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A. \(A-B=\{1,4\}\) और यह \(A\) का उपसमुच्चय है/\(A-B=\{1,4\}\) and it is a subset of \(A\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\)। यहाँ \(A\) के वे तत्व जो \(B\) में नहीं हैं वे 1 और 4 हैं, अतः \(A-B=\{1,4\}\)। किसी भी सेट के लिए \(A-B\) हमेशा \(A\) का उपसमुच्चय होता है क्योंकि हम \(A\) के भीतर से कुछ तत्व हटा रहे होते हैं। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \{2,3\} तो \(B\) के तत्व हैं और वे \(A-B\) में नहीं आते; विकल्प (C) तभी सत्य होगा जब \(A\) और \(B\) का कोई समान तत्व न हो; विकल्प (D) तब ही होगा जब \(A\subseteq B\)। परीक्षा-सुझाव: पहले \(A-B\) के लिए \(A\) के हर तत्व की सदस्यता \(B\) में जांच लें — यही तेज और सुरक्षित तरीका है। / By definition \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\). The elements of \(A\) that are not in \(B\) are 1 and 4, so \(A-B=\{1,4\}\). Also, for any sets \(A\) and \(B\), \(A-B\) is always a subset of \(A\) because we remove some (or none) of \(A\)'s elements. Option (B) is incorrect because \{2,3\} are elements of \(B\) and thus not in \(A-B\); (C) would be true only if \(A\cap B=\varnothing\); (D) would hold only if \(A\subseteq B\). Exam tip: check each element of \(A\) against membership in \(B\) to form \(A-B\) quickly and accurately.
A और B का अंतराल वे संख्याएँ हैं जो दोनों 2 और 3 की गुणज हों — अर्थात् LCM(2,3)=6 के गुणज। 1 से 30 तक 6 के गुणज: 6, 12, 18, 24, 30 — कुल 5 संख्याएँ। विकल्प B (10) भ्रमित करने वाला है क्योंकि वह 3 के गुणजों की संख्या \(\lfloor30/3\rfloor=10\) है, न कि दोनों का साझा गुणज। परीक्षा सुझाव: साझा गुणजों के लिए LCM लिये और \(\lfloor n/\text{LCM}\rfloor\) से गिनती निकालें। / Elements in both A and B are multiples of both 2 and 3, so they are multiples of LCM(2,3)=6. Multiples of 6 up to 30 are 6,12,18,24,30 — five elements. Option B (10) equals the count of multiples of 3 (\(\lfloor30/3\rfloor\)), not the intersection. Exam tip: use LCM of the moduli and compute \(\lfloor N/\text{LCM}\rfloor\) to find the count in \(1\) to \(N\).
अभाज्य (prime) संख्या की परिभाषा के अनुसार वह संख्या केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती है। सम (even) संख्याएँ 2 से विभाज्य होती हैं। 2 ही ऐसी एकमात्र संख्या है जो दोनों गुण रखती है — सम भी है और अभाज्य भी। अतः \(A\cap B=\{2\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि प्रतिच्छेद खाली नहीं है; विकल्प C केवल सम संख्याएँ हैं लेकिन उनमें से केवल 2 अभाज्य है; विकल्प D समुच्चय में सम संख्याएँ नहीं हैं। परीक्षा-टिप: अभाज्य-गणना में हमेशा याद रखें कि 1 अभाज्य नहीं है और 2 ही एकमात्र सम अभाज्य है। / By definition a prime number has no divisors other than 1 and itself, and even numbers are divisible by 2. The only number that is both prime and even is 2, so \(A\cap B=\{2\}\). Option B is wrong because the intersection is not empty; option C lists all even numbers but only 2 among them is prime; option D lists odd primes and so cannot be the intersection with even numbers. Exam tip: remember 1 is not prime and 2 is the only even prime — check small examples when in doubt.
कोर कॉन्सेप्ट: किसी सेट का इंटरसेक्शन उस सेट के कुल सदस्यों में से उस सेट के केवल (exclusive) भाग को घटाकर पाया जा सकता है। यहाँ \(n(A\cap B)=n(A)-n(A-B)=48-17=31\)। जांच के लिए दूसरे सेट से भी निकालें: \(n(B)-n(B-A)=52-21=31\), जो मेल खाता है — इसलिए उत्तर 31 सही है। निकटतम भ्रांति (विकल्प 27): यह तब आता है जब गलत तरीके से \(n(B-A)=21\) को \(n(A)\) से घटा दिया जाए (\(48-21=27\)) — यह गलत है क्योंकि वह A के 'केवल B के बाहर' हिस्से को नहीं दिखाता; सही घटाना A−B होना चाहिए। परीक्षा सुझाव: किसी भी एक सेट से ‘‘केवल’’ भाग घटाएँ और परिणाम को दूसरे सेट से भी जाँच कर लें। / Core concept: The intersection size equals a set's total minus the elements that belong only to that set. Compute \(n(A\cap B)=n(A)-n(A-B)=48-17=31\). Verify with B: \(n(B)-n(B-A)=52-21=31\), so results agree and 31 is correct. Closest distractor (27): arises from mistakenly subtracting \(n(B-A)=21\) from \(n(A)\) giving \(48-21=27\); that error swaps the exclusive parts and is incorrect. Exam tip: subtract the 'only' portion (A−B or B−A) from the corresponding total and cross-check using the other set.
\((A\cap B)\) और \((A\cap B^c)\) मिलकर \(A\) का पूर्ण विभाजन बनाते हैं क्योंकि किसी भी \(x\in A\) के लिए या तो \(x\in B\) होगा या \(x\in B^c\) होगा। इसलिए \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\). वैकल्पिक रूप से, वितरणीय नियम से \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\cap(B\cup B^c)=A\cap U=A\). नजदीकी भ्रमित करने वाला विकल्प \(A\cup B\) है जो \(A\) के साथ-साथ \(B\) के अतिरिक्त तत्व भी रखता है इसलिए बड़ा है; \(A\triangle B\) में \(A\cap B\) शामिल नहीं रहता। परीक्षा टिप: किसी भी सेट को \(B\) और \(B^c\) में बाँटकर परखें — यह अक्सर तुरंत पहचान देता है। / \((A\cap B)\) and \((A\cap B^c)\) form a partition of \(A\): for any \(x\in A\), either \(x\in B\) or \(x\in B^c\). Hence \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\). Alternatively use distributivity: \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\cap(B\cup B^c)=A\cap U=A\). The closest misleading choice is \(A\cup B\), which contains extra elements from \(B\) outside \(A\). The symmetric difference \(A\triangle B\) excludes \(A\cap B\), so it cannot equal \(A\). Exam tip: Try splitting a set by \(B\) and its complement to quickly recognize such identities.
\(A\cap B\) में वे तत्व होते हैं जो \(A\) और \(B\) दोनों में हैं। इसलिए \(A-(A\cap B)\) में \(A\) के वे तत्व बचते हैं जो \(B\) में नहीं हैं। यह ठीक \(A\setminus B\) है। विकल्प \(B\setminus A\) गलत है, क्योंकि वह \(B\) के उन तत्वों को दर्शाता है जो \(A\) में नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: वेन आरेख में \(A\) के उस हिस्से को देखें जो साझा क्षेत्र के बाहर है। / The intersection \(A\cap B\) contains elements that belong to both \(A\) and \(B\). Therefore, removing \(A\cap B\) from \(A\) leaves the elements that are in \(A\) but not in \(B\), which is exactly \(A\setminus B\). The distractor \(B\setminus A\) is incorrect because it represents elements in \(B\) but not in \(A\). Exam tip: In the Venn diagram, identify the part of \(A\) outside the overlapping region.
चूंकि \(A\subseteq C\), इसलिए \(C-A\) में वे तत्व होंगे जो \(C\) में हैं पर \(A\) में नहीं। इसका क्रमांक \(n(C-A)=n(C)-n(A)=132-37=95\)। विकल्प (B) का मान \(48\) तब मिलता यदि छात्र ने \(B\) को घटाया हो: \(132-84=48\), पर प्रश्न में \(A\) हटाने के लिए कहा गया है। विकल्प (D) असंभव है क्योंकि किसी उपसमुच्चय का घटाकर प्राप्त मान मूल समुच्चय \(C\) से बड़ा नहीं हो सकता। परीक्षा संकेत: किसी भी विन्न-समस्या में स्पष्ट करें कि किस समुच्चय को हटाया जा रहा है — बस दो संख्या घटाएँ। / Since \(A\subseteq C\), the elements of \(C-A\) are those in \(C\) but not in \(A\). Hence \(n(C-A)=n(C)-n(A)=132-37=95\). Option B (48) comes from subtracting \(B\) from \(C\) (\(132-84=48\)), which is a common mistake here because the question asks to remove \(A\), not \(B\). Option D (169) is impossible because you cannot get a count larger than \(n(C)\) by removing elements. Exam tip: explicitly note which set is being removed and perform the subtraction on those two counts only.
A \cap B में वे संख्याएँ होंगी जो 2 और 3 दोनों से विभाज्य हैं, यानी उनकी LCM = 6 के गुणज। 6 के गुणज जो 36 तक आते हैं: 6,12,18,24,30,36 — कुल 36/6 = 6 संख्या। इसलिए n\(A \cap B\) = 6। सबसे नज़दीकी विकर्षक 12 इस सेट का नहीं क्योंकि 12 वह संख्या है जो केवल 3 के गुणजों की कुल संख्या (36/3 = 12) से जुड़ी है; 18 वह है जो 2 के गुणजों की कुल संख्या (36/2 = 18) दर्शाता है। परीक्षा टिप: किसी दो विभाजकों का समुच्चय निकालते समय उनकी LCM लें और U में उस LCM के गुणजों की गिनती = \lfloor 36/LCM \rfloor करें। / Elements in A \cap B are divisible by both 2 and 3, so they are multiples of LCM(2,3) = 6. Multiples of 6 up to 36 are 6,12,18,24,30,36 — count = 36/6 = 6. Thus n\(A \cap B\) = 6. Closest distractor 12 corresponds to the number of multiples of 3 (36/3 = 12), and 18 corresponds to multiples of 2 (36/2 = 18), so they are not the intersection count. Exam tip: use LCM of divisors and divide the universe maximum by that LCM to get the intersection size quickly.
अभाज्य संख्याएँ वे हैं जिनके केवल 1 और स्वयं ही गुणक होते हैं। सम संख्याएँ 2 के गुणज होती हैं। 2 ही एकमात्र ऐसी संख्या है जो दोनों गुणधर्म पूरा करती है — यह सम भी है और अभाज्य भी। इसलिए A \cap B = {2}। निकटतम भ्रम पैदा करने वाली विकल्प C गलत है क्योंकि अन्य सम संख्याएँ (4,6,...) अभाज्य नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: गुणधर्मों पर ध्यान दें — «सम» और «अभाज्य» की परिभाषा तुरंत सही उत्तर बताती है। / Primes have no divisors other than 1 and themselves; even numbers are multiples of 2. The only number that is both prime and even is 2, so A \cap B = {2}. The tempting option C is incorrect because other even numbers like 4,6,... are composite, not prime. Exam tip: recall definitions first — intersection means elements satisfying both properties simultaneously, so look for numbers that meet both definitions.
\(A-(A\cap B)=A\cap (A\cap B)^c\) होता है। डि मॉर्गन से \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\) और इसलिए \(A\cap (A^c\cup B^c)=(A\cap A^c)\cup (A\cap B^c)=\varnothing\cup (A\cap B^c)=A\cap B^c\)। यह वही है जो हम सामान्यतः \(A-B\) लिखते हैं। सबसे नजदीकी विकर्षक विकल्प \(A\cap B\) है, पर वह दोनों का साझा भाग है जिसे हटाया गया है, अतः बचा नहीं रहता। परीक्षा-सुझाव: सेट-घटाव को इंटरसेक्शन व कम्प्लीमेंट में बदल कर सरल करें या वैन आरेख पर छायांकित क्षेत्र बनाकर जाँच करें। / Compute directly: \(A-(A\cap B)=A\cap (A\cap B)^c\). By De Morgan, \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\), so \(A\cap(A^c\cup B^c)=(A\cap A^c)\cup(A\cap B^c)=\varnothing\cup(A\cap B^c)=A\cap B^c\), which is exactly \(A-B\). The closest distractor \(A\cap B\) is the part removed (the common region), not the remainder. Exam tip: convert set difference to intersection with complement or use a Venn diagram to visualise the shaded region quickly.
केवल A का अर्थ है A में आने वाले पर B में न आने वाले विद्यार्थी। इसे निकालने के लिए A का कुल घटाकर A और B के सामान्य भाग को घटाएँ: \(n(A)-n(A\cap B)=72-38=34\)। विकल्प B (27) गलत है — वह संख्या वास्तव में केवल B के बराबर है क्योंकि \(n(B)-n(A\cap B)=65-38=27\)। परीक्षा टिप: Venn आरेख बनाकर पहले intersection घटाएँ ताकि "केवल" वाले भाग स्पष्ट हों। / Only A means elements that are in A but not in B. Compute it by subtracting the intersection from A: \(n(A)-n(A\cap B)=72-38=34\). Option B (27) is incorrect — it equals only B since \(n(B)-n(A\cap B)=65-38=27\). Exam tip: draw a two-set Venn diagram and remove the intersection from each set to find the "only" parts.
