Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A') में (U) के वे सदस्य आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में (1) को अभाज्य न मानें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). In exams remember that (1) is not prime.
(4) या (6) से विभाज्य संख्याएं (12+8-4=16) हैं। इसलिए पूरक में (48-16=32) सदस्य होंगे। / Numbers divisible by (4) or (6) are (12+8-4=16). So the complement has (48-16=32) elements.
\(x^2<10\) के लिए \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) होगा। इसलिए (U) से इनको हटाने पर (A') मिलता है। / For \(x^2<10\), \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). Removing these from (U) gives (A').
\(x^2-2x-15\le 0\) से \(-3\le x\le 5\) मिलता है, इसलिए (A) में (9) पूर्णांक हैं। (U) में (17) सदस्य हैं, पर यहां पूरक (8) नहीं बल्कि (-8) से (-4) और (6) से (8) मिलाकर (8) होना चाहिए। / The inequality \(x^2-2x-15\le 0\) gives \(-3\le x\le 5\), so (A) has (9) integers. Since (U) has (17) elements, the complement has (17-9=8) elements.
(-2) समुच्चय (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में आएगा। (3) और (7) (A) में हैं, इसलिए पूरक में (3) नहीं और (7) के बाद के मान आएंगे। / The point (-2) is not in (A), so it is included in the complement. The points (3) and (7) are in (A), so (3) is excluded and values after (7) are included.
(2) समुच्चय (A) में है और (5) समुच्चय (A) में नहीं है। इसलिए पूरक (A'=(2,5]) है। / The point (2) is in (A), while (5) is not in (A). Therefore the complement is (A'=(2,5]).
\(A'\cap B\) का अर्थ (B-A) है क्योंकि \(A\subseteq B\)। इसलिए (n\(A'\cap B\)=54-31=23) है। / \(A'\cap B\) means (B-A) because \(A\subseteq B\). Therefore (n\(A'\cap B\)=54-31=23).
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (20) हैं, इसलिए पूरक में (30-20=10) सदस्य हैं। समावेशन-बहिष्करण जल्दी लगाएं। / There are (20) numbers divisible by (2) or (3), so the complement has (30-20=10) elements. Use inclusion-exclusion quickly.
(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है और (B) अभाज्य संख्याओं का। इसलिए \(A'\cap B\) में (2) को छोड़कर सभी विषम अभाज्य आएंगे। / (A') is the set of odd numbers and (B) is the set of primes. Thus \(A'\cap B\) contains all odd primes except (2).
(n\(A \cup B\)=35+42-18=59), इसलिए पूरक (80-59=21) है। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / (n\(A \cup B\)=35+42-18=59), so the complement is (80-59=21). Find the union first, then take the complement.
पूरक हमेशा दिए गए (U) के अंदर ही लिया जाता है। इसलिए यहाँ (A') प्राकृतिक सम संख्याओं का समुच्चय है। / The complement is always taken inside the given (U). Thus (A') is the set of natural even numbers here.
समीकरण से (x=2) और (x=3) मिलते हैं। इन्हें (U) से हटाने पर पूरक मिलता है। / The equation gives (x=2) and (x=3). Removing them from (U) gives the complement.
(A) और (A') मिलकर (U) बनाते हैं और अलग-अलग रहते हैं। इसलिए (U) से (A') हटाएं। / (A) and (A') together form (U) and are disjoint. So subtract (A') from (U).
\(x^2 \ge 9\) का अर्थ \(x \le -3\) या \(x \ge 3\) है। इसका पूरक (-3<x<3) यानी ((-3,3)) है। / \(x^2 \ge 9\) means \(x \le -3\) or \(x \ge 3\). Its complement is (-3<x<3), that is ((-3,3)).
\(A \cap B\) में (12) के गुणज होंगे, जो (100) तक (8) हैं। इसलिए पूरक में (100-8=92) सदस्य हैं। / \(A \cap B\) contains multiples of (12), and there are (8) up to (100). So the complement has (100-8=92) elements.
A. (U) के वे सदस्य जो (A) में नहीं हैं/Elements of (U) that are not in (A)
Explanation
Simple Explanation
पूरक (A') हमेशा (U-A) को दर्शाता है। सार्वत्रिक समुच्चय को पहले पहचानना जरूरी है। / The complement (A') always represents (U-A). It is important to identify the universal set first.
(25) तक वर्ग संख्याएं (1,4,9,16,25) हैं, इसलिए (n(A)=5) है। पूरक में (25-5=20) सदस्य होंगे। / The square numbers up to (25) are (1,4,9,16,25), so (n(A)=5). The complement has (25-5=20) elements.
