(x)=(x+1)x-2=x-3+x-2), इसलिए घात (3) है। बहुपद गुणा में उच्चतम घात देखें। / ((fg)(x)=(x+1)x-2=x-3+x-2), so the degree is (3). In polynomial products, check the highest power.
((f+g)(x)=x-2-2x=x(x-2)), इसलिए शून्यक (0) और (2) हैं। शून्यक के लिए फलन को (0) के बराबर रखें। / ((f+g)(x)=x-2-2x=x(x-2)), so the zeroes are (0) and (2). For zeroes, equate the function to (0).
समान हर होने पर अंश घटाएँ: (\frac{x-2-(x+3)}{x+1}=\frac{-5}{x+1})। हर (x+1) के कारण \(x \neq -1\)। / With the same denominator, subtract numerators: (\frac{x-2-(x+3)}{x+1}=\frac{-5}{x+1}). Because of denominator (x+1), \(x \neq -1\).
(\frac{x-2+6x+9}{x+3}=\frac{(x+3)2}{x+3}=x+3), अतः (x=0) पर मान (3) है। पूर्ण वर्ग पहचान उपयोगी है। / (\frac{x-2+6x+9}{x+3}=\frac{(x+3)2}{x+3}=x+3), hence the value at (x=0) is (3). The perfect square identity is useful.
हर में \(\sqrt{x-1}\) है, इसलिए (x-1>0) होना चाहिए। अतः प्रांत (x>1) है। / The denominator has \(\sqrt{x-1}\), so (x-1>0) is required. Hence the domain is (x>1).
((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-1\)=2), इसलिए किसी भी (x) पर मान (2) है। पहले सरल करने से गणना कम होती है। / ((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-1\)=2), so at any (x) the value is (2). Simplifying first reduces calculation.
((fg)(x)=\frac{x+2}{x-3}(x-3)=x+2), जहाँ \(x \neq 3\)। (x=4) पर मान (6) है। / ((fg)(x)=\frac{x+2}{x-3}(x-3)=x+2), where \(x \neq 3\). At (x=4), the value is (6).
((fg)(x)=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x), लेकिन दोनों वर्गमूलों के लिए \(x \geq 0\)। सरल रूप से प्रांत नहीं बदलता। / ((fg)(x)=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x), but both square roots require \(x \geq 0\). The simplified form does not change the original domain.
(\frac{x-2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2), अतः (x=3) पर मान (1) है। गुणनखंडन से भाग सरल होता है। / (\frac{x-2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2), so at (x=3) the value is (1). Factorisation makes division simple.
यहाँ (f(2)=1) और (g(2)=5), इसलिए (h(2)=2\cdot1-5=-3)। परीक्षा में पहले अलग-अलग फलनों का मान निकालें, फिर बीजगणितीय क्रिया करें। / Here (f(2)=1) and (g(2)=5), so (h(2)=2\cdot1-5=-3). In exams, first find individual function values, then apply the algebraic operation.
((f-g)(x)=f(x)-g(x)), इसलिए (4x-7-(x+2)=3x-9)। ऋण चिह्न को पूरे (g(x)) पर लगाएं। / ((f-g)(x)=f(x)-g(x)), so (4x-7-(x+2)=3x-9). Apply the minus sign to the whole (g(x)).
(f(x)) के लिए \(x\geq1\) और (g(x)) के लिए \(x\neq3\), इसलिए (fg) का प्रांत \([1,\infty\)-{3}) है। उत्पाद के प्रांत में दोनों फलनों के प्रांतों का प्रतिच्छेद लें। / For (f(x)), \(x\geq1\), and for (g(x)), \(x\neq3\), so the domain of (fg) is \([1,\infty\)-{3}). For product domains, take the intersection of the domains of both functions.
(\frac{x-2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3), लेकिन (x=3) हटेगा। भाग में हर शून्य न हो। / (\frac{x-2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3), but (x=3) is excluded. In division, the denominator must not be zero.
दोनों मूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(5-x\ge 0\), इसलिए \(2\le x\le 5\)। जोड़ में डोमेन प्रतिच्छेद होता है। / For both roots, \(x-2\ge 0\) and \(5-x\ge 0\), so \(2\le x\le 5\). For a sum, take the intersection of domains.
हर में \(x-1\ne 0\) और \(x+2\ne 0\), इसलिए \(x\ne 1,-2\)। जोड़ के लिए दोनों फलनों का साझा डोमेन लें। / The denominators require \(x-1\ne 0\) and \(x+2\ne 0\), so \(x\ne 1,-2\). For addition, use the common domain of both functions.
(f(3)=10) और (g(3)=1), इसलिए ((fg)(3)=10)। पहले अलग-अलग मान निकालना सुरक्षित रहता है। / (f(3)=10) and (g(3)=1), so ((fg)(3)=10). It is safer to find each value first.
(f(-2)=-5) और (g(-2)=4), इसलिए योग (-1) है। ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है। / (f(-2)=-5) and (g(-2)=4), so the sum is (-1). The square of a negative number is positive.