ठीक एक में आने वाले तत्व = केवल A में + केवल B में। केवल A में = \(n(A)-n(A\cap B)\), केवल B में = \(n(B)-n(A\cap B)\)। अतः कुल = \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)=60+55-2\times25=65\)। विकल्प B (90) वास्तव में \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=90\) है — यह 'कम से कम एक' के तत्व हैं और इसमें जो तत्व दोनों में हैं वे भी शामिल रहते हैं, इसलिए 'ठीक एक' के बराबर नहीं। विकल्प D (115) में परस्पर सम्मिलन को न घटाने का परिणाम है, और विकल्प C (40) किसी गलत घटाव का परिणाम है। परीक्षा-टिप: Venn आरेख बनाकर पहले केवल A और केवल B वाले हिस्सों का मान निकालें; फिर जोड़ें। / Elements in exactly one set = (only A) + (only B). Only A = \(n(A)-n(A\cap B)\), only B = \(n(B)-n(A\cap B)\). So total = \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)=60+55-2\times25=65\). Option B (90) equals \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=90\), which counts elements in the intersection once and therefore gives 'at least one' not 'exactly one'. Option D (115) ignores intersection altogether, and option C (40) arises from an incorrect subtraction. Exam tip: Draw a two-circle Venn diagram and compute the two 'only' regions separately, then add them.
दो सेटों के लिए संघ के तत्व disjoint क्षेत्रों का योग होते हैं: \(n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B)\)। दिए गए मानों को जोड़ें: \((x+4)+(2x-1)+(x+3)=46\) जिससे \(4x+6=46\) और \(x=10\)। निकटतम गलत विकल्प \(11\) पर रखकर जाँच करें: \(15+21+14=50\) इसलिए वह गलत है। परीक्षा सुझाव: संघ लिखते समय हमेशा disjoint हिस्सों का योग लें और मिला कर समीकरण हल करें। / For two sets, the union equals the sum of the disjoint regions: \(n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B)\). Substitute the given expressions: \((x+4)+(2x-1)+(x+3)=46\) so \(4x+6=46\) and \(x=10\). Check the nearest distractor: for \(x=11\) the sum is \(15+21+14=50\), so it is incorrect. Exam tip: Always express the union as the sum of disjoint parts before forming the equation and verify non-negativity of each region.
ठीक एक का मतलब A में केवल और B में केवल का योग है। A में केवल = 60% − 25% = 35% और B में केवल = 50% − 25% = 25%। अतः ठीक एक = 35% + 25% = 60%. वैकल्पिक रूप से फॉर्मूला: ठीक एक = A + B − 2×(A∩B) = 60 + 50 − 2×25 = 60%. नजदीकी विक्षेपक (85%) यूनियन का मान है (A∪B = A + B − A∩B = 85%), जो दोनों में शामिल विद्यार्थियों को एक बार गिना हुआ है; पर प्रश्न ने दोनों में एक साथ वाले को हटाने के लिए कहा है। परीक्षा सलाह: वैन-डायग्राम बना कर "केवल A" और "केवल B" हिस्से अलग कर लें या फॉर्मूला A + B − 2×(A∩B) याद रखें। / "Exactly one" means students only in A plus those only in B. Only-in-A = 60% − 25% = 35%; only-in-B = 50% − 25% = 25%. So exactly one = 35% + 25% = 60%. Equivalently: exactly one = A + B − 2×(A∩B) = 60 + 50 − 2×25 = 60%. The closest distractor 85% equals the union A∪B (60 + 50 − 25 = 85%), which counts those in both once; the question excludes the shared part. Exam tip: draw a Venn diagram and compute the "only" regions or use A + B − 2×(A∩B).
केंद्रीय विचार: क्षेत्रवार (region-wise) गिनती और यूनियन का सूत्र। पहले \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=35+26=61\)। यूनियन का सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। इसे नष्ट करके \(n(B)=n(A\cup B)-n(A)+n(A\cap B)=88-61+26=53\)। विकल्प (B) = 61 गल्त होगा क्योंकि वह वास्तव में \(n(A)\) है, न कि \(n(B)\)। परीक्षा टिप: हल करते समय हमेशा Venn आरेख पर तीन क्षेत्रों को लेबल करें — \(A-B\), \(A\cap B\), और \(B-A\) — ताकि जोड़-घटाना साफ रहे। / Core idea: count region-wise and use the union formula. First compute \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=35+26=61\). Using \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) we get \(n(B)=n(A\cup B)-n(A)+n(A\cap B)=88-61+26=53\). Option B (61) is a tempting distractor because it equals \(n(A)\), not \(n(B)\). Exam tip: draw a Venn diagram and label regions \(A-B\), \(A\cap B\), \(B-A\) to avoid sign errors.
\(A=\{-2,-1,0,1,2,3,4\}\) और \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है, इसलिए केवल (4) बचता है। परीक्षा में अंतर निकालते समय पहले दोनों समुच्चय स्पष्ट लिखें। / \(A=\{-2,-1,0,1,2,3,4\}\) and \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so only (4) remains. In exams, list both sets clearly before taking difference.
पहले (n\(A\cup B\cup C\)=73) मिलता है, फिर (C) के (28) तत्व हटाने पर (45) बचते हैं। ऐसे प्रश्न में पहले पूरा संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\cup C\)=73), then removing (28) elements of (C) leaves (45). In such questions, find the complete union first.
\(A\cup B\) को तीन भागों (A-B), \(A\cap B\) और (B-A) में बांटा जाता है। बचे हुए तत्व (3) और (6) हैं। / \(A\cup B\) is split into (A-B), \(A\cap B\), and (B-A). The remaining elements are (3) and (6).
\(A\cup C=(-2,10]) है और (B=[1,8)\) हटाने पर \((-2,1)\cup[8,10]\) मिलता है। सिरों के खुले-बंद होने पर ध्यान दें। / \(A\cup C=(-2,10]), and removing (B=[1,8)\) gives \((-2,1)\cup[8,10]\). Watch open and closed endpoints carefully.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (63=45+38-x), इसलिए (x=20)। परीक्षा में अधिक गिनती को घटाना न भूलें। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), (63=45+38-x), so (x=20). In exams, remember to subtract the double count.
(B-C) में वे तत्व हैं जो (B) में हैं और (C) में नहीं हैं। (A) से प्रतिच्छेद करने पर यही (\(A\cap B\)-C) बनता है। / (B-C) contains elements in (B) and not in (C). Intersecting with (A) gives exactly (\(A\cap B\)-C).
चूँकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B=B\) तथा \(A\cap B=A\) होगा। अतः \((A\cup B)-(A\cap B)=B-A\)। \(A-B\) रिक्त समुच्चय होता है, क्योंकि \(A\) का प्रत्येक अवयव \(B\) में पहले से शामिल है। परीक्षा टिप: उपसमुच्चय की स्थिति में संघ बड़ा समुच्चय और प्रतिच्छेद छोटा समुच्चय होता है। / Since \(A\subseteq B\), we have \(A\cup B=B\) and \(A\cap B=A\). Therefore, \((A\cup B)-(A\cap B)=B-A\). In contrast, \(A-B\) is the empty set because every element of \(A\) already belongs to \(B\). Exam tip: For a subset relation, the union is the larger set and the intersection is the smaller set.
पहले \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) होगा, क्योंकि इसमें \(A\) या \(B\) के सभी तत्व शामिल होते हैं। इसका पूरक \((A\cup B)'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व हैं जो इस संघ में नहीं हैं: \(\{1,5,7,11\}\)। विकल्प C संघ है, पूरक नहीं। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) से तत्व हटाएँ। / First, \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\), since a union contains every element that is in \(A\) or \(B\). The complement \((A\cup B)'\) consists of the elements of the universal set \(U\) that are not in this union: \(\{1,5,7,11\}\). Option C represents the union itself, not its complement. Exam tip: Always find a complement with respect to the given universal set \(U\).
पहले \(B\cup C=\{1,2,4,6,7,8\}\) होगा, क्योंकि इसमें \(B\) और \(C\) के सभी भिन्न अवयव शामिल होते हैं। अब \(A\) के साथ इसका प्रतिच्छेद लेने पर केवल वे अवयव बचते हैं जो दोनों समुच्चयों में हैं: \(\{1,2,4\}\)। विकल्प \(\{2,4,8\}\) में 8 है, जो \(A\) में नहीं है। परीक्षा टिप: कोष्ठक वाले भाग \(B\cup C\) को पहले हल करें, फिर \(A\) से प्रतिच्छेद लें। / First, \(B\cup C=\{1,2,4,6,7,8\}\), since a union contains all distinct elements of both sets. Intersecting this set with \(A\) leaves only the common elements: \(\{1,2,4\}\). The option \(\{2,4,8\}\) is incorrect because 8 does not belong to \(A\). Exam tip: Evaluate the expression inside the brackets, \(B\cup C\), before taking its intersection with \(A\).
\(A-B=\varnothing\) बताता है कि (A) का हर तत्व (B) में है। \(B-A\ne\varnothing\) बताता है कि (B) में कुछ अतिरिक्त तत्व हैं। / \(A-B=\varnothing\) means every element of (A) lies in (B). \(B-A\ne\varnothing\) means (B) has at least one extra element.
सममित अंतर \(A\triangle B\) में वे तत्व शामिल होते हैं जो केवल \(A\) या केवल \(B\) में हों, दोनों में नहीं। यहाँ \(A-B=\{a,c\}\) तथा \(B-A=\{e,f\}\) हैं। अतः \(A\triangle B=\{a,c,e,f\}\)। \(\{b,d\}\) उभयनिष्ठ तत्व हैं, इसलिए वे सममित अंतर में नहीं आते। परीक्षा टिप: सममित अंतर निकालते समय पहले उभयनिष्ठ तत्वों को पहचानकर हटा दें। / The symmetric difference \(A\triangle B\) contains elements that belong to only \(A\) or only \(B\), but not to both sets. Here, \(A-B=\{a,c\}\) and \(B-A=\{e,f\}\). Therefore, \(A\triangle B=\{a,c,e,f\}\). The set \(\{b,d\}\) contains common elements, so it is not included in the symmetric difference. Exam tip: identify and remove the common elements first when finding a symmetric difference.
हर तत्व के लिए (A) के अंदर और बाहर दोनों स्थितियां (B) और (C) को समान बनाती हैं। इसलिए (B=C) है। / For every element, the conditions inside and outside (A) force (B) and (C) to match. Hence (B=C).
दोनों अंतराल ओवरलैप करते हैं, इसलिए उनका संघ (0) से (5) तक पूरा है। दोनों सिरों (0) और (5) शामिल हैं। / The intervals overlap, so their union covers all points from (0) to (5). Both endpoints (0) and (5) are included.
\(A-B\) में वे तत्व होते हैं जो \(A\) में हों, लेकिन \(B\) में न हों। \(B=(-1,4)\) है, इसलिए \(A\) का \((-1,2]\) भाग हट जाएगा। चूँकि \(-1\), \(B\) में शामिल नहीं है, पर \(A\) में शामिल है, इसलिए \(-1\) उत्तर में रहेगा। अतः \(A-B=[-3,-1]\) है। \((-1,2]\) वास्तव में \(A\cap B\) है। परीक्षा टिप: अंतरालों में खुले और बंद सिरों को अलग से जाँचें। / \(A-B\) contains elements that belong to \(A\) but do not belong to \(B\). Since \(B=(-1,4)\), the portion \((-1,2]\) is removed from \(A\). The point \(-1\) remains because it belongs to \(A\) but not to \(B\). Therefore, \(A-B=[-3,-1]\). Note that \((-1,2]\) is actually \(A\cap B\). Exam tip: always check open and closed endpoints separately when working with intervals.
समुच्चय \(A\cup B\) तीन परस्पर असंपाती भागों से बनता है: केवल \(A\) में स्थित तत्व \(A-B\), केवल \(B\) में स्थित तत्व \(B-A\), तथा दोनों में स्थित तत्व \(A\cap B\)। अतः \(n(A\cup B)=12+9+7=28\)। विकल्प 21 में केवल \(A-B\) और \(B-A\) जोड़े गए हैं, जबकि उभयनिष्ठ 7 तत्व भी संघ में शामिल होते हैं। परीक्षा टिप: वेन आरेख में संघ के सभी अलग-अलग क्षेत्रों को जोड़ें। / The set \(A\cup B\) consists of three mutually disjoint regions: elements only in \(A\), \(A-B\); elements only in \(B\), \(B-A\); and common elements, \(A\cap B\). Therefore, \(n(A\cup B)=12+9+7=28\). Option 21 adds only \(A-B\) and \(B-A\), but the 7 common elements are also included in the union. Exam tip: In a Venn diagram, add every distinct region covered by the union.
केवल गणित (=n(M)-n\(M\cap P\)=34-12=22)। ऐसे प्रश्न में दोनों पढ़ने वालों को केवल वाले भाग से घटाएं। / Only Mathematics (=n(M)-n\(M\cap P\)=34-12=22). In such questions, subtract the common part from the only part.
समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत से \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=52+47-21=78\)। अतः \((A\cup B)'\) में वे तत्व होंगे जो \(A\) या \(B\) किसी में भी नहीं हैं। इसलिए \(n\big((A\cup B)'\big)=n(U)-n(A\cup B)=80-78=2\)। विकल्प 78 संघ के तत्वों की संख्या है, पूरक की नहीं। परीक्षा टिप: संघ निकालते समय उभयनिष्ठ तत्वों को दो बार गिने जाने से बचाने के लिए \(n(A\cap B)\) घटाएँ। / By the inclusion-exclusion principle, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=52+47-21=78\). The set \((A\cup B)'\) contains elements that belong to neither \(A\) nor \(B\). Hence, \(n\big((A\cup B)'\big)=n(U)-n(A\cup B)=80-78=2\). Option 78 is the number of elements in the union, not in its complement. Exam tip: subtract \(n(A\cap B)\) while finding a union so that common elements are not counted twice.