द्वि-पूरक नियम के अनुसार ((A')'=A) होता है। इसलिए उत्तर मूल समुच्चय (A) है। / By the double complement law, ((A')'=A). Therefore the answer is the original set (A).
संघ का पूरक पूरकों के प्रतिच्छेद के बराबर होता है। यह डी मॉर्गन नियम का सीधा प्रयोग है। / The complement of a union equals the intersection of the complements. This is a direct use of De Morgan's law.
पहले \(A \cup B\) बनाएं और फिर उसे (U) से हटाएं। शेष ({6,8,10,12,14,15,18}) हैं। / First form \(A \cup B\), then remove it from (U). The remaining elements are ({6,8,10,12,14,15,18}).
(-2) समुच्चय (A) में है इसलिए पूरक में नहीं आएगा, पर (4) (A) में नहीं है इसलिए पूरक में आएगा। / (-2) is in (A), so it is not in the complement, while (4) is not in (A), so it is in the complement.
क्योंकि (A) और (A') मिलकर (U) बनाते हैं, (n(A)=120-47=73)। पूरक में दिए गए आंकड़े को सीधे घटाएं। / Since (A) and (A') together form (U), (n(A)=120-47=73). Subtract the given complement count directly.
यदि (B) का कोई सदस्य (A) में नहीं है, तो हर सदस्य (A') में होगा। इसलिए \(B \subseteq A'\) अवश्य सत्य है। / If no element of (B) lies in (A), every element of (B) lies in (A'). Hence \(B \subseteq A'\) must be true.
(A' \cap B'=\(A \cup B\)') है। (2) या (5) से विभाज्य संख्याएं (24) हैं, इसलिए पूरक (40-24=16) है। / (A' \cap B'=\(A \cup B\)'). Numbers divisible by (2) or (5) are (24), so the complement is (40-24=16).
(x+2>4) से (x>2) मिलता है, इसलिए \(A=\{3,4,5,6,7\}\) है। पूरक बाकी पूर्णांक हैं। / (x+2>4) gives (x>2), so \(A=\{3,4,5,6,7\}\). The complement contains the remaining integers.
((A-B)'=\(A \cap B'\)'=A' \cup (B')') होता है। इसलिए उत्तर \(A' \cup B\) है। / ((A-B)'=\(A \cap B'\)'=A' \cup (B')'). Therefore the answer is \(A' \cup B\).
\(A \cup B\) में (1) और (4) शामिल नहीं हैं। इसलिए पूरक में दोनों सिरों सहित ([1,4]) आएगा। / The set \(A \cup B\) does not include (1) and (4). Hence the complement includes both endpoints, giving ([1,4]).
A. (A') सार्वत्रिक समुच्चय से स्वतंत्र होता है/(A') is independent of the universal set
Explanation
Simple Explanation
पूरक सार्वत्रिक समुच्चय पर निर्भर करता है। इसलिए (A') को (U) बताए बिना निश्चित नहीं किया जा सकता। / The complement depends on the universal set. So (A') cannot be fixed without knowing (U).
(A) में (4) के गुणज ({4,8,12,16}) हैं। बाकी सभी सदस्य (A') में होंगे। / (A) contains the multiples of (4), namely ({4,8,12,16}). All remaining elements belong to (A').
\(A \cap B\) में (12) के गुणज होंगे और (60) तक ऐसे (5) हैं। इसलिए पूरक (60-5=55) है। / \(A \cap B\) contains multiples of (12), and there are (5) up to (60). Hence the complement is (60-5=55).
डी मॉर्गन से (A' \cup B'=\(A \cap B\)') है। \(A \cap B={2}\), इसलिए पूरक ({1,3,4,5,6,7,8}) है। / By De Morgan, (A' \cup B'=\(A \cap B\)'). Since \(A \cap B={2}\), the complement is ({1,3,4,5,6,7,8}).
(-1) (A) में नहीं है इसलिए पूरक में शामिल है, जबकि (6) (A) में है इसलिए पूरक में नहीं है। / The point (-1) is not in (A), so it is included in the complement, while (6) is in (A), so it is excluded.
यदि (A) में अभाज्य नहीं संख्याएं हैं, तो (A') में अभाज्य संख्याएं होंगी। (1) अभाज्य नहीं है। / If (A) contains non-prime numbers, then (A') contains prime numbers. Remember that (1) is not prime.
जो सदस्य (A) में नहीं हैं, वे \(A \cup B=U\) के कारण (B) में होने चाहिए। इसलिए \(A' \subseteq B\) है। / Elements not in (A) must be in (B) because \(A \cup B=U\). Hence \(A' \subseteq B\).
