A. सममित है लेकिन केवल इसी आधार पर तुल्यता सिद्ध नहीं होती/Symmetric but equivalence is not proved by this alone
Step 1
Concept
For any \((a,b) \in R\), (a+b) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Since (b+a) has the same value, \((b,a) \in R\) also belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
In exam questions based on sum conditions, first check whether changing the order changes the condition. चरण 1: किसी भी \((a,b) \in R\) के लिए (a+b) सम होता है। चरण 2: तब (b+a) भी सम होगा, इसलिए \((b,a) \in R\) होगा। चरण 3: परीक्षा में योग पर बने संबंधों में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममिति जल्दी जांचें।
यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4)\}\) है, तो (R) को सममित बनाने के लिए कम से कम कौन-सा क्रमित युग्म जोड़ना होगा?
In a symmetric relation, if \((a,b) \in R\), then \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) and ((3,1)) are paired, but ((2,4)) is missing its reverse ((4,2)).
Step 3
Exam Tip
In exams, always check the reverse of each unequal ordered pair. चरण 1: सममित संबंध में यदि \((a,b) \in R\) हो, तो \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। चरण 2: ((1,3)) और ((3,1)) दोनों हैं, लेकिन ((2,4)) है और ((4,2)) नहीं है। चरण 3: ऐसे प्रश्न में हर गैर-समान युग्म का उल्टा युग्म जरूर जाँचें।
In a symmetric relation, whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing.
Step 3
Exam Tip
For such questions, look only for missing reverse pairs instead of recounting all pairs. चरण 1: सममित संबंध में \((a,b) \in R\) होने पर \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। चरण 2: यहां ((2,3)) है, पर ((3,2)) नहीं है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में केवल गायब उल्टे युग्म खोजें, सभी युग्म दोबारा न गिनें।
For a set with (n) elements, the number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (n=3), so the number is \(2^{\frac{3(4)}{2}}=2^6\).
Step 3
Exam Tip
For counting questions, first write the value of (n) clearly. चरण 1: यदि समुच्चय में (n) अवयव हों, तो सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। चरण 2: यहाँ (n=3), इसलिए संख्या \(2^{\frac{3(4)}{2}}=2^6\) है। चरण 3: गिनती वाले प्रश्नों में पहले अवयवों की संख्या साफ लिखें।
The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
The off-diagonal reverse pair groups are (\frac{n(n-1)}{2}), and each group is chosen together or not chosen.
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), so the number is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\). चरण 1: विकर्ण के (n) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 2: विकर्ण से बाहर के (\frac{n(n-1)}{2}) उल्टे युग्मों के जोड़े साथ-साथ चुने जाते हैं या हटते हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है।
The condition (a+b is even) does not change when (a) and (b) are interchanged.
Step 2
Why this answer is correct
If \((a,b) \in R\), then \((b,a) \in R\) because (b+a=a+b).
Step 3
Exam Tip
For such rules, check whether swapping the positions changes the condition. चरण 1: (a+b) सम होने की शर्त में (a) और (b) की जगह बदलने पर योग वही रहता है। चरण 2: यदि \((a,b) \in R\), तो \((b,a) \in R\) भी होगा क्योंकि (b+a=a+b) है। चरण 3: ऐसी शर्तों में जाँचें कि स्थान बदलने पर नियम बदलता है या नहीं।
The reflexive pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
The remaining off-diagonal reverse-pair groups are three.
Step 3
Exam Tip
Each group has two choices, so the total number is \(2^3=8\). चरण 1: सभी स्वतुल्य युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) पहले से अनिवार्य हैं। चरण 2: बचे हुए तीन उल्टे युग्मों के समूह हैं: ((1,2)) के साथ ((2,1)), ((1,3)) के साथ ((3,1)), और ((2,3)) के साथ ((3,2))। चरण 3: हर समूह के लिए दो चुनाव हैं, इसलिए कुल \(2^3=8\) संबंध होंगे।
A. क्योंकि \((1,2) \in R\), पर \((2,1) \notin R\)/Because \((1,2) \in R\), but \((2,1) \notin R\)
Step 1
Concept
Symmetry requires the reverse of every ordered pair to be present.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(1\le2\), \((1,2) \in R\), but \(2\le1\) is false, so \((2,1) \notin R\).