((f-g)(x)=x-2-3x=x(x-3)), इसलिए (x=0) या (x=3)। शून्य गुणनफल नियम याद रखें। / ((f-g)(x)=x-2-3x=x(x-3)), so (x=0) or (x=3). Remember the zero product rule.
((f+g)(x)=3x+3) और ((fg)(x)=(x+4)(2x-1)=2x-2+7x-4)। पहले दोनों पक्ष अलग लिखें। / ((f+g)(x)=3x+3) and ((fg)(x)=(x+4)(2x-1)=2x-2+7x-4). Write both sides separately first.
(g(x)) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित है, पर (f(x)) में \(x-2\ne 0\) चाहिए। गुणन में भी साझा डोमेन लेते हैं। / (g(x)) is defined for all real (x), but (f(x)) needs \(x-2\ne 0\). For product also, take the common domain.
भाग में (g(x)\ne 0) चाहिए, इसलिए \(x+1\ne 0\) और \(x\ne -1\)। अंश शून्य हो सकता है। / In division, (g(x)\ne 0), so \(x+1\ne 0\) and \(x\ne -1\). The numerator may be zero.
स्थिर फलन (3) पूरे (g(x)) से गुणा होगा। इसलिए ((fg)(x)=3\(x^2-2x\)=3x-2-6x)। / The constant function (3) multiplies the whole (g(x)). Thus ((fg)(x)=3\(x^2-2x\)=3x-2-6x).
(f(-4)=|-4|=4) और (g(-4)=-4), इसलिए योग (0) है। मापांक हमेशा अऋणात्मक होता है। / (f(-4)=|-4|=4) and (g(-4)=-4), so the sum is (0). Modulus is always non-negative.
((fg)(x)=\frac{1}{x}\cdot x-2=x), पर मूल डोमेन में \(x\ne 0\) रहेगा। सरल करने से हटे प्रतिबंध वापस नहीं आते। / ((fg)(x)=\frac{1}{x}\cdot x-2=x), but the original domain keeps \(x\ne 0\). Restrictions do not disappear after simplification.
समान \(x^2\) पद कट जाते हैं और (2x-(-2x)=4x)। ऋण चिह्न के कारण दूसरा पद बदलता है। / The \(x^2\) terms cancel and (2x-(-2x)=4x). The minus sign changes the second term.
(f(2)=5) और (g(2)=3), इसलिए ((f+g)(2)=8)। मान निकालते समय (x) की जगह (2) रखें। / (f(2)=5) and (g(2)=3), so ((f+g)(2)=8). Substitute (2) for (x) carefully.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 4\) चाहिए। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / \(\sqrt{x}\) needs \(x\ge 0\), and the denominator needs \(x\ne 4\). Take the intersection of both conditions.
(x-2+4x+4=(x+2)2), इसलिए भागफल (x+2) है और (x=-2) हटेगा। वर्ग पहचान उपयोगी है। / (x-2+4x+4=(x+2)2), so the quotient is (x+2) and (x=-2) is excluded. The square identity is useful.
(f(0)=-3) और (g(0)=5), इसलिए गुणनफल (-15) है। (x=0) रखने पर स्थिर पद बचते हैं। / (f(0)=-3) and (g(0)=5), so the product is (-15). When (x=0), constant terms remain.
सरल रूप \(\frac{x}{x+1}\) है, पर मूल हरों से \(x\ne 1,-1\) रहेगा। कटे हुए गुणनखंड का प्रतिबंध भी याद रखें। / The simplified form is \(\frac{x}{x+1}\), but original denominators keep \(x\ne 1,-1\). Remember restrictions from cancelled factors too.
(2x+(x+3)-(x-1)=2x+4)। तीन फलनों में भी समान पद जोड़ना ही मुख्य काम है। / (2x+(x+3)-(x-1)=2x+4). Even with three functions, combining like terms is the key step.
समीकरण \(x^2+2=2x^2\) से \(x^2=2\), इसलिए \(x=\pm\sqrt{2}\)। दोनों पक्षों को बराबर रखकर हल करें। / The equation \(x^2+2=2x^2\) gives \(x^2=2\), so \(x=\pm\sqrt{2}\). Equate both expressions and solve.
\(\frac{x^2-1}{x+1}=x-1\), अतः (x=2) पर मान (1) नहीं बल्कि \(\frac{3}{3}\) से (1) होता है। सही गणना में (f(2)=3) और (g(2)=3), इसलिए मान (1) है। / \(\frac{x^2-1}{x+1}=x-1\), so at (x=2) the value is (1). Directly, (f(2)=3) and (g(2)=3), so the value is (1).
दोनों वर्गमूल परिभाषित होने चाहिए, इसलिए \(x\ge -1\) और \(x\ge 3\)। साझा डोमेन \([3,\infty\)) है। / Both square roots must be defined, so \(x\ge -1\) and \(x\ge 3\). The common domain is \([3,\infty\)).