किसी भी समुच्चय का अपने पूरक के साथ संघ पूरा (U) देता है। यह पूरक की मूल पहचान है। / The union of any set with its complement gives the whole (U). This is the basic identity of complement.
पूरक में केवल (U) के वे अक्षर आएंगे जो (A) में नहीं हैं। (f) को नहीं जोड़ना क्योंकि \(f \notin U\) है। / The complement contains only those letters of (U) that are not in (A). Do not add (f) because \(f \notin U\).
सार्वत्रिक समुच्चय (U) का पूरक \(\varnothing\) होता है। इसलिए \(A \cap U' = A \cap \varnothing=\varnothing\) है। / The complement of the universal set (U) is \(\varnothing\). Hence \(A \cap U' = A \cap \varnothing=\varnothing\).
(A) में सभी वास्तविक संख्याएं हैं लेकिन (0) नहीं है। इसलिए (A') केवल ({0}) है। / (A) contains all real numbers except (0). Therefore (A') is only ({0}).
\(A \cup B\) में (1) से (8) और (14) से (20) तक के सदस्य हैं। बीच के (9) से (13) तक पूरक में बचते हैं। / \(A \cup B\) contains elements from (1) to (8) and from (14) to (20). The middle elements from (9) to (13) remain in the complement.
(U) में (21) पूर्णांक हैं और \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) में (7) सदस्य हैं। अतः (n(A')=21-7=14) है। / There are (21) integers in (U), and \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) has (7) elements. Thus (n(A')=21-7=14).
हर (12) का गुणज (6) का भी गुणज होता है, इसलिए वह (A) में होगा। अतः (A') में (12) का कोई गुणज नहीं होगा। / Every multiple of (12) is also a multiple of (6), so it lies in (A). Hence no multiple of (12) lies in (A').
समीकरण से \(A=\{5,6\}\) मिलता है, इसलिए (A') में (5) और (6) नहीं होंगे। दिए गए समुच्चय से ({7,8}) बचता है। / The equation gives \(A=\{5,6\}\), so (5) and (6) are not in (A'). From the given set, ({7,8}) remains.
(4) या (9) से विभाज्य संख्याएं (15+6-1=20) हैं। इसलिए पूरक में (60-20=40) सदस्य हैं। / Numbers divisible by (4) or (9) are (15+6-1=20). So the complement has (60-20=40) elements.
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (n\(A\cup B\)=14+6-2=18), इसलिए (n\(A'\cap B'\)=84-18=66) है। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since (n\(A\cup B\)=14+6-2=18), (n\(A'\cap B'\)=84-18=66).
\(x^2\le 16\) से \(-4\le x\le 4\) मिलता है, इसलिए (A) में (9) सदस्य हैं। (U) में (21) सदस्य हैं, अतः (n(A')=12) है। / \(x^2\le 16\) gives \(-4\le x\le 4\), so (A) has (9) elements. Since (U) has (21) elements, (n(A')=12).
पूरक में (A) से बाहर के वास्तविक मान आते हैं। (-4) हटेगा, पर (2) और (6) शामिल होंगे। / The complement contains real values outside (A). The point (-4) is excluded, while (2) and (6) are included.
क्योंकि \(A\subseteq B\), \(A'\cap B=B-A\) होगा। इसलिए संख्या (97-64=33) है। / Since \(A\subseteq B\), \(A'\cap B=B-A\). Therefore the count is (97-64=33).
(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है। इसलिए \(A'\cap B\) में (2) को छोड़कर विषम अभाज्य संख्याएं होंगी। / (A') is the set of odd numbers. Thus \(A'\cap B\) contains odd prime numbers except (2).
\(A'\cap B'\) वही सदस्य हैं जो \(A\cup B\) में नहीं हैं। \(A\cup B={a,b,d,e,g,h}\), इसलिए उत्तर ({c,f}) है। / \(A'\cap B'\) contains elements not in \(A\cup B\). Since \(A\cup B={a,b,d,e,g,h}\), the answer is ({c,f}).
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B\) में (15) के (3) गुणज हैं, इसलिए पूरक (45-3=42) है। / By De Morgan, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (3) multiples of (15), so the complement has (45-3=42) elements.
\(A\cup B\) को वास्तविक रेखा से हटाने पर तीन भाग बचते हैं। सिरों की खुली-बंद स्थिति ध्यान से देखें। / Removing \(A\cup B\) from the real line leaves three parts. Watch the open and closed endpoints carefully.