Step 3
Exam Tip
To disprove symmetry, one valid counterexample is enough. चरण 1: सममितता के लिए हर युग्म का उल्टा युग्म होना चाहिए। चरण 2: \(1\le2\) इसलिए \((1,2) \in R\), लेकिन \(2\le1\) असत्य है, इसलिए \((2,1) \notin R\)। चरण 3: असममितता दिखाने के लिए केवल एक सही प्रतिउदाहरण काफी होता है।
To check symmetry from a matrix, compare entries across the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{13}=m_{31}\), \(m_{12}=m_{21}\), and \(m_{23}=m_{32}\).
Step 3
Exam Tip
If the relation matrix equals its transpose, the relation is symmetric. चरण 1: आव्यूह से सममिति जांचने के लिए मुख्य विकर्ण के आर-पार प्रविष्टियां बराबर होनी चाहिए। चरण 2: यहां \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) और \(m_{21}=0\), \(m_{23}=0\) और \(m_{32}=0\) हैं। चरण 3: संबंध का आव्यूह अपने परिवर्त के बराबर हो तो संबंध सममित होता है।
The number of symmetric relations on a set with (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
For (n=4), this becomes \(2^{\frac{4(5)}{2}}=2^{10}\).
Step 3
Exam Tip
Do not confuse the total number of pairs in \(A\times A\) with the count of symmetric relations. चरण 1: (n) अवयवों वाले समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। चरण 2: (n=4) रखने पर \(2^{\frac{4(5)}{2}}=2^{10}\) मिलता है। चरण 3: \(A\times A\) के कुल युग्म और सममित संबंधों की संख्या अलग-अलग होती है, इन्हें न मिलाएँ।
A. (R) सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/(R) is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If (|a-b|=1), then (|b-a|=1) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
So every pair has its reverse pair, making the relation symmetric.
Step 3
Exam Tip
Since (|a-a|=0), the relation is not reflexive. चरण 1: यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1) भी होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में आता है, अतः संबंध सममित है। चरण 3: ((a,a)) के लिए (|a-a|=0), इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है।
A relation is symmetric if its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{13}=1\) matches \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) matches \(m_{21}=0\), and \(m_{23}=0\) matches \(m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
In matrix questions, compare \(m_{ij}\) with \(m_{ji}\). चरण 1: आव्यूह से संबंध सममित तभी होगा जब आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में समान हो। चरण 2: यहाँ \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) और \(m_{21}=0\), \(m_{23}=0\) और \(m_{32}=0\) हैं। चरण 3: आव्यूह वाले प्रश्न में \(m_{ij}\) और \(m_{ji}\) की तुलना करें।
A. सममित है और स्वतुल्य भी है/It is symmetric and reflexive
Step 1
Concept
((a-b)2=0) implies (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
If (a=b), then (b=a), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
For every (a), ((a-a)2=0), so reflexivity also holds. चरण 1: ((a-b)2=0) से (a=b) मिलता है। चरण 2: यदि (a=b), तो (b=a) भी सत्य है, इसलिए सममिति पूरी होती है। चरण 3: हर (a) के लिए ((a-a)2=0), इसलिए स्वतुल्यता भी है।
In a symmetric relation, every ((a,b)) must be accompanied by ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((5,8)) is ((8,5)), so it must be present.
Step 3
Exam Tip
Symmetry alone does not force pairs like ((a,a)) to exist. चरण 1: सममित संबंध में किसी भी ((a,b)) के साथ ((b,a)) होना अनिवार्य है। चरण 2: ((5,8)) का उल्टा युग्म ((8,5)) है, इसलिए यह निश्चित रूप से होगा। चरण 3: सममितता से ((a,a)) जैसे युग्म अपने-आप जरूरी नहीं होते।
A. \(R \cap S\) सममित है/\(R \cap S\) is symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b) \in R \cap S\), then the pair lies in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since both are symmetric, ((b,a)) lies in both.