असंबद्ध समुच्चयों के लिए \(A\cap B=\varnothing\) होता है, अर्थात उनका कोई भी तत्व समान नहीं होता। इसलिए संघ में दोनों समुच्चयों के सभी तत्व केवल एक-एक बार गिने जाते हैं: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)=15+19=34\)। विकल्प 4, \(19-15\) से प्राप्त होता है, जो संघ की संख्या नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य स्थिति में \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) लिखें; असंबद्ध समुच्चयों में अंतिम पद शून्य होता है। / For disjoint sets, \(A\cap B=\varnothing\), meaning that they have no common elements. Hence, every element is counted only once in the union: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)=15+19=34\). Option 4 comes from \(19-15\), which does not give the cardinality of the union. Exam tip: use \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\); for disjoint sets, the last term is zero.
संघ में (B) जोड़ने पर (A) नहीं बदलता, इसलिए (B) का हर तत्व (A) में है। अतः \(B\subseteq A\)। / Adding (B) to (A) by union does not change (A), so every element of (B) is in (A). Thus \(B\subseteq A\).
प्रतिच्छेद (B) के बराबर तभी होगा जब (B) का हर तत्व (A) में हो। इसलिए \(B\subseteq A\) है। / The intersection equals (B) only when every element of (B) lies in (A). Hence \(B\subseteq A\).
तीनों समुच्चयों में सामान्य तत्व (3,5,9) हैं। तीन समुच्चयों के प्रतिच्छेद में हर तत्व तीनों में होना चाहिए। / The common elements in all three sets are (3,5,9). In a three-set intersection, each element must be in all three sets.
(A) के सभी विषम अभाज्य (B) में चले जाते हैं, केवल (2) बचता है। (19) भी (B) में है क्योंकि वह विषम और (20) से छोटा है। / All odd primes in (A) are in (B), so only (2) remains. (19) is also in (B) because it is odd and less than (20).
\(B\) के प्रत्येक तत्व का रूप \(4k\) है, और \(4k=2(2k)\) होने से वह \(2\) का गुणज भी है। अतः \(B\) का प्रत्येक तत्व \(A\) में होगा, इसलिए \(B\subseteq A\)। विकल्प \(A\subseteq B\) गलत है क्योंकि \(2\in A\), परंतु \(2\notin B\)। परीक्षा टिप: उपसमुच्चय जाँचने के लिए एक समुच्चय के हर तत्व को दूसरे समुच्चय के नियम से मिलाइए। / Every element of \(B\) is of the form \(4k\), and \(4k=2(2k)\), so it is also a multiple of \(2\). Hence, every element of \(B\) belongs to \(A\), giving \(B\subseteq A\). The relation \(A\subseteq B\) is false because \(2\in A\) but \(2\notin B\). Exam tip: To test a subset relation, check whether every element satisfying one set's rule also satisfies the other set's rule.
दोनों शब्दों में आने वाले अलग-अलग अक्षर (A,I,M,S,T) हैं। समुच्चय में दोहराए गए अक्षर नहीं गिने जाते। / The distinct letters common to both words are (A,I,M,S,T). Repeated letters are not counted in a set.
A. (A) का कोई भी तत्व ऐसा नहीं है जो (B) में हो और (C) में न हो/No element of (A) is in (B) but not in (C)
Explanation
Simple Explanation
(B-C) वे तत्व हैं जो (B) में हैं पर (C) में नहीं। (A) के साथ प्रतिच्छेद खाली होने का यही अर्थ है। / (B-C) contains elements in (B) but not in (C). Empty intersection with (A) means none of these lies in (A).
खाली समुच्चय संघ में कुछ नहीं जोड़ता, प्रतिच्छेद में कुछ सामान्य नहीं देता और अंतर में कुछ नहीं हटाता। इसलिए उत्तर \(A,\varnothing,A\) है। / The empty set adds nothing in union, gives nothing in intersection, and removes nothing in difference. Hence the answer is \(A,\varnothing,A\).
\(A\cap B=\varnothing\) का अर्थ है कि \(A\) और \(B\) में कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं है। साथ ही, \(A\cup B=U\) होने से \(U\) का प्रत्येक तत्व \(A\) या \(B\) में होगा। इसलिए \(B\) में ठीक वे तत्व होंगे जो \(U\) में हैं, पर \(A\) में नहीं हैं। अतः \(B=A'\), जहाँ \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है। \(A\) स्वयं सही नहीं हो सकता, क्योंकि दोनों समुच्चय असंयुक्त हैं। परीक्षा टिप: पूरक पहचानने के लिए जाँचें कि दो समुच्चयों का संघ सार्वत्रिक समुच्चय और प्रतिच्छेद रिक्त है या नहीं। / \(A\cap B=\varnothing\) means that \(A\) and \(B\) have no common elements. Also, \(A\cup B=U\) means every element of the universal set belongs to either \(A\) or \(B\). Hence, \(B\) contains exactly those elements of \(U\) that are not in \(A\). Therefore, \(B=A'\), where \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to \(U\). \(A\) itself cannot be correct because the two sets are disjoint. Exam tip: To identify complementary sets, check whether their union is the universal set and their intersection is empty.
\(A-B\) में \(A\) के वे अवयव होते हैं जो \(B\) में नहीं हैं, अतः \(A-B=\{1,3,5\}\)। इसी प्रकार \(A-C=\{3,4,5,6\}\)। इन दोनों समुच्चयों का संघ लेने पर सभी भिन्न अवयव \(\{1,3,4,5,6\}\) मिलते हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(A-B\) है, जबकि प्रश्न में दोनों अंतर समुच्चयों का संघ पूछा गया है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक अंतर समुच्चय अलग-अलग निकालें, फिर संघ में दोहराए गए अवयव केवल एक बार लिखें। / \(A-B\) contains the elements of \(A\) that are not in \(B\), so \(A-B=\{1,3,5\}\). Similarly, \(A-C=\{3,4,5,6\}\). Taking their union gives all distinct elements, \(\{1,3,4,5,6\}\); hence option A is correct. Option B is only \(A-B\), whereas the question asks for the union of both difference sets. Exam tip: Find each difference set separately before combining them, and list repeated elements only once in a union.
समुच्चय \(B\) में \(A\) के केवल वे तत्व होंगे जो 5 से बड़े हैं, अर्थात \(B=\{7,11,13\}\)। क्योंकि \(B\subseteq A\), इसलिए \(A\cap B=B=\{7,11,13\}\)। विकल्प C में 5 शामिल है, लेकिन \(5>5\) सत्य नहीं है। परीक्षा टिप: समुच्चय-निर्माता रूप में दी गई असमानता को प्रत्येक तत्व पर जाँचें। / Set \(B\) contains only those elements of \(A\) that are greater than 5, so \(B=\{7,11,13\}\). Since \(B\subseteq A\), \(A\cap B=B=\{7,11,13\}\). Option C incorrectly includes 5, because \(5>5\) is false. Exam tip: Test the set-builder condition on each listed element carefully.
\(x^2-2x\le 0\) को \(x(x-2)\le 0\) लिखते हैं। यह असमता \(0\le x\le 2\) के लिए सत्य है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, इसलिए \(B=\{0,1,2\}\)। ये तीनों तत्व \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) में भी हैं, अतः \(A\cap B=\{0,1,2\}\)। विकल्प C में 0 छूट गया है। परीक्षा टिप: द्विघात असमता में पहले गुणनखंड करें, फिर मूलों के बीच का अंतराल जाँचें। / Write \(x^2-2x\le 0\) as \(x(x-2)\le 0\). This inequality holds for \(0\le x\le 2\). Since \(x\) is an integer, \(B=\{0,1,2\}\). All these elements also belong to \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so \(A\cap B=\{0,1,2\}\). Option C incorrectly omits 0. Exam tip: factor a quadratic inequality first, then check the interval between its roots.
सामान्य भाजक (36) और (48) के (\gcd(36,48)=12) के भाजक होते हैं। इसलिए ({1,2,3,4,6,12}) मिलेगा। / Common divisors of (36) and (48) are divisors of (\gcd(36,48)=12). Hence the set is ({1,2,3,4,6,12}).
(18) के भाजक ({1,2,3,6,9,18}) और (24) के भाजक ({1,2,3,4,6,8,12,24}) हैं। दोनों को बिना दोहराव मिलाने पर सही संघ मिलता है। / Divisors of (18) are ({1,2,3,6,9,18}), and divisors of (24) are ({1,2,3,4,6,8,12,24}). Combining without repetition gives the union.
\(x^2<9\) से \(-3<x<3\), अतः \(A=(-3,3)\) है। समुच्चय \(B\) में \(1\) और उससे बड़े सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। इसलिए \(A\) से \(1\) सहित उसके दाईं ओर के सभी अवयव हटाने पर \(A-B=(-3,1)\) मिलता है। \((-3,1]\) सही नहीं है, क्योंकि \(1\in B\) है और उसे अंतर समुच्चय में नहीं रखा जा सकता। परीक्षा टिप: \(A-B\) में केवल वे अवयव लें जो \(A\) में हों, पर \(B\) में न हों। / From \(x^2<9\), we get \(-3<x<3\); hence \(A=(-3,3)\). Set \(B\) contains \(1\) and every real number greater than \(1\). Removing these elements from \(A\) gives \(A-B=(-3,1)\). The interval \((-3,1]\) is incorrect because \(1\in B\), so it cannot belong to the difference set. Exam tip: In \(A-B\), keep elements that are in \(A\) but not in \(B\).
\(x^2\leq4\) से \(-2\leq x\leq2\), अतः \(B=[-2,2]\) है। समुच्चय \(A\) में सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए \(A\) और \(B\) का संघ \(-\infty\) से \(2\) तक के सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है। अतः \(A\cup B=( -\infty,2]\)। विकल्प \([-2,2]\) केवल \(B\) है; इसमें \(-2\) से छोटी ऋणात्मक संख्याएँ नहीं हैं। परीक्षा टिप: वर्ग वाली असमता में पहले दोनों ओर वर्गमूल लेकर सीमा-अंतराल लिखें। / From \(x^2\leq4\), we get \(-2\leq x\leq2\), so \(B=[-2,2]\). Set \(A\) contains every negative real number. Therefore, their union contains all real numbers from \(-\infty\) up to and including \(2\): \(A\cup B=( -\infty,2]\). The option \([-2,2]\) represents only \(B\), since it excludes negative numbers less than \(-2\). Exam tip: for a squared inequality, first find the interval satisfying it before performing set operations.
\(A\) में \(-5\) से \(5\) तक के सभी पूर्णांक हैं, जबकि \(B\) में सभी विषम पूर्णांक हैं। अतः दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ तत्व \(-5,-3,-1,1,3,5\) हैं। विकल्प B में सम संख्याएँ हैं और विकल्प D में ऋणात्मक विषम पूर्णांक छूट गए हैं। परीक्षा टिप: प्रतिच्छेद \(A\cap B\) में केवल वे तत्व लिखें जो दोनों समुच्चयों में हों। / Set \(A\) contains all integers from \(-5\) to \(5\), while \(B\) contains all odd integers. Therefore, the elements common to both sets are \(-5,-3,-1,1,3,5\). Option B contains even integers, and option D omits the negative odd integers. Exam tip: In an intersection \(A\cap B\), include only elements that belong to both sets.
(B) हटाने पर (A) में कोई बदलाव नहीं हुआ, इसलिए (A) और (B) में कोई सामान्य तत्व नहीं है। अतः \(A\cap B=\varnothing\)। / Removing (B) does not change (A), so (A) and (B) have no common element. Thus \(A\cap B=\varnothing\).
यदि कोई तत्व केवल (A) में हो तो वह (A-B) में होगा पर (B-A) में नहीं। समानता के लिए ऐसे तत्व नहीं हो सकते, इसलिए (A=B)। / If an element lies only in (A), it is in (A-B) but not in (B-A). For equality, no such element can exist, so (A=B).
सदैव \(A\cap B\subseteq A\cup B\) होता है। दोनों बराबर तभी हो सकते हैं जब (A) और (B) समान हों। / Always \(A\cap B\subseteq A\cup B\). They can be equal only when (A) and (B) are the same set.
\(A\cap B=\{3\}\), क्योंकि 3 ही दोनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ तत्व है। अतः \(A\cap B\) में 1 तत्व है। किसी \(n\)-तत्वों वाले समुच्चय के घात समुच्चय में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। इसलिए \(|\mathcal{P}(A\cap B)|=2^1=2\)। विकल्प 1 केवल प्रतिच्छेद में मौजूद तत्वों की संख्या बताता है, घात समुच्चय की नहीं। परीक्षा टिप: पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें, फिर घात समुच्चय के लिए \(2^n\) का प्रयोग करें। / \(A\cap B=\{3\}\), because 3 is the only common element of both sets. Thus, \(A\cap B\) has 1 element. The power set of a set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets. Therefore, \(|\mathcal{P}(A\cap B)|=2^1=2\). Option 1 gives the number of elements in the intersection, not the number of elements in its power set. Exam tip: Find the intersection first, then use \(2^n\) for the size of its power set.
समुच्चयांतर \(A-B\) में वे तत्व आते हैं जो \(A\) में हैं, पर \(B\) में नहीं हैं। अतः \(A-B=\{1,2\}\), जिसमें 2 तत्व हैं। 2 तत्वों वाले समुच्चय के घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होते हैं। विकल्प 2 केवल \(A-B\) के तत्वों की संख्या है, घात समुच्चय के तत्वों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। / The difference \(A-B\) contains elements that belong to \(A\) but not to \(B\). Thus, \(A-B=\{1,2\}\), which has 2 elements. The power set of a set with 2 elements has \(2^2=4\) elements. Option 2 is only the number of elements in \(A-B\), not the number of elements in its power set. Exam tip: a set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets in its power set.
संघ (A-B), (B-A) और \(A\cap B\) के असंबद्ध भागों से बनता है। इसलिए (75=28+31+x), अतः (x=16)। / The union is made of disjoint parts (A-B), (B-A), and \(A\cap B\). So (75=28+31+x), hence (x=16).