विषम संख्याओं में से वर्ग संख्याएं (1) और (9) हटेंगी। इसलिए \(A'\cap B={3,5,7,11,13,15}\) है। / From the odd numbers, the square numbers (1) and (9) are removed. Hence \(A'\cap B={3,5,7,11,13,15}\).
(25) तक अभाज्य संख्याएं (9) हैं और उनमें (5) को हटाना होगा। (A') में (5) के गुणज नहीं आते, इसलिए (7) अभाज्य बचते हैं। / There are (9) primes up to (25), and (5) must be removed. Multiples of (5) are not in (A'), so (7) primes remain.
\(A\cap B'=A\) तभी होता है जब (A) का हर सदस्य (B') में हो। अतः \(A\subseteq B'\) है। / \(A\cap B'=A\) occurs only when every element of (A) is in (B'). Hence \(A\subseteq B'\).
(A-B) में वे सम संख्याएं हैं जो (7) से विभाज्य नहीं हैं, उनकी संख्या (35-5=30) है। इसलिए पूरक (70-30=40) है। / (A-B) contains even numbers not divisible by (7), and their count is (35-5=30). Therefore the complement has (70-30=40) elements.
\(x^2-6x+8>0\) का हल (x<2) या (x>4) है। इसलिए पूरक में \(2\le x\le 4\) आएगा। / The solution of \(x^2-6x+8>0\) is (x<2) or (x>4). Thus the complement is \(2\le x\le 4\).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B={6,12,18}\), इसलिए इन्हें (U) से हटाएं। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). Since \(A\cap B={6,12,18}\), remove these from (U).
\(A'\cap B'\) का अर्थ विषम और वर्ग नहीं संख्याएं हैं। (40) तक (20) विषम संख्याओं में (1,9,25) वर्ग हैं, इसलिए (17) बचते हैं। / \(A'\cap B'\) means odd and non-square numbers. Among (20) odd numbers up to (40), (1,9,25) are squares, so (17) remain.
पहले (A=U-A'={p,r,t,v}) लिखें। फिर (B) से प्रतिच्छेद लेने पर ({p,t,v}) मिलता है। / First write (A=U-A'={p,r,t,v}). Intersecting with (B) gives ({p,t,v}).
\(A\cap B\) में (30) के गुणज होंगे, जो (90) तक (3) हैं। इसलिए पूरक में (90-3=87) सदस्य हैं। / \(A\cap B\) contains multiples of (30), and there are (3) up to (90). So the complement has (90-3=87) elements.
(A') में (1,4,7,10) नहीं होंगे। दिए गए समुच्चय में से (4) और (10) हटाने पर ({2,6,8,12}) बचता है। / (A') does not contain (1,4,7,10). Removing (4) and (10) from the given set leaves ({2,6,8,12}).
(A'=U) से \(A=\varnothing\) मिलता है। इसलिए \(A\cup B=\varnothing\cup B=B\) है। / (A'=U) gives \(A=\varnothing\). Hence \(A\cup B=\varnothing\cup B=B\).
समीकरण से \(A=\{4,5\}\) है। (5) से छोटे सदस्य (0,1,2,3,4) हैं, इनमें (4) हटेगा, इसलिए (4) नहीं बल्कि (4) सदस्य बचते हैं। / The equation gives \(A=\{4,5\}\). Elements less than (5) are (0,1,2,3,4), and (4) is removed, so (4) elements remain.
A. (U) में सम संख्याओं का समुच्चय/The set of even numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में सम नहीं यानी विषम संख्याएं हैं। इसलिए (A') में (U) की सम संख्याएं होंगी। / (A) contains numbers that are not even, meaning odd numbers. Therefore (A') contains the even numbers of (U).
\(A'\cap B\) का अर्थ (3) के वे गुणज हैं जो सम नहीं हैं। (36) तक (3) के (12) गुणज हैं, उनमें (6) सम हैं, इसलिए (6) बचते हैं। / \(A'\cap B\) means multiples of (3) that are not even. Up to (36), there are (12) multiples of (3), (6) of them are even, so (6) remain.
यदि दो समुच्चय मिलकर (U) बनाते हैं और अलग-अलग हैं, तो वे एक-दूसरे के पूरक होते हैं। इसलिए (B=A') है। / If two sets together form (U) and are disjoint, they are complements of each other. Hence (B=A').
\(A\cap B={5}\) है। इसलिए (\(A\cap B\)') में (5) को छोड़कर (U) के सभी सदस्य होंगे। / \(A\cap B={5}\). Therefore (\(A\cap B\)') contains all elements of (U) except (5).