Step 3
Exam Tip
Therefore, \((b,a) \in R \cap S\), so intersection preserves symmetry. चरण 1: यदि \((a,b) \in R \cap S\), तो ((a,b)) दोनों संबंधों में होगा। चरण 2: दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा। चरण 3: अतः \((b,a) \in R \cap S\); प्रतिच्छेद पर सममिति सुरक्षित रहती है।
A. सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) has ((2,1)) and ((2,3)) has ((3,2)), so symmetry is satisfied.
Step 2
Why this answer is correct
Reflexivity would need ((1,1),(2,2),(3,3)), which are missing.
Step 3
Exam Tip
Check symmetry and reflexivity separately. चरण 1: ((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है, इसलिए सममितता पूरी है। चरण 2: स्वतुल्य होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए, जो यहाँ नहीं हैं। चरण 3: सममित और स्वतुल्य गुणों को अलग-अलग जाँचें।
The option contains both ((1,2)) and ((2,1)), so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
But ((1,2)) and ((2,1)) would require ((1,1)) for transitivity, which is absent.
Step 3
Exam Tip
Symmetry and transitivity are different properties; reverse pairs do not automatically give transitivity. चरण 1: विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए यह सममित है। चरण 2: लेकिन ((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है। चरण 3: सममिति और संक्रामकता अलग गुण हैं; उल्टे युग्म होने से संक्रामकता अपने आप नहीं मिलती।
Hence whenever ((x,y)) is in the relation, ((y,x)) will also be in it.
Step 3
Exam Tip
In difference-based parity rules, changing the sign does not change oddness or evenness. चरण 1: यदि (x-y) विषम है, तो (y-x=-(x-y)) भी विषम होगा। चरण 2: इसलिए ((x,y)) होने पर ((y,x)) भी संबंध में होगा। चरण 3: अंतर वाले नियम में चिन्ह बदलने से सम या विषम होने की प्रकृति नहीं बदलती।
In a symmetric relation, \((a,b) \in R\) implies \((b,a) \in R\).
Step 2
Why this answer is correct
The inverse relation \(R^{-1}\) contains exactly the reversed pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence, for a symmetric relation, \(R^{-1}=R\). चरण 1: सममित संबंध में \((a,b) \in R\) होने पर \((b,a) \in R\) भी होता है। चरण 2: प्रतिलोम संबंध \(R^{-1}\) में वही उल्टे युग्म रखे जाते हैं। चरण 3: इसलिए सममित संबंध के लिए \(R^{-1}\) और (R) समान होते हैं।
A. \(R\cap S\) हमेशा सममित होगा/\(R\cap S\) will always be symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b) \in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both, so it belongs to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
For intersection proofs, check membership in both relations separately. चरण 1: यदि \((a,b) \in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों (R) और (S) में है। चरण 2: (R) और (S) सममित हैं, इसलिए ((b,a)) दोनों में होगा और इसीलिए \(R\cap S\) में भी होगा। चरण 3: प्रतिच्छेद में गुण सिद्ध करते समय युग्म को दोनों संबंधों में अलग-अलग जाँचें।
If (a-b) is divisible by (2), then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
Thus, each pair has its reverse pair.