यह सममित अंतर है, जिसमें सामान्य तत्व हट जाते हैं। सामान्य तत्व (2,4,6,8) हटाने पर ({1,3,5,7,10}) मिलता है। / This is the symmetric difference, where common elements are removed. Removing common elements (2,4,6,8) gives ({1,3,5,7,10}).
पहचान \(A-(A-B)=A\cap B\) लागू होती है, क्योंकि \(A\) के वे ही अवयव बचते हैं जो \(B\) में भी हों। दिया है कि \(A\cap B=\varnothing\), इसलिए \(A-(A-B)=\varnothing\)। \(A\) विकल्प सही नहीं है, क्योंकि \(A-B=A\) होने पर \(A-A=\varnothing\) मिलता है। परीक्षा टिप: अंतर वाले व्यंजक में पहले देखें कि कौन-से अवयव हटाए जा रहे हैं। / Use the identity \(A-(A-B)=A\cap B\): the elements left in \(A\) are exactly those that also belong to \(B\). Since \(A\cap B=\varnothing\), we get \(A-(A-B)=\varnothing\). Option \(A\) is not correct because, for disjoint sets, \(A-B=A\), so the expression becomes \(A-A=\varnothing\). Exam tip: In set-difference expressions, first identify which elements are removed.
समुच्चयों में प्रतिच्छेद, संघ पर वितरित होता है। अतः \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)। विकल्प B सही वितरण नियम का रूप है, लेकिन वह \(A\cup(B\cap C)\) के बराबर होता है, न कि दिए गए व्यंजक के। परीक्षा टिप: \(\cap\) को पहले कोष्ठक के भीतर के दोनों समुच्चयों पर अलग-अलग लगाकर वितरण नियम याद रखें। / Intersection distributes over union in sets. Therefore, \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\). Option B is a valid distributive identity, but it is equal to \(A\cup(B\cap C)\), not to the given expression. Exam tip: distribute \(\cap\) to each set inside the union bracket.
समुच्चयों के लिए संघ, प्रतिच्छेद पर वितरित होता है: \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B वास्तव में \(A\cap(B\cup C)\) के बराबर होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-टिप: वितरण नियम में संघ और प्रतिच्छेद की भूमिकाओं को ध्यान से पहचानें। / For sets, union distributes over intersection: \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\). Therefore, option A is correct. Option B represents \(A\cap(B\cup C)\), not the given expression. Exam tip: carefully track which operation is distributed and which operation appears inside the parentheses.
यदि \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\le 15\}\), \(B=\{x\in\mathbb{N}:3\mid x\}\) और \(C=\{x\in\mathbb{N}:5\mid x\}\) हैं, जहाँ \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\), तो \(A\cap(B\cup C)\) का मान क्या है?
पहले \(B\cup C\) में वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ आती हैं जो 3 या 5 से विभाज्य हैं। \(A\) के कारण केवल 15 तक की संख्याएँ ली जाएँगी। अतः 3 के गुणज \(3,6,9,12,15\) और 5 के गुणज \(5,10,15\) मिलाकर \(\{3,5,6,9,10,12,15\}\) प्राप्त होता है। विकल्प C केवल 3 के गुणज और विकल्प D केवल 5 के गुणज देता है। परीक्षा-युक्ति: \(B\cup C\) में “या” तथा \(A\cap\cdots\) में A की सीमा दोनों लागू करें। / The set \(B\cup C\) contains all natural numbers divisible by 3 or by 5. Since we intersect with \(A\), only numbers up to 15 are considered. The multiples of 3 are \(3,6,9,12,15\), and the multiples of 5 are \(5,10,15\); their union is \(\{3,5,6,9,10,12,15\}\). Option C lists only multiples of 3, while option D lists only multiples of 5. Exam tip: in \(B\cup C\), “or” means include both groups, and the intersection with \(A\) imposes the upper limit of 15.
जो संख्याएं (2) और (3) दोनों से विभाज्य हैं, वे (6) से विभाज्य हैं। (30) तक ऐसी संख्याएं ({6,12,18,24,30}) हैं। / Numbers divisible by both (2) and (3) are divisible by (6). Up to (30), these are ({6,12,18,24,30}).
पहले B ∩ C ज्ञात करें। दोनों समुच्चयों में केवल 3 समान है, इसलिए B ∩ C = {3}। अब A − {3} का अर्थ A में से 3 को हटाना है, जिससे {1, 2, 4, 5} प्राप्त होता है। विकल्प D में 3 को हटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: जब कोष्ठक हों, तो पहले अंदर का प्रतिच्छेद निकालकर फिर समुच्चय का अंतर ज्ञात करें। / First find B ∩ C. The only common element of B and C is 3, so B ∩ C = {3}. Therefore, A − {3} means removing 3 from A, giving {1, 2, 4, 5}. Option D is incorrect because it does not remove 3. Exam tip: Evaluate the operation inside the parentheses first, then apply set difference.
समुच्चय \(A\) में \(-4\) से \(4\) तक के सभी पूर्णांक हैं। शर्त \(x^2\ge 9\) का अर्थ है \(|x|\ge 3\), इसलिए \(A\) के भीतर इसके अनुकूल मान \(-4,-3,3,4\) हैं। अतः \(A\cap B=\{-4,-3,3,4\}\)। विकल्प B में \(-4\) और \(4\) छूट गए हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2\ge a^2\) को \(|x|\ge a\) के रूप में पहचानें। / Set \(A\) contains all integers from \(-4\) to \(4\). The condition \(x^2\ge 9\) is equivalent to \(|x|\ge 3\), so the values in \(A\) satisfying it are \(-4,-3,3,4\). Therefore, \(A\cap B=\{-4,-3,3,4\}\). Option B is incomplete because it omits \(-4\) and \(4\). Exam tip: Recognize \(x^2\ge a^2\) as \(|x|\ge a\).
A. (A) के अंदर (B) और (C) समान व्यवहार करते हैं/(B) and (C) behave the same inside (A)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए दोनों भाग (A) के भीतर (B) और (C) की सदस्यता को समान बनाते हैं। (A) के बाहर (B) और (C) अलग हो सकते हैं। / The two given parts make membership of (B) and (C) the same inside (A). Outside (A), (B) and (C) may differ.
\(A\cap B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}\) है और (C) के सम तत्व हटते हैं। इसलिए विषम तत्व ({-3,-1,1,3}) बचते हैं। / \(A\cap B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}\), and the even elements of (C) are removed. Hence the remaining odd elements are ({-3,-1,1,3}).
\(B=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) है, इसलिए (A-B={-7,-6,-5,5,6,7}) होगा। इनमें (3) से विभाज्य तत्व ({-6,6}) हैं। / \(B=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\), so (A-B={-7,-6,-5,5,6,7}). The elements divisible by (3) are ({-6,6}).
संघ तीन अलग भागों (A-B), \(A\cap B\) और (B-A) से बनता है। दिए गए केवल वाले भाग हटाने पर ({4,8,12}) बचता है। / The union is made of three disjoint parts (A-B), \(A\cap B\), and (B-A). Removing the given only-parts leaves ({4,8,12}).
यदि \(A=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\le x<5\}\), \(B=\{x\in\mathbb{R}\mid 1<x\le 8\}\) और \(C=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 2\}\) हैं, तो \((A\cup B)\cap C\) का मान क्या है?
सेट \(A\) का अन्तराल \([-3,5)\) और सेट \(B\) का अन्तराल \((1,8]\) है। इनका संघ \(A\cup B=[-3,8]\) होगा, क्योंकि दोनों अन्तराल आपस में जुड़ते हैं। अब \(C=(-\infty,2]\) के साथ प्रतिच्छेद लेने पर \([-3,2]\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(-3\) को गलत रूप से हटाया गया है, जबकि विकल्प C में \(C\) की ऊपरी सीमा लागू नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: संघ में जुड़े हुए अन्तरालों को पहले मिलाएँ, फिर प्रतिच्छेद की सीमा लगाएँ। / Set \(A\) corresponds to \([-3,5)\), and set \(B\) corresponds to \((1,8]\). Since these intervals overlap, their union is \(A\cup B=[-3,8]\). Intersecting this with \(C=(-\infty,2]\) restricts the upper endpoint to \(2\), giving \([-3,2]\). Option B incorrectly excludes \(-3\), while option C does not apply the upper bound from \(C\). Exam tip: combine overlapping intervals first for the union, then apply the bounds of the intersecting set.
दिया है कि केवल समुच्चय \(A\) में स्थित अवयवों की संख्या \(n(A\setminus B)=23\) है। इसलिए \(A\) और \(B\) के उभयनिष्ठ अवयवों की संख्या \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=58-23=35\) होगी। अतः \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=58+44-35=67\)। विकल्प 102 में उभयनिष्ठ अवयवों को घटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: संघ की गणना में \(n(A\cap B)\) एक बार अवश्य घटाएँ। / The elements belonging only to \(A\) are counted by \(n(A\setminus B)=23\). Hence, \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=58-23=35\). Therefore, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=58+44-35=67\). Option 102 is incorrect because it adds the two set sizes without removing the common elements. Exam tip: for a union, subtract the intersection once.
समावेशन-बहिष्करण सूत्र से \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=64+57-29=92\)। चूँकि \((A\cup B)'\), सार्वत्रिक समुच्चय में \(A\cup B\) के बाहर के अवयवों का समुच्चय है, इसलिए \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=110-92=18\)। विकल्प 92 केवल \(A\cup B\) की संख्या है, उसके पूरक की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक की संख्या निकालने के लिए हमेशा \(n(U)\) में से मूल समुच्चय की संख्या घटाएँ। / By the inclusion–exclusion formula, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=64+57-29=92\). The complement \((A\cup B)'\) contains the elements of \(U\) that are not in \(A\cup B\), so \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=110-92=18\). The value 92 represents the union, not its complement. Exam tip: For a complement, subtract the cardinality of the set from the cardinality of the universal set.
दिया गया द्विघात \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) है। इसलिए \(x^2-5x+6\le0\) के लिए \(A=[2,3]\)। इस अंतराल का प्रत्येक तत्व \(4\) से छोटा है, अतः \(A\subset B\)। इसलिए \(A-B\) में कोई तत्व नहीं बचता और \(A-B=\varnothing\)। ध्यान रखें: \([2,3]\) स्वयं \(A\) है, जबकि पूछा गया है \(A-B\)। / Factor the quadratic as \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Thus, \(x^2-5x+6\le0\) gives \(A=[2,3]\). Every element of this interval is less than \(4\), so \(A\subset B\). Hence no element remains in \(A-B\), and \(A-B=\varnothing\). Exam tip: \([2,3]\) is the set \(A\), not the difference \(A-B\).
\(A\subseteq B\) होने से (A) का पूरा भाग (B) में रहता है और (C) का (B) से कोई सामान्य तत्व नहीं है। इसलिए प्रतिच्छेद में केवल (A) बचेगा। / Since \(A\subseteq B\), all of (A) lies in (B), and (C) has no common element with (B). Hence only (A) remains in the intersection.
पहले \(|x-2|\le 3\) से \(-3\le x-2\le 3\), अतः \(-1\le x\le 5\) और \(A=[-1,5]\)। इसी प्रकार, \(x^2\le 4\) से \(-2\le x\le 2\), इसलिए \(B=[-2,2]\)। दोनों अंतरालों का साझा भाग \([-1,2]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \([-2,-1)\) के वे मान भी शामिल हैं जो \(A\) में नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए दोनों समुच्चयों में समान साझा अंतराल लें। / From \(|x-2|\le 3\), we get \(-3\le x-2\le 3\), so \(A=[-1,5]\). Also, \(x^2\le 4\) gives \(-2\le x\le 2\), hence \(B=[-2,2]\). Their common interval is \([-1,2]\). Option B is incorrect because it includes the values in \([-2,-1)\), which are not in \(A\). Exam tip: For an intersection, retain only the interval common to both sets.
समुच्चय \(A\) को दो असंयुक्त भागों में बाँटा जा सकता है: \(A-B\), जिसमें \(A\) के वे अवयव हैं जो \(B\) में नहीं हैं, और \(A\cap B\), जिसमें \(A\) के वे अवयव हैं जो \(B\) में भी हैं। इसलिए \((A-B)\cup(A\cap B)=A\)। विकल्प \(C\) \(A\cup B\) होगा, जिसमें केवल \(B\) के अवयव भी शामिल हो सकते हैं, इसलिए वह आवश्यक रूप से सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(A\) को \((A-B)\cup(A\cap B)\) के रूप में याद रखें। / The set \(A\) is partitioned into two disjoint parts: \(A-B\), containing elements of \(A\) that are not in \(B\), and \(A\cap B\), containing elements common to \(A\) and \(B\). Hence, \((A-B)\cup(A\cap B)=A\). Option \(C\), \(A\cup B\), may also include elements belonging only to \(B\), so it is not necessarily equal to the given expression. Exam tip: remember the identity \(A=(A-B)\cup(A\cap B)\).
पहले \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) प्राप्त होता है। इस संघ में \(C\) के सभी तत्व \(1,4,7,8\) मौजूद हैं, इसलिए \((A\cup B)\cap C=\{1,4,7,8\}\)। विकल्प B में तत्व \(8\) को अनजाने में छोड़ दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले संघ बनाइए, फिर दिए गए तीसरे समुच्चय के साथ सामान्य तत्व चुनिए। / First, \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\). Every element of \(C\), namely \(1,4,7,8\), belongs to this union, so \((A\cup B)\cap C=\{1,4,7,8\}\). Option B incorrectly omits the element \(8\). Exam tip: form the union first, then select the elements common to it and the third set.