(A') में (0) से (4) तक सभी वास्तविक मान आते हैं। इसे (B) से काटने पर ([0,4]) ही मिलता है। / (A') contains all real values from (0) to (4). Intersecting with (B) still gives ([0,4]).
(32) तक (2) की घातें (1,2,4,8,16,32) हैं, इसलिए (A) में (6) सदस्य हैं। पूरक में (32-6=26) सदस्य हैं। / Powers of (2) up to (32) are (1,2,4,8,16,32), so (A) has (6) elements. The complement has (32-6=26) elements.
\(A-B=\varnothing\) का अर्थ है कि (A) का कोई सदस्य (B) से बाहर नहीं है। इसलिए \(A\subseteq B\) है। / \(A-B=\varnothing\) means no element of (A) lies outside (B). Hence \(A\subseteq B\).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (9) या (6) से विभाज्य संख्याएं (6+9-3=12) हैं, इसलिए पूरक (42) है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Numbers divisible by (9) or (6) are (6+9-3=12), so the complement is (42).
(A) में (-1) शामिल है, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। (3) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। / (A) includes (-1), so it is not in the complement. The point (3) is not in (A), so it is included in the complement.
(A') सम संख्याओं का समुच्चय है। (7) के गुणजों में सम सदस्य (14) और (28) हैं। / (A') is the set of even numbers. Among multiples of (7), the even members are (14) and (28).
(22) तक विषम संख्याएं (11) हैं। उनमें अभाज्य विषम (3,5,7,11,13,17,19) हटेंगे, इसलिए (4) विषम मिश्रित या (1) बचते हैं। / There are (11) odd numbers up to (22). Removing odd primes (3,5,7,11,13,17,19) leaves (4) odd non-prime numbers including (1).
(A') में (7) विषम सदस्य और (A) में (7) सम सदस्य हैं। इसलिए (n\(A'\times A\)=7\times 7=49) है। / (A') has (7) odd elements and (A) has (7) even elements. Hence (n\(A'\times A\)=7\times 7=49).
((x-1)(x+2)\ge 0) का हल \(x\le -2\) या \(x\ge 1\) है। इसलिए बीच के पूर्णांक (-1,0) पूरक में आते हैं। / The solution of ((x-1)(x+2)\ge 0) is \(x\le -2\) or \(x\ge 1\). Thus the middle integers (-1,0) are in the complement.
डी मॉर्गन से (\(A\cap B\)'=A'\cup B')। इसलिए (n\(A'\cup B'\)=76+89-31=134) है। / By De Morgan, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'). Thus (n\(A'\cup B'\)=76+89-31=134).
(A'={4,5,6,7,8,9,10}) और \(A'\cap B={4,5}\) है। इसका पूरक ({1,2,3,6,7,8,9,10}) है। / (A'={4,5,6,7,8,9,10}) and \(A'\cap B={4,5}\). Its complement is ({1,2,3,6,7,8,9,10}).
(A'=\(-\infty,1\)) और \(B'=[4,\infty\)) हैं। उनका संघ (\(-\infty,1\)\cup[4,\infty)) है। / (A'=\(-\infty,1\)) and \(B'=[4,\infty\)). Their union is (\(-\infty,1\)\cup[4,\infty)).
(9) से विभाज्य संख्याएं (9,18,27,36,45,54,63,72,81) हैं। इनमें वर्ग (9,36,81) हटेंगे, इसलिए (6) नहीं बल्कि (6) सदस्य बचते हैं। / Numbers divisible by (9) are (9,18,27,36,45,54,63,72,81). Removing squares (9,36,81) leaves (6) members.
(3) अभाज्य है, इसलिए वह (A') में नहीं होगा। बाकी (3) के गुणज (6,9,12,15,18) पूरक में हैं। / (3) is prime, so it is not in (A'). The remaining multiples (6,9,12,15,18) are in the complement.
(1,5,9,13,17,21,25,29) यानी (8) सदस्य (A) में हैं। इसलिए (n(A')=30-8=22) है। / The elements (1,5,9,13,17,21,25,29), so (8) elements, are in (A). Hence (n(A')=30-8=22).
(A) में (4) के गुणज हैं और (B) में (8) के गुणज हैं। \(B'\cap A\) में (4) के वे गुणज आएंगे जो (8) के गुणज नहीं हैं। / (A) contains multiples of (4), and (B) contains multiples of (8). \(B'\cap A\) contains multiples of (4) that are not multiples of (8).