Step 3
Exam Tip
In divisibility-based relations, a negative sign does not break symmetry. चरण 1: यदि (a-b) संख्या (2) से विभाज्य है, तो (b-a=-(a-b)) भी (2) से विभाज्य होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: विभाज्यता में ऋण चिह्न सममिति को नहीं बिगाड़ता।
A. \(R\cup S\) हमेशा सममित होगा/\(R\cup S\) will always be symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b) \in R\cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
The relation containing ((a,b)) is symmetric, so ((b,a)) is also in that relation and hence in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
In union proofs, track that the pair belongs to at least one relation. चरण 1: यदि \((a,b) \in R\cup S\), तो यह (R) या (S) में होगा। चरण 2: जिस संबंध में ((a,b)) है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में होगा और \(R\cup S\) में भी होगा। चरण 3: संघ में सिद्ध करते समय यह देखें कि युग्म कम से कम एक संबंध में है।
A. संबंध सममित नहीं है/The relation is not symmetric
Step 1
Concept
The matrix test for symmetry is \(M=M^T\).
Step 2
Why this answer is correct
If the matrix is not symmetric, then for some place \(m_{ij}\neq m_{ji}\).
Step 3
Exam Tip
That means some pair does not have its reverse pair, so the relation is not symmetric. चरण 1: संबंध की सममिति का आव्यूह परीक्षण यह है कि \(M=M^T\) होना चाहिए। चरण 2: यदि आव्यूह सममित नहीं है, तो किसी जगह \(m_{ij}\neq m_{ji}\) होगा। चरण 3: इसका अर्थ है कि किसी युग्म का उल्टा युग्म अनुपस्थित है, इसलिए संबंध सममित नहीं है।
Symmetry requires its reverse ((3,1)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
While reading the given pairs, first identify any pair whose reverse is absent. चरण 1: ((1,3)) संबंध में मौजूद है। चरण 2: सममितता के लिए इसका उल्टा ((3,1)) भी होना चाहिए, लेकिन यह नहीं है। चरण 3: प्रश्न में दिए गए सभी युग्मों को पढ़कर पहले अकेले पड़े युग्म को पहचानें।
Since \(T\subseteq R\), the pairs of (T) come from (R).
Step 2
Why this answer is correct
But (T) may include a pair while excluding its reverse pair, so symmetry can fail.
Step 3
Exam Tip
Symmetry is not always preserved when taking an arbitrary subset. चरण 1: \(T\subseteq R\) होने से (T) के युग्म (R) से आते हैं। चरण 2: लेकिन (T) में किसी युग्म का उल्टा युग्म हटाया जा सकता है, इसलिए सममिति टूट सकती है। चरण 3: सममिति उपसमुच्चय लेने पर हमेशा सुरक्षित नहीं रहती।
Rules based on equality often remain symmetric when the order is reversed. चरण 1: यदि \(a^2=b^2\), तो बराबरी के गुण से \(b^2=a^2\) भी सत्य होगा। चरण 2: इसलिए \((a,b) \in R\) होने पर \((b,a) \in R\) भी होगा। चरण 3: बराबरी पर आधारित नियमों में दिशा बदलने पर अक्सर सममितता बनी रहती है।
Symmetry requires their reverse pairs ((2,1)) and ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
The smallest symmetric relation contains only these necessary pairs. चरण 1: दिए गए युग्म ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में रहने चाहिए। चरण 2: सममिति के लिए इनके उल्टे युग्म ((2,1)) और ((3,2)) भी जरूरी हैं। चरण 3: सबसे छोटा संबंध वही होगा जिसमें केवल जरूरी युग्म जोड़े जाएं।
A. क्योंकि (4-1=3), लेकिन \(1-4\ne3\)/Because (4-1=3), but \(1-4\ne3\)
Step 1
Concept
To test symmetry, check one pair and its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
((4,1)) belongs to the relation because (4-1=3), but ((1,4)) does not because (1-4=-3).