समुच्चय \(A\) को दो असंयुक्त भागों में बाँटा जा सकता है: \(A-B\) और \(A\cap B\)। यहाँ \(A-B\) में 2 तथा \(A\cap B\) में 3 तत्व हैं। इसलिए \(n(A)=2+3=5\)। \(B-A\) के तत्व केवल \(B\) में होते हैं, इसलिए उन्हें \(A\) की कार्डिनैलिटी में नहीं गिना जाता। परीक्षा-युक्ति: \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)\) का सूत्र याद रखें। / Set \(A\) is the disjoint union of \(A-B\) and \(A\cap B\). The set \(A-B\) has 2 elements, while \(A\cap B\) has 3 elements. Therefore, \(n(A)=2+3=5\). The element in \(B-A\) belongs only to \(B\), so it is not counted in \(A\). Exam tip: remember \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)\).
यदि \(A\cap C=\varnothing\), तो संघ की समानता में (A) से बाहर वाला भाग समान होना चाहिए। इसलिए \(B\subseteq C\) मिलता है। / If \(A\cap C=\varnothing\), then the part outside (A) must match in the equal unions. Hence \(B\subseteq C\).
जो संख्या (4) और (6) दोनों से विभाज्य है, वह (\operatorname{lcm}(4,6)=12) से विभाज्य होगी। (40) तक ऐसे गुणज ({12,24,36}) हैं। / A number divisible by both (4) and (6) is divisible by (\operatorname{lcm}(4,6)=12). Up to (40), the multiples are ({12,24,36}).
समुच्चय \(A\cap B\) में वे प्राकृतिक संख्याएँ होंगी जो 72 और 90 दोनों को विभाजित करती हैं। इसलिए ये \(\gcd(72,90)=18\) के सभी धनात्मक भाजक हैं: \(1,2,3,6,9,18\)। ध्यान रखें कि केवल 18 लिखना पर्याप्त नहीं है; 18 के सभी भाजक लेने होते हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले महत्तम समापवर्तक निकालकर उसके सभी भाजक सूचीबद्ध करें। / The set \(A\cap B\) contains the natural numbers that divide both 72 and 90. These are precisely the positive divisors of \(\gcd(72,90)=18\): \(1,2,3,6,9,18\). Writing only 18 is incorrect because every divisor of 18 must be included. Exam tip: For intersections of divisor sets, first find the GCD and then list all its divisors.
A − B में वे तत्व होंगे जो A में हैं, लेकिन B में नहीं हैं; इसलिए A − B = {1, 2}। इसी प्रकार B − C = {3, 4}, क्योंकि 5 और 6, C में भी उपस्थित हैं। अतः इन दोनों समुच्चयों का संघ {1, 2} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4} है। विकल्प B या C केवल एक अंतर समुच्चय दर्शाते हैं, पूरा संघ नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक अंतर समुच्चय अलग-अलग निकालें, फिर संघ लें। / A − B contains the elements that are in A but not in B, so A − B = {1, 2}. Similarly, B − C = {3, 4}, since 5 and 6 are also present in C. Therefore, (A − B) ∪ (B − C) = {1, 2} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}. Options B and C represent only one of the two difference sets, not their union. Exam tip: calculate each difference set separately before taking their union.
संघ से (A) हटाने पर केवल वे तत्व बचते हैं जो (B) में हैं पर (A) में नहीं। इसलिए परिणाम (B-A) है। / Removing (A) from the union leaves only the elements that are in (B) but not in (A). Hence the result is (B-A).
दोनों शर्तों से वही समुच्चय ({-1,1}) मिलता है। समान समुच्चयों का अंतर खाली समुच्चय होता है। / Both conditions give the same set ({-1,1}). The difference of equal sets is the empty set.
\(A-(B\cup C)\) में वे तत्व होते हैं जो \(A\) में हैं, पर \(B\) और \(C\) दोनों में नहीं हैं। इसलिए ऐसा तत्व \((A-B)\) तथा \((A-C)\) दोनों में होगा, अतः उनका प्रतिच्छेद सही है। विकल्प B में संघ गलत है। परीक्षा टिप: अंतर वाले नियमों में संघ और प्रतिच्छेद अदल-बदल जाते हैं। / \(A-(B\cup C)\) contains elements that belong to \(A\) but belong to neither \(B\) nor \(C\). Hence each such element lies in both \(A-B\) and \(A-C\), giving their intersection. Option B wrongly uses union. Exam tip: under set difference, union and intersection interchange in De Morgan-type rules.
समुच्चय में दोहराए गए अक्षर एक बार ही लिखे जाते हैं। दोनों शब्दों के सभी अलग अक्षरों का संघ ({A,B,E,G,L,M,O,R,T,Y}) है। / Repeated letters are written only once in a set. The union of all distinct letters from both words is ({A,B,E,G,L,M,O,R,T,Y}).
(B) की विषम संख्याओं में से अभाज्य संख्याएं हटानी हैं। इसलिए बची हुई विषम संयुक्त संख्याएं और (1), अर्थात ({1,9,15,21,25}), मिलती हैं। / From the odd numbers in (B), remove the primes in (A). The remaining odd composites and (1) are ({1,9,15,21,25}).
(2) या (5) से विभाज्य संख्याओं को (U) से हटाते हैं। बची संख्याएं ({1,3,7,9,11,13,17,19}) हैं। / Remove numbers divisible by (2) or (5) from (U). The remaining numbers are ({1,3,7,9,11,13,17,19}).
प्रतिच्छेद में वे ही संख्याएँ आती हैं जो दोनों समुच्चयों की शर्तें पूरी करती हैं। यहाँ \(x>-2\) और \(x\le 1\), इसलिए \(-2<x\le 1\), अर्थात् \((-2,1]\)। \(-2\) शामिल नहीं है क्योंकि \(B\) में असमानता सख्त है, जबकि \(1\) शामिल है क्योंकि \(A\) में \(x\le 1\) है। परीक्षा-टिप: प्रतिच्छेद के लिए दोनों शर्तों को एक साथ लगाएँ और खुले तथा बंद सिरों पर ध्यान दें। / The intersection contains numbers satisfying both conditions simultaneously. Here, \(x>-2\) and \(x\le 1\), so \(-2<x\le 1\), which is \((-2,1]\). The point \(-2\) is excluded because the inequality in \(B\) is strict, while \(1\) is included because \(A\) allows equality. Exam tip: For an intersection, combine both conditions and check whether each endpoint is open or closed.
पहले \(A-B\) निकालते हैं। इसमें \(A\) के वे तत्व रखे जाते हैं जो \(B\) में नहीं हैं, इसलिए \(A-B=\{1,3,5\}\)। अब \(\{1,3,5\}\cap C=\{1,3,5\}\), क्योंकि यही सभी तत्व \(C\) में भी हैं। विकल्प D में \(B\) के तत्वों को हटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: अंतर में दूसरे समुच्चय के तत्व हटाएँ और प्रतिच्छेद में केवल समान तत्व रखें। / First find \(A-B\), which contains the elements of \(A\) that are not in \(B\). Thus, \(A-B=\{1,3,5\}\). Since \(C=\{1,3,5\}\), their intersection is also \(\{1,3,5\}\). Option D is incorrect because it leaves the elements of \(B\) in the set. Exam tip: for set difference, remove the elements of the second set; for intersection, retain only common elements.
\(B\) के लिए \(x^2<10\) है। पूर्णांकों में यह \(-3\le x\le 3\) देता है, इसलिए \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)। \(A-B\) का अर्थ है \(A\) में वे सभी अवयव जो \(B\) में नहीं हैं; अतः \(A\) से \(-3\) से \(3\) तक के सभी अवयव हटाने पर \(\{-6,-5,-4,4,5,6\}\) मिलता है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(3^2=9<10\) और \((-3)^2=9<10\), इसलिए \(-3\) और \(3\) भी \(B\) में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: समुच्चय का अंतर \(A-B\) निकालते समय पहले \(B\) को \(A\) से हटाएँ, न कि दोनों समुच्चयों का केवल असमान भाग अनुमान से लिखें। / For \(B\), the condition is \(x^2<10\). Among integers, this gives \(-3\le x\le 3\), so \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). The difference \(A-B\) contains the elements of \(A\) that are not in \(B\). Removing all integers from \(-3\) to \(3\) from \(A\) leaves \(\{-6,-5,-4,4,5,6\}\). Option C is incorrect because \(3^2=9<10\) and \((-3)^2=9<10\), so both \(-3\) and \(3\) belong to \(B\). Exam tip: To find \(A-B\), list the elements of \(A\) and delete only those that also belong to \(B\).
\(A\cup B\) सममित अंतर और प्रतिच्छेद के अलग भागों से बनता है। इसलिए (n\(A\cup B\)=26+9=35)। / \(A\cup B\) is made of the disjoint parts symmetric difference and intersection. Hence (n\(A\cup B\)=26+9=35).
\(A-B=\varnothing\) से \(A\subseteq B\) और \(B-C=\varnothing\) से \(B\subseteq C\) मिलता है। इसलिए \(A\subseteq C\)। / \(A-B=\varnothing\) gives \(A\subseteq B\), and \(B-C=\varnothing\) gives \(B\subseteq C\). Therefore \(A\subseteq C\).
\(A-B\) में वे सभी तत्व होते हैं जो \(A\) में हैं, लेकिन \(B\) में नहीं हैं। यहाँ \(B=(3,7)\) है, इसलिए \(A=[1,9]\) से खुले अंतराल \((3,7)\) को हटाने पर \([1,3]\cup[7,9]\) प्राप्त होता है। \(3\) और \(7\), \(B\) में शामिल नहीं हैं, इसलिए वे परिणाम में बने रहते हैं। परीक्षा-युक्ति: खुले सिरों वाले अंतराल के अंतिम बिंदु संबंधित समुच्चय में शामिल नहीं होते। / The set \(A-B\) contains all elements that belong to \(A\) but not to \(B\). Since \(B=(3,7)\), removing this open interval from \(A=[1,9]\) gives \([1,3]\cup[7,9]\). The endpoints \(3\) and \(7\) remain because they are not included in \(B\). Exam tip: open interval endpoints are excluded from that interval, so they remain when the interval is subtracted from a larger closed interval.
\(A\cap B=\varnothing\) होने पर \(A\) और \(B\) में कोई समान अवयव नहीं है। इसलिए \(A\cup B\) में से \(B\) के सभी अवयव हटाने पर केवल \(A\) के अवयव बचते हैं; अतः \((A\cup B)\setminus B=A\)। विकल्प \(B\) और \(\varnothing\) क्रमशः गलत हैं, क्योंकि वे बचे हुए अवयवों को नहीं दर्शाते। परीक्षा-युक्ति: असंबद्ध समुच्चयों के लिए \(A\setminus B=A\) याद रखें। / Since \(A\cap B=\varnothing\), the sets \(A\) and \(B\) have no common elements. Removing all elements of \(B\) from \(A\cup B\) therefore leaves exactly the elements of \(A\), so \((A\cup B)\setminus B=A\). The options \(B\) and \(\varnothing\) do not represent the remaining elements. Exam tip: for disjoint sets, remember that \(A\setminus B=A\).
पहले समावेशन-बहिष्करण सिद्धान्त से \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=70+65-40=95\)। डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), इसलिए \(n(A'\cap B')=n(U)-n(A\cup B)=120-95=25\)। अतः सही उत्तर 25 है। परीक्षा में याद रखें: दो समुच्चयों के पूरकों का प्रतिच्छेद उनके संघ के पूरक के बराबर होता है। / By the inclusion-exclusion principle, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=70+65-40=95\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\). Hence, \(n(A'\cap B')=n(U)-n(A\cup B)=120-95=25\). Therefore, 25 is correct. Exam tip: the intersection of complements equals the complement of the union, not the union of the complements.
हर दो समुच्चयों का सामान्य तत्व केवल (1) है। इसलिए सभी युग्म प्रतिच्छेदों का संघ ({1}) है। / The only common element in each pair of sets is (1). Hence the union of all pairwise intersections is ({1}).
यदि \(A=\{x\in\mathbb{Z}\mid -3\le x\le 8\}\), \(B=\{x\in\mathbb{Z}\mid 0\le x\le 5\}\) और \(C=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\text{ सम है}\}\), तो \((A\setminus B)\cap C\) का मान क्या है?
पहले \(A\setminus B\) ज्ञात करें। समुच्चय \(A\) में \(-3\) से \(8\) तक सभी पूर्णांक हैं, जबकि \(B\) में \(0\) से \(5\) तक के पूर्णांक हैं। अतः \(A\setminus B=\{-3,-2,-1,6,7,8\}\)। इनमें सम पूर्णांक केवल \(-2,6,8\) हैं, इसलिए \((A\setminus B)\cap C=\{-2,6,8\}\)। विकल्प B में विषम संख्याएँ भी रह गई हैं, इसलिए वह केवल \(A\setminus B\) है, अंतिम प्रतिच्छेद नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले difference निकालें और उसके बाद intersection की शर्त लागू करें। / First find \(A\setminus B\). Set \(A\) contains all integers from \(-3\) through \(8\), while \(B\) contains the integers from \(0\) through \(5\). Therefore, \(A\setminus B=\{-3,-2,-1,6,7,8\}\). The even elements of this set are only \(-2,6,8\), so \((A\setminus B)\cap C=\{-2,6,8\}\). Option B is only \(A\setminus B\); it incorrectly retains the odd elements as well. Exam tip: compute the difference first, then apply the intersection condition.
यदि \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\le 10\}\), \(B=\{x\in\mathbb{N}:x\text{ विषम है}\}\) और \(C=\{x\in\mathbb{N}:x\text{ अभाज्य है}\}\), तो \(A\cap(B-C)\) का मान क्या है?