(A) में सभी वास्तविक संख्याएं हैं, पर (-2) और (5) नहीं हैं। इसलिए पूरक केवल ({-2,5}) है। / (A) contains all real numbers except (-2) and (5). Therefore the complement is only ({-2,5}).
(27) तक सम संख्याएं (13) हैं। इनमें (6,12,18,24) (3) से भी विभाज्य हैं, इसलिए (13-4=9) बचते हैं। / There are (13) even numbers up to (27). Among them (6,12,18,24) are also divisible by (3), so (13-4=9) remain.
डी मॉर्गन से (\(A'\cup B'\)'=A\cap B) है। सम और (8) से बड़े सदस्य (10) और (12) हैं। / By De Morgan, (\(A'\cup B'\)'=A\cap B). The even elements greater than (8) are (10) and (12).
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (n\(A\cup B\)=12+8-4=16), इसलिए पूरक में (96-16=80) सदस्य हैं। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since (n\(A\cup B\)=12+8-4=16), the complement has (96-16=80) elements.
समावेशन-बहिष्करण से (n\(A\cup B\cup C\)=15+8+6-1-3-2+1=24) है। इसलिए पूरक में (120-24=96) सदस्य होंगे। / By inclusion-exclusion, (n\(A\cup B\cup C\)=15+8+6-1-3-2+1=24). Therefore the complement has (120-24=96) elements.
असमानता से \(3\le x\le 6\) मिलता है, इसलिए (A) में (4) सदस्य हैं। (U) में (25) सदस्य हैं, अतः (n(A')=25-4=21) नहीं बल्कि (21) होता है। / The inequality gives \(3\le x\le 6\), so (A) has (4) elements. Since (U) has (25) elements, (n(A')=25-4=21).
यहाँ (A=[-5,2]) और (B=(-2,4)) है, इसलिए \(A'\cap B=(2,4)\) होगा। इसका पूरक (\(-\infty,2]\cup[4,\infty\)) है। / Here (A=[-5,2]) and (B=(-2,4)), so \(A'\cap B=(2,4)\). Its complement is (\(-\infty,2]\cup[4,\infty\)).
(-5) (A) में नहीं है, (1) और (4) (A) में हैं, और (9) (A) में नहीं है। सिरों को देखकर पूरक ([-5,1)\cup(4,9]) होगा। / The point (-5) is not in (A), (1) and (4) are in (A), and (9) is not in (A). Checking endpoints gives ([-5,1)\cup(4,9]).
पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A\subseteq B\subseteq C\) से \(C'\subseteq B'\subseteq A'\) मिलता है। / Taking complements reverses inclusion. Hence \(A\subseteq B\subseteq C\) gives \(C'\subseteq B'\subseteq A'\).
(A-B) में (3) के वे गुणज हैं जो (7) से विभाज्य नहीं हैं, उनकी संख्या (14-2=12) है। इसलिए (n((A-B)')=42-12=30) नहीं बल्कि (30) होता है। / (A-B) contains multiples of (3) that are not divisible by (7), and their count is (14-2=12). Therefore (n((A-B)')=42-12=30).
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(5,8)=40) के गुणज आएंगे। (40) तक केवल (1) ऐसा सदस्य है, इसलिए पूरक (39) है। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(5,8)=40). Up to (40), there is only (1) such element, so the complement is (39).
पहले \(A\cup B={a,b,c,e,f,i}\) बनाएं। इसे (U) से हटाने पर ({d,g}) मिलता है। / First form \(A\cup B={a,b,c,e,f,i}\). Removing it from (U) gives ({d,g}).
\(|x+1|\ge 4\) का हल \(x\le -5\) या \(x\ge 3\) है। इसलिए इसका पूरक (-5<x<3) है। / The solution of \(|x+1|\ge 4\) is \(x\le -5\) or \(x\ge 3\). Hence its complement is (-5<x<3).
(B) की सम संख्याओं में से पूर्ण वर्ग (4) और (16) हटेंगे। इसलिए \(A'\cap B\) में बाकी सम संख्याएं आएंगी। / From the even numbers in (B), the perfect squares (4) and (16) are removed. Therefore \(A'\cap B\) contains the remaining even numbers.
(B) और (B') असंयुक्त होते हैं, इसलिए \(A\cap B\) और \(A\cap B'\) भी असंयुक्त हैं। दो असंयुक्त समान समुच्चय केवल \(\varnothing\) हो सकते हैं, इसलिए \(A=\varnothing\) आवश्यक है। / (B) and (B') are disjoint, so \(A\cap B\) and \(A\cap B'\) are also disjoint. Two equal disjoint sets must be \(\varnothing\), so \(A=\varnothing\) is necessary.