Step 3
Exam Tip
Relations based on a fixed directed difference are usually not symmetric. चरण 1: सममितता जाँचने के लिए एक युग्म और उसका उल्टा देखें। चरण 2: ((4,1)) संबंध में है क्योंकि (4-1=3), पर ((1,4)) संबंध में नहीं है क्योंकि (1-4=-3)। चरण 3: निश्चित अंतर वाले संबंध सामान्यतः सममित नहीं होते।
In a symmetric relation, if \((y,x)\in R\), then \((x,y)\in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
The question states \((x,y)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, \((y,x)\in R\) would cause a contradiction, so \((y,x)\notin R\). चरण 1: सममित संबंध में \((y,x)\in R\) हो तो \((x,y)\in R\) भी होना चाहिए। चरण 2: लेकिन प्रश्न में \((x,y)\notin R\) दिया है। चरण 3: इसलिए \((y,x)\in R\) मानना विरोध देगा; अतः \((y,x)\notin R\) निश्चित है।
If (a) and (b) have the same remainder on division by (2), the same statement holds for (b) and (a).
Step 2
Why this answer is correct
Hence ((a,b)) implies ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
Relations based on sameness or common class are good candidates for symmetry. चरण 1: यदि (a) और (b) को (2) से भाग देने पर समान शेषफल आता है, तो (b) और (a) के लिए भी वही बात सत्य है। चरण 2: इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होगा। चरण 3: समानता या समान वर्ग पर आधारित संबंधों में सममितता ध्यान से पहचानें।
Any off-diagonal pair ((a,b)) must appear with its reverse pair ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
So off-diagonal pairs are counted in pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence, their number must be even, even if the total number of relation pairs is odd. चरण 1: विकर्ण से बाहर कोई भी युग्म ((a,b)) आने पर उसका उल्टा ((b,a)) भी आता है। चरण 2: इसलिए विकर्ण से बाहर के युग्म हमेशा जोड़ों में गिने जाते हैं। चरण 3: अतः उनकी संख्या सम होगी, चाहे कुल युग्मों की संख्या विषम ही क्यों न हो।
A. नहीं, क्योंकि \(m_{12}\ne m_{21}\)/No, because \(m_{12}\ne m_{21}\)
Step 1
Concept
For symmetry in a relation matrix, we need \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{12}=1\) but \(m_{21}=0\), so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
Do not decide by the diagonal alone; compare entries on both sides of it. चरण 1: आव्यूह से सममितता के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। चरण 2: यहाँ \(m_{12}=1\) है जबकि \(m_{21}=0\), इसलिए शर्त टूट गई। चरण 3: केवल विकर्ण देखकर निर्णय न करें, विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाएँ।
If \(a\cdot b\) is even, then \(b\cdot a\) is the same product.
Step 2
Why this answer is correct
Hence, \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
For product-based relations, changing order does not change the product, which helps prove symmetry. चरण 1: यदि \(a\cdot b\) सम है, तो \(b\cdot a\) भी वही संख्या होगी। चरण 2: इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। चरण 3: गुणन आधारित ऐसे संबंधों में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, इसलिए सममिति आसानी से सिद्ध होती है।
The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (n=5), so the count is \(2^{\frac{5(6)}{2}}=2^{15}\).
Step 3
Exam Tip
For larger sets, use the same rule and substitute (n) carefully. चरण 1: सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। चरण 2: यहाँ (n=5), इसलिए \(2^{\frac{5(6)}{2}}=2^{15}\) मिलेगा। चरण 3: बड़े समुच्चय में भी वही नियम लगाएँ, केवल (n) सही रखें।
If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), then the pair is in (R) or in \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
In either case, the reverse pair ((b,a)) is found in the other corresponding part.
Step 3
Exam Tip
Therefore, \(R\cup R^{-1}\) is always a symmetric extension of (R). चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह युग्म (R) में या \(R^{-1}\) में होगा। चरण 2: दोनों ही स्थितियों में उल्टा युग्म ((b,a)) दूसरे भाग में मिल जाएगा। चरण 3: इसलिए \(R\cup R^{-1}\) किसी भी संबंध का सममित विस्तार देता है।
\(R^{-1}\) contains the reverse of every pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
In a symmetric relation, every reverse pair is already in (R), so \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
It is useful to remember symmetry through inverse relations as well. चरण 1: \(R^{-1}\) में हर युग्म उल्टा होकर आता है। चरण 2: सममित संबंध में हर युग्म का उल्टा पहले से (R) में होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\)। चरण 3: सममितता को उल्टे संबंध की भाषा में भी याद रखें।
The intersection of a set with itself is the same set, so the answer is (R). चरण 1: सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। चरण 2: इसलिए \(R\cap R^{-1}=R\cap R\) होगा। चरण 3: किसी समुच्चय का स्वयं से प्रतिच्छेद वही समुच्चय होता है, इसलिए उत्तर (R) है।
\(R^{-1}\) means all ordered pairs are written in reverse order.