10 तक की विषम संख्याएँ \(\{1,3,5,7,9\}\) हैं। इनमें से अभाज्य संख्याएँ \(3,5,7\) हटाने पर \(B-C=\{1,9\}\) मिलता है। ये दोनों संख्याएँ \(A\) में भी हैं, इसलिए \(A\cap(B-C)=\{1,9\}\)। ध्यान रखें कि 1 अभाज्य संख्या नहीं है। / The odd numbers not exceeding 10 are \(\{1,3,5,7,9\}\). Removing the prime numbers \(3,5,7\) gives \(B-C=\{1,9\}\). Both 1 and 9 belong to \(A\), so \(A\cap(B-C)=\{1,9\}\). Exam tip: 1 is neither prime nor composite.
इन दोनों समानताओं से (A) के अंदर और बाहर (B) और (C) की सदस्यता समान हो जाती है। अतः (B=C)। / These two equalities make the membership of (B) and (C) the same both inside and outside (A). Hence (B=C).
द्विघात व्यंजक को गुणनखंडित करने पर \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\) मिलता है। अतः \((x-1)(x-3)>0\) के लिए \(x<1\) या \(x>3\)। अब \(B\) में केवल \(x>1\) मान हैं, इसलिए दोनों समुच्चयों का सामान्य भाग \((3,\infty)\) है। 1 और 3 शामिल नहीं होंगे, क्योंकि असमानताएँ सख्त हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात असमानता में पहले मूल निकालकर sign intervals जाँचें। / Factoring gives \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\). Thus, \((x-1)(x-3)>0\) when \(x<1\) or \(x>3\). Since \(B\) contains only values with \(x>1\), the common part is \((3,\infty)\). Neither 1 nor 3 is included because the inequalities are strict. Exam tip: For a quadratic inequality, find the roots first and test the sign on the resulting intervals.
\(x^2\le 9\) से \(A=[-3,3]\) और \(x^2<1\) से \(B=(-1,1)\) प्राप्त होता है। \(A-B\) में \(A\) के वे सभी तत्त्व होंगे जो \(B\) में नहीं हैं, इसलिए \((-1,1)\) हटाने पर \([-3,-1]\cup[1,3]\) मिलता है। \(-1\) और \(1\) शामिल हैं क्योंकि \(B\) में असमानता सख्त है। परीक्षा-युक्ति: \(<\) या \(>\) पर खुले सिरे और \(\le\) या \(\ge\) पर बंद सिरे लगाएँ। / From \(x^2\le 9\), we get \(A=[-3,3]\), and from \(x^2<1\), we get \(B=(-1,1)\). The difference \(A-B\) contains elements of \(A\) that are not in \(B\), so removing \((-1,1)\) gives \([-3,-1]\cup[1,3]\). The endpoints \(-1\) and \(1\) are included because the inequality defining \(B\) is strict. Exam tip: use open endpoints for \(<\) or \(>\), and closed endpoints for \(\le\) or \(\ge\).
पहले संघ ज्ञात करें: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\), इसलिए \(|A\cup B|=5\)। यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}(S)\) में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। अतः \(|\mathcal{P}(A\cup B)|=2^5=32\)। विकल्प 16 केवल 4 तत्व वाले समुच्चय के लिए सही होता; परीक्षा में पहले संघ के अलग-अलग तत्व गिनें, फिर \(2^n\) लगाएँ। / First find the union: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\), so \(|A\cup B|=5\). A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets in its power set. Therefore, \(|\mathcal{P}(A\cup B)|=2^5=32\). The value 16 would apply to a set with only 4 elements; in such questions, count the distinct elements of the union before applying \(2^n\).
पहले अंतर समुच्चय ज्ञात करें: \(A-B=\{1,3,5\}\), जिसमें 3 तत्व हैं। यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}\) में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। अतः \(n(\mathcal{P}(A-B))=2^3=8\)। विकल्प 3 केवल \(A-B\) की cardinality बताता है, घात समुच्चय की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले अंतर समुच्चय के तत्वों की संख्या निकालकर उसे \(2^n\) में रखें। / First find the difference set: \(A-B=\{1,3,5\}\), which contains 3 elements. A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets in its power set. Therefore, \(n(\mathcal{P}(A-B))=2^3=8\). The value 3 gives only the cardinality of \(A-B\), not of its power set. Exam tip: find the number of elements in the difference set first, then apply \(2^n\).
\((A-B)\cap(B-C)\) में वही (6) तत्व हैं जो (B-C) में (A) के साथ सामान्य हैं। इसलिए संघ का मान (17+22-6=33) है। / \((A-B)\cap(B-C)\) contains those (6) elements common to (B-C) and (A). Hence the union count is (17+22-6=33).
(C-A) में से (B-A) हटाने पर (B) के बाहर और (C) के अंदर वाले तत्व बचते हैं। इसलिए परिणाम (C-B) है। / Removing (B-A) from (C-A) leaves the elements inside (C) but outside (B). Hence the result is (C-B).
दिया गया है कि प्रत्येक दो समुच्चयों का प्रतिच्छेद रिक्त है, इसलिए \(A\), \(B\) और \(C\) परस्पर असंबद्ध समुच्चय हैं। अतः किसी भी अवयव की दोबारा गणना नहीं होगी और \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)=12+15+18=45\)। इसलिए सही उत्तर 45 है। परीक्षा-टिप: असंबद्ध समुच्चयों के संघ की संख्या उनके अवयवों की संख्याओं के योग के बराबर होती है; प्रतिच्छेद होने पर समावेशन-बहिष्करण सूत्र लगाएँ। / Each pair of sets has an empty intersection, so \(A\), \(B\), and \(C\) are pairwise disjoint. Therefore, no element is counted more than once, and \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)=12+15+18=45\). Hence, 45 is correct. Exam tip: For disjoint sets, add their cardinalities directly; if intersections are non-empty, use the inclusion-exclusion formula.
(30) तक पूर्ण वर्ग ({1,4,9,16,25}) हैं। इनमें (3) से विभाज्य (9) हटाने पर ({1,4,16,25}) मिलता है। / Perfect squares up to (30) are ({1,4,9,16,25}). Removing (9), which is divisible by (3), gives ({1,4,16,25}).
A. \(A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\setminus(B\cup C)\) का तत्व A में होता है, पर B और C दोनों में नहीं होता। इसलिए वह एक साथ \(A\setminus B\) तथा \(A\setminus C\) में होगा; अतः प्रतिच्छेद आएगा। परीक्षा टिप: ‘union के बाहर’ को ‘दोनों के बाहर’ पढ़ें। / An element of \(A\setminus(B\cup C)\) belongs to A but belongs to neither B nor C. Hence it must lie in both \(A\setminus B\) and \(A\setminus C\), giving an intersection. Exam tip: outside a union means outside each set.
वास्तविक संख्याओं में \(x^2>0\) ठीक तब होता है जब \(x\ne0\)। इसलिए (A=B) और सममित अंतर \(\varnothing\) है। / For real numbers, \(x^2>0\) exactly when \(x\ne0\). Thus (A=B), and the symmetric difference is \(\varnothing\).
सामान्य सूत्र में (n\(A\cap B\)) घटता है। योग बराबर तभी होगा जब (n\(A\cap B\)=0), यानी \(A\cap B=\varnothing\)। / In the general formula, (n\(A\cap B\)) is subtracted. The equality holds only when (n\(A\cap B\)=0), that is \(A\cap B=\varnothing\).
A. \((A\cap B=\varnothing)\land(B\cap C=\varnothing)\)
Explanation
Simple Explanation
\(A-B=A\) का अर्थ है कि समुच्चय \(A\) से \(B\) के सभी अवयव हटाने पर भी \(A\) अपरिवर्तित रहता है। इसलिए \(A\) और \(B\) में कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं होगा, अर्थात् \(A\cap B=\varnothing\)। इसी प्रकार, \(B-C=B\) से \(B\cap C=\varnothing\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A अनिवार्य रूप से सत्य है। विकल्प B में समावेशन की दिशा गलत है और विकल्प C तथा D के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं दी गई है। परीक्षा-युक्ति: \(X-Y=X\) को तुरंत \(X\cap Y=\varnothing\) के रूप में पहचानें। / The equation \(A-B=A\) means that removing all elements of \(B\) from \(A\) does not change \(A\). Hence, \(A\) and \(B\) have no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). Similarly, \(B-C=B\) implies \(B\cap C=\varnothing\). Therefore, option A must be true. Option B gives an unsupported inclusion relation, while options C and D require information that is not provided. Exam tip: Recognize \(X-Y=X\) immediately as the condition \(X\cap Y=\varnothing\).
\(A\) में 2 सहित उससे बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं और \(B\) में 6 से छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए \(A\cap B=[2,6)\)। अब \(C=\{4\}\) में से 4 को हटाने पर \([2,4)\cup(4,6)\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें 4 अभी भी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: अंतर \(X-Y\) में \(Y\) के सभी तत्व \(X\) से हटा दिए जाते हैं। / Set \(A\) contains all real numbers greater than or equal to 2, while set \(B\) contains all real numbers less than 6; hence, \(A\cap B=[2,6)\). Since \(C=\{4\}\), removing 4 gives \([2,4)\cup(4,6)\). Option B is incorrect because it still includes 4. Exam tip: in the difference \(X-Y\), every element of \(Y\) is removed from \(X\).
यदि (n\(A\cup B\cup C\)=88), (n(A-B)=19), (n(B-A)=24), (n\(A\cap B\)=13) और (C-\(A\cup B\)) में (32) तत्व हैं, तो (n(\(A\cup B\)-C)) क्या है यदि (C) में \(A\cup B\) का कोई तत्व नहीं है?
क्योंकि (C) और \(A\cup B\) असंबद्ध हैं, इसलिए (\(A\cup B\)-C=A\cup B)। इसका मान (19+24+13=56) है। / Since (C) and \(A\cup B\) are disjoint, (\(A\cup B\)-C=A\cup B). Its value is (19+24+13=56).
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) लगाइए। परीक्षा में संघ के प्रश्न में समान भाग घटाना न भूलें। / Use (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)). In exams, do not forget to subtract the common part.
समुच्चय (A) दो असंबद्ध भागों \(A\setminus B\) और \(A\cap B\) में बंटता है। इसलिए (n(A)=28+16=44)। / The set (A) splits into disjoint parts \(A\setminus B\) and \(A\cap B\). Hence (n(A)=28+16=44).
पहले \(x^2\le 9\) से \(-3\le x\le 3\) मिलता है, इसलिए \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)। समुच्चय अंतर \(A\setminus B\) में वे तत्व होते हैं जो \(A\) में हों, लेकिन \(B\) में न हों। अतः \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\) में से \(B\) के तत्व हटाने पर \(\{4,5\}\) प्राप्त होता है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(-3\), \(B\) में भी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2\le a^2\) को \(-a\le x\le a\) के रूप में लिखकर पूर्णांक तत्व शीघ्रता से सूचीबद्ध करें। / From \(x^2\le 9\), we get \(-3\le x\le 3\), so \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). The set difference \(A\setminus B\) contains elements that belong to \(A\) but not to \(B\). Thus, removing the elements of \(B\) from \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\) leaves \(\{4,5\}\). Option C is incorrect because \(-3\) also belongs to \(B\). Exam tip: For \(x^2\le a^2\), write \(-a\le x\le a\) and then list the required integers.
प्रतिच्छेद में केवल वे संख्याएँ आती हैं जो दोनों समुच्चयों में हों। 1, समुच्चय \(B\) में शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ खुला सिरा है, इसलिए 1 नहीं लिया जाएगा। 4, समुच्चय \(A\) में शामिल है और \(B\) में भी है, इसलिए 4 लिया जाएगा। अतः \(A\cap B=(1,4]\) है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद में प्रत्येक सिरे की सम्मिलित या असम्मिलित स्थिति दोनों अंतरालों में जाँचें। / The intersection contains only numbers that belong to both sets. The number 1 is excluded because \(B\) has an open endpoint at 1, while 4 is included because it belongs to both \(A\) and \(B\). Therefore, \(A\cap B=(1,4]\). Exam tip: Check each endpoint in both intervals before writing the final interval.
पहला अंतराल (3) तक और दूसरा (1) से आगे सभी संख्याएं देता है। दोनों मिलकर पूरी \(\mathbb{R}\) बनाते हैं। / The first interval gives all numbers up to (3), and the second gives all numbers from (1) onward. Together they form all of \(\mathbb{R}\).
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap B=\{6,12\}\), क्योंकि 6 और 12 दोनों समुच्चयों में समान हैं। अब \(\{6,12\}\setminus C\) में से वे तत्व हटाने हैं जो \(C=\{6,12,18\}\) में हैं। दोनों तत्व \(C\) में मौजूद हैं, इसलिए कोई तत्व शेष नहीं बचता और परिणाम \(\varnothing\) है। परीक्षा-युक्ति: समुच्चय के अंतर \(X\setminus Y\) में केवल वे तत्व रहते हैं जो \(X\) में हों, लेकिन \(Y\) में न हों। / First find the intersection: \(A\cap B=\{6,12\}\), since 6 and 12 are common to both sets. Next, remove from \(\{6,12\}\) every element that belongs to \(C=\{6,12,18\}\). Both elements are in \(C\), so no element remains and the result is \(\varnothing\). Exam tip: In the difference \(X\setminus Y\), retain only those elements that are in \(X\) but not in \(Y\).
(n(A)=10), (n(B)=6), (n\(A\cap B\)=3), अतः (n\(A\cup B\)=13)। पूरक में (20-13=7) तत्व हैं। / (n(A)=10), (n(B)=6), (n\(A\cap B\)=3), so (n\(A\cup B\)=13). The complement has (20-13=7) elements.