समावेशन-बहिष्करण से (n\(A\cup B\cup C\)=18+12+8-6-2-4+2=28) है। इसलिए पूरक (72-28=44) नहीं बल्कि (44) है। / By inclusion-exclusion, (n\(A\cup B\cup C\)=18+12+8-6-2-4+2=28). Therefore the complement is (72-28=44).
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B=[0,6]\), इसलिए पूरक (\(-\infty,0\)\cup\(6,\infty\)) है। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). Since \(A\cap B=[0,6]\), the complement is (\(-\infty,0\)\cup\(6,\infty\)).
यदि (A) में अभाज्य नहीं संख्याएं हैं, तो (A') में अभाज्य संख्याएं होंगी। (36) तक अभाज्य संख्याएं (11) हैं। / If (A) contains non-prime numbers, then (A') contains prime numbers. There are (11) primes up to (36).
\(A=\{-3,2,7,12\}\) है, इसलिए (n(A)=4)। (U) में (21) सदस्य हैं, अतः (n(A')=17) है। / \(A=\{-3,2,7,12\}\), so (n(A)=4). Since (U) has (21) elements, (n(A')=17).
(n\(A'\cap B'\)=120+150-210=60) है। क्योंकि (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), इसलिए (n\(A\cup B\)=300-60=240) है। / (n\(A'\cap B'\)=120+150-210=60). Since (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), (n\(A\cup B\)=300-60=240).
(A') में (13) से (20) तक संख्याएं हैं। इनमें विषम सदस्य ({13,15,17,19}) हैं। / (A') contains numbers from (13) to (20). The odd members among them are ({13,15,17,19}).
\(A\cup B'=U\) का पूरक लेने पर \(A'\cap B=\varnothing\) मिलता है। इसलिए (B) का हर सदस्य (A) में है। / Taking the complement of \(A\cup B'=U\) gives \(A'\cap B=\varnothing\). Therefore every element of (B) is in (A).
असमानता \(x^2+2x-8<0\) का हल (-4<x<2) है। इसलिए पूरक में (\(-\infty,-4]\cup[2,\infty\)) आएगा। / The solution of \(x^2+2x-8<0\) is (-4<x<2). Hence the complement is (\(-\infty,-4]\cup[2,\infty\)).
(64) तक (4) से विभाज्य संख्याएं (16) हैं। इनमें (4,8,16,32,64) (2) की घातें हैं, इसलिए (11) नहीं बल्कि (11) बचते हैं। / There are (16) numbers divisible by (4) up to (64). Among them (4,8,16,32,64) are powers of (2), so (11) remain.
(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है और उसमें से (B) के (1,3,5,13) हटेंगे। इसलिए ({7,9,11,15,17}) बचेगा। / (A') is the set of odd numbers, and (1,3,5,13) from (B) are removed. Thus ({7,9,11,15,17}) remains.
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B\) में (30) के (3) गुणज हैं, इसलिए पूरक (100-3=97) है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (3) multiples of (30), so the complement is (100-3=97).
\(A\cap B'\) में विषम लेकिन अभाज्य नहीं संख्याएं आती हैं। (23) अभाज्य है, इसलिए सही समुच्चय ({1,9,15,21}) होना चाहिए। / \(A\cap B'\) contains odd numbers that are not prime. Since (23) is prime, the correct set is ({1,9,15,21}).
ऐसी संख्याएं (2,7,12,17,22,27,32,37,42,47) हैं, यानी (10) सदस्य। इसलिए (n(A')=50-10=40) है। / Such numbers are (2,7,12,17,22,27,32,37,42,47), so there are (10) elements. Hence (n(A')=50-10=40).
(A) में वे पूर्णांक हैं जिनका परिमाण (4) से अधिक है। पूरक में \(|x|\le 4\) वाले पूर्णांक आएंगे। / (A) contains integers whose absolute value is greater than (4). The complement contains integers satisfying \(|x|\le 4\).
(B') सम संख्याओं का समुच्चय है। (5) के गुणजों में सम सदस्य (10,20,30) हैं। / (B') is the set of even numbers. The even multiples of (5) are (10,20,30).
\(A\cup B={1,2,3,4,6,8,9,12,15,16}\) है। (U) से हटाने पर ({5,7,10,11,13,14}) बचता है। / \(A\cup B={1,2,3,4,6,8,9,12,15,16}\). Removing it from (U) leaves ({5,7,10,11,13,14}).