(x-2+3x+2=(x+1)(x+2)), इसलिए भागफल (x+2) है। हर का शून्य मान पहले हटाएं। / (x-2+3x+2=(x+1)(x+2)), so the quotient is (x+2). Exclude the zero of the denominator first.
((f+g)(x)=2x) और ((f-g)(x)=4), इसलिए गुणनफल (8x) है। संयुक्त अभिव्यक्ति को चरणों में हल करें। / ((f+g)(x)=2x) and ((f-g)(x)=4), so the product is (8x). Solve combined expressions step by step.
(x-2-4=(x-2)(x+2)), इसलिए \(x\ne 2,-2\)। गुणा के बाद कटाव दिखे तो भी मूल डोमेन न भूलें। / (x-2-4=(x-2)(x+2)), so \(x\ne 2,-2\). Even if cancellation appears after multiplication, do not forget the original domain.
((f+g)(x)=x-2+1+2x=x-2+2x+1)। पदों का क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / ((f+g)(x)=x-2+1+2x=x-2+2x+1). Changing the order of terms does not change the value.
(\frac{(x-2)2}{x-2}=x-2), इसलिए (x=5) पर मान (3) है। पहले सरल करें, फिर मान रखें। / (\frac{(x-2)2}{x-2}=x-2), so at (x=5) the value is (3). Simplify first, then substitute.
(f(1)=1) और (g(1)=5), इसलिए ((fg)(1)=5)। गुणनफल फलन में मानों को गुणा करें। / (f(1)=1) and (g(1)=5), so ((fg)(1)=5). In a product function, multiply the values.
गुणन से (x+2) मिलता है, लेकिन (f(x)) के कारण \(x\ne 3\) रहेगा। मूल फलन की शर्तें हमेशा जांचें। / Multiplication gives (x+2), but \(x\ne 3\) remains because of (f(x)). Always check the original function conditions.
((f-g)(x)=x-3-x=x\(x^2-1\)=x(x-1)(x+1))। अंतर वर्ग पहचान का उपयोग करें। / ((f-g)(x)=x-3-x=x\(x^2-1\)=x(x-1)(x+1)). Use the difference of squares identity.
(2x) और (-2x) कट जाते हैं, इसलिए योग (10) है। विपरीत पदों को पहचानना समय बचाता है। / (2x) and (-2x) cancel, so the sum is (10). Identifying opposite terms saves time.
(\frac{(x+3)2}{x+3}=x+3), इसलिए (x=0) पर मान (3) है। प्रतिबंध \(x\ne -3\) साथ रखें। / (\frac{(x+3)2}{x+3}=x+3), so at (x=0) the value is (3). Keep the restriction \(x\ne -3\).
हर में \(\sqrt{x-1}\) है, इसलिए (x-1>0) चाहिए। अतः डोमेन (\(1,\infty\)) है। / The denominator has \(\sqrt{x-1}\), so (x-1>0) is needed. Hence the domain is (\(1,\infty\)).
((f+g)(x)=x-2+x+1), इसलिए (x=a) रखने पर \(a^2+a+1\)। चर बदलने पर नियम वही रहता है। / ((f+g)(x)=x-2+x+1), so putting (x=a) gives \(a^2+a+1\). The rule stays the same when the variable changes.
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), इसलिए भागफल (x-3) है। गुणनखंड बनाना भागफल में मदद करता है। / (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the quotient is (x-3). Factorisation helps in quotient problems.
गुणनफल (1) है, पर (g(x)) के हर के कारण \(x\ne -1\)। सरल रूप के साथ डोमेन लिखना जरूरी है। / The product is (1), but \(x\ne -1\) because of the denominator of (g(x)). It is important to write the domain with the simplified form.
((g-f)(x)=2x-2-1-\(x^2+2\)=x-2-3)। क्रम बदलने से घटाव का उत्तर बदल सकता है। / ((g-f)(x)=2x-2-1-\(x^2+2\)=x-2-3). Changing the order can change the subtraction result.
गुणनफल (1) बनता है, पर मूल हरों से \(x\ne -3,2\) है। डोमेन हमेशा मूल फलनों से तय करें। / The product becomes (1), but original denominators give \(x\ne -3,2\). Always decide the domain from the original functions.
वर्गमूल के लिए \(4-x\ge 0\), यानी \(x\le 4\), और हर के लिए \(x\ne 0\)। दोनों शर्तें साथ लें। / The square root needs \(4-x\ge 0\), i.e. \(x\le 4\), and the denominator needs \(x\ne 0\). Take both conditions together.
(f(-1)=-1) और (g(-1)=-7), इसलिए गुणनफल (7) है। दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणन धनात्मक होता है। / (f(-1)=-1) and (g(-1)=-7), so the product is (7). The product of two negative numbers is positive.
(f(x)=(x-1)2) और (g(x)=-(x-1)), इसलिए भागफल (-(x-1)=1-x) है। चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / (f(x)=(x-1)2) and (g(x)=-(x-1)), so the quotient is (-(x-1)=1-x). Pay special attention to the sign.