चूँकि \(A\subseteq B\), इसलिए समुच्चय \(B\) के प्रत्येक तत्व या तो \(A\) में होगा या \(A\) में नहीं होगा। जो तत्व \(A\) में नहीं हैं, वे \(B\setminus A\) में होंगे। अतः \(A\) और \(B\setminus A\) को मिलाने पर पूरे \(B\) के तत्व प्राप्त होते हैं, इसलिए \(A\cup(B\setminus A)=B\)। विकल्प \(A\) केवल वही तत्व देता है जो पहले से \(A\) में हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(A\subseteq B\), तो \(B\) को \(A\) और \(B\setminus A\) के असंयुक्त भागों में बाँटा जा सकता है। / Since \(A\subseteq B\), every element of \(B\) is either in \(A\) or outside \(A\). The elements of \(B\) outside \(A\) form \(B\setminus A\). Therefore, combining \(A\) with \(B\setminus A\) gives all the elements of \(B\), so \(A\cup(B\setminus A)=B\). Option \(B\) is incorrect because it contains only the elements already in \(A\). Exam tip: when \(A\subseteq B\), the sets \(A\) and \(B\setminus A\) partition \(B\).
\(A\cap B=A\) का अर्थ है कि \(A\) का प्रत्येक तत्व \(B\) में भी उपस्थित है। इसी प्रकार, \(A\cup B=B\) तभी होता है जब \(A\), \(B\) का उपसमुच्चय हो। इसलिए सही निष्कर्ष \(A\subseteq B\) है। विकल्प B केवल तब सही होता जब दोनों समुच्चय समान होते। परीक्षा-युक्ति: \(A\cap B=A\) या \(A\cup B=B\) दिखे, तो सीधे \(A\subseteq B\) निष्कर्ष निकालें। / The statement \(A\cap B=A\) means that every element of \(A\) is also an element of \(B\). Likewise, \(A\cup B=B\) holds when \(A\) is a subset of \(B\). Therefore, \(A\subseteq B\) is correct. Option B would be true only if the two sets were equal. Exam tip: whenever \(A\cap B=A\) or \(A\cup B=B\) appears, conclude directly that \(A\subseteq B\).
समुच्चय \(A\) में वे 18 अवयव शामिल हैं जो \(B\) में नहीं हैं। इसलिए \(A\) और \(B\) के उभयनिष्ठ अवयवों की संख्या \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=30-18=12\) है। अब \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=30+24-12=42\)। 54 वह मान है जो उभयनिष्ठ अवयवों को घटाए बिना प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: संघ की गणना में उभयनिष्ठ अवयवों को एक बार घटाना न भूलें। / The 18 elements in \(A\setminus B\) are the elements of \(A\) that are not in \(B\). Hence, \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=30-18=12\). Therefore, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=30+24-12=42\). The value 54 results from adding the set sizes without removing the overlap. Exam tip: In a union, subtract the common elements once because they are counted twice in \(n(A)+n(B)\).
किसी भी समुच्चय \(A\) का प्रत्येक अवयव \(A\cup B\) में होता है। दी गई समानता के कारण वह \(A\cap B\) में भी होगा, इसलिए वह \(B\) में होगा। अतः \(A\subseteq B\)। इसी प्रकार \(B\subseteq A\), इसलिए \(A=B\)। विकल्प B और C केवल तब सत्य होंगे जब दोनों समुच्चय रिक्त हों, जबकि विकल्प D भी सदैव सत्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि संघ और प्रतिच्छेद समान दिए हों, तो दोनों समुच्चयों की समानता निष्कर्षित करें। / Every element of \(A\) belongs to \(A\cup B\). By the given equality, it must also belong to \(A\cap B\), and hence to \(B\). Thus, \(A\subseteq B\). Similarly, \(B\subseteq A\), so \(A=B\). Options B and C are true only when both sets are empty, while option D is not always true. Exam tip: Whenever a union equals the corresponding intersection, conclude that the two sets are equal.
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)। यदि \(A=\{x\in\mathbb{N}\mid x\le 12\}\) और \(B=\{x\in\mathbb{N}\mid x\text{ अभाज्य है}\}\) है तथा \(B\) को \(A\) तक सीमित माना गया है, तो \(A\setminus B\) क्या होगा?
यहाँ \(A=\{1,2,3,\ldots,12\}\) है। इस समुच्चय में अभाज्य संख्याएँ \(B=\{2,3,5,7,11\}\) हैं। अतः \(A\setminus B\) में \(A\) के वे सभी तत्व होंगे जो अभाज्य नहीं हैं: \(\{1,4,6,8,9,10,12\}\)। ध्यान रखें कि 1 अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए वह उत्तर में शामिल होगा। / Here, \(A=\{1,2,3,\ldots,12\}\), and the prime elements of \(A\) are \(B=\{2,3,5,7,11\}\). Therefore, \(A\setminus B\) contains all elements of \(A\) that are not prime, giving \(\{1,4,6,8,9,10,12\}\). Remember that 1 is not a prime number, so it remains in the difference set.
\(A\setminus B=\varnothing\) का अर्थ है कि \(A\) का कोई भी अवयव \(B\) से बाहर नहीं है, इसलिए \(A\subseteq B\)। इसी प्रकार, \(B\setminus A=\varnothing\) से \(B\subseteq A\) प्राप्त होता है। दोनों समावेशों से \(A=B\) निष्कर्षित होता है। विकल्प C और D केवल एकतरफा उचित उपसमुच्चय बताते हैं, जबकि यहाँ दोनों दिशाओं में समावेश है। परीक्षा-युक्ति: दो समुच्चयों की पारस्परिक उपसमुच्चयता उनकी समानता सिद्ध करती है। / The condition \(A\setminus B=\varnothing\) means that no element of \(A\) lies outside \(B\), so \(A\subseteq B\). Similarly, \(B\setminus A=\varnothing\) gives \(B\subseteq A\). Mutual containment implies \(A=B\). Options C and D claim a proper subset relation in only one direction, which contradicts the two given conditions. Exam tip: if each set is a subset of the other, the two sets are equal.
पूरक नियम से (A\setminus\(B\cap C\)=A\cap\(B\cap C\)') होता है। यह (\(A\setminus B\)\cup\(A\setminus C\)) के बराबर है। / By the complement rule, (A\setminus\(B\cap C\)=A\cap\(B\cap C\)'). This equals (\(A\setminus B\)\cup\(A\setminus C\)).
\(B\cup C\) के तत्व हटाने का मतलब (B) और (C) दोनों से बाहर रहना है। इसलिए उत्तर (\(A\setminus B\)\cap\(A\setminus C\)) है। / Removing elements of \(B\cup C\) means being outside both (B) and (C). Hence the answer is (\(A\setminus B\)\cap\(A\setminus C\)).
समुच्चयों के लिए समावेशन-बहिष्करण सूत्र है: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। मान रखने पर \(75=46+n(B)-18\), इसलिए \(n(B)=75-46+18=47\)। विकल्प 29 केवल \(75-46\) करने पर मिलता है और प्रतिच्छेद के 18 सदस्यों को समायोजित नहीं करता। परीक्षा में याद रखें कि प्रतिच्छेद को एक बार घटाया जाता है। / For two sets, the inclusion–exclusion formula is \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Substituting the given values gives \(75=46+n(B)-18\), so \(n(B)=75-46+18=47\). The value 29 results from calculating only \(75-46\) and ignoring the overlap of 18 elements. Exam tip: subtract the intersection once when finding the union of two sets.
ठीक एक विषय (=(38-20)+(32-20)=30) है। वेंन आरेख में साझा भाग को दोनों तरफ से अलग करें। / Exactly one subject (=(38-20)+(32-20)=30). In a Venn diagram, separate the common part from both sides.
एक सर्वेक्षण में 90 लोगों में से 52 लोगों को चाय, 47 लोगों को कॉफी और 19 लोगों को चाय तथा कॉफी दोनों पसंद हैं। कितने लोग न तो चाय पसंद करते हैं और न ही कॉफी?
समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत से चाय या कॉफी पसंद करने वालों की संख्या = 52 + 47 − 19 = 80। यहाँ 19 को घटाया गया है क्योंकि दोनों पसंद करने वाले लोग दोनों समूहों में दो बार गिने गए हैं। इसलिए न चाय और न ही कॉफी पसंद करने वाले = 90 − 80 = 10। परीक्षा में ‘दोनों’ दिए होने पर संघ की संख्या निकालने के लिए उसे एक बार घटाना याद रखें। / By the inclusion–exclusion principle, the number of people who like tea or coffee is 52 + 47 − 19 = 80. The 19 people who like both are subtracted once because they were counted in both groups. Hence, the number who like neither is 90 − 80 = 10. Exam tip: when the overlap is given, subtract it once while finding the union.
(A) में (15) सम संख्याएं हैं और (10) के गुणज (3) हैं। इसलिए (n\(A\setminus B\)=15-3=12)। / There are (15) even numbers in (A), and (3) multiples of (10). Thus (n\(A\setminus B\)=15-3=12).
पहले समीकरण को \((x-2)(x-3)=0\) लिखने पर \(A=\{2,3\}\) मिलता है। दूसरे समीकरण से \((x-1)(x-3)=0\), अतः \(B=\{1,3\}\)। दोनों समुच्चयों में समान एकमात्र तत्व 3 है, इसलिए \(A\cap B=\{3\}\)। विकल्प B संघ को दर्शाता है, प्रतिच्छेद को नहीं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद में केवल वे तत्व लिखें जो दोनों समुच्चयों में हों। / Factoring the first equation as \((x-2)(x-3)=0\) gives \(A=\{2,3\}\). Factoring the second as \((x-1)(x-3)=0\) gives \(B=\{1,3\}\). The only element common to both sets is 3, so \(A\cap B=\{3\}\). Option B represents the union, not the intersection. Exam tip: for an intersection, retain only the elements present in both sets.
असमानता \(x^2\le 16\) से \(-4\le x\le 4\), अतः \(A=[-4,4]\)। दूसरी ओर, \(B\) में केवल \(x>1\) वाले मान हैं। दोनों समुच्चयों के साझा मान \(1<x\le 4\) हैं, इसलिए \(A\cap B=(1,4]\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=1\), \(B\) में शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद में दोनों शर्तें एक साथ पूरी होनी चाहिए; खुले और बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / The inequality \(x^2\le 16\) gives \(-4\le x\le 4\), so \(A=[-4,4]\). Set \(B\) contains only values satisfying \(x>1\). Therefore, the common values satisfy \(1<x\le 4\), giving \(A\cap B=(1,4]\). Option B is incorrect because \(x=1\) is not included in \(B\). Exam tip: In an intersection, both conditions must hold; check carefully whether each endpoint is open or closed.
(B) में (2) शामिल है, इसलिए (A) से (2) और उसके बाद का साझा भाग हटेगा। बचा भाग ((-1,2)) है। / Since (2) is included in (B), (2) and the common part after it are removed from (A). The remaining part is ((-1,2)).
पहले संघ ज्ञात करें: \(B\cup C=\{1,2,4,6,7\}\)। अब \(A\) और इस संघ में उपस्थित समान अवयव लेने पर \(A\cap(B\cup C)=\{1,2,4\}\) मिलता है। विकल्प B में संघ के वे अवयव भी शामिल हैं जो \(A\) में नहीं हैं, जबकि विकल्प C में \(A\) का अवयव 2 छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक के अनुसार पहले \(B\cup C\), फिर \(A\) से प्रतिच्छेद करें। / First find the union: \(B\cup C=\{1,2,4,6,7\}\). The elements common to this set and \(A\) are \(1,2,4\), so \(A\cap(B\cup C)=\{1,2,4\}\). Option B incorrectly retains 6 and 7, which are not in \(A\), while option C omits the common element 2. Exam tip: follow the brackets—compute \(B\cup C\) first, then take its intersection with \(A\).
पहले \(A\cup B=\{1,3,5,6,7,9\}\) ज्ञात करते हैं। अब इस संघ से \(C\) के तत्व \(1,2,3,4\) हटाने पर \(\{5,6,7,9\}\) प्राप्त होता है। विकल्प D में 6 को अनावश्यक रूप से हटा दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \((A\cup B)\setminus C\) में पहले संघ और फिर अंतर निकालें। / First, \(A\cup B=\{1,3,5,6,7,9\}\). Removing the elements of \(C\), namely 1, 2, 3, and 4, leaves \(\{5,6,7,9\}\). Option D is incorrect because it unnecessarily omits 6. Exam tip: for \((A\cup B)\setminus C\), find the union first and then remove the elements of \(C\).
(A) से (B) हटाने पर भी (A) बच रहा है, इसलिए (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है। अतः \(A\cap B=\varnothing\) है। / Removing (B) from (A) still leaves (A), so (A) and (B) have no common element. Hence \(A\cap B=\varnothing\).
चूँकि \(A\cap B=\varnothing\), इसलिए A और B असंयुक्त समुच्चय हैं तथा उनमें कोई भी उभयनिष्ठ तत्व नहीं है। अतः समावेशन-बहिष्करण सूत्र से \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=21+17-0=38\)। 21 या 17 केवल अलग-अलग समुच्चयों की cardinality हैं, संघ की नहीं। परीक्षा-युक्ति: असंयुक्त समुच्चयों के लिए संघ की cardinality सीधे उनकी cardinalities के योग के बराबर होती है। / Since \(A\cap B=\varnothing\), the sets A and B are disjoint and have no common elements. Using the inclusion–exclusion formula, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=21+17-0=38\). The values 21 and 17 represent the cardinalities of the individual sets, not their union. Exam tip: for disjoint sets, the cardinality of the union is simply the sum of their cardinalities.
संघ तीन असंबद्ध भागों \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए उत्तर ({1,2,3,5,7}) है। / The union is formed from the three disjoint parts \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), and \(A\cap B\). Hence the answer is ({1,2,3,5,7}).