(A'=\(2,\infty\)) और (B'=\(-\infty,-1\)) हैं। इनका कोई समान वास्तविक सदस्य नहीं है। / (A'=\(2,\infty\)) and (B'=\(-\infty,-1\)). They have no common real element.
(A) में (3) के गुणज हैं और (B) में (9) के गुणज हैं। इसलिए \(A\cap B'\) में (3) के वे गुणज हैं जो (9) के गुणज नहीं हैं। / (A) contains multiples of (3) and (B) contains multiples of (9). Thus \(A\cap B'\) contains multiples of (3) that are not multiples of (9).
(A) का कोई सदस्य (B') में नहीं है, इसलिए (A) का हर सदस्य (B) में होगा। अतः \(A\subseteq B\) है। / No element of (A) is in (B'), so every element of (A) must be in (B). Hence \(A\subseteq B\).
(7) के गुणज (7,14,21,28,35,42,49) हैं। इनमें केवल (49) पूर्ण वर्ग है, इसलिए (6) नहीं बल्कि (6) सदस्य (A') में हैं। / The multiples of (7) are (7,14,21,28,35,42,49). Only (49) is a perfect square, so (6) elements are in (A').
(3) (A) में नहीं है और (8) (A) में है। इसलिए पूरक ([3,8)) होगा। / The point (3) is not in (A), while (8) is in (A). Therefore the complement is ([3,8)).
\(A'\cap B'\) वे संख्याएं हैं जो (2) और (3) दोनों से विभाज्य नहीं हैं। (2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (40) हैं, इसलिए पूरक (20) है। / \(A'\cap B'\) contains numbers divisible by neither (2) nor (3). Numbers divisible by (2) or (3) are (40), so the complement is (20).
\(A=\{3,4,5,6,7,8\}\) और \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\) हैं। इसलिए \(A'\cup B'\) में (3,4,5) को छोड़कर सभी सदस्य हैं। / \(A=\{3,4,5,6,7,8\}\) and \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\). Thus \(A'\cup B'\) contains all elements except (3,4,5).
(45) तक (3) के (15) गुणज हैं। इनमें (9) के (5) गुणज (A) में हैं, इसलिए (15-5=10) बचते हैं। / There are (15) multiples of (3) up to (45). Among them (5) multiples of (9) are in (A), so (15-5=10) remain.
(4) से विभाज्य सभी सदस्य (A') में दिए गए हैं। इसलिए (A) में (4) से विभाज्य कोई सदस्य नहीं है। / All elements divisible by (4) are listed in (A'). Therefore (A) has no element divisible by (4).
तीनों का संघ \({1,2,\ldots,10}\) है। (U) से हटाने पर ({11,12,13,14,15}) बचता है। / The union of the three sets is \({1,2,\ldots,10}\). Removing it from (U) leaves ({11,12,13,14,15}).
(B) में (9,18,27,36,45,54) हैं। इनमें (18,36,54) (6) से विभाज्य हैं, इसलिए \(A'\cap B\) में (9,27,45) यानी (3) सदस्य हैं। / (B) contains (9,18,27,36,45,54). Among them (18,36,54) are divisible by (6), so \(A'\cap B\) has (9,27,45), that is (3) elements.
\(x^2=4\) से (x=-2) या (x=2) मिलता है। इसलिए पूरक \(\mathbb{R}-{-2,2}\) है। / \(x^2=4\) gives (x=-2) or (x=2). Therefore the complement is \(\mathbb{R}-{-2,2}\).
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। इसलिए (\(A'\cap B'\)'=A\cup B), जिसकी संख्या (50) है। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Hence (\(A'\cap B'\)'=A\cup B), whose cardinality is (50).
A. ({1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22})
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\) में सम पूर्ण वर्ग (4) और (16) हैं। इन्हें (U) से हटाने पर पूरक मिलता है। / \(A\cap B\) contains even perfect squares (4) and (16). Removing them from (U) gives the complement.
(A) में (3) के (27) गुणज हैं और (B) में (27) के (3) गुणज हैं। इसलिए \(B'\cap A\) में (27-3=24) सदस्य हैं। / (A) has (27) multiples of (3), and (B) has (3) multiples of (27). Hence \(B'\cap A\) has (27-3=24) elements.
द्वि-पूरक नियम के अनुसार ((A')'=A) होता है। इसलिए उत्तर वही मूल समुच्चय है। / By the double complement law, ((A')'=A). Therefore the answer is the original set itself.
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (n\(A\cup B\)=9+5-1=13), इसलिए पूरक (90-13=77) है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since (n\(A\cup B\)=9+5-1=13), the complement is (90-13=77).