Step 2
Why this answer is correct
If (R) and \(R^{-1}\) are equal, every pair has its reverse in (R).
Step 3
Exam Tip
This is an important alternative test for symmetry. चरण 1: \(R^{-1}\) का अर्थ है कि सभी युग्म उल्टे क्रम में लिखे गए हैं। चरण 2: यदि (R) और \(R^{-1}\) समान हैं, तो हर युग्म का उल्टा भी (R) में है। चरण 3: यह सममित संबंध की एक महत्वपूर्ण वैकल्पिक पहचान है।
Exactly one of the three diagonal pairs must be chosen, giving (3) choices.
Step 2
Why this answer is correct
There are three off-diagonal reverse-pair groups, each with two choices.
Step 3
Exam Tip
Total number is \(3\cdot 2^3=24\). चरण 1: तीन विकर्ण युग्मों में से ठीक एक चुनना है, इसलिए (3) चुनाव हैं। चरण 2: विकर्ण से बाहर तीन उल्टे युग्म समूह हैं, प्रत्येक के लिए दो चुनाव हैं। चरण 3: कुल संख्या \(3\cdot 2^3=24\) होगी।
Symmetry needs ((2,1)) along with ((1,2)), and option A has both.
Step 2
Why this answer is correct
Reflexivity needs all ((1,1),(2,2),(3,3)), which are not present.
Step 3
Exam Tip
In such questions, check both conditions separately. चरण 1: सममितता के लिए ((1,2)) के साथ ((2,1)) होना चाहिए, जो विकल्प A में है। चरण 2: स्वतुल्य होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी चाहिए, लेकिन ये नहीं हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्न में दोनों शर्तों को अलग-अलग टिक करके जाँचें।
In fixed-sum relations, changing the order does not change the condition, so symmetry holds. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\), तो (a+b=5) होगा। चरण 2: चूंकि (b+a=5) भी होगा, इसलिए \((b,a)\in R\) होगा। चरण 3: स्थिर योग वाले संबंधों में क्रम बदलने पर शर्त नहीं बदलती, इसलिए सममिति मिलती है।
Symmetry requires reverse pairs, not necessarily diagonal pairs. चरण 1: दिए गए हर गैर-समान युग्म का उल्टा युग्म लिखें। चरण 2: ((1,2)) का उल्टा ((2,1)), ((2,3)) का उल्टा ((3,2)), और ((3,1)) का उल्टा ((1,3)) है। चरण 3: सममितता के लिए विकर्ण युग्म जरूरी नहीं, उल्टे युग्म जरूरी हैं।
The reverse of ((1,3)), namely ((3,1)), is missing, so it must be added. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) की जोड़ी पूरी है। चरण 2: ((2,3)) और ((3,2)) की जोड़ी भी पूरी है। चरण 3: ((1,3)) का उल्टा ((3,1)) नहीं है, इसलिए सममिति के लिए वही जोड़ना होगा।
If (a) divides (b), it is not necessary that (b) divides (a).
Step 2
Why this answer is correct
(2) divides (4), but (4) does not divide (2).
Step 3
Exam Tip
Divisibility has direction, so reverse pairs are not always present. चरण 1: यदि (a), (b) को विभाजित करता है, तो जरूरी नहीं कि (b), (a) को भी विभाजित करे। चरण 2: (2) संख्या (4) को विभाजित करती है, पर (4) संख्या (2) को विभाजित नहीं करती। चरण 3: विभाज्यता में दिशा महत्वपूर्ण होती है, इसलिए उल्टा युग्म हमेशा नहीं मिलता।
A. \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होना चाहिए/If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must also be in (R)
Step 1
Concept
The main condition for a symmetric relation is that every pair must have its reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
In an antisymmetric relation, reverse pairs can occur together only when the two elements are equal.