समुच्चय \(A\cup B\) में तीन असंबद्ध भाग शामिल होते हैं: केवल \(A\) के तत्व, केवल \(B\) के तत्व और साझा तत्व \(A\cap B\)। इसलिए \(n(A\cup B)=12+9+6=27\)। विकल्प 21 केवल दोनों अंतर वाले भागों का योग है और उसमें प्रतिच्छेद के 6 तत्व शामिल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: संघ की गणना करते समय साझा भाग को एक बार अवश्य जोड़ें। / The union \(A\cup B\) consists of three disjoint parts: elements only in \(A\), elements only in \(B\), and the common elements in \(A\cap B\). Hence, \(n(A\cup B)=12+9+6=27\). Option 21 omits the 6 elements in the intersection. Exam tip: When the exclusive parts and the intersection are given, add all three parts exactly once.
\(A\cup B=A\) का अर्थ है कि \(B\) का प्रत्येक तत्व पहले से \(A\) में मौजूद है; अतः \(B\subseteq A\)। इसलिए \(B\setminus A\), अर्थात् \(B\) में मौजूद लेकिन \(A\) में अनुपस्थित तत्वों का समुच्चय, रिक्त समुच्चय \(\varnothing\) है। विकल्प B सही नहीं है, क्योंकि वह केवल तब सही होता जब \(B\) और \(A\) में कोई समान तत्व न हो। परीक्षा-युक्ति: \(X\cup Y=X\) दिखे, तो तुरंत \(Y\subseteq X\) निष्कर्ष निकालें। / The condition \(A\cup B=A\) means that every element of \(B\) is already contained in \(A\); hence, \(B\subseteq A\). Therefore, \(B\setminus A\), the set of elements in \(B\) but not in \(A\), is the empty set \(\varnothing\). Option B is not correct because \(B\setminus A=B\) would require \(A\) and \(B\) to have no common elements. Exam tip: whenever \(X\cup Y=X\), immediately infer that \(Y\subseteq X\).
\(A\cap B=B\) से \(B\subseteq A\) मिलता है, पर \(A\setminus B\) खाली भी हो सकता है और नहीं भी। बाकी कथन सदैव सत्य हैं। / \(A\cap B=B\) gives \(B\subseteq A\), but \(A\setminus B\) may or may not be empty. The other statements are always true.
साझा तत्व (\operatorname{lcm}(4,6)=12) के गुणज होंगे। (50) तक (12,24,36,48) यानी (4) तत्व हैं। / Common elements are multiples of (\operatorname{lcm}(4,6)=12). Up to (50), they are (12,24,36,48), so there are (4) elements.
\(A\) में \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\) अर्थात् 9 तत्व हैं। समीकरण \(x^2-2x-3=0\) को \((x-3)(x+1)=0\) लिखने पर \(B=\{-1,3\}\) मिलता है। दोनों तत्व \(A\) में हैं, इसलिए \(A\setminus B\) में 9 में से 2 तत्व हटेंगे और \(9-2=7\) तत्व बचेंगे। परीक्षा-युक्ति: पहले अंतर समुच्चय में हटाए जाने वाले तत्वों की संख्या जाँचें; केवल वही तत्व घटाएँ जो वास्तव में \(A\) में मौजूद हों। / The set \(A\) is \(\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\), so it has 9 elements. Factoring \(x^2-2x-3=0\) as \((x-3)(x+1)=0\) gives \(B=\{-1,3\}\). Both elements of \(B\) belong to \(A\), so removing them leaves \(9-2=7\) elements in \(A\setminus B\). Exam tip: when finding a set difference, subtract only those elements of the second set that actually belong to the first set.
यदि \(A\triangle B\) को \((A\setminus B)\cup(B\setminus A)\) द्वारा परिभाषित किया गया है और \(n(A\cup B)=40\), \(n(A\cap B)=13\) है, तो \(n(A\triangle B)\) का मान क्या होगा?
सममित अंतर \(A\triangle B\) में वे तत्व होते हैं जो केवल \(A\) या केवल \(B\) में हैं; उभयनिष्ठ तत्व इसमें शामिल नहीं होते। इसलिए \(A\cup B\) से \(A\cap B\) को हटाने पर \(n(A\triangle B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)=40-13=27\)। परीक्षा-युक्ति: सममित अंतर की संख्या के लिए सीधे \(n(A\triangle B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)\) का प्रयोग करें। / The symmetric difference \(A\triangle B\) contains elements that belong to exactly one of the sets, so the common elements are excluded. Hence, \(n(A\triangle B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)=40-13=27\). The closest distractor, 13, is only the cardinality of the intersection, not the symmetric difference. Exam tip: use \(n(A\triangle B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)\) when the union and intersection are given.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap B=\{c,d\}\), इसलिए \(|A\cap B|=2\)। यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}(S)\) में \(2^n\) तत्व होते हैं। अतः \(|\mathcal{P}(A\cap B)|=2^2=4\)। विकल्प 2 केवल \(A\cap B\) के तत्वों की संख्या बताता है, उसके घात समुच्चय की नहीं। परीक्षा-युक्ति: घात समुच्चय के लिए हमेशा \(2^n\) का प्रयोग करें। / First find the intersection: \(A\cap B=\{c,d\}\), so \(|A\cap B|=2\). A set with \(n\) elements has \(2^n\) elements in its power set. Therefore, \(|\mathcal{P}(A\cap B)|=2^2=4\). Option 2 gives only the number of elements in \(A\cap B\), not in its power set. Exam tip: for a power set, use the formula \(2^n\).
समुच्चय-अंतर का नियम है \(A\setminus B=A\cap B'\)। अतः डी मॉर्गन के नियम से \((A\setminus B)'=(A\cap B')'=A'\cup B\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में पूरक के बाद संघ और अंतर के घटकों का सही परिवर्तन नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले अंतर को \(A\cap B'\) में बदलकर फिर डी मॉर्गन का नियम लगाएँ। / The difference of two sets can be written as \(A\setminus B=A\cap B'\). Therefore, by De Morgan’s law, \((A\setminus B)'=(A\cap B')'=A'\cup B\), so option A is correct. Option C does not correctly apply the complement to the intersection form of the difference. Exam tip: rewrite a difference as \(A\cap B'\) before taking its complement.
\(A\setminus B\) में (A) के वे तत्व हैं जो साझा भाग में नहीं हैं। इसलिए (n\(A\setminus B\)=n(A)-n\(A\cap B\))। / \(A\setminus B\) contains elements of (A) that are not in the common part. Hence (n\(A\setminus B\)=n(A)-n\(A\cap B\)).
पहले \(A\setminus B\) निकालते हैं: \(A\) के वे तत्व जो \(B\) में नहीं हैं, \(\{1,4,6\}\), प्राप्त होते हैं। अब इसका \(C=\{3,4,5,8\}\) के साथ प्रतिच्छेद लेने पर केवल साझा तत्व \(4\) मिलता है, इसलिए परिणाम \(\{4\}\) है। विकल्प C केवल \(A\setminus B\) दर्शाता है, जबकि विकल्प D में \(8\) शामिल है, जो \(A\setminus B\) में नहीं है। परीक्षा-युक्ति: अंतर के बाद प्रतिच्छेद में केवल दोनों समुच्चयों में समान तत्व रखें। / First, find \(A\setminus B\), the elements of \(A\) that are not in \(B\): \(A\setminus B=\{1,4,6\}\). Intersecting this set with \(C=\{3,4,5,8\}\) leaves only the common element \(4\), so the result is \(\{4\}\). Option C is only \(A\setminus B\), while option D incorrectly includes \(8\), which is not in \(A\setminus B\). Exam tip: after taking a difference, retain only the elements common to both sets when taking the intersection.
यह प्रतिच्छेद का संघ पर वितरण है। पहचान वाले प्रश्नों में प्रतीकों की स्थिति ध्यान से देखें। / This is the distributive law of intersection over union. In identity questions, observe the position of symbols carefully.
यह संघ का प्रतिच्छेद पर वितरण है। दोनों वितरण नियम अलग-अलग रूपों में याद रखें। / This is the distributive law of union over intersection. Remember both forms of the distributive law separately.
यह अवशोषण नियम का रूप है: \(A\cup(A\cap B)=A\)। इसका कारण यह है कि \(A\cap B\), समुच्चय \(A\) का ही उपसमुच्चय होता है; इसलिए उसे \(A\) के साथ संघ लेने पर नया अवयव नहीं जुड़ता। वितरण नियम में संघ और प्रतिच्छेद के पदों का अलग-अलग विस्तार होता है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा में \(A\cup(A\cap B)\) और \(A\cap(A\cup B)\) दोनों को अवशोषण नियम के मानक रूप के रूप में पहचानें। / This is the absorption law: \(A\cup(A\cap B)=A\). Since \(A\cap B\) is a subset of \(A\), taking its union with \(A\) adds no new element. The distributive law expands a union or intersection across another operation, so option B is not applicable here. Exam tip: remember both standard absorption forms, \(A\cup(A\cap B)=A\) and \(A\cap(A\cup B)=A\).
यह अवशोषण नियम का रूप है: \(A\cap(A\cup B)=A\)। क्योंकि \(A\cup B\) में समुच्चय \(A\) के सभी अवयव पहले से शामिल होते हैं, इसलिए उनके प्रतिच्छेद से फिर \(A\) ही प्राप्त होता है। यह क्रमविनिमेय नियम नहीं है, क्योंकि उसमें केवल समुच्चयों का क्रम बदला जाता है। परीक्षा में \(A\cup(A\cap B)=A\) को भी अवशोषण नियम के दूसरे रूप के रूप में पहचानें। / This is the absorption law: \(A\cap(A\cup B)=A\). Since every element of \(A\) is already contained in \(A\cup B\), their intersection is simply \(A\). It is not the commutative law, which only changes the order of the sets. For exams, also remember the second absorption form, \(A\cup(A\cap B)=A\).
\(A\cap B'\) में वे सभी अवयव शामिल होते हैं जो \(A\) में हैं और \(B\) में नहीं हैं। समुच्चय अंतर \(A\setminus B\) की परिभाषा भी यही है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में इसके विपरीत, वे अवयव आते हैं जो \(B\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं। परीक्षा में याद रखें: \(A\setminus B=A\cap B'\)। / The set \(A\cap B'\) contains all elements that belong to \(A\) but do not belong to \(B\). By definition, this is \(A\setminus B\), so option A is correct. Option B, \(B\setminus A\), reverses the roles of the two sets. Exam tip: remember the identity \(A\setminus B=A\cap B'\).
दोनों पूर्णांक अंतराल जुड़े हुए हैं और बीच में कोई खाली स्थान नहीं है। इसलिए संघ (-5) से (6) तक के सभी पूर्णांक हैं। / The two integer intervals are connected with no gap. Therefore the union is all integers from (-5) to (6).
\(C\setminus B\) में (B) से बाहर के तत्व होते हैं। \(A\subseteq B\) होने से (A) का कोई तत्व वहां नहीं होगा। / \(C\setminus B\) contains elements outside (B). Since \(A\subseteq B\), no element of (A) can be there.
\(A\setminus B=\varnothing\) से \(A\subseteq B\) है। \(A\cap B\ne\varnothing\) बताता है कि (A) खाली नहीं है। / \(A\setminus B=\varnothing\) gives \(A\subseteq B\). \(A\cap B\ne\varnothing\) shows that (A) is not empty.
(n\(A\cup B\)=n(B)) से \(A\subseteq B\) है। इसलिए \(A\setminus B=\varnothing\) और संख्या (0) है। / Since (n\(A\cup B\)=n(B)), we have \(A\subseteq B\). Hence \(A\setminus B=\varnothing\) and the number is (0).
यहाँ \(A\cup B=[0,8]\) और \(A\cap B=(3,5)\) है। संघ से उभयनिष्ठ भाग हटाने पर \([0,3]\cup[5,8]\) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(3\) केवल \(A\) में और \(5\) केवल \(B\) में है, इसलिए दोनों सिरों को शामिल किया जाएगा। परीक्षा-युक्ति: खुले और बंद सिरों को प्रत्येक समुच्चय की मूल शर्तों से जाँचें। / Here, \(A\cup B=[0,8]\) and \(A\cap B=(3,5)\). Removing the common part from the union gives \([0,3]\cup[5,8]\). Notice that \(3\) belongs only to \(A\), while \(5\) belongs only to \(B\), so both endpoints are included. Exam tip: determine each interval endpoint from the original inequalities before performing set operations.
यदि \(n(A\cup B\cup C)=86\), \(n(A)=38\), \(n(B)=34\), \(n(C)=31\), \(n(A\cap B)=12\), \(n(B\cap C)=10\) और \(n(C\cap A)=9\) है, तो \(n(A\cap B\cap C)\) का मान क्या है?
तीन समुच्चयों के समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत के अनुसार, \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)\)। मान रखने पर \(86=38+34+31-12-10-9+x=72+x\), इसलिए \(x=14\)। अतः सही उत्तर 14 है। परीक्षा-युक्ति: तीनों समुच्चयों के प्रतिच्छेद को अंत में जोड़ना न भूलें, क्योंकि वह पहले घटाए गए युग्मीय प्रतिच्छेदों में तीन बार शामिल होता है। / By the inclusion–exclusion principle for three sets, \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)\). Substituting the given values gives \(86=38+34+31-12-10-9+x=72+x\), so \(x=14\). Therefore, the correct answer is 14. Exam tip: remember to add the three-way intersection at the end because it is included three times in the pairwise intersections that were subtracted.
तीन समुच्चयों के सूत्र से (20+13+8-6-4-2+1=30) मिलता है। परीक्षा में युग्म प्रतिच्छेद घटाकर त्रिक प्रतिच्छेद जोड़ें। / Using the three-set formula gives (20+13+8-6-4-2+1=30). In exams, subtract pairwise intersections and add the triple intersection.
संघ तीन असंबद्ध भागों \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए (n\(A\cap B\)=70-22-31=17)। / The union is made of three disjoint parts \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), and \(A\cap B\). Therefore (n\(A\cap B\)=70-22-31=17).