Step 3
Exam Tip
In exams, separate symmetric and antisymmetric relations by their exact conditions, not by their names. चरण 1: सममित संबंध की मुख्य शर्त यही है कि हर युग्म का उल्टा युग्म भी हो। चरण 2: प्रतिसममित संबंध में उल्टे युग्म साथ आ सकते हैं, पर तभी जब दोनों अवयव समान हों। चरण 3: परीक्षा में सममित और प्रतिसममित को नाम से नहीं, उनकी शर्त से अलग करें।
In absolute value relations, swapping the order often keeps the value unchanged. चरण 1: परम मान में (|a-b|=|b-a|) होता है। चरण 2: यदि \(|a-b|\le2\), तो \(|b-a|\le2\) भी होगा। चरण 3: परम मान वाले संबंधों में क्रम बदलने पर मान वही रहने की बात याद रखें।
For (4) elements, the number of independent symmetric choices is (\frac{4(4+1)}{2}=10).
Step 2
Why this answer is correct
The group containing ((1,2)) is forced to be included, and the group containing ((3,4)) is forced to be excluded, so two choices are fixed.
Step 3
Exam Tip
The remaining (8) choices give \(2^8=256\). चरण 1: (4) अवयवों पर स्वतंत्र सममित चुनावों की संख्या (\frac{4(4+1)}{2}=10) है। चरण 2: ((1,2)) वाले समूह को लेना अनिवार्य है और ((3,4)) वाले समूह को न लेना अनिवार्य है, इसलिए दो चुनाव स्थिर हो गए। चरण 3: बचे (8) स्वतंत्र चुनाव हैं, इसलिए कुल \(2^8=256\) नहीं बल्कि ध्यान दें कि ((1,2)) और ((3,4)) दोनों विकर्ण से बाहर के समूह हैं; दो समूह स्थिर होने के बाद (8) चुनाव बचते हैं और संख्या (256) होगी।
The relation is based on the same type: both even or both odd.
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) has the same type, then ((b,a)) also has the same type.
Step 3
Exam Tip
In same-class relations, changing order does not change the rule. चरण 1: संबंध समान प्रकृति, यानी दोनों सम या दोनों विषम, पर आधारित है। चरण 2: यदि ((a,b)) में दोनों की प्रकृति समान है, तो ((b,a)) में भी वही समानता रहेगी। चरण 3: समान वर्ग वाले संबंधों में क्रम बदलने से नियम नहीं बदलता।
((1,2)) is paired with ((2,1)), and ((2,3)) is paired with ((3,2)).
Step 2
Why this answer is correct
Diagonal pairs are their own reverses, so they do not disturb symmetry.
Step 3
Exam Tip
Since ((3,3)) is missing, reflexivity fails, but symmetry definitely holds. चरण 1: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। चरण 2: विकर्ण युग्म अपने उल्टे स्वयं ही होते हैं, इसलिए वे सममिति में बाधा नहीं बनते। चरण 3: ((3,3)) नहीं है, इसलिए स्वतुल्यता नहीं; लेकिन सममिति निश्चित है।
A. सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) has ((2,1)), and ((1,3)) has ((3,1)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) is its own reverse, so it creates no issue.
Step 3
Exam Tip
For symmetry, check reverses of existing pairs only, not pairs that are absent. चरण 1: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((1,3)) के साथ ((3,1)) मौजूद हैं। चरण 2: ((2,2)) अपना उल्टा खुद ही है, इसलिए वह समस्या नहीं बनाता। चरण 3: सममितता के लिए केवल मौजूद युग्मों के उल्टे जाँचें, अनुपस्थित युग्मों की चिंता न करें।
